甘肃省兰州市2019年中考复习数学试卷(含解析)
系数符号由抛物线开口方向、
对称轴和抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
12.如图，抛物线
与 x 轴交于点 A.B，把抛物线在 x 轴及其下方的部分记作 ，将 向左平移
得到 ， 与 x 轴交于点 B.D，若直线
与 、 共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是
故选 C.
【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键.
2.如图是由 5 个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据从正面看得到的视图是主视图，观察即可得答案．
【详解】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
，
点 D，E 分别是
的边 AB，AC 的中点，
是
的中位线，
，
，
，
，
即
，
∽
故
：
，相似比为 ， ：4，
即
，
故选 A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练
掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．
8.如图，矩形 ABCD 中，
，
轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可．
【详解】 对称轴在 y 轴的右侧，
，
由图象可知： ，
，故 不正确；
当
时，
，
，故 正确；
由对称知，当 时，函数值大于 0，即
，故 正确；
， ，
，
，
，故 不正确；
当 时，y 的值最大 此时，
，
而当 时，
，
所以
，
故
，即
故
正确，
故选 B．
，故 正确，
【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数
【解析】
【分析】
(1)根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到 y 与 x 的函数关系式；
(2)根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的 W 与 x 之间的函数关系式，即可得出结论．
【详解】 由题意可知
；
根据题意可得：
，
，
， ， 函数有最大值， 当 时，w 有最大值为 3200 元， 第 20 天的利润最大，最大利润是 3200 元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用和二次函数的应用，弄清题意，找到关键描述语，找准等量关
【详解】 =
45°
． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及了负指数幂、0 指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运 算的运算法则是解题的关键.
18.解方程：
．
【答案】
，
.
【解析】 【分析】 先找出 a，b，c，再求出 b2-4ac=28，根据求根公式即可求出答案． 【详解】a=3，b=-2，c=-2， b2-4ac=（-2）2-4×3×（-2）=28>0，
4.下列二次根式中，是最简二次根式的是
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】 根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】A.
不是最简二次根式，错误；
B. 是最简二次根式，正确；
C.
不是最简二次根式，错误；
D.
不是最简二次根式，错误，
故选 B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： 被开方数不含分母； 被开 是解决问题的关键．
21.如图，在
中．
利用尺规作图，在 BC 边上求作一点 P，使得点 P 到 AB 的距离 的长 等于 PC 的长；
利用尺规作图，作出 中的线段 PD．
【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何时
候都要考虑分母不为 0．
11.如图，已知二次函数
；
；
的图象如图所示，有下列 5 个结论 的实数 其中正确结论的有
；
；
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线对称轴的位置判断 ab 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x
13.因式分解：
______．
【答案】 【解析】 【分析】 先提公因式 y，然后再利用平方差公式进行分解即可.
【详解】
=
=
，
故答案为：
.
【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再
用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14.不等式组 【答案】
最小值
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的 性质，三角形的三边关系等，综合性较强，有一定的难度，确定出 CF 最小时点 F 的位置是解题关键． 三、解答题
17.算： 【答案】 ． 【解析】 【分析】 按顺序依次进行负指数幂的运算、0 指数幂的运算、绝对值的化简、代入特殊角的三角函数值，然后再按顺 序进行计算即可得.
15.如图，
的外接圆 O 的半径为 3，
，则劣弧 的长是______ 结果保留
【答案】 【解析】 【分析】
根据同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍，可求
【详解】
，
，
，
，根据弧长公式可求劣弧 的长．
根据弧长公式 的长
，
故答案为： . 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式等，熟练掌握弧长公式是解题的关键.
，
利用勾股定理列式求出 OC，然后根据三角形的三边关系可知当 O、F、C 三点共线时，CF 的长度最小．
【详解】如图，
在正方形 ABCD 中，
，
在
和
中，
，
≌
，
，
在
和
中，
，
，
， ≌
， ，
， ，
，
， 取 AD 的中点 O，连接 OF、OC，
则
，
在
中，
，
根据三角形的三边关系，
，
当 O、F、C 三点共线时，CF 的长度最小，
的解为负数，则 a 的取值范围是
A.
B.
C. 且
D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于 a 的不等式，求出
不等式的解集即可确定出 a 的范围．
【详解】分式方程去分母得：
，即
，
因为分式方程解为负数，所以
，且
，
解得： 且 ，
故选 D．
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】 根据单项式乘法法则、同底数幂的乘法、积的乘方、整式的混合运算的法则逐项进行计算即可得.
【详解】A.
，故 A 选项错误；
B.
，故 B 选项错误；
C.
，故 C 选项错误；
D.
a2+a2=2a2，故 D 选项正确，
故选 D． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式、积的乘方、和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
，由三角形的外角性质求出
【详解】 由折叠可得
， ，
，
，再由三角形内角和定理求出 ，即可得到结果． ，
又
，
，
又
，
中，
，
，
故选 B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，
熟练掌握平行四边形的性质，求出
的度数是解决问题的关键．
10.关于 x 的分式方程
【详解】
，
，
，
， ，
当 时，原式
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
20.某商家销售一款商品，进价每件 80 元，售价每件 145 元，每天销售 40 件，每销售一件需支付给商场管理
费 5 元，未来一个月 按 30 天计算 ，这款商品将开展“每天降价 1 元”的促销活动，即从第一天开始每天的
单价均比前一天降低 1 元，通过市场调查发现，该商品单价每降 1 元，每天销售量增加 2 件，设第 x 天
且 x 为整数 的销售量为 y 件．
直接写出 y 与 x 的函数关系式；
设第 x 天的利润为 w 元，试求出 w 与 x 之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】
； 第 20 天的利润最大，最大利润是 3200 元．
7.如图，边长为 4 的等边
中，D.E 分别为 AB，AC 的中点，则
的面积是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得 DE 是△ABC 的中位线，由此可得△ADE 和△ABC 相似，且相似比为 1：2，再根据相似三角形的面
积比等于相似比的平方，可求出△ABC 的面积．
【详解】 等边
的边长为 4，
甘肃省兰州市 2019 年中考复习数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，共 48.0 分）
1.
的绝对值是
A.
B.
【答案】C
C. 2018 D.
【解析】
【分析】
根据数 a 的绝对值是指数轴表示数 a 的点到原点的距离进行解答即可得.
【详解】数轴上表示数-2018 的点到原点的距离是 2018，
2019年甘肃省兰州市中考数学试卷(a卷)附分析答案
A．2
B．
C．3
） ‸
D． ⺁
9．（4 分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只
燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设
一只雀的重量为 x 斤，一只燕的重量为 y 斤，则可列方程组为（ ）
A．
a a
‸b b ‸b
a
C．
a a
‸b b
（1）求二次函数 y＝ax2+bx+2 的表达式； （2）连接 BD，当 t 时，求△DNB 的面积； （3）在直线 MN 上存在一点 P，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此 时点 D 的坐标； （4）当 t 时，在直线 MN 上存在一点 Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点 Q 的坐标．
3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.44 8.87
请你通过计算，补全表格；
（2）描点、连线，在平面直角坐标系 xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），
并画出函数 y 关于 x 的图象．
第 6页（共 28页）
（3）探究性质：随着自变量 x 的不断增大，函数 y 的变化趋势：
22．（7 分）如图，AC＝8，分别以 A、C 为圆心，以长度 5 为半径作弧，两条弧分别相交于 点 B 和 D．依次连接 A、B、C、D，连接 BD 交 AC 于点 O． （1）判断四边形 ABCD 的形状并说明理由； （2）求 BD 的长．
23．（7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y a（k≠0）的图象经过等边三 角形 BOC 的顶点 B，OC＝2，点 A 在反比例函数图象上，连接 AC，OA． （1）求反比例函数 y a（k≠0）的表达式； （2）若四边形 ACBO 的面积是 3 ，求点 A 的坐标．
2019年甘肃省兰州市中考数学真题及答案解析
2019年甘肃省兰州市中考数学真题及答案解析一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个正确选项）1. －2019的相反数是（）A. B.2019 C.－2019 D.－【答案】B【解析】－（－2019）＝2019.2.如图，直线a,b被直线c所截，a∥b, ∠1＝∠800，则∠2＝（）A.1300B.1200C.1100D.1000【答案】D【解析】∵∠1＝800，∴∠1的对顶角为800，又∵a∥b, ∴∠1的对顶角和∠2互补，∴∠2＝1800－800＝1000，答案为D．3. 计算：－＝（）A. B.2 C.3. D. 4【答案】A【解析】－＝2－＝.4. 剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】C【解析】轴对称图形关于某条直线对称，可以排除A、B，中心对称图形是图形绕某一点旋转1800后与原图形重合的图形排除D.故选C.5. x＝1是关于的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A. －2B. －3C. 4D. －6【答案】A【解析】将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.故选A.6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝400，则∠C＝（）A.1100B.1200C.1350D.1400【答案】D【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝400，∴∠C＝1800－400＝1400，故选D.7. 化简：＝（）A. a－1B. a+1C.D..【答案】A【解析】＝＝＝a－1.故选A.8.已知△ABC∽△A′B′C′, AB＝8，A’B’＝6，则＝（）A.2B.C.3D.【答案】B【解析】∵△ABC∽△A′B′C′,∴＝又∵AB＝8，A’B’＝6，∴＝.故选B.9. ≪九章算术≫是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y ＝1.(2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y ＝5y+x,故选C.10. 如图，平面直角坐标系xoy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（－3，5），B（－4，3），A1（3，3）.则点B1坐标为（）A.（1，2）B.（2，1）C.（1，4）D.（4，1）【答案】B【解析】图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化. A（－3，5）到A1（3，3）得向右平移3－（－3）＝6个单位，向下平移5－3＝2个单位.所以B（－4，3）平移后B1（2，1）.故选B.11. 已知,点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝－（x+1）2 +2上，则下列结论正确的是（）A.2> y1> y2B.2 > y2 > y1C.y1> y2>2D.y2 > y1>2【答案】A【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标（－1，2 ），根据函数增减性可以得到，当x>－1时，y随x的增大而减小.因为－1<1<2.,所以2> y1> y2.故选A.12. 如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M,则DM＝（）A. B. C.－1 D.－1【答案】D【解析】过点M作MP⊥CD垂足为P，过点O作OQ⊥CD垂足为Q，∵正方形的边长为，∴OD＝1, OC＝1, OQ＝DQ＝,由折叠可知，∠EDF＝∠CDF.又∵AC⊥BD, ∴OM＝PM, 设OM＝PM＝x，∵OQ⊥CD，MP⊥CD，∴∠OQC＝∠MPC＝900，∠PCM＝∠QCO,∴△CMP∽△COQ，∴＝, 即，解得x＝－1，∴OM＝PM＝－1.故选D.二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13. 因式分解：a3 +2 a2+ a＝___________.【答案】a（a+1）2【解析】a3 +2 a2+ a＝a（a2 +2 a+1）＝a（a+1）2.14. 在△ABC中，AB＝AC, ∠A＝400，则∠B＝___________.【答案】700【解析】∵AB＝AC,∠A＝400，∴∠B＝∠C＝700.15. 如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝（x>0）的图象上，S矩形OABC＝6，则k＝___________.【答案】6【解析】|k|＝S矩形OABC＝6，∵图象在第一象限，∴k>0，∴k＝6.16. 