多目标规划的原理和
第四章多目标规划
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
这是具有两个目标的非线性规划问题。
9
由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标
最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目
标中，有的是追求极大化，有的是追求极小化，而
极大化与极小化是可以相互转化的。因此，我们不
难将多目标最优化模型统一成一般形式：
决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1(x1，……，xn)
di+
=
fi
(
X
)-fi
0，
0
fi ( X ) > fi0， fi ( X ) ≤ fi0，i = 1，……，p
fi ( X )关于fi0的负偏差为
di−
=
0，
fi0
−
fi (X
)
fi ( X ) ≥ fi0， fi ( X ) < fi0，i = 1，……，p
则不难看出
di+ + di－＝ fi ( X )-fi0 ， di+ − di－＝fi ( X )-fi0， di+ • di－ = 0，
2
第四章 多目标规划
第一节 多目标规划模型
线性规划及非线性规划研究的都是在给定的约束集合 R={X|gi(X) ≥0，i=1，2，……，m)} X∈En
上，求单目标f(x)的最大或最小的问题，即方案的好坏是以 一个目标去衡量。然而，在很多实际问题中，衡量一个方 案的好坏往往难以用一个指标来判断 。也就是说，需要用 一个以上的目标去判断方案的好坏，而这些目标之间又往 往不是那么协调，甚至是相互矛盾的。本章将以实例归结 出几类常见的描述多目标最优化问题的数学模型。
16
根据农户对目标重要性的排序，将前两个目标作为 第一优先层，将第三个目标作为第二优先层，再把其中 的求最大化转化为求其负数的最小，便得到下列具有两 个优先层次的分层多目标极小化模型：
多目标规划
解:
x2
A B C
x1
Eab = E pa = {B}, Ewp = AB, BC
{
}
O
T 2 2 例2 设 X = {( x1 , x2 ) ( x1 + 1) + 2 x = 4}, 求 X , 的 Eab , E pa , Ewp
2
解:
x2
Eab = φ , E pa = Ewp
= AB
{ }
第二节 多目标规划问题的解 一,向量集的极值 1 多目标规划的标准形式是
min( f1 ( x),..., f p ( x))T , p > 1, x ∈ E n g i ( x) ≥ 0 i = 1,..., m s.t. h j ( x) = 0 j = 1,..., l (2.1)
1
介绍A.M.Geoffrion于1968年提出的—种 真有效解—G-有效解.
�
min f ( x) = ( f1 ( x), f 2 ( x))T
x∈D
f1 ( x) = x1 + 2 x2 , f 2 ( x) = x1 x2 , D = ( x1 , x2 )T 0 ≤ x1 ≤ 1,0 ≤ x2 ≤ 1
的有效解和弱有效解. f1 ( x) = 3 x2 1 B
{
}
R pa = Rwp = {OA, AB}
解: 1 画出 D 及 D 的像 f (D )
f1
x
f1 , f 2 联立消去 x
O 1
得
f1 = f 22 + 2 f 2
f2
1
R pa = Rwp
. .
2
.
