高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件【新人教版】
2
2
(3)向量的夹角公式：设两非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的 夹角为θ ，
x1x 2 y1 y 2
2 2 2 2 ab x y x y 1 1 2 2 则cosθ = =__________________. | a || b |
【即时小测】 1.思考下列问题. (1)向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的数量积仍是向量，其坐标为(x1x2， y1y2)对吗？ 提示：不对.向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的数量积为实数，其值为 x1x2+y1y2.
4 3 5 5
(3)与向量a垂直的单位向量为e=(x，y)，则a·e=4x-3y=0，所以
【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例1中条件“a∥b”变为“a⊥b”，结论如何？ 【解析】因为a⊥b，所以a·b=0，即x-2=0. 所以x=2，所以a=(2，1)，所以a2=5. 又因为b2=5， 所以 a b a b 2 a 2 2a b b 2 10.
2.(改变问法)若典例1中条件不变，求|2a-3b|的值？
【解析】 2a-3b= 2( 1 ， 1) 3(1， 2)
2
=(-1，2)-(3，-6)=(-4，8)
所以|2a-3b|= 4 82 4 5.
2
【方法技巧】求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：利用|a|2=a2将向量的模的运算转化为向量与
数量积
向量垂直
2.与向量的模、夹角相关的三个重要公式
x y (1)向量的模：设a=(x，y)，则|a|=________.
2 2
(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| AB|=
x1 x 2 y1 y 2 ________________.
2.向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距 离，如a=(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使
2 得 OA=a=(x，y)，所以| OA |=|a|= x 2 y，即 |a|为点A到原点的距离.
=(x -x ，y -y )，所以| 同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB AB |= 2 1 2 1
提示：由a∥b利用向量共线的坐标表示求x的值.向量a=(x，y)的模为
|a|= x 2 y 2 .
2.典例2中与向量a平行的单位向量是什么？与向量a垂直的单位向量可
以表示成什么？
提示：与向量a平行的单位向量是〒
a ，与向量a垂直的单位向量可以 a
表示为a·e=0.
【解析】1.选B.因为a=(x，1)，b=(1，-2)，且a∥b， 所以-2x-1〓1=0，解得x=- 1 .
A.{2，3} C.{2}
【解析】选C.因为a=(x-5，3)，b=(2，x)， 又a⊥b，所以a·b=2(x-5)+3x=0，解得x=2，则由x的值构成的集合 是{2}.
4.已知a=(1， 3 )，b=(-2，0)，则|a+b|=______.
【解析】因为a+b=(-1， 3 )，
所以|a+b|= 12
2.已知a=(-3，4)，b=(5，2)，则a·b的值是( A.23 B.7 C.-23 D.-7
)
【解析】选D.由数量积的计算公式，a·b=(-3，4)·(5，2)= -3〓5+4〓2=-7.
3.已知向量a=(x-5，3)，b=(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合 是( ) B.{-1，6} D.{6}
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识提炼】 1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ . 它们对应坐标的乘积的和. 两个向量的数量积等于________________________ x1x2+y1y2 即：a·b=________ x1x2+y1y2=0 a⊥b⇔__________
a 5
或 ( ， ).
x 3 ， y 4 3 3 x 3 ， x ， x ， y 4 2 2 5 又因为|e|=1，所以x +y =1，联立 解得 5 或 x 2 y2 1 4 ， y y 4 . 5 5 4 3 4 所以坐标为 ( 3， )或( ， ). 5 5 5 5
【典例】1.(2015·石家庄高一检测)设x∈R，向量a=(x，1)，b=(1，-2)， 且a∥b，则|a+b|=(
A. 5 B. 5 2
)
C.2 5 D.5
2.若向量a的始点A(-2，4)，终点B(2，1)，求
(1)a的模.
(2)与向量a平行的单位向量的坐标.
(3)与向量a垂直的单位向量的坐标.
【解题探究】1.典例1中如何求x的值？向量的模的坐标表达式是什么？
2
B. 1
2
C.-1
D.1
【解题探究】1.典例1中，利用哪个条件建立关于x的方程？ 提示：根据a·b=1建立关于x的方程. 2.典例2中，向量数量积的运算满足哪些运算律？ 提示：向量数量积的运算满足数乘结合律(λa)·b=λ(a·b) =a·(λb)；满足分配律(a+b)·c=a·c+b·c.
【解析】1.选A.因为a=(2，1)，b=(x，2)，所以a·b=2x+1〓2=1， 解得x=- 1 .
2
2.(1)方法一：2a=2(1，3)=(2，6)， b-a=(2，5)-(1，3)=(1，2)， 所以2a·(b-a)=(2，6)·(1，2)=2〓1+6〓2=14. 方法二：2a·(b-a)=2a·b-2a2 =2(1〓2+3〓5)-2(1+9)=14.
