最近三年数学选做题理科
高三理科数学试题及答案
高三理科数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数y=\(\frac{1}{x}\)的图象在第一象限内是（）A. 递增函数B. 递减函数C. 先递增后递减D. 先递减后递增2. 已知向量\(\vec{a}=(3,-2)\)，\(\vec{b}=(2,3)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值为（）A. -5B. 5C. 13D. -133. 已知双曲线的方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a>0，b>0，若该双曲线的渐近线方程为y=±\(\frac{b}{a}\)x，则该双曲线的离心率为（）A. \(\sqrt{2}\)B. \(\sqrt{3}\)C. \(\sqrt{5}\)D. 24. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，若f(x)在区间(1,2)内有零点，则零点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知等比数列{an}的前n项和为S_n，若S_3=7，S_6=28，则S_9的值为（）A. 63B. 77C. 84D. 1266. 已知直线l的方程为y=kx+b，若直线l过点(1,2)且与直线y=-2x 平行，则直线l的方程为（）A. y=-2x+4B. y=-2x+3C. y=2x-1D. y=2x+17. 已知函数f(x)=\(\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)，若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，则该函数的值域为（）A. (0,+∞)B. (-∞,+∞)C. [0,+∞)D. R8. 已知抛物线C的方程为y^2=4x，若直线l与抛物线C相切，则直线l的斜率的取值范围为（）A. (-∞,0]B. (0,+∞)C. [0,+∞)D. R9. 已知椭圆E的方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a>b>0，若椭圆E的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，则椭圆E 的短轴长为（）A. \(\sqrt{2}\)B. 1C. 2D. \(\sqrt{3}\)10. 已知函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)，若f(x)在区间[1,2]上的平均值为\(\frac{7}{12}\)，则f(x)在区间[2,3]上的平均值为（）A. \(\frac{7}{20}\)B. \(\frac{7}{15}\)C. \(\frac{7}{12}\)D. \(\frac{7}{10}\)二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)，若f(x)在区间[1,2]上的平均值为\(\frac{7}{12}\)，则f(x)在区间[2,3]上的平均值为\(\frac{7}{20}\)。
三年高考高考数学试题分项版专题16选修部分理(含解析)
第十六章 选修部分一、选择题1. 【2014，安徽理4】以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为 （ ）A ．14B ．142C ．2D ．22 【答案】D ．【名师点睛】对于极坐标与参数方程的问题，考生要把握好如何将极坐标方程转化成普通方程，抓住核心：222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，普通方程转化成极坐标方程，抓住核心：222,tan yx y xρθ+==.另外，求圆中弦长问题，只需要找出直角三角形（三边为半径、圆心到弦的距离、半弦）的勾股定理关系即可.2. 【2013，安徽理7】在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）A ．=0()cos=2R θρρ∈和B ．=()cos=22R πθρρ∈和C ． =()cos=12R πθρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和【答案】B ．【解析】圆=2cos p θ的直角坐标方程为222x y x +=，即为()2211x y -+=．垂直于极轴的两条切线的直角坐标方程分别为0,2x x ==，极坐标方程分别为=()cos =22R πθρρθ∈和．所以选B ．【命题立意】考查直线与圆的极坐标方程．【举一反三】极坐标问题一般解法是化为直角坐标方程求解．【名师点睛】对于极坐标与参数方程的问题，考生要把握好如何将极坐标方程转化成普通方程，抓住核心：222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，普通方程转化成极坐标方程，抓住核心：222,tan yx y xρθ+==.对于圆的切线方程，最好是通过画图便知. 3. 【2014高考北京理第3题】曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上 【答案】B4. 【2014湖北卷10】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）A.]61,61[-B.]66,66[-C. ]31,31[- D. ]33,33[- 【答案】B 【解析】试题分析：当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-≤≤-=2222222,32,0,)(a x a x a x a a a x x x f ，由)(x f 是奇函数，可作出)(x f 的图像，如下图所示.又因为R x ∈∀，)1(-x f )(x f ≤，所以)1(-x f 的图像恒在)(x f 图像的下方，即将)(x f 的图像往右平移一个单位后恒在)(x f 图像的下方，所以22313a a ≥+-，解得]66,66[-∈a .故选B.考点：函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等.【名师点睛】将含绝对值的函数、函数的奇偶性、分段函数和不等式等内容联系在一起，凸显了知识之间的联系性、综合性，体现了函数思想、转化与化归的数学思想在函数问题中的应用，能较好的考查学生的作图能力和综合能力.其解题的关键是正确地画出分段函数的图像并通过函数图像建立不等关系. 二、填空题1.【2015高考安徽，理12】在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 . 【答案】6【考点定位】1.极坐标方程与普通方程的转化；2.圆上的点到直线的距离.【名师点睛】对于极坐标与参数方程的问题，考生要把握好如何将极坐标方程转化成普通方程，抓住核心：222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，普通方程转化成极坐标方程，抓住核心：222,tan yx y xρθ+==.圆上的点到直线的距离最大值或最小值，要考虑到圆的半径加上（或减去）圆心到直线的距离.2. 【2014高考广东卷.理.14】 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________. 【答案】()1,1.【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程和两曲线的交点，属于中等题．解决此类问题的关键是极坐标方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化． 3. 【2014高考广东卷.理.15】 (几何证明选讲选做题)如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF .图3FEDCBA【答案】9【名师点晴】本题主要考查的是相似三角形的性质定理，属于中等题．解题时一定要抓住重要字眼“面积”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是相似三角形的性质定理，即相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于相似比的平方．4. 【2013高考广东卷.理.14】 (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为,,x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点(1,1)处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为__________.【答案】πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【考点定位】本题考查参数方程与极坐标,属于基础题【名师点晴】本题主要考查的是参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程和圆的切线，属于容易题．解决此类问题的关键是参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可．5.【2015高考广东，理14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 .【答案】2．【名师点睛】本题主要考查正弦两角差公式，极坐标方程化为普通方程，极坐标化平面直角坐标，点到直线的距离，转化与化归思想的应用和运算求解能力，属于容易题，解答此题在于准确把极坐标问题转化为平面直角坐标问题，利用平面几何点到直线的公式求解．6. 【2013高考广东卷.理.15】 (几何证明选讲选做题)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O 上.延长BC到D使BC＝CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6,ED＝2,则BC＝__________.【答案】【考点定位】本题考查几何证明中的切割线定理,属于能力题【名师点晴】本题主要考查的是直径所对的圆周角、切线的性质、弦切角和直角三角形的射影定理，属于中等题．解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误．凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识．AB=，7. 【2015高考广东，理15】（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB是圆O的直径，4BC=，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于EC是圆O的切线，切点为C，1点D和点P，则OD= .【答案】8．【解析】如下图所示，连接OC ，因为//OD BC ，又B C A C ⊥，所以OP AC ⊥，又O 为AB 线段的中点，所以1122OP BC ==，在R t O CD ∆中，122OC AB ==，由直角三角形的射影定理可得2OC OP OD =⋅即222812OC OD OP===，故应填入8．【考点定位】直线与圆的位置关系，直角三角形的射影定理．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，直角三角形的射影定理运用，属于中档题，解答平面几何问题关键在于认真审题分析图形中的线段关系，适当作出辅助线段，此题连接OC ，则容易得到Rt OCD ∆，并利用直角三角形的射影定理求得线段OD 的值．8. 【 2014湖南11】在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：，（α为参数）交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________. 【答案】()cos sin 1ρθθ-=【名师点睛】本题主要考查了只需的极坐标方程，解决问题的关键是根据所给直线与圆几何关系求解得到直线方程，根据极坐标定义写出对应的极坐标方程即可，难度不大，属于基础题目.9. 【 2014湖南12】如图3，已知AB ，BC 是O 的两条弦，AO BC ⊥，AB =BC =O 的半径等于________.图 3【答案】32【名师点睛】本题主要考查了平面几何选讲部分的勾股定理、双割线定理，解决问题的关键是根据所给几何关系运用勾股定理、双割线定理进行推理计算即可得到所求圆的半径. 10. 【 2014湖南13】若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =________.【答案】3-【解析】因为等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,所以51,33-为方程23ax -=的根,即52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式 绝对值方程【名师点睛】本题主要考查了绝对值不等式，解决问题的关键是根据不等式的解集结合不等式对应的绝对值方程联立方程求解即可得到a 值，属于绝对值不等式部分的常考题目，属于基础题目.11. 【 2013湖南9】在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆 ()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 .【答案】 3 【解析】303)0,3(149,:22=⇒-=-⇒-=+-=a a y x C a x y l 的右顶点程：椭圆方方程直线【考点定位】参数方程【名师点睛】本题主要考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a 的值，属于基础题．12. 【 2013湖南10】已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 12 . 【答案】 12【解析】 .考察柯西不等式12943631211))3()2(()111(2222222222≥++⇒=⋅+⋅+⋅≥++⋅++c b a c b a c b a ）（时，取最小值且当32,1,2===c b a .【考点定位】不等式【名师点睛】本题主要考查了柯西不等式及其几何意义，解决问题的关键是根据等式a+2b+3c=6运用柯西不等式求式子a 2+4b 2+9c 2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题． 13. 【 2013湖南11】如图2，在半径为7的O 中,弦,,2,AB CD P PA PB ==相交于点1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 .【答案】2314.【2013高考陕西版理第15题】(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为__________． 【答案】215. 【2013高考陕西版理第15题】(几何证明选做题)如图，弦AB 与CD 相交于O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝__________.6【名师点晴】本题主要考查的是几何证明，属于容易题.此类问题一般都综合了有关圆的相关定理，同时又考察相似三角形有关定理，但难度一般都不大，解题注意整合已知条件，严密推理. 凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识．16. 【2013高考陕西版理第15题】(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为__________．