多目标规划方法讲义
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多目标规划培训教材
多目标规划培训教材目录•什么是多目标规划•多目标规划的基本概念•多目标规划的解决方法•多目标规划在实际问题中的应用•多目标规划的案例分析•总结什么是多目标规划多目标规划是指在一个决策问题中同时考虑多个目标或者多个约束条件的一种优化方法。
通常情况下，单目标规划只需要优化一个目标函数，而多目标规划则需要优化多个同时存在的目标函数。
多目标规划非常适用于现实生活中的许多问题，比如企业决策、资源分配、物流运输等等。
因为在这些问题中，往往会涉及到多个冲突的目标或者限制条件。
多目标规划的基本概念在多目标规划中，有几个基本概念需要了解：1. 目标函数：多目标规划中的每个目标都可以表示为一个目标函数。
目标函数通常是需要最小化或最大化的某个指标，比如成本、利润等。
2. 约束条件：多目标规划中，可能存在多个约束条件，这些约束条件是决策问题的限制条件。
3. Pareto最优解：Pareto最优解是指在多目标规划中，无法再进行优化的解。
如果有两个解分别在某个目标上优于另一个解，而在另一个目标上又劣于另一个解，那么这两个解就是Pareto最优解。
4. Pareto前沿：Pareto前沿是指所有Pareto最优解组成的集合。
在Pareto前沿上的解都是没有劣势的，无法通过改进一个目标而不损害其他目标。
多目标规划的解决方法多目标规划的解决方法有多种，常见的有以下几种： 1. 加权和法：将多个目标函数加权求和，通过调整权重来找到最优解。
这种方法适用于目标函数之间不存在明显的权衡关系的情况。
2. 最小优先级法：按照优先级顺序逐个优化目标函数，直到找到满足所有约束条件的最优解。
这种方法适用于目标之间存在明显的优先级关系的情况。
3. 线性权衡法：将多目标规划问题转化为单目标规划问题，通过引入一个权衡参数来权衡多个目标函数。
这种方法适用于目标函数之间存在明显的权衡关系的情况。
4. 模糊规划法：将目标函数和约束条件转化为模糊的形式，通过模糊数学方法来求解多目标规划问题。
多目标规划教材(PPT 116张)
O
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
多目标规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* R ，如果对于 x R 均有 F x F x ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Rab ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n 1, p 2 时绝对最优解的示意图。
多目标规划问题的典型实例
再由约束条件，该厂每周的生产时间为 40h，故： x1 x2 x3 40 且需要满足能耗不得超过 20t 标准煤： 0.48x1 0.65x2 0.42 x3 20 上面是对生产过程的约束，再考虑销售过程，由于数据表中给出了三种产品每周 的最大销量，故我们必须限制生产数量小于最大销量才能使得成本最低，即满足下 述约束条件：
qA1 20x1 700; qA2 25x2 800; qA3 15x3 500
同时考虑到生产时间的非负性，总结得到该问题的数学模型为：
max min s.t.
f1 x 500 x1 400 x2 600 x3 f 2 x 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 x1 x2 x3 40 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 20 20 x1 700 25 x2 800 15 x3 500 x1 , x2 , x3 0
多目标规划的解集
直观理解
对单目标规划来说，给定任意两个可行解 x1 , x2 R ，通过比较它们的目标函数 值 f x1 , f x2 就可以确定哪个更优。 但对于多目标规划而言， 给定任意两个可行解
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
多目标规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* R ，如果对于 x R 均有 F x F x ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Rab ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n 1, p 2 时绝对最优解的示意图。
多目标规划问题的典型实例
再由约束条件，该厂每周的生产时间为 40h，故： x1 x2 x3 40 且需要满足能耗不得超过 20t 标准煤： 0.48x1 0.65x2 0.42 x3 20 上面是对生产过程的约束，再考虑销售过程，由于数据表中给出了三种产品每周 的最大销量，故我们必须限制生产数量小于最大销量才能使得成本最低，即满足下 述约束条件：
qA1 20x1 700; qA2 25x2 800; qA3 15x3 500
同时考虑到生产时间的非负性，总结得到该问题的数学模型为：
max min s.t.
