15.多目标规划方法综述
数学毕业论文-浅谈多目标规划及解法
数学毕业论文-浅谈多目标规划及解法数学毕业论文-浅谈多目标规划及解法浅谈多目标规划及解法摘要：本文对多目标规划问题的解决方法进行了归纳和总结，并且进行了1定的评论。
基本方法有主要目标法、分层序列法；评价函数法，理想点法、线行加权和法、平方和权法；功效系数法。
特别地介绍了1种关于线性多目标规划求最优解的方法。
通过归纳和总结，熟知各解决方法的`特点，以便以后在实际中能够得到更好的应用。
并且给出了1种新的评价函数。
关键词: 多目标规划；解决方法；弱有效解；算法On multi-objective programming and Its SolutionAbstract: This article has carried on the induction and the summary to the multi-objective programming, and has carried on the certain commentary. The main method has the primary-object method，Lexicographic method，evaluation function methods，robustness estimate，linearity weighted sum method, involution weighted sum method efficiency coefficient method .Specially introduced one kind of method of optimal solution about muti-objective linear programming. Through the induction and the summary, knows very well each solution the characteristic, in order to later in will be actual can obtain a better application. And has produced one kind of new evaluation function.Keywords： multi-objective programming; solution; weak efficient solution; algorithm 目录中文题目 (1)中文摘要和关键词 (1)英文题目 (1)英文摘要和关键词 (1)前言 (2)正文 (3)1 有关多目标规划的基本概念 (3)1.1 标准形式 (3)1.2 多目标规划的解 (4)2 基本方法 (4)2.1主要目标法 (5)2.2 分层序列法 (5)2.2.1不容许宽容 (5)2.2.2允许宽容 (6)2.3评估函数 (7)2.3.1理想点法 (7)2.3.2线性加权和法 (8)2.3.3平方加权法 (8)2.4功效系数法 (8)2.4.1直线法 (9)2.4.2指数法 (10)2.5 线行多目标规划最优解求法 (10)2.5.1(LVP)弱有效解的解集性质与求解方法 (10)2.5.2 决策者满意解的确定方法 (15)2.5.3 算法步骤 (15)2.6确定权数法 (16)2.7新的评价函数 (17)3 结束语 (17)参考文献 (18)致谢 (20)【包括：毕业论文、开题报告、任务书】【说明：论文中有些数学符号是编辑器编辑而成，网页上无法显示或者显示格式错误，给您带来不便请谅解。
自然资源管理决策中的多目标规划技术
自然资源管理决策中的多目标规划技术自然资源管理涉及到的问题种类繁多，包括生物多样性、土地利用、气候变化、水资源、大气污染、土壤侵蚀等等。
同时，各种资源管理目标之间也有着相互影响和冲突。
例如，为了保护生物多样性，可能需要增加森林覆盖率，这又会影响到土地利用和水资源管理。
因此，多目标规划技术在自然资源管理中得到了广泛的应用。
多目标规划技术是指在考虑多个目标和决策者的偏好的情况下，寻求一个最佳解的技术。
这个最佳解并不是针对单一的目标进行优化的解，而是在多个目标之间取得一定平衡的解。
例如，如果我们在考虑生物多样性、土地利用和水资源的时候，发现生物多样性优化的解与土地利用优化的解存在冲突，那么多目标规划技术可以帮助我们找到一个在生物多样性和土地利用之间取得平衡的解。
多目标规划技术包括多目标线性规划、多目标整数规划、多目标二次规划、多目标非线性规划等等。