f2
x
o
1 2
基于多目标规划模型的建设方案优化设计
基于多目标规划模型的建设方案优化设计概述：建设项目的规划和设计是一个复杂而关键的过程。
传统的规划方法往往只考虑单一目标，无法全面考虑各种因素的权衡和平衡。
而基于多目标规划模型的建设方案优化设计能够在考虑多个目标的基础上，找到最优解，提高建设方案的质量和效益。
一、多目标规划模型的概念和原理多目标规划模型是一种数学模型，它考虑了多个目标之间的相互关系和权衡。
在建设项目中，常见的目标包括经济效益、环境效益、社会效益等。
多目标规划模型的原理是通过建立目标函数和约束条件，将多个目标转化为数学问题，并利用数学方法求解最优解。
二、建设方案的多目标优化设计1. 目标的确定在进行多目标优化设计前，需要明确建设方案的各个目标。
例如，对于一个城市道路建设项目，目标可以包括减少交通拥堵、提高通行效率、降低能耗等。
目标的确定需要综合考虑项目的特点和需求，确保目标的合理性和可操作性。
2. 变量的选择变量是影响建设方案的因素，通过调整变量的取值可以改变建设方案的性能。
在多目标优化设计中，需要选择合适的变量，并确定其取值范围。
例如，对于道路建设项目，变量可以包括道路宽度、道路材料、交通信号灯等。
选择合适的变量可以提高优化设计的效果。
3. 目标函数的建立目标函数是多目标优化设计的核心，它反映了各个目标之间的关系和权衡。
在建立目标函数时，需要考虑目标之间的相互影响和权重。
例如，对于道路建设项目，可以建立一个综合评价指标，包括交通拥堵指数、通行效率指数和能耗指数。
通过设定不同的权重，可以实现不同目标之间的平衡。
4. 约束条件的设置约束条件是多目标优化设计的限制条件，它反映了建设方案的可行性和可操作性。
在设置约束条件时，需要考虑项目的实际情况和限制条件。
例如，对于道路建设项目，约束条件可以包括土地利用限制、环境保护要求等。
合理设置约束条件可以确保优化设计的可行性和可持续性。
5. 模型求解和结果分析通过建立多目标规划模型，可以利用数学方法求解最优解。
多目标规划模型概述
例题：某公司考虑生产两种光电太阳能电池：产品甲和产品乙。这种生产过程会在空气中引起放射性污染。因此，公司经理有两个目标：极大化利润与极小化总的放射性污染。已知在一个生产周期内，每单位甲产品的收益是1元，每单位乙产品的收益是3元。而放射性污染的数量，每单位甲产品是1.5个单位,每单位乙产品是1个单位.由于机器能力(小时)、装配能力（人时）和可用的原材料（单位）的限制，约束条件是
4、步骤法（STEM法） 这是一种交互方法，其求解过程通过分析者与决策者之间的对话逐步进行，故称步骤法。 步骤法的基本思想是，首先需要求出原多目标问题的一组理想解(f1*,f2*,…,fp*)。实际上，这些解fi*(i=1,2,…,p)无法同时达到，但可以当作一组理想的最优值。以理想解作为一个标准，可以估计有效解，然后通过对话，不断修改目标值，并把降低要求的目标作为新的约束条件加入原来的约束条件中去重新计算，直到决策者得到满意的解。 步骤法算法如下：第一步：分别求解以下p个单目标问题的最优解
1、多目标规划问题的模型结构
为决策变量
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下：绝对最优解：若对于任意的X，都有F(X*)≥F(X)有效解：若不存在X，使得F(X*)≤ F(X)弱有效解：若不存在X，使得F(X*)<F(X)
2、多目标优选问题的模型结构 可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性的函数：
得到最优解 ，其相应的目标值 即为理想值，此最优解处别的目标所取的值用 表示，即 ，把上述计算结果列入下表
目标有两个:一是利润最大,二是污染最小.该问题的多目标规划模型如下:
解:首先,分别求解两个单目标问题的最优解,由它们得到的目标函数值组成理想解.
多目标规划方法讲义
max(min)Z f1( x1, x2,, xn )
i ( x1, x2,, xn ) gi (i 1,2,, m)
f
min j
fj
f
max j
(
j
2,3,,
k)
方法四 目标达到法 首先将多目标规划模型化为如下标准形式：
f1( X )
min
F
(
x
)
min
f2
(X
)
fk
(
X
)
1
(
（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描 写为如下形式：
max(min)
f1
(
X
)
Z F ( X ) max(min) f2 ( X )
max(min) fk ( X )
1( X )
g1
s.t.