f1 x 500 x1 400 x2 600 x3 f 2 x 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 x1 x2 x3 40 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 20 20 x1 700 25 x2 800 15 x3 500 x1 , x2 , x3 0
多目标规划的解集
直观理解
对单目标规划来说，给定任意两个可行解 x1 , x2 R ，通过比较它们的目标函数 值 f x1 , f x2 就可以确定哪个更优。 但对于多目标规划而言， 给定任意两个可行解
多目标规划方法讲义(PPT 76张)
s.t. ( X ) G
多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化 （最大或最小），而不顾其它目标。
对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下 的复合选择：
▲ 每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意 的解决？ ▲ 每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意 的解决 ？
非劣解可以用图1说明。
1( X ) 0 2( X ) 0 ( X ) ( X ) 0 m
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想 化的期望目标 fi* ( i=1,2,…,k ) , 每一个目标对应的权重系数为 i* ( i=1,2,…,k ) ， 再设 为一松弛因子。 那么，多目标规划问题就转化为：
T [ x , x , , x ] 式中： X 为决策变量向量。 1 2 n
缩写形式：
max(min) Z F ( X )
（1） （2）
s . t .
( X ) G
有n个决策变量，k个目标函数， m个约束方程，
则：
Z=F(X) 是k维函数向量， (X)是m维函数向量；
G是m维常数向量；
在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程 设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来 判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协 调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。
1896年法国经济学家 V. 帕雷托最早研究不可比较目标的优 化问题，之后，J.冯· 诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克、A.M. 日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全 令人满意的定义。
????minx21kifxfiii??????210mixi??????????????????????????????minmin21xfxfxfxfk???????????????????????????????????????????????????????????????00021??xxxxm??????16方法五目标规划模型目标规划法需要预先确定各个目标的期望值fi同时给每一个目标赋予一个优先因子和权系数假定有k个目标l个优先级lk目标规划模型的数学形式为
多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化 （最大或最小），而不顾其它目标。
对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下 的复合选择：
▲ 每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意 的解决？ ▲ 每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意 的解决 ？
非劣解可以用图1说明。
1( X ) 0 2( X ) 0 ( X ) ( X ) 0 m
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想 化的期望目标 fi* ( i=1,2,…,k ) , 每一个目标对应的权重系数为 i* ( i=1,2,…,k ) ， 再设 为一松弛因子。 那么，多目标规划问题就转化为：
T [ x , x , , x ] 式中： X 为决策变量向量。 1 2 n
缩写形式：
max(min) Z F ( X )
（1） （2）
s . t .
