极大极小法
高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值
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x
定义 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义， 如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 y f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)) 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（极小值） 函数的极大值与极小值统称为函数的极值， 使函数取得极值的点称为极值点 注 极值是一个局部的概念
海岸位于A点南侧40km，是一条东西走向的笔直长堤. 演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇 到达海岛B. 已知陆上行军速度为每小时36km，舰艇速度为
每小时12km.问演习部队在海堤的何处乘舰艇才能使登岛用 y 时最少？ 分析 陆上行军耗时 o 海上行军耗时 A
(0,40)
？ R(x,0) B
x
(140,-60)
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
例4 从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去 边长为x的四个小正方形，折转四边，作一 个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？
例5 某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为 R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元 （其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能 立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货 量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用 最小？ q(t) Q o T C C0
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定义 设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I,使得对于区间I内 的任一x，有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)为函数f(x) 在区间I上的最大值(或最小值).
投资组合选择极大极小模型的方程组法
投资组合选择极大极小模型 的方程组法
引、 杰 （ 海理工大学 世 上 管理学院）
摘要： 以极大极小投资组合选择原理 ， 建立 了完美市场下的一种新 的极 用 文 献【】 【】 ２和 ３中的 Ｋ Ｔ最 优性 条件 ， （ ） 可 转化 为 ｛ Ｐ 问题 大极小投资组合选择模型。着重讨论了极大极小模型 的方程组法， 利用非光
ｓ 一 Ｘ ＋ ｔａ ∑ ∑ ［ｘ ｍ Ｅ （ ＂ ｔ
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非线性互补问题
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０ 引 言
Ｍａｋｗｉ ｒｏ ｔ １ ５ ｚ于 ９ ２年发表 了著名 的论文 “ ｏｔｏｏ Ｓ ｌ — Ｐ ｒ ｌ ｅｅ ｆｉ ｃ ｔ ｎ， ｉ ” ｏ 标志着华尔街第一次数学 革命的开始． 该论文创立的均值 一方 差证券组合投资模 型， 了现代投资理论 的基础 ， 奠定 该模型是用均值 来度量投资组合 的收益， 方差来度量风 险， 用 前提是假设资产 的收 益符合正态分布。然而 ， 资产的实际收益并 不一定符合正态分布 ， 投 资者对风险的理解也不同 ，有些人认为收益的不确定性就是风险 ， 也有人认为只有当未来的收益低于预期收益时 才存在风险 ， 因此人
函数的极值与最大值最小值
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
求极值的三种方法
求极值的三种方法一、直接法。
先判断函数的单调性，若函数在定义域内为单调函数，则最大值为极大值，最小值为极小值二、导数法（1）、求导数f'(x)；（2）、求方程f'(x)=0的根；（3）、检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。
举例如下图：该函数在f'(x)大于0，f'(x)小于0，在f'(x)=0时，取极大值。
同理f'(x)小于0，f'(x)大于0时，在f'(x)=0时取极小值。
扩展资料：寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。
