高中数学函数值域的解法有哪些
北大师版高一数学上册--第一单元 求函数值域的八种方法(教师讲义)(含答案)
高中数学：求函数值域的十三种方法一、观察法（☆ ） 五、判别式法（☆） 二、配方法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 三、分离常数法（☆） 七、函数单调性法（☆） 四、反函数法（☆） 八、图像法（数型结合法）（☆）一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
【例1】求函数1y =的值域。
0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
【例2】求函数的值域。
【解析】∵ ∴ 显然函数的值域是：【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。
【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。
练习：1、求242-+-=x y 的值域． 2.求函数y =的值域．二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
x 1y =0x ≠0x 1≠),0()0,(+∞-∞Y【例1】 求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。
【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8]【变式】已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
【解析】由已知232x x ≤，可得032≤≤x ，即函数f x ()是定义在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦⎥上的二次函数。
将二次函数配方得f x x ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+12342，其对称轴方程x =-12，顶点坐标-⎛⎝ ⎫⎭⎪1234，，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦⎥内，如图2所示。
函数f x ()的最小值为f ()01=，最大值为f 32194⎛⎝ ⎫⎭⎪=。
重难点2-1 函数值域的常见求法8大题型(解析版)
重难2-1 函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）y cx d=+或cx d y ax b +=+的结构，可用cx d t +=”换元；（2）y ax b cx d =+±+,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用“cx d t +=”换元；（3）22y bx a x =-型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ady d cx d c c x c+-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x =+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b+（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。
高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
求函数值域的解题方法总结（16种）一、 观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例:求函数()x 323y -+=的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出()x 3-2的值域。
解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。
点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。
练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。
（答案：{}5,4,3,2,1,0）二、反函数法：当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例：求函数2x 1x y ++=的值域。
点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数2x 1x y ++=的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。
点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习:求函数x-x -xx 10101010y ++=的值域。
（答案：{}1y 1-y |y 或）。
三、配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。
例：求函数()2x x-y 2++=的值域。
点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。
解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。
此时2x x -2++=4921-x -2+⎪⎭⎫ ⎝⎛()232x x-02≤++≤∴，即原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤23y 0|y点评：求函数的值域的不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：x 4-155-x 2y +=的值域。
（答案：{}3y |y ≤）四、判别式法：若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理数，可用判别式法求函数的值域。
函数定义域值域求法(全十一种)
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
高一数学函数的定义域与值域的常用方法
高一数学求函数的定义域与值域的常用法一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。
例1. 已知2211()x x x f x x +++=，试求()f x 。
解：设1x t x +=，则11x t =-，代入条件式可得：2()1f t t t =-+，t ≠1。
故得：2()1,1f x x x x =-+≠。
说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。
2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。
例2. （1）已知21()2()345f x f x x x +=++，试求()f x ；（2）已知2()2()345f x f x x x +-=++，试求()f x ； 解：（1）由条件式，以1x 代x ，则得2111()2()345f f x x x x +=++，与条件式联立，消去1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则得：()222845333x f x x x x =+--+。
（2）由条件式，以－x 代x 则得：2()2()345f x f x x x -+=-+，与条件式联立，消去()f x -，则得：()2543f x x x =-+。
说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。
例4. 求下列函数的解析式：（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，求)(x f ；（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ，)1(+x f ，)(2x f ；（3）已知x xx x x f 11)1(22++=+，求)(x f ； （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 。
【题意分析】（1）由已知)(x f 是二次函数，所以可设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，设法求出c b a ,,即可。
高中数学：求函数值域的方法十三种(二)
高中数学：求函数值域的方法十三种（二）五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
（解析式中含有分式和根式。
）【例1】求函数2211x x y x ++=+的值域。
【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数，故有（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为【例2】求函数y x =+的值域。
【解析】两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
解法二：2(2)1(x 1)y x x x x =+-=+--]2,2[sin 1ππθθ-∈=-x )4sin(21cos sin 1πθθθ++=++=y 4344ππθπ≤+≤-14sin(22≤+≤-πθ原函数的值域为：【例3】已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
