一类非线性差分方程的全局渐进稳定性
一类二阶差分方程的全局渐近稳定性
一类二阶差分方程的全局渐近稳定性贾秀梅;李永军;薛子臣【摘要】讨论二阶非线性有理差分方程xn+1 =x2-1/(a+xn)2+β,n∈N 的素二周期解、不变区间及全局渐近稳定性,其中参数α∈(1,+∞),β∈(0,1),初始条件x-1,x0∈(0,+∞).利用线性化方法和收敛定理得到了该方程的平衡点/x0=0是全局渐近稳定的;结合两个实例,通过Matlab数值模拟直观验证了结论的正确性.【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(050)001【总页数】5页(P11-14,19)【关键词】素二周期解;不变区间;局部渐近稳定性;全局渐近稳定性;Matlab数值模拟【作者】贾秀梅;李永军;薛子臣【作者单位】河西学院数学与统计学院,甘肃张掖734000;兰州城市学院数学学院,甘肃兰州 730070;河西学院数学与统计学院,甘肃张掖734000【正文语种】中文【中图分类】O175近年来，Ladas等对二阶和高阶的非线性有理差分方程进行了广泛研究.2002年，Kulenovic等［1］提出了众多公开问题和猜想，使差分方程的研究得到了进一步发展.文献［2］中，Jia对文献［1］中的公开问题10.5.6进行研究，得到了方程正平衡点的全局渐近稳定性.文献［3］得到了方程n∈N的正平衡点是一个全局吸引子.文献［4-6］对几类非线性有理差分方程进行研究，得到了一些好的结果.受上述研究启发，本文讨论二阶非线性有理差分方程平衡点的全局渐近稳定性，其中参数α∈（1，＋∞），β∈（0，1）.利用线性化方法和收敛定理得到了在初始条件x－1，x0∈（0，＋∞）下该方程的所有正解是全局渐近稳定的.针对两个实例，通过Matlab数值模拟，直观验证了结论的正确性.考虑二阶差分方程其中f：I×I→I是连续可微的函数，n∈N，I是某一实数区间，函数f（u，v）关于每一个变量都有连续的偏导数.¯x称为差分方程（2）的一个平衡点，如果¯x＝f（¯x，¯x）.或者说，当n≥－1时，xn＝¯x是差分方程（2）的解.定义1［1］（稳定性）设¯x是方程（2）的一个平衡点.则（i）方程（2）的平衡点x¯是局部稳定的，如果对任意的ε＞0，存在δ＞0，使得对所有满足x－1－x¯＋x0－x¯＜δ的x－1，x0∈I，当n≥－1时，有xn－x¯＜ε.（ii）方程（2）的平衡点x¯是局部渐近稳定的，如果它是局部稳定的，并且存在γ＞0，使得对所有满足xn－x¯＜γ的x－1，x0∈I有（iii）方程（2）的平衡点x¯是全局吸引子，如果对每一个x－1，x0∈I，有（iv）方程（2）的平衡点x¯是全局渐近稳定的，如果它是局部稳定的，并且是一个全局吸引子.令则方程（2）关于¯x的线性化方程为xn＋1＝pxn＋qxn－1，n＝0，1，2…，其特征方程为定义2［1］实数区间I称为方程（1）的不变区间，如果它满足条件：x－1，x0∈I⇒xn∈I，∀n＞0；也就是说，方程（1）的初始条件取自区间I的每一个解仍在I中.定义3［1］称方程（1）的解序列｛xn｝∞n＝－k是周期的，如果存在正整数p，使得xn＋p＝xn恒成立.这样的｛xn｝称为方程（1）的p周期解.满足此条件的最小正整数p称为最小正周期，此时的周期解也称素p周期解.引理1［1］（线性稳定性）（a）如果方程（3）的两个根都位于单位圆λ＜1之内，则方程（2）的平衡点x¯是局部渐近稳定的.（b）如果方程（3）的两个根中至少有一个根的模大于1，则方程（2）的平衡点x¯是不稳定的.（c）方程（3）的两个根都位于单位圆λ＜1之内的充分必要条件是p＜1－q＜2.此时x¯是一个汇点或吸引平衡点.（d）方程（3）的一个根的模大于1而另一个根的模小于1的充分必要条件是p2＋4q＞0且p ＞1－q.