( X ) G
有n个决策变量，k个目标函数， m个约束方程，
则：
Z=F(X) 是k维函数向量， (X)是m维函数向量；
G是m维常数向量；
在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程 设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来 判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协 调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。
1896年法国经济学家 V. 帕雷托最早研究不可比较目标的优 化问题，之后，J.冯· 诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克、A.M. 日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全 令人满意的定义。
????minx21kifxfiii??????210mixi??????????????????????????????minmin21xfxfxfxfk???????????????????????????????????????????????????????????????00021??xxxxm??????16方法五目标规划模型目标规划法需要预先确定各个目标的期望值fi同时给每一个目标赋予一个优先因子和权系数假定有k个目标l个优先级lk目标规划模型的数学形式为
多目标规划(运筹学
环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
多目标规划课件
min U(F(X))
X∈R
然后求解该问题，并将其最优解X*作为(VP) 的最优解。 由于构造评价函数的多种多样，也就出现 了多种不同的评价函数方法。
处理多目标规划的一些方法
1. 线性加权和法 对 重 且(要 ∑V程λPj)=中度1，的给然p以个后适目构当标造的f评1权(X价系),函数f2数(λXj≥),0…(j,=f1p(,X2,)…按,p其),
挑选出满意的方案来。这时称BC上的点为
非劣解，或有效解。
多目标规划解的概念
对于一般的多目标规划问题：
(VP)
V-min F(X)=(f1(X), f2(X),…,fp(X))T
s.t. gi(X)≤0, i=1,2,…,m
其中X=(x1,x2,…,xn)T, p≥2
设R={X| gi(X)≤0, i=1,2,…,m}
多目标规划解的性质
类似地可证明：像集F(R)的有效点一
定是弱有效点，即
E
* pa
E w* p
通过在像集F(R)上寻找有效点（或弱 有效点），就可以确定约束集合R上 的有效解（或弱有效解）。对此，有 如下的定理。
多目标规划解的性质
定理4 在像集F(R)上，若Epa*已知，则在约 束集合R上，有
X∈R
p-1
其中Rp-1=Rp-2∩{X |fp-1(X)≤fp-1*}
处理多目标规划的一些方法
此时求得最优解X*，最优值为fp*，则 X*就是多目标问题(VP)在分层序列意 义下的最优解。进一步有下列定理。
定理6 设X*是由分层序列法所得到的 最优解，则X*∈Rpa*.
处理多目标规划的一些方法
(2)若fj(Y)= fj(X*), j=1,2,…,j0-1 但fj0(Y)<fj0(X*) 2≤j0≤p 此时必有fj(Y)= fj(X*)≤fj*, j=1,2,…,j0-1 因此，Y是问题 (Pj0) min fp(X) X∈Rj0-2∩{X |fj0-1(X)≤fj0-1*} 的可行解，又由
X∈R
然后求解该问题，并将其最优解X*作为(VP) 的最优解。 由于构造评价函数的多种多样，也就出现 了多种不同的评价函数方法。
处理多目标规划的一些方法
1. 线性加权和法 对 重 且(要 ∑V程λPj)=中度1，的给然p以个后适目构当标造的f评1权(X价系),函数f2数(λXj≥),0…(j,=f1p(,X2,)…按,p其),
挑选出满意的方案来。这时称BC上的点为
非劣解，或有效解。
多目标规划解的概念
对于一般的多目标规划问题：
(VP)
V-min F(X)=(f1(X), f2(X),…,fp(X))T
s.t. gi(X)≤0, i=1,2,…,m
其中X=(x1,x2,…,xn)T, p≥2
设R={X| gi(X)≤0, i=1,2,…,m}
多目标规划解的性质
类似地可证明：像集F(R)的有效点一
定是弱有效点，即
E
* pa
E w* p
通过在像集F(R)上寻找有效点（或弱 有效点），就可以确定约束集合R上 的有效解（或弱有效解）。对此，有 如下的定理。
多目标规划解的性质
定理4 在像集F(R)上，若Epa*已知，则在约 束集合R上，有
X∈R
p-1
其中Rp-1=Rp-2∩{X |fp-1(X)≤fp-1*}
处理多目标规划的一些方法
此时求得最优解X*，最优值为fp*，则 X*就是多目标问题(VP)在分层序列意 义下的最优解。进一步有下列定理。
定理6 设X*是由分层序列法所得到的 最优解，则X*∈Rpa*.