【解析】2221x ax by x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。
由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。
【高中数学讲义】函数求值域的十种方法
前言：总有人求助如何学好数学，这个问题很宽泛，并非寥寥数语能够厘清。
有一点很明确，学好数学的必要条件是了解数学。
高中数学可以归结为两个“三位一体”：教学体系的三位一体和知识结构的三位一体。
知识结构的三位一体：数学思想，数学方法，典型习题。
三要素之间的关系：典型习题归纳数学思想，数学思想指导数学方法，数学方法解决典型习题。
数学思想举例：数形结合的思想等。
数学方法举例：配方法、反证法、倍差法等。
典型习题举例：恒成立问题、是否存在问题等。
教学体系的三位一体：教、学、练。
老师教什么：数学思想和数学方法。
熟练掌握各种方法的是优秀学生，深入理解各种思想的是顶尖学生。
学生怎么学：课堂紧跟老师，课下善于提问。
如何做练习：01，选题：中学数学最大的误区就是题海战术，有的老师不学无术只会告诉你多做题。
多做题没用，多做类型才有用。
典型习题，做一顶百。
02，做题：一题多解。
对于选定的习题，运用尽量多的方法去解决，然后比较各个方法的优劣，归纳出某类型题对应的最佳方法。
03，总结：针对错题。
大量统计表明，我们在考试中所犯的错误大多是重复性的。
通过总结，避免两次踏入同一条水沟。
由上可知，我讲数学的特点是方法论、重总结。
工欲善其事，必先利其器：各种数学方法就是我们解决难题的利器。
总喊看题就没思路的童鞋，回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。
说不出？有思路才怪！言归正传，今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法”（高中数学最重要就是函数，函数之于高中数学好比力学之于高中物理。
高中数学函数的要点无非：三要素，四变换，五常见，六性质。
三要素中的求值域就是本讲的主题）方法一：配方法用于解决二次函数值域问题，考试中几乎不会单独考察配方法（太简单），但常与其他方法综合使用。
y=ax2+bx+c（a≠0）经过配方得到 y=a（x-m）2 +n 的形式，可直接观察出值域。
方法二：函数性质法高中阶段函数六性：奇偶性，单调性，周期性，对称性，凸凹性，有界性（前三为重点）。
求函数值域(最值)的方法
求函数值域（最值）方法汇总一．单调性法例1．求函数x 53x y ---=的值域 例2．求函数11--+=x x y 的值域例3．求函数x x y -+-=53的值域解一：例4．已知函数.2]2,0[34)(2的值，求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解：（1）当0=a 时，max ()(2)4232,f x f ==⨯-≠舍去； （2）当↑⇒〈-=〉上在时，对称轴方程为]2,0[)(020x f ax a 舍去,043254)2(〈-=⇒=+=⇒a a f ；（3）当时，0〈a 02〉-=ax 对称轴方程为， ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈⇒-∈⇒∈-a a a 1542384)2(-〉-=⇒=--=-⇒a a a a f ，舍去②122-〉⇒〉-a a ↑⇒上在]2,0[)(x f 43-=⇒a纵上，43-=a例5.已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
解：0)0()0()0()00(=⇒+=+f f f f为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ⇒-=-⇒-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x 〉⇒〉+-⇒〉-⇒〉-〈则令422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f()[-2,1][-4,2]f x ⇒在上的值域为：二．判别式（∆）法：用于自然定义域下的二次分式形式的函数，变形为关于x 的方程，讨论2x 的系数，当系数为0时，判断方程左边是否等于0；当系数不为0时，得0≥∆。
综上，求出y 的范围。
如：,,222211221121c x b x a b x a y b x a c x b x a y +++=+++=22221121c x b x a c x b x a y ++++=等。
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高中数学函数值域的解法有哪些
一。
观察法
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√2-3x 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√2-3x 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√2-3x≥0，
故3+√2-3x≥3.
∴函数的知域为。
点评：算术平方根具有双重非负性，即：1被开方数的非负性，2值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x]0≤x≤5的值域。
答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝
二。
反函数法
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=x+1/x+2的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=x+1/x+2的反函数为：x=1-2y/y-1,其定义域为y≠1的实数，故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=10x+10-x/10x-10-x的值域。
答案：函数的值域为{y∣y<-1或y>1｝
三。
配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域
例3：求函数y=√-x2+x+2的值域。
点拨：将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。
解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。
此时-x2+x+2=-x-1/22+9/4∈[0，9/4]
∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制
约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x-5+√15-4x的值域。
答案：值域为{y∣y≤3}
四。
判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=2x2-2x+3/x2-x+1的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原
函数的值域。
解：将上式化为y-2x2-y-2x+y-3=0 *
当y≠2时，由Δ=y-22-4y-2x+y-3≥0，解得：2
当y=2时，方程*无解。
∴函数的值域为2
点评：把函数关系化为二次方程Fx,y=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。
常适应于形如y=ax2+bx+c/dx2+ex+f及y=ax+b±√cx2+dx+e的函数。
练习：求函数y=1/2x2-3x+1的值域。
答案：值域为y≤-8或y>0。
五。
值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=fx,可求出y=fx在区间[a,b]内的较值，并与边界值fa.fb作比较，求出函数的值，可得到函数y的值域。
例5已知2x2-x-3/3x2+x+1≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数
的值域。
解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，
又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x-1≤x≤3/2,
∴z=-x-22+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4.
∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。
对开区间，若存在值，也可通过求出值而获得函数的值域。
练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为
A.-∞，+∞
B.[-7，+∞]
C.[0，+∞
D.[-5，+∞
答案：D。
六。
图象法
通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=∣x+1∣+√x-22 的值域。
点拨：根据值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
解：原函数化为 -2x+1x≤1
y= 3 -1
2x-1x>2
它的图象如图所示。
显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，+∞]。
点评：分段函数应注意函数的端点。
利用函数的图象
求函数的值域，体现数形结合的思想。
是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
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