其中，多目标线性规划是最为简单、最为常见的一种技术。
在多目标线性规划中，所有的目标都是线性的，决策变量也是连续的。
因此，多目标线性规划也是应用最广泛的一种技术。
多目标线性规划的求解过程需要借助优化算法。
最为常见的优化算法是支配排序遗传算法。
在支配排序遗传算法中，首先需要产生一组初始解，然后通过评估每一个解在多个目标下的表现，逐步筛选出表现更优的解，直到找到最优解为止。
由于支配排序遗传算法不需要提前知道目标函数的形式以及搜索空间的局限性，因此在多目标规划中具有比较好的鲁棒性和适应性。
多目标规划技术在自然资源管理中的应用可以追溯到上世纪80年代。
近年来，由于环境保护和自然资源管理的需求越来越迫切，多目标规划技术得到了更为广泛的应用。
例如，多目标规划被应用于淡水资源保护、森林资源管理、生态旅游规划、土地利用规划等等领域。
在满足多个目标的条件下，多目标规划技术可以帮助决策者权衡利弊，做出更为理性和科学的决策。
在实际应用中，多目标规划技术也存在一些困难和挑战。
其中最为重要的问题是目标之间的权重选择。
多目标规划(1)
4、多目标规划优先级的概念
3、不同级别的目标的重要性是不可比的。即较高 级别的目标没有达到的损失，任何较低级别的目 标上的收获都不可弥补。
4、在判断最优方案时，首先从较高级别的目标达 到的程度来决策，然后再其次级目标的判断。 5、同一级别的目标可以是多个。各自之间的重要 程度可用数量（权数）来描述。因此，同一级别 的目标的其中一个的损失，可用其余目标的适当 收获来弥补。
目标：（1）利润达到280百元； （2）钢材不超过100吨，工时不超过120小时；
讨论：上述方案都达到了目标（1），但是没有达到目标（2） 方案1与目标（2）的差距： 工时损失=（100-100）*5+（200-120）*1=80 方案2与目标（2）的差距： 工时损失=（210-100）*5+（140-120）*1=570 方案3与目标（2）的差距： 工时损失=（100-100）*5+（184-120）*1=64 方案4与目标（2）的差距： 工时损失=（0）*5+（186-120）*1=66 方案排序：方案3> 方案4 > 方案1> 方案2
• 例1：一个企业需要同一种原材料生产甲乙 两种产品，它们的单位产品所需要的原材 料的数量及所耗费的加工时间各不相同， 从而获得的利润也不相同（如下表）。那 么，该企业应如何安排生产计划，才能使 获得的利润达到最大？
ú ² Ê ´ ² Æ /³ Ô Ä Ï · Ô ² Á Ö ¨Ö © £ ¶ £
目标规划模型有关的概念
• 3.优先因子(优先等级)与权系数
– 一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到这些 目标时，会有主次或轻重缓急的不同。例如，要求第一位 达到的目标赋予优先因子P1，次位的目标赋予优先因子 P2，…，并规定
多目标规划
V (VP) V min F ( x) min F ( x) 或(VP) g ( x)0 xR
T R { x | g ( x ) 0 }, g ( x ) ( g ( x ), g ( x ), , g ( x )) . 其中, 1 2 m
主要特点:
（1）多目标数学规划中,评价一个可行解的好坏是由
p个目标所决定的,即用一个向量F(X)来比较好坏,但 是对于两个可行解,谁好谁坏有时不能比较出来.
Hale Waihona Puke 设置显示参数：显示每次迭代的输出 options=optimset('Display','iter'); 调用fgoalattain函数： [x,favl,attainfactor,exitflag] =fgoalattain(@ff12,x0,goal,weight,A,b, [],[],lb,[],[],options) 运行后，输出结果为：
x= 5 4 favl = 29700 -44000 attainfactor = -0.0100 exitflag = 4
例：（投资问题）某企业拟用1000万元投资A、 B两项目的技术改造.设x1，x2分别表示分配 给A、B项目的投资（万元）.据估计，投资 项目A、B的年收益分别为投资的60%和70%； 投资风险损失，与总投资和单项投资的关系 为：0.001x12+0.002x22+0.001x1x2.根据市 场调查显示，A项目的投资前景好于B项目， 因此希望A项目的投资不小于B项目，试问应 该如何在A、B两个项目之间分配投资，才能 既使年利润最大，又使风险损失为最小。