如图，矩形ABCD, ∠BAC＝600. 以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB、AC于点M、N两点，再分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧交于点P ,作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于___________.【答案】3【解析】由题可知AP是∠BAC的角平分线，∵∠BAC＝600，∴∠BAE＝∠EAC＝300，∴AE＝2 BE＝2. ∴AB＝，∴∠AEB＝600，又∵∠AEB＝∠EAC+∠ECA，∴∠EAC＝∠ECA＝300，∴AE＝EC＝2，∴BC＝3，∴S矩形ABCD＝3．三、解答题（本大题共12小题，满分86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题5分）计算：|－2|－（+1）0+（－2）2－tan450 .解：原式＝2－1+4－1＝4.18.(本题5分)化简：a(1－2a)+2(a+1)(a－1).解：a(1－2a)+2(a+1)(a－1)＝a－2a2+2a2－2＝a－2.19.（本题5分）解不等式组：解：由①得：x<6，由②得：x>2，所以原不等式组的解集为：2<x<6.20. （本题6分）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E. 求证：AC∥DF.证明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，∴BC＝EF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF (SAS) ，∴∠ACB＝∠EFD，∴AC∥DF.21.（本题6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强----国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目.第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1,A2,A3,A4表示）;第二环节：成语听写、诗词对句、经典通读（分别用B1,B2,B3表示）.（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能的结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.解：（1）（2）小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的概率为：P(抽取题目都是成语题目)＝＝.22.（本题7分）如图，AC＝8,分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两弧分别相交于点B和D，依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O.（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求BD的长.证明：（1）由图可知，BD垂直平分AC，且AB＝BC＝CD＝AD＝5,所以四边形ABCD是菱形.（2）∵AC＝8, BD⊥AC且BD平分AC，∴OA＝OC＝4，∴在Rt△AOB中，OB＝＝＝3,∴BD＝2 OB＝2×3＝6，∴BD的长为6.23. （本题7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象，过等边△BOC 的顶点B，OC＝2,点A在反比例函数图象上，连接AC、AO.（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标.解：（1）∵OC＝2,∴OM＝1, BM＝,∴点B(－1 ，－)，∴k＝(－1) ×（－) ＝,∴y＝.（2）∵S ACBO＝3，S ACBO＝S△AOC+ S△BOC，∵S△BOC ＝OC2＝,∴+ S△AOC＝3，∴S△AOC＝2.∵OC＝2，∴×OC×AN＝2，∴AN＝2，设A（t，2），∴2t ＝，∴t ＝，∴A （，2）.24. （本题7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析.小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：小丽用同样的方式对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：根据以上信息，解决下列问题：解：（1）已知八年级1班学生的成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85.根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由.（1）（2）八年级1班更为优异.理由如下：可以从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，理由合理即可.25.（本题7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究.过程如下：问题提出：如图1是某住户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直了墙面AC的遮阳篷CD.数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA与遮阳篷CD 的夹角∠ADC最大（∠ADC＝77.440）；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC 最小（∠BDC＝30.560）；窗户的高度AB＝2m.问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长.（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.560≈0.51, cos30.560≈0.86, tan30.560≈0.59,sin77.440≈0.98, cos77.440≈0.22,tan77.440≈4.49）.解：在Rt△BCD中，∠BCD＝900，∠BDC＝30.560，∵tan∠BDC ＝,∴BC＝CD⋅tan∠BDC,在Rt△ACD中，∠ACD＝900，∠ADC＝77.440，∵tan∠ADC ＝,∴AC＝CD⋅tan∠ADC,∵AC－BC＝AB,∴CD⋅tan∠ADC－CD⋅tan∠BDC＝2，即CD⋅tan77.440－CD⋅tan30.560＝2，（4.49－0.59）CD＝2，∴CD＝0.5，答：遮阳篷CD长为0.5m.26.（本题9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm,BC＝8cm,点D为BC的中点，BE＝DE.将∠BDE 绕点D顺时针旋转a度（00≤a≤830）.角的两边分别交直线AB于M、N两点.设B、M两点间的距离为x cm，M、N两点间的距离为y cm.小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小涛的探究过程.请补充完整.请你通过计算，补全表格.（2）描点、连线：在平面直角坐标系xoy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y）.并画出函数y 关于x的图象：（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势__________.(4)解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是_________cm（保留两位小数）. 解：（1）当x＝0时，M点与N点分别和B点E点重合，MN＝BE＝3，当x＝时，假设DN交CA的延长线于点H，∵AB＝AC,∴∠B＝∠C,又∵D为BC的中点，BE＝DE.∴∠B＝∠EDB,ED为AC边的中位线，根据旋转性质，∠B＝∠EDB＝∠C＝∠MDN,∵∠NDB＝∠H+∠C(外角性质)，∠NDB＝∠MDB+∠MDN,∴∠MDB+∠MDN＝∠H+∠C，∴∠MDB＝∠H,∠B＝∠C,∴△MDB∽△DHC，∴＝,∴＝, CH＝6＝AC，即A点与H点重合，∴MN＝6－BM＝.(2)根据表格描点可得.（3）根据图象可得（4）∵MN＝2BM，设BM＝x，MN＝2x，EN＝3x－3，AN＝6－3x，∵∠NDB＝∠H+∠C(外角性质)，∠NDB＝∠MDB+∠MDN,∴∠MDB+∠MDN＝∠H+∠C，∴∠MDB＝∠H, ∠B＝∠C,∴△MDB∽△DHC，∴＝,∴＝, ∴CH＝，HA＝HC－AC＝－6，又∵△HAN∽△DEN，∴＝,∴＝, 解得x1＝4，x2＝≈1.33，答：BM为4或1.33.主要学习通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题【模型呈现】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900,将斜边AB绕点A顺时针旋转900得到AD，过点D作DE⊥AC 于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC＝DE, BC＝AE.我们把这个数学模型称为“K型”.推理过程如下：【模型应用】27.（本题10分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝900, BC＝2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC, DE＝1,连接DO交⊙O于点F.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB，求证：FG2＝GO•GB.（1）证明：∵∠DAE＝∠ABC且∠ABC+∠CAB＝900,∴∠EAD+∠CAB＝900,∴∠DAB＝900,∵AO为⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线.（2）证明：由（1）知∠DAB＝900,∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝,由模型可知，△AED≌△BCA,∴AD＝,∴AO＝,∴DO＝,∵＝＝＝,∴△AED∽△DAO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO，∴∠ACF＝∠CFO＝∠ABF，∵∠FGO＝∠BGF,∴△FGO∽△BGF∴＝，∴FG2＝GO•GB.28.(本题12分)二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（－1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C.动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC 于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒.（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠QAC＝900,求点Q的坐标.解：（1）将点A（－1，0），点B（4，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，所以，二次函数的表达式为：y＝－x2+x+2．（2）∵t＝，∴AM＝3，又∵OA＝1, ∴OM＝2,设BC的解析式为：y＝kx+b(k≠0),将点C（0,2）、B（4，0）代入，得：，解得：，所以直线BC的解析式为：y＝－x+2．将x＝2分别代入y＝－x2+x+2和y＝－x+2中，得：D（2，3）、N（2，1），∴DN＝2, ∴S△DNB＝×2×2＝2.(3)过点P作x轴的平行线，交y轴于点E，过点B作y轴的平行线，交EP的延长线于点F，设D（m，－m2+m+2）、E（0，n）、P（m,n）、F（4，n），由题意得：△PEC≌△BFP, ∴PE＝BF, CE＝PF，∴，∴，所以，点D的坐标为：（1，3）.（4）当t＝时，AM＝,此时M点在二次函数的对称轴上，以M点为圆心，AM长为半径作圆，交MN于Q1、Q2两点，∵C（0，2），M（，0），∴CM＝＝R,∴C点在该圆上，∴∠ACB＝900,∴∠CAB+∠CBA＝900,∵∠CQ1A＝∠CAB, (同弧所对的圆周角)∴∠C Q1A+∠CBA＝900,∠C Q2A+∠CBA＝900,∴Q（，）或Q（，－）.。
甘肃省兰州市2019年中考复习数学试卷(Word版,含答案解析)
甘肃省兰州市2019年中考复习数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.的绝对值是A. B. C. 2018 D.【答案】C【解析】【分析】根据数a的绝对值是指数轴表示数a的点到原点的距离进行解答即可得.【详解】数轴上表示数-2018的点到原点的距离是2018，所以-2018的绝对值是2018，故选C.【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键.2.如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，观察即可得答案．【详解】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，如图所示，故选A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是明确从正面看得到的视图是主视图．3.据中国电子商务研究中心发布年度中国共享经济发展报告显示，截止2017年12月，共有190家共享经济平台获得亿元投资，数据亿元用科学记数法可表示为A. 元B. 元C. 元D. 元【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】亿=115956000000，所以亿用科学记数法表示为1.15956×1011，故选C．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.下列二次根式中，是最简二次根式的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】A.不是最简二次根式，错误；B.是最简二次根式，正确；C.不是最简二次根式，错误；D.不是最简二次根式，错误，故选B．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．5.如图，，，，则的度数是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用平行线的性质结合等腰三角形的性质得出∠2的度数．【详解】，，，，=180°-∠ACD-∠CAD=，故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，正确得出的度数是解题关键．6.下列计算正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据单项式乘法法则、同底数幂的乘法、积的乘方、整式的混合运算的法则逐项进行计算即可得.【详解】A.，故A选项错误；B.，故B选项错误；C.，故C选项错误；D. a2+a2=2a2，故D选项正确，故选D．【点睛】本题考查了单项式乘以单项式、积的乘方、和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．7.如图，边长为4的等边中，D.E分别为AB，AC的中点，则的面积是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得DE是△ABC的中位线，由此可得△ADE和△ABC相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC的面积．【详解】等边的边长为4，，点D，E分别是的边AB，AC的中点，是的中位线，，，，，即，∽，相似比为，故：：4，即，故选A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．8.如图，矩形ABCD中，，，且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图，过点D作，垂足为G，则，首先证明≌，由全等三角形的性质可得到，设，则，在中依据勾股定理列方程求解即可．【详解】如图所示：过点D作，垂足为G，则，，，，≌，，设，则，在中，，，解得：，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质，依据题意列出关于x的方程是解题的关键．9.