等差数列的前n项和公式的巧记及其性质
等差数列前n项及公式推导及例题解析
等差数列的前n项和·例题解析一、等差数列前n项和公式推导：1〕Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成Sn=an+an-1+......a2+a1 两式相加得2Sn=〔a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)=n(a1+an)所以Sn=[n〔a1+an〕]/2〔公式一〕〔2〕如果等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，那么an=a1+(n-1)d代入公式公式一得Sn=na1+[n(n+1)d]/2〔公式二〕二、对于等差数列前n项和公式的应用【例1】等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解依题意，得10a1＋10(101)d=140∴2∴a1＋a3＋a5＋a7＋a9=5a1＋20d=125∴解得a1=113，d=－22．∴∴其通项公式为∴a n=113＋(n－1)·(－22)=－22n＋135a6=－22×6＋135＝3说明此题上边给出的解法是先求出根本元素a1、d，再求其他的．种先求出根本元素，再用它去构成其他元素的方法，是常用到的一种方法．在本中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而直接去求a6，所列方程组化简后可得2a1＋9d=28相减即得a1＋5d=3，a1＋4d=25即a6＝3．可，在做的候，要注意运算的合理性．当然要做到一点，必以知的熟掌握前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，⋯，197与2，7，12，⋯，197中，求它相同的和．解由，第一个数列的通a n＝3n－1；第二个数列的通b N=5N－3 假设a＝b，有3n－1＝5N－3mN即n＝N＋2(N1)3假设足n正整数，必有N＝3k＋1(k非整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以N＝1，4，7，⋯，40 n=1，6，11，⋯，66∴两数列相同的和2＋17＋32＋⋯＋197=1393【例3】：数a，b，5a，7，3b，⋯，c成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋⋯＋c＝2500，a，b，c的分[ ]A．1，3，5 B．1，3，7 C．1，3，99 D．1，3，9 解C由题设2b=a＋5a b=3a 又∵14＝5a＋3b，a＝1，b＝3∴首项为1，公差为2又S n=na1＋n(n1)d22500=n＋n(n1)·2∴n＝502a50=c=1＋(50－1)·2=99a＝1，b＝3，c＝99【例4】在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，假设这个数列的前半局部的和同后半局部的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解依题意2＝1＋(2n＋2－1)d①前半局部的和S n+1＝(n＋1)＋(n1)n d②2后半局部的和S′n+1＝(n＋1)·2＋(n1)n·(－d)2S n1(n1)(1nd)92由，有n d1 3S′n1(n1)(2)2nd1化简，得29nd 1322解之，得nd=5④11由①，有(2n＋1)d=1⑤由④，⑤，解得d=1，n=511∴共插入10个数．【例5】在等差数列{a}中，设前nm项和为Sm，前n项和为S，且nSm＝Sn，m≠n，求Sm+n．解∵S m+n＝(m＋n)a1＋1(m＋n)(m＋n－1)d 2＝(m＋n)[a1＋2(m＋n－1)d]∴且Sm＝Sn，m≠n∴ma1＋1m(m－1)d＝na1＋1n(n－1)d22d整理得(m－n)a1＋(m－n)(m＋n－1)=0即(m－n)[a1＋1(m＋n－1)d]=021由m≠n，知a1＋2(m＋n－1)d＝0∴S＝0m+n【例6】等差数列{a n}中，S3=21，S6=64，求数列｛|a n|｝的前n项和T n．分析等差数列前n项和S=na＋n(n1)d，含有两个未知数a121d，S3和S6的值，解方程组可得a1与d，再对数列的前假设干项的正负性进行判断，那么可求出T n来．解设公差为d，由公式S＝na＋n(n)d123a1＋3d=21得ba1＋15d=24解方程组得：d＝－2，a1＝9a n＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋1111由a n＝－2n＋11＞0得n＜=，故数列{a n}的前5项为正，2其余各项为负．数列{a n}的前n项和为：n(n1)2S n＝9n＋(－2)=－n＋10n∴当n≤5时，T n＝－n2＋10n当n＞6时，T n＝S5＋|S n－S5|＝S5－(S n－S5)＝2S5－S nT n＝2(－25＋50)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50T=－n2＋n≤5n10n即－10n＋50n∈N*2n＞6说明根据数列{a n}中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n|｝的前n项和．