(2)方法一： a+2b=(1，3)+2(2，5)=(1，3)+(4，10)=(5，13)， (a+2b)·c=(5，13)·(2，1)=5〓2+13〓1=23. 方法二：(a+2b)·c=a·c+2b·c =1〓2+3〓1+2(2〓2+5〓1)=23. (3)因为b·c=2〓2+5〓1=9， 所以a·(b·c)=9a=9(1，3)=(9，27).
2 1 所以 a b ( 1 ， 1) 1 ， 2 ( ， 1) 2 2
1 2 5 2 a b ( ) 1 . 2 2
2.(1)因为a= AB=(2，1)-(-2，4)=(4，-3)，所以|a|= 42 32 5.
) (2)与向量a平行的单位向量是〒 a 1(4，-3)，即坐标为 ( ， 5 5 4 3
【一题多解】本题还可以采用以下方法： 因为a=(2，-1)，b=(3，-2)， 所以3a-b=(6，-3)-(3，-2)=(3，-1)， a-2b=(2，-1)-(6，-4)=(-4，3). 所以(3a-b)·(a-2b)=3〓(-4)+(-1)〓3 =-15. 答案：-15
类型二
向量的模的问题
2.平面向量夹角的余弦公式的应用条件及使用策略 (1)应用条件 已知两个非零向量的坐标，可以利用该公式求得夹角的余弦值. (2)在不同表示形式下求向量夹角的策略 ①当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出a·b，|a|和|b| 或直接得出它们之间的关系. ②若a，b是坐标形式，则可直接利用公式cosθ = 求解.
x 2 x1
2
2 即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式.由 y 2 y1 ，
此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算.
知识点2
向量垂直、夹角余弦值的坐标表示
观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：两个向量夹角公式的条件是什么？ 问题2：两个向量的数量积和两个向量夹角的余弦值有何关系？ 问题3：两个向量垂直条件与平行条件的运算有何区别？
答案：2
3
2
2.
5.a=(-4，3)，b=(1，2)，则2|a|2-3a·b=______.
【解析】因为a=(-4，3)，
所以2|a|2= 2
4
2
32
50.
2
a·b=-4〓1+3〓2=2.
所以2|a|2-3a·b=50-3〓2=44.
答案：44
ห้องสมุดไป่ตู้
【知识探究】 知识点1 平面向量数量积及模的表示
向量的数量积的问题.
(2)坐标表示下的运算：若a=(x，y)，a·a=a2=x2+y2，于是有|a|=
x 2 y2 .
【补偿训练】已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(a-c)·(b-c)=0，则|c|的最大值是( A.1 B.2 C. 2 ) D. 2
2
【解析】因为|a|=|b|=1，a·b=0，展开(a-c)·(b-c)=0后得 |c|2=c·(a+b)，由于a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，故 |a+b|= 2 ，设<a+b，c>=θ，则|c|2=c·(a+b)=|c|·|a+b|cosθ， 当|c|≠0时，|c|=|a+b|·cosθ= 2 cosθ≤
【方法技巧】数量积运算的途径及注意点 (1)两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算； 二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算. (2)注意点：对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，注意把握 图形特征，并写出相应点的坐标即可求解.
【变式训练】已知a=(2，-1)，b=(3，-2)，则(3a-b)·(a-2b) =________. 【解析】因为a·b=2〓3+(-1)〓(-2)=8，a2=22+(-1)2=5， b2=32+(-2)2=13， 所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3〓5-7〓8+2〓13=-15. 答案：-15
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(3)向量的夹角公式：设两非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的 夹角为θ ，
x1x 2 y1 y 2
2 2 2 2 ab x y x y 1 1 2 2 则cosθ = =__________________. | a || b |
【即时小测】 1.思考下列问题. (1)向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的数量积仍是向量，其坐标为(x1x2， y1y2)对吗？ 提示：不对.向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的数量积为实数，其值为 x1x2+y1y2.
4 3 5 5
(3)与向量a垂直的单位向量为e=(x，y)，则a·e=4x-3y=0，所以
【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例1中条件“a∥b”变为“a⊥b”，结论如何？ 【解析】因为a⊥b，所以a·b=0，即x-2=0. 所以x=2，所以a=(2，1)，所以a2=5. 又因为b2=5， 所以 a b a b 2 a 2 2a b b 2 10.
2.(改变问法)若典例1中条件不变，求|2a-3b|的值？
【解析】 2a-3b= 2( 1 ， 1) 3(1， 2)
2
=(-1，2)-(3，-6)=(-4，8)
所以|2a-3b|= 4 82 4 5.
2
【方法技巧】求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：利用|a|2=a2将向量的模的运算转化为向量与
数量积
向量垂直
2.与向量的模、夹角相关的三个重要公式
x y (1)向量的模：设a=(x，y)，则|a|=________.
2 2
(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| AB|=
x1 x 2 y1 y 2 ________________.
