子流形几何
复4维空间中特殊拉格朗日子流形的一种构造方法
作者简介：蔡 志丹 （９ ９ ） １７ ，女 ，硕士 ，讲师 ，主要从事基础数学教学及研 究Ｔ作 ，Ｅ －ｍａｌ ｚ ７０ １＠ｓ ａｃ ｒ ． ｉ ｄ ９ ５ ５ ｉ ｏｉ ：ｃ ｎ ］
ｌ８ １
长春理 Ｔ大学学报 （ 自然科学版 ）
２ １ 拄 ０２
这 里 ∈一 ， ， 一１ … ， ） 则 （ ） 一组 线 ， （ ， ， Ｐ， 是
空 非退 化 的 ， Ｑ是 齐次 的二 次 多项式 ， （ ） 若 则 Ｐ， 是 组 线 性 发 展 数 据 ， 则 （ ） 一 组 仿 射 发 展 数 否 Ｐ， 是
据 ．
１ ｌ ）１ ｊ 八… ＾ｅ ｌ ＾ｅ＋１ … 八 ｊ Ａ ｊ
收稿 口期 ：２ １— ２ ５ ０ ２ ０ １
则 右边 系数 应相 等 ， 即有
：
∈Ｃ ｛｝， 样 得 到 一 单 参 数 族 ∥∈（ ，）， ＼ ０ 这 一￡￡
工 ， ， ） （ （ ， ，０ ） ） ， 这 ’ … 一 ｌ ）ｌ… ６ ∑ 一 ｌ ｆ 里
ｌ
ｄ Ｉ０… —０＋… ，＝口 ， ， －） ７１，ｌ ⅢＪ ＋１… １ ）
第３ 卷 第３ ５ 期
２ １年 ９ ０２ 月
长 春理 工大 学学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｈ ｎ ｃ ｕ ｉｅｓｔ ｆ ｃｅ ｃ ｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙ （ ｔｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄｔｏ ） ｏ ｒ ａ Ｃ ａ ｇ ｈ ｎＵｎ ｖ ｒｉ ｏ Ｓ ｉｎ ｅａ ｄＴ ｃ ｎ ｌｇ Ｎａｕ ａ Ｓ ｉ ｅＥ ｉ ｎ ｏ ｙ ｎ ｉ
用 在 （ （） ’ 上一 致 ， Ｃ 。 对 中张量 依 然采用 指
标 记 法 ， （『（ ） 有 ） ＊ 。上 一 致 ， Ｃ ” 对 中张 量依 然 ＝
几何测度论——精选推荐
几何测度论高维空间中低维点集的测度及低维点集上的积分理论。
20世纪初测度论的建立，使得人们对Rn中的子集关于n维勒贝格测度μn的行为有了很好的了解。
大部分函数论由于勒贝格积分论而产生了巨大变化。
但是在处理与Rn中低维点集有关的数学问题时遇到了困难。
例如著名的普拉托问题，在二维曲面时尚可以结合共形变换和狄利克雷原理巧妙地应用勒贝格方法而解决。
而在曲面的维数超出2时,这些经典的方法就失败了。
几何测度论正是在这种背景下产生。
它始于1914年C.卡拉西奥多里关于测度论的基础性工作，经过几十年的发展，熔合了来自分析、几何、代数拓扑中的许多技巧，产生了许多新的概念，成为数学研究的一个有力工具。
豪斯多夫测度与可求积集合在卡拉西奥多里的工作出现以后的开始20～30年内，大部分的兴趣在于了解Rn中的子集关于m 维豪斯多夫测度, 积分几何测度等各类测度的行为。
对于A嶅Rn,0≤k<∞,δ>0,定义A的k维豪斯多夫测度（简称hk测度）为，式中。
hk测度是Rn中的一个博雷尔正则测度。
又定义inf{k:hk(A)=0}为A的豪斯多夫维数,简称h 维数。
当k=n时，hn(A)=μn(A)，n=0时h0(A)为A的元素个数。
0和n中间每个数均可出现为Rn中某个子集的h 维数。
例如康托尔集的h 维数为ln2/ln3。
设A的hk测度有限, 在k>0时,若存在Rk中某个有界子集到A的李普希茨映射（即二点距离的增长比受到某个正常数控制的映射）,那就称A为k可求积集（k=0时为有限集，也称可求积集）。
如果A除了一个hk测度为0的子集外,为可列个k可求积集合覆盖,就称A为(hk,k)可求积集。
集合的可求积性质是一阶光滑流形的某种推广。