多目标规划求解方法介绍
min f k ( x) ( Pt j )s.t. gi ( x) 0, i 1,2,, m f j ( x) f jt j 0, j 1,, k 1, k 1,, p
) 各目标函数 f ( j k ) 可对应不同的 t (t 0,1,, r 1（共 有 r p 1 个约束问题）。求解后可得到(VP)的一有 效解集合，是(VP)有效解集合的一个子集。
x ( 0) S
f j0 f j ( x(0) ), j 2,3,, p
2. 算法一般步骤： 考虑上述(VP)问题，
min f1 ( x) ( P)s.t. g i ( x) 0, i 1,2,, m ( 0) f ( x ) f ( x ), j 2,3,, p j j
S x gi ( x) 0, i 1,, m
无妨设 f ( x)为主要目标，对其它各目标 f ( x),, f 给定一个期望值，不妨记为 f , f ,, f ， 则有 f min f ( x), j 2,3,, p 求解下列问题： min f ( x)
1
2
p
( x)
j
j j
例6：
V min F ( x) f1 ( x), f 2 ( x)T s.t. g1 ( x) x1 x2 3 0 g 2 ( x) x1 x2 8 0 ( LVP ) g 3 ( x) x1 6 0 g 4 ( x ) x2 4 0 g 5 ( x) x1 0 g 6 ( x ) x2 0
第五讲_多目标规划模型
s .t . g i ( X ) 0 hj(X ) 0
例如，在上述多目标问题中，假定f1(X)为主要目标，其余p-1 个为非主要目标。这时，希望主要目标达到极大值，并要求 其余的目标满足一定的条件，即 max f 1 ( X )
g i ( X ) 0 , i 1, 2 ,..., n s .t . h j ( X ) 0 , j 1, 2 ,..., m f k ( X ) k , k 1, 2 ,..., p 1
6
j
U * max U U ( X 3 ) 57 . 925
3、分层序列法：
f ( x ), , f ( x 按其重 ) 1.基本步骤：把(VP)中的p个目标 要程度排序。依次求单目标规划的最优解。 2. 过程：无妨设其次序为 f , f , , f 先求解 min f ( x ) ( P ) s .t . x S 得最优值 f 1* ，记 S x f ( x ) f S 再解 min f ( x ) ( P ) 得最优值 f ，S x f ( x ) f S s .t . x S 依次进行，直到 * min f ( x ) fp 得最优值 (P )
f2
1 2
5 3
4
6
7 8 f
二、模型结构
在多目标决策问题中，目标有多层次的含义。从最高层次 来看，目标代表了问题要达到的总目标。如确定最满意的 投资项目、选择最满意的食品。从较低层次来看，目标可 看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标，如投资项 目的盈利要大、成本要低、风险要小；目标也可看成衡量 总目标得以实现的各个准则，如食品的味道要好，质量要 好，花费要少。 多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为多目 标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决 策中，有些问题的方案是有限的，有些问题 的方案是无限 的。方案有其特征或特性，称之为属性。
多目标规划_0526
多目标规划的象集
考虑多目标规划问题：
V-min F x (8-3) s.t. g x 0 ( i 1, 2,..., m ) i
则其可行域为： 则根据上述模型， 我们任意给定一个可行解 x R ， 则其对应的目标函数值 F x 是一个 p 维的向量。即有 x R Rn ， F x [ f1 x
1
需添加对 x 的非负约束即可。
2
综合以上分析，得到最优化数学模型如下：
min f1 x 2 x1 1.5 x2 max f 2 x x1 x2 x1 x2 120 2 x1 1.5 x2 300 x1 60 x2 0
评价函数法求解多目标规划问题时还有一种常见的方法就是评价函数法其基本思想就是将多目标规划问题转化为一个单目标规划问题来求解而且该单目标规划问题的目标函数是用多目标问题的各个目标函数构造出来的称为评价函数例如若原多目标规划问题的目标函数为作为多目标规划问题的最优解正是由于可以用不同的方法来构造评价函数因此有各种不同的评价函数方法下面介绍几种常用的方法