2.向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距 离，如a=(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使
2 得 OA=a=(x，y)，所以| OA |=|a|= x 2 y，即 |a|为点A到原点的距离.
=(x -x ，y -y )，所以| 同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB AB |= 2 1 2 1
提示：由a∥b利用向量共线的坐标表示求x的值.向量a=(x，y)的模为
|a|= x 2 y 2 .
2.典例2中与向量a平行的单位向量是什么？与向量a垂直的单位向量可
以表示成什么？
提示：与向量a平行的单位向量是〒
a ，与向量a垂直的单位向量可以 a
表示为a·e=0.
【解析】1.选B.因为a=(x，1)，b=(1，-2)，且a∥b， 所以-2x-1〓1=0，解得x=- 1 .
A.{2，3} C.{2}
【解析】选C.因为a=(x-5，3)，b=(2，x)， 又a⊥b，所以a·b=2(x-5)+3x=0，解得x=2，则由x的值构成的集合 是{2}.
4.已知a=(1， 3 )，b=(-2，0)，则|a+b|=______.
【解析】因为a+b=(-1， 3 )，
所以|a+b|= 12
2.已知a=(-3，4)，b=(5，2)，则a·b的值是( A.23 B.7 C.-23 D.-7
)
【解析】选D.由数量积的计算公式，a·b=(-3，4)·(5，2)= -3〓5+4〓2=-7.
3.已知向量a=(x-5，3)，b=(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合 是( ) B.{-1，6} D.{6}
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识提炼】 1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ . 它们对应坐标的乘积的和. 两个向量的数量积等于________________________ x1x2+y1y2 即：a·b=________ x1x2+y1y2=0 a⊥b⇔__________
a 5
或 ( ， ).
x 3 ， y 4 3 3 x 3 ， x ， x ， y 4 2 2 5 又因为|e|=1，所以x +y =1，联立 解得 5 或 x 2 y2 1 4 ， y y 4 . 5 5 4 3 4 所以坐标为 ( 3， )或( ， ). 5 5 5 5
【典例】1.(2015·石家庄高一检测)设x∈R，向量a=(x，1)，b=(1，-2)， 且a∥b，则|a+b|=(
A. 5 B. 5 2
)
C.2 5 D.5
2.若向量a的始点A(-2，4)，终点B(2，1)，求
(1)a的模.
(2)与向量a平行的单位向量的坐标.
(3)与向量a垂直的单位向量的坐标.
【解题探究】1.典例1中如何求x的值？向量的模的坐标表达式是什么？
2
B. 1
2
C.-1
D.1
【解题探究】1.典例1中，利用哪个条件建立关于x的方程？ 提示：根据a·b=1建立关于x的方程. 2.典例2中，向量数量积的运算满足哪些运算律？ 提示：向量数量积的运算满足数乘结合律(λa)·b=λ(a·b) =a·(λb)；满足分配律(a+b)·c=a·c+b·c.
【解析】1.选A.因为a=(2，1)，b=(x，2)，所以a·b=2x+1〓2=1， 解得x=- 1 .
2
2.(1)方法一：2a=2(1，3)=(2，6)， b-a=(2，5)-(1，3)=(1，2)， 所以2a·(b-a)=(2，6)·(1，2)=2〓1+6〓2=14. 方法二：2a·(b-a)=2a·b-2a2 =2(1〓2+3〓5)-2(1+9)=14.
(2)方法一： a+2b=(1，3)+2(2，5)=(1，3)+(4，10)=(5，13)， (a+2b)·c=(5，13)·(2，1)=5〓2+13〓1=23. 方法二：(a+2b)·c=a·c+2b·c =1〓2+3〓1+2(2〓2+5〓1)=23. (3)因为b·c=2〓2+5〓1=9， 所以a·(b·c)=9a=9(1，3)=(9，27).
2 1 所以 a b ( 1 ， 1) 1 ， 2 ( ， 1) 2 2
1 2 5 2 a b ( ) 1 . 2 2
2.(1)因为a= AB=(2，1)-(-2，4)=(4，-3)，所以|a|= 42 32 5.
) (2)与向量a平行的单位向量是〒 a 1(4，-3)，即坐标为 ( ， 5 5 4 3
【一题多解】本题还可以采用以下方法： 因为a=(2，-1)，b=(3，-2)， 所以3a-b=(6，-3)-(3，-2)=(3，-1)， a-2b=(2，-1)-(6，-4)=(-4，3). 所以(3a-b)·(a-2b)=3〓(-4)+(-1)〓3 =-15. 答案：-15
类型二
向量的模的问题
2.平面向量夹角的余弦公式的应用条件及使用策略 (1)应用条件 已知两个非零向量的坐标，可以利用该公式求得夹角的余弦值. (2)在不同表示形式下求向量夹角的策略 ①当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出a·b，|a|和|b| 或直接得出它们之间的关系. ②若a，b是坐标形式，则可直接利用公式cosθ = 求解.
x 2 x1
2
2 即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式.由 y 2 y1 ，
此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算.