事实上,A 为(hk,k)可求积集合的充要条件是：除了一个hk测度为0的子集外,它可由Rn中可列个C1类k维子流形所覆盖。
可求积集合的这种描述使得对于它的构造的研究，特别是它的射影性质的研究成为几何测度论的重要内容。
18 中国著名几何学家(下)汇总
课题：【教学目标】了解近代中国著名几何学家【教学重点】近代中国著名几何学家的数学成就【教学过程】二、陈省身陈省身，美籍华裔数学大师，20世纪伟大的几何学家。
在其数学生涯中，几经抉择，努力攀登，终成辉煌。
他用内蕴的方法证明了高维的高斯-博内公式，定义了陈省身示性类，在整体微分几何的领域做出了卓越贡献，影响了整个数学的发展，被誉为“现代微分几何之父”。
杨振宁赞誉他为继欧几里德、高斯、黎曼、嘉当之后几何学又一里程碑式的人物。
曾先后主持、创办了三个数学研究所，培养了一批世界知名的数学家。
晚年定居南开大学，对中国数学的复兴做出了不可磨灭的贡献。
陈省身曾出任美国数学学会副主席。
他也是第三世界科学院的创始发起者。
曾经三次应邀在国际数学家大会上作演讲：1950年在美国波士顿的剑桥，1958年在苏格兰的爱丁堡，1970年在法国的尼斯。
1950年和1970年都是一小时报告，这是国际数学家大会上最高规格的学术演讲。
他曾被瑞士联邦理工学院、柏林工业大学、香港科技大学等多所著名大学授予荣誉博士学位。
1985年，南开大学授予他名誉博士学位。
陈省身是20世纪重要的微分几何学家，被誉为“微分几何之父”。
早在40年代，陈省身他结合微分几何与拓扑学的方法，完成了两项划时代的重要工作：高斯-博内-陈定理和Hermitian流形的示性类理论，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具。
这些概念和工具，已远远超过微分几何与拓扑学的范围，成为整个现代数学中的重要组成部分。
陈省身重要的数学工作还有：·陈-西蒙斯微分形式是量子力学反常现象的基本工具。
·紧浸入与紧逼浸入，由他和R.莱雪夫开始，历30余年，其成就已汇成专著。
·复变函数值分布的复几何化，其中一著名结果是陈-博特定理。
·积分几何的运动公式，其超曲面的情形系同严志达合作。
·复流形上实超曲面的陈-莫泽理论，是多复变函数论的一项基本工作。
·极小曲面和调和映射的工作。
子流形定义
子流形定义子流形是流形中的一部分，它自身也是一个流形。
在微分几何中，子流形是一个重要的概念，它有着广泛的应用，如物理学、经济学等。
本文将从以下几个方面介绍子流形的定义：1.嵌入映射嵌入映射是将子流形嵌入到宿主流形中的映射。
这个映射可以是一一对应，也可以是多对一对应。
通常情况下，我们将嵌入映射分为两种：一种是光滑嵌入，即嵌入映射是可微的；另一种是Lipschitz 嵌入，即嵌入映射是Lipschitz连续的。
2.切空间切空间是子流形上每个点的局部线性近似空间。
对于任意给定的点，切空间可以看作是由该点处的所有切向量组成的线性空间。
切空间在研究子流形的形状和性质中起着重要的作用。
3.诱导度量诱导度量是子流形上的一种度量，它是由宿主流形的度量和子流形的切空间诱导出来的。
具体来说，对于任意给定的点，诱导度量可以看作是由该点处的切空间和宿主流形的度量张量决定的一种内积。
4.曲率曲率是描述子流形弯曲程度的量。
在子流形上任选两点，连接这两点的曲线可以看作是由许多曲线构成的集合。
曲率就是用来描述这个集合的性质的量。
通常情况下，我们将曲率分为两种：一种是高斯曲率，另一种是平均曲率。
5.定向定向是指子流形上的一种方向。
在三维空间中，我们可以将方向分为正面和反面。
同样地，子流形也可以被赋予一种定向，这种定向可以用来描述子流形的形状和性质。
6.边界条件边界条件是指子流形在边界上的约束条件。