* 有效解的集合 Re a, b
*
设 x* R ，如果不存在 x R 使得 F x F x 成立，则称 x 为多目标规划问题的
*
*
弱有效解。多目标规划问题的弱有效解的全体记作 Rwe ，弱有效解的含义是：在所有 的可行解中找不到比它严格好的可行解。当 n 1, p 2 时弱有效解的直观几何意义
多目标规划问题的发展
多目标规划法（Goal Programming，简称GP）也是最优化理论和方法中的一个 重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的一 种数学方法。其概念和数学模型是由A.Charnes和W.W.Cooper在1961年提出的， 经过Ijiri,Sang.M.Lee等人的改进，并逐步发展和成熟，它在经济管理与规划、 人力资源管理、政府管理、大型工程的最优化等重要问题上都有广泛的应用。
多目标规划
指标往往相互矛盾（诸如资源可供 量与利润，利润与污染程度等）， 使得多目标规划问题往往没有线性 规划意义下的最优解，只能给出统 筹兼顾各方面要求的一个满意解。
在上例中，如果利润指标与污染指标的重 要程度不同，比如：利润指标比污染指标 重要10 倍， 那么，目标函数就将写成min(10 + ) 如果利润指标和污染指标的重要程度是不 能通过数值来比较的，比如我们要求在尽 量降低污染指标的前提下去追求最大利润， 则目标函数可以形式化地写成min(k1 +k2 )。式中的k1k2,不代表具体的数值， k1＞＞＞k2，表示远远地大于k2。
多目标规划的特点是：引人正、负偏差变 量, 以及优先因子和权系数∀正偏差变量d+ 表示考察变量值超过目标值的部分;而负偏 差变量d-则表示考察变量值少于目标值的 部分,并且d+ ·d-恒等于0。 并且规划问题常常有多个考察目标, 而达到 这些目标的优先次序又有所不同, 用P 表示 优先程度, 且P >P (i= 1 , 2 ,…,n)。当同一 优先级有多个考察目标时, 以权系数区别不 同目标之间的差别。
应用领域
多目标规划在资源分配、计划编制、生产调 度等方面有一定的应用。
通过建立多目标规划模型，可以 解决供应商的选择问题（1、分析各供应商评价
标准的优先次序；2、建立多目标规划模型）
优化供应链的绩效 开发供应链的渠道 拓展市场需求 ……
多目标规划的研究趋势
( 1) 长期以来, 多目标规划的算法一直受到特 别重视, 目前尚未出现可以用来解决所有多目 标规划问题的统一算法, 算法及其收敛性的研 究将是一个长期的研究方向。
存在，当约束方程中有矛盾方程时， 线性规划问题就无可行解，为了防止 出现这种现象，可以设想将约束“放 松” 引入偏差变量的概念： 正偏差 是超出现有资源的部分， 负偏差 是现有资源使用后剩余部分。
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的解，因此对许多实际问题常常非常适用。
2.1.2 线性加权和法
线性加权和法基本思想是：决策者和分析者事先交换意
见，根据 p 个多目标
的重要程度不同，分别
乘以一组权系数
，然后相加作为目标函数，这样
构成单目标规划问题。即
2.1.3 目标规划法 目标规划法的基本思想：首先考虑最优先的达到函数，并 且忽略其他达到函数，求最小，然后再考虑下一个优先级的达 到函数，把先前优先级中的达到函数已达到的最小值作为该 达到函数的上限，并且作为一个约束条件，对下一个优先级的 达到函数求最小，以此类推。 2.1.4 极大极小法 极大极小法的基本思想是：对于极小化的多目标规划，让 其中最大的目标函数值尽可能地小，因此，对每个 ，我们 先求所有目标函数值的最大值 ，然后再找到这些最大值 中的最小值。从而构造单目标规划：
对于多目标规划：先假设源自目标函数相应的一组目标值理想化向量
，
再设 y 为一松弛因子标量。设 向量。
这样多目标规划问题化为：
为权值系数
