第六章多目标规划方法
多目标规划求解方法介绍
0 0
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j0
0
S x f j ( x) f j
* j
^
S
^
j 1
, j 2,3,, p
三、功效系数法：
设目标为：f1 ( x), f 2 ( x),, f p ( x) f1 ( x),, f k ( x) 其中： 要求min； f k 1 ( x),, f p ( x) 要求max。 由于量纲问题，处理目标之间的关系时往往带来困难。 1. 功效系数法：针对各目标函数 ，用功效 f j ( x)( j 1,, p) 系数 表示（俗称“打分”）： d j d j ( f j ( x)) , j 1,, p 满足： d j 或 0 d j 1 0 d j 1 使最满意时 ，最不满意时（即最差时） 。 d j 1 dj 0 2. 常用的两种产生功效系数的方法： （1）线性型： min max min f ( x ) f , max f ( x ) f , j 1,2, , p j j j 设 xS j xS
解得：b0 f j1 ( f j0 f j1 ) , b1 1 ( f j0 f j1 ) (b1 0) 0 1 代入式(△)，得到功效系数： ( f1 j f j ( x )) ( f j f j ) d j e e 同理可得当
j 1,, k
时的功效系数：
j
j j
例6：
V min F ( x) f1 ( x), f 2 ( x)T s.t. g1 ( x) x1 x2 3 0 g 2 ( x) x1 x2 8 0 ( LVP ) g 3 ( x) x1 6 0 g 4 ( x ) x2 4 0 g 5 ( x) x1 0 g 6 ( x ) x2 0
目标规划
• 这种差异称为偏差变量（事先无法确定 的未知量） • 正偏差变量表示实现值超过目标值的部 分，记为d＋ • 负偏差变量表示实现值未达到目标值的 部分，记为d－
• 因为在一次决策 中，实现值不可 能既超过目标值， 同时又未达到目 标值，所以有d＋ ×d－ ＝0，并规 定d＋ >=0， d－ >=0
• P1：充分利用现有工时，必要时可以加班； • P2：A，B，C的最低产量分别为5，5，8台， 并依单位工时的利润比例确定权系数； • P3：生产线的加班时每月不超过20小时； • P4：A，B，C的月销售指标分别定为10，12， 10台，并依单位工时的利润比例确定权系数． 试建立其目标规划模型．
目标规划的特性
• 主观性 • 模糊性
当在实现规定的利润指标时，可能出现以下三种 情况之一： • 完成或超额完成规定的利润指标，则表示d＋ >0,d－=0； • 未完成规定的利润指标，则表示d＋ =0,d－>0； • 恰好完成利润指标，则表示d＋ =0,d－=0． 以上三种情况只能出现其中一种，故有 d＋ ×d－ ＝0
绝对约束与目标约束的相互转化
• 绝对约束化为目标约束已经讲了 • 那么，目标约束如何化为绝对约束呢？
2 x1 x2 d d 11 d 0
4
4
4
2 x1 x2 11
达成函数
• 满足目标约束和绝对约束的解，应如何 判别它的优劣呢？从决策者的要求来分 析，他总希望将来得到的结果与规定的 目标值之间的偏差愈小愈好，由此决策 者可根据自己的要求构造一个使总偏差 量为最小的目标函数，这种函数称为达 成函数，记为
目标规划中的差别
• 绝对的
– 优先因子
• 相对的
多目标规划
这是具有两个目标的非线性规划问题。
由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标
最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目 标中，有的是追求极大化，有的是追求极小化，而 极大化与极小化是可以相互转化的。因此，我们不 难将多目标最优化模型统一成一般形式：
决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1(x1，……，xn)
甲级糖数量最大。
那么这种先在第1优先层次极小化总花费， 然后在此基础上再在第2优先层次同等的极大化 糖的总数量和甲级糖的问题，就是所谓分层多目 标最优化问题。可将其目标函数表示为：
L-min{P1[f1(X)]，P2[f2(X)，f3(X)]} 其中P1，P2是优先层次的记号，L-min表示 按优先层次序进行极小化。 下面，我们来看一个建立分层多目标最优化 模型的例子
……………… minfp(x1，……，xn)
若记X= (x1，……，xn)，V-min表示对向量F(X)=[f1(X)， ……，fp(X)]T中的各目标函数f1(X)，……，fp(X)同等的进行 极小化。R={X|gi(X)≥0，i=1，……，m}表示约束集。
则模型一般式也可简记为
这里(VMP)为向量数学规划(Vector Mathematical Programming)的简写。
多目标决策方法是现代管理科学的重要内容，也是系统
分析的基本工具。按照决策变量是连续的还是离散的，多目 标决策可以分为多目标规划决策(Multiple Objective Decision Making)和多准则决策(Multiple Attribute Decision Making)两大类，前者是以数学规划的形式呈现的决策问题， 后者则是已知各个方案及它产生的结局向量，由此选择最优 方案的决策。
