八年级数学两数和乘以它们的差
华师大版八年级数学上册第12章第3节《两数和乘以这两数的差》教学课件
判断下列各式是否正确，并说明理由
(1)(a b)(a b) a2 b2 ( ×)
(2)(a b)(a b) a2 b2
( ×)
(3)(0.5 0.2x)(0.5 0.2x) 0.25 0.04x2 (√
(4)(3x 1)(3x 1) 9x2 1
（2）等式右边是这两 个数(字母)的平方差.
公式中的字母的意义很 广泛,可以代表常数,单项 式或多项式
注：必须符合平方差 公式特征的代数式才能
用平方差公式
观察图形，再用等式表示图中图形面 积的运算：
a
几
何
abb
解
(a-b)(a+b)
释
=
a2 － b2
(a+b)(a－b)
a2
b2
例1 计算
(x+3)(x-3)= x2 32 x2 9 (2a+3b)(2a-3b)= (2a)2 (3b)2 4a2 9b2
1
(-x+2)(-x-2)
－x
b a2 b2 最后结果
3 y2 32 y2 9
3b a2 (3b)2 a2 9b2
5b
12 (5b)2
2
1 25b
2 (x)2 22 x2 4
概括总结
平方差公式 (a b)(a b) a2 b2
平方差公式的特征：
（1）等式左边是两个 数(字母)的和乘以这两 个数(字母)的差.ຫໍສະໝຸດ 问改造后的长方形草坪的面积是多少？
解 (a 2)(a 2) a2 4
答 :改造后的长方形草坪的 面积是(a 2 4)平方米
知识回顾
1．多项式乘以多项式的法则：_______。
平方差公式
平方差公式
[说教法] 从“动态的数学观”出发，在教学过程中，大力提倡学生主 动参与，根据建构主义理论，创造有利条件，鼓励学生对同一个 问题积极寻求不同的思路、依靠他们自己的活动去探索数学，以 便培养学生的实践能力和创新意识。 从而主要运用了：探究式教学法 [说学法] 我坚持以“学生发展为本”，充分体现学生学习的个性化、 自主化、协作化。引导学生在学生与教师、学生与学生的交流和 讨论中进行学习。 从而在教学过程中，主要引导学生开展“独立探究与合作性 学习有机结合”。 [说教学过程] 提出问题,明确目标 独立探究（自学教材、尝试独立推导） 合作交流，揭示特征，得出结论 分层应用 总结方法， 形成技能
（2）999×1001
平方差公式
C组：
1、（x－1）(x2 +1)(x+1)
2、(a－3)(a+4)(a+3)(a－4)
3、(2a－5b)(2a+5b)(4a2+25b2) 4、20042－2005×2003
平方差公式
课堂小结： 1、知识点小结：引导学生与老师、学生与学生讨论 本节课所学的知识以及在应用平方差公式解题时应把握 的要点。 2、学生自身能力方面，注意自身观察力的培养、注 重解题技巧的形成。
平方差公式
[教材所处的地位] 本节课是八年级上册第13章第3部分内容――乘 法公式的第一课时，两数的和乘以这两数的差（即 平方差公式）。平方差公式既为符合公式特征的整 式乘法运算带来简便；又为后续学习利用公式法分 解因式奠定基础；同时，平方差公式在“正与逆” 两方面的灵活运用有助于学生数学解题技能的提高 和发展学生的数学思维。为此，它在初中代数教学 与解题应用中占有重要地位。 根据课标精神和对教材的分析，结合实际，制 定如下教学目标：
13.3 两数和乘以这两数差教学设计
知 识 回 顾
3)、(y+2)(y-2 ) 4)、(a+b)(a-b) 问题 1、以上四道题实际上都是什么运算？(多项式×多项式) 问题 2、你能用语言叙述它们的法则吗？用式子如何表示？ 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一
cm
2
在原有的知识和经验上自 我建构知识。
个多项式的每一项，再把所得的积相加。
条件：⑴二项式×二项式；
⑵两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数的项。
结论：⑴ 两项的平方差；
⑵ (完全相同项)2－(互为相反项)2
让学生进一步感受公式的
填一填：
结构特点,分清 a、b 的意 义
第３０页练习 第１题
2、请你判断以下的计算是否正确，并说明理由；
做 ⑴、(m＋3n)(m－3n)=m² －3n²
标 3、情感、态度和价值观目标
让学生经历从“一般—>特殊—>一般”的知识发展过程，从中
感受“学数学，用数学”的乐趣，并体会数形结合的数学思想。
请你独立计算下列各题)、(2+a)(2-b)
近发展区出发，为了激活
2)、(x-2)(x+3)
学生原有的知识，让学生
考
根据你所归纳出的规律，你能马上算出下面的答案吗？
经过实践体会乘法公式的
例 1 计算：
简便，感受“学数学，用
（1） （a＋3）（a－3）；（2） （2a＋3b）（2a－3b）； 数学”的乐趣
（3）（1＋2c）（1－2c）；（4）（－2x＋y）（－2x－y）．
k x
让学生清晰地分辨公式特
试一试：下面两题能用两数和乘以这两数的差公式吗?如果能， 征
巩固所学，及时反馈
整式乘法的平方差公式
两数和乘以它们的差课程内容：义务教育课程标准实验教科书华东师大出版的初中数学（八年级上）第十四章第三节乘法公式第一课时两数和乘以它们的差学生分析：初二年级的学生已经基本掌握数学学习的基本规律，初步形成的数学的思维。
但仍有部分同学对数学的学习缺乏兴趣，把数学理解为枯燥的计算。
对新知的学习仍存在层次性的差异。
教学目标：知识与技能：1 、了解“平方差公式”的推导过程；2 、理解并掌握“平方差公式”；过程与方法：1 、会熟练地运用“平方差公式”进行乘法运算；2 、培养学生运用知识迁移的方法学习新知 .情感态度与价值观：使学生建立从特殊到一般的认识规律，体会“数形结合”的数学思想 .教学内容分析：本节课是华东师范大学出版社八年级上 14.3 乘法公式 1. 两数和乘以它们的差 . 这节课是乘法公式中比较关键的一节，因其要为后续的完全平方差公式、立方和（差）公式铺平道路 .教学重点：平方差公式的应用 . 由于平方差公式（a + b ） ( a - b )= a 2 - b 2中的a 、b 可以表示一个整式，甚至一个代数式 .教学难点：认识公式的特征，并能熟练运用 .教学过程：1 、温故孕新，探求新知2 、平方差公式的认识与推导3 、强化练习，熟识公式4 、例题示范5 、变式训练，总结性训练7 、延伸训练8 、小结升华9 、作业布置教学困难分析及媒体设计步骤存在的困难解决办法温故孕新，探求新知 .在黑板上书写练习浪费时间，学生易分散注意力制作幻灯片平方差公式的认识与推导形象的展示公式的特点制作幻灯片强化练习，熟识公式师生交流中提高学生的积极性制作幻灯片变式训练，总结性训练不同层次学生的不同程度的练习过关动画延伸训练用图形解释平方差公式演示动画两数和乘以它们的差教学过程：•温故孕新、探求新知（课前练习）根据学生的知识基础和迁移的“共同要素论”，启发寻找知识之间的相似点、共同点，训练求同思维 . 在每个学生都进行积极思维和参与的基础上导入新课 .•平方差公式的认识与推导（平方差公式）在引入的基础上，让学生联想：平方差公式的推导利用了什么法则？