新人教版八年级数学上导学案(全册)

第十一章三角形

11.1与三角形有关的线段

11.1.1 三角形的边

学习目标：

1、明确三角形的相关概念；能正确对三角形进行分类；

2、能利用三角形三边关系进行有关计算。

新课导学：

三角形的有关概念——阅读课本第1至3页，回答以下问题：

（1）三角形概念：由不在同一直线上的条线段连接所组成的图形。

（2）三角形的表示法（如图1）三角形ABC可表示为：；

（3）ΔABC的顶点分别为A、、；

（3）ΔABC的内角分别为∠ABC，，；

（4）ΔABC的三条边分别为AB，，；或，、；

（5）顶点A的对边是，顶点B的对边分别是，顶点C的对边分别是。

三角形的分类：

（1）下图中，每个三角形的内角各有什么特点？

（2）下图中，每个三角形的三边各有什么特点？

（3）结合以上图形你认为三角形可以如何分类？试一试

①按角分类：

②按边分类：

（4）在等腰三角形中，叫做腰，另外一边叫做，两

第1题

腰的夹角叫做 ， 叫做底角。

（5）等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰 的等腰三角形。 3、三角形的三边关系

问题1：如图，现有三块地，问从A 地到B 地有几种走法，哪一种走法的距离最近？请将你的设计方案填写在下表中：

（3）阅读课本第3页，填写：三角形两边的和 （4）用式子表示：BC + AC AB （填上“> ”或“ < ” ） ① BC + AB AC （填上“> ”或“ < ” ） ② AB + AC BC （填上“> ”或“ < ” ） ③

4、例题：用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？

解：设底边长为xcm ，则腰长是 cm 因为三角形的周长为 cm

所以： 所以x= cm

答：三角形的三边分别是 、 、

课堂练习： A 组

1．①图中有 个三角形，分别为

②△ABC 的三个顶点是 、 、 ； 三个内角是 、 、 ；

三条边是 、 、 ；

2、如图中有 个三角形，用符号表示 3．判断下列线段能否组成三角形：

B 地

A 地

①4，5，6 （ ）②1，2，3 （ ） ③2，2，6 （ ）④8，8，2 （ ）

4、等腰三角形一腰长为6，底边长为7，则另一腰为 ，周长为 。

5、等腰三角形一边长为6，一边长为7，则第三边是 ，周长为 。

B 组

例题：

用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形，若有一边的长为4cm ，那么另两边为多少？ 分析：

