空间角学生版
空间角的求法教案
空间角的求法教案一、教学目标1. 让学生掌握空间角的概念，理解空间角的求法。
2. 培养学生运用空间角解决实际问题的能力。
3. 提高学生对空间几何的兴趣和认识。
二、教学内容1. 空间角的概念2. 空间角的求法3. 空间角的运用三、教学重点与难点1. 教学重点：空间角的概念，空间角的求法。
2. 教学难点：空间角的求法在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间角的求法。
2. 利用多媒体课件，直观展示空间角的求法过程。
3. 开展小组讨论，培养学生的合作意识。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生了解空间角的概念。
2. 新课讲解：讲解空间角的定义，演示空间角的求法过程。
3. 案例分析：分析实际问题，运用空间角解决问题。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的解题心得。
5. 总结与拓展：总结空间角的求法，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
教案内容请根据实际教学情况进行调整和补充。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解他们对空间角概念和求法的掌握情况。
2. 练习题：布置课堂练习题，评估学生对空间角求法的运用能力。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和解决问题的能力。
七、教学反思1. 教师总结：反思教学过程中的优点和不足，为下一步教学做好准备。
2. 学生反馈：听取学生的意见和建议，改进教学方法。
3. 教学调整：根据教学反思，调整教学计划和内容。
八、课后作业1. 巩固空间角的概念和求法，完成相关练习题。
2. 思考空间角在实际问题中的应用，尝试解决相关问题。
3. 预习下一节课内容，为课堂学习做好准备。
九、拓展与延伸1. 研究空间角的其他求法，如利用向量、坐标等方法。
2. 探索空间角在立体几何中的应用，如对立体图形的分类、性质等方面进行研究。
3. 关注空间角在现实生活中的应用，举例说明空间角在工程、设计等领域的作用。
空间直角坐标系学生版
1 / 1§2.4 空间直角坐标系2．4.1 空间直角坐标系一、基础过关1． 点P(0,0，－2)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．z 轴上 B ．xOy 平面上 C ．xOz 平面上D ．x 轴上 2． 设y ∈R ，则点P(1，y,2)的集合为( ) A ．垂直于xOz 平面的一条直线 B ．平行于xOz 平面的一条直线C ．垂直于y 轴的一个平面D ．平行于y 轴的一个平面3． 已知空间直角坐标系中有一点M(x ，y ，z)满足x>y>z ，且x ＋y ＋z ＝0，则M 点的位置是( )A ．一定在xOy 平面上B ．一定在yOz 平面上C ．一定在xOz 平面上D ．可能在xOz 平面上4． 在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz 平面的对称点的坐标为( ) A ．(－3,4,5) B ．(－3，－4,5) C ．(3，－4，－5) D ．(－3,4，－5)5． 在空间直角坐标系中，点A(1,2，－3)关于x 轴的对称点为________．6． 点P(1,4，－3)与点Q(3，－2,5)的中点坐标是________．7． 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 分别是DD 1、BD 、BB 1的中点，且正方体棱长为1.请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E 、F 、G 的坐标．8． 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ， H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E 、F 、G 、H 的坐标．二、能力提升9． 在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对10．如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，|BP|＝13|BD ′|，则P 点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫13，13，13 B.⎝⎛⎭⎫23，23，23 C.⎝⎛⎭⎫13，23，13 D.⎝⎛⎭⎫23，23，1311．连接平面上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的线段P 1P 2的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，那么，已知空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)、P 2(x 2，y 2，z 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为__________．12．如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A 、B 、C 、D 、E 、F 的坐标．三、探究与拓展13．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2.试建立适当的空间直角坐标系，求出A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标．。
空间角
空间角一、三维目标1、知识与技能：掌握利用空间向量求空间角（两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角）的方法，并能熟练准确的求解结果及完整合理的表达。