通过对旧知识的复习找到新知识的生长点，让学生产生“垂直联想” . 然后，启发引导学生给公式“取名”（相似联想），激发学生的学习热忱，调动学生的积极性，加深对公式的印象 .•强化训练，熟识公式（抢答练习）用抢答的形式进行训练，加强学生“个体与群体”的交流，训练思维的流畅性 .•例题示范（例题）•反馈调整，达成训练（过关动画）应用过关动画检测学生对本堂课教学目标的达成情况 .•变式练习，总结训练（填空）通过变式练习，训练学生思维的变通性，培养学生的发散思维和创造能力 .•延伸训练（平方差公式）利用动画师生共同探讨：用几何的方法求平方差公式 . 使学生体会“数形结合”的思想，加深对公式的理解和记忆 .•小结升华估计学生基本能掌握公式，达到预定目标 . 适时用提问形式，师生共同小结，让学生回答：•本堂课学习了什么？平方差公式适用于什么问题的计算？•多项式乘法既然可用法则进行计算，为何要学习乘法公式？利用平方差公式计算多项式乘法的特点如何？•作业布置结合学生的实际水平，作业可分层次：学有余力的同学再加作：利用平方差公式计算（ 4+1 ）（ 42+1 ）（ 44 +1 ）（ 48 +1 ）（ 416 +1 ）。
两数和乘以这两数的差
两数和乘以这两数的差设两个数分别为a和b，根据平方差公式可以将它们的和和差表示为：(a+b)(a-b)我们来详细推导一下这个公式。
首先，将(a+b)(a-b)展开，得到：(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)接下来，使用分配律将每一项展开，得到：(a+b)(a-b)=a(a)+a(-b)+b(a)+b(-b)继续简化表达式，得到：(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2因为乘法满足交换律，所以可以将ab和ba合并为2ab，得到最终的表达式：(a + b)(a - b) = a^2 - 2ab - b^2现在我们来说明一下为什么这个公式成立。
首先，我们先展开(a + b)(a - b)得到的表达式a^2 - ab + ba -b^2、观察该表达式，我们可以发现其中有两项是相同的，即-ab和ba，这两项可以合并为-2ab。
那么这个公式有什么应用呢？一个非常常见的应用就是在解方程的时候。
例如，我们要解方程x^2-7x+10=0。
我们可以将方程写成(x-5)(x-2)=0的形式，然后根据零乘积法则，我们得出x-5=0或者x-2=0。
因此，解方程的解为x=5或者x=2另外一个应用是在因式分解中。
当我们需要对一个二次多项式进行因式分解时，可以使用平方差公式来分解。
例如，我们要因式分解x^2-4x+4、根据平方差公式，我们可以将该二次多项式分解为(x-2)(x-2)。
因此，它的因式分解形式为(x-2)^2此外，平方差公式还可以用于简化一些数学表达式。
例如，考虑表达式(1+√2)(1-√2)。
根据平方差公式，我们可以将该表达式简化为1^2-2=-1、所以，(1+√2)(1-√2)=-1综上所述，平方差公式是一个非常有用的数学工具，可以在解方程、因式分解和简化数学表达式等方面发挥作用。
两数的和乘以两数的差
两数和乘以这两数差编写人：八年级D段【学习目标】1、探索平方差公式，认识平方差公式的结构特点。
2、会运用平方差公式进行计算。
【重点难点】重点：平方差公式。
难点：会运用平方差公式进行计算 .【学法指导】小组讨论合作探究【自主学习、夯基寻困】自学:1、多项式乘以多项式的法则：2、（1）利用多项式乘以多项式的法则完成下面各题.①（x＋1)( x－1）= ②（x＋2)(x－2）=（m＋3)(m－3）=【合作探究、互助解惑】探究：根据上面的计算，你能找出下面问题的答案吗？思考：①左右两边的算式有什么特点？②它们的结果有什么共同的特征？③你能用字母a、b表示出你的发现吗？归纳：1、左边是两个二项式相乘,这两个二项式中有一项( ),另一项互为( )；2、右边是二项式中的两项的( )，(即相同项的平方减去相反项的平方); 思考：有几种方法来验证你发现的规律？总结：平方差公式：（a＋b）（a－b）=语言描述：这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式。
注意：公式中的字母可以表示数,也可以表示代数式.例1：计算：练习：灵活运用计算：(1)（1+2c ）(1-2c) (2)(-2x-y)(2x-y) (3)))((22n m n m -+ （4）31603259⨯【同步演练、拓展提升】1、下列计算错误的是（ ）A 、4)2)(2(2-=+-x x xB 、19)13)(13(2-=+-a a a C 、22))((n m n m n m -=+--- D 、24)2)(2(xx x -=+-+ 2、在))()(1(b a b a -+； ))(2)(2(b a b a +-； ))()(3(22b a b a +-； ))()(4(b a b a +---的计算中，能利用公式22))((ba b a b a -=-+的是（ ） A 、（1）（2） B 、（1）（4） C 、（2）（3） D 、（1）（3）（4）3、下列运算中，正确的是（ ）A 、（m+5）（m-5）=m ²-5B 、(3x+2)(3x-2)=3x ²-4C 、(3x-2y)(3x+2y)=9x ²-4y ²D 、(a+2)(a-3)=a ²-64、计算(1) （y-x ）（-y-x ） （2）（-2x+y ）（-2x-y ） （3）))((a b b a ---（4)(-3m ²+0.5)(-3m ²-0.5) （5）49×51 （6）59.8×60.2（1）（a+3）(a-3) (2)(2a+3b)(2a-3b)。
华师大版八年级上册电子课本 第13章 整式的乘除(新版)-
第13章整式的乘除§13.1幂的运算1. 同底数幂的乘法2. 幂的乘方3. 积的乘方4. 同底数幂的除法§13.2整式的乘法1. 单项式与单项式相乘2. 单项式与多项式相乘3. 多项式与多项式相乘§13.3乘法公式1. 两数和乘以这两数的差2. 两数和的平方阅读材料贾宪三角§13.4整式的除法1. 单项式除以单项式2. 多项式除以单项式§13.5因式分解阅读材料你会读吗小结复习题课题学习面积与代数恒等式第13章整式的乘除某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积，可得到：（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb你知道上面的等式蕴含着什么样的运算法则吗?·§13.1 幂的运算1. 同底数幂的乘法试一试（1）23×２4＝（２×２×２）×（２×２×２×２）＝２()；（2） 53×５4＝5()；（3） a3·a4＝a()．a m·a n＝（a·a·…·a）（a·a·…·a）＝a·a·…·a＝a n m+．可得a m·a n＝a n m+（m、n为正整数）．