lesson3初等模型
初等数学模型PPT课件
• 另外，适当地设置状态和决策，并确定状态 转移律，是有效地解决很广泛的一类问题的 建模方法，在以后还可能要用到。
第14页/共44页
人、狼、羊、菜渡河模型
第15页/共44页
问题的提出
• 一摆渡人F希望用一条小船把一只狼W，一 头羊G和一篮白菜C从一条河的左岸渡到右 岸去，而船小只能容纳F、W、G、C中的 两个，决不能在无人看守的情况下，留下狼 和羊在一起，羊和白菜在一起，
第5页/共44页
模型构成
• 记第k次渡河前此岸的商人数为xk，随从数为yk， k=l，2，…，xk,yk=0，1，2，3。
• 将二维向量sk=(xk,yk)定义为状态 • 安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，
记作S。不难写出 S=｛(x,y)|x=0, y= 0，1，2，3; x=3, y=0，1，2，3; x=第y6页=/共144，页 2｝
第23页/共44页
0，0) √
(1，0，1，0)
(0，0，
7) (1，0，1，0) 十 (1，1，0，0) → (0，1，1，0) ×
1，1) ×
(1，0，0，1)
(0，0，
1，0) √×
(1，0，0，0) (0，0，
• 第7步 已经出现(0，0，0，0)状态，说明经过7
第24页/共44页
评注
• 用这种方法的优点易于在计算机上实现。由此可把一个数学游 戏问题转化成为一个在计算机上计算的数学问题(即建模)。
由状态(3，3)经n(奇数)步决策 转移到(0，0)的转移过程
• 具体转移步骤如下:
(0，1)
(3，2) √
数学模型-初等模型
原则：使 rA , rB 尽可能小。
确定分配方案 利用 rA 和 rB 讨论，当增加1席时，应该分 配给A还是B。 不失一般性可设 p1 n1 > p2 n2，即对A不公 平。当再增加1席时，关于 pi ni (i = 1, 2)的不等 式有以下可能： 1. p1 (n1 + 1) > p2 n2， ，这说明即使A方增加 1席仍然对A不公平，所以这一席显然应该分 给A方；
模型构成
记第 k 次渡河前此岸的商人数 x k ，随从数为 y k . 将二维向量 s k = ( x k , y k ) 定义为状态。 安全渡河条件下的状态集合成为允许状态集合， 记做 . S x k , y k = 0,1,2,3.
x = 0 , y = 0 ,1 , 2 , 3 ; S = ( x , y ) x = 3 , y = 0 ,1 , 2 , 3 ; x = y = 1, 2
数学模型的特点
折衷 渐近 强健 可转移 非预制 条理 技艺 局限
可转移性
一个模型时现实对象抽象化、 一个模型时现实对象抽象化、理想化的产 物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移 它不为对象的所属领域所独有， 到另外的领域。在生态、经济、 到另外的领域。在生态、经济、社会等领域内 建模就常常借用物理领域中的模型。 建模就常常借用物理领域中的模型。
开设目的
对数学教育而言，既应该让学生掌握 准确快捷的计算方法和严密的逻辑推理， 也需要培养学生用数学工具分析解决实际 问题的意识和能力。传统的数学教学体系 和内容偏重于前者，开设数学建模课程则 是加强后者的一种尝试。 另外，开设本课也是为了一年一度的 “全国大学生数学建模大赛”做一些准备 工作。
建
又设(2) p1 = 1020, p2 = 1000, n1 = n2 = 10, p1 n1 − p2 n2 = 102 − 100 = 2 。 则
初等数学模型
‘第一章初等数学模型很多问题只要用到初等数学知识就能完成建模过程，而没有必要用高等数学的方法。
其实，只要能达到建模的目的和要求，所用的数学理论越简单越好，因为要用于解决实际问题，是要给大家看的，当然越简单越好。
只有迫不得以非用高深数学知识不可，才选择高深的数学知识。
