级数敛散性判别方法的归纳

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级数敛散性判别方法的归纳

（西北师大）

摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。

关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散

一. 级数收敛的概念和基本性质

给定一个数列｛n u ｝，形如

n u u u +++21 ①

称为无穷级数(常简称级数),用∑∞

=1

n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为

∑==n

n n n u s 1

=n u u u +++ 21 ②

称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞

=1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n

v 发散。

研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：

定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数

)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v

定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性

定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。

定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε

以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。

由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。

二 正项级数的收敛判别

各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法

1 比较判别法

设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有

n n v u ≤，则

（i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。 例 1 . 设∑∞

=1

2

n n a 收敛，证明：∑

∞

=2

ln n n

n

n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞

=1

2

n n a <)ln 1(212

2n n a n +

易知：∑∞

=22

ln 1n n n 收敛（积分判别法），又∑∞

=2

2

n n a 收敛，所以)ln 1 2122

2

n n a n n +∑∞

=（收敛。 由比较判别法知∑

∞

=2ln n n

n

n a 收敛（n a >0）. 例 2 . 证明：级数)0(sin )1(1

≠∀-∑∞

=x n x

n 都是条件收敛的。

证： 不妨设x>0,则∃x N >0，当n>x N 时，0n x ,且{n

x

sin }

为单调递减数列，且n

x

n sin lim ∞→=0。

由莱布尼茨判别法知)0(sin )1(1

≠∀-∑∞

=x n x

n 收敛。

而当n>x N 时，n x n sin

)1(- =n

x

sin >0，n

x

n x n sin lim

∞→=1

又∑∞

=1n n x 发散，由比较判别法知∑∞

=1

sin n n x

也发散。

所以0≠∀x ，级数)0(sin )1(1≠∀-∑∞

=x n x

n 都是条件收敛的。

例 3. 证明级数)]!1

!21!111([1

n e n ++++-∑∞

= 收敛

证： 0< n a = )!1!21!111(n e +++- < !

1

n n ⋅= n b .

n

n n b b 1lim +∞→= !

1)!

1()1(1

lim n n n n n ⋅+⋅+∞→= 2)1(lim +∞→n n n =0

由比值判别法知∑n b 收敛，再由比较判别法知∑n a 收敛，即有：

级数)]!1

!21!111([1

n e n ++++-∑∞

= 收敛。

根据比较原则，我们得到了两个更为实用的判别法，即柯西判别法和达朗贝尔判别法。

2 柯西判别法（根式判别法）

设∑n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数l ，（i ）若对一切n ＞

0N ，成立不等式n n u ≤l ＜1，则级数∑n u 收敛。（ii ）若对一切n ＞0N ，成

立不等式1≥n n u 则级数∑n u 发散。

例 1 . 判别级数∑n n 2

2

的敛散性。

解：因为 =∞→n n n u lim 2lim 2n

n n ∞→=12

1

<

所以由根式判别法知级数∑n n 2

2

收敛。

3 达朗贝尔判别法（比值判别法）

设∑n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及常数q （0＜q ＜1）. （i ）若对一切n ＞0N ，成立不等式

≤+n

n u u 1

q ，则级数∑n u 收敛。（ii ）若对一切n ＞0N ，成立不等式

11

≥+n

n u u 则级数∑n u 发散。 例 1 .判别级数∑⋅n n n

n !

3的敛散性。

解：因为 =+∞→n n n u u 1lim !3)1()!1(3lim 11n n n n n n n n n ⋅++++∞→= n n n

)

11(3

lim +∞→= e 3>1 所以由比式判别法知级数∑⋅n n n

n !

3发散。