这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例1计算：（1） 103×１０4；（2） a·a3；（3） a·a3·a5．解（1） 103×１０4＝１０43+＝１０7．（2）a·a3＝a31+＝a4．（3）a·a3·a5＝a4·a5＝a9．练习1. 判断下列计算是否正确，并简要说明理由．（1） a·a2＝a2；（2） a＋a2＝a3；（3）a3·a3＝a9；（4）a3＋a3＝a6．2. 计算：（1） 102×105；（2） a3·a7；（3） x·x5·x7．2. 幂的乘方试一试根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：（1）（23）2＝23×２3＝２()；（2）（32）3＝32×３2×３2＝３()；（3）（a3）4＝a3·a3·a3·a3＝a()．（a m）n＝a m·a m·…·a m（n个）＝a m++...（n个）m+m=a mn可得（a m）n＝a mn（m、n为正整数）．这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘．例2计算：（1）（103）5；（2）（b3）4．解（1）（103）5＝105*3＝１０15．（2）（b3）4＝b4*3＝b12．练习1. 判断下列计算是否正确，并简要说明理由．（1）（a3）5＝a8；（2） a5·a5＝a15；（3）（a2）3·a4＝a9．2. 计算：（1）（22）2；（2）（y2）5；（3）（x4）3；（4）（y3）2·（y2）3．3. 积的乘方试一试（1）（ab）2＝（ab）·（ab）＝（aa）·（bb）＝a()b()；（2）（ab）3＝＝＝a()b()；（3）（ab）4＝＝＝a()b()．概括（ab）n＝（ab）·（ab）·…·（ab）（n个）＝（a·a·…·a）·（b·b·…·b）＝a n b n．可得（ab）n＝a n b n（n为正整数）．这就是说，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．例3计算：（1）（2b）3；（2）（2×a3）2；（3）（－a）3；（4）（－3x）4．解（1）（2b）3＝23b3＝8b3．（2）（2×a3）2＝22×（a3）2＝4×a6．（3）（－a）3＝（－1）3·a3＝－a3．（4）（－3x）4＝（－3）4·x4＝81x4．练习1. 判断下列计算是否正确，并说明理由．（1）（xy3）2＝xy6；（2）（－2x）3＝－2x3．2. 计算：（1）（3a）2；（2）（－3a）3；（3）（ab2）2；（4）（－2×１０3）3．4. 同底数幂的除法我们已经知道同底数幂的乘法法则： a m·a n＝a n m ，那么同底数幂怎么相除呢?试一试用你熟悉的方法计算：（1） 25÷２2＝；（2） 107÷103＝；（3） a7÷a3＝（a≠0）．概括由上面的计算，我们发现：25÷２2＝23＝225-；107÷103＝ 104＝1037-；a7÷a3＝ a4＝a37-．一般地，设m、n为正整数，m＞n， a≠0，有a m÷a n＝a n m-．这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减．我们可以利用除法的意义来说明这个法则的道理：因为除法是乘法的逆运算，a m÷a n实际上是要求一个式子（），使 a n·（）＝a m．而由同底数幂的乘法法则，可知a n· a n m-＝a)n-+＝a m，m(n所以要求的式子（），就是a n m-，从而有a m÷a n＝a n m-．例4计算：（1） a8÷a3；（2）（－a）10÷（－a）3；（3）（2a）7÷（2a）4．解（1） a8÷a3＝a38-＝a5．（2）（－a）10÷（－a）3＝（－a）310-＝（－a）7＝－a7．（3）（2a）7÷（2a）4＝（2a）47-＝（2a）3＝8a3．思考你会计算（a＋b）4÷（a＋b）2吗?练习1. 填空：（1） a5·（）＝a9；（2）（）·（－b）2＝（－b）7；（3） x6÷（）＝x；（4）（）÷（－y）3＝（－y）7．2. 计算：（1） a10÷a2；（2）（－x）9÷（－x）3；（3） m8÷m2·m3；（4）（a3）2÷a6．习题13.11. 计算（以幂的形式表示）：（1） 93×95；（2） a7·a8；（3） 35×２7；（4） x2·x3·x4．2. 计算（以幂的形式表示）：（1）（103）3；（2）（a3）7；（3）（x2）4；（4）（a2）3·a5．3. 判断下列等式是否正确，并说明理由．（1） a2·a2＝（2a）2；（2） a2·b2＝（ab）4；（3） a12＝（a2）6＝（a3）4＝（a5）7．4. 计算（以幂的形式表示）：（1）（3×１０5）2；（2）（2x）2；（3）（－2x）3；（4） a2·（ab）3；（5）（ab）3·（ac）4．5. 计算：（1） x12÷x4；（2）（－a）6÷（－a）4；（3）（p3）2÷p5；（4） a10÷（－a2）3．6. 判断下列计算是否正确，错误的给予纠正．（1）（a2b）2＝a2b2；（2） a5÷b2＝a3b；（3）（3xy2）2＝6x2y4；（4）（－m）7÷（－m）2＝m5．7. 计算：（1）（a3）3÷（a4）2；（2）（x2y）5÷（x2y）3；（3） x2·（x2）3÷x5；（4）（y3）3÷y3÷（－y2）2．8. 用多少张边长为a的正方形硬纸卡片，能拼出一个新的正方形?试写出三个答案，并用不同的方法表示新正方形的面积．从不同的表示方法中，你能发现什么?§13.2 整式的乘法1. 单项式与单项式相乘计算： 2x3·5x2．（1） 3x2y·（－2xy3）；（2）（－5a2b3）·（－４b2c）．解（1） 3x2y·（－2xy3）＝［３·（－２）］·（x2·x）·（y·y3）（2）（－5a2b3）·（－４b2c）＝［（－５）·（－４）］·a2·（b3·b2）·c ＝ 20a2b5c．概括单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．例2卫星绕地球表面做圆周运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×１０3米/秒，则卫星运行3×１０2秒所走的路程约是多少?解 7.9×１０3×３×１０2＝ 23.7×１０5＝２.３７×１０6（米）．答：卫星运行3×１０2秒所走的路程约是2.37×１０6米．讨论你能说出a·b,3a·2a,以及3a·5ab的几何意义吗?练习（1） 3a2·2a3；（2）（－9a2b3）·8ab2；（3）（－3a2）3·（－2a3）2；（4）－3xy2z·（x2y）2．2. 光速约为３×１０8米/秒，太阳光射到地球上的时间约为５×１０2秒，则地球与太阳的距离约是多少米?3. 小明的步长为a厘米，他量得一间屋子长15步，宽14步，这间屋子的面积有多少平方厘米?2. 单项式与多项式相乘试一试计算： 2a2·（3a2－5b）．例3计算：（－2a2）·（３ab2－5ab3）．