多目标规划的原理和
多目标规划的原理和多目标规划是一种优化方法，用于解决同时存在多个目标函数的问题。
与单目标规划不同，多目标规划的目标函数不再是单一的优化目标，而是包含多个决策者所关心的目标。
目标函数之间可能存在冲突和矛盾，因此需要找到一个平衡点，使得各个目标都能得到满意的结果。
1.目标函数的建立：多目标规划需要明确各个决策者所关心的目标，并将其转化为数学模型的形式。
目标函数可以是线性的、非线性的，也可以包含约束条件。
2.解集的定义：解集是指满足所有约束条件的解的集合。
在多目标规划中，解集通常是一组解的集合，而不再是单个的最优解。
解集可以是有限的或无限的，可以是离散的或连续的。
3.最优解的确定：多目标规划中的最优解不再是唯一的，而是一组解的集合，称为非劣解集。
非劣解集是指在所有目标函数下都没有其他解比其更好的解。
要确定最优解，需要考虑非劣解集中的解之间的关系，即解集中的解是否有可比性。
4.解的评价：首先需要定义一种评价指标来比较不同解之间的优劣。
常用的方法有加权法、广义距离法、灰色关联法等。
评价指标的选择应该能够反映出决策者对不同目标的重视程度。
5. Pareto最优解：对于一个多目标规划问题，如果存在一组解，使得在任意一个目标函数下都没有其他解比其更好，那么这组解就被称为Pareto最优解。
Pareto最优解是解集中最为重要的解，决策者可以从中选择出最佳的解。
6.决策者的偏好：在实际应用中，决策者对不同目标的偏好有时会发生变化。
因此，多目标规划需要考虑决策者的偏好信息，并根据偏好信息对解集进行调整和筛选。
多目标规划在解决实际问题中具有广泛的应用，尤其在决策支持系统领域发挥了重要作用。
它不仅能够提供一组有竞争力的解供决策者参考，还能够帮助决策者更好地理解问题的本质和各个目标之间的权衡关系。
多目标规划既可以应用于工程、经济、管理等领域的决策问题，也可以用于社会、环境等领域的问题求解。
总之，多目标规划通过将多个目标函数集成为一个数学模型，寻找一组最佳的解集，从而在多个目标之间实现平衡和协调。
第6章_多目标规划方法
d
目 标 规 划 模 型 的 有 关 概 念
为了建立目标规划数学模型，下面引入有关概念。 1.偏差变量 在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要 引入正、负偏差变量 d 、 d 。其中，正偏差变量表 示决策值超过目标值的部分，负偏差变量表示决策 值未达到目标值的部分。 因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到 目标值，故有 d 成立。 d 0
多目标规划应用实例
§6.1多目标规划及其非劣解
多目标规划及其非劣解
多目标规划求解技术简介
一、多目标规划及其非劣解
（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部 分组成： （1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。 （二）对于多目标规划问题，可以将其数学模 型一般地描写为如下形式：
max(min) f1 ( X ) Z F ( X ) max(min) f 2 ( X ) max(min) f k ( X )
( x , x , , x ) g ( i 1 , 2 , , m ) （6.2.19）
i 1 2 n i
f d d f i 1 , 2 , , K ) i i i i(
（6.2.20）
式中： d i 和
pl
lk
d i
分别表示与 f i 相应的、与 f i * 相比
的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量； 表示第l个优先级；
lk 表示在同一优先级 p l 中，不同目标的 、
正、负偏差变量的权系数。
五、目标达到法
首先将多目标规划模型化为如下标准形式：
f1 ( X ) minF(x) min f 2 ( X ) f ( X ) k
多目标规划(运筹学
环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
多目标规划方法的应用
题目二：多目标规划法的应用【摘要】多目标规划法是数学规划的一个分支，它也是运筹学中的一个重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的一种科学管理的数学方法，主要用于研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化，又称多目标最优化。
众所周知，如今日常的管理工作面对的不仅仅是单一的目标决策优化问题，或多或少都涉及几个或者许多目标决策优化的问题。
【关键字】`运筹学，多目标规划方法，目标决策优目标规划是线性规划的一种特殊应用，能够处理单个主目标与多个目标并存，以及多个主目标与多个次目标并存的问题。
众所周知，如今日常的管理工作面对的不仅仅是单一的目标决策优化问题，或多或少都涉及几个或者许多目标决策优化的问题。
