11.2与三角形有关的角复习
人教版八年级上册数学11.2 与三角形有关的角(解析版)
11.2与三角形有关的角知识要点：1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180︒．（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．2.直角三角形的性质与判定（1）性质：直角三角形的两个锐角互余．在Rt ABC∠+∠=︒．A BC△中，90∠=︒，则90（2）判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3.三角形的外角三角形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．4.三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．一、单选题1．一个三角形三个内角的度数之比是2:3:4，这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】C【解析】设一份为k∘，则三个内角的度数分别为2k°，3k°，4k.根据三角形内角和定理可知2k°+3k°+4k°=180°，所以2k°=40°，3k°=60°，4k°=80°.即这个三角形是锐角三角形。
故选：C2．已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形【答案】C【解析】依题意得∠A-∠B=∠C，即∠A=∠B+∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴三角形为直角三角形，故选C.3．已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为()A．100°B．120°C．140°D．160°【答案】B【解析】∵∠A=2(∠B+∠C),∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=2(180°-∠A)解得∠A=120°，故选B.4．下列条件：(1)∠A=25°，∠B=65°；(2)3∠A=2∠B=∠C；(3)∠A=5∠B；(4)2∠A=3∠B=4∠C中，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】（1）∵∠A=25°，∠B=65°，∴∠A+∠B=25°+65°=90°，又∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，∴△ABC是直角三角形；（2）∵3∠A=2∠B=∠C，∴∠A=13∠C，∠B=12∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°∴13∠C+12∠C+∠C=116∠C=180°∴∠C≠90°∴△ABC不是直角三角形；（3）∵∠A=5∠B∴无法计算内角的度数，因此无法判定△ABC的形状；（4）∵2∠A=3∠B=4∠C，∴∠A=2∠C，∠B=43∠C，又∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C+43∠C+∠C=133∠C=180°，∴∠C=54090 13≠︒∴△ABC不是直角三角形.故选A.5．已知三角形的一个内角是另一个内角的23,是第三个内角的45,则这个三角形各内角的度数分别为()A．60°,90°,75°B．48°,72°,60°C．48°,32°,38°D．40°,50°,90°【答案】B【解析】设第一个内角的度数为x，∵三角形的一个内角是另一个内角的23,是第三个内角的45,∴另一个内角的度数为32x,第三个内角为54x，∴x+32x+54x=180°，解得x=48°，∴三个内角分别为48°,72°,60°故选B.6．如图有四条互相不平行的直线l1、l2、l3、l4所截出的七个角，关于这七个角的度数关系，下列结论正确的是（）A．∠2=∠4+∠7B．∠3=∠1+∠7C．∠1+∠4+∠6=180°D．∠2+∠3+∠5=360°【答案】B【解析】A、∵∠2=∠10+∠9，∠10=∠7，∠9≠∠4，∴∠2=∠4+∠7不成立，故本选项错误；B、∵∠3=∠8+∠10，∠8=∠1，∠10=∠7，∴∠3=∠1+∠7，故本选项正确；C、∠4=∠8+∠6，∠8=∠1，∴∠4=∠1+∠6，∴无法说明∠1+∠4+∠6=180°，故本选项错误；D、根据多边形的外角和定理，∠2+∠4+∠5=360°，∵l3、l4不平行，∴∠3≠∠4，∴∠2+∠3+∠5=360°不成立，故本选项错误．故选B．7．如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝()A．80°B．70°C．60°D．90°【答案】A【解析】∵AB∥CD，∠1=45°，∴∠C=∠1=45°．∵∠2=35°，∴∠3=∠2+∠C=35°+45°=80°．故选A．8．如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，则∠B的度数是()A．33°B．23°C．27°D．37°【答案】B【解析】如图，延长CD交AB于E，∵∠C=38°，∠A=37°，∴∠1=∠C+∠A=38°+37°=75°，∵∠BDC=98°，∴∠B=∠BDC-∠1=98°-75°=23°．故选：B．9．如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG∥CE，交AB于点G，若∠1＝70°，∠2＝30°，则∠3的度数为()A．30°B．40°C．45°D．50°【答案】B【解析】∵CE平分∠ACD，∴∠1=∠ECF，∵FG∥CE，∴∠F=∠ECF，∵∠FCD=∠3+∠BAC，∠BAC=∠2+∠F，∴∠FCD=∠3+∠2+∠F，∴∠1+∠ECF=∠3+∠2+∠F，∴∠2+∠3=∠1，又∵∠1=70°，∠2=30°，∴∠3=70°-30°=40°，故选B．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90︒，AD⊥BC于D，则图中互余的角有A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】∵∠BAC=90°∴∠B+∠C=90°①；∠BAD+∠CAD=90°②；又∵AD⊥BC，∴∠BDA=∠CDA=90°，∴∠B+∠BAD=90°③；∠C+∠CAD=90°④。