解（－2a2）·（３ab2－5ab3）＝（－2a2）·3ab2＋（－2a2）·（－５ab3）＝－6a3b2＋10a3b3．概括单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．练习1. 计算：（1） 3x3y·（2xy2－3xy）；（2） 2x·（3x2－xy＋y2）．2. 化简： x（x2－1）＋2x2（x＋1）－3x（2x－5）．3. 多项式与多项式相乘回忆我们再来看一看本章导图中的问题：图13.2.1某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．这块林区现在长为（m＋n）米，宽为（a＋b）米，因而面积为（m ＋n）（a＋b）米2．也可以这样理解：如图13.2.1所示，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma米2、mb米2、na米2、nb米2，故这块地的面积为（ma＋mb＋na＋nb）米2．由于（m＋n）（a＋b）和（ma＋mb＋na＋nb）表示同一块地的面积，故有（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb．实际上，把（m＋n）看成一个整体，有（m＋n）（a＋b）＝（m＋n）a＋（m＋n）b＝ ma＋mb＋na＋nb．如下式所示，等式的右边可以看作左边用线相连各项乘积的和：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb概括这个等式实际上给出了多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．例4计算：（1）（x＋2）（x－3）；（2）（3x－1）（2x＋1）．解（1）（x＋2）（x－3）＝ x2－3x＋2x－6＝ x2－x－6．（2）（3x－1）（2x＋1）＝ 6x2＋3x－2x－1＝ 6x2＋x－1．例5计算：（1）（x－3y）（x＋7y）；（2）（2x＋5y）（3x－2y）．解（1）（x－3y）（x＋7y）＝ x2＋7xy－3yx－21y2＝ x2＋4xy－21y2．（3）（2x＋5y）（3x－2y）＝ 6x2－4xy＋15yx－10y2＝ 6x2＋11xy－10y2．练习1. 计算：（1）（x＋5）（x－7）；（2）（x＋5y）（x－7y）；（3）（2m＋3n）（2m－3n）；（4）（2a＋3b）（2a＋3b）．2. 小东找来一张挂历纸包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小东应在挂历纸上裁下一块多大面积的长方形?习题13.21. 计算：（1） 5x3·8x2；（2） 11x12·（－12x11）；（3） 2x2·（－3x）4；（4）（－8xy2）·－(1/2x)3．2. 世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达146.6米，底边长230.4米，用了约2.3×１０6块大石块，每块重约2.5×１０3千克．请问：胡夫金字塔总重约多少千克?3. 计算：（1）－3x·（2x2－x＋4）；（2） 5/2xy·(－x3y2＋4/5x2y3)．4. 化简：（1） x(1/2x＋1)－3x(3/2x－2)；（2） x2（x－1）＋2x（x2－2x＋3）．5. 一块边长为xcm的正方形地砖，被裁掉一块2cm宽的长条．问剩下部分的面积是多少?6. 计算：（1）（x＋5）（x＋6）；（2）（3x＋4）（3x－4）；（3）（2x＋1）（2x＋3）；（4）（9x＋4y）（9x－4y）．7. 一块长a厘米、宽b厘米的玻璃，长、宽各减少c厘米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小）．问台面面积是多少?§13.3 乘法公式1.两数和乘以这两数的差做一做计算：（a＋b）（a－b）．这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁：（a＋b）（a－b）＝a2－b2．这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差．试一试图13.3.1先观察图13.3.1，再用等式表示下图中图形面积的运算：＝－．例1计算：（1）（a＋3）（a－3）；（2）（2a＋3b）（2a－3b）；（3）（1＋2c）（1－2c）；（4）（－2x－y）（2x－y）．解（1）（a＋3）（a－3）＝ a2－32＝ a2－9．（2）（2a＋3b）（2a－3b）＝（2a）2－（3b）2＝ 4a2－9b2．（3）（1＋2c）（1－2c）＝ 12－（2c）2＝ 1－4c2．（4）（－2x－y）（2x－y）＝（－y－2x）（－y＋2x）＝（－y）2－（2x）2＝ y2－4x2．例2计算： 1998×２００２．解 1998×２００２＝（2000－2）×（2000＋2）＝ 200０2－22＝ 4000000－4＝ 3999996．例3街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米．问改造后的长方形草坪的面积是多少?解（a＋2）（a－2）＝a2－4（平方米）．答：改造后的长方形草坪的面积是（a2－4）平方米．练习1. 计算：（1）（2x＋1/2）（2x－1/2）；（2）（－x＋2）（－x－2）；（3）（－2x＋y）（2x＋y）；（4）（y－x）（－x－y）．2. 计算：（1） 498×502；（2） 999×1001．3. 用一定长度的篱笆围成一个矩形区域，小明认为围成一个正方形区域时面积最大，而小亮认为不一定．你认为如何?2.两数和的平方做一做计算：（a＋b）2．经计算，我们又得到一个漂亮的结果：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上这两数积的2倍．试一试先观察图13.3.2，再用等式表示下图中图形面积的运算：图13.3.2 ＝＋＋．例4计算：（1）（2a＋3b）2；（2）（ 2a＋b/2）2．解（1）（2a＋3b）2＝（2a）2＋2·２a·3b＋（3b）2＝ 4a2＋12ab＋9b2．（2）（2a＋b/2）2＝（2a）2＋2·2a·b/2＋b/22＝ 4a2＋2ab＋b2/4．例5计算：（1）（a－b）2；（2）（2x－3y）2．解（1）（a－b）2＝［a＋（－b）］2＝ a2＋2·a·（－b）＋（－b）2＝ a2－2ab＋b2．（2）（2x－3y）2＝［２x＋（－3y）］2＝（2x）2＋2·（2x）·（－3y）＋（－3y）2＝ 4x2－12xy＋9y2．本题也可直接运用小题（1）的结果（两数差的平方公式）来计算：（2x－3y）2＝（2x）2－2·（2x）·（3y）＋（3y）2＝ 4x2－12xy＋9y2．图13.3.3讨论你能从图13.3.3中的面积关系来解释小题（1）的结果吗?练习1. 计算：（1）（x＋3）2；（2）（2x＋y）2．2. 计算：（1）（x－3）2；（2）（2m－n）2．3. 