知识点2
向量垂直、夹角余弦值的坐标表示
观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：两个向量夹角公式的条件是什么？ 问题2：两个向量的数量积和两个向量夹角的余弦值有何关系？ 问题3：两个向量垂直条件与平行条件的运算有何区别？
答案：2
3
2
2.
5.a=(-4，3)，b=(1，2)，则2|a|2-3a·b=______.
【解析】因为a=(-4，3)，
所以2|a|2= 2
4
2
32
50.
2
a·b=-4〓1+3〓2=2.
所以2|a|2-3a·b=50-3〓2=44.
答案：44
ห้องสมุดไป่ตู้
【知识探究】 知识点1 平面向量数量积及模的表示
向量的数量积的问题.
(2)坐标表示下的运算：若a=(x，y)，a·a=a2=x2+y2，于是有|a|=
x 2 y2 .
【补偿训练】已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(a-c)·(b-c)=0，则|c|的最大值是( A.1 B.2 C. 2 ) D. 2
2
【解析】因为|a|=|b|=1，a·b=0，展开(a-c)·(b-c)=0后得 |c|2=c·(a+b)，由于a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，故 |a+b|= 2 ，设<a+b，c>=θ，则|c|2=c·(a+b)=|c|·|a+b|cosθ， 当|c|≠0时，|c|=|a+b|·cosθ= 2 cosθ≤
【方法技巧】数量积运算的途径及注意点 (1)两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算； 二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算. (2)注意点：对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，注意把握 图形特征，并写出相应点的坐标即可求解.
【变式训练】已知a=(2，-1)，b=(3，-2)，则(3a-b)·(a-2b) =________. 【解析】因为a·b=2〓3+(-1)〓(-2)=8，a2=22+(-1)2=5， b2=32+(-2)2=13， 所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3〓5-7〓8+2〓13=-15. 答案：-15
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高中数学第二章平面向量24平面向量的数量积242平面向量数量积的坐标表示模夹角课件新人教A版必修4
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 2】 已知向量 a= (1,2),b= (2,-3),若向量 c 满足(a+ c)
∥ b,c⊥(a+ b),则 c 等于( )
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二
垂直问题
【例2】 已知向量 a= (1,2),向量b= (x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于
()
A.9 B.4 C.0 D.-4
解析:∵ a⊥(a-b), ∴ a·(a-b)= 0, ∴ a2-a·b= 5-(x-4)= 0,解得x=9.
答案:A 反思有关向量垂直的问题 ,通常利用它们的数量积为 0来解决.本 题也可先求出 a-b的坐标,再代入a·(a-b)= 0,解得x.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一
数量积的坐标运算
【例1】 已知a= (2,-1),b= (3,-2),求(3a-b)·(a-2b). 分析:先求出 a·b,a2,b2,再对(3a-b)·(a-2b)展开求解 ;或先将3a-b,a2b的坐标求出 ,再进行运算 .
解法一:∵ a·b= 2×3+ (-1)×(-2)= 8,a2= 22+ (-1)2= 5,b2= 32+ (-2)2= 13, ∴ (3a-b)·(a-2b)= 3a2-7a·b+ 2b2= 3×5-7×8+ 2×13=- 15. 解法二:∵ a= (2,-1),b= (3,-2), ∴ 3a-b= (6,-3)-(3,-2)= (3,-1),
| a| =
??