11.2 《与三角形有关的角》解答题2
解答题
（1）如图，已知中，，，D，E为垂足，BD和CE交于点H。
求证：。
（2）如图，D、E分别在AB、AC上，已知，。
求证：。
（3）如图，已知D是BC上的一点，且。
求证：。
（4）如图，已知。
求证：。
（5）如图，已知：BCD，CAE，AFB为直线，求证：。
（6）如图，已知D是的外角平分线与BA的延长线的交点。
求证：。
（7）如图，已知：在中，的平分线与的平分线相交于点I。
求证：。
（8）如图，已知：的三个内角平分线AD，BI，CI相交于点I，于点H。
求证：。
参考答案：
1．证明题
（1）证明：（已知）
∴（垂直定义）
∴，（直角三角形的两个锐角互余）
∴（同角的余角相等）
（2）证明：∵，（三角形内角和定理）
又∵（已知）
∴
∴
∴（同位角相等，两直线平行）
（3）证明：∵（已知）
∴
又∵（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴
（4）证明：∵（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）又∵
∴
∴（内错角相等，两直线平行）
（5）证明：∵（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴
（6）证明：∵（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）又∵（外角平分线定义）
∴
∴
（7）证明：应用三角形内角和定理得
（8）证明：∵（直角三角形的两个锐角互余），
即。
人教版八年级数学上册第11章第2---3节期末复习题(含答案)
11.2三角形-与三角形有关的角一、选择题1.若一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，那么这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形2.如图所示，BD平分∠ABC，DE∥BC，且∠D=30°，则∠AED的度数为（）。
A.50°B.60°C.70°D.80°3.如图，在△ABC中，∠ABC=500，∠ACB=800，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是( )A.1000B.1100C.1150D.12004.在△ABC中，∠ABC和∠ACB平分线交于点O，且∠BOC=110°，则∠A度数是( ).A.70°B.55°C.40°D.35°5.如图，C在AB的延长线上，CE⊥AF于E，交FB于D，若∠F=40°，∠C=20°，则∠FBA的度数为( ).A.50°B.60°C.70°D.80°6.如图，下列说法正确的是().A.∠B＞∠2B.∠2＋∠D＜180°C.∠1＞∠B＋∠DD.∠A＞∠17.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于( )A.60°B.70°C. 80°D. 90°8.已知三角形ABC的三个内角满足关系∠B＋∠C=3∠A，则此三角形( ).A.一定有一个内角为45°B.一定有一个内角为60°C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形9.如图，在△ABC中，∠C=50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于( )A.130°B.210°C.230°D.310°10.如图，AD=AB=BC，那么∠1和∠2之间的关系是().A.∠1=∠2B.2∠1＋∠2=180°C.∠1＋3∠2=180°D.3∠1-∠2=180°二、填空题11.如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB=________．12.△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是三角形.13.已知在△ABC中，∠A=40°，∠B-∠C=40°，则∠B=_____，∠C=______．14.△ABC的三个外角的度数之比为2：3：4，此三角形最小的内角等于°．15.如图，∠C、∠l、∠2之间的大小关系是____________16.如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为________三、解答题17.如图，已知∠A=20°，∠B=27°，AC⊥DE，求∠1，∠D的度数．18.已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，CD是∠ACB平分线，求∠A和∠CDB的度数.19.如图,已知△ABC中,∠A=70°,∠ABC=48°,BD⊥AC于D，CE是∠ACB的平分线,BD与CE交于点F,求∠CBD、∠EFD的度数．20.如图,∠ABC=38°,∠ACB=100°,AD平分∠BAC,AE是BC边上的高,求∠DAE度数.21.如图,已知∠A=60°,∠B=30°,∠C=20°,求∠BDC的度数.22.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，并证明你的结论．参考答案1.B2.B3.C4.C.5.C6.B7.C8.A.9.C10.D11.答案为：70.12.答案为：直角.13.答案为：90°；50°．14.答案为：20．15.答案为：∠1>∠2>∠C16.答案为：6，与它不相邻的两个内角，360017.解：∵AC⊥DE∴∠APE=90°∵∠1=∠A+∠APE,∠A=20°∴∠1=110°∵∠1+∠B+∠D=180°, ∠B=27°∴∠D=43°18.解：∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，∠A+∠ACB+∠B=180°，∴∠A=×180°=40°，∠ACB=×180°=80°∵CD是∠ACB平分线，∴∠ACD=0.5∠ACB=40°∴∠CDB=∠A+∠ACD=40°+40°=80°19.∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣70°﹣48°=62°．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°．