74简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分
高等数学简单无理函数与三角函数的积分
22
22
2 tan sec 2
x
2 x
2 tan x
2
2u
1 tan2 x 1 u 2
cos
x
cos2
x sin2 2
x 2
cos2
x cos2 2
x tan2 2
x 2
2
1 tan2
x
2
sec2 x
2
1 tan2 x
2
1 tan2 x
1u2 1 u2
2
2
sin
x
1
2u u
2
,
cos
x
1 1
x)
,
sin
x
1
tan
x
,
5
4
1 sin
2
x
.
半角变换(或称万能代换）
可通过变换u tan x 2
化为有理函数的积分.
事实上,由
u
tan
x 2
可得
x
dx d(2 arctan u) (2 arctan
2 arctan u,
u
)du
1
2 u
2
du
sin x 2sin x cos x 2tan x cos2 x
t
1
1
t
1
))dt 1
2t
ln
t t
1 1
C
回代
2
1 x x
ln
x
1 x x
1
2
C
a
a
C
2 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换
化为有理函数的积分. 例如:
[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]
![[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]](https://img.taocdn.com/s3/m/250c66b5de80d4d8d05a4f11.png)
高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法，是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。
不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以掌握不定积分的计算方法很重要。
不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查，考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。
不定积分的求法的理解和应用要多做习题，尤其是综合性的习题，才能真正掌握知识点，并应用于考研。
不定积分的计算方法主要有以下三种：
（1）第一换元积分法，即不定积分的凑微分求积分法；
（2）第二换元积分法
（3）分部积分法
常见的几种典型类型的换元法：
常见的几种典型类型的换元法
题型一：利用第一换元积分法求不定积分例1：
分析：
解：
题型二：利用第二换元积分法求不定积分例2：
解：
题型三：利用分部积分法求不定积分
分析：
例3：
解：。
三角函数的不定积分计算与应用
三角函数的不定积分计算与应用在数学中，三角函数是一类重要的函数，它们在各个领域都有广泛的应用。
不定积分是微积分中的基本概念之一，它可以用于计算函数的原函数。
本文将介绍三角函数的不定积分计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、三角函数的不定积分计算方法1. 正弦函数的不定积分正弦函数是三角函数中最常见的一种。
对于正弦函数sin(x)，其不定积分可以通过以下公式计算：∫sin(x) dx = -cos(x) + C其中C为常数。
2. 余弦函数的不定积分余弦函数是另一种常见的三角函数。
对于余弦函数cos(x)，其不定积分可以通过以下公式计算：∫cos(x) dx = sin(x) + C同样，C为常数。
3. 正切函数的不定积分正切函数tan(x)的不定积分可通过以下公式计算：∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C其中ln为自然对数，C为常数。
二、三角函数不定积分的应用1. 面积计算三角函数的不定积分可以用于计算闭曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
例如，给定一个函数f(x)，通过计算∫f(x) dx，我们可以得到曲线f(x)与x轴之间的面积。
2. 物理问题三角函数的不定积分在物理学中有广泛的应用。
例如，在运动学中，通过计算加速度函数的不定积分，可以得到速度函数和位移函数。
这在描述物体的运动过程中非常有用。
3. 工程问题三角函数的不定积分在工程学中也有一定的应用。
例如，在电路分析中，通过计算电流和电压函数的不定积分，可以得到电路中的电荷量和电流量。
4. 统计学问题在统计学中，三角函数的不定积分也有一定的应用。
例如，在频率分析中，通过计算函数的傅里叶级数展开式，可以得到信号的频谱分布。
综上所述，三角函数的不定积分计算方法以及其在实际问题中的应用非常广泛。
通过掌握计算方法，我们可以更好地理解三角函数的性质，并将其应用于不同领域的问题求解中。
三角函数的不定积分与不定积分的计算
三角函数的不定积分与不定积分的计算不定积分是微积分中的一个重要概念，而三角函数在数学中也扮演着重要的角色。
本文将介绍三角函数的不定积分以及如何计算不定积分。