【例7】在等差数列{a n}中，a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20项之和．解法一由a6＋a9＋a12＋a15＝34得4a1＋38d＝34又S20＝20a1＋20×19d2＝20a1＋190d5(4a1＋38d)=5×34=170( a1+a20)×21＋a20)解法二S20==10(a2由等差数列的性质可得：a6＋a15=a9＋a12＝a1＋a20∴a1＋a20=17S20＝170【例8】等差数列{a n}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值．解法一设等差数列{a n}的公差为d，那么d＞0，由可得(a1＋2d)(a1＋bd)＝－12①a1＋3d＋a1＋5d=－4②由②，有a1＝－2－4d，代入①，有d2=4再由d＞0，得d＝2 ∴a1=－10最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20＝180解法二由等差数列的性质可得：a4＋a6＝a3＋a7即a3＋a7＝－4又a3·a7=－12，由韦达定理可知：a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的二根解方程可得x1=－6，x2＝2 d＞0∴{a n}是递增数列∴a3＝－6，a7=2d=a7a3=2，a1＝－10，S20＝18073【例9】等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n和T n，假设S n2n，那么a100等于T n 3n1b10[]A．1B．23C．199D．2002 993 01分析该题是将a100与S n2n发生联系，可用等差数列的前n项b100Tn3n1n(a1+an)和公式S n= 把前n项和的值与项的值进行联系．解法一∵S n n(a1a n)，Tnn(b1b n )22∴S na1an∴a1an2nT nb1bn b1bn3n1∵2a100＝a1＋a199，2b100＝b1＋b199 a100a1a1992×199199∴=b199=×199+1=选C．b 100b13299解法二利用数列{a n}为等差数列的充要条件：S n＝an2＋bnSn2nT n3n1可设S n＝2n2k，T n＝n(3n＋1)ka n SnSn12n2k2(n1)2k∴T n Tn1n(3n1)k(n1)[3(n1)1]kb n4 n2n16 n3n1∴a 100×100199 2b100×100299 3说明该解法涉及数列{a n}为等差数列的充要条件S n=an2＋bn，由S n2n，将S n和T n写成什么？假设写成S n=2nk，T n=(3n＋1)k，Tn3n1(1)是常数，就不对了．(2)【例10】解答以下各题：(3)：等差数列{a n}中a2＝3，a6＝－17，求a9；在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(5)：等差数列{a n}中，a4＋a6＋a15＋a17＝50，求S20；(6)：等差数列{a n}中，a n=33－3n，求S n的最大值．分析与解答(1)a6 =a2＋(6－2)d173d＝=－54a9=a6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32 (2)a1=19，a n+2=89，S n+2＝1350∵S n+2(a1+a n+2)(n+2)=2∴＋2=2×1350n=25n=2319+8935 an+2=a25=a1＋24dd=12故这几个数为首项是2111，末项是861，公差为35的23个数．121212(3)∵a4＋a6＋a15＋a17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21a4＋a17=a6＋a15=25( a1+a20)×2S20=10×(a4a17)2502(4)∵a n=33－3n ∴a1＝30S n(a1+a n)·n(633n)n363 =2n2223212×23212(n2)8n∈N，∴当n=10或n=11时，S n取最大值165．【例11】求证：前n项和为4n2＋3n的数列是等差数列．证设这个数列的第n项为a n，前n项和为S n．当n≥2时，a n＝S n－S n-1a n＝(4n2＋3n)－[4(n－1)2＋3(n－1)]=8n－1当n=1时，a1=S1=4＋3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a n=8n－1又a n+1－a n＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．说明这里使用了“a n=S n－S n-1〞这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n≥2时成立．因为当n＝1时，S n-1=S0，而S0是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n＝1时的情况．【例12】证明：数列{a n}的前n项之和S n＝an2＋bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．