如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若，，则为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出，即可得到结果．【详解】，，由折叠可得，，又，，又，中，，，故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键．10.关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是A. B. C. 且 D. 且【答案】D【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．【详解】分式方程去分母得：，即，因为分式方程解为负数，所以，且，解得：且，故选D．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何时候都要考虑分母不为0．11.如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论；；；；的实数其中正确结论的有A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可．【详解】对称轴在y轴的右侧，，由图象可知：，，故不正确；当时，，，故正确；由对称知，当时，函数值大于0，即，故正确；，，，，，故不正确；当时，y的值最大此时，，而当时，，所以，故，即，故正确，故正确，故选B．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．12.如图，抛物线与x轴交于点A.B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B.D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出点A和点B的坐标，然后再求出的解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案.【详解】抛物线与x轴交于点A.B，∴=0，∴x1=5，x2=9，，抛物线向左平移4个单位长度后的解析式，当直线过B点，有2个交点，，，当直线与抛物线相切时，有2个交点，，，相切，，，如图，若直线与、共有3个不同的交点，--，故选C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思想是解答本题的关键.二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】先提公因式y，然后再利用平方差公式进行分解即可.【详解】==，故答案为：.【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14.不等式组的解集为______【答案】【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【详解】，解不等式得：，解不等式得：，不等式组的解集为，故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”找出不等式组的解集是解此题的关键．15.如图，的外接圆O的半径为3，，则劣弧的长是______结果保留【答案】【解析】【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求，根据弧长公式可求劣弧的长．【详解】，，，根据弧长公式的长，故答案为：.【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式等，熟练掌握弧长公式是解题的关键.16.如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足，连接AC交BN于点E，连接DE交AM 于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是______．【答案】【解析】【分析】先判断出≌，得出，进而判断出≌，得出，即可判断出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．【详解】如图，在正方形ABCD中，，，，在和中，，≌，，在和中，，≌，，，，，，取AD的中点O，连接OF、OC，则，在中，，根据三角形的三边关系，，当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系等，综合性较强，有一定的难度，确定出CF最小时点F的位置是解题关键．三、解答题17.算：【答案】．【解析】【分析】按顺序依次进行负指数幂的运算、0指数幂的运算、绝对值的化简、代入特殊角的三角函数值，然后再按顺序进行计算即可得.【详解】45°=．【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及了负指数幂、0指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.18.解方程：．【答案】，.【解析】【分析】先找出a，b，c，再求出b2-4ac=28，根据求根公式即可求出答案．【详解】a=3，b=-2，c=-2，b2-4ac=（-2）2-4×3×（-2）=28>0，∴x==，，.【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有提公因式法、公式法，因式分解法等，根据方程的系数特点灵活选择恰当的方法进行求解是解题的关键.19.先化简，再求值：，其中．【答案】，．【解析】【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的除法运算，最后把x的值代入进行计算即可得. 【详解】，，，，，当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键. 20.某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月按30天计算，这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x 天且x为整数的销售量为y件．直接写出y与x的函数关系式；设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？【答案】；第20天的利润最大，最大利润是3200元．【解析】【分析】(1)根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；(2)根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W与x之间的函数关系式，即可得出结论．【详解】由题意可知；根据题意可得：，，，，函数有最大值，当时，w有最大值为3200元，第20天的利润最大，最大利润是3200元．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用和二次函数的应用，弄清题意，找到关键描述语，找准等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．21.如图，在中．利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离的长等于PC的长；利用尺规作图，作出中的线段PD．要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑【答案】作图见解析；（2）作图见解析.【解析】【分析】由点P到AB的距离的长等于PC的长知点P在平分线上，再根据角平分线的尺规作图即可得（以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与AC.AB分别交于一点，然后分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点，过点A及这个交点作射线交BC于点P，P即为要求的点）；根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得（以点P为圆心，以大于点P到AB的距离为半径画弧，与AB交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点间距离一半长为半径画弧，两弧在AB的一侧交于一点，过这点以及点P作直线与AB交于点D，PD即为所求）．【详解】如图，点P即为所求；如图，线段PD即为所求．【点睛】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题．22.学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：______，______．该调查统计数据的中位数是______，众数是______．请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．【答案】17.20；2次、2次；；人．【解析】【分析】(1)先由借阅1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值；(2)根据中位数和众数的定义求解；(3)用360°乘以“3次”对应的百分比即可得；(4)用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．【详解】被调查的总人数为人，，，即，故答案为：17.20；由于共有50个数据，其中位数为第25.26个数据的平均数，而第25.26个数据均为2次，所以中位数为2次，出现次数最多的是2次，所以众数为2次，故答案为：2次、2次；扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为；估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为人．【点睛】本题考查了统计表、扇形统计图、众数、中位数等，读懂统计图、统计表，从中得到必要的信息是解决问题的关键.注意众数与中位数的求解方法.23.在一个不透明的布袋里装有4个标有1.2.3.4的小球，它们的形状、大小完全相同，李强从布袋中随机取出一个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标画树状图列表，写出点M所有可能的坐标；求点在函数的图象上的概率．【答案】见解析；．【解析】【分析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；(2)找出点(x，y)在函数y=x+1的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案．【详解】画树状图得：共有12种等可能的结果、、、、、、、、、、、；在所有12种等可能结果中，在函数的图象上的有、、这3种结果，点在函数的图象上的概率为．【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．24.如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为，，求CD的高度结果保留根号【答案】CD的高度是米．【解析】【分析】作于点F，设米，在直角中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角中表示出CE的长，然后根据即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．【详解】如图，作于点F，设米，在中，，则，在直角中，米，在直角中，，则米，，即，解得：，则米，答：CD的高度是米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度是解题的关键.25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．求一次函数和反比例函数的表达式；请直接写出时，x的取值范围；过点B作轴，于点D，点C是直线BE上一点，若，求点C的坐标．【答案】反比例函数的解析式为，一次函数解析式为：；当或时，；当点C的坐标为或时，．【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出k，求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)利用数形结合思想，观察直线在双曲线上方的情况即可进行解答；(3)根据直角三角形的性质得到∠DAC=30°，根据正切的定义求出CD，分点C在点D的左侧、点C在点D的右侧两种情况解答．【详解】点在反比例函数的图象上，，反比例函数的解析式为，点在反比例函数的图象上，，则点B的坐标为，由题意得，，解得，，则一次函数解析式为：；由函数图象可知，当或时，；，，，由题意得，，在中，，即，解得，，当点C在点D的左侧时，点C的坐标为，当点C在点D的右侧时，点C的坐标为，当点C的坐标为或时，．【点睛】本题考查不一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵活运用分类讨论思想、数形结合思想是解题的关键．26.如图，在中，过点C作，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．求证：四边形AFCD是平行四边形．若，，，求AB的长．【答案】证明见解析；．【解析】【分析】由E是AC的中点知，由知，据此根据“AAS”即可证≌，从而得，结合即可得证；证∽得，据此求得，由及可得答案．【详解】是AC的中点，，，，在和中，，≌，，又，即，四边形AFCD是平行四边形；，∽，，即，解得：，四边形AFCD是平行四边形，，．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.27.如图，AB为的直径，C为上一点，D为BA延长线上一点，．求证：DC为的切线；线段DF分别交AC，BC于点E，F且，的半径为5，，求CF的长．【答案】证明见解析；．【解析】【分析】根据圆周角定理得：，根据同圆的半径相等和已知相等的角代换可得：，可得结论；先根据三角函数计算，，证明∽，得，设，，利用勾股定理列方程可得x的值，证明∽，列比例式可得CF的长．【详解】（1）如图，连接OC，为的直径，，，，，，，即，为的切线；中，，，，，，，∽，，设，，中，，，舍或，，，，设，，，，，∽，，，，．【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等，正确添加辅助线、熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.28.如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．求抛物线的表达式；求证：AB平分；抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】抛物线的解析式为；证明见解析；点M的坐标为或．【解析】【分析】将，代入抛物线的解析式得到关于A.b的方程组，从而可求得A.b的值；先求得AC的长，然后取，则，连接BD，接下来，证明，然后依据SSS可证明≌，接下来，依据全等三角形的性质可得到；作抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F，作点A作，作，分别交抛物线的对称轴与、M，依据点A和点B的坐标可得到，从而可得到或，从而可得到FM和的长，故此可得到点和点M的坐标．【详解】将，代入得：，解得：，，抛物线的解析式为；，，，取，则，由两点间的距离公式可知，，，，，在和中，，，，≌，，平分；如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．抛物线的对称轴为，则．，，，，，，，同理：，又，，，点M的坐标为或．【点睛】本题考查的是二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义等，熟练掌握相关知识、正确添加辅助线、运用分类讨论思想与数形结合思想是解题的关键.。
2019年甘肃省兰州中考数学试卷-答案
△ABC≌△DEF (SAS) . ACB EFD . AC∥DF . 【 解 析 】 要 证 明 AC∥DF ， 只 要 证 明 ACB DFE 即 可 ， 要 证 明 ACB DFE ， 只 要 证 明 △ABC≌△DEF 即可，根据题目中的条件可以证明 △ABC≌△DEF ，本题得以解决. 【考点】全等三角形的判定与性质 21.【答案】（1）使用列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果
10 26.【答案】（1）
3
（2）根据表格描点可得：
（3）根据图像可得：
9 / 15
当 0≤x≤1.65 时，y 随 x 增大而减小， 当1.65＜x≤4.10 时，y 随 x 增大而增大.
a 1
【考点】分式的化简
8.【答案】B
【解析】直接利用相似三角形的性质求解.