2 1
+
??22 ;
(4)cos θ= |????·||????|? cos θ=
??1 ??1+ ??2??2 ;
2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4
答案:(1)B (2)2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
利用坐标运算解决模的问题
【例3】已知向量a=(1,2),b=(3,-1). (1)求|a-2b|; (2)求与a垂直的单位向量; (3)求与b平行的单位向量.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)(方法 1)因为 a=(1,2),b=(3,-1), 所以 a-2b=(-5,4), 于是|a-2b|= (-5)2 + 42 = 41. (方法 2)因为 a=(1,2),b=(3,-1), 所以|a|= 5,|b|= 10,a· b=1. 于是|a-2b|= (������-2������)2 = |������ |2 -4������· ������ + 4|������|2
)
解析:(1)因为������������=(2,3)-(1,2)=(1,1),������������=(-2,5)-(1,2)=(-3,3),所以 ������������ ·������������=1×(-3)+1×3=0. (2)以点 B 为原点,以������������ , ������������的方向为 x 轴,y 轴的正方向建立平 面直角坐标系, 则 A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0), 所以������������=(2,-1),������������=(2,2),所以������������ ·������������=2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), ∴(a+b)· (2a-b)=(2,4)· (-5,2)=2×(-5)+4×2=-2. (3)(a· b)c=[(-1,2)· (3,2)](2,1) =(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1). a (b · c)=(-1,2)[(3,2)· (2,1)] =(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
利用坐标运算解决模的问题
【例3】已知向量a=(1,2),b=(3,-1). (1)求|a-2b|; (2)求与a垂直的单位向量; (3)求与b平行的单位向量.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)(方法 1)因为 a=(1,2),b=(3,-1), 所以 a-2b=(-5,4), 于是|a-2b|= (-5)2 + 42 = 41. (方法 2)因为 a=(1,2),b=(3,-1), 所以|a|= 5,|b|= 10,a· b=1. 于是|a-2b|= (������-2������)2 = |������ |2 -4������· ������ + 4|������|2
)
解析:(1)因为������������=(2,3)-(1,2)=(1,1),������������=(-2,5)-(1,2)=(-3,3),所以 ������������ ·������������=1×(-3)+1×3=0. (2)以点 B 为原点,以������������ , ������������的方向为 x 轴,y 轴的正方向建立平 面直角坐标系, 则 A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0), 所以������������=(2,-1),������������=(2,2),所以������������ ·������������=2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), ∴(a+b)· (2a-b)=(2,4)· (-5,2)=2×(-5)+4×2=-2. (3)(a· b)c=[(-1,2)· (3,2)](2,1) =(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1). a (b · c)=(-1,2)[(3,2)· (2,1)] =(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
高中数学 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件
cos a b
ab
x1 x2 y1 y2
x12 y12
第十页，共14页。
x22 y22
理论(lǐlùn)
例迁移1 已知向量(xiàngliàng)a＝(4，3),b
＝(－1，2),
求:
(1) a·b；
(2) (a＋2b)·(a－b)；
(3) |a|2－4a·b.
(1) 2；（2）17；（3）－3.
第十三页，共14页。
小结
(作1xa.i业aǎ⊥∥ojbibé)
x1 y2
x1 x2
x2 y1 0
y1 y2
0
二者有着
本质区别.
2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝角 (dùnjiǎo)），则a·b＞0（＜0），反之 不3.向成量立的. 坐标运算沟通了向量与解析几何 的内在联系，解析几何中与角度、距离、 平行(píngxíng)、垂直有关的问题，可 以考虑用向量方法来解决.
思考(sīkǎo)2：对于上述向量i、j，则i2， j2，i·j分别等于什么？
i2=1，j2=1，i·j=0.
第六页，共14页。
思考3：根据数量积的运算性质，a·b等 于(děngyú)什么？
a·b＝x1x2＋y1y2
思考4：若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2，这就是平面向量数量积 的坐标(zuòbiāo)表示.你能用文字描述这一 结论吗？
cosθ≈－0.03，θ≈92°.
第十二页，共14页。
例4 已知向量(xiàngliàng)a＝(λ，
－2)，b＝(－3，5)，若向量
(xiàngliàng)a 与b的夹角为钝角，求λ
的取值范(围.130
,
高一数学人教A版必修4课件：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
第二章 平面向量§2.4 平面向量的数量积2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺 04明目标、知重点1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.1.平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.即两个向量的数量积等于 .2.两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔.x1x2＋y1y2填要点·记疑点相应坐标乘积的和x1x2＋y1y2＝03.平面向量的模(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝探要点·究所然情境导学在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义及向量的坐标表示，在此基础上推导、探索平面向量数量积的坐标表示.探究点一 平面向量数量积的坐标表示思考1 已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b ?答 ∵a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1j ·i ＋y 1y 2j 2.又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.思考2 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，这就是平面向量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？答 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.例1 已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；解 设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4).(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解 ∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).反思与感悟 两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同.同时本例进一步验证了平面向量的数量积不满足结合律.跟踪训练1 若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c ＝____________；a·(b·c)＝____________.(－16，－8) (－8，－12)解析 ∵a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8).∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12).探究点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考2 如图，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如何计算向量 的模？＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，思考1 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ⊥b ，则x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系如何？反之成立吗？答 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.思考2 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？探究点三 平面向量夹角的坐标表示例如，(1)若a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则a与b的夹角为________.直角(2)已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是________三角形.跟踪训练2 已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围.解 ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∵a，b的夹角α为钝角.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).例3 已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求与点D的坐标.解 设点D的坐标为(x，y)，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3).∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.②反思与感悟 在几何中利用垂直及模来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及模长列出方程组进行求解.跟踪训练3 以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求点B和的坐标.可得10x＋4y＝29，①即x2－5x＋y2－2y＝0，②当堂测·查疑缺 1234 1.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )B又∵a，b的夹角范围为[0，π].C5呈重点、现规律1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.明目标、知重点3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.。
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),且满足条件(8ab)· c=30,则x=( ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:∵a=(1,1),b=(2,5), ∴8a-b=8(1,1)-(2,5)=(8,8)-(2,5)=(6,3). ∴(8a-b)· c=(6,3)· (3,x)=6×3+3x=18+3x=30. ∴x=4. 答案:C
3π ������· ������ -5 2 = =- . |������||������| 5· 10 2
∵θ∈[0,π ],∴θ= 4 .