【答案】2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)【名师点晴】本题主要考查的是极坐标系与参数方程，属于容易题.此类问题一般主要是极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，解题时主要是熟记有关互化公式，有的题目会考察到其中参数实际的几何意义17. 【2014高考陕西版理第15题】（几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6=BC ，以BC 为直径的半圆分别交AC AB ,于点F E ,，若AE AC 2=，则EF =_______.【答案】3【名师点晴】本题主要考查的是几何证明，属于容易题.此类问题一般都综合了有关圆的相关定理，同时又考察相似三角形有关定理，但难度一般都不大，解题注意整合已知条件，严密推理. 凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识．18. 【2014高考陕西版理第15题】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点)6,2(π到直线1)6sin(=-πθρ的距离是_______.【答案】1【名师点晴】本题主要考查的是极坐标系与参数方程，属于容易题.此类问题一般主要是极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，解题时主要是熟记有关互化公式，有的题目会考察到其中参数实际的几何意义19. 【2013高考重庆理第14题】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为__________．【答案】5【解析】在Rt△ABC中，∠A＝60°，AB＝20，可得BC＝由弦切角定理，可得∠BCD＝∠A＝60°.在Rt△BCD中，可求得CD＝，BD＝15.又由切割线定理，可得CD2＝DE·DB，可求得DE＝5.【考点定位】平面几何选讲【名师点睛】本题考查了弦切角定理，切割线定理，直角三角形的性质，解题时要认真审题，注意圆的性质的灵活运用．20. 【2013高考重庆理第15题】在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线23,x ty t⎧=⎨=⎩(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝__________.【答案】16【名师点睛】本题考查了极坐标方程化成直角坐标方程，参数方程化为普通方程，学生分析解决问题的能力，正确运用参数方程是解决问题的关键．21. 【2013高考重庆理第16题】若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，8]【名师点睛】本题考查了绝对值的性质，解绝对值不等式的方法，计算能力，逻辑推理能力，属于基础题，注意绝对值性质的应用．22. 【2014高考重庆理第14题】过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC分别交圆于B 、C ， 若6=PA ，AC =8，BC =9，则AB =________.【答案】4 【解析】 试题分析：由切割线定理得：2PA PB PC =⋅,设PB x =，则||9PC x =+所以，()369,x x =+即29360x x +-=，解得：12x =-（舍去），或3x =又由是圆的切线，所以ACP BAP ∠=∠,所以ACP BAP ∆∆、||||||PA AB AC PC ∴=,所以86412AB ⨯== 所以答案应填：4.考点：1、切割线定理；2、三角形相似.【名师点睛】本题考查三角形外接圆直径的证明，相交弦定理，切割线定理，解题时要认真审题，注意圆的性质的灵活运用．23. 【2014高考重庆理第15题】已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2sin 4cos 00,02ρθθρθπ-=≥≤<，则直线l 与曲线C 的公共点的极径=ρ________.考点：参数方程与极坐标.【名师点睛】本题考查参数方程，及坐标方程的运用，两点间的距离公式，属于基础题，正确将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程是解决问题的关键． 24. 【2015高考重庆，理14】如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA =6，AE =9，PC =3，CE :ED =2:1，则BE =_______.题（14）图P【答案】2【名师点晴】平面几何问题主要涉及三角形全等，三角形相似，四点共圆，圆中的有关比例线段（相关定理）等知识，本题中有圆的切线，圆的割线，圆的相交弦，由圆的切割线定理和相交弦定理就可以得到题中有关线段的关系．25. 【2015高考重庆，理15】已知直线l 的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______. 【答案】(2,)π【解析】直线l 的普通方程为2y x =+，由2c o s24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.【名师点晴】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．26. 【2015高考重庆，理16】若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______. 【答案】4a =或6a =-27.【2013高考北京理第9题】在极坐标系中，点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭到直线ρsin θ＝2的距离等于__________． 【答案】1【名师点睛】本题考查极坐标基础知识，要求学生使用互化公式熟练进行点的坐标转化及曲线方程的转化，然后利用点到直线距离公式求出距离，本题属于基础题，先把点的极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，最后求点到直线的距离. 28. 【2013高考北京理第11题】如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝__________，AB ＝__________.【答案】954名师点睛：本题考查选学内容平面几何选讲中的与圆有关的比例线段，本题属于基础题，与圆有关的问题涉及到角的问题如：圆周角、圆心角、弦切角、圆内接四边形的外角等，与圆有关的比例线段涉及到切割线定理及其推论等，选填题大多求线段长度或求角度居多.29. 【2015高考北京，理11】在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ+=的距离为 ．【答案】1【名师点睛】本题考查极坐标基础知识，要求学生使用互化公式熟练进行点的坐标转化及曲线方程的转化，然后利用点到直线距离公式求出距离，本题属于基础题，先把点的极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，最后求点到直线的距离. 30.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷13】设,,x y z R ∈，且满足：2221x y z ++=，23x y z ++=x y z ++= 。
三年高考：数学(理)真题分项版解析—— 专题16 选修部分
三年高考（2019-2019）数学（理）试题分项版解析第十六章 选修部分一、选择题1. 【2019，安徽理4】以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．14B ．142C ．2D ．22 【答案】D ．考点：1．极坐标方程、参数方程与平面直角方程之间的转化；2．圆中弦长的求解． 【名师点睛】对于极坐标与参数方程的问题，考生要把握好如何将极坐标方程转化成普通方程，抓住核心：222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，普通方程转化成极坐标方程，抓住核心：222,tan yx y xρθ+==.另外，求圆中弦长问题，只需要找出直角三角形（三边为半径、圆心到弦的距离、半弦）的勾股定理关系即可.2. 【2019高考北京理第3题】曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上【答案】B 【解析】试题分析：参数方程⎩⎨⎧+=+-=θθsin 2cos 1y x 所表示的曲线为圆心在)2,1(-，半径为1的圆，其对称中心为)2,1(-，逐个代入选项可知，点)2,1(-满足x y 2-=，故选B. 考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.名师点睛：本题考查参数方程，本题属于基础题，参数方程主要考查互化问题，本题是参数方程化为普通方程，利用平方关系消去参数化为普通方程，把参数方程化为普通方程需要注意的是变量的取值范围；另一种是把普通方程化为参数方程.3. 【2019湖北卷10】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）A.]61,61[-B.]66,66[-C. ]31,31[- D. ]33,33[- 【答案】B考点：函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等.【名师点睛】将含绝对值的函数、函数的奇偶性、分段函数和不等式等内容联系在一起，凸显了知识之间的联系性、综合性，体现了函数思想、转化与化归的数学思想在函数问题中的应用，能较好的考查学生的作图能力和综合能力.其解题的关键是正确地画出分段函数的图像并通过函数图像建立不等关系.二、填空题1.【2019高考安徽，理12】在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 . 【答案】6【考点定位】1.极坐标方程与普通方程的转化；2.圆上的点到直线的距离.【名师点睛】对于极坐标与参数方程的问题，考生要把握好如何将极坐标方程转化成普通方程，抓住核心：222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，普通方程转化成极坐标方程，抓住核心：222,tan yx y xρθ+==.圆上的点到直线的距离最大值或最小值，要考虑到圆的半径加上（或减去）圆心到直线的距离.2. 【2019高考广东卷.理.14】 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________. 【答案】()1,1.【解析】曲线1C 的极坐标方程为()2sin cos ρθρθ=，化为普通方程得2y x =，曲线2C 的普通方程为1y =，联立曲线1C 和2C 的方程得21y x y ⎧=⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，因此曲线1C 和2C 交点的直角坐标为()1,1.【考点定位】本题考查极坐标与参数方程的相互转化以及曲线的交点坐标求解，属于中等题. 【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程和两曲线的交点，属于中等题．解决此类问题的关键是极坐标方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化．3. 【2019高考广东卷.理.15】 (几何证明选讲选做题)如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF .图3FEDCBA【答案】9【解析】由于四边形ABCD 为平行四边形，则//AB CD ，因此CDF AEF ∆∆，由于2EB AE =，所以1133AE AB CD ==，因此3CD AE=，故2239CDF CD AEF AE ∆⎛⎫=== ⎪∆⎝⎭的面积的面积.【考点定位】本题考查相似三角形性质的应用，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是相似三角形的性质定理，属于中等题．解题时一定要抓住重要字眼“面积”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是相似三角形的性质定理，即相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于相似比的平方．4. 【2019年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ--=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.【答案】2 【解析】试题分析：分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为10x -=过圆22(1)1x y -+=圆心，因此2AB =，故填：2.考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式θρθρsin ,cos ==y x 即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x ＝θρθρsin ,cos ==y x 以及22y x +=ρ，)0(tan ≠=x xyθ，同时要掌握必要的技巧.5.【2019高考广东，理14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 .【答案】2． 【解析】依题直线l：2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以点A 与直线l 的距离为2d==，故应填入2．【考点定位】极坐标方程化为普通方程，极坐标化平面直角坐标，点到直线的距离，转化与化归思想．【名师点睛】本题主要考查正弦两角差公式，极坐标方程化为普通方程，极坐标化平面直角坐标，点到直线的距离，转化与化归思想的应用和运算求解能力，属于容易题，解答此题在于准确把极坐标问题转化为平面直角坐标问题，利用平面几何点到直线的公式求解．6. 【2019高考天津理数】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE=2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.考点：相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．7. 【2019高考广东，理15】（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .【答案】8．【解析】如下图所示，连接OC ，因为//OD BC ，又B C A C ⊥，所以OP AC ⊥，又O 为AB 线段的中点，所以1122OP BC ==，在R t O C D ∆中，122OC AB ==，由直角三角形的射影定理可得2OC OP OD =⋅即222812OC OD OP===，故应填入8．【考点定位】直线与圆的位置关系，直角三角形的射影定理．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，直角三角形的射影定理运用，属于中档题，解答平面几何问题关键在于认真审题分析图形中的线段关系，适当作出辅助线段，此题连接OC ，则容易得到Rt OCD ∆，并利用直角三角形的射影定理求得线段OD 的值．8. 【 2019湖南11】在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：，（α为参数）交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________. 