2、过程与方法：经历向量法求空间三种角的过程，体会空间向量夹角公式的应用，培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从“定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析问题、解决问题的能力. 使学生更好的掌握化归和转化的思想。
3、情感、态度、价值观：激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情.二、教学重点与难点重点：用直线的方向向量、平面的法向量、向量夹角公式求空间三种角难点：（1)两条异面直线的夹角、二面角的平面角与两个空间向量的夹角之间的区别；（2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标.根据三种空间角的定义和范围，结合具体的图形和向量夹角公向量法求三种空间角的公式，并且注意根据向量夹角与三种空间角的关系，恰当的进行转化。
三、教学建议：向量知识的引入是高中数学教材改革的一个亮点。
本节课是在学生已经掌握空间向量的坐标运算、线段式运算及异面直线所成角、线面角、二面角的基础上，进一步研究用向量法求解这三种角。
它既是对空间角的深入研究，又突出体现空间向量作为一种重要工具，为立体几何中夹角的求解提供了通法。
本节课主要是通过寻找异面直线所成角、线面角、二面角与向量夹角间的关系，分析例题，总结解题思路。
所以，遵照以教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则，采取教师提供资源，创设情境，引导学生主动参与，自主进行问题的探究学习。
通过启发、提问、小组讨论、教师点拨、演示过程、归纳总结的教学方法，让学生想、学生做、学生说，并采用多媒体电教手段，增加课堂容量，激发学习兴趣。
四、教学流程。
数学教案《空间角》-教学文档
数学教案《空间角》?【教学目标】掌握二面角及其平面角的概念，能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小【知识梳理】空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
其取值范围分别是：0°? ? ≤90°、0°≤ ? ≤90°、0°? ? ≤180°.空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法和向量法.【点击双基】1．如果平面的一条斜线长是它在这个平面上射影长的3倍，那么这条斜线与平面所成角的余弦值为……………………………..( )A. 13B. 233C. 22D. 232.平面α的斜线与α所成的角为30°,则此斜线和α内所有不过斜足的直线所成的角的最大值为………………………………..( )A. 30°B.60°C.90°D.150°3.如果向量a=(1,0,1),b=(0,1,1)分别平行于平面α,β且都与此两平面的交线l垂直,则二面角α-l-β的大小是………………..( )A. 90°B. 30°C.45°D.60°4.在△ABC中,M,N分别是AB,AC的中点,PM⊥平面ABC,当BC=18,PM=33 时,PN和平面ABC所成的角是 .5.PA,PB,PC是从P点引出的三条射线,他们之间每两条的夹角都是60 °,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为 . 【典例剖析】一、异面直线所成的角：例1（04高考广东18（2））如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2。
E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=BF=1。
求空间中的角—教学设计
求空间中的角—教学设计教学目标：1.理解角的概念。
2.掌握角的度量方法。
3.能够根据角的度量分类，并进行角的比较和运算。
教学重点：1.角的概念。
2.角的度量方法。
教学难点：角的度量方法。
教学准备：1.白板、黑板、彩色粉笔。
2.角的示例图片、实物角模型。
教学过程：Step 1：导入新知识（10分钟）1.教师出示一些手表的图片，引导学生观察时针和分针的位置。
2.提问：时针和分针之间形成了什么形状？请用手势表示。
学生回答：角。
3.教师追问：角是什么？能告诉我角的概念吗？Step 2：角的概念（10分钟）1.教师解释角的概念：角是由两条射线共同起源于一个点所夹的部分。
2.图示：教师在黑板上画出一个角，并标注重要的术语。
3.示范：教师用示例图片和实物角模型展示不同种类的角，如锐角、钝角、直角等。
Step 3：角的度量方法（30分钟）1.角度的旋转：教师引导学生思考，时针和分针绕圆心旋转一周后回到原位，这个过程称为一周。
一周有多少度？2.教师介绍度量角的概念和单位：度。
教师解释1周＝360度。
3.教师演示如何用量角器测量角的度数，引导学生跟随操作。
4.学生练习：提供一些角的图片和实物，学生用量角器测量角的度数并记录下来。
Step 4：角的度量分类（20分钟）1.教师给出一些角度度数，让学生判断是锐角、直角还是钝角。
2.学生练习：教师以小组为单位，给每组发放一些角的度数，要求学生根据度数进行分类。
3.请一名学生将小组的分类结果列在黑板上，与其他小组比较。
Step 5：角的比较和运算（20分钟）1.角度的比较：教师出示几个角，让学生根据度数大小判断它们的大小关系。
2.角的运算：教师出示两个角度，引导学生思考如何进行角的加法、减法和乘除运算，引导学生进行小组讨论。
Step 6：总结与拓展（10分钟）1.教师复习角的概念和度量方法。
2.教师总结角的分类和运算方法。
3.提问：角的度量方法适用于什么情况？学生回答：适用于平面角和空间角。
向量法求空间的距离和角
所以异面直线BD与D1A间的距离为
3 。 3
(2) A1 B1 = (0,1, 0), 设n = ( x, y, z )是平面A1DB的一 个法向量，因为DA1 = (1, 0,1), DB = (1,1, 0)， ì ì x +z = 0 nDA1 = 0 镲 由眄 即 取x = - 1, 镲 î x+y =0 î nDB = 0 | nA1 B1 | 1 2 于是n = (-1,1,1, )，且 = = 。 2 |n| 2 2 所以点B1到平面A1 BD的距离为 。 2