计算：（1）（－2m＋n）2；（2）（－2m－n）2．4. 要给一边长为a米的正方形桌子铺上正方形的桌布，桌布的四周均超出桌面0.1米，问需要多大面积的桌布?习题13.31. 计算：（1）（a＋2b）（a－2b）；（2）（2a＋5b）（2a－5b）；（3）（－2a－3b）（－2a＋3b）；（4）（－1/3a＋1/2b）（1/3a＋1/2b）．2. 计算：（1）（3a＋b）2；（2）（2a＋1/3b）2；（3）（2a＋1）（－2a－1）．3. 计算：（1）（2a－4b）2；（2）（ 1/2a－1/3b）2．4. 填空：（1） a2＋6a＋＝（a＋）2；（2） 4x2－20x＋＝（2x－）2；（3） a2＋b2＝（a－b）2＋；（4）（x－y）2＋＝（x＋y）2．5. 有一块边长为a米的正方形空地，现准备将这块空地四周均留出b米宽修筑围坝，中间修建喷泉水池．你能计算出喷泉水池的面积吗?阅读材料贾宪三角贾宪三角（如图1）最初于11世纪被发现，原图载于我国北宋时期数学家贾宪图1的《黄帝九章算法细草》一书中，原名“开方作法本源图”，用来作开方运算，在数学史上占有领先地位．我国南宋时期数学家杨辉对此有着记载之功，他于1261年写下的《详解九章算法》一书中记载着这一图表．因此，后人把这个图表称作贾宪三角或杨辉三角．在欧洲，贾宪三角则被人们称为“帕斯卡三角”，这是因为法国数学家帕斯卡于1654年发表了此“三角”，并且影响较大．但这比我国已经迟了近600年．其实，数学史上有不少人各自独立地绘制过类似图表，如1427年阿拉伯的数学家阿尔·卡西，1527年德国的阿皮亚纳斯，1544年德国的施蒂费尔，1545年法国的薛贝尔等．贾宪三角在历史上被不同时代的人绘制出来，是有着不同的应用趋向的．贾宪将它应用于开方运算，注重增乘方法并把这种方法推向求高次方根；帕斯卡关心数字三角阵的性质探讨以及把这种性质推广到组合数的性质上；而施蒂费尔则注重二项展开式系数间的关系；还有我国元代数学家朱世杰于13世纪巧妙地利用贾宪三角得出了一系列级数求和的重要公式，并且利用这些公式求出许多更为复杂的级数之和，这在当时世界上也处于领先水平．与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．如图2，在贾宪三角中，第三行的三个数（1， 2， 1）恰好对应着两数和的平方公式（a＋b）2的展开式a2＋2ab＋b2的系数．类似地，通过计算可以发现：第四行的四个数（1， 3， 3， 1）恰好对应着两数和的立方（a＋b）3的展开式a3＋３a2b＋3ab2＋b3的系数，第五行的五个数（1， 4， 6， 4， 1）恰好对应着两数和的四次方（a＋b）4的展开式a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4的系数，等等．由此可见，贾宪三角可以看作是对我们现在学习的两数和的平方公式的推广而得到的．（a＋b）0…………（a＋b）1…………（a＋b）2…………（a＋b）3…………（a＋b）4…………（a＋b）5…………（a＋b）6…………11121133114641151010511615201561图2同学们，贾宪三角告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，你发现其中的字母及字母指数的排列规律了吗?如果发现了，请你试着写出（a＋b）5、（a＋b）6与（a＋b）77的展开式．§13.4 整式的除法1. 单项式除以单项式计算： 12a5c2÷３a2．根据除法的意义，上式就是要求一个单项式，使它与３a2相乘的积等于12a5c2．∵（4a3c2）·３a2＝12a5c2，∴ 12a5c2÷３a2＝4a3c2．概括单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．例1计算：（1） 24a3b2÷３ab2；（2）－21a2b3c÷３ab；（3）（６xy2）2÷３xy．解（1） 24a3b2÷3ab2＝（24÷３）（a3÷a）（b2÷b2）＝ 8a13-·１＝ 8a2．（2）－21a2b3c÷３ab＝（－21÷３）a12-b13-c＝－7ab2c．（3）（6xy2）2÷３xy＝ 36x2y4÷３xy＝ 12xy3．思考你能用a－b的幂表示下式的结果吗?12（a－b）5÷３（a－b）2．例2地球的质量约为5.98×１０24千克，木星的质量约为1.9×１０27千克．问木星的质量约是地球的多少倍?（结果保留三个有效数字）分析本题只需做一个除法运算：（1.9×１０27）÷（５.９８×１０24），我们可以先将1.9除以5.98，再将１０27除以１０24，最后将商相乘．解（1.9×１０27）÷（5.98×１０24）＝（1.9÷５.９８）×１０27 ≈ 0.318×１０3＝３１８．24答：木星的质量约是地球的318倍．练习1. 填表：的缘故．已知光在空气中的传播速度约为3×１０8米/秒，而声音在空气中的传播速度约为3.4×１０2米/秒．请计算一下，光速是声速的多少倍?（结果保留两个有效数字）2. 多项式除以单项式试一试计算：（1）（ax＋bx）÷x；（2）（ma＋mb＋mc）÷m．根据除法的意义，容易探索、计算出结果．以小题（2）为例，（ma＋mb＋mc）÷m就是要求一个多项式，使它与m的积是ma＋mb＋mc．∵m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc，∴（ma＋mb＋mc）÷m＝a＋b＋c．概括多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．例3计算：（1）（9x4－15x2＋6x）÷３x；（2）（28a3b2c＋a2b3－14a2b2）÷（－7a2b）．解（1）（9x4－15x2＋6x）÷３x＝ 9x4÷３x－15x2÷３x＋6x÷３x＝ 3x3－5x＋2．（2）（28a3b2c＋a2b3－14a2b2）÷（－7a2b）＝ 28a3b2c÷（－7a2b）＋a2b3÷（－7a2b）－14a2b2÷（－7a2b）＝－4abc－1/7b2＋2b．练习1. 计算：（1）（3ab－2a）÷a；（2）（5ax2＋15x）÷5x；（3）（12m2n＋15mn2）÷6mn；（4）（x3－2x2y）÷（－x2）．2. 计算：（1）（4a3b3－6a2b3c－2ab5）÷（－２ab2）；（2） x2y3－1/2x3y2＋2x2y2÷1/2xy2．习题13.41.计算：（1）－21a2b3÷7a2b；（2） 7a5b2c3÷（－3a3b）；（3）－1/2a4x4÷－1/6a3x2；（4）（16x3－8x2＋4x）÷（－2x）．2.计算：（1）（6a3b－9a2c）÷３a2；（2）（4a3－6a2＋9a）÷（－2a）（3）（－4m4＋20m3n－m2n2）÷（－4m2）；（4） x2y－1/2xy2－2xy÷1/2xy．3.计算：（1）（12p3q4＋20p3q2r－6p4q3）÷（－2pq）2；（2）［４y（2x－y）－2x（2x－y）］÷（2x－y）．4. 