【答案】()cos sin 1ρθθ-=【考点定位】极坐标 参数方程【名师点睛】本题主要考查了只需的极坐标方程，解决问题的关键是根据所给直线与圆几何关系求解得到直线方程，根据极坐标定义写出对应的极坐标方程即可，难度不大，属于基础题目.9. 【 2019湖南12】如图3，已知AB ，BC 是O 的两条弦，AO BC ⊥，AB =BC =O 的半径等于________.图 3【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,因为AO BC ⊥且AO 为圆半径,所以BD DC ==由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =,由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=,则直径332AE r =⇒=,故填32.E【考点定位】勾股定理 双割线定理【名师点睛】本题主要考查了平面几何选讲部分的勾股定理、双割线定理，解决问题的关键是根据所给几何关系运用勾股定理、双割线定理进行推理计算即可得到所求圆的半径.10. 【 2019湖南13】若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =________.【答案】3-【解析】因为等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,所以51,33-为方程23ax -=的根,即52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式 绝对值方程【名师点睛】本题主要考查了绝对值不等式，解决问题的关键是根据不等式的解集结合不等式对应的绝对值方程联立方程求解即可得到a 值，属于绝对值不等式部分的常考题目，属于基础题目.11. 【2019高考陕西版理第15题】（几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6=BC ，以BC为直径的半圆分别交AC AB ,于点F E ,，若AE AC 2=，则EF =_______.【答案】3 【解析】试题分析：由四边形BCFE 为圆内接四边形AEF C ⇒∠=∠，AFE B ∠=∠AEF ACB ⇒∆∆⇒12AE EF AC BC ==，又因为6BC =，所以3EF =，故答案为3. 考点：几何证明；三角形相似.【名师点晴】本题主要考查的是几何证明，属于容易题.此类问题一般都综合了有关圆的相关定理，同时又考察相似三角形有关定理，但难度一般都不大，解题注意整合已知条件，严密推理. 凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识．12. 【2019高考陕西版理第15题】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点)6,2(π到直线1)6sin(=-πθρ的距离是_______.【答案】1考点：极坐标方程；点到直线距离.【名师点晴】本题主要考查的是极坐标系与参数方程，属于容易题.此类问题一般主要是极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，解题时主要是熟记有关互化公式，有的题目会考察到其中参数实际的几何意义13. 【2019高考重庆理第14题】过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PBC分别交圆于B 、C ， 若6=PA ，AC =8，BC =9，则AB =________. 【答案】4 【解析】 试题分析：由切割线定理得：2PA PB PC =⋅,设PB x =，则||9PC x =+所以，()369,x x =+即29360x x +-=，解得：12x =-（舍去），或3x =又由是圆的切线，所以ACP BAP ∠=∠,所以ACP BAP ∆∆、||||||PA AB AC PC ∴=,所以86412AB ⨯== 所以答案应填：4.考点：1、切割线定理；2、三角形相似.【名师点睛】本题考查三角形外接圆直径的证明，相交弦定理，切割线定理，解题时要认真审题，注意圆的性质的灵活运用．14. 【2019高考重庆理第15题】已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2sin 4cos 00,02ρθθρθπ-=≥≤<，则直线l 与曲线C 的公共点的极径=ρ________.考点：参数方程与极坐标.【名师点睛】本题考查参数方程，及坐标方程的运用，两点间的距离公式，属于基础题，正确将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程是解决问题的关键．15. 【2019高考重庆，理14】如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA =6，AE =9，PC =3，CE :ED =2:1，则BE =_______.题（14）图【答案】2【解析】首先由切割线定理得2PA PC PD =⋅，因此26123PD ==，9CD PD PC =-=，又:2:1CE ED =，因此6,3CE ED ==，再相交弦定理有AE EB CE ED ⋅=⋅，所以6329CE ED BE AE ⋅⨯===. 【考点定位】相交弦定理，切割线定理.【名师点晴】平面几何问题主要涉及三角形全等，三角形相似，四点共圆，圆中的有关比例线段（相关定理）等知识，本题中有圆的切线，圆的割线，圆的相交弦，由圆的切割线定理和相交弦定理就可以得到题中有关线段的关系．16. 【2019高考重庆，理15】已知直线l 的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______. 【答案】(2,)π【解析】直线l 的普通方程为2y x =+，由2c o s24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.【名师点晴】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．17. 【2019高考重庆，理16】若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______.【答案】4a =或6a =-【考点定位】绝对值的性质，分段函数.【名师点晴】与绝对值有关的问题，我们可以根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把问题转化为不含绝对值的式子（函数、不等式等），本题中可利用绝对值定义把函数化为分段函数，再利用函数的单调性求得函数的最小值，令此最小值为5，求得a 的值．18.【2019高考北京理第9题】在极坐标系中，点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭到直线ρsin θ＝2的距离等于__________．【答案】1 【解析】试题分析：在极坐标系中，点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭对应直角坐标系中坐标为，1)，直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1. 考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化.【名师点睛】本题考查极坐标基础知识，要求学生使用互化公式熟练进行点的坐标转化及曲线方程的转化，然后利用点到直线距离公式求出距离，本题属于基础题，先把点的极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，最后求点到直线的距离.19.【2019高考北京，理11】在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ=的距离为 ．【答案】1【解析】先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程()cos 6ρθθ+=化为直角坐标方程60x +-=，利用点到直线距离公式1d ==.考点定位：本题考点为极坐标方程与直角坐标方程的互化及求点到直线距离，要求学生熟练使用极坐标与直角坐标互化公式进行点的坐标转化及曲线方程的转化，熟练使用三个距离公式，包括两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线的距离.【名师点睛】本题考查极坐标基础知识，要求学生使用互化公式熟练进行点的坐标转化及曲线方程的转化，然后利用点到直线距离公式求出距离，本题属于基础题，先把点的极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，最后求点到直线的距离.20. 【2019年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则=PB .【答案】4 【解析】试题分析：由切割线定理得4)31(12=+⨯=⋅=QD QC QA ，所以2=QA ，所以4==PA PB .考点：圆的切线长定理，切割线定理，容易题.几何证明选讲一般考查圆的性质等简单的知识，主要以填空题的形式出现，难度一般较小.【名师点睛】本题考查圆的切线长定理、切割线定理，夯实基础，注重基础知识的运用，其难度虽不大，但充分体现了数学学科知识间的内在联系，能较好的考查学生对基本知识的识记能力和灵活运用能力.其解题的关键是合理地运用切割线定理.21. 【2019年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷16】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为 . 【答案】)1,3( 【解析】试题分析：由⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx 消去t 得)0,0(322≥≥=y x y x ，由2=ρ得422=+y x ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+222234yx y x 得1C 与2C 的交点坐标为)1,3(. 考点：参数方程、极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题.极坐标方程、参数方程与直角坐标方程互化，主要以填空题的形式出现，难度一般较小.【名师点睛】以圆的极坐标方程和直线的参数方程为载体，重点考查了极坐标与直角坐标的转化、直线与圆的位置关系等内容，渗透着化归与转化的数学思想，能较好的考查学生基础知识的识记能力、综合运用能力.22. 【2019高考湖北，理15】（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=.【答案】21 【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线， 由切割线定理知，)(2BC PB PB PC PB PA +=⋅=，因为3BC PB =， 所以224PB PA =，即PB PA 2=， 由PAB ∆∽PCA ∆，所以21==PA PB AC AB . 【考点定位】圆的切线、割线，切割线定理，三角形相似.【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．23. 【2019高考湖北，理16】在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ,B 两点，则||AB = . 【答案】52【考点定位】极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，两点间的距离.【名师点睛】化参数方程为普通方程时，未注意到普通方程与参数方程的等价性而出错.24. 【2019上海,理7】已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 . 【答案】13【解析】令0θ=，则(3cos0sin 0)1ρ-=，13ρ=，所以所求距离为13. 【考点】极坐标.【名师点睛】设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角θ叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．25.【2019高考陕西版理第15题】（不等式选做题）设R n m b a ∈,,,，且5,522=+=+nb ma b a ，则22n m +的最小值为______.【解析】试题分析：由柯西不等式得：22222()()()a b m n ma nb ++≥+，所以2225()5m n +≥，得225m n +≥≥.考点：柯西不等式.【名师点晴】本题主要考查的是柯西不等式，属于容易题,解题时关键是充分利用已知条件225,5a b ma nb +=+=，结合柯西不等式可得22222()()()a b m n ma nb ++≥+，则问题可解三、解答题1.【2019江苏，理21A 】[选修4-1：几何证明选讲]如图，AB 是圆O 的直径，CD 是圆O 上位于AB 异侧的两点，证明OCB D ∠=∠【答案】见解析．【解析】由题意，D B ∠=∠，又∵OC OB =，∴OCB B ∠=∠，∴OCB D ∠=∠. 【考点定位】圆周角定理. 【名师点晴】(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2. 【2019江苏，理21B 】[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵1211,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,x y 是实数，若Aa Ba =，求x y +的值. 【答案】72． ABDCO【解析】由题意得22224y y xy y -+=+⎧⎨+=-⎩，解得124x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.∴72x y +=.【考点定位】矩阵的运算.【名师点晴】求特征值和特征向量的方法 (1)矩阵a b c d ⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦的特征值λ满足()0()()0abf a d bc cd λλλλλ--==⇒---=--，属于λ的特征向量x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足x x A y y λ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (2)求特征向量和特征值的步骤： ①解()0abfcdλλλ--==--得特征值；②解()0()0a x by cx d y λλ--=⎧⎨-+-=⎩，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．7. 【2019江苏，理21C 】[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l的参数方程1222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与抛物线24y x =相交于AB 两点，求线段AB 的长【答案】【解析】直线l 的普通方程为1(2)0x y -+-=，即3y x =-，与抛物线方程联立方程组解得111,2,x y =⎧⎨=⎩229,6x y =⎧⎨=-⎩，∴AB ==. 【考点定位】直线的参数方程.【名师点晴】1.运用互化公式：222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．3. 【2019江苏，理21D 】[选修4-5：不等式选讲]已知0,0x y >>，证明22(1)(1)9x y x y xy ++++≥ 【答案】见解析．【解析】∵0,0x y >>，∴21x y ++≥21x y ++≥∴22(1)(1)9x y x y xy ++++≥=. 【考点定位】算术平均值－几何平均不等式． 