通常情况下，我们可以将边界条件分为两种：一种是Neumann边界条件，即边界上的法向量与给定的向量平行；另一种是Dirichlet边界条件，即边界上的法向量与给定的向量垂直。
7.嵌入维数嵌入维数是指子流形嵌入到宿主流形中所占用的维度。
这个概念可以用来描述子流形的复杂程度和形状。
一般情况下，我们将嵌入维数分为两种：一种是浸入维数，即子流形所占用的维度；另一种是余维数，即子流形与宿主流形的差值所占用的维度。
8.子流形类型根据以上七个方面的定义，我们可以将子流形分为不同的类型。
拉普拉斯算子
黎曼流形维基百科，自由的百科全书黎曼流形（Riemannian manifold）是一个微分流形，其中每点p的切空间都定义了点积，而且其数值随p平滑地改变。
它容许我们定义弧线长度，角度，面积，体积，曲率，函数梯度及向量域的散度。
每个R n的平滑子流形可以导出黎曼度量: 把R n的点积都限制于切空间内。
实际上，根据纳什嵌入定理, 所有黎曼流形都可以这样产生。
我们可以定义黎曼流形为和R n的平滑子流形是等距同构的度量空间,等距是指其内蕴度量(intrinsic metric)和上述从R n导出的度量是相同的。
这对建立黎曼几何是很有用的。
黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。
它可产生度量空间：如果γ: [a, b] → M是黎曼流形M中一段连续可微分的弧线，我们可以定义它的长度L(γ) 为（注意：γ'(t) 是切空间M在γ(t)点的元素; ||·||是切空间的内积所得出的范数。
)使用这个长度的定义,每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空间（甚至是长度度量空间）：在x与y两点之间的距离d(x, y) 定义为：d(x,y) = inf{ L(γ): γ 是连接x和y的一条光滑曲线}。
虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直线”的概念依然存在:那就是测地线.在黎曼流形中,测地线完备的概念，和拓扑完备及度量完备是等价的：每个完备性都可以推出其他的完备性，这就是Hopf-Rinow定理的内容.。
微分流形维基百科，自由的百科全书[] 可微流形的定义设的自然数或者为，拓扑空间被称为是m维可微流形，如果，1.为豪斯多夫空间2.被m维坐标邻域所覆盖，换句话说，存在的m维坐标邻域族，使得3.满足的任意，坐标转换为映射。
•当r = 0时，流形称为是拓扑流形；当时，流形称为是光滑流形。
•拓扑空间•维基百科，自由的百科全书•汉漢▼••上图为三点集合{1,2,3}上四个拓扑的例子和两个反例。
黎曼几何教学简介
中国科学技术大学研究生课程《黎曼几何》教学大纲课程内容简介:黎曼几何是现代数学的重要分支之一，黎曼几何学经历了从局部理论到大范围理论的发展过程。
现在，黎曼几何学已经成为广泛地用于数学、物理的各个分支学科的基本理论，它与众多数学分支及理论物理关系密切。
本课程的目的就是介绍黎曼几何研究中的各种基本概念和技巧。
以测地线的研究为重点讨论了各种形式的比较定理，同时也介绍球面定理和子流形几何。
本课程内容共分三大部分。
第一部分主要介绍黎曼几何研究中的各种基本概念，如：黎曼度量；仿射联络；挠率和曲率；黎曼联络；协变微分；Laplace 算子；黎曼几何基本定理；黎曼曲率等。
第二部分主要讨论测地线第一、第二变分公式及其应用，各种形式的比较定理和Morse指数定理。
第三部分主要介绍子流形几何。
第四部分介绍复几何的基础知识,介绍Calabi-Yau定理和Donaldson-Uhlenbeck-Yau定理.本课程的授课对象是基础数学方向和理论物理方向的研究生，授课对象需具有微分几何和偏微分方程方面的知识。
教材: 1，白正国，沈一兵等：黎曼几何初步，高教出版社参考书目:1, 伍鸿熙等：黎曼几何初步，北京大学出版社。