例1：如图1所示： 三棱柱ABC - A1 B1C1中，CA=CB， AB = AA1， ? BAA1 60o， （ 1）求证：AB^ A1C （2）若平面ABC ^ 平面AA1 B1 B， AB =CB，求直线A1C与平面BB1C1C 所成角的正弦值。
C C1
B A A1
B1
图1
C
C1
O
B A1
Z
解：由(1)知OC ^ AB，OA1 ^ AB， 又平面ABC ^ 平面AA1 B1 B，交线 为AB，所以OC ^ 平面AA1 B1 B， 故OA、OA1、OC两两相互垂直。 建立如图所示的空间直角坐标系 A
O
C
C1
B A1
B1 图1-2
X o - xyz 设AB = 2,由题设知A(1, 0, 0)、B(- 1, 0, 0)、C (0, 0, 3)、A1 (0, 3, 0), 则BC = (1, 0, 3)、 BB1 = AA1 = (- 1, 3, 0)、 A1C = (0, - 3, 3). 设n = ( x, y, z )是平面BBCC的法向量，则 ì x + 3z = 0 ì nBC = 0 镲 即 可取n = ( 3,1, -1)， 眄 镲 î nBB1 = 0 î - x + 3y = 0 nA1C 10 故 cos < n, A1C >= =. 5 | n | ×| A1C |
第五招空间余弦定理 (学生版)
5空间余弦定理的妙用秒杀知识点如图，在空间四边形ABCD 中，AC BD AC ADABAC ADAC ABcos cos AC AD CADAC AB CAB2222AC AD CD AC AD AC AD2222AC AB CB AC AB AC AB22222AD CB AB CD ,设AC ，BD 所成的夹角为，0,2，则cos cos ,AC BD AC BDAC BD，故2222cos2AD CB AB CD AC BD.此公式可称为空间形式的余弦定理，简称为空间余弦定理.【记忆方法】①看四个字母ABCD ，两边的与中间的AD ，CB 是平方之后为加号，相连的AB ，CD 平方之后为减号，分母与平面余弦定理相似.②也可用另一种形式记忆：求“对角线”AC 与BD 的夹角的余弦等于两组对边平方和的差的绝对值除以两对角线乘积的2倍.【推论】在空间四边形中22222ADCBAB CDAC BD（由上面证明可得出）.秒杀思路分析利用空间余弦定理，关键是构造出空间四边形，并且空间四边形边长及对角线长可求. 为快速求出空间四边形边长，一般把几何体放置在长方体或直棱柱中. 【示例1】（2015年浙江卷理13）如图，三棱锥A BCD 中,3ABACBDCD，2ADBC，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为 .【示例2】（2017年全国卷II 理10）已知直三棱柱111ABCA B C 中，120ABC，2AB ，11BCCC ，则异面直线1AB 与1BC 所成角得余弦值为（ ）A.【示例3】 如图，在三棱锥D ABC 中，已知2AB ，3AC BD .设AD a ，BCb ，CDc ，则21c ab 的最小值为 .【示例4】（2017年天津卷文17）如图，在四棱锥P ABCD 中，AD平面PDC ，//AD BC ，PDPB ，1AD ，3BC ，4CD ，2PD .(1) 求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值. (2)(3)略.方法对比【例1】 （2014年全国大纲卷文4）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A.1C.1【例2】（2017年江苏卷数学II 附加题22）如图，在平行六面体1111ABCDA B C D 中，1AA 平面ABCD ，且2AB AD，13AA ，120BAD .（1）求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值. （2）略.【例3】（数学奥林匹克高中训练题（224））在四面体ABCD 中，15AB CD ，20BD AC ，337ADBC，则AB 与CD 所成角的大小为 .秒杀训练【试题1】 如图，正方体1111ABCDA B C D 中，E为AB 的中点，则异面直线1D B 与EC所成角的余弦值是（ ）A.【试题2】如图，已知正三棱锥PABC 的侧棱与底面的边长相等，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，则异面直线AM 与BN 所成角的余弦值为 .【试题3】如图，在三棱锥D ABC 中，DA 平面ABC ，90ACB ，30ABD ，ACBC ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 .【试题4】 如图,三棱柱111OAB O A B 中，平面11OBB O 平面OAB ，160O OB，90AOB，且12OB OO ，3OA ，则异面直线1A B 与1AO 所成角的余弦值为 .【试题5】 如图,四边形中ABCD ，2ABBDDA ，2BC CD ，现将ABD 沿BD 折起，当二面角A BD C 处于5,66过程中，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A.522,88B. 252,88C. 20,8D. 520,8真题回放【试题1】（2015年陕西预赛）在三棱锥S ABC 中，已知AB AC ，SB SC ，则直线SA 与BC 所成角的大小为 .【试题2】（2014年新课标全国卷II 理11）直三棱柱111ABCA B C 中，90BCA，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BCCACC ，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A. 110B. 25【试题3】(2016年浙江卷文14）如图，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ，1CD ，5AD，90ADC，沿直线AC 将ACD 翻折成'ACD ，直线AC 与'BD 所成角的余弦值的最大值为 .【试题4】(2015年辽宁预赛）在正方体1111ABCD A B C D 中，点M ，N 分别在线段AB ，1BB 上（不包括线段的端点），且1AMB N ，则1A M 与1C N 所成角的取值范围是 .【试题5】(2016年中国数学奥林匹亚克希望联盟夏令营（三））在四面体ABCD 中，ABD 为等边三角形，90BCD ，1BC CD ，3AC ，E ，F 分别为BD ，AC 的中点，则直线AE 与BF 所成角的余弦值为 .【试题6】(数学奥林匹亚克高中训练题（223））已知正四棱锥P ABCD 的各棱长均相等，以ABCD 为一个面，在正四棱锥的另一侧作一个正方体ABCDEFGH ，则异面直线PA 与CF 所成角的余弦值为 .。