【名师点晴】两个常用基本不等式(1)柯西不等式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(2)平均值不等式：如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n时，等号成立．4. 【2019江苏，理23】已知函数0sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n N ∈ （1）求122()()222f f πππ+的值；（2）证明：对任意*n N ∈，等式1()()4442n n nf f πππ-+=都成立. 【答案】(1)1-；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知102sin cos sin ()'()()'x x x f x f x x x x===-， 21223cos sin sin 2cos 2sin ()'()()'x x x x xf x f x x x x x x==-=--+， 所以124()2f ππ=-，23216()2f πππ=-+，故122()()222f f πππ+1=-.（2）由（1）得01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，两边求导可得122()()cos()sin sin()2f x xf x x x x ππ+=+=-=+，类似可得2333()()sin()2f x xf x x π+=+， 下面我们用数学归纳法证明1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对一切*n N ∈都成立，【考点定位】复合函数的导数，数学归纳法.【名师点晴】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： ①归纳奠基：证明当取第一个自然数0n 时命题成立；②归纳递推：假设n k =，(k N *∈，0k n ≥)时，命题成立，证明当1n k =+时，命题成立； ③由①②得出结论．5. 【2019江苏高考，21】A （选修4—1：几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆【答案】详见解析 【解析】试题分析：利用等弦对等角，同弧对等角，得到ABD E ∠=∠,又公共角BAE ∠，所以两三角形相似试题解析：因为C AB =A ，所以D C ∠AB =∠． 又因为C ∠=∠E ，所以D ∠AB =∠E ， 又∠BAE 为公共角，可知D ∆AB ∽∆AEB ． 【考点定位】相似三角形【名师点晴】1.判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”． 2.借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边． B （选修4—2：矩阵与变换）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.【答案】1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦,另一个特征值为1． 【解析】试题分析：由矩阵特征值与特征向量可列出关于x,y 的方程组，再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值A（第21——A 题）试题解析：由已知，得2ααA =-，即1112012x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则122x y -=-⎧⎨=⎩，即12x y =-⎧⎨=⎩，所以矩阵1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦． 从而矩阵A 的特征多项式()()()21fλλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．【考点定位】矩阵运算，特征值与特征向量 【名师点晴】求特征值和特征向量的方法 (1)矩阵a b c d ⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦的特征值λ满足()0()()0abf a d bc cd λλλλλ--==⇒---=--，属于λ的特征向量x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足x x A y y λ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (2)求特征向量和特征值的步骤： ①解()0abfcdλλλ--==--得特征值；②解()0()0a x by cx d y λλ--=⎧⎨-+-=⎩，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．C （选修4—4：坐标系与参数方程）已知圆C 的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.【解析】试题分析：先根据222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将圆C 的极坐标方程化成直角坐标方程，再根据圆的标准方程得到其半径.试题解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系x y O ．圆C 的极坐标方程为240ρθθ⎫+-=⎪⎪⎝⎭，化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=．则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=，即()()22116x y -++=，所以圆C ． 【考点定位】圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化【名师点晴】1.运用互化公式：222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行． D （选修4—5：不等式选讲） 解不等式|23|3x x ++≥【答案】153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或【考点定位】含绝对值不等式的解法【名师点晴】①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．6. 【2019高考陕西，理22】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C B =O 的直径．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3． 【解析】故D D 3E =AE -A =，即圆O 的直径为3.考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理.【名师点晴】本题主要考查的是直径所对的圆周角、弦切角定理和切割线定理，属于容易题．解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误．凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识．7. 【2019高考陕西，理23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．【答案】（I ）(223x y +-=；（II ）()3,0．【解析】试题分析：（I ）先将ρθ=两边同乘以ρ可得2s i nρθ=，再利用222x y ρ=+，sin x ρθ=可得C 的直角坐标方程；（II ）先设P 的坐标，则C P =，再利用二次函数的性质可得C P 的最小值，进而可得P 的直角坐标．试题解析：（I ）由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22+x y =，所以(22+3x y -=.(II)设1(32P +，又，则|PC |== 故当0t =时，C P 取最小值，此时P 点的直角坐标为()3,0.考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质. 【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程、参数的几何意义和二次函数的性质，属于容易题．解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化．8. 【2019高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． （I ）求实数a ，b 的值；（II + 【答案】（I ）3a =-，1b =；（II ）4． 【解析】试题分析：（I ）先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<可得a ，b 的值；（II ，试题解析：（I ）由||x a b +<，得b a x b a --<<-。
高三数学(理科)综合选做题22-23试题
[选修4-4：坐标系与参数方程]1.已知过点(),0P m 的直线l 的参数方程是3212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于点,A B ，且1PA PB =，求实数m 的值.2.在直角坐标系xOy 中，直线l 1的方程为y=x ，曲线C 的参数方程为（φ是参数，0≤φ≤π）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别写出直线l 1与曲线C 的极坐标方程；（2）若直线=0，直线l 1与曲线C 的交点为A ，直线l 1与l 2的交点为B ，求|AB|．3.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cos1sinx ty tαα=+⎧⎨=+⎩（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系.曲线C1：p=1. （1）若直线l与曲线C1相交于点A，B，点M(1,1)，证明：MA MB⋅为定值；（2）将曲线C1上的任意点(x，y)作伸缩变换3x xy y⎧'=⎪⎨'=⎪⎩后，得到曲线C2上的点(x′，y′)，求曲线C2的内接矩形ABCD周长的最大值.4.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的普通方程为x2+y2﹣2y=0，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设M（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）为直线l上一动点，MA切圆C于点A，求|MA|的最小值，及此时点M的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]5.已知函数()()2,1f x x g x x x =-=+-.（1）解不等式()()f x g x >； （2）若存在实数x ，使不等式()()()R m g x f x x m -≥+∈能成立，求实数m 的最小值.6.已知函数f （x ）=|x ﹣|﹣|2x+1|．（Ⅰ）求f （x ）的值域；（Ⅱ）若f （x ）的最大值时a ，已知x ，y ，z 均为正实数，且x+y+z=a ，求证： ++≥1．7.（2016秋•玉林校级月考）已知函数f （x ）=|x|+|2x ﹣3|，g （x ）=3x 2﹣2（m+1）x+； （1）求不等式f （x ）≤6的解集；（2）若对任意的x ∈[﹣1，1]，g （x ）≥f （x ），求m 的取值范围．8.已知函数f （x ）=|x+1|+|x ﹣1|．（1）若∃x 0∈R ，使得不等式f （x 0）≤m 成立，求实数m 的最小值M ；（2）在（1）的条件下，若正数a ，b 满足3a+b=m ，求ba 1a 21++的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]答案1.（Ⅰ）消去参数t 可得3x y m =+，由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，可得C 的直角坐标方程；（Ⅱ）把3212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入222x y x +=，根据参数的几何意义，结合韦达定理得结果. 解答：（Ⅰ）直线L 的参数方程是3212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），消去参数t 可得3x y m =+.由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，可得C 的直角坐标方程：222x y x +=. （Ⅱ）把3212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入222x y x +=，得()223320t m t m m +-+-=. 由0∆>，解得13m -<<，2122t t m m =-∴，121PA PB t t ==，221m m -=±∴，解得12m =±或1.又满足0∆>，∴实数12m =±或1.2.【解答】解：（1）直线l 1的方程为y=x ，可得：tanθ==， ∴直线l 1的极坐标方程为．曲线C 的普通方程为（x ﹣1）2+y 2=3，又∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ﹣2ρcosθ﹣2=0（0≤θ≤π）（2）由题意，设A （ρ1，θ1），则有，解得：设B （ρ2，θ2），则有，解得： 故得|AB|=|ρ1﹣ρ2|=5．3.解：（1）曲线1C ：221x y +=.221cos 1sin 1x t y t x y αα⎧=+⎪=+⎨⎪+=⎩()22cos sin 10t t αα⇒+++=，121MA MB t t ⋅==.（2）伸缩变换后得2C ：2213x y +=.其参数方程为：3sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩.不妨设点()m,A n 在第一象限，由对称性知：周长为()()443cos sin m n θθ+=+ 8sin 83πθ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，（6πθ=时取等号）周长最大为8. 4.解：（1）∵直线l 的参数方程为（t 为参数），∴消去参数t ，得直线l 的普通方程为：2x+y+4=0，∴直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+4=0．（2）圆C 的普通方程为x 2+y 2﹣2y=0，圆心C （0，1），半径r=1，M （ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）为直线l 上一动点，MA 切圆C 于点A ，∵圆心C （0，1）到直线l 的距离d==，∴|MA|的最小值|MA|min ===2， 此时，直线OM 的方程为：y=，联立，得x=﹣2，y=0，∴M （﹣2，0）， ∴=2，θ=π，∴点M 的极坐标为M （2，π）．[选修4-5：不等式选讲]答案5.解答：（1）由题意不等式()()f x g x >可化为21|x x x -++，当1x <-时，()()21x x x --+>-+， 解得3x >-，即31x -<<-；当12x -≤≤时，()21x x x --+>+，解得1x <，即11x -≤<；当2x >时，21x x x -+>+，解得3x >，即3x >，综上所述，不等式()()f x g x >的解集为{|31x x -<<或3}x >.（2）由不等式()()()R m g x f x x m -≥+∈可得()min 21,21m x x m x ≥-++∴≥-++，()21213,3x x x x m -++≥--+=∴≥，故实数m 的最小值是3.6.【解答】（Ⅰ）解：函数f （x ）=|x ﹣|﹣|2x+1|=，函数的图象如图所示，则函数的值域为（﹣∞，1]；（Ⅱ）证明：由题意x ，y ，z 均为正实数，x+y+z=1，由柯西不等式可得（x+y+z ）（++）≥（y+z+z ）2=1， ∴++≥1．7.解：（1）原不等式等价于或或，解得或或﹣1≤x＜0．即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）①当x=0时，易知成立：当0＜x≤1时，，即在0≤x≤1时恒成立．因为0≤x≤1，所以当且仅当时，取到最小值3，故3≥2m+1，即m≤1．②当﹣1≤x＜0时，即在﹣1≤x＜0时恒成立；因为﹣1≤x＜0，所以当且仅当时取到最小值3，故3≥﹣2m+1，即m≥﹣1，综上可知，m的取值范围为[﹣1，1]．8.解：（1）由题意，不等式|x+1|+|x﹣1|≤m有解，即m≥（|x+1|+|x﹣1|）min=M．∵|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|=2，当且仅当（x+1）（x﹣1）≤0⇒﹣1≤x≤1时取等号，∴M=2．（2）由（1）得3a+b=2，∴=，当且仅当时取等号，故．。