此时x¯是一个鞍点.（e）方程（3）的两个根的模都大于1的充分必要条件是q＞1且p ＜1－q.此时x¯是一个源点或排斥平衡点.引理2［1］设［a，b］⊂R，连续函数f：［a，b］×［a，b］→［a，b］满足下列性质：（a）f（x，y）对每一个固定的y，关于x单调不增，对每一个固定的x，关于y单调不减；（b）方程（2）在区间上没有素二周期解.那么方程（2）有唯一的平衡点x¯∈［a，b］，且方程的每一个解收敛到x¯.设¯x为差分方程（1）的平衡点，则有¯x＝解得记设，则方程（1）的线性化方程为解得于是记¯x1，¯x2，¯x0对应的p，q分别为p1，q1、p2，q2、p0，q0，则可求得定理1 方程（1）的平衡点¯x1，¯x2为鞍点.证明（i）先证¯x1为鞍点.由前面结论可知：所以有故由引理1（d）可知，方程（1）的平衡点¯x1不是局部渐近稳定的，且¯x1为鞍点. （ii）下证¯x2为鞍点.同理于是所以由引理1（d）可知，方程（1）的平衡点x¯2不是局部渐近稳定的，x¯2为鞍点. 综上所述，方程（1）的平衡点x¯1，x¯2为鞍点. 】定理2 方程（1）的平衡点x¯0为汇点，是局部渐近稳定的.证明要证方程（1）的平衡点x¯0为汇点，由引理1（c）可知，只需证明不等式p0＜1－q0＜2成立，即只需证明不等式p0＜1－q0和－q0＜1同时成立.先证明第一个不等式.因为故又因为由引理1（a），（c）可知，方程（1）的平衡点¯x0是汇点且局部渐近稳定. 】定理3 方程（1）没有正素二周期解.证明假设…，φ，ψ，φ，ψ，…为方程（1）的正素二周期解，即φ，ψ＞0，且φ≠ψ，则有由α＞1，0＜β＜1及φ≠ψ可知，该方程组等价于即（α＋ψ）2＝（α＋φ）2.等式两边展开并整理可得（φ－ψ）（φ＋ψ＋2α）＝0，从而，φ＝ψ或φ＋ψ＋2α＝0，这与φ≠ψ且φ＋ψ＋2α＞0矛盾.故方程（1）无正素二周期解. 】定理4 方程（1）关于平衡点¯x0存在不变区间I＝［0，1］.证明¯x0＝0∈［0，1］，由不变区间定义，设xN－1，xN∈［0，1］，则有故由不变区间的定义及归纳法知，I＝［0，1］为方程（1）的不变区间. 】定理5 设为定义在不变区间I×I→I上的连续函数，则f（u，v）关于u单调不增，关于v单调不减，这里I＝［0，1］.证明因为故f（u，v）关于u单调不增，关于v单调不减. 】定理6 方程（1）的所有正解最终进入不变区间I＝［0，1］.证明由定理4知，只要说明当初始条件不在不变区间I内时，存在解序列｛xn｝最终进入区间I即可.现假设方程（1）的初值x－1，x0∈（1，＋∞）的正解序列｛xn｝最终不进入区间I，即｛xn｝中从某项以后的项都进入（1，＋∞），即存在N∈N＋，当n＞N时，有xn＞1.现取方程（1）的两个子非平凡解序列｛x2k＋1｝与｛x2k｝，k∈N＋.下证两个子序列分别单调递减.因为故x2k－1＞x2k＋1.即｛x2k＋1｝单调递减且存在N∈N＋，当n＞N时，有x2n ＋1＞1.由单调有界原理得存在r≥1，使得同理，｛x2k｝单调递减且存在N∈N＋，当n＞N时，有x2n＞1.由单调有界原理可知，存在s≥1，使得下证r＝s.对两边取极限，有所以（α＋s）2＋β＝1.同理，对两边取极限，可知（α＋r）2＋β＝1.即有（α＋s）2＋β＝（α＋r）2＋β.由于s，r≥1，故得r＝s.所以这与方程（1）只有唯一非负平衡点¯x0矛盾，故假设不成立.即当初值x－1，x0∈（1，＋∞）时，｛xn｝最终进入区间不变I. 】定理7 方程（1）的平衡点¯x0为全局吸引子，且是全局渐近稳定的.证明由定理3～6及引理2可得，¯x0为方程（1）的一个全局吸引子.再根据定理2得出，¯x0是全局渐近稳定的. 】下面列举两个此类差分方程的例子.