证由S n＝an2＋bn，得当n≥2时，a n＝S n－S n-1an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)=2na＋b－aa1＝S1＝a＋b∴对于任何n∈N，a n＝2na＋b－a且a n－a n-1=2na＋(b－a)－2(n－1)a－b＋a 2a(常数)∴{a n}是等差数列．假设{a n}是等差数列，那么S n＝na1＋n(n1)d 2= d·(1n)·n－d)2＋n(a1d2d=2 nn(a12)假设令d=a，那么a1－d=b，即22S n=an2＋bn综上所述，S n=an2＋bn是{a n}成等差数列的充要条件．说明由此题的结果，进而可以得到下面的结论：前n项和为S n=an2＋bn＋c的数列是等差数列的充分必要条件是c＝0．事实上，设数列为{u n}，那么：充分性必要性c=0 Sn＝an2＋bn {un}是等差数列．{un}是等差数列Sn＝an2＋bn c＝0．【例13】等差数列{an}的前n项和Sn＝m，前m项和Sm＝n(m＞n)，求前m＋n项和Sm+n．解法一设{a n}的公差d 按题意，那么有S n ＝na 1＋n(n1)d ＝m①2S m ＝ma 1＋m(m) d ＝n②2①－②，得(m －n)·a 1＋(mn)(mn1)·d=n－m2即a 1＋mn1d=－12(mn)(mn1)·d∴S mn (mn)a 12(mn )(a 1mn1·d)2=－(m ＋n)解法二 设S x ＝Ax 2＋Bx(x∈N)Am 2＋Bm ＝n An 2＋Bn ＝m①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m m≠n∴A(m＋n)＋B=－1故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n) 即S ＝－(m ＋n)m+n说明a 1，d 是等差数列的根本元素，通常是先求出基 本元素，再解决其它问题，但此题关键在于求出了a1＋mn1d＝－1，这种设而不2解的“整体化〞思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S x=Ax2＋Bx．(x ∈N)【例14】在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，那么n之值是多少？解∵S偶项－S奇项=ndnd=90－75=15又由a2n－a1＝27，即(2n－1)d=27nd＝15∴n=5(2n－1)d＝27【例15】在等差数列{a n}中，a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一建立S n关于n的函数，运用函数思想，求最大值．17169×8根据题意：S17=17a1＋d，S9＝9a1＋d∴a1=25，S17＝S9解得d＝－2S n＝25n＋n(n1)(－2)=－n2＋26n=－(n－13)2＋1692∴当n=13时，S n最大，最大值S13＝169解法二因为a1=25＞0，d＝－2＜0，所以数列{a n}是递减等差数列，假设使前an≥，可解出n．n项和最大，只需解a n+1≤0∵a1＝25，S9＝S17∴∴9×25＋9×8d=17×25＋17×16d，解得d=－22 2a n=25＋(n－1)(－2)=－2n＋27－2n＋27≥0n≤∴∴n=13－2(n＋1)＋27≥0n≥即前13和最大，由等差数列的前n和公式可求得S13=169．解法三利用S9=S17找相的关系．由意S9=S17得a10＋a11＋a12＋⋯＋a17=0而a10＋a17=a11＋a16=a12＋a15=a13＋a14a13＋a14＝0，a13=－a14∴a13≥0，a14≤0S13=169最大．解法四根据等差数列前n和的函数像，确定取最大的n．{a n}是等差数列∴可S n＝An2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的像原点，如3．2－1所示∵∵∵∵∵∵∵∵S9＝S17，9+17∴对称轴x= =13∴取n=13时，S13＝169最大。
等差数列前n项和的公式word版本
6
2
【审题指导】根据等差数列前n项和公式解方程.
【规范解答】（1）∵a15=
5 6
+(15-1)d=
3 2
, ∴d=
1 6
.
又Sn=na1+n
n 2
1· d=-5,解得n=15,n=-4（舍）.
（2）由已知，得S8=8a12a88解42得a8a8,=39,
又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.
∴a1=-5，d=a
6
5
a=1 3.∴a8=a1+（8-1）d=16.
知识点：等差数列前n项和的性质的应用
(1)项数（下标）的“等和”性质：
Sn= n（ a1an） n（ amanm 1 ）
2
2
(2)项的个数的“奇偶”性质：
等差数列{an}中，公差为d： ①若共有2n项，则S2n=n（an+an+1）； S偶-S奇=nd；S偶∶S奇= an+1∶an；
【变式训练】在等差数列{an}中，已知a6=10，S5=5，求a8. 【解析】方法一：设公差为d,
∵a6=10，S5=5，
∴
5a1a
5d解 1得0 ，
1 10d 5
∴a ad81=a365+, 2d=16.
方法二：设公差为d,
∵S6=S5+a6=15，∴15（6=a
1
2
a
6），即3（a1+10）=15.