一颗人造地球卫星的速度是８×１０3米/秒，一架喷气式飞机的速度是5×１０2米/秒，试问：这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍?5. 聪聪在一次数学课外活动中发现了一个奇特的现象：他随便想一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果总是1．你能说明其中的道理吗?§13.5 因式分解回忆运用前面所学的知识填空：〖〗你能发现这两组等式之间的联系和区别吗?（1） m（a＋b＋c）＝；（2）（a＋b）（a－b）＝；（3）（a＋b）2＝．试一试填空：（1） ma＋mb＋mc＝（）（）；（2） a2－b2＝（）（）；（3） a2＋2ab＋b2＝（）2．概括我们“回忆”的是已熟悉的整式乘法运算，而“试一试”中的问题，其过程正好与整式的乘法相反，它是把一个多项式化为几个整式的积的形式．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解（factorization）．多项式ma＋mb＋mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式（common factor）．把公因式提出来，多项式ma＋mb ＋mc就可以分解成两个因式m和（a＋b＋c）的乘积了．像这种因式分解的方法，叫做提公因式法．“试一试”中的（2）、（3）小题，实际上是将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法称为公式法．做一做把下列多项式分解因式：（1） 3a＋3b＝；（2） 5x－5y＋5z＝；（3） x2－4y2＝；（4） m2＋6mn＋9n2＝．例1把下列多项式分解因式：（1）－5a2＋25a；（2） 3a2－9ab；（3） 25x2－16y2；（4） x2＋4xy＋4y2．解（1）－5a2＋25a＝－5a（a－5）．（2） 3a2－9ab＝ 3a（a－3b）．（3） 25x2－16y2＝（5x）2－（4y）2＝（5x＋4y）（5x－4y）．（4） x2＋4xy＋4y2＝ x2＋2·x·2y＋（2y）2＝（x＋2y）2．例2把下列多项式分解因式：（1） 4x3y＋4x2y2＋xy3；（2） 3x3－12xy2．解（1） 4x3y＋4x2y2＋xy3＝ xy（4x2＋4xy＋y2）＝ xy（2x＋y）2．（2）3x3－12xy2＝3x（x2－4y2）＝3x［x2－（2y）2］＝3x（x＋2y）（x－2y）．练习1. 判断下列因式分解是否正确，并简要说明理由．如果不正确，请写出正确答案．（1） 4a2－4a＋1＝4a（a－1）＋1；（2） x2－4y2＝（x＋4y）（x－4y）．2. 把下列各式分解因式：（1） a2＋a；（2） 4ab－2a2b；（3） 9m2－n2；（4） 2am2－8a；（5） 2a2＋4ab＋2b2．3. 丁丁和冬冬分别用橡皮泥做了一个长方体和圆柱体，放在一起，恰好一样高．丁丁和冬冬想知道哪一个体积较大，但身边又没有尺子，只找到了一根短绳，他们量得长方体底面的长正好是3倍绳长，宽是2倍绳长，圆柱体的底面周长是10倍绳长．你知道哪一个体积较大吗?大多少?（提示：可设绳长为a厘米，长方体和圆柱体的高均为h厘米）习题13.51. 把下列多项式分解因式：（1） 3x＋3y；（2）－24m2x－16n2x；（3） x2－1；（4）（xy）2－1；（5） a4x2－a4y2；（6） 3x2＋6xy＋3y2；（7）（x－y）2＋4xy；（8） 4a2－3b（4a－3b）．2. 先将下列代数式分解因式，再求值：2x（a－2）－y（2－a），其中a＝0.5， x＝1.5， y＝－2．3. 在一块边长为a＝6.6米的正方形空地的四角均留出一块边长为b ＝1.7米的正方形修建花坛，其余的地方种草坪．问草坪的面积有多大?4. 一块边长为a米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来长2米，问扩建后的广场面积增大了多少?你会读吗阅读材料你会读吗数学中有不少运算符号与记号，如何用英语准确地表达这些符号与记号呢?读一读，看看你能读懂多少?A＋B＝C……A plus B equals CA－B＝C……A minus B equals CA×B＝C……A multiplied by B equals C ……A times B equals CA÷B＝C……A divided by B equals C1/2……one half 2/3……two thirdsA2……A squared A3……A cubedA＞B……A is greater than BA∶B……the ratio of A to Bl∥m……l is parallel to m小结一、知识结构二、概括1. 本章主要研究整式的乘法与除法运算，其运算法则从根本上说是运用了数的运算律，最终都可以归结为单项式乘以单项式与单项式除以单项式，其中幂的运算是它们的基础．2. 在多项式乘以多项式中，有一些特殊形式的乘法运算结果较为简洁，在计算中可以作为乘法公式直接运用．学习中要注意掌握这些公式的结构特点，以便能准确地运用公式来简化计算．3. 因式分解与因数分解类似，它与整式乘法的过程恰好相反，我们可以运用整式的乘法得到因式分解的方法，也可以运用整式乘法来检验因式分解的正确性．复习题A组1. 计算：（1） a10·a8；（2）（xy）2·（xy）3；（3）［（－x）3］2；（4）［（－x）2］3；（5）（－2mn2）3；（6）（y3）2·（y2）4．2. 计算：（1）（4×１０4）×（２×１０3）；（2） 2a·３a2；（3）（－3xy）·（－４yz）；（4）（－2a2）2·（－５a3）；（5）（－3x）·（2x2－x－1）；（6）（x＋2）（x＋6）；（7）（x－2）（x－6）；（8）（2x－1）（3x＋2）．3. 计算：（1）（x＋2）（x－2）；（2）（m＋n）（m－n）；（3）（－m－n）（－m＋n）；（4）（－m－n）（m＋n）；（5）（－m＋n）（m－n）；（6） 2/3x＋3/4y2．4. 计算：（1） 20012－2002×2000；（2）（2x＋5）2－（2x－5）2；（3）－12xy·３x2y－x2y·（－3xy）；（4） 2x·1/2x－1－3x1/3x＋2/3；（5）（－2x2）·（－y）＋3xy·1－1/3x；（6）（－6x2）2＋（－3x）3·x．5. 计算：（1） a·a4÷a3；（2）（－x）6÷（－x）2·（－x）3；（3） 27x8÷3x4；（4）－12m3n3÷4m2n3；（5）（6x2y3z2）2÷4x3y4；（6）（－6a2b5c）÷（－2ab2）2．6. 计算：（1）（6a4－4a3－2a2）÷（－2a2）；（2）（4x3y＋6x2y2－xy3）÷２xy；（3）（x4＋2x3－1/2x2）÷（－1/2x）2；（4）（2ab2－b3）2÷２b3．7. 计算：［（x－2y）2＋（x－2y）（x＋2y）－2x（2x－y）］÷2x．8. 