通过Matlab数值模拟，从图形可以直观地看出这类方程的所有正解是全局渐近稳定的，即所有正解最终趋于平衡点¯x0＝0.例1 图1是差分方程的Matlab绘图，这里x－1＝0.1，x0＝0.2.例2 图2是差分方程xn＋1＝的Matlab绘图，这里x－1＝ 0.2，x0＝0.1.［2］ JIA Xiu-mei，HU Lin-xia，LI Wan-tong.Dynamics of a rational difference equation［J］.Advances in Difference Equations，2010，Article ID 970720，14 pages.［3］ JIA Xiu-mei，LI Wan-tong.Boundedness and global attractivity of a higher-order nonlinear difference equation［J］.Discrete Dynamics in Nature and Society，2010，Article ID 610467，17pages.［4］ JIA Xiu-mei，HU Lin-xia.Global attractivity of a higher-order nonlinear difference equation［J］.Applied Mathematics and Computation，2010，216（3）：857-861.［5］ JIA Xiu-mei，TANG Guo-mei.Global attractivity of a higher-order nonlinear difference equation［J］.International Journal of Difference Equations，2010，5（1）：95-101.［6］贾秀梅，晏兴学，董文瑾.关于一类二阶非线性差分方程的无界解［J］.兰州理工大学学报，2010，36（6）：137-139.。
一类非线性差分方程的全局渐进稳定性
一类非线性差分方程的全局渐进稳定性刘军;刘梅【摘要】研究差分方程xn+1=α+β,xn/a+aoxn+…+akxn-k,n=0.1,…的全局渐进稳定性,其中参数α,β,a,ai ∈(0,∞),i=0,1,…,k,x-k,…x-1 ∈(0,∞)和x0 ∈(0,∞).证明了唯一正平衡点是全局稳定性的当且仅当它是局部渐进的.【期刊名称】《兰州工业学院学报》【年(卷),期】2010(017)002【总页数】3页(P42-44)【关键词】差分方程;全局吸引子;全局渐进【作者】刘军;刘梅【作者单位】兰州工业高等专科学校基础科学部,甘肃兰州,730050;兰州理工大学电信学院,甘肃兰州,730050【正文语种】中文【中图分类】O175本文研究下列差分方程的全局稳定性,其中参数α,β,a,ai∈(0,∞),i=0,1,…,k,初始条件 x-k,…,x-1∈[0,∞)和x0∈(0,∞).若给定 c-k,…,c-1∈[0,∞)和c0∈(0,∞),则(1)有唯一的解满足初始条件 x-i=c-i,i=k,…,1,0.由(1)的一个解,我们截断得一个序列{xn},n≥-k,且当n≥0满足(1).本文仅考虑方程(1)的正解,现将(1)改写为其中(2)式的平衡解是下列方程的解.显然对n≥-k,xn＞0.这里,我们仅考虑方程(2)的正解.方程(2)有唯一的正平衡点如果 k=1,则(2)变为这已在文献[2]研究过,其解的整体性态下面的定理给出:定理A 若α,β,a,a0,a1∈(0,∞),则(6)的唯一正平衡点˜x是一个全局吸引子.若α=0,β=1,(2)式变为这也已在文献[3]研究过,其解的整体性态下面的定理给出:定理B 若(3),(4)式都成立,则(7)式的唯一正平衡点˜x是全局渐进稳定的.