∴∠CBD=90°﹣∠ACB=90°﹣62°=28°；∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=∠ACB=×62°=31°．∴∠EFD=∠ACE+∠BDC=31°+90°=121°．故答案为：∠CBD、∠EFD的度数分别为28°，121°．20.解：21.解：∠BDC=110°；22.11.3 多边形及其内角和一、选择题（本大题共10道小题）1. 若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为A．45°B．60°C．72°D．90°2. 八边形的内角和等于( )A．360°B．1080°C．1440°D．2160°3. 从九边形的一个顶点出发可以引出的对角线的条数为( )A．3 B．4 C．6 D．94. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是A．180°B．360°C．540°D．720°5. 若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则它是( )A．正九边形B．正十边形C．正十一边形D．正十二边形6.若一个多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成4个三角形，则这个多边形的边数为( )A．3 B．4C．5 D．67. 下列哪一个度数可以作为某一个多边形的内角和 ( )A．240°B．600°C．540°D．2180°8. 一个正多边形的每个外角不可能等于( )A．30°B．50°C．40°D．60°9.一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A．7 B．7或8C．8或9 D．7或8或910. 如图，已知长方形ABCD，一条直线将长方形ABCD分割成两个多边形.若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是()A.360°B.540°C.720°D.630°二、填空题（本大题共7道小题）11. 一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．12. 如图，若A表示四边形，B表示正多边形，则阴影部分表示________．13. 已知一个多边形的内角和是外角和的，则这个多边形的边数是.14.如图，小明从点A出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走了________米．15. 有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的步骤行走，那么机器人回到A处行走的路程是.16. 模拟某人为机器人编制了一段程序(如图)，如果机器人以2 cm/s的速度在平地上按照程序中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需的时间为________s.17. 如图，若该图案是由8个形状和大小相同的梯形拼成的，则∠1＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）18.如图，△ABC是正三角形，剪去三个边长均不相等的小正三角形(即△ADN，△BEF ，△CGM)后，得到一个六边形DEFGMN.(1)六边形DEFGMN的每个内角是多少度？为什么？(2)六边形DEFGMN是正六边形吗？为什么？19. 某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的多12°.(1)求出这个正多边形的一个内角的度数;(2)求这个正多边形的边数.20. 小华与小明在讨论一个凸多边形的问题，他们的对话如下：小华说：“这个凸多边形的内角和是2020°.”小明说：“不可能吧！你错把一个外角当作内角了！”请根据俩人的对话，回答下列问题：(1)凸多边形的内角和为2020°，小明为什么说不可能？(2)小华求的是几边形的内角和？21.如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝310°，CF平分∠DCB，CF的反向延长线与∠EDC处的外角的平分线相交于点P，求∠P的度数．人教版八年级数学11.3 多边形及其内角和同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C【解析】∵正多边形的内角和是540°，∴多边形的边数为540°÷180°+2=5，∵多边形的外角和都是360°，∴多边形的每个外角=360÷5=72°．故选C．2. 【答案】B3. 【答案】 C [解析] 从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，即能引出6条对角线．4. 【答案】C【解析】黑色正五边形的内角和为：(5–2)×180°=540°，故选C．5. 【答案】 A [解析]由于正多边形的外角和为360°，且每一个外角都相等，因此边数＝360°40°＝9.6. 【答案】D [解析] 设这个多边形的边数为n，则n－2＝4，解得n＝6.7. 【答案】C [解析] ∵多边形内角和公式为(n－2)×180°，∴多边形内角和一定是180°的倍数．∵540°＝3×180°，∴540°可以作为某一个多边形的内角和．8. 【答案】 B [解析] 设正多边形的边数为n，则当30°n＝360°时，n＝12，故A可能；当50°n＝360°时，n＝365，不是整数，故B不可能；当40°n＝360°时，n＝9，故C可能；当60°n＝360°时，n＝6，故D可能．9. 【答案】 D [解析] 设内角和为1080°的多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝1080°，解得n＝8.则原多边形的边数为7或8或9.故选D.10. 【答案】D[解析] 一条直线将长方形ABCD分割成两个多边形的情况有以下三种:(1)直线不经过原长方形的顶点，如图①②，此时长方形被分割为一个五边形和一个三角形或两个四边形，∴M+N=540°+180°=720°或M+N=360°+360°=720°;(2)直线经过原长方形的一个顶点，如图③，此时长方形被分割为一个四边形和一个三角形，∴M+N=360°+180°=540°;(3)直线经过原长方形的两个顶点，如图④，此时长方形被分割为两个三角形，∴M+N=180°+180°=360°.