2，F.W.Warner, Foundations of Differential manifolds and Lie groups, GTM, Springer-Verlag。
3，W.M. Boothby: An introduction to differential manifolds and Riemannian geometry.4, J.Jost; Riemannian geometry and geometric analysis.5, S.Kobayashi and K.Nomizu, foundations of differential geometry.6. Peter Petersen, Riemannian geometry GTM教学内容及课时安排。
M^(n)(c)×R_(1)中具有三个不同特征值的伪平行类空超曲面
特征具有一定意义.对于空间形式及黎曼乘积空间
中的伪平行超曲面的分类已经得到许多深刻的结
果[4].关 于 伪 黎 曼 空 间 形 式 中 伪 平 行 超 曲 面 还 没
有完全分 类 结 果,但 也 得 到 了 许 多 深 刻 的 结 论,
收稿日期:2019
11
j}使得 Tk ≠0.由方程(
{
,
}
,
)
T ⊥ ei ej 根据方程(
9 得到λiλj=c+φ;
情形2:
T ∈s
ei,
ej },根 据 方 程 (
11)得 到
pan{
λiλj=cc
o
s
h2θ+φ;
由以上讨论,假设 Aη 的三个特征值为ν,
λ,
μ,
对应特征向量的下标组成的集合分别记为 A,
B,
C.
则λμ,
AηX ,
T>
定义 1 设 f:
Σn →Mn (
c)×R1 是等距浸入,
若对于任意的 X ,
Y ∈TΣ ,存在 Σ 上的实值光滑
n
n
函数φ,使得
R(
X,
Y)·B =φ(
X ∧Y)·B
则称f 是伪平行浸入.
或
2
λiλj +φ)=0
+ε
(
9)
(
c
εTjTk (
λi -λk )=0,(
k ≠i,
10)
j)
的八个模型以来,许多数学工作者对与该结论相关
的乘积空间中子流形问题进行了深入研究,并将其
推广到 Lo
r
en
子流形几何与拓扑国际会议
由浙 江大学数学科学研究 中心 承办 的子流形几何与 曲率流 国际会议于 ２ ０ １ ６ 年 ５月 ６ １ ０日在浙江大学举行。 会议 由浙江 大学数学科学研究 中心 主任 、美 国加州大学洛杉矶分校数学系终身教授刘克峰教授和浙江大学数学科学研究 中心 副主任许 洪
Ｎ ｅ ｖ ｅ ｓ 解决 了子流形几何 中著名的威尔默 （ Ｗｉ ｌ ｌ ｍｏ ｒ ｅ ）猜想 ，以及 Ｓ ． Ｂ ｒ ｅ ｎ ｄ ｌ ｅ 运 用曲率流方法证 明 了子流形几何 中著名 的劳 森
（ Ｌ ａ ｗ ｓ ｏ ｎ ） 猜想 ， 有关子 流形几何 的研究再次成 为国际性热点领域 。 在本次 国际会议 中， 张伟平院士报 告了他与冯 惠涛教授合作 的关于仿射流形 的新近工作。 传统的仿射微分几何 是研究仿射
生等都作 了相关探讨 。
（ 吴柳 锋 ． 浙江大学数学科学学院 ， 杭州 ３ １ ０ ０ ２ ７ ）
子流 形 几 何 与 拓 扑 国 际会议
由浙江大学数学科学研究 中心承办的子流形的几何 与拓 扑国际会议于 ２ ０ １ ６年 ５月 ｌ ６ ～ １ ９ １ ３ 在 浙江大学举行 。 本次 国际会议 由浙江大学数学科学研 究中心主任 、美 国加州 大学 洛杉矶分校数学系终身教授刘克峰教授和浙江大学数学