(
X
)
2(X
)
G
g2
m ( X )
gm
式中： X [ x1, x2 ,, xn ]T 为决策变量向量。
∴ d＋× d－ ＝0 成立。
2、目标约束和绝对约束
引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问题 有了新的限制，既目标约束。
目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约束起 作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。
绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式或 不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对 约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。
目标规划的图解法
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
（一）、目标规划与线性规划的比较
最优化多目标规划动态规划
最优化多目标规划动态规划多目标规划是指在决策问题中同时考虑多个目标的优化问题，其目标可能相互矛盾或者相互关联。
动态规划是一种通过将问题划分为子问题并利用子问题的最优解来求解整体最优解的方法。
将多目标规划与动态规划结合起来，可以解决一些具有多个相互关联目标的决策问题。
下面将介绍最优化多目标规划动态规划的原理和应用举例。
1.定义决策变量：确定需要作出的决策，并定义决策变量。
2.建立状态转移方程：将问题划分为多个子问题，并建立它们之间的状态转移方程。
状态转移方程描述了子问题之间的关系，通过子问题之间的转移可以得到整体问题的最优解。
3.确定初始状态和边界条件：确定初始状态和边界条件，即子问题的初始状态和边界条件，用于递归地求解子问题。
4.递推求解：使用动态规划的递推求解方法，从初始状态开始，逐步求解子问题，直到求解出整体的最优解。
5.分析最优解：根据求解结果分析得到的最优解，并根据需要进行调整和优化。
假设有一家公司要进行产品的生产安排，公司有多个产品需要安排生产，每个产品有不同的生产时间和利润，同时公司还要考虑生产能力的限制和产品订单的要求。
问题可以建立如下的数学模型：决策变量：对于每个产品，决定其生产数量。
目标函数：最大化总利润。
约束条件：生产时间不能超过生产能力限制，同时生产数量要满足订单要求。
利用动态规划方法可以将问题分解为多个子问题，以子问题的最优解作为动态规划的递推依据。
具体步骤如下：1.将产品的生产时间和利润作为状态，根据时间顺序划分为多个子问题。
2.定义状态转移方程，将子问题的最优解与前面子问题的最优解关联起来。
3.初始状态为生产时间为0的情况，边界条件为订单要求。
4.递推求解，根据状态转移方程求解每个子问题的最优解。
5.分析最优解，确定每个产品的生产数量，以及总利润。
通过最优化多目标规划动态规划的方法，可以在满足多个目标和约束条件的情况下，求解出最优的决策方案。
这种方法可以应用于生产调度、资源分配、物流配送等领域，帮助企业做出合理的决策，达到优化目标。
多目标规划模型及其在生产优化中的应用
多目标规划模型及其在生产优化中的应用随着科技的不断进步，企业在生产的过程中需要考虑的因素也越来越多，例如成本、质量、效率、环保等多个方面。
这些因素不仅对企业的发展起到了决定性的作用，而且对于整个行业的发展也具有重要意义。
因此，在这个时代，如何能够完成多目标规划，对于企业的生产优化是非常重要的。
本文将从多目标规划模型及其在生产优化中的应用方面进行探讨。
一、多目标规划模型的概述多目标规划（multi-objective programming，MOP）是指在满足多个目标的基础上，寻求最优方案的一种决策方法。
多目标规划模型是通过建立目标函数，对每个目标进行评价和权衡，从而实现多目标的决策优化模型。
多目标规划模型可以被用来解决许多现实生产和决策问题，例如资源配置问题、供应链管理问题、营销决策问题、风险管理和环境保护问题等等。
在这些问题中，优化目标多个，且有时目标之间存在着矛盾性，因此需要采用多目标规划模型来解决。
二、多目标规划模型在生产优化中的应用1. 降低成本和提高质量对于一个企业来说，成本和质量是两个非常重要的因素。
如何同时降低成本和提高质量成为了企业的一个难题。
多目标规划模型可以帮助企业在进行生产决策时，考虑多个目标，实现成本和质量的平衡。
在多目标规划模型中，建立成本和质量的目标函数，对企业的各项指标进行量化和分析，然后对目标函数进行加权，最终得到最优方案。
通过这种方式，企业可以在不降低产品质量的条件下，实现成本的降低，从而提高企业的效益。