企业管理中经常碰到多目标决策的问题，企业拟订生产计划时，不仅要考虑总产值，而且要考虑利润、产品质量和设备利用率等。
有些目标之间往往互相矛盾。
例如，企业利润可能同环境保护目标相矛盾。
如何统筹兼顾多种目标，选择合理方案，是十分复杂的问题。
应用目标规划可能较好的解决这类问题。
目标规划的应用范围很广，包括生产计划、投资计划、市场战略、人事管理、环境保护、土地利用等。
一、多目标规划法概述与其背景（一）多目标规划法的定义多目标规划法是数学规划的一个分支，它也是运筹学中的一个重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的一种科学管理的数学方法，主要用于研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化，又称多目标最优化。
（二）多目标规划标准型的特点与线性规划相比，多目标规划标准型的特点在于：1、偏差列向量。
Y−、Y+分别为负、正偏差列向量，各有m个元素（m是约束方程的个数）。
负偏差变量的经济含义为当实际值小于目标值时，实际值与目标值的偏差为负偏差，正偏差变量的经济含义与之恰恰相反。
2、价值系数行向量c。
c的元素最多不超过2m个，由目标优先权等级Pi 和目标优先权系数η组成，即c=(c1，c2，…，c2m），在多目标规划的目标函数中，出现的变量只能是偏差变量。
多目标规划模型很好ppt课件
1
例题1 某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品 都要消耗A，B，C三种不同的资源。每件产品对资源的单位 消耗、各种资源的限量以及各产品的单位价格、单位利润和 所造成的单位污染如下表。假定产品能全部销售出去，问每 期怎样安排生产，才能使利润和产值都最大，且造成的污染 最小？
甲
资源A单位消耗
max( f3 ( X )) 3x1 2x2
9x1 4x2 240 4x1 5x2 200 3x1 10x2 300 x1, x2 0
望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f2 (X ) 400x1 600x2 20000
f3 (X ) 3x1 2x2 90
由主要目标法化为单目标问题max f1( X ) 70x1 120x2
用单纯形法求得其最优解为
x1 12.5, x2 26.25, f1(x) 4025, f2 (x) 20750, f3 (x) 90
400x1 600x2 20000 3x1 2x2 90 9x1 4x2 240 4x1 5x2 200 3x1 10x2 300 x1, x2 0
aij
f1
f2
f3
f4
f5
f6
A1
1
1
67
50.5 34
50.5
A2
100
100
1
100
1
1
A3
1
42.25 100
1
67
100
A4
40.6 25.75 67
25.75 100
1
设权系数向量为W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3), 则
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这是具有两个目标的0－1规划问题。
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由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标最优化模 型的区别主要是目标多于一个。在这些目标中，有的是追求 极大化，有的是追求极小化，而极大化与极小化是可以相互 转化的。因此，我们不难将多目标最优化模型统一成一般形 式：
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如果将（6.1.1）和（6.1.2）式进一步缩
写， 即
max(min)Z F ( X )
（6.1.3）
(X ) G
（6.1.4）
式中： Z F(X ) 是k维函数向量；
k是目标函数的个数；
Φ(X ) 等是m维函数向量；
高为x1 ，宽为x2。
x2
为使具有一定长度的木梁重量最轻，应要求其横
截面面积x1x2为最小，即要求x1x2→min
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多目标规划及其非劣解
由于矩形横截面的木梁是由横截面为圆形的树干加工而成， 故其成本与树干横截面面积的大小 r2 (x1 / 2)2 (x2 / 2)2
成正比。由此，为使木梁的成本最低还应要求 (x12 x22 ) / 4
尽可能的小，或即：
(x12 x22 ) min
根据问题的要求，应满足下述约束条件：
x1 H
x1 x1
x2
x2
W
0
4x2 x1 0
x1 0, x2 0
这是具有两个目标的非线性规划问题。
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第1节 多目标规划及其非劣解
➢多目标规划及其非劣解 ➢多目标规划的非劣解
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多目标规划及其非劣解