一、三角函数的不定积分三角函数是数学中的基本函数之一，它们包括正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的倒数函数。
三角函数的不定积分可以通过积分表得到，以下是常见的三角函数不定积分公式：1. 正弦函数的不定积分：∫sin(x)dx = -cos(x) + C2. 余弦函数的不定积分：∫cos(x)dx = sin(x) + C3. 正切函数的不定积分：∫tan(x)dx = -ln|cos(x)| + C其中，C为常数项。
值得注意的是，除了上述公式外，还存在许多三角函数的不定积分公式。
在计算中，我们可以根据具体函数形式选择相应的不定积分公式。
二、不定积分的计算不定积分是求解函数的原函数的过程。
计算不定积分时，我们需要注意以下几点：1. 基本积分法：对于一些常见的函数形式，我们可以使用基本积分法进行计算。
基本积分法是根据函数的导数与原函数之间的关系来进行计算的。
2. 分部积分法：当被积函数是两个函数的乘积时，可以使用分部积分法进行计算。
分部积分法的公式为∫u dv = uv - ∫v du。
3. 常数项处理：在计算不定积分时，常数项需要特殊处理。
我们需要在计算过程中将常数项保留，并且在最终结果中添加常数项。
4. 替代变量法：有时候，我们可以通过进行替代变量来简化计算。
例如，将x替代为sin(t)或cos(t)，然后进行计算。
在实际计算过程中，我们可以根据需要和题目要求灵活运用这些方法，以求得准确的结果。
三、示例为了更好地理解三角函数的不定积分及计算方法，以下是一些示例：示例1：计算∫2sin(x)cos(x)dx。
解：根据分部积分法，我们令u = sin(x)，dv = cos(x)dx。
则du =cos(x)dx，v = sin(x)，根据分部积分法的公式有：∫2sin(x)cos(x)dx = 2∫udv = 2(uv - ∫vdu)= 2sin(x)cos(x) - 2∫sin(x)d(cos(x))= 2sin(x)cos(x) - 2∫sin(x)(-sin(x))dx= 2sin(x)cos(x) + ∫sin^2(x)dx进一步计算∫sin^2(x)dx：∫sin^2(x)dx = ∫(1 - cos^2(x))dx= ∫dx - ∫cos^2(x)dx= x - ∫cos^2(x)dx根据正弦函数和余弦函数的不定积分公式，进一步计算可得：∫sin^2(x)dx = x - (sin(x)cos(x) + ∫sin(x)d(cos(x)))= x - (sin(x)cos(x) - ∫cos(x)d(sin(x)))= x - (sin(x)cos(x) + ∫cos(x)sin(x)dx)= x - (sin(x)cos(x) + ∫sin(x)dx)= x - (sin(x)cos(x) - cos(x)) + C= x - sin(x)cos(x) + cos(x) + C综合以上结果，最终计算结果为：∫2sin(x)cos(x)dx = 2sin(x)cos(x) + x - sin(x)cos(x) + cos(x) + C示例2：计算∫(sec^2(x) + tan(x))dx。
8有理函数
2u + 1 + u2 − 1 − u2 du =∫ 2 (1 + u)(1 + u )
(1 + u)2 − (1 + u 2 ) 1+ u 1 du = ∫ =∫ du − ∫ du 2 2 (1 + u)(1 + u ) 1+ u 1+ u
1 = arctan u + ln(1 + u 2 ) − ln | 1 + u | + C 2 x Q u = tan 2 x x = + ln | sec | − ln | 1 + tan x | + C . 2 2 2
2B A + 2B = 0, 4 2 1 B + 2C = 0, ⇒ A = , B = − , C = , 5 5 5 A + C = 1, 4 2 1 − x+ 1 ∴ = 5 + 5 25. 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1+ x
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 将有理函数化为部分分式之和后， 现三类情况： 现三类情况：
有理函数和可化为有理函数的 不定积分
一、有理函数的不定积分
二、三角函数有理式的不定积分 三、简单无理函数的不定积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义： 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. 两个多项式的商表示的函数称之.
P ( x ) a0 x n + a1 x n−1 + L + an−1 x + an = m m −1 Q( x ) b0 x + b1 x + L + bm −1 x + bm
62-4简单无理式、三角函数积分法
1 u
C
1 cot3 3
x
cot
x
C.
2019/11/24
17
解（三） 可以不用万能置换公式.
1 sin4
x
dx
csc2
x(1
cot2 x)dx
csc2 xdx cot2 x csc2 xdx d(cot x) cot x 1 cot3 x C.