△ABC∽△ABC ， AB BC
， AB BC
又 AB 8 ， AB 6 ，
BC 4 .
BC 3
2 / 15
故选 B. 【考点】相似三角形的性质
9.【答案】C 【解析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题.
根据题目条件找出等量关系并列出方程： （1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程: 5x 6 y 1
(2)互 换 其中 一只 ，恰 好一 样 重， 即四 只雀 和一只 燕 的重 量等 于五 只燕一 只 雀的 重量 ，列 出方程 ： 4x y 5y x ，
故选 C. 【考点】二元一次方程组应用
10.【答案】B 【解析】根据 A 和 A1 的坐标得出四边形 ABCD 先向下平移 2 个单位，再向右平移 6 个单位得到四边形 A1B1C1D1，则 B 的平移方法与 A 点相同，即可得到答案.
2019年甘肃省兰州市中考数学(A卷)真题复习(含解析)
2019年甘肃省兰州市中考数学（A 卷）真题复习（含解析）副标题题号 一 二 三 四 总分 得分一、选择题（本大题共12小题，共48.0分） 1. -2019的相反数是（ ）A. 12019 B. 2019 C. −2019D. −120192. 如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=80°，则∠2=（ ）A. 130∘B. 120∘C. 110∘D. 100∘3. 计算：√12-√3=（ ）A. √3B. 2√3C. 3D. 4√34. 剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）A.B.C.D.5. x =1是关于x 的一元二次方程x 2+ax +2b =0的解，则2a +4b =（ ）A. −2B. −3C. −1D. −6 6. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠A =40°，则∠C =（ ）A. 110∘B. 120∘C. 135∘D. 140∘ 7. 化简：a 2+1a+1-2a+1=（ ）A. a −1B. a +1C. a−1a+1D. 1a+18. 已知△ABC ∽△A 'B 'C '，AB =8，A 'B '=6，则BCB′C′=（ ）A. 2B. 43C. 3D. 1699. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为（ ）A. {5x +6y =15x −y =6y −xB. {6x +5y =15x +y =6y +x C .{5x +6y =14x +y =5y +xD. {6x +5y =14x −y =5y −x10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1，已知A （-3，5），B （-4，3），A 1（3，3），则B 1的坐标为（ ）A. (1,2)B. (2,1)C. (1,4)D. (4,1)11. 已知点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y =-（x +1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）A. 2>y 1>y 2B. 2>y 2>y 1C. y 1>y 2>2D. y 2>y 1>2 12. 如图，边长为√2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM =（ ）A. 12B. √22C. √3−1D. √2−1二、填空题（本大题共4小题，共16.0分） 13. 因式分解：a 3+2a 2+a =______． 14. 在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =______°．15. 如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y =kx （k ＞0）的图象上，S 矩形OABC =6，则k =______．16.如图，矩形ABCD，∠BAC=60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE=1，则矩形ABCD的面积等于______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.化简：a（1-2a）+2（a+1）（a-1）．四、解答题（本大题共11小题，共81.0分）18.计算：|-2|-（√3+1）0+（-2）2-tan45°．19.解不等式组：{2x−1＜x+5①x+13＜x−1②．20.如图，AB=DE，BF=EC，∠B=∠E，求证：AC∥DF．21.2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强--国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3表示）．（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．22.如图，AC=8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O．（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求BD的长．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k（k≠0）的图象经过等边三角形xBOC的顶点B，OC=2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．（k≠0）的表达式；（1）求反比例函数y=kx（2）若四边形ACBO的面积是3√3，求点A的坐标．24.为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：收集、整理数据：分数段60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100班级八年级1班75103分析数据：表二统计量平均数中位数众数极差方差班级八年级1班78______ 8536105.28统计量平均数中位数众数极差方差班级八年级2班75767344146.80根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1班学生的成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．25.某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳蓬CD．数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳蓬CD的夹角∠ADC最大（∠ADC=77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳蓬CD的夹角∠BDC最小（∠BDC=30.56°）．窗户的高度AB=2m．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）26.如图，在△ABC中，AB=AC=6cm，BC=8cm，点D为BC的中点，BE=DE，将∠BDE绕点D顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/m00.300.501.001.502.002.50833.003.503.683.813.903.934.10y/m______ 2.882.812.692.672.803.15______ 3.855.246.016.717.277.448.87请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象．（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：______．（4）解决问题：当MN=2BM时，BM的长度大约是______cm．（保留两位小数）．27.通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D 作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，BC=2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE=∠ABC，DE=1，连接DO 交⊙O于点F．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB．求证：FG2=GO•GB．28.通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D 作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x 轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y=ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t=3时，求△DNB的面积；2（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t=5时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC=90°，求点Q的坐标．4答案和解析1.【答案】B【解析】解：-2019的相反数为2019，故选：B．根据相反数的概念求解可得．本题主要考查相反数，解题的关键是掌握相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．2.【答案】D【解析】解：如图，∵∠1=80°，∴∠3=80°，∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-80°=100°．故选：D．先利用对顶角相等得到∠3=80°，然后根据平行线的性质，利用∠1+∠2=180°可计算出∠2的度数．本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．3.【答案】A【解析】解：-=2-=，故选：A．先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．本题主要考查二次根式的加减法，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根式加减运算顺序．4.【答案】C【解析】解：A、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；D、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转180°不能与原图形重合，∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．5.【答案】A【解析】解：把x=1代入方程x2+ax+2b=0得1+a+2b=0，所以a+2b=-1，所以2a+4b=2（a+2b）=2×（-1）=-2．故选：A．先把x=1代入方程x2+ax+2b=0得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A=180°，∴∠C=180°-40°=140°．故选：D．直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．7.【答案】A【解析】解：原式===a-1，故选：A．先根据法则计算，再因式分解、约分即可得．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则．8.【答案】B【解析】解：∵△ABC∽△A'B'C'，∴===．故选：B．直接利用相似三角形的性质求解．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．9.【答案】C【解析】解：由题意可得，，故选：C．根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．10.【答案】B【解析】解：由A（-3，5），A1（3，3）可知四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A1B1C1D1，∵B（-4，3），∴B1的坐标为（2，1），故选：B．根据A和A1的坐标得出四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A1B1C1D1，则B的平移方法与A点相同，即可得到答案．此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．11.【答案】A【解析】解：当x=1时，y1=-（x+1）2+2=-（1+1）2+2=-2；当x=2时，y1=-（x+1）2+2=-（2+1）2+2=-7；所以2＞y1＞y2．故选：A．分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．12.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD=，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，∴BD=AB=2，∴OD=BO=OC=1，∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，∴DE=DC=，DF⊥CE，∴OE=-1，∠EDF+∠FED=∠ECO+∠OEC=90°，∴∠ODM=∠ECO，在△OEC与△OMD中，，△OEC≌△OMD（ASA），∴OM=OE=-1，故选：D．根据正方形的性质得到AB=AD=BC=CD=，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，求得BD=AB=2，得到OD=BO=OC=1，根据折叠的性质得到DE=DC=，DF⊥CE，求得OE=-1，根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．13.