问题2
一个堆放铅笔的V形架 的最下面一层放一支铅 笔，往上每一层都比它 下面一层多放一支，最 上面一层放100支.这个 V形架上共放着多少支 铅笔？
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
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等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
等差数列前n项和知识点归纳总结
等差数列前n项和知识点归纳总结等差数列是数学中常见的数列形式，由一系列等差数构成。
其中，等差数是按照一定的公差递增或递减的数，如1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。
在求等差数列前n项和时，我们需要掌握一些重要的知识点。
本文将对等差数列前n项和的计算方法进行归纳总结。
一、等差数列的概念与通项公式：等差数列是指一个数列中相邻两项之间的差值是一个常数。
通常用字母a，d表示等差数列的首项和公差，其通项公式的一般形式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
二、求等差数列前n项和的方法：1. 公式法：根据等差数列通项公式，我们可以得到第n项的具体表达式，然后将每一项累加起来即可得到前n项和。
这种方法适用于数列项数较多的情况。
2. 列表法：列举等差数列的前n项，然后将各项相加求和，即可得到等差数列前n项和。
这种方法适用于数列项数较少的情况。
三、等差数列前n项和的公式推导：要推导等差数列前n项和的公式，我们可以利用等差数列的通项公式和数列项数的特点进行推导。
考虑一个等差数列的前n项和Sn，其首项为a1，末项为an，公差为d。
根据等差数列的通项公式，我们可以列出如下两个等式：a1 = a1an = a1 + (n-1)d将这两个等式相加得：a1 + an = 2a1 + (n-1)d根据等差数列的性质，可以知道数列中的任意两项和都等于首项和末项的和，且这个和一共出现n次。
因此，将上述等式乘以n/2，得到：n(a1 + an) = n(2a1 + (n-1)d)化简后：2a1n + (n-1)dn = n(a1 + an)移项得：2a1n + dn^2 - dn - an = 0根据求根公式，可以求解出an的表达式为：an = a1 + (n-1)d将其代入上述等式，可以得到等差数列前n项和公式：Sn = n(a1 + an) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(2a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2四、等差数列前n项和的应用：等差数列前n项和的计算公式在数学和物理等领域有广泛的应用。
等差数列前n项求和公式方法
等差数列前n项求和公式方法等差数列是数学中常见的一种数列。
其中，首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。
要求等差数列前n项求和的公式，可以通过以下几种方法来推导。
一、首项与末项求和法首项与末项求和法是最常见的一种方法。
设首项为a₁，末项为aₙ，则数列的项数为n。
1.求首项与末项首项a₁为数列的第一项，末项aₙ为数列的第n项。
可以根据等差数列的通项公式推导得到，通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d其中，d表示公差。
2.求和公式根据等差数列的性质，首项与末项之和等于各项的平均数乘以项数，可以得到求和公式：Sₙ=(a₁+aₙ)×n/2其中，Sₙ表示前n项的和。
二、差法差法是一种较为简便的求和公式推导方法。
1.分析数列设首项为a₁，公差为d。
2.推导公式将数列分为两组，一组从首项开始，另一组从末项开始。
则两组数列的和相等，可以得到以下等式：(a₁+aₙ)×n/2=(a₁+aₙ)×(n/2)+(a₁+aₙ)×(n/2)化简可得：(a₁+aₙ)×n/2=(a₁×n+aₙ×n)/2再次化简可得：(a₁+aₙ)×n=a₁×n+aₙ×n进一步化简可得：Sₙ=(a₁+aₙ)×(n/2)其中，Sₙ表示前n项的和。
三、差分法差分法是另一种可以用于推导等差数列前n项求和公式的方法。
1.分析数列设首项为a₁，公差为d。
2.构造数列构造一个新数列b₁、b₂、b₃、..，其中，b₁为a₁，b₂为a₁+(a₁+d)，b₃为a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)，以此类推。
3.求和求这个新数列的和S₁，其中S₁=b₁+b₂+b₃+...+bₙ。
4.推导公式可以得到以下等式：S₁=b₁+b₂+b₃+...+bₙ=(n/2)×(2a₁+(n-1)d)将b₁展开，可以得到：S₁ = (n / 2) × (2a₁ + (n - 1)d) = (n / 2) × (2a₁ + (n - 1)d) = (n / 2) × (a₁ + a₁ + nd - d)再次化简可得：S₁ = (n / 2) × (a₁ + a₁ + nd - d) = (n / 2) × (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示前n项的和。