前式令
u
tan
x 2
3
1
1u 1u
2 2
1
2 u
2
d
u
; 后式凑微分
2019/11/24
22
1
3
1u 1u
2 2
1
2 u
2
du
1 arctan u
2
2
1 arctan( 1 tan x)
2
22
2019/11/24
23
四、小结
1. 有理函数分解成部分分式之和的积分. ( 注意：必须化成真分式 )
t
1)
3 2
(t
dt 1)2 2
3 4
ln1
t3
1
3 ln t2 2
t
1
t 3arctan
2 3
ln1
t3
C
2
3 2
ln
3
1 1
t3 t
3arctan
2t
三角函数的不定积分
不定积分
Some Trigonometric Indefinite Integrals
sin2 x cos2 x 1 (sin x) cos x (cos x) sin x
sin x cos x
sec2 x tan2 x 1 (tan x) sec2 x
(sec x) tan x sec x
sec
xd
x
1 2
ln 1 1
sin sin
x x
C
1 2
ln
(1 sin x)2 cos2 x
C
ln 1 sin x C cos x
ln sec x tan x C ．
同理可得 csc x d x ln csc x cot x C
例 求积分 cos3x cos 2x d x ．
1
cos 2
4
x
dx
1 2
x
1 sin 4x C ， 8
sin2 2x cos 2x d x 1 sin2 2x d(sin 2x) 1 sin3 2x C ，
2
6
sin2 x cos4 x d x 1 (sin2 2x sin2 2x cos 2x) d x
8
1 x 1 sin 4x 1 sin3 2x C ．
(1 2 tan2 x tan4 x) d(tan x)
tan x 2 tan3 x 1 tan5 x C ．
3
5
例 求积分 tan5 x sec3 x d x ．
sec2 x tan 2 x 1 (tan x) sec2 x
(sec x) tan x sec x
解 tan5 x sec3 x d x (sec2 x 1)2 sec2 x d(sec x)
三角函数的不定积分
三角函数有理式的不定积分由u(x)、v(x)及常数经过有限次四则用算所得到的函数称为关于u(x)、v(x)的有理式，并用R(u(x),v(x))表示.⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定式.一般通过变换t=tan 2x ,可把他化为有理函数的不定积分。
这是因为 Sinx=2222122tan 12tan 22cos 2sin 2cos 2sin 2t t x x x x x x +=+=+ (8) Cosx=22222222112tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos t t x x x x x x +-=+-=+- (9) dx=dt t212+ 所以dt t t t t t R dx x x R 222212)11,12()cos ,(sin ++-+=⎰⎰ （10） 例3 求dx x x x ⎰++)cos 1(sin sin 1 解 令t=tan2x ,将(8)、（9）、（10）代入被积表达式， dx x x x ⎰++)cos 1(sin sin 1=dt t t t t t t t2222212)111(12121+∙+-++++⎰ =)ln 22(21)12(212t t t dt t t ++=++⎰+C =C x x x +++2tan ln 212tan 2tan 412 注意 上面所用的交换t=tan2x 对三角函数有理式的不定积分虽然总是有效的，但并不意味着在任何场合都是简便的. 例4 求)0(cos sin 2222≠+⎰ab xb x a dx 解 由于,t a n )(t a n t a n s e c c o s s i n 22222222222⎰⎰⎰+=+=+bx a x d dx b x a x x b x a dx 故令t=tanx,就有,t a n )(t a n t a n s e c c o s s i n 22222222222⎰⎰⎰+=+=+bx a x d dx b x a x x b x a dx =C bat ab +arctan 1 适当当被积函数是x x 22cos ,sin 及sinxcosx 的有理式时，采用变换t=tanx 往往比较方便.其他特殊情形可因题而异，选择合适的变换。
第4节 有理函数的不定积分
Mx + N ; 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 2 x + px + q
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 将有理函数化为部分分式之和后， 现三类情况： 现三类情况：
A Mx + N (1) 多项式； ( 2) 多项式； ; ( 3) ; n 2 n ( x − a) ( x + px + q ) Mx + N dx , 讨论积分∫ 2 n ( x + px + q )
2x3 + 5x 2x2 + 5 解 原式 = ∫ x4 + 5x2 + 4dx + ∫ x4 + 5x2 + 4dx
1 d( x4 + 5x2 + 5) ( x2 +1) + ( x2 + 4) = ∫ 4 dx +∫ 2 2 2 2 x + 5x + 4 ( x +1)( x + 4)
1 1 1 4 2 + 2 )dx = ln x + 5x + 4 + ∫ ( 2 x +1 x + 4 2
1 = ln x4 + 5x2 + 4 + arctanx + 1arctan x + C. 2 2 2
注意 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 例6 求积分 解
2u+1+ u2 −1− u2 2u du du = 原式 = 2 2 (1+ u)(1+ u ) (1 + u)(1 + u )
62-4简单无理式、三角函数积分法(1)
解 令t 1 x , x
原式
(t
2
1)
t
(t
2t 2 1)2
dt
2
t
t
2
2
1
dt
2
(1
t
2
1
) 1
dt
2t ln t 1 C t 1
2020/1/3
5
例.求
x
1x dx 1x
解：令
1 1
x x
t则x
t2 t2 xb c xd
)dx
,
令
t
n
a xb c xd
3. R( x ,n ax b ,m ax b)dx ,
令 t p a x b , 其中 p为m ,n的最小公倍数.
