破解椭圆中最值问题的常见策略

破解椭圆中最值问题的常见策略
第一类：求离心率的最值问题 破解策略之一：建立c b a ,,的不等式或方程
例1：若B A ,为椭圆)0(12
2
22>>=+b a b
y a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆
离心率的最小值。

分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。

此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。

故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。

解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A -，则a
x y
k a x y k BQ AQ -=+=
,，利用到角公式及0120=∠AQB 得：0120tan 1=-++
--+a
x a x a x y
a x y （a x ±≠），又点A 在椭圆上，故22222y
b a a x -=-，消去x ， 化简得2232
c ab y =又b y ≤即b c ab ≤2
2
32则42223)(4c c a a ≤-，从而转化为关于e 的高次不等式 04432
4≥-+e e 解得136<≤e 。

故椭圆离
心率的最小值为3
6。

（或2222)ab a b -，得：0b
a
<≤
，由e =，故136
<≤e ）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）
点评：对于此类最值问题关键是如何建立c b a ,,之间的关系。

常用椭圆上的点),(y x 表示成c b a ,,，并利用椭圆中y x ,的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。

破解策略之二：利用三角函数的有界性求范围
例2：已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使1
2FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。

分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。

本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的
效果。

解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：
ααβαβαcos sin 2cos sin sin sin 90
sin 221210
+=++===a
PF PF PF PF c 故22
)
45sin(210
≥+=
αe ，故椭圆离心率的最小值为22。

点评：对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解题，真是柳暗花明又一村。

第二类：求点点（点线）的最值问题
破解策略之三：建立相关函数并求函数的最值（下面第三类、第四类最值也常用此法）
例3：（05年上海）点A 、B 分别是椭圆
120
362
2=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。

（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。

分析：解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系，因此本题两点距离可转化成二次函数的最值问题进行求解。

解：（1）略（2）直线AP 的方程是x －3y +6=0。

设点M(m ,0),则M 到直线AP 的距离是
2
6+m 。

于是
2
6+m =6+m ,又－6≤m ≤6,解得m =2。

设椭圆上的点(x ,y )到点M 的距离d
222222549(2)4420()15992d x y x x x x =-+=-++-=-+,由于－6≤m ≤6, ∴当x =2
9
时,d 取得最小值15
点评：对于此类最值问题关键是如何将点点之间的最值问题转化成我们常见函数——二次函数的最值问题求解。

破解策略之四：利用椭圆定义合理转化
例4：定长为d d b a ≥⎛⎝
⎫
⎭⎪22的线段AB 的两个端点分别在椭圆
)0(12
2
22>>=+b a b
y a x 上移动，求AB 的中点M 到椭圆右准线的最短距离。

解：设F 为椭圆的右焦点，如图作于A'，BB'⊥于B'，MM'⊥于M'，则
()e
d
e AB BF AF e e BF e AF BB AA MM
2221212
||///
=≥+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
+=
当且仅当AB 过焦点F 时等号成立。

故M 到椭圆右准线的最短距离为。

点评：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB 过焦点的充要条件。

通过定义转化避免各种
烦琐的运算过程。

第五类：求线段之和（或积）的最值问题
破解策略之五：利用垂线段小于等于折线段之和。

例7：若椭圆
13
4
22=+
y x 内有一点()1,1P ，F 为右焦点，椭圆上的点M 使得||2||MF MP +的值最小，则点M 的
坐标为 A
．(3
B
．3
C ．3(1,)2±
D ．3(1,)2
提示：联系到1
2
e =
将||2MF 用第一定义转化成点到相应准线的距离问题，利用垂线段最短的思想容易得到正确答案。

选B 。

思考：将题中的2去掉会怎样呢？
破解策略之六：利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边
例8：如图，在直线09:=+-y x l 上任意取一点M ，经过M 点且以椭圆
13
122
2=+y x 的焦点作椭圆，问当M
在何
处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？ 分析：要使所作椭圆的长轴最短，当然想到椭圆的定义。

基本的解题思路如下：长轴最短→三点一直线→寻求对称→对称变换。

在一系列的变化过程中巧妙的运用对称，使我们找到一种简明的解题方法。

通过此对称性主要利用
||||||/1221F F NF NF ≥+解：椭圆的两焦点分别为1F （－3，0）、2F （3,0
作1F 关于直线l 的对称点'1
F ，则直线'
11F
F 的方程为
3-=+y x
由方程组⎩
⎨⎧-=--=+93
y x y x 得P 的坐标（－6，3），
由中点坐标公式得的'1F 坐标（－9,6）,所以直线'12F F 的方程32=+y x 。

解方程组⎩⎨
⎧-=-=+9
32y x y x 得M 点坐标（－5,4）。

由于5621802'
1===a F F ，
点评：对于此类最值问题是将所求的最值转化成三角形两边之和大于第三边或两点连线最短、垂线段最短的思想。

解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=
； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0
=+,等于已知P 是MN 的中点;
（4）给出()
+=+λ,等于已知,A B 与PQ 的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数
,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.
（6） 给出λ
λ++=
1OB
OA ，等于已知P 是的定比分点，λ为定比，即λ=
（7） 给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m ,等于已知AMB ∠是锐角,
（8
）
给出=⎪
⎫ ⎛+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/
（9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+，等于已知ABCD 是菱形; （10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形;
（11）在ABC ∆中，给出2
2
2
OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在ABC ∆中，给出=++，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在ABC ∆中，给出OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在ABC ∆中，给出+
=(
)||||
AB AC
AB AC λ+)(+∈R λ等于已知通过ABC ∆的内心； （15）在ABC ∆中，给出0=⋅+⋅+⋅c b a 等于已知O 是ABC ∆的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16） 在ABC ∆中，给出()
1
2
AD AB AC =
+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线; 健康文档 放心下载 放心阅读。