答案:(1)C (2)
3π 4
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打 “ ”,错误的 打“×”. (1)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2).a⊥b⇔x1x 2-y1y 2=0. ( ) (2)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 所成角为 θ,则 cos
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二向量垂直的问题 【例3】 (1)已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于 ( ) A.9 B.4 C.0 D.-4 (2)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E,F分别在AB,AD上,且AE=1,则当 DE⊥CF时,AF= . 解析:(1)由已知得a-b=(1-x,4). ∵a⊥(a-b),∴a· (a-b)=0. ∵a=(1,2),∴1-x+8=0,∴x=9.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
方法二:a· (a-b)=a2-a· b =(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4. (2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), ∴(a+b)· (2a-b)=(2,4)· (-5,2)=2×(-5)+4×2=-2. (3)(a· b)c=[(-1,2)· (3,2)](2,1) =(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1). a (b · c)=(-1,2)[(3,2)· (2,1)] =(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
高中数学 2.42.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件 新人教A版必修4
第二十五页，共30页。
跟踪
训练
3．如下图所示，以原点 O 和 A(5,2)为两个顶点作等腰直角 △AOB，使∠B＝90°，求点 B 的坐标．
第二十六页，共30页。
跟踪 训练
分析：向量数量积的坐标运算；化归与转化的思想． 解析：设点 B(x，y)，则O→B＝(x，y)，A→B＝(x－5，y－2)， ∵∠B＝90°，∴x(x－5)＋y(y－2)＝0.① 又|A→B|＝|O→B|， ∴x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2.②
目 链
Hale Waihona Puke 接方法二 ∵向量 a－λb 与 2a＋b 垂直，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝0，
∴2a2＋(－2λ＋1)a·b－λb2＝0，
第十八页，共30页。
跟踪 训练
又|a|＝ 42＋32＝5，|b|＝ －22＋12＝ 5，
a·b＝(4，3)·(－2，1)＝－8＋3＝－5， ∴50－5(－2λ＋1)－5λ＝0，
目 链
接
练习 1：a＝(2,3)，b＝(－2,4)，则(a＋b)·(a－b)
＝______.
答案(dáàn)：－7
第五页，共30页。
思考
应用
1．平面向量数量积用坐标表示的基础和意义是怎样的？
解析：数量积的坐标表示的基础是：向量的坐标表示和数量积的
运算律．设 i，j 分别是和 x 轴、y 轴同向的单位向量，则 i·i＝1，j·j
解得 λ＝－9.
第十九页，共30页。
题型2 根据向量(xiàngliàng)间的关系求向量(xiàngliàng)的坐标
例2 已知 a 与 b 同向，b＝(1，2)，a·b＝10.
(1)求向量 a 的坐标；
栏
(2)若 c＝(2，－1)，求 a(b·c)及(a·b)c.
跟踪
训练
3．如下图所示，以原点 O 和 A(5,2)为两个顶点作等腰直角 △AOB，使∠B＝90°，求点 B 的坐标．
第二十六页，共30页。
跟踪 训练
分析：向量数量积的坐标运算；化归与转化的思想． 解析：设点 B(x，y)，则O→B＝(x，y)，A→B＝(x－5，y－2)， ∵∠B＝90°，∴x(x－5)＋y(y－2)＝0.① 又|A→B|＝|O→B|， ∴x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2.②
目 链
Hale Waihona Puke 接方法二 ∵向量 a－λb 与 2a＋b 垂直，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝0，
∴2a2＋(－2λ＋1)a·b－λb2＝0，
第十八页，共30页。
跟踪 训练
又|a|＝ 42＋32＝5，|b|＝ －22＋12＝ 5，
a·b＝(4，3)·(－2，1)＝－8＋3＝－5， ∴50－5(－2λ＋1)－5λ＝0，
目 链
接
练习 1：a＝(2,3)，b＝(－2,4)，则(a＋b)·(a－b)
＝______.
答案(dáàn)：－7
第五页，共30页。
思考
应用
1．平面向量数量积用坐标表示的基础和意义是怎样的？
解析：数量积的坐标表示的基础是：向量的坐标表示和数量积的
运算律．设 i，j 分别是和 x 轴、y 轴同向的单位向量，则 i·i＝1，j·j
解得 λ＝－9.
第十九页，共30页。
题型2 根据向量(xiàngliàng)间的关系求向量(xiàngliàng)的坐标
例2 已知 a 与 b 同向，b＝(1，2)，a·b＝10.
(1)求向量 a 的坐标；
栏
(2)若 c＝(2，－1)，求 a(b·c)及(a·b)c.
高中数学：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件-PPT精品文档
(2) 已 知a 2, b1, a与b之 间 的 夹
为, 那 么 向m量 a4b的 模(为 )
3
A 2. B 2.3 C 6. D 1.2
讲授新课
探究： 已知两个非零a向(x量 1, y1),
b(x2, y2),怎样用 a 和b的坐标 表 示ab?