2020/1/3
2
例1
求积分
1
dx 3x
2
.
解 令t3 x2,
原式
3t 2 1 t
dx.
解（一） u tan x , 2
sin
x
1
2u u2
,
dx
1
2 u2
du,
1 sin4
x
dx
1
3u2 3u4 8u4
u6 du
1[ 8
1 3u3
3 u
3u
u3 3
]
C
1 24 tan
x 2
3
3 8 tan
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§7.4简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分一、简单无理函数的不定积分对被积函数带有根号的不定积分，它的计算是比较麻烦的。
但对某些特殊情况，我们可通过作变量替换，将其转化为有理函数的不定积分，这样就可以用上述的方法计算。
下面总假设),(y x R 表示关于变量y x ,的有理函数。
1．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++n d cx b ax x R ,型函数的不定积分。
其中0≠-bc ad 解法：作变量替换n d cx bax t ++=，即dt t dx t cta b dt x nn)(,)(φφ'==--=,于是 []⎰⎰'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++dt t t t R dx d cx b ax x R n )(),(,φφ，转化为有理函数的不定积分。
例1．求⎰++dx xxxx 141582171分析：要把被积函数中的几个根式化为同次根式。
()214771x x x ==，()71421x x x==，()16147878x x x==，()15141415x x=作变量替换14x t =，即dt t dx t x 131414,==，就可以把原不定积分化为有理函数的不定积分。
解：作变量替换14x t =，即dt t dx t x 131414,==，则=++=⋅++=++⎰⎰⎰dt t t dt t t t t t dx x x x x 111414513151672141582171 例2．求⎰-⋅+-dx x x x 23)2(122 解：设,223t x x =+- 则33122t t x +-=，dt t tdx 232)1(12+-=，所以 ⎰⎰⎰=-=+-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⋅=-⋅+- dt t dt t t t t t dx x x x 323223323143)1(1212221)2(122 2．()c bx ax x R ++2,型函数的不定积分，其中042≠-ac b （即方程02=++c bx ax 无重根）分两种情况讨论：（1）042>-ac b 时，方程02=++c bx ax 有两个不等的实数根α、β这时，设)())((2αβα-=--=++x t x x c bx ax ，即22t t x --=αααβ，从而有,)()(222dt t t dx --=ααβα 22)(t t c bx ax --=++ααβα 于是，()⎰⎰--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=++dt t tt t t t R dx c bx ax x R 22222)(2)(,,ααβαααβααααβ这就将无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分。
例3．求⎰-++22)1(xx x dx解：方程022=-+x x 有两个根：11-=x ，22=x ，设)1(22+=-+x t x x ，则x x t +-=12，即2212t t x +-=，于是dt t t dx 22)1(6+-=，22132t t x x +=-+ C x x C t dt dt t t t t t tx x x dx ++--=+-=-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=-++⎰⎰⎰1232323213121)1(62)1(222222 （2）042<-ac b 时，方程02=++c bx ax 没有有实数根。
此时，a 、c 同号（否则042>-ac b ），且0>c （否则0=x 时，c bx ax ++2没有意义），从而0>a设c tx c bx ax ±=++2，则x c c bx ax t ++=2，或)(22t at tc b x ϕ=-= ，此时dt t dx )(ϕ'=，从而()()⎰⎰'±=++dt t c t t t R dx c bx ax x R )()(),(,2ϕϕϕ 这就把无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分。
例4．求⎰+-+dx x x x 112解：设112-=+-tx x x ，或xx x t 112-+-=，即1122--=t t x有dt t t t dx 222)1()1(2-+--=，111222-+-=+-t t t x x ，112-=+-+t t x x x∴⎰⎰=-+-⋅--=+-+ dt t t t t t dx x x x 2222)1(11211（3）当被积函数是最简形式时，可用特殊的简单方法计算。