例1：【喜糖问题】设市场上有甲级糖及乙级糖，单价分别 为4元/斤及2元/斤。今要筹办一桩喜事。“筹备小组”计 划总花费不超过40元，糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不 少于5斤。问如何确定最佳的采购方案。
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max(min)
f1
(
X
)
Z
F(X
)
max(min) f2 (
X
)
max(min) fk ( X )
（6.1.1）
1 ( X )
g1
(
X
)
2
(X
)
G
g2
m ( X )
gm
（6.1.2）
式中：X [x1, x2 ,, xn ]T ，为决策变量向量。
f1(x1,x2)=4x1+2x2 →min 如果要求糖的总数量最大，即要求：
f2 (x1, x2 ) x1 x2 max
如果要求甲级糖的数量最大，即要求：
f3 (x1, x2 ) x1 max
易见，这是具有3个目标的规划问题（由于约束及目标均为 线性函数，故它为多目标线性规划问题）。
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多目标最优化的思想萌芽于1776年经济学中的效用理论。1896 年，法国经济学家V·Pareto首先在经济理论的研究中提出了多 目标最优化问题。1951年，美国数理经济学家T·C·Koopans从 生产和分配的活动分析中考虑了多目标决策问题，并首次提 出了多目标最优化问题解的概念，将其命名为“Pareto 解”(即有效解)。同年，H·W·Kuhn和A·W·Tucker从数学规 划论角度首次提出向量极值问题及有关概念。进入20世纪70 年代，随着第一次国际多目标决策研讨会的召开及这方面专 著的问世，多目标决策问题的研究工作迅速、蓬勃地开展起 来，到目前为止，已取得若干有价值的研究成果。
多目标规划及其非劣解
例2：【木梁设计问题】把横截面为圆形的树干加工成
矩形横截面的木梁。为使木梁满足一定的规格和应 力及强度条件，要求木梁的高度不超过H，横截面的 惯性矩不少于给定值W，且横截面的高度要介于其 宽度和4倍宽度之间。
问应如何确定木梁尺寸，可使木
梁的重量最轻，并且成本最低。 x1 r
设所设计的木梁横截面的
我们先确定此问题应满足的条件（即约束条件）。不 难看出，当甲级糖数量为x1，乙级糖数量为x2时，有：
4x1 2x2 40
x1 x1
x2 5
10
x1 0, x2 0
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多目标规划及其非劣解
在研究以什么为“最佳”的衡量标准时，“筹备小组”的成 员们意见可能会发生分歧，其原因是他们会提出各种各样 的目标来。 如果要求总花费最小，即要求：
决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1(x1，……，xn)
……………… minfp(x1，……，xn)
g1(x1，……，xn ) 0
约束条件：
………………
gm
(
x1，……，xn
)
0
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任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成： (1)两个以上的目标函数； (2)若干个约束条件。 对于多目标规划问题，可以将其数学模型一 般地描i
A
xi (xi 1) 0
xi=0或1
i=1，2，……，n
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多目标规划及其非劣解
所谓“最佳的经济效益”，如果理解为“少花钱多办 事”，则变为两个目标的问题，即投资最少，收益最大：
n
f1(x1，……，xn ) bi xi max i 1 n
多目标规划及其非劣解
例3：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金A万元， 今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第i(i=1，2，……，n)个 项目要用资金ai万元，预计可得到收益bi万元。问应如何使 用总资金A万元，才能得到最佳的经济效益？
设xi
1 0
决定投资第i 个项目 决定不投资第i个项目
问题的约束条件为
第六章 多目标规划方法
multiple objective programming
同时考虑多个决策目标时， 称为多目标规划问题。
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本章主要内容
➢多目标规划及其非劣解 ➢多目标规划求解技术简介 ➢多目标规划方法 ➢多目标规划应用实例
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在地理学研究中，对于许多规划问题，常常需 要考虑多个目标，如经济效益目标、生态效益目标、 社会效益目标等等。为了满足这类问题研究之需要， 本章拟结合有关实例，对多目标规划方法及其在地 理学研究中的应用问题作一些简单地介绍。