2023年全国甲卷理科高考数学试卷附详解
2023年全国甲卷理科高考数学真题试卷广西、贵州、四川、云南、西藏适用. 一、选择题.1. 设集合{31,},{32,}A x x k k Z B x x k k Z ==+∈==+∈∣∣,U 为整数集,则)(B A C U （ ） A. {|3,}x x k k =∈Z B. {31,}x x k k Z =-∈∣ C. {32,}x x k k Z =-∈∣D. ∅2. 若复数()()i 1i 2,R a a a +-=∈,则=a （ ） A. -1B. 0C. 1D. 23. 执行下面的程序框遇,输出的B =（ ）A.21B. 34C. 55D. 894. 向量1,2a b c ===,且0a b c ++=,则cos ,a c b c 〈--〉=（ ）A. 15-B. 25-C.25D.455. 已知正项等比数列{}n a 中,11,n a S =为{}n a 前n 项和,5354S S =-,则4S =（ ） A. 7B. 9C. 15D. 306. 有50人报名足球俱乐部,60人报名乒乓球俱乐部,70人报名足球或乒乓球俱乐部,若已知某人报足球俱乐部,则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ） A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. 0.17. 22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=的（ ）A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件8. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>其中一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ,B两点,则||AB =（ ）A.15B.C.D.9. 有五名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天两天,每天从中任选两人参加服务,则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ） A. 120B. 60C. 40D. 3010. 已知()f x 为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数,则() y f x =与1122y x =-的交点个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 411. 在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,4,3,45AB PC PD PCA ===∠=︒,则PBC ∆的面积为（ ）A.B.C.D. 12. 己知椭圆22196x y +=,12,F F 为两个焦点,O 为原点,P 为椭圆上一点,123cos 5F PF ∠=,则||PO =（ ） A.25B.C.35D.二、填空题.13. 若2π(1)sin 2y x ax x ⎛⎫=-+++⎪⎝⎭为偶函数,则=a ________． 14. 设x ,y 满足约束条件2333231x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩,设32z x y =+,则z 的最大值为____________．15. 在正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为CD ,11A B 的中点,则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．16. 在ABC ∆中,2AB =,60,BAC BC ∠=︒=,D 为BC 上一点,AD 为BAC ∠的平分线,则AD =_________．三、解答题.17. 已知数列{}n a 中,21a =,设n S 为{}n a 前n 项和,2n n S na =． （1）求{}n a 的通项公式;（2）求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18. 在三棱柱111ABCA B C 中,12AA =,1A C ⊥底面ABC ,90ACB ∠=︒,1A 到平面11BCC B 的距离为1．（1）求证：1AC A C =;（2）若直线1AA 与1BB 距离为2,求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用,将40只小鼠均分为两组,分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X ,求X 的分布列和数学期望; （2）测得40只小鼠体重如下（单位：g ）：（已按从小到大排好） 对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.426.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.214.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0（i ）求40只小鼠体重的中位数m ,并完成下面2×2列联表：（ii ）根据2×2列联表,能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．参考数据：20. 已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点,且||AB = （1）求p ;（2）设C 的焦点为F ,M ,N 为C 上两点,0MF NF ⋅=,求MNF ∆面积的最小值． 21. 已知3sin π(),0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭（1）若8=a ,讨论()f x 的单调性;（2）若()sin 2f x x <恒成立,求a 的取值范围．四、选做题.22. 已知(2,1)P ,直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,α为l 的倾斜角,l 与x 轴,y 轴正半轴交于A ,B 两点,||||4PA PB ⋅=．（1）求α的值;（2）以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求l 的极坐标方程． 23. 已知()2,0f x x a a a =-->． （1）求不等式()f x x <的解集;（2）若曲线()y f x =与坐标轴所围成的图形的面积为2,求a ．2023年全国甲卷理科高考数学真题解析一、选择题.1. A解:因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ,U Z =.所以)(B A C U ={|3,}x x k k =∈Z ． 故选：A ． 2. C解:因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a+-=-++=+-=所以22210a a =⎧⎨-=⎩,解得：1a =. 故选：C. 3. B解：当1n =时,判断框条件满足,第一次执行循环体123A =+=,325B =+=,112n =+=;当2n =时,判断框条件满足,第二次执行循环体358A =+=,8513B =+=,213n =+=;当3n =时,判断框条件满足,第三次执行循环体81321A =+=,211334B =+=,314n =+=;当4n =时,判断框条件不满足,跳出循环体,输出34B =． 故选：B. 4. D解:因为0a b c ++=,所以→→→-=+c b a即2222a b a b c ++⋅=,即2211=⋅++→→b a ,所以0a b ⋅=. 如图,设,,OA a OB b OC c ===由题知,1,OA OB OC OAB ===是等腰直角三角形AB 边上的高,22OD AD ==所以22CD CO OD =+==1tan ,cos3AD ACD ACD CD ∠==∠= 2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-24215=⨯-=. 故选:D. 5.C解:由题知()23421514q q q q q q++++=++-即34244q q q q +=+,即32440q q q +--=,即(2)(1)(2)0q q q -++=.由题知0q >,所以2q .所以4124815S =+++=. 故选:C. 6. A解：报名两个俱乐部的人数为50607040+-=记“某人报足球俱乐部”为事件A ,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B 则505404(),()707707P A P AB ====所以4()7()0.85()7P AB P BA P A ===∣. 故选:A . 7.B解:当22sin sin 1αβ+=时,例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠ 即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=;当sin cos 0αβ+=时,2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知,22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件. 故选：B. 8. D解:由e =则222222215c a b b a a a+==+=解得2ba= 所以双曲线的一条渐近线不妨取2y x =则圆心(2,3)到渐近线的距离d ==所以弦长||5AB ===. 故选：D. 9. B解:不妨记五名志愿者为,,,,a b c d e假设a 连续参加了两天社区服务,再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务,共有24A 12=种方法.同理：,,,b c d e 连续参加了两天社区服务,也各有12种方法. 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有51260⨯=种. 故选：B.10. C解:因为πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以()sin 2f x x =-而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点.作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==,即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系当3π4x =-时,3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭; 当3π4x =时,3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,13π13π412428y -=⨯-=<;当7π4x =时,7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,17π17π412428y -=⨯-=>;所以由图可知,()f x 与1122y x =-的交点个数为3. 故选：C. 11. C解:连结,AC BD 交于O ,连结PO ,则O 为,AC BD 的中点,如图因为底面ABCD 为正方形,4AB =,所以AC BD ==则DO CO == 又3PC PD ==,PO OP =,所以PCO PDO ∆≅∆,则PDO PCO ∠=∠又3PC PD ==,AC BD ==所以PDB PCA ≅,则PA PB =在PAC △中,3,45PC AC PCA ==∠=︒则由余弦定理可得2222cos 32923172PA AC PC AC PC PCA =+-⋅∠=+-⨯⨯=故PA =则PB故在PBC ∆中,43,P PB C C B ===所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +-+-∠===⋅⨯⨯又0πPCB <∠<,所以sin 3PCB ∠==所以PBC 的面积为11sin 34223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯= 故选：C. 12. B解:设12π2,02F PF θθ∠=<<,所以122212tantan 2PF F F PF S b b θ∠== 由22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos +sin 1tan 5F PF θθθθθθθ--∠====+,解得：1tan 2θ= 由椭圆方程可知,222229,6,3a b c a b ===-=所以,12121116222PF F p p SF F y y =⨯⨯=⨯=⨯,解得：23p y =即2399162p x ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭,因此2OP ===． 故选：B ．二、填空题.13. 2解:因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数,定义域为R ,所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭ 则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝,故2a =.此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-== 又定义域为R ,故()f x 为偶函数. 所以2a =. 故答案为：2. 14. 15解:作出可行域,如图由图可知,当目标函数322zy x =-+过点A 时,z 有最大值.由233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩,即(3,3)A所以max 332315z =⨯+⨯=. 故答案为：15. 15. 12解:不妨设正方体棱长为2,EF 中点为O ,取AB ,1BB 中点,G M ,侧面11BB C C 的中心为N ,连接,,,,FG EG OM ON MN ,如图由题意可知,O 为球心,在正方体中,EF ==即R =.则球心O 到1BB的距离为OM == 所以球O 与棱1BB 相切,球面与棱1BB 只有1个交点.同理,根据正方体的对称性知,其余各棱和球面也只有1个交点. 