处理多目标规划的一些方法
(2)若fj(Y)= fj(X*), j=1,2,…,j0-1 但fj0(Y)<fj0(X*) 2≤j0≤p 此时必有fj(Y)= fj(X*)≤fj*, j=1,2,…,j0-1 因此，Y是问题 (Pj0) min fp(X) X∈Rj0-2∩{X |fj0-1(X)≤fj0-1*} 的可行解，又由
第6章多目标规划方法 共67页
理论依据 ：若规划问题的某一目标可以给出一个 可供选择的范围，则该目标就可以作为约束条件而 被排除出目标组，进入约束条件组中。
假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个 可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化 为单目标规划问题：
max Z (fm 1(x1,ix2n , ),xn)
i(x 1 ,x 2 , ,x n ) g i( i 1 ,2 , ,m )
本节主要内容：
目标规划模型 求解目标规划的单纯形方法
一、目标规划模型
（一）基本思想 ： 给定若干目标以及实现这些目标的优先
顺序，在有限的资源条件下，使总的偏离目标 值的偏差最小。
（二）目标规划的有关概念
例1：某一个企业利用某种原材料和现有设备 可生产甲、乙两种产品，其中，甲、乙两种 产品的单价分别为8元和10元；生产单位甲、 乙两种产品需要消耗的原材料分别为2个单位 和1个单位，需要占用的设备分别为1台时和2 台时；原材料拥有量为11个单位；可利用的 设备总台时为10台时。试问：如何确定其生 产方案？
min
f
2
(X
)
fk (X)
(
X
)
m12(((XXX)))
000
（6.2.21） （6.2.22）
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标 值理想化的期望目标 fi*(i1,2, ,k),每一个目标
对应的权重系数为 wi(i1,2, ,k)，再设 为一
这样，该企业生产方案的确定，便成为一个 多目标决策问题，这一问题可以运用目标规划方 法进行求解。
目
标
规
划
模
d
型
的
有
假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个 可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化 为单目标规划问题：
max Z (fm 1(x1,ix2n , ),xn)
i(x 1 ,x 2 , ,x n ) g i( i 1 ,2 , ,m )
本节主要内容：
目标规划模型 求解目标规划的单纯形方法
一、目标规划模型
（一）基本思想 ： 给定若干目标以及实现这些目标的优先
顺序，在有限的资源条件下，使总的偏离目标 值的偏差最小。
（二）目标规划的有关概念
例1：某一个企业利用某种原材料和现有设备 可生产甲、乙两种产品，其中，甲、乙两种 产品的单价分别为8元和10元；生产单位甲、 乙两种产品需要消耗的原材料分别为2个单位 和1个单位，需要占用的设备分别为1台时和2 台时；原材料拥有量为11个单位；可利用的 设备总台时为10台时。试问：如何确定其生 产方案？
min
f
2
(X
)
fk (X)
(
X
)
m12(((XXX)))
000
（6.2.21） （6.2.22）
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标 值理想化的期望目标 fi*(i1,2, ,k),每一个目标
对应的权重系数为 wi(i1,2, ,k)，再设 为一
这样，该企业生产方案的确定，便成为一个 多目标决策问题，这一问题可以运用目标规划方 法进行求解。
目
标
规
划
模
d
型
的
有
多目标优化方法讲义(PPT64张)
决策空间 可行域
目标空间 可行域
示例2
m i n( F X ) f ( Xf ) ,2 ( X ) 1
T
3 6 4 1 1 L 3 f ( X ) x ( ) 2 1 4 4 4 4 4 4 3 E Dx Dx Dx 2 2 61 2 1 2 9.78 10 x1 s.t. g1 ( X ) 180 0 7 4 4.096 10 x2
4
2 1 2
2 2
1
2 1
2 2
3 6 4 1 1 L 3 f ( X ) x (4 4 4 4 ) 4 4 2 1 3 E Dx Dx Dx 2 2 1 2 1 2
9.78 106 x1 s.t. g1 ( X ) 180 0 7 4 4.096 10 x2 g2 ( X ) 75.2 x2 0 g3 ( X ) x2 40 0 g4 ( X ) x1 0
(1) (1) (1)
(1)
( 2)
, fm ( X )
(1) (2)
T
F(X
(2)
) f1 ( X
(2)
), f2 ( X
(2)
),
, fm ( X ) , m) X (2)
T
若对于每一个分量，都有 fl ( X (1) ) fl ( X (1) ) (l 1, 2, 则显然，X (1)优于X (2)，记为X (1)
向量不等式的含义为
p p f ( X ) f ( X ) j 1 , 2 , , m , 但 至 少 有 一 个 f ( X ) f ( X ) j j l l
决策空间 非劣解集
第6章多目标规划方法精品PPT课件
如果将（6.1.1）和（6.1.2）式进一步缩
写， 即
max(m ZiF n(X ) )
（6.1.3）
(X)G
（6.1.4）
式中： ZF(X)是k维函数向量；
k是目标函数的个数；
Φ(X ) 等是m维函数向量；
G是m维常数向量；
m是约束方程的个数。
甘肃农业大学资源与环境学院
对 于 线 性 多 目 标 规 划 问 题 ， （ 6.1.3 ） 和 （6.1.4）式可以进一步用矩阵表示
尽可能的小，或即：
(x12x22)min
根据问题的要求，应满足下述约束条件：
x1 H
x1 x1
x2
x2
W
0
4
x
2
x1
0
x 1 0 , x 2 0
这是具有两个目标的非线性规划问题。
甘肃农业大学资源与环境学院
多目标规划及其非劣解