二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】8【解析】由正多边形的每一个外角都是45°，其外角和为360°，可得这个正多边形的边数是360°45°＝8.【一题多解】因为正多边形的每一个外角都是45°，所以这个正多边形的每一个内角都是180°－45°＝135°，设正多边形的边数为n ，则(n －2)×180°＝135°×n ，解得n ＝8. 方法指导设正多边形的边数为n ，正多边形的外角和为360°，内角和为(n －2)×180°，每个内角的度数为180°×（n －2）n.12. 【答案】正方形13. 【答案】 514. 【答案】120 [解析] 由题意得360°÷36°＝10，则他第一次回到出发地点A 时，一共走了12×10＝120(米)．故答案为120.15. 【答案】30米 [解析] 360°÷24°=15，利用多边形的外角和等于360°，可知机器人回到A 处时，恰好沿着正十五边形的边走了一圈，即可求得路程为15×2=30(米).16. 【答案】16 [解析] 由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形，多边形的边数为36045＝8，则所走的路程是4×8＝32(cm)，故所用的时间是32÷2＝16(s)．17. 【答案】67.5三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：(1)六边形DEFGMN的各个内角都是120°.理由：∵△ADN，△BEF，△CGM都是正三角形，∴它们的每个内角都是60°，即六边形DEFGMN的每个外角都是60°.∴六边形DEFGMN的每个内角都是120°.(2)六边形DEFGMN不是正六边形．理由：∵三个小正三角形(即△ADN，△BEF，△CGM)的边长均不相等，∴DN，EF，GM均不相等．∴六边形DEFGMN不是正六边形．19. 【答案】解:(1)设这个多边形的一个内角的度数是x°，则与其相邻的外角度数是x°+12°.由题意，得x+x+12=180，解得x=140.即这个正多边形的一个内角的度数是140°.(2)这个正多边形的每一个外角的度数为180°-140°=40°，所以这个正多边形的边数是=9.20. 【答案】解：(1)∵n边形的内角和是(n－2)×180°，∴多边形的内角和一定是180°的整倍数．∵2020÷180＝11……40，∴多边形的内角和不可能为2020°.(2)设小华求的是n边形的内角和，这个内角为x°，则0＜x＜180.根据题意，得(n－2)×180°－x＋(180°－x)＝2020°，解得n＝12＋2x＋40 180.∵n为正整数，∴2x＋40必为180的整倍数．又∵0＜x＜180，∴40180＜2x＋40180＜400180.∴n＝13或14.∴小华求的是十三边形或十四边形的内角和．21. 【答案】解：延长ED，BC相交于点G.在四边形ABGE中，∠G＝360°－(∠A＋∠B＋∠E)＝50°，∠P＝∠FCD－∠CDP＝12(∠DCB－∠CDG)＝12∠G＝12×50°＝25°.。
人教版八年级上册数学11.2.2三角形外角和
【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°， ∠C=30°，求∠BDC的度数.
A
51 °
20 ° D
B
C
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为
三角形问题.
解法一：延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
A
(
51 °
155°
1B
E
∠1=25°, ∠2=62°, ∠3=118°
3.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的
底角为_3_0_或__7__5_°_.
11
例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度
数．
E
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角 形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
∴∠A+ ∠B= ∠ACD
(等量代换)
7
方法二： 擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性 质，看动画，你知道他是怎么解释的吗？哪位同 学证明一下。 （CE//BA）
A
E
1
三角B形的一个外角等于与C它不相邻的两D 个内
角的和
8
知识要点
三角形内角和定理的推论 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
已知：如图：△ＡＢＣ中，点D在BC的延长线上， 求证：∠ACD=∠A+∠B
A
B
C
D
6
方法一: A
B
C
D
解：∵∠ACD+ ∠ACB=180° （邻补角的定义） ∴∠ACD =180 ° －∠ACB
又∵∠A+ ∠B+ ∠ACB=180° （三角形内角和定理 ° ）
《11-2与三角形有关的角——三角形的内角和》教学设计
《11.2与三角形有关的角——三角形的内角和（1）》教学设计一、内容与内容解析1．内容三角形内角和．2．内容解析与边一样，角（包括内角和外角）是三角形的主要元素，在研究了边的性质后，自然要研究角（内角和外角）的性质，其中内角和是基础．三角形的角的性质是今后研究几何图形的基础．初中研究三角形内角和与小学不同之处是需要用推理的方法证明．因此本节课的重点是三角形内角和定理的证明．二、目标与目标解析1．目标（1）掌握三角形内角和定理．（2）探索发现三角形内角和定理的结论，体会证明的必要性．（3）理解三角形内角和定理的证明过程．2．目标解析达成目标（1）的标志是：能熟练应用三角形内角和定理进行推理和计算．达成目标（2）的标志是：能从结论的一般性与确定性角度体会证明的必要性．达成目标（3）的标志是：能理解三角形内角和定理证明过程的合理性，指导证明过程“步步有据”的要求．三、教学问题诊断分析学生已经知道了三角形内角和定理的内容，但难以体会到证明的必要性；同时，证明三角形内角和定理需要添加辅助线，通过把三角形内角关系转化为平行线的角的性质，是第一次接触，难以理解．