所以以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12. 故答案为：12. 16. 2 解:如图所示：记,,AB c AC b BC a ===方法一：由余弦定理可得,22222cos606b b +-⨯⨯⨯= 因为0b >,解得：1b =由ABCABDACDSSS=+可得1112sin 602sin 30sin 30222b ADAD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ 解得：1212AD+===+． 故答案为：2．三、解答题.17. 1）1n a n =-（2）()1222nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【小问1详解】 因为2n n S na =当1n =时,112a a =,即10a =; 当3n =时,()33213a a +=,即32a =当2n ≥时,()1121n n S n a --=-,所以()()11221n n n n n S S a na n a ---==-- 化简得：()()121n n n a n a --=-,当3n ≥时,131122n n a aa n n -====--,即1n a n =- 当1,2,3n =时都满足上式,所以()*1N n a n n =-∈．【小问2详解】因为122n n n a n +=,所以12311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2311111112(1)22222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得123111111111222222111222211n n nn n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+-⎝=-⎭⨯-⨯ 11122nn ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即()1222nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,*N n ∈．18. （1）证明见解析 （2）13【小问1详解】 如图1A C ⊥底面ABC ,BC ⊂面ABC1AC BC ∴⊥,又BC AC ⊥,1,AC AC ⊂平面11ACC A ,1AC AC C ⋂= BC ∴⊥平面ACC 1A 1,又BC ⊂平面11BCC B∴平面11ACC A ⊥平面11BCC B过1A 作11A O CC ⊥交1CC 于O ,又平面11ACC A 平面111BCC B CC =,1AO ⊂平面11ACC A 1A O ∴⊥平面11BCC B1A 到平面11BCC B 的距离为1,11∴=AO 在11Rt ACC △中,111112,ACAC CC AA ⊥== 设CO x =,则12C O x =-11111,,AOC AOC ACC △△△为直角三角形,且12CC =22211CO A O A C +=,2221111A O OC C A +=,2221111AC AC C C += 2211(2)4x x ∴+++-=,解得1x =.111AC AC AC ∴===1AC A C ∴=.【小问2详解】111,,AC AC BC AC BC AC =⊥⊥ 1Rt Rt ACB ACB ∴△≌△ 1BA BA ∴=过B 作1BD AA ⊥,交1AA 于D ,则D 为1AA 中点由直线1AA 与1BB 距离为2,所以2BD =11A D =,2BD =,1A B AB ∴=在Rt ABC △,BC ∴==延长AC ,使AC CM =,连接1C M由1111,CM AC CM AC =∥知四边形11ACMC 为平行四边形11C M AC ∴∥,1C M ∴⊥平面ABC ,又AM ⊂平面ABC 1C M AM ∴⊥则在1Rt AC M △中,112,AM AC C M AC ==,1AC ∴=在11Rt AB C △中,1AC =,11BC BC ==1AB ∴==又A 到平面11BCC B 距离也为1所以1AB 与平面11BCC B=. 19. （1）分布列见解析,()1E X = （2）（i ）23.4m =;列联表见解析,（ii ）能 【小问1详解】依题意,X 的可能取值为0,1,2则022020240C C 19(0)C 78P X ===,120224010C C 20(1)C 39P X ===,202020240C C 19(2)C 78P X === 所以X 的分布列为：故192019()0121783978E X =⨯+⨯+⨯=. 【小问2详解】（i ）依题意,可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起,从小到大排后第20位与第21位数据的平均数由于原数据已经排好,所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可.可得第11位数据为14.4,后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,故第20位为23.2,第21位数据为23.6 所以23.223.623.42m +==故列联表为：（ii ）由（i ）可得,240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用. 20. （1）2p =（2）12-【小问1详解】 设()(),,,A A B B A x y B x y由22102x y y px-+=⎧⎨=⎩可得,2420y py p -+=,所以4,2A B A B y y p y y p +== 所以A B AB y y ==-==即2260p p --=,因为0p >,解得：2p =．【小问2详解】因为()1,0F ,显然直线MN 的斜率不可能为零 设直线MN ：x my n =+,()()1122,,,M x y N x y由24y x x my n⎧=⎨=+⎩可得,2440y my n --=,所以,12124,4y y m y y n +==- 22161600m n m n ∆=+>⇒+>因为0MF NF ⋅=,所以()()1212110x x y y --+= 即()()1212110my n my n y y +-+-+=亦即()()()()2212121110m y y m n y y n ++-++-=将12124,4y y m y y n +==-代入得22461m n n =-+,()()22410m n n +=->所以1n ≠,且2610n n -+≥,解得3n ≥+3n ≤- 设点F 到直线MN 的距离为d ,所以d =12MN y y ==-=1==-所以MNF的面积()2111122S MN d n =⨯⨯=-=- 而3n ≥+3n ≤-所以当3n =-,MNF的面积(2min 212S =-=-21.（1）答案见解析 （2）(,3]-∞ 【小问1详解】326cos cos 3sin cos sin ()cos x x x x xf x a x'+=- 22244cos 3sin 32cos cos cos x x xa a x x+-=-=- 令2cos x t =,则(0,1)t ∈则2223223()()t at t f x g t a t t '-+-==-=当222823(21)(43)8,()()t t t t a f x g t t t'+--+==== 当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即ππ,,()042x f x '⎛⎫∈< ⎪⎝⎭. 当1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭,即π0,,()04x f x '⎛⎫∈> ⎪⎝⎭. 所以()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 【小问2详解】 设()()sin 2g x f x x =-()22222323()()2cos 2()22cos 12(21)24at t g x f x x g t x t a t t t t''+-=-=--=--=+-+-设223()24t a t t tϕ=+-+-322333264262(1)(22+3)()40t t t t t t t t t tϕ'--+-+=--+==-> 所以()(1)3t a ϕϕ<=-.1︒若(,3]a ∈-∞,()()30g x t a ϕ'=<-≤即()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,所以()(0)0g x g <=. 所以当(,3],()sin 2a f x x ∈-∞<,符合题意.2︒若(3,)a ∈+∞当22231110,333t t t t ⎛⎫→-=--+→-∞ ⎪⎝⎭,所以()t ϕ→-∞. (1)30a ϕ=->.所以0(0,1)t ∃∈,使得()00t ϕ=,即00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()00g x '=.当()0,1,()0t t t ϕ∈>,即当()00,,()0,()x x g x g x '∈>单调递增.所以当()00,,()(0)0x x g x g ∈>=,不合题意. 综上,a 的取值范围为(,3]-∞.四、选做题.22. （1）3π4（2）cos sin 30ραρα+-= 【小问1详解】因为l 与x 轴,y 轴正半轴交于,A B 两点,所以ππ2α<< 令0x =,12cos t α=-,令0y =,21sin t α=- 所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====,所以sin 21α=±即π2π2k α=+,解得π1π,42k k α=+∈Z 因为ππ2α<<,所以3π4α=．【小问2详解】由（1）可知,直线l 的斜率为tan 1α=-,且过点()2,1 所以直线l 的普通方程为：()12y x -=--,即30x y +-=由cos ,sin x y ραρα==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ραρα+-=．23. （1）,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭（2）3【小问1详解】若x a ≤,则()22f x a x a x =--< 即3x a >,解得3a x >,即3ax a <≤. 若x a >,则()22f x x a a x =--< 解得3x a <,即3a x a <<综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【小问2详解】2,()23,x a x af x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩.画出()f x 的草图,则()f x 与坐标轴围成ADO △与ABCABC ∆的高为3,(0,),,0,,022a a a D a A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以||=AB a所以21132224OAD ABCSSOA a AB a a +=⋅+⋅==,解得a =.。
高三数学选做题 试题
•第 13 题图O CD BA两四校2021届高三第三次联考数学理科试卷本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
选做题：以下三小题请选做其中两题，假设三小题都做的，只计前两小题得分。
1、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝720，⊙O 过A 、B 两点且 与BC 相切于点B ，与AC 交于点D ，连结BD ，假设BC ＝15-，那么AC ＝ 。
2; 由得 BD AD BC == ,2()BC CD AC AC BC AC =⋅=- , 解得 2AC =2、极坐标方程3sin42=θ 化为直角坐标方程是 ,它表示的图形是 _ _y =;两条直线；由24sin 3θ= ,得2224sin 3ρθρ= ,22243()y x y =+ ,223y x = ,y =;两条直线3、设x ，y 均为正实数，且312121=+++y x ，那么xy 的最小值为 16； 由312121=+++y x 可化为xy =8+x+y, x ，y 均为正实数 ∴ xy =8+x+y xy 28+≥〔当且仅当x=y 等号成立〕即xy-2xy -80≥可解得xy 4≥,即xy ≥16故xy 的最小值为16。
选做题：考生请注意：以下三个小题为选做题，在以下给出的三道题中选择其中两道答题，三题都选只计算前两题得分．30oy=kx-2yxo 13．如图， AC 为⊙O 的直径，BD⊥AC 于P ，PC=2,PA=8那么CD 的长为 、cos∠ACB= .(用数字表示) 14．,,26x y R x y +∈+=，那么2V x y =的最大值为 ． 15．点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩〔θ为参数〕上，那么yx的取值范围为 ．13. 由射影定理得2210CD CP CA =⋅=⨯,25CD ∴=cos∠ACB=sin∠A＝sin∠D=25525CP CD ==. 14. 32()83x y V xxy +=≤=，当且仅当x y =时“＝〞成立，max 8V ∴= 15．曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩〔θ为参数〕是以(2,0)-为圆心，以1为半径的圆，设yk x =，求yx的取值范围，即求当直线y kx =与圆有公一共点时k 的 取值范围，如图结合圆的几何性质可得3333k -≤≤。
2024届全国高考(统考版)理科数学复习历年好题专项(导数与函数的极值、最值)练习(附答案)