例3：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金A万元， 今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第i(i=1，2，……，n)个 项目要用资金ai万元，预计可得到收益bi万元。问应如何使 用总资金A万元，才能得到最佳的经济效益？
甘肃农业大学资源与环境学院
第1节 多目标规划及其非劣解
➢多目标规划及其非劣解 ➢多目标规划的非劣解
甘肃农业大学资源与环境学院
多目标规划及其非劣解
例1：【喜糖问题】设市场上有甲级糖及乙级糖，单价分别 为4元/斤及2元/斤。今要筹办一桩喜事。“筹备小组”计 划总花费不超过40元，糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不 少于5斤。问如何确定最佳的采购方案。
n
f1(x1，……，xn) bixi max i1 n
f2(x1，……，xn) aixi min i1
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图1 多目标规划的劣解与非劣解
在图1中，max(f1, f2) .就 方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目 标值 f1 比②小，因此无 法确定这两个方案的优 与劣。
在各个方案之间， 显然：④比①好，⑤比 ④好, ⑥比②好, ⑦比 ③好……。
而对于方案⑤、 ⑥、⑦之间则无法确 定优劣，而且又没有 比它们更好的其他方 案，所以它们就被称 为多目标规划问题的 非劣解或有效解， 其余方案都称为劣解。 所有非劣解构成的集 合称为非劣解集。
思想: 规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值 （或称满意值）； 通过比较实际值 fi 与期望值 fi* 之间的偏差来选择问题的 解，其数学表达式如下：
k
min Z i ( fi fi )2
i ( x1, x2,i1 , xn ) gi (i 1,2,, m)
或写成矩阵形式： min Z (F F )T A(F F )
一 多目标规划及其非劣解
多目标规划模型
（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成： （1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。
（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描 写为如下形式：
max(min)
f1
(
X
)
Z F ( X ) max(min) f2 ( X )
max(min) fk ( X )
当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目 标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能 寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。
二 多目标规划求解
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
✓ 效用最优化模型 ✓ 理想点模型 ✓ 约束模型 ✓ 目标达到法 ✓ 目标规划模型
例二、若在例一中提出下列要求： 1、完成或超额完成利润指标 50000元； 2、产品甲不超过 200件，产品乙不低于 250件； 3、现有钢材 3600吨必须用完。
试建立目标规划模型。
分析：题目有三个目标层次，包含四个目标值。
第一目标： P1d1
第二目标：有两个要求即甲
d 2，乙
d3，但两
个具有相同的优先因子，因此需要确定权系数。本题
3、线性规划中的约束条件是同等重要的，是硬约束； 而目标规划中有轻重缓急和主次之分，即有优先权。
4、线性规划的最优解是绝对意义下的最优，但需花 去大量的人力、物力、财力才能得到；实际过程中， 只要求得满意解，就能满足需要（或更能满足需要）。
目前，已经在经济计划、生产管理、经营管理、市场 分析、财务管理等方面得到了广泛的应用。
对于线性多目标规划问题，可以进一步用矩阵表示：
max(min)Z CX s.t. AX b
式中：
X 为n 维决策变量向量； C 为k×n 矩阵，即目标函数系数矩阵； A 为m×n 矩阵，即约束方程系数矩阵； b 为m 维的向量，即约束向量。
多目标规划的非劣解
max(min)Z F ( X )
例如：在例一中，规定Z1 的目标值为 50000,正、负
偏差为d＋、d－ ,则目标函数可以转换为目标约束，既
70 x1 + 120 x2＋ d1 d1＝50000，
同样，若规定 Z2＝200， Z3＝250 则有
x1
d
2
d
2
200
x2 d3 d3 250
d
j
,
d
j
0
( j 1.2.3)
s.t. ( X ) G
多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化 （最大或最小），而不顾其它目标。 对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下 的复合选择： ▲ 每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意 的解决？ ▲ 每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意 的解决 ？
非劣解可以用图1说明。
4 x2
d
4
d
4
3600
显然，这是一个多目标规划问题，用线性规划方法 很难找到最优解。
1、目标值和偏差变量
目标规划通过引入目标值和偏差变量，可以将目标函 数转化为目标约束。
目标值：是指预先给定的某个目标的一个期望值。
实现值或决策值：是指当决策变量xj 选定以后，目标
函数的对应值。 偏差变量（事先无法确定的未知数）：是指实现值和
4、优先因子（优先等级）与优先权系数
优先因子Pk 是将决策目标按其重要程度排序并表示 出来。P1>>P2>>…>>Pk>>Pk+1>>…>>PK ， k=1.2…K。
权系数ωk 区别具有相同优先因子的两个目标的差别， 决策者可视具体情况而定。
5、满意解（具有层次意义的解）