高中数学必修二立体几何角的问题-学生版(含几何法和向量法)
立体几何线线、线面、面面所成角的问题几何法1、两异面直线及所成的角：不在同一个平面的两条直线,叫做异面直线,已知异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a '∥a ,b '∥b ,我们把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.2、直线和平面所成的角：一条直线PA 和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A 叫做斜足。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。
平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，我们就说它们所成的角是直角。
一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是00.3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
在二面角βα--l 的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。
二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。
常见角的取值范围：① 异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛20π，，直线与平面所成的角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，二面角的取值范围依次[]π，0② 直线的倾斜角[)π，0、到的角[)π，0、与的夹角的取值范围依次是⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，4、点到平面距离：求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 向量法1、两异面直线及所成的角：设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．2、直线和平面所成的角：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．3、二面角：设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．4、点到平面距离：点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．例题例1.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010例2.已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．例3.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．例4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G =λ（0≤λ≤1），则点G 到平面D 1EF 的距离为（ ） A.3 B.22 C.32λ D.55练习：1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，（1）求证：EFGH 是平行四边形；（2）若BD=AC=2，EG=2。
直线和平面所成的角的求法(学生版)
直线和平面所成的角的求法例1 如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，ABBC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．变式练习：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD,AB∥DC,AD=DC=2，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，M是PB的中点。
（1）求证：CM∥侧面PAD，(2)求直线CM与底面ABCD所成角D C BPAM例2 已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.【变式演练2】如图所示，已知P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60(1)求DP与CC′所成角的大小;(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.强化训练：1．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．2．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．3．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．4．