2024届全国高考（统考版）理科数学复习历年好题专项（导数与函数的极值、最值）练习命题范围：函数的极值最值及导数的应用．[基础强化]一、选择题1．函数f(x)＝12x2－ln x的最小值为()A．12B．1 C．0D．不存在2．函数f(x)＝13x3－4x＋4的极大值为()A．283B．6C．263D．73．[2021ꞏ全国乙卷]设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则()A.a＜b B．a＞bC．ab＜a2D．ab＞a24．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于()A．11或18 B．11C．18 D．17或185．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是()A.(－1，2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3，6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)6．[2022ꞏ全国甲卷(理)，6]当x ＝1时，函数f (x )＝a ln x ＋bx 取得最大值－2，则f ′(2)＝( ) A ．－1 B ．－12 C ．12 D ．17．若e x ≥k ＋x 在R 上恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．[－1，＋∞)8．[2023ꞏ江西鹰潭二模]已知函数f (x )＝13 x 3＋12 ax 2＋2bx ＋c 的极大值点x 1∈(0，1)，极小值点x 2∈(1，2)，则b －3a ＋2的取值范围是( ) A ．(－13 ，0)∪(0，12 ) B ．(－∞，－3)∪(2，＋∞) C.(－3，2) D ．(－13 ，12 )9．[2023ꞏ陕西省西安中学二模] 已知函数f (x )＝13 x 3＋12 ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程f 2(x )＋af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题10．[2023ꞏ天津河西二模]若函数f (x )＝x 3＋ax 2－x －9在x ＝－1处取得极值，则f (2)＝________．11．[2023ꞏ湖南常德一模]设函数f (x )＝x (x ＋1)ꞏ(x －2m )的两个极值点为x 1，x 2，若f (x 1)＋f (x 2)＞0，则实数m 的取值范围是________．12．[2023ꞏ广东茂名二模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x eln x ，x ＞1x 3－3x ＋a ，x ≤1 ，若存在实数t 使得函数y＝[f (x )]2－(t ＋2)f (x )＋2t 有7个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．[能力提升]13．[2023ꞏ江西省临川第一中学模拟]已知f (x )＝12 x 2－2ax ，g (x )＝3a 2ln x －b ，其中a ＞0.设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点的切线相同，则实数b 的最小值为( )A ．13e B ．3e C ．－6e 2 D ．－16e 214．[2023ꞏ江西省南昌市模拟]已知函数f (x )＝ln x －ax (x ≥1)，若f (x 1)＝f (x 2)＝m (x 1＜x 2)，且x 2－x 1＝1，则实数a 的最大值为( )A. 2 B ．12 C ．ln 2 D ．e15．[2023ꞏ河南省六市三模] 若不等式|x －a |－2ln x ≥0恒成立，则a 的取值范围是________．16．[2022ꞏ全国乙卷(理)，16] 已知x ＝x 1和x ＝x 2分别是函数f (x )＝2a x －e x 2(a >0且a ≠1)的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是________．参考答案1．A f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0得0<x <1，∴f (x )在x ＝1处取得极小值，又f (x )为单峰函数，∴f (x )min ＝f (1)＝12 .2．A f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)，f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，∴f (x )极大值＝f (－2)＝283 .3．D 通解(分类与整合法) 因为函数f (x )＝a (x －a )2 ꞏ(x －b )，所以f ′(x )＝2a (x －a )(x －b )＋a (x －a )2＝a (x －a )ꞏ(3x －a －2b ).令f ′(x )＝0，结合a ≠0可得x ＝a 或x ＝a ＋2b3 .(1)当a >0时，①若a ＋2b 3 >a ，即b >a ，此时易知函数f (x )在(－∞，a )上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a ，a ＋2b 3 上单调递减，所以x ＝a 为函数f (x )的极大值点，满足题意；②若a ＋2b3 ＝a ，即b ＝a ，此时函数f (x )＝a (x －a )3在R 上单调递增，无极值点，不满足题意；③若a ＋2b 3 <a ，即b <a ，此时易知函数f (x )在⎝⎛⎭⎫a ＋2b 3，a上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以x ＝a 为函数f (x )的极小值点，不满足题意．(2)当a <0时，①若a ＋2b 3 >a ，即b >a ，此时易知函数f (x )在(－∞，a )上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a ，a ＋2b 3 上单调递增，所以x ＝a 为函数f (x )的极小值点，不满足题意；②若a ＋2b3 ＝a ，即b ＝a ，此时函数f (x )＝a (x －a )3在R 上单调递减，无极值点，不满足题意；③若a ＋2b 3 <a ，即b <a ，此时易知函数f (x )在⎝⎛⎭⎫a ＋2b 3，a上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，所以x ＝a 为函数f (x )的极大值点，满足题意．综上，a >0且b >a 满足题意，a <0且b <a 也满足题意．据此，可知必有ab >a 2成立． 故选D.优解(特值排除法) 当a ＝1，b ＝2时，函数f (x )＝(x －1)2ꞏ(x －2)，画出该函数的图像如图1所示，可知x ＝1为函数f (x )的极大值点，满足题意．从而，根据a ＝1，b ＝2可判断选项B ，C 错误．当a ＝－1，b ＝－2时，函数f (x )＝－(x ＋1)2(x ＋2)，画出该函数的图像如图2所示，可知x ＝－1为函数f (x )的极大值点，满足题意．从而，根据a ＝－1，b ＝－2可判断选项A 错误．综上，选D.光速解(数形结合法) 当a >0时，根据题意画出函数f (x )的大致图像，如图3所示，观察可知b >a .当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图像，如图4所示，观察可知a >b .综上，可知必有ab >a 2成立．故选D. 4．C f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3－2a ，a 2－a －12＝0， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11， 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3 时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0， ∴在x ＝1处不存在极值．当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11 时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫－113，1 ，f ′(x )<0；x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0，符合题意．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11. ∴f (2)＝8＋16－22＋16＝18.5．B ∵函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，且f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6，由题意得方程3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不同的实数解，∴Δ＝4m 2－12(m ＋6)>0，解得m <－3或m >6，∴实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞).故选B.6．B 由题意，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －b x 2 ＝ax －b x 2 .又当x ＝1时，f (x )取得最大值－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，f ′（1）＝0，f （1）＝－2， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a －b ＝0，b ＝－2， 所以a ＝b ＝－2，则f ′(x )＝－2x ＋2x 2 ，所以f ′(2)＝－2×2＋222＝－12 .故选B. 7．A 由e x ≥k ＋x 恒成立，∴k ≤(e x －x )min ，设f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1，由f ′(x )>0，得x >0，由f ′(x )<0，得x <0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (0)＝1，∴k ≤1.8．B ∵f ′(x )＝x 2＋ax ＋2b ，又因为当x 1∈(0，1)时取得极大值，当x 2∈(1，2)时取得极小值，可得x 1、x 2是方程f ′(x )＝0的两个根，根据一元二次方程根的分布可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）＞0f ′（1）＜0f ′（2）＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧2b ＞01＋a ＋2b ＜04＋2a ＋2b ＞0 ，作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(不包括边界)，可求出边界交点坐标分别为A (－2，0) 、B (－1，0)、C (－3，1)，b －3a ＋2 表示平面区域内的点(a ，b )与点M (－2，3)连线的斜率，由图可知k MB ＝3－0－2－（－1）＝－3，k MC＝3－1－2－（－3） ＝2，根据倾斜角的变化，可得b －3a ＋2∈(－∞，－3)∪(2，＋∞).9．B 函数f (x )＝13 x 3＋12 ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，假设x 1＜x 2，则f ′(x )＝x 2＋ax ＋b ＝0有两个不等的实数根，Δ＝a 2－4b ＞0，方程f 2(x )＋af (x )＋b ＝0的判别式Δ′＝Δ＝a 2－4b ＞0，所以方程f 2(x )＋af (x )＋b ＝0有两解，且f (x )＝x 1 或f (x )＝x 2，函数y ＝f (x )的图像和直线y ＝x 1的交点个数即为方程f (x )＝x 1解的个数，函数y ＝f (x )的图像和直线y ＝x 2的交点个数即为方程f (x )＝x 2解的个数．f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，又f (x 1)＝x 1，画出图像如图所示，y ＝f (x )的图像和直线y ＝x 1的交点个数为2，y ＝f (x )的图像和直线y ＝x 2的交点个数为1，f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的根共有3个，即方程f 2(x )＋af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.10．1答案解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax －1，因为函数f (x )＝x 3＋ax 2－x －9在x ＝－1处取得极值， 所以f ′(－1)＝3－2a －1＝0，解得a ＝1， 此时f ′(x )＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)， 故当x ∈(－1，13 )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－∞，－1)和(13 ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 所以函数f (x )在x ＝－1处取得极小值，满足题意， 所以f (x )＝x 3＋x 2－x －9， 所以f (2)＝8＋4－2－9＝1. 11．(－∞，－1)∪(－14 ，12 )答案解析：f (x )＝x (x ＋1)(x －2m )＝x 3＋(1－2m )x 2－2mx ， f ′(x )＝3x 2＋2(1－2m )x －2m ，因为函数f (x )＝x (x ＋1)(x －2m )的两个极值点为x 1，x 2， 所以x 1，x 2为函数f ′(x )＝3x 2＋2(1－2m )x －2m 的两零点， Δ＝4(1－2m )2＋24m ＝16m 2＋8m ＋4＞0恒成立， x 1＋x 2＝4m －23 ，x 1x 2＝－2m3 ，f (x 1)＋f (x 2)＝x 31 ＋(1－2m )x 21 －2mx 1＋x 32 ＋(1－2m )x 22 －2mx 2 ＝x 31 ＋x 32 ＋(1－2m )(x 21 ＋x 22 )－2m (x 1＋x 2)＝(x 1＋x 2)(x 21 －x 1x 2＋x 22 )＋(1－2m )[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]－2m (x 1＋x 2) ＝(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2]＋(1－2m )[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]－2m (x 1＋x 2) ＝4m －23 [(4m －23 )2＋2m ]＋(1－2m )[(4m －23 )2＋4m 3 ]－2m ꞏ4m －23＝－427 (2m －1)(4m 2＋5m ＋1).因为f (x 1)＋f (x 2)＞0，所以(2m －1)(4m 2＋5m ＋1)＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞04m 2＋5m ＋1＜0 或⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＜04m 2＋5m ＋1＞0， 解得m ＜－1或－14 ＜m ＜12 ，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(－14 ，12 ). 12．[0，＋∞)答案解析：当x ＞1时，f (x )＝xeln x ，f ′(x )＝ln x －1eln 2x ，当1＜x ＜e 时，f ′(x )＜0，f (x )递减，当x ＞e 时，f ′(x )＞0，f (x )递增，故x ＝e 时，f (x )min ＝f (e)＝1；当x ≤1时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3，x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )递增，－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )递减，所以当x ＝－1时，f (x )有极大值f (－1)＝2＋a ， 当x ＝1时，f (1)＝－2＋a ，作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x eln x ，x ＞1x 3－3x ＋a ，x ≤1的大致图像如图，由题意知[f (x )]2－(t ＋2)f (x )＋2t ＝0，即(f (x )－2)(f (x )－t )＝0有7个不同的实根，当f (x )＝2有三个根，f (x )＝t 有四个实根，此时2＋a ＝2或－2＋a ＞2，得a ＝0或a ＞4；当f (x )＝2有四个根时，f (x )＝t 有三个实根，此时－2＋a ≤2＜2＋a ，得0＜a ≤4，所以a ≥0. 13．D 设两曲线的公共点为(x 0，y 0)(x 0＞0)， 由f (x )＝12 x 2－2ax 得f ′(x )＝x －2a ， 由g (x )＝3a 2ln x －b (x ＞0)得g ′(x )＝3a 2x ，所以两曲线在点(x 0，y 0)处的切线的斜率分别为x 0－2a 和3a 2x 0，依题意可得x 0－2a ＝3a 2x 0 ，整理得x 20 －2ax 0－3a 2＝0，解得x 0＝3a 或x 0＝－a (舍)，又12 x 20 －2ax 0＝3a 2ln x 0－b ，将x 0＝3a 代入可得b ＝3a 2ln 3a ＋32 a 2， 设F (a )＝3a 2ln 3a ＋32 a 2，则F ′(a )＝6a ln 3a ＋6a ，令F ′(a )＝0，则a ＝13e ， 所以当0＜a ＜13e 时，F ′(a )＜0，当a ＞13e 时，F ′(a )＞0，所以当a ＝13e 时，F (a )取得最小值为F (13e )＝－3×(13e )2＋32 ×(13e )2＝－16e 2 ， 所以b 的最小值为－16e 2 .14．