等差数列前n项和性质
等差数列前n项和性质等差数列是数学中经常遇到的一类数列，它的每一项与前一项之差相等。
在研究等差数列时，我们经常关注它的前n项和性质。
本文将探讨等差数列前n项和的计算方法，以及相关的重要性质。
首先，我们来介绍等差数列前n项和的计算公式。
设等差数列的首项为a_1，公差为d，前n项的和为S_n。
根据数列的性质，我们可以得到如下计算公式：S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)其中，n表示数列的项数。
这个公式的推导可以通过数学归纳法来证明。
首先，我们知道等差数列的第一项是a_1，最后一项是a_n= a_1 + (n-1)d。
根据等差数列的性质，我们可以将S_n分为两部分：前n-1项和加上最后一项。
根据等差数列的求和公式，前n-1项的和为n/2 * [2a_1 + (n-2)d]，最后一项为a_n。
将两部分相加，得到公式S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)。
通过这个公式，我们可以方便地计算等差数列前n项的和。
接下来，我们来研究一些关于等差数列前n项和的重要性质。
首先，等差数列前n项和的性质之一是与项数n的关系。
从等差数列前n项和的计算公式中可以看出，当项数n增加时，前n项的和也会随之增加。
特别地，当n为正整数时，前n项和是一个关于n的递增函数。
这说明等差数列的前n项和是随着项数的增加而增加的。
其次，等差数列前n项和的性质之二是与首项a_1和公差d的关系。
从公式S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)可以看出，首项a_1和公差d都会对前n项和产生影响。
首项a_1的大小决定了等差数列的起点，而公差d的大小则决定了等差数列的增量。
当首项a_1增加或者公差d增加时，前n项和也会相应地增加。
这说明等差数列前n项和与首项和公差之间存在着一定的关系。
此外，等差数列前n项和的性质之三是与项数n的奇偶性相关。
当项数n为奇数时，前n项和的计算公式中的2a_1 + (n-1)d中的n-1是一个偶数，所以前n项的和是一个关于n的奇数倍。
高中数学必修5：等差数列的前n项和公式的巧记及其性质
Sn=na1＋nn2－1d
等差数列的前n项和
已知量 首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和 公式
Sn＝
na1＋an 2
Sn＝ na1＋nn－ 2 1d
Sn与梯形面积
a1
n
a1
n
an
an
补成平形四边形
Sn
a1
an
与 梯
n
Sn
形
an
a1
面
积
Sn
(a1
an ) n 2
分割成一个平行四边形和一个三角形
[题后感悟] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和 Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an ，Sn中可知三求二，一般是通过通项公式和前n项和公式 联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方 法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体 思想的运用．
1. 在等差数列{an}中， (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8. (2)已知a2＋a4＝48/5，求S5； (3)已知a10＝12，a20＝32，Sn＝120，求an和n的值．
2．已知等差数列{an}，a1＝50，d＝－2，Sn＝0，则n等于 ()
A．51
B．50
C．49
D．48
解析： 由 Sn＝na1＋nn－ 2 1d 得 n×50＋n×n2－1×(－2)＝0 即 n2－51n＝0 ∴n＝0(舍去)或 n＝51.故选 A.
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19 的值为________．
设 Sn，Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前 n 项和， 当 n≤20 时，Sn′＝－Sn＝－－60n＋nn2－1×3 ＝－32n2＋1223n； 当 n>20 时，Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20 ＝－60n＋nn2－1×3－2×－60×20＋20×2 19×3 ＝32n2－1223n＋1 260.
等差数列前n项和性质及应用
2)由于a7<0,a6>0,所以S6最大。
a6 a7 0 S12 0 注意： S13 0 a7 0
等差数列绝对值的前n项和
例5、等差数列{ a n }， S n n 32 n ，
2
求{| a n |}的前n项和为 S
'
n
例.设数列{an}的通项公式为an=2n-7, 则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .
