19-20人教A版数学选修1-1(导学案课时分层作业)：第3章 3.1 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念
1．函数的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1
.
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．
(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1
表示割线P 1P 2的斜率．
思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示] Δx ≠0，Δy ∈R .
2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率
(1)定义式：lim
Δx→0Δy
Δx＝lim
Δx→0
f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx.
(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．
(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．
3．函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记
作f′(x0)或y′|
x＝x0，即f′(x0)＝lim
Δx→0
Δy
Δx＝lim
Δx→0
f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx.
1．下列说法错误的是() A．函数的平均变化率可以大于零B．函数的平均变化率可以小于零C．函数的平均变化率可以等于零D．函数的平均变化率不能等于零
D[函数的平均变化率为Δy
Δx，显然其值是可正、可负、可为零的，故选D.]
2．已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为() A．0.40B．0.41
C．0.43 D．0.44
B[Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2.12－4＝0.41.]
3．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为
()
A．0.41 B．3
C．4 D．4.1
D[
Δs
Δt＝3＋2.12－(3＋22)
2.1－2
＝4.1.]
求函数的平均变化率
Δy)，则Δy
Δx＝()
A．4B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，
在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为__________．
(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________．
(1)C(2)v1 3π[(1)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx) 2－1－ (2×12－1) ＝2(Δx)2＋4Δx ∴Δy Δx＝2Δx＋4，故选C. (2)由题意知，v1＝k OA，v2＝k AB，v3＝k BC.根据图象知v1 (3)ΔV＝4 3π×2 3－ 4 3π×1 3＝ 28 3π. ∴ΔV Δr＝ 28 3π.] (1)求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1. 第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1). 第三步，求平均变化率Δy Δx＝ f(x2)－f(x1) x2－x1 . (2)求平均变化率的一个关注点,求点x0附近的平均变化率，可用 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 的形式. 1．已知函数f (x )＝x ＋1 x ，分别计算f (x )在[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较两个区间上变化的快慢． [解] 自变量x 从1变化到2时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f (2)－f (1)2－1＝1 2. 自变量x 从3变化到5时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f (5)－f (3)5－3＝14 15.由于 12<1415， 所以函数f (x )＝x ＋1 x 在[3,5]的平均变化比在[1,2]的平均变化快． (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度． [解](1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]， ∴Δs＝s(Δt)－s(0) ＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02) ＝3Δt－(Δt)2. ∴Δs Δt＝ 3Δt－(Δt)2 Δt＝3－Δt， lim Δt→0Δs Δt＝lim Δt→0 (3－Δt)＝3. ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt]， ∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2， Δs Δt＝－Δt－(Δt)2 Δt＝－1－Δt， lim Δt→0Δs Δt＝lim Δt→0 (－1－Δt)＝－1， ∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.