C f ′(x )＝1x －a ，若a ≤0，则f ′(x )＝1x －a ＞0不满足f (x 1)＝f (x 2)＝m (x 1＜x 2)， 所以a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ，当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＞0，f (x )递增， 当x ＞1a 时，f ′(x )＜0，f (x )递减，因为x 2－x 1＝1，所以x 2＝x 1＋1， 又f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 1＋1)，所以ln x 1－ax 1＝ln (x 1＋1)－a (x 1＋1)， 即a ＝ln (x 1＋1)－ln x 1＝ln x 1＋1x 1＝ln (1＋1x 1 )， 因为x 1≥1， 所以1＜1＋1x 1≤2，所以a ∈(0，ln 2]， 故实数a 的最大值为ln 2. 15．(－∞，2－2ln 2]答案解析：当x ∈(0，1]时，ln x ≤0，此时|x －a |≥2ln x 恒成立，故x ∈(1，＋∞)时，|x －a |≥2ln x 恒成立，即x －a ≥2ln x 或x －a ≤－2ln x ，即a ≤x －2ln x 或a ≥x ＋2ln x ，设f (x )＝x －2ln x ，则f ′(x )＝1－2x ＝x －2x .当x ∈(1，2)时，f ′(x )＜0，f (x )单减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单增．故f (x )min ＝f (2)＝2－2ln 2，故a ≤2－2ln 2.设g (x )＝x ＋2ln x ，则f ′(x )＝1＋2x ＞0，所以f (x )在x ∈(1，＋∞)单增，不存在最大值．综上可知，a 的取值范围是(－∞，2－2ln 2].16.⎝⎛⎭⎫1e ，1答案解析：由题意，得f ′(x )＝2(a x ln a －e x )，易知f ′(x )至少要有两个零点x 1和x 2.令g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝2a x (ln a )2－2e.(1)若a >1，则g ′(x )在R 上单调递增，此时若g ′(x 0)＝0，则g (x )在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，此时若有x ＝x 1和x ＝x 2分别是函数f (x )＝2a x －e x 2(a >0且a ≠1)的极小值点和极大值点，则x 1>x 2，不符合题意，舍去．(2)若0<a <1，则g ′(x )在R 上单调递减，此时若g ′(x 0)＝0，则g (x )在(－∞，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减，且x 0＝log a e （ln a ）2 ，此时若有x ＝x 1和x ＝x 2分别是函数f (x )＝2a x －e x 2(a >0且a ≠1)的极小值点和极大值点，且x 1<x 2，则需满足g (x 0)>0，即e ln a >elog ae （ln a ）2 ，所以a 1ln a <e （ln a ）2 ，所以ln a 1ln a <ln e （ln a ）2 ，即1ln a ln a <1－ln (ln a )2，解得1e <a <e.又0<a <1，所以1e <a <1.故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1e ，1 .。
高考理科数学选作题真题汇编(近3年全部详细答案版)
C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上
答案：B
3．[2014·江西卷]若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()
A．ρ＝ ，0≤θ≤
B．ρ＝ ，0≤θ≤
C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤
【答案】
．（2013年高考上海卷（理））在极坐标系中,曲线 与 的公共点到极点的距离为__________
【答案】 .
．（2013年高考北京卷（理））在极坐标系中,点(2, )到直线ρsinθ=2的距离等于_________.
【答案】1
．（2013年重庆数学（理））在直角坐标系 中,以原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为 的直线与曲线 ( 为参数)相交于 两点,则
2012真题（部分）：
1.【2012高考真题辽宁理23】
在直角坐标 中，圆 ，圆 。
(Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 的极坐标方程，并求出圆 的交点坐标(用极坐标表示)；
(Ⅱ)求出 的公共弦的参数方程。
【答案】
【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的极坐标方程、普通方程与参数方程的互化、极坐标系的组成．本题要注意圆 的圆心为 半径为 ，圆 的圆心为 半径为 ，从而写出它们的极坐标方程；对于两圆的公共弦，可以先求出其代数形式，然后化成参数形式，也可以直接根据直线的参数形式写出。对于极坐标和参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．
【答案】
．（2013年高考江西卷（理））(坐标系与参数方程选做题)设曲线 的参数方程为 ( 为参数),若以直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 的极坐标方程 为__________
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最近三年数学选做题理科The document was finally revised on 2021选修4－4：坐标系与参数方程1.（2016年全国I）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ.（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.2.（2016年全国II）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为22(6)25x y++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是cossinx ty tαα=⎧⎨=⎩（t为参数）, l与C交于,A B两点，||10AB=，求l的斜率．3、（2014 辽宁理 23）（分10分）将圆221x y+=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线:220l x y+-=与C的交点为12P P，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.4、(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23211（t 为参数）椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2cos y x （θ为参数）.设直线l 与椭圆C相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. .选修4－4：坐标系与参数方程答案1.解：⑴cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩ （t 均为参数）∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程 ⑵24cos C ρθ=：两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=即()2224x y -+=②3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ∴210a -=∴1a = 2.解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：226102521kk ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，即22369014k k =+，整理得253k =，则153k =±．3.4.解：椭圆C 的普通方程为2214y x +=，将直线l 的参数方程11232x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214yx +=，得223()12(1)124t t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167t =-.所以1216||7AB t t =-=5.（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+= （I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求∣PQ ∣的最小值及此时P 的直角坐标.6.（7分）已知直线l 的参数方程为24x a ty t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 4y x ，（θ为常数）. （1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.7．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．8.9.（2014 新课标1理23）（10分）已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.10.（2014 新课标2理23）（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程； （2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.[选修4-5：不等式选讲]1.（15年福建理科）已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c 的最小值为4．(Ⅰ)求a b c 的值；(Ⅱ)求2221149a b c 的最小值． 2.（15年新课标2理科）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a + b = c + d ，证明：（1）若ab > cd2）是||||a b c d -<-的充要条件。
3.（2014 辽宁理）（10分） 设函数()211f x x x =-+-，()21681g x x x =-+，记1)(≥x f 的解集为M ，4)(≤x g 的解集为N . （1）求M ； （2）当x MN ∈时，证明：[]41)()(22≥+x f x x f x . 4.（15年陕西理科）已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．（I ）求实数a ，b 的值； （II5.（10分）已知函数()|2|f x x a a =-+ （I ）当a ＝2时，求不等式()6f x ≤的解集；（II ）设函数()|21|,g x x =-当x ∈R 时，f （x ）＋g （x ）≥3，求a 的取值范围. 6..（7分）已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a .（1）求a 的值；（2）若r q p ，，为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p .7．9.（2014 新课标1）（10分） 若0a >，0b >，且ab ba=+11.（1）求33a b +的最小值；（2）是否存在,a b ，使得632=+b a 并说明理由. （10分）已知0x >，0y >，证明：()()22119x y x y xy ++++．8..1.【答案】(Ⅰ) 4；(Ⅱ)87．【解析】试题分析：(Ⅰ)由绝对值三角不等式得()||||f x x a x b c 的最小值为|a |b c ，故|a |4b c ，即a b c 4 ；(Ⅱ)利用柯西不等式2222222123123112233()()()x x x y y y x y x y x y ++++≥++求解．试题解析：(Ⅰ)因为(x)|x ||x ||(x )(x )||a |f a b c a b c b c当且仅当a x b 时，等号成立又0,0a b ，所以|a b |a b ,所以(x)f 的最小值为a b c ,所以a b c 4．(Ⅱ)由(1)知a b c 4，由柯西不等式得22222114912+3+1164923a ba b c c a b c,即222118497a b c . 所以2221149a b c 的最小值为87当且仅当1132231b ac,即8182,,777a b c 时，等号成立 .2.3.【答案】【解析】试题分析：（I）由a b c d>,可证明22+=+及ab cda b c d>,开方即得a b c d>（II）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.试题解析：解：（I）因为22=++=++a b a b ab c d c d cd,,考点：不等式证明.4.【答案】（I）3b=；（II）4．a=-，1【解析】试题分析：（I ）先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<可得a ，b 的值；（II试题解析：（I ）由||x a b ，得b a x b a则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a,1b（II ）=≤41tt，即1t 时等号成立， 故max3+12+4t t2.（2014 江苏理 21）A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：OCB D ∠=∠．3.（2014 辽宁理 22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .（1）求证：AB 为圆的直径；（2）若AC BD =，求证：AB ED =.6.（2014 新课标1理22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲 如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（1）证明：D E ∠=∠；（2）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE △为等边三角形.9.（2014 新课标2理22）（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（1）BE EC =；（2）2·2AD DE PB =.11.（2014 新课标2理24）（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x x a a =++-()0a >.f x；（1）证明：()2f<，求a的取值范围.（2）若()35（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O为圆心，OA为半径作圆. (I)证明：直线AB与O相切；(II)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）。