本文在更一般情形下考虑(1)式的全局渐进稳定性,主要结果如下:定理1 若α,β,a,ai∈(0,∞),i=0,1,…,k,且(3)式成立,则(1)式的唯一正平衡点是一个全局吸引子.在本部分,我们给出定理证明所需的一些引理.引理1[4] 考虑差分方程其中,k1,k2,…,kr是正整数.k=max{k1,k2,…,kr}.此外,假设函数 F满足下列假设: 定义一个新函数 F(x)如下:其中,假定函数 F没有基本周期为2的周期点,则是(8)式的所有正解的一个全局吸引子. 引理2 设F,H∈C([0,∞),(0,∞))在[0,∞) 上单调不增,∈ (0,∞) 使得 F(=H(= ,[H(x)-F(x)](x- ≤0,x ≥0 成立.假定˜x是 H2在(0,∞) 上的唯一不动点.则˜x也是 F2在(0,∞)上的唯一不动点.引理3[3] 设H∈C[(0,∞),(0,∞)]是单调不增的函数是 F的唯一不动点,则下列论断等价:H2∈(0,∞).(a)是 H2在(0,∞)上的唯一不动点;(b)当x0∈(0,∞)时,是差分方程所有正解的一个全局吸引子.本节将完成主要定理的证明.显然(2)式的唯一正平衡点为证明 (1)式可以改写为显然,F和 g满足引理1的假设条件(H1-H4),进一步,由(10)式定义的函数 G可改写为从以上可得这表明F(x)≤H(x),0＜ x＜ ,其中 F(x)是由引理2定义.类似的,我们有F(x)≥H(x),x＞由引理2知,可以通过证明 H(x)2有唯一不动点来得到.设其中 N=n+k,n是一个充分大的正整数.显然的,R(x) ∈[(0,∞),(0,∞)]在[0,∞)是严格递减的 ,且有0我们有再利用引理2,只需再说明 R(x)2由唯一的不动点即可.注意到n是一个充分大的正整数.则对任意的x∈(0,∞),我们能够找到一个充分大的正整数 N使得N Cx-1-b0＞ 0.因此φ(x)＞0,x∈(0,∞),这暗示函数φ(x)是严格递增的.因此,M=L.从而可得每一个 R(x)2的不动点是 R(x)的不动点.显然,R(x)在[0,∞)是严格递减的,因此是R(x)的唯一不动点,R(x)2有唯一的不动点证毕.【相关文献】[1]R.M.Abu-saris,R.DeVault.Global stability ofyn+1Appl.math.lett.,16(2003)：173-178.[2]Y.H.Su,W.T.Li.Global asymptotic stability of a second-order nonlinear difference equation[J]put.,168(2005)：981-989.[3]W.T.Li,H.R.Sun.Dynamics of a rational differenceequation[J]put.,163(2005)：577-591.[4]L.X.Hu,W.T.Li.Global stability of a rational differenceequation[J]put,(2007)：601-604.[5]Y.H.Su,W.T.Li.Global attractivity of a higher order nonliear difference equation[J].Differ.Equat.Appl.,11(2005)：947-958[6]X.X.Yan,W.T.Li.Global attractivity for a class of higher order nonliear difference equation[J]put.,149(2004)：533-546.[7]X.X.Yan,W.T.Li.Global attractivity in a rational recursivesequence[J]put.,145(2003)：1-12.。