【答案】a（a+1）2【解析】解：a3+2a2+a，=a（a2+2a+1），…（提取公因式）=a（a+1）2．…（完全平方公式）故答案为：a（a+1）2．先提取公因式a，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，难点在于对余下的项利用完全平方公式进行二次分解因式．14.【答案】70【解析】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°-40°）=70°．故答案为70．根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠B的度数．本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．15.【答案】6【解析】解：根据题意，知S=|k|=6，k=±6，又因为反比例函数位于第一象限，k＞0，所以k=6，故答案为6．因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．16.【答案】3√3【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BAD=90°，∵∠BAC=60°，∴∠ACB=30°，由作图知，AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=30°，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴AE=CE，过E作EFAC于F，∴EF=BE=1，∴AC=2CF=2，∴AB=，BC=3，∴矩形ABCD的面积=AB•BC=3，故答案为：3．根据矩形的性质得到∠B=∠BAD=90°，求得∠ACB=30°，由作图知，AE是∠BAC的平分线，得到∠BAE=∠CAE=30°，根据等腰三角形的性质得到AE=CE，过E作EFAC于F，求得EF=BE=1，求得AC=2CF=2，解直角三角形得到AB=，BC=3，于是得到结论．本题主要考查矩形的性质，作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和性质及直角三角形30°角所对边等于斜边的一半．17.【答案】解：原式=a-2a2+2（a2-1）=a-2a2+2a2-2=a-2【解析】先去括号，再注意到（a+1）（a-1）可以利用平方差公式进行化简，最后合并同类项即可本题主要考查平方差公式及单项式的乘法，熟练运用公式及运算规则是解题的关键．18.【答案】解：原式=2-1+4-1=4．【解析】根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得．本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握绝对值性质、零指数幂的规定、乘方定义和三角函数值．19.【答案】解：{2x−1＜x+5①x+13＜x−1②解不等式①得：x＜6，解不等式②得：x＞2，所以，不等式组的解集为2＜x＜6．【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．20.【答案】证明：∵BF=EC，∴BF+FC=EC+FC，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，{AB=DE ∠B=∠E BC=EF，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠ACB =∠DFE ，∴AC ∥DF ．【解析】要证明AC ∥DF ，只要证明∠ACB=∠DFE 即可，要证明∠ACB=∠DFE ，只要证明△ABC ≌△DEF 即可，根据题目中的条件可以证明△ABC ≌△DEF ，本题得以解决．本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．21.【答案】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数；（2）小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为2，所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率=212=16．【解析】（1）利用画树状图展示所有12种等可能的结果数；（2）找出小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数，然后根据概率公式计算即可．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．22.【答案】解：（1）四边形ABCD 为菱形；由作法得AB =AD =CB =CD =5，所以四边形ABCD 为菱形；（2）∵四边形ABCD 为菱形，∴OA =OC =4，OB =OD ，AC ⊥BD ，在Rt △AOB 中，OB =√52−42=3，∴BD =2OB =6．【解析】（1）利用作法得到四边相等，从而可判断四边形ABCD 为菱形；（2）根据菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD ，AC ⊥BD ，然后利用勾股定理计算出OB ，从而得到BD 的长．本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；四条边都相等的四边形是菱形．也考查了菱形的性质． 23.【答案】解：（1）作BD ⊥OC 于D ，∵△BOC 是等边三角形，∴OB =OC =2，OD =12OC =1， ∴BD =√OB 2−OD 2=√3， ∴S △OBD =12OD ×BD =√32， S △OBD =12|k |， ∴|k |=√3，∵反比例函数y =kx （k ≠0）的图象在一三象限， ∴k =√3，∴反比例函数的表达式为y =√3x ； （2）∵S △OBC =12OC •BD =12×2×√3=√3，∴S △AOC =3√3-√3=2√3，∵S △AOC =12OC •y A =2√3，∴y A =2√3，把y =2√3代入y =√3x ，求得x =12， ∴点A 的坐标为（12，2√3）．【解析】（1）作BD ⊥OC 于D ，根据等边三角形的性质和勾股定理求得OD=1，BD=，进而求得三角形BOD 的面积，根据系数k 的几何意义即可求得k=，从而求得反比例函数的表达式；（2）求得三角形AOC 的面积，即可求得A 的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点A 的坐标．本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，此题的突破点是先由三角形的面积求出反比例函数的解析式．24.【答案】80【解析】解：（1）共有25个数据，第13个数落在80≤x＜90这一组中，此组最小的数为第13个数，所以八年级1班学生的成绩的中位数为80；故答案为80；（2）八年级1班学生的成绩更为优异．理由如下：八年级1班学生的成绩的平均数比2班高，1班的中位数比2班的中位数大，并且1班的众数为85，比2班的众数大，1班的方差比2班小，比较稳定．（1）根据中位数的定义找出第13个数，然后确定80≤x＜90这一组中最小的数即可；（2）从平均数、中位数、众数和方差的意义可判断八年级1班学生的成绩更为优异．本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、众数、中位数．25.【答案】解：在Rt△DCB中，tan∠BDC=BC，CD则BC=CD•tan∠BDC≈0.59CD，，在Rt△DCA中，tan∠ADC=ACCD则AC=CD•tan∠ADC≈4.49CD，由题意得，AC-BC=AB，即4.49CD-0.59CD=2，解得，CD≈0.5m，答：遮阳蓬CD的长约为0.5m．【解析】根据正切的定义分别用CD表示出BC、AC，根据题意列式计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．26.【答案】3 100≤x≤1.25时，y随x最大而减小，3当1.25＜x≤4.10时，y随x最大而增大 2.68或7.45【解析】解：（1）①当x=BM=0时，连接AD，则AD⊥BC，BD=CD=BC=4，cos∠ABD===cosα，则sinα=，则y=MN=BN==3；②x=BM=，在△MBD中，BD=4，BM=，cos∠B==cosα，tanα=，过点M作MH⊥BD于点H，则BH=BMcosα=，则EH=，MD2=HD2+EH2=，则BD2=BM2+MD2，故∠BMD=90°，则y=MN=MDtanα=（DBsinα）tanα=；故：答案为3，；（2）描点出如下图象，从图象可以看出：0≤x≤1.25时，y随x最大而减小，当1.25＜x≤4.10时，y随x最大而增大；（3）MN=2BM，即y=2x，在上图中作直线y=2x，直线与曲线交点的纵坐标为：2.68和7.45，故答案为：2.68或7.45．（1）①当x=BM=0时，则y=MN=BN==3；②MD2=HD2+EH2=，则y=MN=MDtanα，即可求解；（2）描点出如下图象，从图象可以看出：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势；（3）MN=2BM，即y=2x，在上图中作直线y=2x，即可求解．本题为动点问题的函数图象，涉及到解直角三角形、函数作图等，此类题目难点于，弄懂x、y代表的意义，估计或计算解出表格空出的数据．27.【答案】证明：（1）∵⊙O为Rt△ABC的外接圆∴O为斜边AB中点，AB为直径∵∠ACB=90°∴∠ABC+∠BAC=90°∵∠DAE=∠ABC∴∠DAE+∠BAC=90°∴∠BAD=180°-（∠DAE+∠BAC）=90°∴AD⊥AB∴AD 是⊙O 的切线（2）延长DO 交BC 于点H ，连接OC∵DE ⊥AC 于点E∴∠DEA =90°∵AB 绕点A 旋转得到AD∴AB =AD在△DEA 与△ACB 中{∠DEA =∠ACB =90°∠DAE =∠ABC DA =AB∴△DEA ≌△ACB （AAS ）∴AE =BC =2，AC =DE =1 ∴AD =AB =√AC 2+BC 2=√5∵O 为AB 中点∴AO =12AB =√52 ∴AODE =√52=ADAE∵∠DAO =∠AED =90°∴△DAO ∽△AED∴∠ADO =∠EAD∴DO ∥EA∴∠OHB =∠ACB =90°，即DH ⊥BC∵OB =OC∴OH 平分∠BOC ，即∠BOH =12∠BOC∵∠FOG =∠BOH ，∠BFG =12∠BOC∴∠FOG =∠BFG∵∠FGO =∠BGF∴△FGO ∽△BGF∴FG BG =GO GF∴FG 2=GO •GB【解析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O 在AB 上，AB 为⊙O 直径，故只需证AD ⊥AB 即可．由∠ABC+∠BAC=90°和∠DAE=∠ABC 可证得∠DAE+∠BAC=90°，而E 、A 、C 在同一直线上，用180°减去90°即为∠BAD=90°，得证． （2）依题意画出图形，由要证的结论FG 2=GO•GB 联想到对应边成比例，所以需证△FGO ∽△BGF ．其中∠FGO=∠BGF 为公共角，即需证∠FOG=∠BFG ．∠BFG 为圆周角，所对的弧为弧BC ，故连接OC 后有∠BFG=∠BOC ，问题又转化为证∠FOG=∠BOC ．把DO 延长交BC 于点H 后，有∠FOG=∠BOH ，故问题转化为证∠BOH=∠BOC ．只要OH ⊥BC ，由等腰三角形三线合一即有∠BOH=∠BOC ，故问题继续转化为证DH ∥CE ．联系【模型呈现】发现能证△DEA ≌△ACB ，得到AE=BC=2，AC=DE=1，即能求AD=AB=．又因为O 为AB 中点，可得到，再加上第（1）题证得∠BAD=90°，可得△DAO ∽△AED ，所以∠ADO=∠EAD ，DO ∥EA ，得证． 本题考查了三角形外心定义，圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线合一，圆周角定理．其中第（2）题证明DO ∥EA 进而得到DO 垂直BC 是解题关键．28.【答案】解：（1）将点（-1，0），B （4，0）代入y =ax 2+bx +2，∴a =-12，b =32，∴y =-12x 2+32x +2；（2）C （0，2），∴BC 的直线解析式为y =-12x +2，当t =32时，AM =3，∵AB =5，∴MB =2，∴M （2，0），N （2，1），D （2，3），∴△DNB 的面积=△DMB 的面积-△MNB 的面积=12×MB ×DM -12×MB ×MN =12×2×2=2；（3）∵BM =5-2t ，∴M （2t -1，0），设P （2t -1，m ），∵PC 2=（2t -1）2+（m -2）2，PB 2=（2t -5）2+m 2，∵PB =PC ，∴（2t -1）2+（m -2）2=（2t -5）2+m 2，∴m =4t -5，∴P （2t -1，4t -5），∵PC ⊥PB ， ∴4t−72t−1•4t−52t−5=-1 ∴t =1或t =2， ∴M （1，0）或M （3，0），∴D （1，3）或D （3，2）；（4）当t =54时，M （32，0），∴点Q 在抛物线对称性x =32上，如图：过点A 作AC 的垂线，以M 为圆心AB 为直径构造圆，圆与x =32的交点分别为Q 1与Q 2， ∵AB =5，∴AM =52，∵∠AQ 1C +∠OAC =90°，∠OAC +∠MAG =90°，∴∠AQ 1C =∠MAG ，又∵∠AQ 1C =∠CGA =∠MAG ，∴Q 1（32，-52），∵Q 1与Q 2关于x 轴对称，∴Q 2（32，52），∴Q 点坐标分别为（32，-52），（32，52）；【解析】（1）将点（-1，0），B （4，0）代入y=ax 2+bx+2即可；（2）由已知分别求出M （2，0），N （2，1），D （2，3），根据∴△DNB 的面积=△DMB 的面积-△MNB 的面积即可求解；（3）由已知可得M （2t-1，0），设P （2t-1，m ），根据勾股定理可得PC 2=（2t-1）2+（m-2）2，PB 2=（2t-5）2+m 2，再由PB=PC ，得到m 与t 的关系式：m=4t-5，因为PC ⊥PB ，则有•=-1求出t=1或t=2，即可求D 点坐标；（4）当t=时，M （，0），可知点Q 在抛物线对称性x=上；过点A 作AC 的垂线，以M 为圆心AB 为直径构造圆，圆与x=的交点分别为Q 1与Q 2，由AB=5，可得圆半径AM=，即可求Q 点坐标分别为（，-），（，）．本题考查二次函数的图象及性质，动点问题；能够熟练掌握二次函数解析式与相应点的求法，熟悉等腰直角三角形的性质，应用勾股定理和直线垂直的性质建立坐标之间的联系，借助圆周角的性质，等腰三角形的性质，互余角的性质将角进行转换是解题的关键．。