科学研究 中心副主任许洪伟教授共同负责主持 ，组织委员会 包括 中国科学 院院士张伟平教授 、美 国密歇根州立 大学 季理 真教 譬 授、 北 京师范大学数学学 院唐梓洲教授 、 清华大学数学系李海 中教授 、 美 国匹兹堡大学徐浩教授 、 中山大学数计学院陈兵龙教授 以及 日本福 冈大学成庆明教授等。中国科 学院院士张伟平教授 、 日本福冈大学应用数 学系成庆 明教授 、 复旦 大学傅吉祥教授 以 弟 及南开大学所冯惠涛教授等著名专家学者参加了会 议并 作了交流。 本次 国际会议的主题是“ 子流形 的几何与拓扑” 。 曲率与拓扑是整体微分几何研究 的重要方 向 ， 最近几年也有非常重要 的研 究进展 ， 比如 １ ／ ４拼挤微分球面定理（ Ｄ ｉ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ １ ４一 ／ Ｐ ｉ ｎ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ Ｓ ｐ ｈ ｅ ｒ ｅ Ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ） 的证 明等 。在子 流形 的几 何 与拓 扑 的研 究 上 ， Ｆ ． Ｃ ． Ｍａ ｒ ｑ ｕ ｅ ｓ和 Ａ． Ｎ ｅ ｖ ｅ ｓ 解 决 了著 名 的威 尔 默 （ Ｗｉ ｌ ｌ ｍ ｏ ｒ ｅ ） 猜想 ， Ｓ ． Ｂ ｒ ｅ ｎ ｄ ｌ ｅ 解 决 了了著名 的劳森（ ａｗ Ｌ ｓ ｏ ｎ ） 猜想 ， 有关 子流形 几何的研究再次成为 国际性的热点领域。 在本次 国际会议 中， 陈兵龙教授介绍 了他最近关于真空爱因斯坦场方程稳态解 的研究成果 。在广义相对论 中， 重力 由一个 劲 期 ．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1.17）
其中 。
例2设M= ， 上的整体坐标函数为 ，又设
（1.18）
则( ，g)是Riemann流形，其中c为任意常数。这是Riemann最初给出的度量形式。
定义1.17如果Riemann流形(M,g)上的线性联络 满足：
（1.8）
§1.3 线性联络
设M是n维光滑流形， 是M上的全体光滑向量场构成的向量空间。
定义1.12对于光滑流形M，定义它上的线性联络 是一个光滑映射
满足：
（1）
（2）
其中f,g是 中的函数，X,Y,Z是 中的向量场。 称为向量场Y沿方向X的协变微商。
注1.13设 是微分流形M在P点的一个局部坐标系， 是V上的一组基向量场，则对于 中的任意向量场X,Y，有 。设
为了进一步证明 是T2拓扑空间，为此我们构造一个集合B= ，那么容易知道：
现在定义函数 为：
显然f是连续的并且B= 。由于单点集合是实数集合中的闭集合，所以B= 是闭集合。因此 是T2拓扑空间。从而 是Hausdorff拓扑空间。
其次我们证明拓扑空间 是局部欧式空间。为此设 = ，i=1,…,n+1。则 是X的开邻域，从而 是 的坐标域，坐标映射定义为
令 ，在 上定义加法和数量乘法如下：
（1.1）
其中 是 中的函数， , 是实数， 是 上任意一点。于是 是实数域 上的向量空间。
再在 上定义乘法如下：
（1.2）
则 是R上的代数。
定义1.5设M和N分别是m维和n维光滑的微分流形，映射F：M→N称为光滑映射，如果对M上的任意点P，存在P的坐标卡 和F(P)的坐标卡 ，使得F(V)包含于W
（1） （1.19）
（2） （1.20）
则称 是(M,g)上的Riemann联络。其中公式（1.19）称为无挠的，（1.20）称为度量相容的。
定理1.18（Riemann流形的基本定理）Riemann流形(M,g)上，存在唯一的黎曼联络 。
证明先证唯一性。设Riemann流形(M,g)上有黎曼联络 ，则从
中，且 是光滑的。
注1.6若取N=R，则光滑映射就是光滑函数，因此，光滑函数是光滑流形之间的光滑映射的重要特例。光滑映射的另一个重要特例是流形上的参数曲线。取R上的一个开区间M=(a，b)，则从M到流形N的光滑映射f：(a，b)→N，称为流形N上的一条参数曲线。