题中没有说明已知的边是底还是腰，所以4cm 可以作底，也可以作腰，本题分两种情况；

解：当长的边4cm 为底边，设腰长为xcm ，则 ，x= ；

当长的边4cm 为腰，设底边为xcm ，则 ，x= ； 答：三角形另两边为 思考：按上述方法求得线段能否构成三角形？

6、等腰三角形一边长为8，一边长为2，则第三边是 ，周长为 。

7、等腰三角形周长为22，一边长为10，求另两边长；

8、等腰三角形周长为30，一边长为8，求另两边长；

9、等腰三角形周长为10，一边长为6，求另两边长；

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线

学习目标：

正确理解三角形的中线、角平分线、高； 利用它们的性质解简单几何计算题。 课前知识：

如右图，顶点A 的对边是 ，

顶点B 、C 的对边分别是 、 。 ∠BAC 的对边是 ，

∠ABC ，∠BCA 的对边分别是 、 。 新课导学：

1、阅读课本第4页至第5页，了解什么是三角形的高线、中线、角平分线；

2、请在下图中分别画出三角形的高AD 、中线AE 、角平分线AF ；

A

画三角形的中线AE

过点A 作三角形的高AD

A

画角平分线AF

图2

图

1

3、几何语言表示三角形的高、中线、解平分线； （1）三角形的中线（如图一）：

∵CF 是AB 上的中线 ∴①AF = =

2

1

②AB=2 =2 （2）三角形的角平分线（如图二）：

∵BE 是ΔABC 中∠ABC 的角平分线

∴①∠1=∠2= ∠ABC ②∠ABC=2∠ =2∠ （3）三角形的高线（如图三）：

∵AD 为ΔABC 中BC 边上的高，

∴① ⊥ ②∠ =∠ =90° 四．巩固练习： A 组：

1、按要求画出下列三角形的中线、高线、角平分线

2、如图1：∠BAC=60°，AD 是三角形ABC 的角平分线，则∠BAD= °，∠CAD= °；

3、如图2，AD 为ΔABC 中BC 边上的高，∠B=35°，∠C=45°，则∠BDA= ° ∠BAD= °，∠CAD= °。

4、如图3，ΔABC 的周长为20，AB=6，AC=8，AD 是BC 边上的中线，则BC= ，

BD= ，CD= 。

5、下列三个图中三个∠B 有什么不同？过点A 作画出下列三角形的高，这三个三角形ABC 的边BC 上的高AD 在各自三角形的什么位置上？你能说出其中的规律？

C

E

F

画中线AD 画DF 边上的高EM

解：图一∠B 是 角，这个三角形ABC 的边BC 上的高AD 在

图二∠B 是 角，这个三角形ABC 的边BC 上的高AD 在 图三∠B 是 角，这个三角形ABC 的边BC 上的高AD 在

B 组：

6、在△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线、AF 是高，填空： （1）BD= =

1

2

； （2）1

2

BAE ∠=??????=

???????? （3）90BFA ∠=??????????=? （4）1

2

ABC

S

=

?????????? 7、如图，在ΔABC 中，∠BAC=60°，∠B=45°， AD 是ΔABC 的一条角平分线，求∠ADB 的度数。

8、∠B=30°，∠C=70°， AD 、AE 分别为 BC 边上的角平分线、高。求∠DAE 的度数。

C 组：

如图，ΔABC 中，AB=2，BC=4，ΔABC 的

高AD 与CE 的比是多少？ （提示：利用三角形的面积公式）

(6)

(5)

(4)

(3)(2)

(1)

11.1.3 三角形的稳定性及复习

学习目标：

1、了解三角形的稳定性

2、复习三角形有关线段 新课导学：

阅读课本第6页至第7页回答下列问题

盖房子时，在窗框未安装好前，木工师傅常先在窗框上斜钉一根木条，为什么？

下列的图形中具有稳定性的是 （写编号）

三角形有关线段复习 一、知识点：

三角形的分类：

锐角三角形 按角分类

不等边三角形： 三角形三条边 按边分类 底边和腰不 的等腰三角形 等腰三角形

（有两条边相等）等边三角形：三条边都

三角形三边的关系：

1、三角形的任意两边之和 第三边；

2、三角形的任意两边之差 第三边。

如图一， + > ； - >

三角形的重要线段：

（1）三角形的高 （2）三角形的中线 （3）三角形的角平分线

如图，在ABC ?中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，F 是BC 边上的中点，则有 （1）∵ AD ⊥BC ，

∴ ∠ =∠ = 90° （2）∵AE 平分∠BAC ，

∴∠ =∠ =2

1

∠ （3）∵F 是BC 边上的中点，

∴ = =2

1

（四）三角形的稳定性：

盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，(如右图) 为什么要这样做呢？

答：

练习：要是四边形木架不变形，至少要在钉几根木条? 五边形木架和六边形木架呢？

（请在图上画出）

至少要钉 根木条 至少要钉 根木条 至少要钉 根木条 二、练习： （一）、选择题：

1.如图，共有三角形的个数是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

2．以下列长度（cm ）的三条小木棒，若首尾顺次连接，能钉成三角形的是（ ）。 （A ）10、14、24 （B ）12、16、32 （C ）16、6、4 （D ）8、10、12 （二）填空：

1、如图：AD 、AE 分别是ABC ?的角平分线和中线，如果 ∠BAD ＝50°，CE ＝5cm ，那么∠BAC= 度， BC ＝ cm ；

2、等腰三角形的两条边长分别为10cm 和5cm ，它们的周长是 cm 。

3、已知等腰三角形的一边长等于5cm ，一边长等于 6 cm ，则它的周长为

cm 。

4、一个等腰三角形的周长是20 cm ，

（1）若一条边长为5 cm ，则另两边的长分别为 ； （2）若一条边长为6 cm ，则另两边的长分别为 。 5、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是BC 边上的高， DE ⊥AB 于E ，那么图中共有 个直角三角形。 （三）按要求画出下列三角形的高

11.2 与三角形有关的角

11.2.1 三角形的内角

学习目标：

（1）学会利用已学的相交线与平行线等相关性质证明三角形的内角和定理； （2）初步了解什么是几何证明，并感受证明几何问题的基本结构和推导过程； （3）基本学会利用三角形内角和定理解决生活中的实际问题。 新课导学：