复习回顾
等差数列的前n项和公式:
n（a1 an ) 形式1: Sn 2
形式2:
n（n 1) Sn na1 d 2
.将等差数列前n项和公式
看作是一个关于n的函数，这个函数有什么 特点？
n(n 1)d S n na1 2
d d 令 A , B a1 2 2
2
求 n 为何值时， S n 最大？
变式、等差数列{ a n }， S n n 7n ，
2
求 n 为何值时， S n 最小？
3n 21 例 2、 等差数列{ a n }，a n , 求 2 2
n 为何值时， S n 最小？
方法（二） ：不等式组法（已知 a n 的表达式用此法）
a n 0 d<0时，前n项和有最大值，可由 求得n的值 a n 1 0
4 1 例6：已知a n 数列满足a1 =4,a n =4- ，令bn . a n-1 an 2 (1)求证数列b n 是等差数列。
(2)求数列an 的通项公式。
4 2(an 2) 解：（） 1 a n+1 2 2 an an 1 an 1 1 a n+1 2 2(an 2) 2 an 2 1 1 1 1 . bn1 bn . a n+1 2 an 2 2 2
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我们都知道等差数列的前n 项和公式有2个，你都记住了吗？有没有巧妙的记忆方法？等差数列的前n 项和S n 有哪些我们必须知道的性质呢？问题2：
问题1：课前提示
目录
1. 等差数列的前n项和公式S n的巧记方法
2. 等差数列的前n项和公式S n的性质及其应用
等差数列的前n项和公式S n的巧记方法
对一般的等差数列{a n } ，则有
S n =a n +a n -1+…+a 12S n =(a 1+a 2+…+a n )+(a n +a n -1+…+a 1)=(a 1+a n )+(a 2+a n -1)+…+(a n +a 1)S n =a 1+a 2+…+a n
=n (a 1+a n
)
等差数列的前n项和
将a n用首项a1和公差d 表示，可得
等差数列的前n项和
已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和
公式S n＝S n＝
1
a n
n
a 1a n n a S n 与梯形面积
1a n a 12
()n n a a n
S +⋅=n 补成平形四边形
n a 1a n S S n
与梯形面积
1a 112()n n n d S n a -=+分割成一个平行四边形和一个三角形n 1a a n =a 1+(n -1)d
(n -1)d n S S n 与梯形面积
例1 已知数列{a n}是等差数列，
(1)若a1＝1，a n＝－512，S n＝－1 022，求公差d；
(2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；
(3)若S10＝310，S20＝1 220，求S n.
(1) 若a1＝1，a n＝－512，S n＝－1 022，求公差d；
还有更简单的
方法吗？
(2) 若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；
(3) 若S10＝310，S20＝1 220，求S n.
[题后感悟] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，a n和S n都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，a n ，S n中可知三求二，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
1. 在等差数列{a n}中，
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8.
(2)已知a2＋a4＝48/5，求S5；
(3)已知a10＝12，a20＝32，S n＝120，求a n和n的值．
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8.
(2)已知a2＋a4＝48/5，求S5；
(3)已知a10＝12，a20＝32，S n＝120，求a n和n的值
a n=a10+(n－10)d
1．等差数列{a n}中，d＝2，a n＝11，S n＝35，则a1等于( )
A．5或7 B．3或5
C．7或－1 D．3或－1
2．已知等差数列{a n}，a1＝50，d＝－2，S n＝0，则n等于( )
A．51 B．50
C．49 D．48
3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＋a17＝10，则S19的值为________．
4．已知{a n}是等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a6＝9.求此数列前6项的和．
等差数列的前n项和公式S n的性质
等差数列的S n
最值问题2122
()n d d S n a n =+-S n 是一个关于n 的二次函数. 因此我们可以借助二次函数的图像 和性质来研究等差数列前n 项和的有关问题.
等差数列的S n 最值问题2122()n d d S n a n =+-2
A B n S n n =+若某个数列的前n 项和S n 可以表示成 ，则这个数列是等差数列.
2
A B n S n n =+
等差数列的S n 的性质2122()n d d S n a n =+-122
()n S d d n a n =+- 是一个等差数列，公差为 .2d {}n S n
例2 在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值．
由题目可获取以下主要信息：
①{a n}为等差数列．②a1＝25，S17＝S9.
解答本题可用二次函数求最值或由通项公式求n，使a n≥0，a n＋1<0或利用性质求出大于或等于零的项．
方法三：先求出d＝－2(同方法一)，
由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14, 故a13＋a14＝0.
∵d＝－2<0，a1>0.
∴a13>0，a14<0，
故n＝13时，S n有最大值169.
已知等差数列{a n}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13，
(1)求公差d 的值；
(2)求数列{a n}的前n项和S n的最小值．
已知等差数列{a n}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13，(1)求公差d 的值；
(2)求数列{a n}的前n项和S n的最小值．
n117
{|a n|}的前n项和．
由题目可获取以下主要信息：
①数列{a n}为等差数列；
②a1＝－60，a17＝－12，可求得公差d.
先分清哪些项是负的，再分段求出前n项的绝对值之和．
n117 {|a n|}的前n项和．
已知等差数列{a n}中，S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和A n.
{}n S n 是等差数列282=S 464=S 公差－1
2．等差数列的前n项和公式的应用
(1)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．
(2)两个公式共涉及a1、d、n、a n及S n五个基本量，依据方程的思想，在五个基本量中要知道三个基本量可求其它基本量，这也就是我们所说的“知三求二”．。