把下列多项式分解因式：（1） x2－25x；（2） 2x2y2－4y3z；（3） am－an＋ap；（4） x3－25x；（5） 1－4x2；（6） 25x2＋20xy＋4y2；（7） x3＋4x2＋4x．9. 先化简，再求值：（1） 3a（2a2－4a＋3）－2a2（3a＋4），其中a＝－2；（2）（a－3b）2＋（3a＋b）2－（a＋5b）2＋（a－5b）2，其中a ＝－8， b＝－6．10. 一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了45cm2．求这个正方形原来的边长．若边长减少3cm，它的面积减少了45cm2，这时原来边长是多少呢?11. 1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×１０5千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×１０10千克镭．试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量．B组12. 求下列各式的值：（1）（3x4－2x3）÷（－x）－（x－x2）·３x，其中x＝－1/2；（2）［（ab＋1）（ab－2）－2a2b2＋2］÷（－ab），其中a＝3/2，b＝－4/3．13. 已知（x＋y）2＝1，（x－y）2＝49，求x2＋y2与xy的值．14. 已知a＋b＝3， ab＝2，求a2＋b2的值．15. 已知a－b＝1， a2＋b2＝25，求ab的值．16. 把下列各式分解因式：（1） x（x＋y）－y（x＋y）；（2）（a＋b）2＋2（a＋b）＋1；（3） 4x4－4x3＋x2；（4） x2－16ax＋64a2；（5）（x－1）（x－3）＋1；（6）（ab＋a）＋（b＋1）．C组17. 一个长方形的长增加4cm，宽减少1cm，面积保持不变；长减少2cm，宽增加1cm，面积仍保持不变．求这个长方形的面积．18. 当整数k取何值时，多项式x2＋4kx＋4恰好是另一个多项式的平方?19. 试判断下列说法是否正确，并说明理由．（1）两个连续整数的平方差必是奇数；（2）若a为整数，则a3－a能被6整除．课题学习面积与代数恒等式在前面的学习中，我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释这些代数恒等式．例如，图1可以用来解释（2a）2＝4a2，图2可以用来解释（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．〖〗图1〖〗图2〖〗图３还有很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来说明其正确性．现在让我们一起参加下面的实践与探索活动．（1）尽可能多地做一些如图3所示的正方形与长方形的硬纸片．（2）利用制作的硬纸片拼成一些长方形或正方形，并用所拼成的图形面积来说明所学的乘法公式及某些幂的运算公式的正确性．图４（3）根据图4，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式来．（4）试写出一个代数恒等式，比如（a＋2b）（2a－b）＝2a2＋3ab －2b2，然后用上述方法来说明它的正确性．。
华师大版八年级数学上册教案12.3_乘法公式_2
第十二章《12.3 乘法公式》教案一. 本周教学内容：初二数学第十二章第三节乘法公式学习要求：1. 理解乘法公式的意义，掌握乘法公式的结构特征，并能正确地运用乘法公式。
2. 弄清公式的变化形式，注意公式的应用条件。
二. 重点、难点学习重点：认识平方差公式和完全平方公式的结构特征，会用几何图形说明其意义。
学习难点：灵活运用公式解题。
【典型例题】一. 两数和乘以它们的差：1. 首先计算：(a＋b)(a－b)＝a2－b2这就是说：两数和与它们差的积，等于这两数的平方差。
上面所列的这个公式，就是平方差公式。
2. 公式的结构特征：在平方差公式中，左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b)和(－b)互为相反数，右边是符号相同的项的平方减去符号相反项的平方。
3. 弄清公式的变化形式：公式(a+b)(a－b)=a2－b2有八种变化形式：①位置变化(a+b)(a－b)=(b+a)(－b+a)=a2－b2②符号变化(－a－b)(a－b)=b2－a2③系数变化(4a+3b)(4a－3b)=(4a)2－(3b)2=16a2－9b2④指数变化(a2+b2)(a2－b2)=(a2)2－(b2)2=a4－b4⑤增项变化(a－b－c)(a－b+c)=(a－b)2－c2=a2+b2－c2－2ab⑥增因式变化(a+b)(a－b)(－a－b)(－a+b)=(a2－b2)(a2－b2)=(a2－b2)2⑦连用公式变化(a－b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)=(a2－b2)(a2+b2)(a4+b4)=(a4－b4)(a4+b4)=a8－b8⑧逆用公式变化(a－b+c－d)2－(a+b－c+d)2=[(a－b+c－d)+(a+b－c+d)][(a－b+c－d)－(a+b－c+d)]=2a·(－2b+2c－2d)=4ac－4ab－4ad。
4. 注意公式的应用条件：字母a、b，它们可以表示具体的数，也可以表示代数式。
新华师大版八年级数学上册12.3《乘法公式》导学案
新华师大版八年级数学上册12.3《乘法公式》导学案第一课时 两数和乘以这两数的差学习目标1、从已有的整式乘法的知识中提练出两数和乘以这两个数的差这一乘法公式；2、经历探究两数和乘以这两数的差的过程，明确这一公式来源于整式乘法，又可用于整式乘法的辩证思想，掌握两数和乘以这两数差的公式的结构，并能正确应用。
学习重点：掌握两数和乘以它们的差的结构特征。
学习难点：正确理解两数和乘以它们的差的公式的意义。
学习关键：抓住本节公式的结构特征，判断哪些算式符合公式特征，哪些不符合公式的特征。
学习过程一、知识回顾1、口述多项式乘以多项式法则。
2、计算：（1）()()y x y x 322--；（2）()()y x y x +-44；（3）()()()()512314+--+--x x x x x二、计算观察，探索规律1、计算：()()b a b a -+=____________________________________________________________________。
2、平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的______________，即___________________________。
3、公式的结构特征：（1）公式的左边是__________________________，并且这两个二项式中有一项_______________，另一项_______________；（2）公式的右边是二项式中的两项的____________，即_____________的平方减去___________的平方；（3）公式中的a 、b 可以是具体的数，也可以是____________或________________。