试一试，下面的练习，你还会做吗？

如图1（1），已知：直线上有一点A ，过点A 作射线AM 、AN ； 1、若∠DAM=30°，∠EAN=70°，则∠1等于 度。

2、若在AM 上任取一点B ，过点B 作BC ∥DE 交AN 于点C 如图1（2），

则：（1）∠2等于 度，根据： （2）∠3等于 度，根据： （3）∠1+∠2+∠3等于 度。

（三）问题：任剪一个三角形，按下列要求进行实验 （1）先剪下∠B 和∠C （如图2），然后把它们与∠A

画AC 边上高 画DE 边上高 画HG 边上高

图2

拼合在一起，就得到一个平角．有多少种不同的拼合

方法？请你把这些不同的方法分别拼出来；这个实验说明什么？你会证明吗？ 实验说明：

（2）在（1）中你觉得哪几种拼合的结果有助于发现证明三角形内角和等于180度思路？它们有什么共同的特点？

（四）证明三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180o；

已知：如图3，三角形ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180 证明：（方法一） （五）巩固练习 比一比，看谁最快求出下列各图形中，∠1、∠2或∠3的度数；

∠1= ∠2= ∠3=

（六）应用举例

如图3，C 岛在A 岛的北偏东50度方向，B 岛在A 岛的北偏东80度方向，C 岛在B 岛的北偏西40度方向，从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？

（七）练习 A 组 1．求出下列图中x 的值: x=

x=

x=

x=

2、求下列图形中的∠1、∠2的度数：

E

第3题

（1） （2） （3）

AB ∥CD

∠1= o ∠1= o ∠1= o ∠2= o ∠2= o ∠2= o 3、如图,从A 处观测C 处时仰角∠CAD=30o,从B 处 观测C 处时仰角为∠CBD=45o,则∠CBA 是 度， 从C 处观测A,B 两处时视角∠ACB 是 度。

B 组

4、如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD ， 其中∠A=150度，∠B=∠D=40度，求∠C 的度数。

5、如图，AD ⊥BC ，∠1=∠2，∠C=65°，求∠BAC 的度数。

6、在三角形ABC 中∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，求三角形ABC

的各内角的度数；

7、如图，AB ∥CD ，∠A=40°，∠D=45°，求∠1和∠2

8、如图AB ∥CD ，∠A=45°，∠C =∠E ，求∠C ；

B

D

第5题

80?60?

三角形（一）——三角形的外角

学习目标：

1、知道什么叫三角形的外角；理解三角形外角的两条性质定理；

2．能用三角形外角的有关定理解答问题。

复习回顾：

1、三角形内角和定理：三角形的内角和等于。

2、如图, △ABC中∠A+∠B+∠C=

3、如图，在△ABC中若∠A=60°，∠B=35°，则∠ACB= °，∠ACD= °；

新课导入：

（一）认识三角形的外角，阅读课本第74页，了解什么是三角形的外角，并回答下列问题：

1、如图，△ABC的一个外角是；

2、如图，若∠C=50°，∠B=28°，则∠BAC= °∠DAB= °

（二）三角形外角的性质定理：

1、如图，△ABC的一个外角是，和它不相邻的内角

是，。

2、猜想：∠BAD和∠B、∠C之间的关系是。

证明：

归纳：①三角形的一个外角等于；

②三角形的一个外角大于一个。

几何语言：∠1=∠ +∠；

∠ABE= + ；

∠1 >∠；∠1 >∠；

（三）三角形的外角和——每一个三角形的内角相应地取其中一个外角相加的结果；

思考：如图，∠1+∠2+∠3= °（你能证明得到的结论吗？）

证明：

归纳：三角形的外角和等于°

三、巩固练习：A组：

1、计算：

12

D

C

B

A

∴∠1= ∴∠2= ° ∴∠

2、如图，CE ∥AB

∴∠2= ° ∴∠CDE= °，∠E= ° 3、∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，∠A=90°，∠B=55°，则∠C= ° 4、∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，∠A=90°，∠B=55°，则与∠C 相邻的外角= °

5、下列说法正确的是（ ）

A ．三角形的一个外角大于它的一个内角；

B ．三角形的一个外角等于它的两个内角；

C ．三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和；

D ．以上答案都不对。

B 组：

1、下列各图中，表示∠1是△ABC 的外角的是（ ）

2、如右图，以下说法不正确的是（ ） A 、∠EFD 是△BFC 的一个外角； B 、∠DFC 是△BFC 的一个外角； C 、∠EFD+∠FBC+∠FCB=180°； D 、∠CDF=∠A+∠ABD