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的余弦值．5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF⊥面PAB；（2）若，求AC与面AEF所成的角．6．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离．9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB 上．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．10．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的，底面边长是侧棱长2倍，D、E分别是AC、A1C1的中点；（Ⅰ）求证：直线AE∥平面BDC1；（Ⅱ）求证：直线A1D⊥平面BDC1；（Ⅲ）求直线A1C1与平面BDC1所成的角．11．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求点B到平面CDB1的距离；（Ⅲ）求二面角B﹣B1C﹣D的大小．答案1．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．，即，=2H==所成的角的正弦值是．2．（2010•湖南）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．．3．（2009•湖南）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．，，，﹣，﹣，解得x=﹣z，y=0．故可取n=（，0，﹣3）．于是cos＜n，A＞═=﹣．由此即知，直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为．4．（2008•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．EF=（，∴所成角的大小是5．（2005•黑龙江）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF⊥面PAB；（2）若，求AC与面AEF所成的角．EFPDa PA=a=EF，∴∴所成角的正弦值为所成角为，，∴，，∴）解：由可得，所成的角为，∴所成的角为所成的角为6．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．的法向量为锐角时，所求的角即为它的余角；当AD==MD=，（，的一个法向量为，，的一个法向量为=，＞=∴＜＞=arcsin7．（2011•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．，代入公式的法向量的法向量可得AO=OC=，，﹣，所以=|，设的法向量=所以，的法向量所以的法向量所以，．10．（2009•江西）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离．距离的，的一个法向量，结合然后求出距离的，可求得，则，，由PN=距离的）可知所求距离为的一个法向量，由可得：．，则，所以所求角的大小为，所以，则，距离的所以所求距离为11．（2008•海南）如图，已知点P在正方体ABCD﹣A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．求出（Ⅰ）利用，求出的一个法向量是，得到．即可．，．连接，由已知可得．解得，所以（Ⅰ）因为，所以的一个法向量是因为，所以．，，，则，由已知，，，∴（Ⅰ）因为，所以的一个法向量是因为．射影O在AB上．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．OP=与平面OP===OCP==．arctan为原点，建立空间直角坐标系．则=，，的一个法向量为=得出即﹣，所以=，的一个法向量为．故二面角arccos．OP=，，所以，），），==（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=）=2的一个法向量为=，则由即，=（﹣的一个法向量为=arccos20．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的，底面边长是侧棱长2倍，D、E分别是AC、A1C1的中点；（Ⅰ）求证：直线AE∥平面BDC1；（Ⅱ）求证：直线A1D⊥平面BDC1；（Ⅲ）求直线A1C1与平面BDC1所成的角．D=，22．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．DC中，DC，可得，∴的大小为24．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求点B到平面CDB1的距离；（Ⅲ）求二面角B﹣B1C﹣D的大小．（Ⅰ）求出，推出．通过，求相关向量，计算，求二面角，∴，∴，且（易求得．的距离是易知=的大小是。
数学：《空间角》课件(人教a版必修二)
过点B作BE⊥AD于E，过点E作EF⊥CD于F 点，连接BF。 ∵平面ABC⊥平面DBC DB⊥BC F ∴BD⊥平面ABC，BD⊥AC ∵ AC⊥AB E C ∴AC⊥平面DBA
D
B
平面ACD⊥平面DBA
∵ BE⊥AD ∴BE⊥平面ACD 而EF⊥CD ∴BF⊥CD (依解法1可得∠BFE=arctan2)
训练3:
自点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成 600 角,则
直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为
C
3 3
A P
O B
3、二面角
• 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角。
A
• 二面角的大小用它的平面角来度量；
求二面角常用方法有：
B
（1）定义法： 根据定义作出二面角的平面角；
0
3、直线B1D与EF所成角的大小
A1
E
C1
B1
F
90
0
例1.