通过基于一般三角形下结论是否成立的提问让学生体会证明的必要性，通过分析拼角实验过程发现证明思路，体会怎样作辅助线，帮助学生突破难点．难点：三角形内角定理证明必要性的体会，理解定理的证明过程．四、教学过程设计（一）体会证明的必要性前面，我们研究了三角形的边的性质，接下来我们研究三角形角的性质．问题1 在小学，我们研究过三角形的角，三角形的三个内角有什么关系？师生活动：教师引导学生画出三角形（如图1），回顾三角形内角之间的关系．追问：在小学中，我们是怎样发现这一性质的？师生活动：教师引导学生回顾测量法和拼角实验法．展示学生的拼角方案（如下图）．设计意图：引导学生回顾“三角形内角和等于180º”的结论及研究经验． 追问1：大家测量和实验时研究了多少个三角形？追问2：三角形有多少个？用测量和实验的方法能研究完所有三角形吗？追问3：对若干个具体的三角形进行测量和研究得到的结论，能保证对所有的三角形都成立吗？怎样才能说明结论对所有的三角形都成立？师生活动：教师引导学生考察结论的一般性，从而体会证明的必要性． 设计意图：体会证明的必要性． （二）三角形内角和定理的证明 问题2 怎样证明呢？ 追问1：先说说证明的步骤．师生活动：教师引导学生回顾证明的步骤：先画出图形，写出已知、求证，再写出证明过程．已知：如图5，∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的内角．求证：∠A +∠B +∠C =180º．并指出，要证明这一结论，需要以已经确认是正确的事实、定理为依据，一步一步有依ABC图1ABC图2A BC图3ABC图4ABC图5据地进行推导，最后推导出最终的结论．追问2：让我们分析一下拼角的操作过程，看看有什么启发．如图5我们把∠B ，∠C 撕下后拼到∠A 上得到一个平角，移动后它们的边AE ，AF 有什么特征？师生活动：教师引导学生发现它们在同一直线EF 上． 追问3：直线EF 与直线BC 有什么关系？由此有什么启发？师生活动：教师引导学生得出EF ∥BC ，这就启发我们通过过顶点A 作BC 的平行线来进行证明（如图6）．图6追问4：怎样书写证明过程？师生活动：教师与学生一起书写证明过程如下： 证明：过点A 作EF ∥BC ． ∵EF ∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠C ；(两直线平行，内错角相等) 又∵∠1+∠2+∠BAC =180º，（平角的定义） ∴∠BAC +∠B+∠C =180º．(等量代换)在此基础上，确认三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180º． 设计意图：分析证明思路，书写证明过程，明确定理结论． 追问5：如果按照图3，图4的拼角方案，怎样书写证明过程？ 师生活动：教师引导学生书写相应的证明过程．设计意图：通过一题多解感悟证明过程，培养思维灵活性． 追问6：上述证明过程是怎样想的？师生活动：教师引导学生总结：用平行线性质移动角的位置，使它们拼成一个平角． 设计意图：引导学生感悟数学转化的思想． 师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立书写解题过程，教师引导学生相互质疑，保证推理的严谨性．设计意图：应用三角形内角和定理进行角度计算，巩固定理．例2 如图8是A ，B ，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50º的方向，B 岛在A 岛图7A B CE F的北偏东80º方向，C 岛在B 岛的北偏西40º方向．从B 岛看A ，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 是多少度？师生活动：教师引导学生分析解题思路，引导学生书写解题过程．设计意图：应用定理解决实际问题，巩固定理． 练习：1．写出下列三角形中∠ 的度数．2．如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD （沿着AC 对折后直线AC 两侧部分能完全重合），其中∠A =150º，∠B =∠D =40º，求∠C 的度数．师生活动：学生口答第1题，书写第2题． 设计意图：巩固定理，发展推理能力． （四）课堂小结教师引导学生思考下列问题，回顾并交流本课所学知识． （1）本课学习了哪一个定理？（2）小学中我们已经发现了三角形三内角的和为180º，为了什么要证明这一结论？ （3）你是怎样证明这一结论的？设计意图：比较初中与小学学习三角形内角和的差别，体会证明的必要性，总结证明过程，体会证明的要求．（五）布置作业教科书习题11．2第1，3，7题．有兴趣的同学尝试写出与本课中不同的证明过程． 五、板书设计11.2.1三角形的内角1.三角形内角和：小学的做法：测量、拼角。
2022八年级数学上册 第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角 2三角形的外角习题课件 新人教版
(2)∵∠B＝n°，∠C＝m°， ∴∠BAC＝180°－n°－m°. ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD＝90°－m°＋2 n°， ∴∠PDE＝n°＋90°－m°＋2 n°＝90°－m°－2 n°， ∴∠DPE＝90°－90°－m°－2 n°＝m°－2 n°.
∠A和∠B
知识点二 三角形的内外角的数量关系
3.如图，在△ABC中，∠A＝40°，D为AB延长线上一点，且∠CBD＝
120°，则∠C＝( C )
A.40°
B.60°
C.80°
D.100°
4.(2018·广西)如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝
60°，∠B＝40°，则∠ECD等于( C )
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
5.如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝30°，则∠1的大小为( D )
A.20° C.50°
B.30° D.80°
6.如图，延长△ABC的边AC到点D，则∠A___＜_____∠DCB.(填“＜”“＞” 或“＝”)
7.(课本P16习题T1改编)如图，x＝__5_0__.