2. 提高生产效率和降低能耗随着市场竞争的加剧，企业需要不断提高生产效率，从而降低成本，并提高企业的竞争力。
另一方面，环境保护也成为了现代企业生产的一个必须考虑的因素。
多目标规划模型可以在生产过程中，同时考虑生产效率和能耗，实现生产的可持续发展。
在多目标规划模型中，建立生产效率和能耗的目标函数，评估企业的各项指标，加权得到最优方案。
通过这种方式，企业可以在提高生产效率的同时，降低能耗，实现生产效率与环境保护的双赢。
《多目标规划》PPT课件
2021/4/24
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多目标规划的象集
研究象集的作用在于：
(1) 求出F R中的有效点和弱有效点，就可确定有效解和弱有效解；
(2) 对象集F R的研究可以提供—些解多目标规划的方法；
f x
f x
f1 x f2 x
f2 x f1 x
2021/4/24
Re* a,b
O
ab
x
O a cd b x
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a
b
多目标规划的解集
❖ 解集之间的关系
(1)
p
若
i1
Ri*
，则 Ra*b
p
i 1
Ri*
(2) Re* Rw*e R
(3) Ri* Rw*e (i 1, 2,..., p)
产品
A1 A2 A3
产品生产销售数据表
生产效率
利润
最大销量
能耗
（m/h） （元/m） （m/周） （t/1000m）
20
500
700
24
25
400
800
26
15
600
500
28
2021/4/24
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多目标规划问题的典型实例
假设该厂每周生产三种产品的小时数分别为 x1, x2, x3 ，则我们根据各种产品的单位
规划中的每个目标函数看成是单目标规划问题的目标函数，即我们分别考虑 p 个单
目标规划问题：min fi x, xR, i 1,2,..., n ，那么这 p 个单目标规划问题的公共最优
解才是多目标规划问题的的绝对最优解。如果这 p 个单目标规划问题没有公共的最
优解，则多目标规划问题就没有绝对最优解。
x1 60 又考虑到购买的数量必须要满足非负的条件，由于对 x1 已经有相应的约束条件，故只 需添加对 x2 的非负约束即可。 综合以上分析，得到最优化数学模型如下：
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多目标规划的原理和
多目标规划是一种优化方法，用于解决同时存在多个目标函数的问题。
与单目标规划不同，多目标规划的目标函数不再是单一的优化目标，而是
包含多个决策者所关心的目标。
目标函数之间可能存在冲突和矛盾，因此
需要找到一个平衡点，使得各个目标都能得到满意的结果。
1.目标函数的建立：多目标规划需要明确各个决策者所关心的目标，
并将其转化为数学模型的形式。
目标函数可以是线性的、非线性的，也可
以包含约束条件。
2.解集的定义：解集是指满足所有约束条件的解的集合。
在多目标规
划中，解集通常是一组解的集合，而不再是单个的最优解。
解集可以是有
限的或无限的，可以是离散的或连续的。
3.最优解的确定：多目标规划中的最优解不再是唯一的，而是一组解
的集合，称为非劣解集。
非劣解集是指在所有目标函数下都没有其他解比
其更好的解。
要确定最优解，需要考虑非劣解集中的解之间的关系，即解
集中的解是否有可比性。
4.解的评价：首先需要定义一种评价指标来比较不同解之间的优劣。
常用的方法有加权法、广义距离法、灰色关联法等。
评价指标的选择应该
能够反映出决策者对不同目标的重视程度。
5. Pareto最优解：对于一个多目标规划问题，如果存在一组解，使
得在任意一个目标函数下都没有其他解比其更好，那么这组解就被称为Pareto最优解。
Pareto最优解是解集中最为重要的解，决策者可以从中
选择出最佳的解。
6.决策者的偏好：在实际应用中，决策者对不同目标的偏好有时会发生变化。
因此，多目标规划需要考虑决策者的偏好信息，并根据偏好信息对解集进行调整和筛选。
多目标规划在解决实际问题中具有广泛的应用，尤其在决策支持系统领域发挥了重要作用。
它不仅能够提供一组有竞争力的解供决策者参考，还能够帮助决策者更好地理解问题的本质和各个目标之间的权衡关系。
多目标规划既可以应用于工程、经济、管理等领域的决策问题，也可以用于社会、环境等领域的问题求解。
总之，多目标规划通过将多个目标函数集成为一个数学模型，寻找一组最佳的解集，从而在多个目标之间实现平衡和协调。
通过对解集进行评价和选择，决策者可以根据自身的需求和偏好做出最终的决策。
多目标规划的原理和方法在实际应用中具有重要的指导意义，为决策问题的解决提供了一种更加全面和综合的视角。