下面举几个只要用初等数学就能解决的问题，我们把它称为初等数学模型。
第一节利息的计算与银行的按揭模型一. 资金的时间价值如果你拥有一笔资金，你绝对不会把它长期的放在抽屉里，而是存入银行或进行其他投资，例如买股票、债券或其他的投资。
这是因为资金具有时间价值。
资金的时间价值是指资金随时间推移而发生的增价。
在投资决策中，考察资金的时间价值，正是考察使用该资金进行投资所须放弃的利益，即机会成本。
机会成本是所放弃的诸方案中盈利最大方案的利润值。
例如某资金若投资于某工程，就放弃了将其存入银行或贷给他人的机今。
假设有资金100万元，银行的年利率为10％，贷给他人的年利率为12％，则从机会成本的角度计算，这笔资金的时间价值应为12％（或者说12万元）。
一笔资金如果不用于投资则不会有资金增值，如果资金不存入银行，不购买股票，也不进行其他投资，而是把资金锁在自已的抽屉里，随着时间的推移，不仅不会增值，或许还会贬值。
资金拥有者应当把资金投入到创造增值的活动中去，并有权获得资金时间价值带来的回报。
资金的价值随时间的变化而变化，其原因有如下几种：（1）通货膨胀：在通货膨胀情况下，用商品和劳务购买力所表示的货币价值不断下降。
（2）风险：现在手头的100元是确定的，而明天是否仍是100元是不确定的，这种不确定性就是风险。
风险对于投资者而言，是非常重要的。
（3）个人消费偏好：不同的人有不同的消费习惯（或不同的消费偏好），许多人偏好眼前的消费，而不是将来的消费。
（4）投资的机会：货币（或资金）正如其他商品一样，也具有价值，如现在得到的一万元现金与一年后得到的一万元相比，人们都会选择前者，因为现在的一万元存在投资的机会，如存入银行，假若年利率为6％，则一年后将得到10600元。
第三章-初等模型
第三章初等模型大量的实际问题可以用初等模型的方法去解决，全国大学生数学建模竞赛（乙组）的不少赛题也可用初等模型求解，例如,1999年的“煤矸石堆放”、“钻井布局”，2000年的“空洞探测”，2001年的“基金使用计划”，2007年的“手机套餐”，2008年的“NBA赛程编排”，2009年的“卫星地面监测”等等。
例3.1 有两个乡镇要在河边合建一个自来水厂请设计水厂的位置及铺设水管的方法，使水管总长度最短（单位：千米）。
（本例题可以看成2010年“油管铺设”模型的雏形）。
一. 模型准备（建模的问题来自科学的各个领域，从各行各业中抽象出来。
建模竞赛题摆在我们面前，绝大多数题目的背景我们并不清楚。
三名队员要通过查阅资料，认真学习，进一步讨论分析，才能逐步把问题搞清楚。
磨刀不误砍柴功。
熟悉背景是建模的最重要的环节之一，准备越充分，建模越准确快捷。
）在纸上画出乡镇及河流示意图，发觉水管的铺设布局有”V”型与”Y”两种。
第一种可以用常用的轴反射来解决；第二种则是在一个三角形中如何去找费尔马点的问题。
二．模型假设（现实问题是复杂鲜活的，如何去粗取精、去伪成真，抓住事物的最本质的特征，去解决问题，把问题分析清楚后，合理的假设非常重要。
因此，要对问题作适当的简化。
既要贴近实际问题又要贴近数学方法。
模型假设是极具挑战性的。
）2.1、乡镇A到河边的距离小于等于乡镇B到河边的距离.2.2、水厂C建在河上.2.3、共用的单位长度的管道铺设费用n大于或等于非共用的单位长度的管道铺设费用m.2.4、乡镇B、水厂C、管道节点P均在第一象限，乡镇A点在y轴正半轴上,河道在x轴上.2.5、河道在A、B两厂附近为直线.2.6、乡镇A、B，水厂C，管道节点P，它们之间的所有管道均是直线。
2.7、乡镇A、B，水厂C，管道节点P，以及点'B共面。
此图中，坐标，A y =4,C(2,0),B(5,6).（单位:千米）若用“V ”型法,作B 点关于轴的对称点B ’(5,-6),则直线AB ’的方程10x+5y-20=0,水厂设在C(2,0)点上。
数学建模初等模型ppt课件
61 1
61 1
21
理学院
xx
2.5 经济问题中的初等模型
设产品产量为q,产品价格为p,固定成本c0，可变成 本为c1.
