系统辨识最小二乘法

课 程 设 计 报 告

学 院： 自动化学院 专业名称： 自动化 学生姓名： ** 指导教师： *** 时 间：

2010年7月

课程设计任务书

一、设计内容

SISO 系统的差分方程为：

)()2()1()2()1()(2

1

2

1

k k u b k u b k z a k z a k z υ+-+-=-+-+

参数取真值为：[]0.35 0.39 0.715 1.642=T θ，利用MATLAB 的M 语言辨识系

统中的未知参数1a 、2a 、1b 、2b 。

二、主要技术要求

用参数的真值及差分方程求出)(k z 作为测量值，)(k υ是均值为0，方差为0.1、0.5和0.01的不相关随机序列。选取一种最小二乘算法利用MATLAB 的M 语言辨识参数。

三、进度要求

2周（6月28日-7月11日）完成设计任务，撰写设计报告3000字以上，应包含设计过程、 计算结果、 图表等内容。具体进度安排：

◆ 6月28日，选好题目，查阅系统辨识相关最小二乘法原理的资料。 ◆ 6月29日，掌握最小二乘原理，用MATLAB 编程实现最小二乘一次完成

算法。

◆ 6月30日，掌握以最小二乘算法为基础的广义最小二乘递推算法。 ◆ 7月1日，用MATLAB 编程实现广义最小二乘递推算法。 ◆ 7月2日，针对题目要求进行参数辨识，并记录观察相关数据。 ◆ 7月3日-7月5日，对参数辨识结果进行分析，找出存在的问题，提出

改进方案，验证改进优化结果。 ◆ 7月6日-7月7日，撰写课程设计报告。 ◆ 7月8日，对课程设计报告进行校对。 ◆ 7月9日，打印出报告上交。

学 生

王景 指导教师 邢小军

1. 设计内容

设SISO 系统的差分方程为：

)()2()1()2()1()(2

1

2

1

k k u b k u b k z a k z a k z υ+-+-=-+-+ 式（1-1）

参数取真值为：[]0.35 0.39 0.715 1.642=T

θ，利用MATLAB 的M 语言辨识系统中

的未知参数1a 、2a 、1b 、2b 。

2. 设计过程

2.1

问题重述。

设SISO 系统的差分方程为：

)()2()1()2()1()(2121k k u b k u b k z a k z a k z υ+-+-=-+-+ 式（2-1）

参数取真值为：[]0.35 0.39 0.715 1.642=T θ，利用MATLAB 的M 语言辨识系统中

的未知参数1a 、2a 、1b 、2b 。

要求：用参数的真值利用差分方程求出)(k z 作为测量值，)(k υ是均值为0，方差为0.1、0.5和0.01的不相关随机序列。选取一种最小二乘算法辨识。

2.2 最小二乘参数辨识

2.2.1、

最小二乘法的概念与应用

对工程实践中测得的数据进行理论分析，用恰当的函数去模拟数据原型是

一类十分重要的问题，最常用的逼近原则是让实测数据和估计数据之间的距离平方和最小，这即是最小二乘法。最小二乘法是一种经典的数据处理方法。在系统辨识领域中 ,最小二乘法是一种得到广泛应用的估计方法 ,可用于动态系统 ,静态系统 , 线性系统 ,非线性系统。可用于离线估计，也可用于在线估计。这种辨识方法主要用于在线辨识。在随机的环境下，利用最小二乘法时，并不要求观测数据提供其概率统计方面的信息，而其估计结果，却有相当好的统计特性。

MATLAB 是一套高性能数字计算和可视化软件 ,它集成概念设计 ,算法开发 ,建模仿真 ,实时实现于一体 ,构成了一个使用方便、界面友好的用户环境 ,其强大的扩展功能为各领域的应用提供了基础。对于比较复杂的生产过程 ,由于过程的输入输出信号一般总是可以测量的 ,而且过程的动态特性必然表现在这些输入输出数据中 ,那么就可以利用输入输出数据所提供的信息来建立过程的数学模型。这种建模方法就称为系统辨识。把辨识建模称作“黑箱建模”。 2.2.2、

最小二乘法系统辨识结构：

本文把待辨识的过程看作“黑箱”。只考虑过程的输入输出特性，而不强调过程的内部机理。

图中，输入u(k)和输出z(k)是可以观测的；G （）是系统模型，用来描述系

统的输入输出特性；N （）是噪声模型，v(k)是白噪声，e(k)是有色噪声，根

据表示定理： 可以表示为

e(k) =N （

）v(k)

)

(1

-z

G )

()(11--=z A z B

)

(1

-z

N )

()(11--=z C z D 112

1211212()1()a a b b n n n n A z a z a z a z B z b z b z b z --------⎧=++++⎪⎨=+++⎪⎩

+ + e (k )

图1 SISO 系统辨识“黑箱”结构图

y (k ) u (k ) z (k ) v (k ) )(1-z N )(1-z G

⎪⎩

⎪⎨⎧+++=++++=--------b b a a n n n n z d z d z d z D z c z c z c z C 221112

2111)(1)(

2.2.3、 准则函数

设一个随机序列{}),,2,1(),(L k k z ∈的均值是参数θ的线性函数：

{}θ)()(k h k z E T =，其中)(k h 是可测的数据向量，那么利用随机序列的一个实现，

使准则函数：

2

1

]

)()([)(∑=-=L

k T k h k z J θθ (式2-2)

达到极小的参数估计值∧

θ称作θ的最小二乘估计。

最小二乘格式：

)()()(k e k h k z t

+=θ，θ为模型参数向量，()k e 为零均值随机噪声。

2.3 最小二乘一次完成算法

2.3.1、

最小二乘问题的解

考虑系统模型:

)()()(k e k h k z t +=θ (式3-1)

准则函数可写成：

()()()θθθL L L T

L L H z H -Λ-=z J （式3-2）

极小化准则函数得到：

()L L T L L T L WLS z H H H ΛΛ=-1

ˆθ （式3-3）

通过极小化式3-2计算WLS θˆ的方法称作加权最小二乘法，WLS θˆ为加权最小二乘估计，若取I L =Λ，则退化为一般最小二乘估计值，对应方法叫最小二乘法：

LS

θˆ=L τL 1L τL z H )H H -( （式3-4）