兰州市2019年中考数学(A)试卷及答案解析(word版)
兰州市2019 年中考试题数学（A）注意事项：1.本试卷满分150 分，考试用时120 分钟。
2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）在答题卡上。
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。
一、选择题：本大题共15 小题，每小题4 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中仅有一项是符合题意的。
1.如图是由5 个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）。
（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】主视图是从正面看到的图形。
从正面看有两行，上面一行最左边有一个正方形，下面一行有三个正方形，所以答案选A。
【考点】简单组合体的三视图2.反比例函数的图像在（）。
（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第二、三象限（D）第二、四象限【答案】B【解析】反比例函数的图象受到的影响，当k 大于0 时，图象位于第一、三象限，当k小于0 时，图象位于第二、四象限，本题中k ＝2 大于0，图象位于第一、三象限，所以答案选B。
【考点】反比例函数的系数k 与图象的关系3.已知△ABC ∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3／4，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）。
（A）3／4（B）4／3（C）9／16（D）16／9【答案】A【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，本题中相似三角形的相似比为3／4，即对应中线的比为3／4，所以答案选A。
【考点】相似三角形的性质4.在Rt △ABC中，∠C＝90°，sinA＝3／5，BC＝6，则AB＝（）。
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10【答案】D【解析】在Rt △ABC中，sinA＝BC／AB＝6／AB＝3／5，解得AB＝10，所以答案选D。
【考点】三角函数的运用5.一元二次方程的根的情况（）。
（A）有一个实数根（B）有两个相等的实数根（C）有两个不相等的实数根（D）没有实数根【答案】B【解析】根据题目，∆＝＝0, 判断得方程有两个相等的实数根，所以答案选B。
甘肃省兰州市2019年中考数学真题试题(含解析)含答案
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个正确选项）1. －2019的相反数是（ ）A.20191 B. 2019 C. －2019 D. －20191【答案】B ．【考点】相反数的定义. 【考察能力】运算求解能力 【难度】简单【解析】－（－2019）＝20192.如图，直线a,b 被直线c 所截，a ∥b, ∠1＝∠800， 则∠2＝（ ）A. 1300. B. 1200. C. 1100. D. 1000.【答案】D ．【考点】平行线的性质. 【考察能力】识图运算能力 【难度】容易 【解析】∵∠1＝800，∴∠1的对顶角为800，又∵ a ∥b, ∴∠1的对顶角和∠2互补， ∴∠2＝1800－800＝1000，答案为D ．3. 计算：12－3＝ （ ）A. 3 .B. 23.C. 3 .D. 43 .【答案】A ．【考点】平方根的运算.第2题图【考察能力】运算求解能力【难度】简单【解析】12－3＝23－3＝3.4. 剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】C．【考点】轴对称图形和中心对称图形【考察能力】观察能力【难度】容易【解析】轴对称图形关于某条直线对称，可以排除A、B，中心对称图形是图形绕某一点旋转1800后与原图形重合的图形排除D.故选C.5. x＝1是关于的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A. －2 .B. －3 .C. 4 .D. －6.【答案】A．【考点】一元二次方程的解，整式运算【考察能力】运算求解能力【难度】简单【解析】将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.故选A.6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝400，则∠C＝（）A. 1100.B. 1200.C. 1350.D. 1400.【答案】D．【考点】圆内接四边形的性质.【考察能力】运算求解能力和观察识图能力 【难度】容易【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝400，∴∠C ＝1800－400＝1400，故选D.7. 化简：12112+-++a a a ＝ （ ） A. a －1 . B. a+1 . C.11+-a a . D. 11+a . 【答案】A ． 【考点】分式计算. 【考察能力】运算求解能力. 【难度】简单【解析】12112+-++a a a ＝1212+-+a a ＝1)1)(1(+-+a a a ＝a －1 . 故选A.8.已知△ABC ∽△A′B′C′, AB ＝8，A ’B ’＝6， 则''CB BC＝ （ ）A. 2 .B.34 . C. 3 . D. 916. 【答案】B ．【考点】相似三角形的性质. 【考察能力】运算求解能力. 【难度】容易【解析】∵△ABC ∽△A′B′C′,∴''B A AB ＝''C B BC又∵AB ＝8，A ’B ’＝6，∴''CB BC ＝34. 故选B.9. ≪九章算术≫是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程为 （ ） A. ⎩⎨⎧-=-=+x y y x y x 65165 B. ⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 65156 C. ⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 54165 D. ⎩⎨⎧-=-=+xy y x y x 54156【答案】C ．【考点】利用方程求解实际问题. 【考察能力】抽象概括能力. 【难度】中等【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y ＝1(2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程： 4x+y ＝5y+x, 故选C.10. 如图，平面直角坐标系xoy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1，已知A （－3，5），B （－4，3），A 1（3，3）.则点B 1坐标为（ ）A. （1，2）B. （2，1）C. （1，4）D. （4，1） 【答案】B ．【考点】图形的平移.【考察能力】识图能力和计算能力 【难度】简单【解析】图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化. A （－3，5）到A 1（3，3）得向右平移3－（－3）＝6个单位，向下平移5－3＝2个单位.所以B （－4，3）平移后B 1（2，1）. 故选B.11. 已知,点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y ＝－（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）A. 2> y 1> y 2B. 2 > y 2 > y 1C. y 1> y 2>2D. y 2 > y 1>2 【答案】A ．【考点】二次函数顶点式以及二次函数的性质. 【考察能力】空间想象能力，运算求解能力. 【难度】较难【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标（－1，2 ），根据函数增减性可以得到，当x>－1时，y 随x 的增大而减小.因为－1<1<2.,所以2> y 1> y 2 . 故选A.12. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M,则DM ＝（ ）A.21B. 22C. 3－1D. 2－1【答案】D ．【考点】正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质. 【考察能力】空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力. 【难度】较难【解析】过点M 作MP ⊥CD 垂足为P ，过点O 作OQ ⊥CD 垂足为Q ，∵ 正方形的边长为2，∴OD ＝1, OC ＝1, OQ ＝DQ ＝22,由折叠可知，∠EDF ＝∠CDF. 又∵AC ⊥BD, ∴OM ＝PM, 设OM ＝PM ＝x ∵OQ ⊥CD ，MP ⊥CD∴∠OQC ＝∠MPC ＝900， ∠PCM ＝∠QCO, ∴△CMP ∽△COQ∴OQ MP ＝COCM , 即1122xx -=， 解得x ＝2－1∴OM ＝PM ＝2－1. 故选D.二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13. 因式分解：a 3+2 a 2+ a ＝___________.【答案】a （a +1）2． 【考点】因式分解. 【考察能力】运算求解能力. 【难度】简单【解析】a 3+2 a 2+ a ＝a （a 2+2 a + 1）＝a （a + 1）2.14. 在△ABC 中，AB ＝AC, ∠A ＝400，则∠B ＝___________. 【答案】700．【考点】等腰三角形性质. 【考察能力】空间想象能力. 【难度】容易【解析】∵AB ＝AC, ∠A ＝400， ∴∠B ＝∠C ＝700.15. 如图， 矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y ＝xk（x>0）的图象上，S 矩形OABC ＝6，则k ＝___________.【答案】6．【考点】k 的几何意义. 【考察能力】数形结合. 【难度】简单【解析】|k |＝S 矩形OABC ＝6，∵图象在第一象限，∴k>0，∴k ＝6.16. 如图， 矩形ABCD, ∠BAC ＝600. 以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB 、AC 于点M 、N 两点，再分别以点M 、N 为圆心，以大于21MN 的长为半径作弧交于点P ,作射线AP 交BC 于点E ，若BE ＝1，则矩形ABCD 的面积等于___________.【答案】33．【考点】尺规作图，矩形的性质.【考察能力】基础运算能力，空间想象能力，推理论证能力.. 【难度】难.【解析】 由题可知AP 是∠BAC 的角平分线∵∠BAC ＝600∴∠BAE ＝∠EAC ＝300∴AE ＝2 BE ＝2. ∴AB ＝3 ∴∠AEB ＝600又∵∠AEB ＝∠EAC+∠ECA ∴∠EAC ＝∠ECA ＝300∴AE ＝EC ＝2 ∴BC ＝3第15题图第16题图∴S矩形ABCD＝33．三、解答题（本大题共12小题，满分86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题5分）计算：|－2|－（3+1）0+（－2）2－tan450 .【答案】4．【考点】实数的计算.【考察能力】运算求解能力.【难度】简单.【解析】解：原式＝2－1+4－1＝4.18.(本题5分) 化简：a(1－2a)+2(a+1)(a－1)【答案】a－2．【考点】代数式的化简.【考察能力】运算求解能力.【难度】简单.【解析】解：a(1－2a)+2(a+1)(a－1)＝a－2a2+2a2－2＝a－2.19.（本题5分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-<++<-131512x x x x【答案】2<x<6．【考点】不等式组的解法. 【考察能力】计算能力. 【难度】中等.【解析】 解：⎪⎩⎪⎨⎧-<++<-131512x x x x由①得：x<6由②得：x>2所以原不等式组的解集为：2<x<6.20. （本题6分）如图，AB ＝DE, BF ＝EC. ∠B ＝∠E. 求证：AC ∥DF.【答案】AC ∥DF. 【考点】三角形的全等. 【考察能力】推理论证能力. 【难度】简单.【解析】证明：∵BF ＝EC∴BF+CF ＝EC+CF ∴BC ＝EF①② ① ②第20题图在△ABC 与△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC E B DE AB ∴△ABC ≌△DEF (SAS) ∴∠ACB ＝∠EFD ∴AC ∥DF.21.（本题6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强----国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目.第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A 1,A 2,A 3,A 4表示）; 第二环节：成语听写、诗词对句、经典通读（分别用B 1,B 2,B 3表示）. （1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能的结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.【答案】解：（1）12种．（2）61. 【考点】概率与统计. 【考察能力】推理论证能力. 【难度】简单. 【解析】（1）解：（2）小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的概率为：P(抽取题目都是成语题目) ＝122＝61.22.