两类差分方程的全局渐近稳定性研究的开题报告
两类差分方程的全局渐近稳定性研究的开题报告一、研究背景差分方程是一种离散时间动态系统，被广泛应用于自然及社会科学中的模型研究，如生态、经济、生物、物理等领域。
其中稳定性问题是差分方程理论中的关键问题，其解决对于保障系统输出的可靠性和正确性具有重要意义。
全局渐近稳定性是指随着时间的推移，系统状态在相空间内趋于某个稳定点或者周期轨道，这种稳定状态对于真实世界的应用至关重要。
二、研究目的本研究旨在通过对两类不同型差分方程的全局渐近稳定性分析，提供相应理论和实践指导，为相关领域的理论研究和实际应用提供一定的参考依据。
三、研究内容（1）求解一类非线性差分方程的渐进稳定性在不考虑噪声干扰的情况下，求解非线性差分方程的全局渐近稳定性成为了当前的研究热点之一。
通过分析其特殊性质和采用多项式矩阵不等式等方法，可以有效地获取系数变量的优化范围，以实现对于全局渐近稳定性的保证。
（2）研究二阶线性差分方程的稳定性二阶线性差分方程是差分方程中极为常见的形式之一，其稳定性问题研究对于研究自然现象具有重要的意义。
本研究中，我们将重点探讨其特征方程的根与其稳定性之间的关系。
同时，基于李亚普诺夫稳定性定理，提出一种新的方法分析二阶线性差分方程的李雅普诺夫稳定性性质。
四、研究方法本研究将采用数学分析、符号计算、数值模拟等多种研究方法进行大量的探索和实验，对两类差分方程的全局渐近稳定性进行深入细致的研究和分析。
五、研究意义通过深入探讨和研究两类差分方程的渐进稳定性，可以为实现系统动力学的质变和优化提供理论基础和实践指导，为相关领域的应用发展提供重要理论支持，促进其研究的深度和广度的拓展。
一类非线性系统的全局渐近稳定和有限时间镇定
引用格式 周映江, 王莉, 孙长银. 一类非线性系统的全局渐近稳定和有 限时间镇定. 自动化学报, 2013, 39(5): 664−672
DOI 10.3724/SP.J.1004.2013.00664
Global Asymptotic and Finite-time Stability for Nonlinear Systems
在已有的关于非线性控制系统的研究中, 许多研究是 针对下三角形式的非线性系统 (常常是系统 (1) 中, pi = 1, di = 1, fi(x) 满足下三角形式), 考虑其各种稳定性, 解决这 种问题的最经典方法是反步法[1−3]. 后来, 反步法被扩展到 pi ≥ 1 的情况下, 由此产生了加幂积分方法[4]. 其后, 在许 多学者的不懈努力下, 加幂积分方法的限制条件不断被突破, 并且对于 pi 的要求也在不断的降低[5−7].
ZHOU Ying-Jiang1 WANG Li1, 2 SUN Chang-Yin1
Abstract In this paper, the problems of global asymptotic and finite-time stability of a class of nonlinear systems are considered. The control law is designed in the following three steps: First, the full matrix form nonlinear system is divided into a lower-triangular form plus a upper-triangular form. And for the lower-triangular systems, the generalized adding a power integrator technique is used to design the global