1. 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即
2. 两个向量的数量积的性质: (3)当 a与 b同向 , ab 时 ab. 当 a与 b反向 , ab时 ab.
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质: (3)当 a与 b同向 , ab 时 ab. 当 a与 b反向 , ab时 ab.
2
特别 , a地 aa 或 a aa.
讲解范例:
例2. 设a(5,7),b(6, 4),求
ab及a、 b间的夹 (精 角确1o)到 .
讲解范例:
例3. 已 知a(1, 3), b( 31, 31),
则a 与b的 夹 角 是?多 少
讲解范例:
例3. 已 知a(1, 3), b( 31, 31),
则a 与b的 夹 角 是?多 少
|a|(x1x2)2(y1y2)2
3. 向量垂直的判定: ab x1x2y1y20.
课后作业
1. 阅读教材P109到P112; 2.2. P108 A组 3.第9、10、11题
课后思考:
1. 以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角 2.△OAB，使B=90，求点B和向量 的坐标.
2
特别 , a地 aa 或 a aa.
(4) cos a b . (5) ab a b.
ab
复习引入
3. 练习：
(1)已知 a1, b 2, 且 (ab)与 a垂,直 则a与b的夹(角)是
为, 那 么 向m量 a4b的 模(为 )
3
A 2. B 2.3 C 6. D 1.2
讲授新课
探究： 已知两个非零a向(x量 1, y1),
b(x2, y2),怎样用 a 和b的坐标 表 示ab?
1. 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即
2. 两个向量的数量积的性质: (3)当 a与 b同向 , ab 时 ab. 当 a与 b反向 , ab时 ab.
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质: (3)当 a与 b同向 , ab 时 ab. 当 a与 b反向 , ab时 ab.
2
特别 , a地 aa 或 a aa.
讲解范例:
例2. 设a(5,7),b(6, 4),求
ab及a、 b间的夹 (精 角确1o)到 .
讲解范例:
例3. 已 知a(1, 3), b( 31, 31),
则a 与b的 夹 角 是?多 少
讲解范例:
例3. 已 知a(1, 3), b( 31, 31),
则a 与b的 夹 角 是?多 少
|a|(x1x2)2(y1y2)2
3. 向量垂直的判定: ab x1x2y1y20.
课后作业
1. 阅读教材P109到P112; 2.2. P108 A组 3.第9、10、11题
课后思考:
1. 以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角 2.△OAB，使B=90，求点B和向量 的坐标.
2
特别 , a地 aa 或 a aa.
(4) cos a b . (5) ab a b.
ab
复习引入
3. 练习：
(1)已知 a1, b 2, 且 (ab)与 a垂,直 则a与b的夹(角)是
人教版高中数学平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 (共22张PPT)教育课件
( 1 )若 a 2 b 与 2 a b 平 行 ， 则
3(12x)4(2x)0,得 x1 2
(2 )若 a 2 b 与 2 a b 垂 直 ， 则
(12x)(2x)430 ,得 x =-2 或 7 2
例 3 (1)已 知 a(1, 3),b(1,1),
a与 b的 夹 角 ,求 cos
cos ab 6 2.
2
2
x 1 x 2 i x 1 y 2 ij x 2 y 1 ij y 1 y 2 j
因 为 i2 1 ,ij 0 ,j2 1
所 以 a b x 1 x 2 y 1 y 2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和.
练习1：已知向量 a
求:(1)
a
b
(3,
1),b
=(1,-2)
(2) (ab) (ab)
什
么
很
头
试
常
变
成
我
自
己
你
部
多
时
完
弄
。
但
戏
候
在
这
样
做
时 现 镜 有
场
一
个
就
穿
我
不
想
后
不
好
的
后
和
尔
是
等
我
果
就
戴 。
是 东
得
你
可
希
当
你
真
以 的
■电你是否有这样经历，当 你在做某一项工作 和学习的时候，脑 子里经常会蹦出各 种不同的需求。比 如你想安 心下来看2小时的书，大脑会 蹦出口渴想喝水， 然后喝水的时候自 然的打开电视。。 。。。。，一个小 时过去 了，可能书还没看2页。很多 时候甚至你自己都 没有意思到，你的 大脑不停地超控你 的注意力，你就这 么轻易 的被你的大脑所左右。你已 经不知不觉地变成 了大脑的奴隶。尽 管你在用它思考， 但是你要明白你不 应该隶属 于你的大脑，而应该是你拥 有你的大脑，并且 应该是你可以控制 你的大脑才对。一 切从你意识到你可 以控制你 的大脑的时候，会改变你的 很多东西。比如控 制你的情绪，无论 身处何种境地，都 要明白自己所
3(12x)4(2x)0,得 x1 2
(2 )若 a 2 b 与 2 a b 垂 直 ， 则
(12x)(2x)430 ,得 x =-2 或 7 2
例 3 (1)已 知 a(1, 3),b(1,1),
a与 b的 夹 角 ,求 cos
cos ab 6 2.