3、如图，D 是△ABC 边上的一点，E 是BD 上一点，则对 ∠1、∠2、∠A 之间的关系描述正确的是（ ）。 A 、∠A < ∠1 > ∠2 B 、∠2 >∠1>∠A C 、∠1 >∠2>∠A D 、无法确定

4、填空：

（1）一个三角形最多有 个直角，一个三角形最多有 个钝角；

（2）一个三角形的三个外角中，最多有 个锐角，最多有 个直角，最多有 个钝角。

5、如右图：D 是△ABC 中BC 边上的一点，∠B=∠BAD ，∠ADC=80°， ∠BAC=70°，求：∠B ，∠C 的度数。 C 组：

如图，△ABC 中，分别延长△ABC 的边AB 、AC 到D 、E ，∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点P ，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律： 若∠A ＝50°，则∠P ＝ °； 若∠A ＝90°，则∠P ＝ °； 若∠A ＝100°，则∠P ＝ °；

请你用数学表达式归纳∠A 与∠P 的关系，并说明理由。

三角形（二）——练习2

一、知识点： 三角形的角：

1. 三角形的内角和等于 °

2. 三角形的外角和等于 ° 如图，∠ 是ABC 的一个外角

3. 三角形外角性质：

（1）三角形的一个外角等于 ； 如图，∠ACD=∠ +∠ ；

（2）三角形的一个外角大于 。 如图，∠ACD > ；∠ACD > 三角形的三边关系：

三角形的任意两边之和 第三边；三角形任意两边之差 第三边。

即：三角形两边 < 三角形的第三边 <三角形的两边 二、练习：

第2、3小题

第1题

第2题

1．如图：AB ∥CD ，AD 和BC 交于点O ，若∠A=42°∠C=59°，则∠AOB 等于 . 2．有一块直角三角形纸片ABC ，把它折叠，使点C 落在AB 边上。若∠C=90°，∠B=40°，则∠DAB= 。

3．在△ABC 中（如图），BD 平分∠ABC ，∠A=36°，∠C=72°， 那么∠ABD 的度数是 ；∠BDC 的度数是 。

4、 等腰三角形的两条边长分别为8cm 和5cm ，它们的周长是 cm 5．一个等腰三角形的周长是18cm ，其中一边长为5，则其余两边的长分别是 。 B 組

6．如图：AB ∥CD ，AD ∥CD ，∠1=50°，∠2=80°。 （1）∠BDC ，∠DBC 分别是多少度？ （2）∠C 等于多少度？

7．在△ABC 中,若∠A :∠B:∠C=2:3:4，则∠A 、∠B 度数 8.在?ABC 中,∠A=30°,∠C=4

1∠B,求∠B 9．在?ABC 中,∠C=55°,∠B=∠A-35°,求∠A

10.如图：△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边上的高，如果∠A=2∠B ，求∠B ，∠ACD 的度数。 1