（本题7分）如图， AC ＝8,分别以A 、C 为圆心，以长度5为半径作弧，两弧分别相交于点B 和D ，依次连接A 、B 、C 、D ，连接BD 交AC 于点O.（1）判断四边形ABCD 的形状并说明理由；（2）求BD 的长.【答案】（1）菱形， （2）BD ＝6．【考点】菱形的判定，垂直平分线的应用.【考察能力】推理论证能力，运算求解能力.【难度】中等.【解析】 证明：（1）由图可知，BD 垂直平分AC ，且AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝5,所以四边形ABCD 是菱形.（2）∵AC ＝8, BD ⊥AC 且BD 平分AC ，∴OA ＝OC ＝4∴在Rt△A OB 中，OB ＝22OA AB -＝2245-＝3,∴BD ＝2 OB ＝2×3＝6∴BD 的长为6.第22题图23. （本题7分）如图， 在平面直角坐标系xoy 中，反比例函数y ＝x k （k ≠0）的图象，过等边△BOC 的顶点B ，OC ＝2,点A 在反比例函数图象上，连接AC 、AO.（1）求反比例函数y ＝x k（k ≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO 的面积是33，求点A 的坐标.【答案】（1）y ＝x 3； （2）A （21，23）【考点】反比例函数解析式，不规则图形面积.【考察能力】运算求解能力，推理论证能力.【难度】中等.【解析】 解：（1）∵ OC ＝2,∴OM ＝1, BM ＝3,∴点B(－1 ，－3 )，∴ k ＝(－1) ×（－3 ) ＝3,∴y ＝x 3.（2）∵S ACBO ＝33， S ACBO ＝S △AOC + S △BOC∵S △BOC ＝43OC 2＝3,∴3+ S △AOC ＝33，∴S △AOC ＝23.∵OC ＝2∴21×OC ×AN ＝23 ∴AN ＝23设A （t ，23）∴23t ＝3∴t ＝21 ∴A （21，23）.24. （本题7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析.小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：小丽用同样的方式对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：表一 表二根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1班学生的成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85.根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由.【答案】（1）80．（2）八年级1班更为优异.【考点】统计，数据的集中程度和离散程度.【考察能力】运算求解能力，数据处理能力.【难度】中等.【解析】（1）表二（2）八年级1班更为优异.理由如下：可以从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，理由合理即可.25 （本题7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究.过程如下：问题提出：如图1是某住户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直了墙面AC 的遮阳篷CD.数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA 与遮阳篷CD 的夹角∠ADC 最大（∠ADC ＝77.440）；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳篷CD 的夹角∠BDC 最小（∠BDC ＝30.560）；窗户的高度AB ＝2m.问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳篷CD 的长.（结果精确到0.1m ，参考数据：sin30.560≈0.51, cos30.560≈0.86, tan30.560≈0.59, Sin77.440≈0.98, cos77.440≈0.22, tan77.440≈4.49）.【答案】0.5m ．【考点】三角函数及其应用.【考察能力】运算求解能力，实际应用能力.【难度】中等【解析：在Rt△BC D 中，∠BCD ＝900，∠BDC ＝30.560，∵tan ∠BDC ＝CD BC,∴BC ＝CD ⋅tan ∠BDC,在Rt△ACD 中，∠ACD ＝900，∠ADC ＝77.440，∵tan ∠ADC ＝CD AC,∴AC ＝CD ⋅tan ∠ADC,∵AC －BC ＝AB,∴CD ⋅tan ∠ADC －CD ⋅tan ∠BDC ＝2即 CD ⋅tan77.440－CD ⋅tan30.560＝2（4.49－0.59）CD ＝2∴CD ＝0.5答：遮阳篷CD 长为0.5m.26.（本题9分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm,BC ＝8cm,点D 为BC 的中点，BE ＝DE.将∠BDE 绕点D 顺时针旋转a 度（00≤a ≤830）.角的两边分别交直线AB 于M 、N 两点.设B 、M 两点间的距离为x cm ，M 、N 两点间的距离为y cm.小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小涛的探究过程.请补充完整.（1）列表：下表的已知数据是根据B 、M 两点间的距离x 进行取点、画图、测量，分别得到了y 与x 的几组对应值：x/cm 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 38 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10 y/cm2.88 2.81 2.69 2.67 2.803.15 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.41 8.87请你通过计算，补全表格.（2）描点、连线：在平面直角坐标系xoy 中，描出表中各组数值所对应的点（x ，y ）.并画出函数y 关于x 的图象：（3）探究性质：随着自变量x 的不断增大，函数y 的变化趋势__________.(4)解决问题：当MN ＝2BM 时，BM 的长度大约是_________cm （保留两位小数）.【答案】（1）x/cm 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 38 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10（2）图略（描点可得）（3）随着自变量x 的不断增大，函数y 呈现先减小再增大的趋势.（4）4和1.33【考点】函数图象性质，三角形相似.【考察能力】数据处理分析能力【难度】难【解析】 （1）当x ＝0时，M 点与N 点分别和B 点E 点重合 MN ＝BE ＝3当x ＝38时，假设DN 交CA 的延长线于点H ∵AB ＝AC,∴∠B ＝∠C,又∵D 为BC 的中点， BE ＝DE.∴∠B ＝∠EDB, ED 为AC 边的中位线根据旋转性质∠B ＝∠EDB ＝∠C ＝∠MDN,∵∠NDB ＝∠H+∠C(外角性质)∠NDB ＝∠MDB+∠MDN,∴∠MDB+∠MDN ＝∠H+∠C∴∠MDB ＝∠H, ∠B ＝∠C,∴△MDB ∽△DHC∴BD CH ＝BMDC , ∴4CH ＝384, CH ＝6＝AC 即A 点与H 点重合∴MN ＝6－BM ＝310. (2)根据表格描点可得.（3）根据图象可得（4）∵MN ＝2BM设BM ＝x ，MN ＝2x ，EN ＝3x －3 ， AN ＝6－3x ，∵∠NDB ＝∠H+∠C(外角性质)∠NDB ＝∠MDB+∠MDN,∴∠MDB+∠MDN ＝∠H+∠C∴∠MDB ＝∠H, ∠B ＝∠C,∴△MDB ∽△DHC ∴BD CH ＝BMDC , ∴4CH ＝x 4, ∴CH ＝x 16， HA ＝HC －AC ＝x 16－6 又∵△HAN ∽△DEN ∴ED AH ＝NEAN , ∴3616-x ＝3336--x x , 解得： x 1＝4， x 2＝34≈1.33 答：BM 为4或1.33.主要学习通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题【模型呈现】如右图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝900,将斜边AB 绕点A 顺时针旋转900得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC ＝DE, BC ＝AE.我们把这个数学模型称为“K 型”推理过程如下：【模型应用】27.（本题10分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝900, BC＝2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠A BC, DE＝1,连接DO交⊙O于点F.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB，求证：FG2＝GO•GB.【答案】答案见解析．【考点】三角形相似，圆切线证明.【考察能力】推理论证能力，运算求解能力【难度】较难【解析】（1）证明：∵∠DAE＝∠A BC 且∠A BC+∠CAB＝900,∴∠EAD+∠CAB＝900,∴∠DAB＝900,∵AO为⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线.（2）证明：由（1）知∠DAB＝900,∵ AC＝1， BC＝2∴AB ＝5, 由模型可知，△A ED ≌△BCA, ∴AD ＝5,∴AO ＝25, ∴DO ＝25, ∵AD AE ＝DO AD ＝AODE ＝552, ∴△AED ∽△DAO∴∠EAD ＝∠ADO∴AE ∥DO∴∠ACF ＝∠CFO ＝∠ABF∵∠FGO ＝∠BGF,∴△FGO ∽△BGF∴BG FG ＝FGGO ∴FG 2＝GO •GB.28.(本题12分)二次函数y ＝a x 2+bx+2的图象交x 轴于点A （－1，0），点B （4，0）两点，交y 轴于点C.动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M作MN ⊥x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒.（1）求二次函数y ＝a x 2+bx+2的表达式；（2）连接BD ，当t ＝23时，求△DNB 的面积； （3）在直线MN 上存在一点P ，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；（4）当t ＝45时，在直线MN 上存在一点Q ，使得∠AQC+∠QAC ＝900,求点Q 的坐标.【答案】（1）y ＝－21x 2+23x+2． （2） 2 （3） D （1，3）（4）Q （23，25）或Q （23，－25） 【考点】二次函数的综合应用.【考察能力】运算求解能力、推理论证能力、空间想象能力.【难度】困难【解析】 （1）将点A （－1，0），点B （4，0）代入y ＝a x 2+bx+2中，得： ⎩⎨⎧=++=+-0241602b a b a 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2321b a 所以，二次函数的表达式为：y ＝－21x 2+23x+2． （2） ∵ t ＝23， ∴AM ＝3，又∵OA ＝1, ∴ OM ＝2,设BC 的解析式为：y ＝kx+b (k ≠0),将点C （0,2）、B （4，0）代入，得：⎩⎨⎧=+=042b k b 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=221b k 所以直线BC 的解析式为：y ＝－21x+2． 将x ＝2分别代入y ＝－21x 2+23x+2和y ＝－21x+2中，得：D （2，3）、N （2，1） ∴DN ＝2,∴ S △DNB ＝21×2×2＝2. (3)过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点E ，过点B 作y 轴的平行线，交EP 的延长线于点F ，设D （m ，－21m 2+23m+2）、E （0，n ）、P （m,n ）、F （4，n ），由题意得： △PEC ≌△BFP,∴PE ＝BF, CE ＝PF∴⎩⎨⎧=--=-m n n m 24 ∴ ⎩⎨⎧-==11n m所以，点D 的坐标为：（1，3）.（4）当t ＝45时，AM ＝25,此时M 点在二次函数的对称轴上， 以M 点为圆心，AM 长为半径作圆，交MN 于Q 1、Q 2两点，∵C （0，2） ，M （23，0） ∴CM ＝25＝R , ∴C 点在该圆上∴∠ACB ＝900,∴∠CAB+∠CBA ＝900,∵∠CQ 1A ＝∠CAB, (同弧所对的圆周角)∴∠C Q 1A+∠CBA ＝900,∠C Q 2A+∠CBA ＝900,∴Q （23，25）或Q （23，－25）。
2019甘肃省兰州市中考数学试题 word
2019年兰州市中考试题解析版数学（A ）注意事项：1.全卷共150分，考试时间120分钟；2.考生必须将姓名、准考证号、座位号等个人信息填（涂）与在答题卡上；3.考生务必将答案直接填（涂）与在答题卡的相应位置。