正三棱锥A-BCD中,E,F分别在棱AB,CD上,
且
AE CF .) 设α为异面直线EF与AC所成的 ( 0 EB FD
角,β为异面直线EF与BD所成的角,则α+ β=
A.
6
A
B.
3
C.
2
D.是 一 个 与 有 关 的 变 量
A B D C
M
H
cos S DBC S ABC
用这个关系式求可锐二面角的平面角。
例3、将一副三角板拼接,公共边为BC,且两个三角板 0 所在平面互相垂直,若∠BAC= ∠CBD=90 , 0 ∠BCD=60 ， AB=AC,求二面角A-CD-B的大小.
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1
Q
M
A
B
D
C
O
P
一、异面直线所成角
1、 (2012·上海高考改编题)如图7－3－7，在三棱锥P—ABC中，PA⊥
底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝π2，AB＝2，AC＝23，PA＝2.
求：(1)三棱锥P—ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
2．[2014·全国卷] 已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE
与BD所成角的余弦值为( )
A.16 B.36 C.13 D.33
3、直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角
等于( ) A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的 菱形，
4
ABC
， OAABCD底面， 2OA，M为OA的中点。
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。
二、直线与平面所成角
1、 如图在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝
60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明AE⊥平面PCD；
2、(2012·湖南高考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面
ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.
(1)证明：BD⊥PC；
(2)若AD＝4，BC＝2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P－
ABCD的体积．
3、[2014·浙江卷] 如图，在四棱锥A BCDE中，平面ABC⊥平面
BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝2.
(1)证明：AC⊥平面BCDE；
(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．
4、[2014·天津卷] 如图所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边
形，BA＝BD＝2，AD＝2，PA＝PD＝5，E，F分别是棱AD，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面PAB；(2)若二面角PADB为60°.(i)证明：平
2
面PBC⊥平面ABCD；
(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．
三、二面角
1．如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、
PC上，且PC⊥平面AMN.
（Ⅰ）求证：AM⊥PD；
（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大小；
（Ⅲ）求直线CD与平面AMN所成角的大小.
2．、[2014·全国卷] 如图11所示，三棱柱ABC A1B1C1中，点A1在平面
ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.
(1)证明：AC1⊥A1B；
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 AB C的大小．
3．（全国Ⅰ卷理18）四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，
侧面ABC底面BCDE，2BC，2CD，ABAC．
（Ⅰ）证明：ADCE；
（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角
CADE
的大小．
4、[2014·全国卷] 如图11所示，三棱柱ABC A1B1C1中，点A1在平面
ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.
(1)证明：AC1⊥A1B；
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 AB C的大小．
5．如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，
90ABCBCD
，2ABBCPBPCCD，侧面
PBC底面ABCD，O为BC的中点，连结PO
。
（1）PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论；
（2）求二面角PBDC的正切值；
（3）求证：平面PAD⊥平面PAB.
6．（2012年高考（四川理））如图,在三棱锥PABC
中,90APB,60PAB,ABBCCA,平面
PAB
平面ABC.
(Ⅰ)求直线PC与平面ABC所成角的大小;
(Ⅱ)求二面角BAPC的大小.
C
D
E
A
B
A
B
C
P