2.3.2 字典序法 对目标的重要性进行排序，依次求解各单目标规划（前一 个目标的最优解不唯一，其结果作为下一个目标的约束），到 有唯一解时结束。 2.4 其他方法 对于多目标规划问题除了以上这些方法以外，还可以适 当修正单纯形法来求解，还有一种方法称为层次分析法，是由 美国运筹学家沙旦于 70 年代提出的，它是一种定性与定量相 结合的多目标决策与分析的方法，对于目标结构复杂并且缺 乏必要的数据的情况尤为适用。 3 多目标规划几种建模方法 3.1 效用最优化模型 效用最优化模型建立的依据是根据某一种假设：多目标 规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运 算。这种方法可以将一系列的目标函数与效用函数建立相关 关系，各目标函数之间通过效用函数协调，从而使多目标规划 问题转化为传统的单目标规划问题。 3.2 罚款模型 如果对每一个目标函数，规划决策者都能提出一个所期 望的值。 3.3 目标规划模型 目标规划模型与罚款模型相似，它也需要预先确定各个 目标的期望值，采用矩阵形式表示。 3.4 约束模型 约束模型的理论依据是：如果多目标规划问题的某一目 标能够给出一个可供选择的范围，则该目标函数就可以作为 约束条件而被剔除出目标组，从而进入约束条件组中。如果， 除了第一个目标函数外，其余目标函数都可以提出一个可供 选择的范围，则按上述思路，该多目标规划问题就可以转化为 单目标规划问题。 4 多目标规划方法应用的意义 多目标规划问题虽然已经在管理、经济中占有很重要的 地位，但至今有很多理论问题仍在探讨之中，应用范围远不如 线性规划广泛。但是，多目标规划作为一种决策方法，它的应 用前景还是很乐观的。企业决策者掌握和运用该方法将有助 于提高决策水平和管理水平，我们应该对多目标规划法更加 重视，使其理论层次更上一层楼，并且与实际情况紧密地结合 在一起，从而才能不断地发挥多目标规划的重要作用。 参考文献： [1] 陈珽. 多目标决策方法 （上）. 系统工程理论与实践， 1985；5(2)：54-64 [2]张天学.一种多目标规划的综合优化方法.系统工程理 论与实践,1986；6(3)：78-80 [3]树钟云，多目标最优化基础.江西大学数学系.1985.2. [4]董加礼援多目标规划.吉林工业大学应用数学系援1986.8 [5]胡毓达.实用多目标最优化.上海科技出版社.1990.5援 [6]Lin援J援G.,MaximaI Vectors and Multi—0bjective 0ptlmization， Journal of 0ptimization Theory and Applica原 tions, Vo1援18，No援1，January，1976援 作者简介：高莹莹（1982原）女，长春市人，职称：讲师，研 究方向：应用数学。
划的概念和多目标规划问题。自 70 年代以来，有很多数学学
家做了更深入的探讨与研究，多目标规划的研究越来越受到
人们的广泛重视。至今，在理论上多目标规划仍处于发展阶
段。
2 多目标规划的几种求解方法
2.1 在优化之前，决策者的偏好信息已经确定
2.1.1 主要目标法
主要目标法的基本思想是：在多目标规划问题中，根据实
际问题的情况，确定一个目标为主要目标，而把其余的目标作
为次要目标，并且根决策者的经验，选取适合的界限值。从而
就可以把次要目标作为约束来处理，这样就将原来的多目标
规划问题转化为一个在新的约束条件下，求主要目标的单目
标最优化问题。
主要目标法非常简单并且绝大多数都是可行的，它可以
保证在次要目标允许取值的条件下，求出主要目标尽可能好
2.2 在优化之后，决策者的偏好结构信息再确定
2.2.1 改变权系数法
基本思想是：根据 p 个多目标
的重要程
度不同，分别乘以一组权系数
，然后相加作为
目标函数，而构成单目标规划问题。即
2.2.2 自适应法 先对每个目标函数分别求解，利用迭代公式产生新解，并 检验。这样重复许多次之后，比较这些候选解的非劣性，优胜 劣汰。 2.3 在优化过程中，决策者的偏好结构信息逐步给出 2.3.1 目标达到法
理化空间
多目标规划方法综述
高莹莹
长春工业大学 吉林 长春 130000
摘要：本文主要介绍了多目标规划的思想以及多目标规 划的一些常见求解方法。最后提出了多目标规划几种建模方 法，以及多目标规划方法应用的意义。
关键词：多目标 规划 模型 决策者
1 多目标规划的介绍
多目标规划方法是数学规划的一个分支，也是运筹学中
159
非常重要的一个分支，它是以线性规划为基础，为了解决多目
标决策问题，出现的一种科学管理的数学方法，主要应用于研
究多于一个目标函数并在给定区域上的最优化问题，即又称
多目标最优化。
1896 年法国经济学家 V.Pareto 最早研究多目标优化问
题，他从政治学、经济学的角度考虑把本质上是不可能比较的
多个目标化成单个目标的最优化问题，从而涉及了多目标规