如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。
此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。
因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。
1、求极大极小值步骤：求导数f'(x)；求方程f'(x)=0的根；检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。
f'(x)无意义的点也要讨论。
即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。
2、求极值点步骤：求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。
上述所有点的集合即为极值点集合。
扩展资料：定义：若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。
摩擦市场投资组合选择的极大极小方法
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ．Ａ ｅ ｐ ｒｆｌ ｅｅ ｔ ｎｍｏ ｅ ｉ ｐ ｏ ｏ ｅ ｎ ｔ ｅｂ ｓ ｆａｎ ｗ ｒｆｌ ｅｅ ｔ ｎｔ ｅ ｒ ， ｎ ｗ ｏ ｔｏｉ ｓｌｃｉ ｄ ｌ ｓ ｒ ｐ ｓｄｏ ｈ ａ ｉ ｏ ｅ ｐ ｔｏｉ ｓｌｃｉ ｈ ｏ ｙ ｏ ｏ ｓ ｏ ｏ ｏ
Ｋｅ ｏｄ ： ｓｓ ｍ ｐｒ ｓｗ？ｎ ｅ ｔｏ ｙ ｙ ｗ ｒ ｓ ｙｔ ．ｏ ｔ ａ ｉ ｅ ｍｉ ｏ ｏｔ ｌ ｅ ｃｉ ｆ ｏ ｌ ｏ ｎｍａ ｒｂｅ Ｙ ｃ ｔｒ ｎｒｐ ； ｔ ｉ￣ ａ
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Ｚ Ｑａ－ｕ Ｇ Ｏ Ｙ ｎ ｉ ｙ ． Ａ ａ ｎ
（ ｏｌ ｅ ｆＭａ ａ ｅ ｅ ｔ ｎｖｒｉ ｈ ｎ ｈ ｉ ｏ Ｓｉ ｃ ｎ ｅ ｎｌ ｙ ｔ ｎｈ ｉ ０ ０ ３，Ｃｚ ａ Ｃ ｌ ｇ ｅ ｏ ｎｇｍ ｎ ，Ｕ ｉｅｓｙｏ ａ ｇａ ｆ ｒ ｃ ｎｅ ｄＴ ｃ ｏ ｇ ，Ｓ￣ ｇａ ２ ０ ９ ｔ ｆＳ ｅ ａ ｈ ｏ ｚ ｌｎ ） ｉ
尽管如此 ， 出新 的更加有 效的模 型仍 然是 一个 提
即构成投资组合 ． 现代投资组合理论是 １９ 年 由诺 ９０
贝尔经济学奖得主马柯维茨（ ｒｏ ｉ ） ２ 世纪 Ｍａｋｗ ｔ 于 ０ ｚ ５ 年代创 立的 ， 由他发 表 的“ 资组合 的选择 ” ０ 即 投 （ｏｔ ｌ ｅ ｃｏ ） Ｐ ｒｏ ｏ ｌ ｔ ｎ 论文奠定 了现代投资组合理论 ｆｉＳ ｅ ｉ 基础． 自从这一投资组合选择的均值一 方差理论被创
文章编号 ：０ ７ ７ ５ ２ ０ ） １ ０ ７ ４ １０ —６ ３ （０ ６ ０ —０ ２ —０
摩 擦 市 场 投 资 组 合选 择 的极 大极 小 方 法
张乾 宇， 高 岩
机械优化设计PPT
二、离散变量优化的主要方法及其特点、思路和步骤
表7-3 离散变量优化的主要方法及其特点和步骤
图7-8 两个目标函数的等值线和约束边界
三、协调曲线法
图7-9 协调曲线
四、分层序列法及宽容分层序列法
四、分层序列法及宽容分层序列法
采用分层序列法，在求解过程中可能会出现中断现象，使求解过程 无法继续进行下去。当求解到第k个目标函数的最优解是惟一时， 则再往后求第(k+1)，(k+2)，…，l个目标函数的解就完全没有意义 了。这时可供选用的设计方案只是这一个，而它仅仅是由第一个至 第k个目标函数通过分层序列求得的，没有把第k个以后的目标函数 考虑进去。尤其是当求得的第一个目标函数的最优解是唯一时，则 更失去了多目标优化的意义了。为此引入“宽容分层序列法”。这 种方法就是对各目标函数的最优值放宽要求，可以事先对各目标函 数的最优值取给定的宽容量，即ε1>0，ε2>0，…。这样，在求后一 个目标函数的最优值时，对前一目标函数不严格限制在最优解内， 而是在前一些目标函数最优值附近的某一范围内进行优化，因而避 免了计算过程的中断。
5.组合型算法终止准则
6.组合型算法的辅助功能
(1) 直线加速与二次曲线加速 当目标函数严重非线性时，即若
函数具有尖峰脊线，即存在“谷”时，则希望能沿着脊线方向进 行搜索，可迅速提高算法的寻优效率，该算法称为具有脊线加速 能力。 (2) 网格搜索法技术 将离散空间视为一网格空间，每个离散点 就是一个网格节点。 (3) 变量分解策略 将目标函数中的变量分成若干个子集合，若
离散复合形，重新进行调优搜索，直到前后两次离散复合形运算
的优化点重合，算法才最终结束。
6.组合型算法的辅助功能
图7-24 有脊线目标函数 寻优过程示意图
极值判断方法
极值判断方法是一种用于确定函数的最大值和最小值的数学方法。
以下是两种常见的极值判断方法：
1. 导数法（一阶导数法）：该方法基于函数在极值点处的导数为零的性质。
首先，求函数的导数，并找出导数为零的点，这些点可能是函数的极值点。
然后，通过求取导数的二阶导数来确定这些点的极值类型。