B.60°
C.70°
D.80°
14.(2018·永州)一副透明的三角板按如图所示叠放，直角三角板的斜边 AB，CE相交于点D，则∠BDC＝________.
75°
考查角度一 三角形内外角性质的综合 15.如图，已知三角形ABC，求证：∠EAF＋∠DBF＋∠DCE＝360°. 证明：∵∠EAF，∠DBF，∠DCE都是三角形ABC的外角， ∴∠EAF＝∠2＋∠3，∠DBF＝∠1＋∠3，∠DCE＝∠1＋∠2， ∴∠EAF＋∠DBF＋∠DCE
11.2.3三角形内角和与外角复习题
三角形内角和与外角练习题
1．已知：如图，E是△ABC的边CA延长线上一点，F是AB上一点，D点在BC 的延长线上．试证明∠1＜∠2．
2．如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线．
（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B=α，∠C=β，用含α，β的式子表示∠DAE．
3．已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：_________；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_________个；（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，试求∠P的度数；
4．如图，在△ABC中，已知∠B=60°，∠C=30°，AE是△ABC角平分线，求：（1）作BC边上的高AD；
（2）∠DAE的度数．
5．如图，在△ABC中，已知∠B=40°，∠C=60°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，求∠DAE的度数．
6．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=48°，求∠BAC 的度数．。
11.2与三角形有关的角 课件 2024—2025学年人教版八年级数学上册
E
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
FD
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
B
C ∵ ∠ABD=28° ,∠BEC=60°
∴ ∠BFC=88°.
1. 如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°, ∠B =75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数．
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.
证明:沿长BC到D点,过点C作AB的平行线
CE.
方 法
A E
二
B
CD
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.
证明:过A作AE∥BC， ∴∠C=∠CAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAC+∠BAC+∠B=180° (两直线平行,同旁内角互补) ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换) BFra bibliotek例题讲解
例1.已知: 在△ ABC中，∠BAC=40°， ∠B=75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB 的度数。
例题讲解
例2.如图,C岛在A岛的北偏东50°方 向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C 岛 在B 岛的北偏西40°方向,从C岛看A、 B两岛的视角∠ACB是多少度?
二、三角形的外角的概念
定义 如图，把△ABC的一边BC延长， 得到∠ACD，像这样，三角形的一 边与另一边的延长线组成的角，叫 做三角形的外角.
A
B
CD
∠ACD是△ABC的一个外角
画一画：画出△ABC的所有外角，请 指出来有哪几个.
有6个，它们是∠1， ∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6.
5 B2
11.2 与三角形有关的角
11.2 与三角形有关的角教学目标1．探索并证明三角形内角和定理．2．能运用三角形内角和定理解决简单问题．3．使学生在操作活动中，探索出三角形的外角的两条性质，并利用学过的定理论证这些性质．4．能利用三角形的外角性质解决实际问题．教学重点探索并证明三角形内角和（外角和）定理，体会证明的必要性．课时安排2课时教案A第1课时教学内容三角形的内角．教学过程一、新课导入在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？二、探究新知1．动手操作教师让学生利用手中的三角形纸片进行探究，提醒学生可以采用三种方法：度量、剪拼图、折叠．通过学生的实验探究后，教师指出运用度量的方法时，测量可能会有误差，得出的三个内角的和接近180°．通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数多个，我们如何能得出“所有的三角形的三个内角的和都等于180°”这个结论呢？2． 探究证明师生共同完成三角形内角和的证明过程． 已知：△ABC ．求证：∠A ＋∠B ＋ ∠C ＝ 180°．证明：如右图，过点A 作直线l ，使l //BC ． ∵ l //BC ，∴ ∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等）． 同理∠3＝∠5．∵ ∠1，∠4，∠5组成平角， ∴ ∠1＋∠4＋∠5＝180° （平角定义）． ∴ ∠1＋∠2＋∠3＝180° （等量代换）．通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？ 学生独立思考，讨论其他做法．注意：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线通常用虚线表示．3． 例题分析下图是A ，B ，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向， B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向，从B 岛看A 、C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？