2
2
x 1 x 2 i x 1 y 2 ij x 2 y 1 ij y 1 y 2 j
因 为 i2 1 ,ij 0 ,j2 1
所 以 a b x 1 x 2 y 1 y 2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和.
练习1：已知向量 a
求:(1)
a
b
(3,
1),b
=(1,-2)
(2) (ab) (ab)
什
么
很
头
试
常
变
成
我
自
己
你
部
多
时
完
弄
。
但
戏
候
在
这
样
做
时 现 镜 有
场
一
个
就
穿
我
不
想
后
不
好
的
后
和
尔
是
等
我
果
就
戴 。
是 东
得
你
可
希
当
你
真
以 的
■电你是否有这样经历，当 你在做某一项工作 和学习的时候，脑 子里经常会蹦出各 种不同的需求。比 如你想安 心下来看2小时的书，大脑会 蹦出口渴想喝水， 然后喝水的时候自 然的打开电视。。 。。。。，一个小 时过去 了，可能书还没看2页。很多 时候甚至你自己都 没有意思到，你的 大脑不停地超控你 的注意力，你就这 么轻易 的被你的大脑所左右。你已 经不知不觉地变成 了大脑的奴隶。尽 管你在用它思考， 但是你要明白你不 应该隶属 于你的大脑，而应该是你拥 有你的大脑，并且 应该是你可以控制 你的大脑才对。一 切从你意识到你可 以控制你 的大脑的时候，会改变你的 很多东西。比如控 制你的情绪，无论 身处何种境地，都 要明白自己所
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面
探究一 平面向量数量积的坐标运算 [典例 1] (1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,4)，求 a·b，(a－b)·(2a＋3b)． (2)已知向量 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求： ①向量 a 的坐标； ②若 c＝(2，－1)，求(a·c)b. [解析] (1)解法一 ∵a＝(1,2)，b＝(3,4)， ∴a·b＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝2|a|2＋a·b－3|b|2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.
垂直关系.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
数量积
两个向量的数量积等于相应坐标乘积的 和，即 a·b＝x1x2＋y1y2
两个向量垂直 a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0
4k＋2＝0，k＝－12.
3．已知 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，则向量 a，b 的夹角 θ＝________.
解析：因为 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，
所以 cos θ＝
3×－ 32＋12
3－＋1×321＋12＝－12，
又 0°≤θ≤180°，所以 θ＝120°.
答案：120°
所以 2a－b＝(4,8)．所以|2a－b|＝4 5，故选 D.
答案：(1)2 5 4 (2)D
探究三 向量的夹角与垂直 [典例 3] 已知点 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标以及矩形 ABCD 两对角线所夹锐角 的余弦值． [解析] (1)因为 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，A→B＝(1,1)，A→D＝(－3,3)，所以A→B·A→D＝ 1×(－3)＋1×3＝0，所以A→B⊥A→D，即 AB⊥AD.
2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4
2.向量模的公式
设 a=(x1,y1),则|a|=
x12 y12
.
3.两点间的距离公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB |= x2 x12 + y2 y12 .
4.向量的夹角公式:设两非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 夹角为θ ,则
即时训练 1-1: (1)(2018·安溪县检测)已知向量 a=(1,2),b=(2,x),且 a·b=-1,则 x 的值等于( )
(A) 1 2
(B)- 1 (C) 3
2
2
(D)- 3 2
解析:(1)因为 a=(1,2),b=(2,x), 所以 a·b=(1,2)·(2,x)=1×2+2x=-1,
答案:(2)C
(3)已知a=(2,-1),b=(3,2),若存在向量c,满足a·c=2,b·c=5,则向量
c=
.
解析:(3)设 c=(x,y),因为 a·c=2,b·c=5,
所以
2x 3x
y 2, 2 y 5,
解得
x
y
Байду номын сангаас
9, 7 4, 7
所以
c=(
9 7
,
解:(1)因为a∥b, 所以x=3×(-1),即x=-3.
(2)若a⊥(a-2b),求a与b的夹角.
解:(2)依题意 a-2b=(3-2x,3). 因为 a⊥(a-2b),所以 a·(a-2b)=0,即 3(3-2x)+3=0, 解得 x=2,所以 b=(2,-1). 设向量 a 与 b 的夹角为θ,
(2)(a+2b)·c.
解:(2)法一 因为a+2b=(1,3)+2(2,5)=(1,3)+(4,10)=(5,13), 所以(a+2b)·c=(5,13)·(2,1) =5×2+13×1=23. 法二 (a+2b)·c =a·c+2b·c =1×2+3×1+2(2×2+5×1) =23.