4、公式的变形（1）位置变化：()()a b a b +-+=__________；（2）符号变化：()()b a b a ---=_______________________；（3）系数变化：()b a b a 35.0321-⎪⎭⎫ ⎝⎛+_________________________________________________________； （4）指数变化：()()2222b a b a -+=____________________________________________________________；（5）增项变化：()()c b a c b a +---=__________________；()()c b a c b a +--+=____________________；（6）增因式变化：()()()()b a b a b a b a +----+_________________________________________________；（7）连用公式变化：()()()()4422b a b a b a b a +++-=_____________________________________________；（8）逆用公式变化：22n m -=____________________________。
公式法之平方差公式
公式法之平方差公式平方差公式，又称差平方公式，是数学中常用的一个公式，可以用来计算两个数的平方差。
平方差公式可以简化计算，提高计算的效率。
平方差公式表述为：两个数的平方差等于两个数的和乘以两个数的差。
假设有两个数a和b，那么它们的平方差可以表示为：(a+b)(a-b)也可以使用符号表示为：(a+b)²-(a-b)²具体的推导过程如下：首先，我们可以展开(a+b)²和(a-b)²。
根据乘法公式，(a+b)²可以展开为：(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + 2ab+ b²同样地，(a-b)²可以展开为：(a - b)² = (a - b)(a - b) = a² - 2ab + b²接下来，我们要计算这两个展开式的差：(a + b)² - (a - b)² = (a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²)通过去括号运算，可以得到：(a + b)² - (a - b)² = a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b²合并同类项，可以得到：(a + b)² - (a - b)² = 4ab也就是说，两个数的平方差等于4倍两个数的乘积。
这就是平方差公式的具体推导过程。
平方差公式的应用非常广泛。
比如，我们可以利用平方差公式来简化计算多项式的乘法或除法运算。
另外，平方差公式也常常用来证明一些数学定理或解析几何问题。
在物理学中，平方差公式也常常用来分析物体的运动变化。
除了平方差公式，还有其他一些类似的公式，比如平方和公式和立方差公式。
平方和公式用来计算两个数的平方和，立方差公式用来计算两个数的立方差。
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(m＋n)(a＋b) =ma＋mb(多项式×多项式)
＋na＋nb
3、以上四道题的计算中，第3、4两题的答案与第1、2两题的答案有什幺
区别呢？
(答案只有两项)
观察思考：
1、(a＋2)(a－b＋c)
2、(x＋3)(x－4)
3、(y＋2)(y－2 )
4、(a＋b)(a－b)
=a²－ab＋ac＋2a－2b＋2c
=(2000)²－4²
=4000000－16=3999984比一比，看谁算得又简便又快：计算：
1996×2004
知识应用1：
方法一：直接计算；
1996×2004= 3999984
方法二：构造公式计算；
街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要加
长2米，而东西方向要缩短2米。问改造后的长方形草坪的面积是多少？
= (－x)²－(y)²=x²－y²
2、请你判断以下的计算是否正确，并说明理由；
⑴、(m＋3n)(m－3n)=m²－3n²()
⑵、(－m＋3n)(m－3n)=m²－9n²()
⑶、(－m－3n)(－m＋3n)=m²－9n²()
⑷、(m－3n)²=m²－9n²
()××√×1996×2004=(2000－4)×(2000＋4)
知识应用2：
(a＋2)(a－2)=a²－4解：答：改造后的长方形草坪的面积是(a²－4)平方
米。
首先请你仔细观察下图，你能用下面的图解释两数和乘以它们的差公式
吗？
1、两数和乘以它们的差公式：
(a＋b)(a－b)= ( a)²－( b)²
两数和与它们的差的积，等于这两数的平方差。条件：⑴二项式×二项式；
⑵两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为
相反数的项。结论：⑴两项的平方差；
⑵(完全相同项)2
－(互为相反项)2
= (－x)²－(2)²=x²－4
=(y)²－(2x)²=y²－4x²
八年级数学两数和乘以它们的差
请你独立计算下列各题，并思考每一步的依据是什幺？
1、(a＋2)(a－b＋c)
2、(x＋3)(x－4)
3、(y＋2)(y－2 )
4、(a＋b)(a－b)
=a²－ab＋ac＋2a－2b＋2c
=x²－4x＋3x－12=x²－x－12
=y²－2y＋2y－4=y²－4
=a²－ab＋ab－b²=a²－b²
一、知识回顾
1、(a＋2)(a－b＋c)
2、(x＋3)(x－4)
3、(y＋2)(y－2 )
4、(a＋b)(a－b)
=a²－ab＋ac＋2a－2b＋2c
=x²－x－12=y²－4=a²－b²思考：1、以上四道题实际上都是什幺运
算？
2、你能用语言叙述它们的法则吗？用式子如何表示？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的
=x²－x－12=y²－4=a²－bb)= ( a)²－( b)²
两数和与它们的差的积，等于这两数的平方差。
=(a)²－(3)²
=(2x)²－y²
=1²－(2c)²
=(2a)²－(3b)²
=4x²－y²
= 1－4c²
=4a²－9b²规律：式子表示：=a²－9思考：=(n)²－(2m)²
=n²－4m²
= (－a)²－(b)²
=a²－b²问题2：观察：(－2x＋y)()，在括号内填入怎样的代数
式，才能运用两数和乘以它们的差公式进行计算？
⑴(－2x＋y)(－2x－y )
⑵(－2x＋y)(2x＋y )
= (－2x)²－(y)²
=(y)²－(－2x)²
=y²－4x²
=4x²－y²
= (n＋2m)(n－2m)