对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分 实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现， 有些可能就不能实现。
尽可能小，则minZ = f（d＋＋ d－）。
⑵.要求不超过目标值，即允许达不到目标值，也就是 正偏差变量尽可能小，则minZ = f（d＋）。
⑶.要求超过目标值，即超过量不限，但不低于目标值， 也就是负偏差变量尽可能小，则minZ = f（d－）。
对于由绝对约束转化而来的目标函数，也照上述处理即 可。
∴ d＋× d－ ＝0 成立。
2、目标约束和绝对约束
引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问题 有了新的限制，既目标约束。
目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约束起 作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。
绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式或 不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对 约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。
求解多目标规划的方法大体上有以下几种：
一种是化多为少的方法 ， 即把多目标化为比较容易求解 的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点 法等；
另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列， 每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到 求出共同的最优解。
对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形 法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家 沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目 标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据 的情况更为实用。
（二）、目标规划的基本概念
例一、某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两 种产品，已知资料如表所示。试制定生产计划，使获 得的利润最大？同时，根据市场预测，甲的销路不是 太好，应尽可能少生产；乙的销路较好，可以扩大生 产。试建立此问题的数学模型。
单位 产品 甲
资源 消耗
钢材
9
煤炭
4
设备台时 3
单件利润 70
min
F
(
x)
min
f2
(X
)
fk
(
X
)
1( X ) 0
(
X
)
2
(X
)
0
m ( X ) 0
min X ,
i(X) 0
(i 1,2,, m)
fi ( X ) i fi* , (i 1,2,, k)
目标规划
(Goal programming)
目标规划概述 目标规划的数学模型
乙 资源限制
4
3600
5
2000
10 3000
120
设：甲产品 x1 ，乙产品 x2
一般有：
同时：
maxZ=70 x1 + 120 x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
maxZ1=70 x1 + 120x2 minZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
1( X ) 0
(
X
)
2
(X
)
0
m ( X ) 0
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想
化的期望目标 fi* ( i=1,2,…,k ) ,
每一个目标对应的权重系数为 i* ( i=1,2,…,k ) ， 再设 为一松弛因子。
那么，多目标规划问题就转化为：
f1( X )
目标值之间的差异,记为 d 。 正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分，记为 d
＋。 负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部分，记为
d－。
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达 到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0
( X ) G
式中，i 是与第i个目标函数相关的权重； A是由 i (i=1,2,…,k )组成的m×m对角矩阵。
方法三 约束模型（极大极小法）
理论依据 ：若规划问题的某一目标可以给出一个可供选 择的范围，则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标 组，进入约束条件组中。
假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选 择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划 问题：
多目标规划方法
多目标规划是数学规划的一个分支。 研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。又称多 目标最优化。通常记为