若二阶导数为正，则该点为函数的极小值点；若二阶导数为负，则该点为函数的极大值点。
2. 边界点法：该方法适用于在给定的闭区间内寻找函数的最大值和最小值。
首先，计算函数在区间的端点处的函数值，然后计算函数在区间内的临界点处的函数值。
最后，比较所有这些函数值，找出最大值和最小值。
这个方法适用于函数在闭区间上是连续的情况。
需要注意的是，极值判断方法可以用于一元函数和多元函数。
在多元函数的情况下，需要对每个自变量求偏导数，并解出偏导数为零的方程组，以确定极值点。
这些方法是常用的极值判断方法，但在具体应用时还需要考虑函数的性质和特点，并结合具体问题进行分析和判断。
高中物理求极值方法与常用结论总结
高中物理求极值方法与常用结论总结高中物理中，求极值是一个重要的数学应用问题。
很多物理问题都需要通过求极值来进行分析和解决，因此掌握求极值方法和常用结论是十分重要的。
下面将为你总结高中物理求极值的方法和常用结论。
一、求极值的方法1.寻找最值法：通过寻找物理问题的最大值或最小值来求出极值。
2.解析法：通过建立数学模型，对其求导或使用其他数学方法得出极值。
3.几何方法：通过几何图形的性质和分析来求出极值。
二、常用结论1.极大值与极小值：对于一元函数f(x)，若在x=a处，f'(a)=0，并且在a点左侧由正变负，在a点右侧由负变正，则a称为f(x)的极大值点；若在x=b处，f'(b)=0，并且在b点左侧由负变正，在b点右侧由正变负，则b称为f(x)的极小值点。
2.拐点与拐点性质：对于函数f(x)，若在x=c处f''(c)=0，并且在c点左侧由负变正，在c点右侧由正变负，则c称为f(x)的拐点。
拐点的性质为：由凹变凸的拐点称为极小值点，由凸变凹的拐点称为极大值点。
3.一元二次函数的最值结论：一元二次函数y=ax^2+bx+c（其中a≠0）的最值点可以通过如下结论求得：当a>0时，最小值为：y_min=c-b^2/(4a)当a<0时，最大值为：y_max=c-b^2/(4a)4.相对速度最小值结论：当两个运动着的物体相对于一些静止参考系运动时，它们的相对速度最小值出现在它们的运动方向夹角为0°或者180°时。
5.成千上万法：在解决物理问题中，当数据较多时，可以通过逐个数值代入进行计算。
6.速度为零但加速度不为零时的移动物体：当一个物体在其中一时刻速度为零（静止），但加速度不为零时，可以通过如下结论求出物体在这一时刻的位置：位移s = (1/2)at^2，其中a为加速度，t为时间。
7.物体自由落体的最高点：自由落体的物体在竖直上抛运动中，最高点时速度为零，也就是物体停止上升，准备掉下来。
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2、建立目标函数 由于优化设计中存在四个目标函数， 属于多目标优化 问题。 运用多目标优化问题中的 “统一目标法中的极大 极小法”，该方法的主要思想是考虑对各个目标最不利情 况来表示各个目标函数重要程度。 建立总体目标式独立悬架 极大极小法的优化研究
简介：
在给定工况下，车轮定位参数和轮 距都会相应地发生改变，若变化量太大， 会导致轮胎的严重磨损。采用统一目标 法中极大极小法对前轮定位参数进行了 优化分析 , 优化结果表明取得了良好的 优化结果，进一步改善悬架运动学性能。
优化计算步骤：
3 、确定约束条件
根据独立悬架导向机构的设计空间布置的要求，可以确定如下约束条件： 上横臂外点：
下横臂外点：
转向节内点：
minKnuckle_ inner_ x Knuckle_ inner_ y max Knuckle_ inner_ x
minKnuckle_ inner _ x Knuckle_ inner _ y max Knuckle_ inner _ y minKnuckle_ inner_ x Knuckle_ inner_ y max Knuckle_ inner_ z
4、优化分析计算
选取三个硬点共 9 个坐标值作为优化变量,进行计算分析
将优化后的硬点坐标值替代原模型中的相应硬 点值，再次进行仿真分析可得出优化效果良好，能 够进一步改善悬架运动学性能。
min U(f(x)) min max {Wifi ( x)}
xD xD 1i 4
W i 为加权系数， W i 的数值根据各目标重要程度确定。 参 考《汽车工程手册》上的推荐值， 综合权衡后确定各车轮定 位参数加权因子分别是主销内倾角为 4 ，主销后倾角为 11 ， 前轮外倾角为 4 ，前轮前束为 25 。 即所求目标函数为： minU(f(x))=4×f 1 +11×f 2 +4×f 3 +11×f 4 其中 (f 1 ， f 2 ， f 3 ， f 4 ) 分别为相应加权系数的对应定位 参数。
极大极小法
---唐成吉
对于多目标函数最优化问题，考虑对各个目标
最不利情况下求出最有利的解。就是对多目标极小
化问题采用各个目标fi（i=1,2,3,4…l）中的最大
值作为评价函数。
对各目标函数作出极大值选择后，再在可 行域内进行极小化，故称为极大极法。
即 minU f ( X ) minmax fi ( X ) 或 minU f ( X ) minmax Wi fi ( X ) 或 min s.t. Wi fi ( X )