stabilization controller from top to bottom. Next, we proof that the whole system is locally asymptotically stabile in a given region under the above controller. Finally, a series of nested saturations are imposed on the above controller. And by adjusting the saturation level, the global asymptotic stability of the closed-loop systems is ensured. In addition, we can also obtain the global finite-time stability of the whole nonlinear system under appropriate conditions.
一类非线性Lyness差分方程的定性分析
个 具 体 的数 值 算 例 。
关键词 ： Ｌ ｙ ｎ ｅ ｓ ｓ 差分方 程 ； 平 衡 点 ；全 局 渐 近 稳 定
中 图分 类号 ： Ｏ １ ７ ５ ． ７ ； Ｏ１ ７ ５ ． １ ２
引 言
差 分 方 程是 数 学 学 科 重要 的研 究领 域 之 一 ， 把 微 分方 程进 行离 散 就 得 到 差 分 方程 ， 因此 差分 方 程 的研 究 对 于常微 分 方 程 的数 值 计 算 非 常 重 要 ； 并 且
Ｖｏ １ ． ４０，Ｓｕ ｐ ｐｌ
２ ０１ ３
一
类 非线 性 Ｌ ｙ ｎ ｅ ｓ ｓ 差 分 方 程 的定 性 分 析
崔 月娥 张安 雨 冯 学文 吴 开谡
（ 北 京 化 工 大学 理 学 院 ， 北京 １ ０ ０ ０ ２ ９ ）
摘 要 ： 研 究 了一 类 非 线 性 二 阶 Ｌ ｙ ｎ ｅ ｓ ｓ 差分方程 ， 利 用 解 的不 变 区 间 的 技 巧 ， 证 明 了解 的 全 局 渐 近 稳 定 性 。 将 证 明所 得 结 论 推 广 到 ｋ阶 Ｌ ｙ ｎ ｅ ｓ ｓ 差分方程上 ， 进 一 步 讨 论 了 ｋ阶 Ｌ ｙ ｎ ｅ ｓ ｓ 差 分 方 程 解 的全 局 渐 进 稳 定 性 ， 并 给 出 了两
论 在社 会学 、 生 物数 学 、 离 散 动力 系统 等领域 中有着
广 泛 的应 用 … 。有 理 差 分 方 程 的 稳 定 性 行 为 是 差
则称 为 ｋ阶差分 方程 的平 衡点 。
首先 研究 式 （ １ ） 的二 阶 Ｌ ｙ ｎ ｅ ｓ ｓ 差 分方 程
Ｘ ＋ １ — — — — —一
＾ （ ＼ ２ 一 ） ，
了该方 程 的解 收敛 于方程 唯一 的正平衡 点 。
一类非线性差分方程组的全局渐近稳定性
ｔ ， ｎ ｔ ｎ ａ ｄｇ （ ＝１ ２ ４ ５ ｂａｎｓｆｃ ｎ ｃｎ ｉｏ ，ｈ ｙｔ ｉｅｅ ｃ ｑ ａ ｏ ｓ ｅ ｉｆ ｃ ｏ ｎ ｉ ， ， ， ）ｏｔｉ ｕ ｉｅ ｔ ｏｄｔｎ ｔｅｓｓ ｍ ｄｆ ｒｎｅｅ ｕｔ ｎ ｄ ｆｕ ｉ ｆｉ ｉ ｅ ｆ ｉ
ｈ ｖ ｎ ｑ ｅ ｅ ｕ ｌ ｒｕ ｓ ｌ ｔ ｎ ｗｈ ｃ ｓ ｇｏ ａ ｓ ｍｐ ｏ ｉ ｓ ｂｌ ｙ ａ ｅ ａ ｕ ｉ ｕ ｑ ｉ ｂ ｉ ｍ ｏ ｕ ｉ ｉｈ ｉ ｌｂ ｌ ｙ ｔ ｔ ｔ ｉ ｔ ｉ ｏ ａ ｃ ａ ｉ
Ｘａ ｉ ＋ Ｘｎ ｓ Ｘｎ －
－ －
ｔ
＋ Ｘ
ｎ －ｒ
Ｘｎ
－
＿
ｉ，，，， ｊｓ ｔｒｍｔ
ｍ
＋Ａ
其 中 Ａ＞ＯＪｌ ，，，，， ∈Ｚ ； ｛ ， ，， ， ＞ ，，， ｑｓ ｒｍ － ． Ｐ ０ １２ … ＋３ √，，， 不 相 同 ，，，， ｝ ｚＰ ｑ互 ｓ ｒｍ互 不 相 同． 初始 值