学生先独立解决，再合作交流，最后教师点评． 想一想：你还有其他解法吗？ 4．直角三角形的性质在△ABC 中，若∠C ＝90°，你能求出∠A ，∠B 的度数吗？为什么？你能求出∠A ＋∠B 的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？学生先独立解决，再合作交流，最后教师点评． 明晰：直角三角形的两个锐角互余．提示：直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt △ABC ． 5．直角三角形的性质的应用如图，∠C ＝∠D ＝90°，AD ，BC 相交于点E ，∠CAE 与∠DBE有什么关系？为什么？分析：两个角的关系是什么？这两个角分别在什么三角形中？你如何验证自己的想法？解：在Rt △AEC 中，∠CAE ＝90°－∠AEC ． 在Rt △BDE 中，∠DBE ＝90°－∠BED ． ∵∠AEC ＝∠BED ， ∴∠CAE ＝∠DBE ．如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？学生先独立解决，再合作交流，最后教师点评． 明晰：有两个角互余的三角形是直角三角形．三、课堂小结1．探索并证明三角形内角和定理．2．能运用三角形内角和定理解决简单问题．3．掌握直角三角形的两个锐角互余，并能简单应用． 四、布置作业习题11.2 第1、3、4题．第2课时教学内容三角形的外角． 教学过程 一、新课导入如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝50°，则∠C ＝ ．把△ABC 的一边BC 延长，得到∠ACD ．这个角还是三角形的内角吗？∠ACD ＝ ．二、探究新知1．三角形外角的定义定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．想一想：三角形的外角有几个？ ．每个顶点处有 个外角，但它们是 ．2．外角的性质在右图中，△ACD 与△ABC 的内角有什么关系？ （1）∠ACD ＝ ＋ ；（2）∠ACD∠A，∠ACD∠B（填“<”、“＝”“>”）．再画△ABC的其他的外角试一试，还会得到这些结论吗？请学生用几何语言叙述这个结论：三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．3．外角性质的证明你能用学过的定理证明这些定理的成立吗？已知：△ACD是△ABC的外角．求证：（1）△ACD＝∠A＋∠B（2）△ACD＞∠A，△ACD＞∠B．学生独立思考，师生完成证明过程．证明：（1）因为∠A＋∠B＋∠ACB＝180°．所以∠A＋∠B＝180°－∠ACB．又因为∠ACB＋∠ACD＝180°，所以∠ACD＝180°－∠ACB．所以∠ACD＝∠A＋∠B．（2）由（1）的证明结果可以得出：△ACD＞∠A，△ACD＞∠B．想一想：你还可以结合右图形给予说明吗？4．外角性质的应用如右图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的不同三个Array外角，则它们的和是多少？解：因为∠1＝∠ABC＋∠ACB，∠2＝∠BAC＋∠ACB，∠3＝∠ABC＋∠BAC，所以∠1＋∠2＋∠3＝2（∠ABC＋∠BAC＋∠ACB）．因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180º，所以∠1＋∠2＋∠3＝2×180º＝360º．三、课堂小结1．了解三角形的外角的两条性质2．利用学过的定理论证这些性质3．能利用三角形的外角性质解决实际问题四、布置作业习题11.2第6、8题．教案B第1课时教学内容三角形的内角．教学过程一、新课导入活动1说出三角形内角和是多少，并思考如何证明．二、自主学习1.活动2 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？下面是两种拼合的方法，试一试，看看得到什么结果．学生动手操作后与同伴交流，得到：所有的三角形的三个内角的和都等于180°．2.活动3如果我们不用上面的办法，可不可以用推理论证的方法来说明三角形内角和定理的正确性呢？学生独立思考后，小组合作交流．优秀小组代表发言，师生完成规范步骤的书写．提示：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助Array线通常用虚线表示．3.活动4如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．学生独立思考后，小组合作交流．优秀小组代表发言，师生完成规范步骤的书写．4. 活动5 在△ABC中，若∠C＝90°，你能求出∠A，∠B的度数吗？为什么？你能求出∠A＋∠B的度数吗？你能得出什么结论？学生先独立解决，再合作交流，最后教师点评．明晰：直角三角形的两个锐角互余．提示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．5. 活动6 如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？学生先独立解决，再合作交流，最后教师点评．明晰：有两个角互余的三角形是直角三角形．三、自我检测1．在△ABC中，若∠A＝40°，∠A＝2∠B，则∠C＝．2．如右图，在△ABC中∠C＝60°，∠B＝50°，AD是∠BAC的平分线，则∠BAD＝．答案1．120°2．35°四、课堂小结1．探索并证明三角形内角和定理．2．能运用三角形内角和定理解决简单问题．3．掌握直角三角形的两个锐角互余，并能简单应用．五、布置作业习题11.2第1、3、4题．第2课时教学内容三角形的外角．教学过程一、新课导入复习上节内容，导入新课的教学．二、自主学习1.活动1阅读教材的内容，找出上题的答案．明晰：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．2.活动2 画出△ABC的所有外角，并找出外角出现的规律．学生独立画图后，小组合作交流，优秀小组代表发言．提示：三角形的外角有6个，每个顶点处有2个外角，但它们是对顶角．3.活动3 找出右图中∠ACD与△ABC的内角有什么关系？学生独立思考后，小组合作交流，优秀小组代表发言．明晰：三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．4.活动4 你能用学过的定理说明这些定理的成立吗？学生独立思考后，小组合作交流．优秀小组代表发言，师生完成规范步骤的书写．三、自我检测1．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（ ）．A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定 2．如下图所示，则α＝ °． 3．如图，∠A ＝55°，∠B ＝30°，∠C ＝35°，求∠CDB 的度数．答案 1．C 2．114° 3．120° 四、课堂小结1．了解三角形的外角的两条性质 2．利用学过的定理论证这些性质3．能利用三角形的外角性质解决实际问题 五、布置作业 习题11.2 第6、8题．5（第2题）23α ACDB （第3题）。