注1.7现在假设F：M→N是光滑映射。在局部上，假设
注1.9设 是微分流形M在P点的一个局部坐标系，定义映射 为
（1.5）
于是对 中的任何切向量 ，有
（1.6）
即 是 的一组基。
定义1.10设M和N分别是m维和n维光滑流形，映射F：M→N为光滑映射，F在P点的切映射 定义为
（1.7）
其中 。
注1.11设 和 分别是P点和F(P)点的局部坐标系，对于 有
（1.9）
其中 称为线性联络在坐标域V上的克里斯托夫系数，这样
（1.10）
定义1.14映射T：
定义为
（1.11）
映射R：
定义为
（1.12）
则T和R分别称为线性联络 的挠率张量场和曲率张量场。
注1.15设 是微分流形M在P点的一个局部坐标系， 是V上的一组基向量场，若我们引进以下局部记号：
则
（1.13）
第一章 黎曼几何的基本概念
本章作为后续各章的准备知识，只对一些必要知识加以介绍，详细的内容可以参考文献[1]、[2]、[3]。
§1.1 微分流形
定义1.1设M是Hausdorff拓扑空间，如果M是局部欧氏空间，即：对于任意p ，存在p点的邻域V和映射 ： 是同胚映射，则称M是n维拓扑流形。这里 叫做坐标映射，V叫做坐标域， 叫做坐标卡。
其中 。进一步，设 是 的对偶1-形式，则有以下结构方程：
（1.14）
（1.15）
其中
（1.16）
分别称为线性联络 的联络形式和曲率形式。
§1.4 黎曼流形
定义1.16一个光滑流形M上的二阶协变张量场 称为对称正定的，若对M中的任意点P，有：
（1）
（2） ≥
其中 。这时(M,g)叫做Riemann（黎曼）流形，g称为Riemann度量。
则
（1.3）
于是
关于 有任意阶偏导数。
§1.2 切空间和切映射
定义1.8设M是n维光滑流形，P是M上的任意一点，则
M在P点的切向量是实值函数 →R满足
（1）
（2）
其中f,g是P点所有光滑函数集合 中的函数，,是实数。
记 是光滑流形M在P点所有切向量的全体，在 中定义加法和数量乘法如下：
（1.4）
其中,是实数， ，则 构成一个向量空间，称为流形M在P点的切空间。
（1）因为X= 且 是满映射，故 = (X)= 。
（2）假设 i小于j，则对于任意的 ，从而
比较分量得
所以
即
因为 的分量是光滑函数，所以 是光滑函数。
同理可以证明函数 是 上的光滑函数，所以 是 的微分构造。至此，我们证明了 是n维光滑流形。
定义1.4函数 称为光滑的，如果对 上任意一点 ，存在 点的坐标卡 ，使得 是光滑的。
定义1.2n维拓扑流形M上的 类微分构造是M上的坐标卡之集 （ 是指标集），满足：
（1）M= ；
（2） ，坐标卡 和 是 类相容的，即：当 非空时， 和 分别是 和 之间的 类微分同胚；
（3）集合关于（2）是极大的，即：若 与中每个坐标卡是 类相容的，则 属于。
定义1.3n维拓扑流形M带上一个 类微分构造，称为 类微分流形。若k=+∞，则称M是一个光滑流形。
（1） 是单映射。事实上，假设 ，易见
所以 的定义是合理的并且 是单映射。
（2） 是满映射。事实上，假设 ，现在定义一个映射 为
从而我们有 ，并且满足关系式 ，故 是满映射且 。
（3） 是微分同胚。事实上，因为 的每个分量是连也连续，故 是微分同胚。
最后证明 是 的微分构造。
例1n维实射影流形 。设X= ，在X中定义 ，使得y=tx。设 [记为 ]是商映射， 的拓扑取为商拓扑 ，则是连续映射。下面证明 是n维光滑流形。
首先证明 是Hausdorff拓扑空间。为此作映射 ：X→X， (x)=tx，t≠0，于是 (x)等价于x，且 。显然 是同胚映射。对 是开集，因 (V)是开集，所以 是开集，由此知 是开映射。因为X= 是A2空间，所以 是A2空间。