MOP(multi-objective programming)。 在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程 设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来 判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协 调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。 1896年法国经济学家 V. 帕雷托最早研究不可比较目标的优 化问题，之后，J.冯·诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克、A.M. 日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全 令人满意的定义。
在图1中，max(f1, f2) .就 方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目 标值 f1 比②小，因此无 法确定这两个方案的优 与劣。
在各个方案之间， 显然：④比①好，⑤比 ④好, ⑥比②好, ⑦比 ③好……。
而对于方案⑤、 ⑥、⑦之间则无法确 定优劣，而且又没有 比它们更好的其他方 案，所以它们就被称 为多目标规划问题的 非劣解或有效解， 其余方案都称为劣解。 所有非劣解构成的集 合称为非劣解集。
思想: 规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值 （或称满意值）； 通过比较实际值 fi 与期望值 fi* 之间的偏差来选择问题的 解，其数学表达式如下：
k
min Z i ( fi fi )2
i ( x1, x2,i1 , xn ) gi (i 1,2,, m)
或写成矩阵形式： min Z (F F )T A(F F )
一 多目标规划及其非劣解
多目标规划模型
（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成： （1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。
（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描 写为如下形式：
max(min)
f1
(
X
)
Z F ( X ) max(min) f2 ( X )
max(min) fk ( X )
当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目 标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能 寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。
二 多目标规划求解
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
✓ 效用最优化模型 ✓ 理想点模型 ✓ 约束模型 ✓ 目标达到法 ✓ 目标规划模型
例二、若在例一中提出下列要求： 1、完成或超额完成利润指标 50000元； 2、产品甲不超过 200件，产品乙不低于 250件； 3、现有钢材 3600吨必须用完。
试建立目标规划模型。
分析：题目有三个目标层次，包含四个目标值。
第一目标： P1d1
第二目标：有两个要求即甲
d 2，乙
d3，但两
个具有相同的优先因子，因此需要确定权系数。本题
3、线性规划中的约束条件是同等重要的，是硬约束； 而目标规划中有轻重缓急和主次之分，即有优先权。
4、线性规划的最优解是绝对意义下的最优，但需花 去大量的人力、物力、财力才能得到；实际过程中， 只要求得满意解，就能满足需要（或更能满足需要）。
目前，已经在经济计划、生产管理、经营管理、市场 分析、财务管理等方面得到了广泛的应用。
对于线性多目标规划问题，可以进一步用矩阵表示：
max(min)Z CX s.t. AX b
式中：
X 为n 维决策变量向量； C 为k×n 矩阵，即目标函数系数矩阵； A 为m×n 矩阵，即约束方程系数矩阵； b 为m 维的向量，即约束向量。
多目标规划的非劣解
max(min)Z F ( X )
例如：在例一中，规定Z1 的目标值为 50000,正、负
偏差为d＋、d－ ,则目标函数可以转换为目标约束，既
70 x1 + 120 x2＋ d1 d1＝50000，
同样，若规定 Z2＝200， Z3＝250 则有
x1
d
2
d
2
200
x2 d3 d3 250
d
j
,
d
j
0
( j 1.2.3)
s.t. ( X ) G
多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化 （最大或最小），而不顾其它目标。 对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下 的复合选择： ▲ 每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意 的解决？ ▲ 每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意 的解决 ？
非劣解可以用图1说明。
4 x2
d
4
d
4
3600
显然，这是一个多目标规划问题，用线性规划方法 很难找到最优解。
1、目标值和偏差变量
目标规划通过引入目标值和偏差变量，可以将目标函 数转化为目标约束。
目标值：是指预先给定的某个目标的一个期望值。
实现值或决策值：是指当决策变量xj 选定以后，目标
函数的对应值。 偏差变量（事先无法确定的未知数）：是指实现值和
4、优先因子（优先等级）与优先权系数
优先因子Pk 是将决策目标按其重要程度排序并表示 出来。P1>>P2>>…>>Pk>>Pk+1>>…>>PK ， k=1.2…K。
权系数ωk 区别具有相同优先因子的两个目标的差别， 决策者可视具体情况而定。
5、满意解（具有层次意义的解）
对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分 实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现， 有些可能就不能实现。
尽可能小，则minZ = f（d＋＋ d－）。
⑵.要求不超过目标值，即允许达不到目标值，也就是 正偏差变量尽可能小，则minZ = f（d＋）。
⑶.要求超过目标值，即超过量不限，但不低于目标值， 也就是负偏差变量尽可能小，则minZ = f（d－）。