例5．求⎰-+dx x x 26111例6．求⎰++-dx x x x 54222例7．求⎰++-dx x x x 14)2(2二、三角函数的不定积分三角函数有理式的积分，即⎰dx x x R )sin ,(cos 型的积分，其计算方法的总思路就是把它转化为有理函数的不定积分。
计算方法多种多样，有一种通用的计算方法——万能代换。
令2x tgt =，就有.2arctgt x =，,122t dtdx +=且 22122sec222cos 2sin 2sin t t x x tgx x x +===， ,11cos 22tt x +-= 212t t tgx -= 于是 ⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=dt t t t t t R dx x x R 22221212,11)sin ,(cos化为了有理函数的不定积分。
讲解课本例8、例9。
补充例子：求⎰+=x dxI cos 1解：( 用万能代换 ) ⎰⎰+=+==+-++======c x tg c t dt dt t t t I x tgt 2111122222还可以用其它的解法。
解法2：( 用初等化简 ) c xtg x d x x dx I +===⎰⎰2)2(2sec 2cos 2122.解法3：( 用初等化简, 并凑微 )⎰⎰⎰=-=--=x x d xdx dx x x I 222sin sin csc cos 1cos 1 .2csc sin 1c xtg c ctgx x c x ctgx +=+-=++-=可以看到，三角函数的不定积分的计算方法是比较灵活的，只要我们注意观察被积函数的特征，就能找到一些简便的计算方法。
下面介绍一些特殊的有理三角函数的不定积分的简便计算方法。
1．如果)sin ,(cos )sin ,cos (x x R x x R -=-，那么可设x t sin =即可例10．求⎰dx xx x 46sin cos tan 解： =-==⎰⎰⎰)(sin sin )sin 1(sin cos sin cos tan 3223546x d xx dx x x dx x x x 可见，在解题时不一定要“设”，懂得“凑”就行了。
2．如果)sin ,(cos )sin ,(cos x x R x x R -=-，那么设x t cos =即可例11．求⎰dx xx45cos sin 解： =--=⎰⎰)(cos cos )cos 1(cos sin 42245x d xx dx x x 3．如果)sin ,(cos )sin ,cos (x x R x x R =--，那么设x t tan =即可例12．求⎰+dx xx 42cos 1sin 解： ()()() =++=+=+⎰⎰⎰x d x x x d xx dx x x tan tan 1tan tan cos 1sin cos 1sin 222242 4．被积函数是形如x x mn cos sin 的三角函数，分两种情况：（1）如果n 与m 至少有一个是奇数，那么n 是奇数时设x t cos =；m 是奇数时设x t sin =。
例13．求⎰dx xx cos tan 3解：()() =--=-==⎰⎰⎰⎰x d xx x d xx dx xx dx xx cos cos cos 1cos cos sin cos sin cos tan 7772233（2）如果n 与m 都是偶数，则通过三角公式22cos 1sin 2x x -=， 22c o s 1c o s 2x x +=， x x x 2s i n 21c o s s i n= 将被积函数降幂、化简。
例14．求⎰xdx x 42cos sin解：()()()⎰⎰⎰--+=+-=dx x x x dx x x xdx x 2cos 2cos 2cos 1812cos 12cos 181cos sin 32242 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=⎰dx x x x 2cos 24cos 12cos 18135．如果被积函数是形如nx mx sin sin 、nx mx cos sin 、nx mx cos cos 的函数，那么就用积化和差公式将被积函数化简。
[]1sin sin cos()cos()2mx nx m n x m n x =--+ []1sin cos sin()sin()2mx nx m n x m n x =-++[]1cos cos cos()cos()2mx nx m n x m n x =-++例15．求()()⎰++dx x x 32cos 15cos上面介绍的积分都是能积出来的，但并不是所有的积分都能积出来的。
如⎰dx x x sin ，⎰dx xe x ，⎰dx x ln 1，⎰dx e x 2这些不定积分按道理应该有结果，但他们都是“积不出来”的。
主要原因他们是不能用初等函数来表示。
（用上面方法计算的不定积分的结果都是初等函数。
）。