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个正确选项）1. －2019的相反数是（ ）A.20191 B. 2019 C. －2019 D. －201912.如图，直线a,b 被直线c 所截，a ∥b, ∠1＝∠800， 则∠2＝（ ）A. 1300.B. 1200.C. 1100.D. 1000. 3. 计算：12－3＝ （ ）A.3 . B. 23. C. 3 . D. 43 .4. 剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）5. x ＝1是关于的一元二次方程x 2+ax +2b ＝0的解，则2a +4b ＝（ ）A. －2 .B. －3 .C. 4 .D. －6.6. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠A ＝400，则∠C ＝（ ）A. 1100.B. 1200.C. 1350.D. 1400.7. 化简：12112+-++a a a ＝ （ ） A. a －1 . B. a+1 . C.11+-a a . D. 11+a .第2题图8.已知△ABC ∽△A′B′C′, AB ＝8，A ’B ’＝6， 则''CB BC＝ （ ）A. 2 .B.34 . C. 3 . D. 916. 9. ≪九章算术≫是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程为 （ ） A. ⎩⎨⎧-=-=+x y y x y x 65165 B.⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 65156 C. ⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 54165 D. ⎩⎨⎧-=-=+xy y x y x 5415610. 如图，平面直角坐标系xoy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1，已知A （－3，5），B （－4，3），A 1（3，3）.则点B 1坐标为（ ）A. （1，2）B. （2，1）C. （1，4）D. （4，1） 11. 已知,点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y ＝－（x+1）2 +2上，则下列结论正确的是（ ）A. 2> y 1> y 2B. 2 > y 2 > y 1C. y 1> y 2>2D. y 2 > y 1>2 12. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M,则DM ＝（ ）A.21B. 22C.3－1 D. 2－1二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13. 因式分解：a 3 +2 a 2+ a ＝___________.14. 在△ABC 中，AB ＝AC, ∠A ＝400，则∠B ＝___________.15. 如图， 矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y ＝xk （x>0）的图象上，S 矩形OABC ＝6，则k ＝___________.16. 如图， 矩形ABCD, ∠BAC ＝600. 以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB 、AC 于点M 、N 两点，再分别以点M 、N 为圆心，以大于21MN 的长为第15题图半径作弧交于点P ,作射线AP 交BC 于点E ，若BE ＝1，则矩形ABCD 的面积等于___________.三、解答题（本大题共12小题，满分86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题5分）计算：|－2|－（3+1）0+（－2）2－tan450 .18.(本题5分) 化简：a (1－2a )+2(a +1)(a －1)19.（本题5分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-<++<-131512x x x x20. （本题6分）如图，AB ＝DE, BF ＝EC. ∠B ＝∠E. 求证：AC ∥DF.21.（本题6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强----国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目.第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A 1,A 2,A 3,A 4表示）; 第二环节：成语听写、诗词对句、经典通读（分别用B 1,B 2,B 3表示）.（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能的结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.22.（本题7分）如图， AC ＝8,分别以A 、C 为圆心，以长度5为半径作弧，两弧分别相交于点B 和D ，依次连接A 、B 、C 、D ，连接BD 交AC 于点O.（1）判断四边形ABCD 的形状并说明理由； （2）求BD 的长.第22题图第20题图23. （本题7分）如图， 在平面直角坐标系xoy 中，反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象，过等边△BOC 的顶点B ，OC ＝2,点A 在反比例函数图象上，连接AC 、AO. （1）求反比例函数y ＝xk（k ≠0）的表达式； （2）若四边形ACBO 的面积是33，求点A 的坐标.24. （本题7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析.小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：分数段班级 60≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x<100八年级1班 7 5 10 3小丽用同样的方式对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1班学生的成绩处在80≤x ＜90这一组的数据如下： 85，87，88，80，82，85，83，85，87，85. 根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由.分数段 班级 平均数 中位数 众数 极差 方差 八年级1班788536105.28分数段班级 平均数 中位数 众数 极差 方差 八年级2班75767344146.80表一 表二表三25 （本题7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究.过程如下： 问题提出：如图1是某住户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内. 方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直了墙面AC 的遮阳篷CD. 数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA 与遮阳篷CD 的夹角∠ADC 最大（∠ADC ＝77.440）；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳篷CD 的夹角∠BDC 最小（∠BDC ＝30.560）；窗户的高度AB ＝2m. 问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳篷CD 的长.（结果精确到0.1m ，参考数据：sin30.560≈0.51, cos30.560≈0.86, tan30.560≈0.59, Sin77.440≈0.98, cos77.440≈0.22, tan77.440≈4.49）.26.（本题9分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm,BC ＝8cm,点D 为BC 的中点，BE ＝DE.将∠BDE 绕点D 顺时针旋转a 度（00≤a ≤830）.角的两边分别交直线AB 于M 、N 两点.设B 、M 两点间的距离为x cm ，M 、N 两点间的距离为y cm.小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小涛的探究过程.请补充完整.（1）列表：下表的已知数据是根据B 、M 两点间的距离x 进行取点、画图、测量，分别得到了y 与x 的几组对应值： x/cm 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 38 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10 y/cm2.88 2.81 2.69 2.67 2.803.153.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.41 8.87请你通过计算，补全表格.（2）描点、连线：在平面直角坐标系xoy 中，描出表中各组数值所对应的点（x ，y ）.并画出函数y 关于x 的图象：（3）探究性质：随着自变量x 的不断增大，函数y 的变化趋势__________. (4)解决问题：当MN ＝2BM 时，BM 的长度大约是_________cm （保留两位小数）.主要学习通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题【模型呈现】如右图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900,将斜边AB 绕点A 顺时针旋转900得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC ≌△DAE,进而得到AC ＝DE, BC ＝AE. 我们把这个数学模型称为“K 型” 推理过程如下：【模型应用】27.（本题10分）如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝900, BC ＝2.将斜边AB 绕点A 顺时针旋转一定角度得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，∠DAE ＝∠ABC, DE ＝1,连接DO 交⊙O 于点F. （1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）连接FC 交AB 于点G ，连接FB ， 求证：FG 2＝GO •GB.28.(本题12分)二次函数y ＝a x 2+bx+2的图象交x 轴于点A （－1，0），点B （4，0）两点，交y 轴于点C.动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN ⊥x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒. （1）求二次函数y ＝a x 2+bx+2的表达式； （2）连接BD ，当t ＝23时，求△DNB 的面积； （3）在直线MN 上存在一点P ，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标； （4）当t ＝45时，在直线MN 上存在一点Q ，使得∠AQC+∠QAC ＝900,求点Q 的坐标.。
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则点 B1 坐标为（
）
A. （1，2） B. （2，1） C. （1，4）
D. （4，1）
11. 已知,点 A（1，y1），B（2，y2）在抛物线 y＝－（x+1）2 +2 上，则下
列结论正确的是（ ）
A. 2> y1> y2
B. 2 > y2 > y1 C. y1> y2>2
D. y2 > y1>2
绩进行了调查分析.小佳对八年级 1 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，过程如下：
分数段 班级
八年级 1 班
60≤x<70 7
2019 年兰州市中考试题解析版
数学（A）
注意事项： 1.全卷共 150 分，考试时间 120 分钟； 2.考生必须将姓名、准考证号、座位号等个人信息填（涂）与在答题卡上； 3.考生务必将答案直接填（涂）与在答题卡的相应位置。
一、选择题（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，每小题只有一个正确选项）
13. 因式分解：a3 +2 a2+ a＝___________. 14. 在△ ABC 中，AB＝AC, ∠A＝400，则∠B＝___________.
第 15 题图
15.
如图，
矩形
OABC
的顶点
B
在反比例函数
y＝
k x
（x>0）的图象上，S
矩形
OABC＝6，则
k＝___________.
16. 如图， 矩形 ABCD, ∠BAC＝600. 以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧分
计算：|－2|－（ 3 +1）0+（－2）2－tan450 .
2019甘肃省兰州市中考数学真题(含答案)
12019年兰州市中考试题数学（A ）注意事项：1. 全卷共150分，考试时间120分钟2. 考生必须将姓名、准考证号、座位号等个人信息（涂）写在答题卡上.3. 考生务必将答案接填（涂)写在答题卡的相应位置上.一、选择题：本大题12小题，每小题4分，共48分。
每小题只有一个正确选项。
1.-2019的相反数是（）A.20191 B.2019 C.-2019 D.201912.如图，直线a ，b 被直线c 所截，a//b ，∠1=80°，则∠2= ( )A.130°B.120°C.110°D.100°3.计算3-12（）A.3 B.32 C.3 D.344.剪纸是中国特有的民间艺术.在如涂所示的四个剪纸图案中.既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）5.1x 是关于x 的一元一次方程022b ax x的解，则b a42（）A.-2B.-3C.4D.-6 6.如图，四边形ABCD 内接于⊙0，若∠A=40°，则∠C=（）A.110°B.120°C.135°D.140°7.化简：12112a a a（）A.1aB.1aC.11-a a D.11a 8.已知ABC ∽```C B A ，AB=8，A`B`=6，则``C B BC （）A.2B.34 C.3 D.9169.《九章算术》是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问:每只雀、燕的重量各为多少?设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为( )A.xyyxy x 65165 B.xyyxy x 65156 C.xyyxy x 54165 D.xyyxy x 5415610.如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1，已知A(-3,5)，B(-4,3)，A 1(3,3)，则点B 1坐标为()。