其 中初 始值 —， ， ，。 一 … ∈Ｒ＋且 ， ， ｇ ∈Ｃ（０ ＋∞） （ ， （， “ ，０ ＋∞ ） ，＝１２４５ ，３ ）ｉ ，，， ｇ ∈Ｃ （０ ＋。） （， 。” ， ［ ， 。 ）证明了其唯一正平衡 解Ｘ＝ 是 全局渐近稳定 的． ０ ＋。） ， １ 文 ［ ５ 分别 研究 了差分 方程组 ４— ］
－
一
，
ｋ２… ，。 －， ∈Ｒ＋ ．证 明了其唯一 的正平 衡解Ｘ＝１ 是全 局渐 近稳 定 的． 在文 ［ ］ ， 祥研 究 了非 线性 差分方程 ３ 中 孙太
＋ （ ， 一） ， ， …， （ … 一）
＋１ ＝
，
／ ＝ ０， … ， Ｚ １，
（ …，－ （ …，－ ＋∑ （ …，－ Ｘｋ ， Ｘｋ ｎ ｎ） ， Ｘｋ ｎ）
一类非线性差分方程平衡解的稳定性和吸引性
分方 程
＂１ 一一
．１ ： —
１ 预备知识及引理
令， 为一 实数 区间。 考虑 差分方 程
Ｘｎ － ｔ ｎ ｌ －Ｘ Ｘｎ ２
＿ ＿
州 ＝Ｆ（ Ｘ …，ｎ ） ， ＝ ， …， ｘ， ， Ｘ－ ｋ ｎ Ｏ１ ，
（ 中， ∈ ０ ∞）初值 ‰∈（， ） 的正平衡 其 ０ 【＋ ， ， 之 ０ 。） 。 解 全 局渐近稳 定性 的一 个 充分条 件 ．
文献［］ 探讨 了差 分方程 ６ｔ Ｏ
ｔ ｘ ｌ ｌ ． 一 Ｉ 时， ＝ ． Ｘ ｌ 瑟 ．＋ 面 有！ 互 ｏ＋ － ｘ ＋‘ ＜
（） ３ ＼ 一
…＋ ＜ 时 ， ｉ 一ｌ ｘ ６ 对所 有 的凡 一 有 一 ｌ ． ＜
ｎ一１
Ｘｎ ＋ ａ ＋ ｎ ２
一
（１ ｂ 称平 衡点 互 ｂ 是局 部渐 近稳 定 的， 如果 是局 部 稳 定 的 ， 且 存 在 ｙ ０ 使 得 当 …， ∈ 并 ＞， 。 ，满 足
， ２３… ， ，，， ｎ １ ，， 一 ：
，
（ ６ ）
ห้องสมุดไป่ตู้
—
（ 】 ， ）
其 中，≥ ｌ 自然数 ， 为 函数 ∈ｃ ，） 于每一 个 变 （ ，关 量 都有 连续 的偏导 数 ． 定义 １１ 点 ． 称为 差分 方程 （１的一个 平衡 点 ， ６
＂ ｎ １＋ 一
一
， ， ３… ｎ １ ，， ： ２ ，，
，
—
【Ｊ （） ｚ ２
月 ＂ １＋ Ｈ 一
一
方 程 ｆ 的一个 平凡解 ． ６ １
一类非线性有理差分方程的全局渐近稳定性
中图分类号 ： ７ Ｏ１ ５
文献标识码 ： Ａ
Ｇｌ ｂ ｌａ ｙ ｐｔ ｔｃ ｓａ ｉｉｙ ｏ ｌ ｓ ｆ ｎ ｎｌｎ ａ ａ ｉ ｎａ ｉ ｆ ｒ ｎ ｅ ｅ ａ ｉ ｎ ｏ ａ ｓ ｍ ｏ ｉ ｔ ｂ ｌｔ ｆａ ｃ ａ ｓ ｏ ｏ ｉ ｅ ｒ ｒ ｔｏ ｌｄ ｆ ｅ ｅ ｃ ｑｕ ｔｏ ｓ
２０ ， ０ ４年 李先 义Ⅲ利 用半 环 分 析法 研 究 下 面两 个 有理差 分方程 正平 衡点 的全局 渐 近稳定 性．
ｎ
（ ， ２ … ， ｚ１ ｚ ， ｚ ）一
哩 ± ｒ ± 塑 上
± 塑 ±堡
， ＋ｎ 一
１＋ ｙ － ｙ 十 Ｙ － ｙ一 ＋ Ｙ ￣Ｉ ， ￣Ｉ ， ，
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第 ３ ４卷 第 ３期
２０ 年 ６ ０８ 月
兰
州
理工大来自学学报
Ｖｏ ． ４ Ｉ３ ＮＯ ３ ．
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｈ ｕ Ｕｎｖ ｒｉｙｏ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｆＬａ ｚ ｏ ｉｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ
Ｊ Ｉ ２０ ｕ１ ０ ８ ．
ＨＵＯ ｌ ｅ ｇ Ｈａ— ｎ ，Ｍ Ｉ ｆ ＡＯ — ｎ Ｌｉ ｍｉｇ，ＺＨＡＮＧ ａ ｇ，ＸＩ Ｌｉｎ ＡＮＧ ｎ Ｈｏ ｇ
（ｎｓｉｕｅｏ Ｉ ｔｔｔ ｆＡｐｐｉｄ Ｍ ａ ｈ ｍ ａｉｓ ｌ ｔ ｅ ｔｃ ，Ｌａ ｚ ｏｕＵｎｉ． ｏ ｃ ｅ ｎｈ ｖ ｆＴｅ ｈ
． ，
ｍ ｅ ｎ ｆｓ ｔｉｇ ｕ ｎ ａ ｘｌ ｒ ｑ ａｉ ｎ Ｓ ｈ ｔａ ｓ ｆｉｉｎ ｏ ｄ ｔ ｎ ｗａ ｂ ａｎ ｄ ａ ｓｏ ｅｔｎ ｐ ａ ｕ ｉ ａ ｙ ｅ ｕ ｔ ， Ｏ ｔ ａ ｕ ｆ ｅ ｔｃ ｎ ｉｉ ｓｏ ｔｉｅ ｉ ｏ ｃ ｏ
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一类非线性差分方程的全局渐进稳定性
一类非线性差分方程的全局渐进稳定性
非线性差分方程是指一类常见的差分方程，它的研究可以帮助我们更好地理解和控制复杂系统。
而全局渐进稳定性是指一类非线性差分方程的稳定性，它可以帮助我们更好地理解和控制复杂系统的行为，从而更好地应用这类非线性差分方程。
一. 非线性差分方程的基本概念
非线性差分方程是一类常见的差分方程，它以差分方程的形式描述复杂系统的时变行为。
它以抽象的形式表达复杂系统的一般性质，以及系统的运动规律，是研究复杂系统的重要工具。
非线性差分方程的典型形式为：
y(n+1) = f(y(n))
其中，y(n)表示系统状态在时刻n时的值，f(y(n))表示系统状态在时刻n+1时的值，它们之间的关系可以通过非线性函数f(y(n))来描述。
二. 全局渐进稳定性
全局渐进稳定性是指一类非线性差分方程的稳定性，它可以帮助我们更好地理解和控制复杂系统的行为，从而更好地应用这类非线性差分方程。
全局渐进稳定性的定义：设y(n)为一类非线性差分方程的解，如果存在正定的常数k和M，使得当n→∞时，|y(n)|≤M·kn，则称此差分方程具有全局渐进稳定性。
全局渐进稳定性的特征：全局渐进稳定性可以保证一类非线性差分方程的解在某个范围内收敛，并且收敛速度是渐进的，即当n→∞时，|y(n)|的增长速度越来越慢。
三. 全局渐进稳定性的判别
要判断一类非线性差分方程是否具有全局渐进稳定性，需要先确定这类非线性差分方程的有限解，然后根据定义验证这类非线性差分方程是否具有全局渐进稳定性。
（1）确定有限解：一般来说，一类非线性差分方程具有有限解的充要条件是，不等式f(y(n))≤y(n)成立，其中f(y(n))是一类非线性差分方程的右边的函数。
如果满足此条件，则一类非线性差分方程具有有限解。
（2）验证全局渐进稳定性：确定有限解后，可以根据定义，构造出一类非线性差分方程的有限解，并将其作为验证全局渐进稳定性的依据。
如果满足定义，则证明一类非线性差分方程具有全局渐进稳定性。
四. 全局渐进稳定性的应用
全局渐进稳定性可以用于研究复杂系统的行为，帮助我们更好地理解和控制复杂系统的行为，从而更好地应用这类非线性差分方程。
（1）复杂系统的状态估计：复杂系统的状态估计是指使用某种算法，根据有限的观察结果，估计复杂系统的当前状态。
利用全局渐进稳定性，可以构造出一类非线性差分方程的有限解，这样就可以将这些有限解作为复杂系统状态估计的依据。
（2）控制系统的模拟：利用全局渐进稳定性，可以模拟一类非线性差分方程的控制系统，从而研究复杂系统的行为，并对控制系统进行调节。
五. 结论
通过本文的介绍，我们已经了解到，一类非线性差分方程的全局渐进稳定性可以帮助我们更好地理解和控制复杂系统的行为，从而更好地应用这类非线性差分方程。
此外，全局渐进稳定性还可以用于复杂系统的状态估计和控制系统的模拟。
因此，全局渐进稳定性是研究非线性差分方程的重要概念，也是复杂系统研究的重要工具。