多边形的内角和与外角和1

一、学习目标：

了解多边形外角，并能简单识别掌握多边形内角和定理、外角和公式的推导方法能灵活运用定理和公式进行计算解决问题。 二、教学过程：

一、复习回顾，如图，填空： （1）∠1＋∠2＋∠3＝ ； （2）∠4＋∠5＋∠6＝ ；

（3）∠4＝∠ ＋∠ ； ∠5＝ ＋ ；

第7题

（4）∠6 > ∠；∠6 > ∠

二、学习多边形的有关概念,阅读课本第79至80页，回答：

1、由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做。

2、如果一个多边形由n条线段组成，你们这个多边形就叫做n边形，填空：

边形边形边形

3、阅读课本，了解凸多边形的概念，并判断下列图形是凸多边形有；

4、连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的。

5、如图，请画出下列多边形中的A点与其他顶点的对角线，并回答问题：

四边形被对角线分成个三角形

五边形被对角线分成个三角形

6、各角都，各边都的多边形叫正多边形

正边形正边形正边形正边形

三、新课探索：

（一）多边形的内角和：

1、回忆：三角形的内角和等于度；

2、问题：四边形的内角和又会是多少？

即：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝。

你会利用所学知识说明以上结论？

3、探索规律：（仿照以上问题中做对角线的方法进行研究）

n 边形的内角和= 。

（二）问题：多边形的外角和是多少？

1、试一试： 如图：∵∠4+∠5+∠6 = °

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 = °

∴∠1+∠2+∠3 = °

∴三角形的外角和为 °

2、归纳：任意多边形的外角和都为 ° 四、课堂练习 1、课本练习题

2、求八边形的内角和的度数与外角和度数。

解：由内角和公式，得(2)180(2)180n -?=???????-?= 由外角和公式，得八边形外角和是 。 答：八边形的内角和是 ，外角和是 。

3、n 边形的外角和等于 度；若一个n 边形的每个外角都为72°，那么这个多边形的边数n 为 。

4、一个多边形的内角和为1980°，求多边形的边数。

解：设这个多边形的边数是n ，根据多边形内角和公式得

n-?=，

(2)180

解上述方程得：答：这个多边形的边数是；

多边形的内角和与外角和2

一、学习目标：

熟练掌握多边形的相关概念，并能运用定理以及公式解决问题。

二、学习过程

一、知识点回顾：

1、多边形的内角和是。

2、多边形的外角和是。

二：练习

（一）填空

1、从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，

它们将五边形分成个三角形。

2、八边形的内角和是，外角和是；

如果八边形的各个内角都相等，那么它的每一个内角都等于。3、十边形的内角和为，外角和为；

正十边形的每个内角为，每个外角为。

4、n边形的外角和等于度；若一个n边形的每个外角都为24°，那么边数n为。

5、填表：

、边形的内角和与外角和相等；

7、（1）一个多边形的内角和是外角和的一半，求这个多边形的边数。

（2）一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数。

8、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D；

求证：AB∥CD，BC∥AD；

小结复习

一、学习目标：

了解三角形的有关概念，能正确画出三角形的高、中线、角平分线，掌握三角形、多边形的内角和定理，掌握多边形的外角和定理，并会应用； 二、知识点： 三角形的分类：

锐角三角形 —— 按角分类 三角形 —— 三角形 ——

等腰三角形 三角形： （二）三角形的重要线段：

（1）三角形的高线，如图，在ABC ?中

∵AD 是ABC ?的一条高 ∴ ⊥ ，∠ ＝90° （2）三角形的角平分线，如图，在ABC ?中

∵AE 是ABC ?的一条角平分线 ∴∠ ＝∠ ＝

2

1

∠ （3）三角形的中线，如图，在ABC ?中

∵AF 是ABC ?的一条中线 ∴ ＝ ＝2

1

三角形的一些性质：

1. 三角形的内角和等于 °

2、三角形的外角和等于 ° 3. 三角形外角性质 4、三角形的三边关系：

（1）三角形的任何两边之和 。 （2）三角形的任何两边之差 。

5、三角形具有性。

（四）多边形的有关概念及性质：

1、正多边形：

如果多边形满足条件、，则称为正多边形。

2、多边形的对角线：

多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段。

3、多边形的一些性质：

（1）n边形的内角和等于。

（2）n边形的外角和等于。

（3）正n边形的每一个内角等于。

三、练习：

（一）填空题：

∠的角平分线和BC边上的中线，

1. 如图：AD、AE分别是BAC

如果∠BAC＝100°，CB＝10cm，那么∠DAC= 度，

EC＝ cm；

2．已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角.

（1）如果∠A＝90°，∠C＝55°，那么∠B＝______；

（2）如果∠A=50°，∠B=∠C，那么∠B= ；

（3）如果∠A＝90°，∠B－∠C＝30°，那么∠B＝___ __，∠C=______；（4）如果∠C＝4∠A，∠A＋∠B＝100°，那么∠A＝______,∠B=______, 3．已知△ABC是等腰三角形，

（1）如果它的两条边长的长分别为8cm和5cm,那么它的周长是。（2）如果它的周长为18cm，一条边的长为4cm，那么另两边长是。4．已知三角形的三边分别为2，a，4，那么a的取值范围是。5．从八边形的一个顶点出发，可以引条对角线，把这个八边形分成个三角形。

（二）填表

（1）在图1中作△ABC的中线BD；

（2）在图2中过点A作△ABC的角平分线AE；

（3）在图3中作△ABC 的高AF 、CG ；

（四）解答题：

1、已知：如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64° 求证：AB ∥CD 。

2、如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A ＝1100，求x 的值。

※3、已知△ABC 的∠B 和∠C 的平分线BE ，CF 交于点G ；

求证：（1）∠BGC=180°-21

（∠ABC+∠ACB ）

（2）∠BGC=90°+2

1

∠A

镶嵌——用正多边形拼地砖

一、学习目标：

明确什么样的正多边形可以拼地板。

明确用多种正多边形拼地板的理论依据。 二、新课探索：

一、用相同的正多边形拼地板： 1、用相同的正三角形拼地板（如右图） ∵正三角形的每一个内角为____°， 即∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=____° ∴∠1

＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6=__ __°