（1） 总成本函数： c cq c0 c1q
（2） 供给函数：
Qs f p
（3） 需求函数：
Q0 gp
（4） 价格函数：
p f 1Q0 pq
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
理学院 6
xx
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
理学院 22
xx
（5） 收益函数：
R Rq qpq
（6） 利润函数： Lq Rq Cq
（7） 边际成本函数：
Cm C'q
（8） 边际收益函数：
Rm R'q
（9） 边际利润函数： Lm R'q C'q Rm Cm
23
理学院
xx
Q(t)=-t3+9t2+12t
个晶体管收音机。
问：在早上几点钟这个工工作人效的率工最作高效，率即最生高产？率最大， 此题中，工人在t时刻的生产率
解：工人的生产率为为Q’(产Rt)量t，Q则关Q问于' 题t时转间化t的3为t 2变求化Q1’8率(tt：)的12
R't Q''最t大值6t 18 0
初等模型
排列组合及其他模型
旅游景点的选择模型
家住成都的小张准备暑假带孩子到北京及附近城市去
旅游，成都某旅行社开辟了以下两条旅游线路
线路一
北京、北戴河、天津
线路二
北京、沈阳、哈尔滨
另外，旅行社还告知小张，他也可以在两条线路中任选
一个或多个城市旅游。
（1）若北京是小张必选的旅游城市，则他有多少种选 择方式。 （2）若从成都到北京必须在西安转机，从成都到西安 有 2 个航班，从西安到北京有3 个航班，问小张从成都 到北京共有多少种航班安排方式？
出版社的稿酬模型
有两家出版社正在竞争一部新作的版权。A出版 社给作者的稿酬为：前3000册提供6%的版 税；超过3000册部分支付8%的版税另加每 本2元的稿酬。B出版社给作者的稿酬为： 前4000册不支付版税，但超过4000部分将支 付10%的版税另加每本3元的稿酬。请问作者 应选择哪一家出版社？
一、模型的假设与变量说明
1、假设该书的定价是固定的，与选择的 出版社无关。
2、假设该书的销售量是固定的，即选择 哪家出版社对销售量没有影响；
3、假设出版社的稿酬均按销售数量计； 4、设作者选择A,B两家出版社所得的报
酬分别为y1,y2（单位：元），销售量 为n册，书的定价为p元/本。
二、模型的分析与建立
多元函数模型
在实际建模中，有时由于情况复杂，影 响决策变量的因素有多个，这时可以根 据需要建立多元函数模型。
居民电费模型
在中国有些地区，由于电力紧张，政府鼓励“错峰”用电， 四川省电网居民生活电价表（单位：元/kwh）规定“一户 一表”居民生活用电收费标准如下：
（1）月用电量在60kwh及以下部分，每日7:00~23:00期间 用电，每千瓦时0.4724元；23:00~次日7:00期间用电， 每千瓦时0.2295元。
初等数学模型
r
p p p r n = (n1 , n 2 , L , n s ) ，当且仅当 1 = 2 = L = s 时，分配是公平的。因此当存在不公平 n1 n2 ns
现象时，我们可以使用比值之间的差来衡量不公平程度。 模型建立： （局部不公平度与 Huntington 方法） 1．不公平程度的量化 设 A, B 两集体人数分别为 p1 , p 2 ；分别拥有 n1 和 n 2 个席位，则两方每个席位所代表的
dy < 0。 dx
性质 2：无差异曲线是凹的，
d2y > 0。 dx 2
性质 3：无差异曲线彼此不相交。 性质 4：越往右上方，消费者获得的效用越大。 问题求解： 设二元函数 U 1 ， U 2 分别表示两人的效用函数。设交换前甲拥有商品 X 的量为 x 0 ，甲
5
将其中的 x 交给乙；乙拥有商品 Y 的量为 y 0 ，乙将其中的 y 交给甲。交换后甲拥有的商品 组合为 ( x0 − x, y ) ，效用为 U 1 ( x 0 − x, y ) ；同理乙获得的效用为 U 2 ( x, y 0 − y ) 。
2 p2 p12 < ，则增加的 1 席给 A ， n2 (n2 + 1) n1 (n1 + 1)
2 p2 p12 > 若 rA (n1 , n2 + 1) < rB (n1 + 1, n2 ) ，即 ，则增加的 1 席给 B 。 n2 (n2 + 1) n1 (n1 + 1)
记 Qi =
pi ，则增加的 1 席应给 Q 值大的一方。 ni (ni + 1)
将 上 述 方 法 推 广 到 m 个 集 体 分 配 席 位 的 情 况 。 设 Ai 方 人 数 为 p i 已 占 有 ni 席
初等模型 《数学模型》(第三版)电子课件姜启源、谢金星、叶 俊编制
最小二乘法 k=0.06
计算刹车距离、刹车时间
模型
d t1v kv2 0.75v 0.06v2
车速 (英里/小时)
20 30 40 50 60 70 80
刹车时间 （秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
“2秒准则”应修正为 “t 秒准
车速（英里/小则时”） 0~10
将模型改记作 t an2 bn , 只需估计 a,b
理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可
实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合
现有一批测试数据：
t 0 20 40 60 80 n 0000 1141 2019 2760 3413 t 100 120 140 160 184 n 4004 4545 5051 5525 6061
d1 t1v
F d2= m v2/2 F m
且F与车的质量m成正比
d t1v kv2
d2 kv2
模 型 d t1v kv2
参数估计
• 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒 • 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k
车速 (英里/小时) (英尺/秒)
20
29.3
30
44.0
40
58.7
第二章 初等模型
2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛 2.8 启帆远航 2.9 量纲分析与无量纲化
2.1 公平的席位分配
问 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 题 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。