与三角形有关的角(2)-人教版八年级数学上册教材知识点变式提高培训系列
人教版八年级数学上册教材知识点变式提高培训系列11.2 与三角形有关的角（1）知识点三：表示方位的角方位角是指以南北方向为准，向两边偏的角度大小，即“南偏东 x”“南偏西 x”“北偏东45称为西北方向。
x”“北偏西 x”，我们通常把南偏东45称为东南方向，北偏西【例题3】如图所示，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C时的视角∠BAC是多少度？【练习】1.如图所示，有一艘渔船上午9点在A处沿正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，行驶2h到达B处，在B处测得灯塔C，在北偏东15°方向上，试求∠ABC内角的度数．知识点四：三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.注意：三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.(2)三角形外角的特点：∠顶点在三角形的一个顶点上；∠一条边是三角形的一边；∠另一条边是三角形某条边的延长线.(3)三角形的外角性质：∠三角形的外角和为360°.∠三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.∠三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.【例题1】1．如图所示，∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，则∠BCD的度数为（）A．80°B．100°C．120°D．140°2．一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°【练习】1．在∠ABC 中，∠A=35°，∠B=72°，则与∠C 相邻的外角为 ．2．如图，在∠ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，点F 在BC 的延长线上，DE∠BC ，∠A=44°，∠1=57°，则∠2= ．3．在∠ABC 中，∠A=25°，∠C=45°，则与∠B 相邻的外角的度数为 ．4．在∠ABC 中，∠A=25°，∠C=45°，则与∠B 相邻的外角的度数为 ．附解析：知识点三：表示方位的角方位角是指以南北方向为准，向两边偏的角度大小，即“南偏东 x ”“南偏西x ”“北偏东 x ”“北偏西 x ”，我们通常把南偏东 45称为东南方向，北偏西 45称为西北方向。
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基础图形。见长江P10第2题。
（独立完成，举手示意，方法说明。）
题型1
（独立思考，举手示意，方法说明，规范书写。）
1、说出下图中∠1的度数。 A
35°
2 D
1 40° C
30°
B
生活中离不开数学 2、下图是某工厂生产的一种零件，如果三个锐角 的和为135°，则说明该零件合格，工人师傅却只 测量∠ADC的度数就能判断零件是否合格，你能解 释其中的道理么? A D B E C
初试身手 说出下列各图中∠1的度数。 A 35° 1 30° B (4) 2 40° D C
3、如图：P是△ABC内的一点，延长BP交AC于点 D,用“＜”表示∠1、∠2、∠A的大小关系： ______________________. ∠A＜ ∠2＜ ∠1
求证： ∠A＜∠1
A
P 1 B
D 2 C
4、如图：∠1＝25°，∠2＝95°， ∠3＝30°，则∠4＝_______ 30°
D C
1 A E
4
2 3
B
见长∠A＝37°, ∠F＝26°， 那么∠C等于（ ） A、 26° B、 63° C、 37° D、 60° A C E B D F
2、如图所示，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（ ）
• （3）若只知∠B-∠C=20°，你能求出∠DAE吗？
A
B D
E
C
6、 △ABC中，BE为∠ABC的平分线， CE为∠ACD的平分线，两线交于E点。 你能找出∠E与∠A有什么关系吗？
A E
B
C
D
B
D F E
A
45°
C
题型3 如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+ ∠F的 度数。
B
C D
A
F
E
2、如图所示：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数？
A E
B
C
D
见长江P10第10题
计算提高
1、将一副三角板按如图方式放置，则两条
斜边所形成的钝角∠1＝______
1
2、如图所示， △ABC的高BD、CE交于H点 ，∠A=50°,求∠BHC的度数？
A
D
C
E
4、如图：D是 ABC的BC边上一点， B＝ BAD， ADC＝80°， BAC＝ 70°．
B的度数； 求：（１） C的度数． （２）
AD平分∠BAC
A
700
800
B
D
C
• 5、在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC， ∠B=80° ∠C=30 ° • （1）求∠DAE • （2）你能发现∠DAE与∠B、∠C的关系吗？
A
E B
H
D C
3、如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延 长线上一点，∠EAC=∠B, ∠ADE与∠DAE相 等吗？
解：∠ADE与∠DAE相等. 因为 ∠DAE= ∠DAC+ ∠EAC, ∠ADE是△ABD的一个外角, ∠ADE=∠B+ ∠BAD 因为 ∠BAD= ∠DAC, ∠EAC= ∠B, B 所以∠ADE= ∠DAE
F
A、 26° B、 63° C、 37°
A E B
D、 60°
C
D
3、如图所示，AB//CD，AD、BC相交于O点， 若∠BAD＝35°， ∠BOD＝76°，则∠C的 度数是（ ） A、 31° B、 35° C、 41°
C A B
O
D、 76°
D
4.如图，AB∥CD，∠A=45°, ∠C=∠E，求∠C.