对于由绝对约束转化而来的目标函数，也照上述处理即 可。
∴ d＋× d－ ＝0 成立。
2、目标约束和绝对约束
引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问题 有了新的限制，既目标约束。
目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约束起 作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。
绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式或 不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对 约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。
求解多目标规划的方法大体上有以下几种：
一种是化多为少的方法 ， 即把多目标化为比较容易求解 的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点 法等；
另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列， 每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到 求出共同的最优解。
对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形 法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家 沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目 标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据 的情况更为实用。
（二）、目标规划的基本概念
例一、某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两 种产品，已知资料如表所示。试制定生产计划，使获 得的利润最大？同时，根据市场预测，甲的销路不是 太好，应尽可能少生产；乙的销路较好，可以扩大生 产。试建立此问题的数学模型。
单位 产品 甲
资源 消耗
钢材
9
煤炭
4
设备台时 3
单件利润 70
min
F
(
x)
min
f2
(X
)
fk
(
X
)
1( X ) 0
(
X
)
2
(X
)
0
m ( X ) 0
min X ,
i(X) 0
(i 1,2,, m)
fi ( X ) i fi* , (i 1,2,, k)
目标规划
(Goal programming)
目标规划概述 目标规划的数学模型
乙 资源限制
4
3600
5
2000
10 3000
120
设：甲产品 x1 ，乙产品 x2
一般有：
同时：
maxZ=70 x1 + 120 x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
maxZ1=70 x1 + 120x2 minZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
1( X ) 0
(
X
)
2
(X
)
0
m ( X ) 0
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想
化的期望目标 fi* ( i=1,2,…,k ) ,
每一个目标对应的权重系数为 i* ( i=1,2,…,k ) ， 再设 为一松弛因子。
那么，多目标规划问题就转化为：
f1( X )
目标值之间的差异,记为 d 。 正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分，记为 d
＋。 负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部分，记为
d－。
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达 到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0
( X ) G
式中，i 是与第i个目标函数相关的权重； A是由 i (i=1,2,…,k )组成的m×m对角矩阵。
方法三 约束模型（极大极小法）
理论依据 ：若规划问题的某一目标可以给出一个可供选 择的范围，则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标 组，进入约束条件组中。
假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选 择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划 问题：
多目标规划方法
多目标规划是数学规划的一个分支。 研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。又称多 目标最优化。通常记为
MOP(multi-objective programming)。 在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程 设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来 判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协 调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。 1896年法国经济学家 V. 帕雷托最早研究不可比较目标的优 化问题，之后，J.冯·诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克、A.M. 日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全 令人满意的定义。