四年级数学思维训练导引(奥数)第04讲--数阵图初步
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方”知识定位一、什么是数阵图?在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察上面两个图：右图（1）中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右图（2）就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从如何来填好数阵图开始。
如何填好数阵图?数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.【授课批注】数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点：1.引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；2.教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法；3.锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；4.培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力.二、什么是幻方？同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图：三、如何解决幻方问题？幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.知识梳理987653421987654321（一）封闭型数阵问题（二）辐射型数阵（三）其它类型的数阵图（四）幻方例题精讲【试题来源】【题目】将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围.k=9 k=10 k=11 k=12【题目】小猴聪聪有一天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值，你能做到吗？【题目】图中的6条线分别连接着9个圆圈，其中一个圆圈里的数是6．请你选9个连续自然数(包括6在内)填人圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．6543216543216543216543216【题目】小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？【题目】海豚是很聪明的动物，它能将1～9填入右下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？【题目】在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得循环式成立：【题目】请在图中的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下面的数是20．+=====----20【题目】请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.【题目】请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.【题目】将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为k÷3【题目】在下图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.【题目】将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.【题目】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.【题目】在一个3×3的网格中填入9个数使得每一横行、竖行、对角线上三个数的乘积相等.习题演练【题目】将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
奥数知识点 简单数阵图
简单数阵图一、辐射型数阵图从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。
突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和。
先求重叠数。
数总和+中心数×重复次数＝公共的和×线数重叠部分=线总和-数总和/线总和=公共的和×线数数和：指所有要填的数字加起来的和中心数：指中间那数字，即重复计算那数字（重叠数）重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1公共的和：指每条直线上几个数的和线数：指算公共和的线条数例1、把1-5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数与竖列三数之和都等于9。
例2、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以：总和数=(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
例3、把1~5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等例4、将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。
但由例1、例2的分析知道，(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线三数之和×2，每条直线上三数之和=(15+重叠数)÷2。
四年级下册数学试题-竞赛思维训练：04数阵图(四年级竞赛)学生版
1、数阵图是一种十分有趣的填数游戏，就是把一些数按照一定的规则，填在一种特定图形的规定位置，这种图形就是数阵图。
2、填数阵图应注意的问题：（1）应仔细观察所要填数的图形。
图形中要填的位置很多，但是关键的位置往往只有一两个。
解题时，我们一定要抓住关键的位置，如三角形的顶点，长方形、正方形的顶点，图形的中点或交叉的位置等。
（2）要善于把所填的数阵的特点与数联系起来考虑。
通常是计算出所填数的总和与所提供的数和之间相差多少，找到差的原因是什么，从而确定关键位置要填什么数。
将1~10这10个自然数填入下图中的“○”内，使图中每条线段上的数之和都相等。
请写出各种填法。
把1～9这9个数，分别填入下图的圆圈里，使每条线上的三个数的和都相等.将1~6这6个自然数分别填入下图中两圆的“○”内，使每个圆上4个数的和相等。
两圆交点上的两个“○”内的数有几种填法。
将1~8这8个数分别填入下图中的“○”内，使每个圆上5个“○”内数的和相等。
把1～12这12个数，分别填在下图中的○内，使每条边上四个数的和分别都等于22、30.把1～10填入图中,使五条边上三个○内的数的和均为14.把1～10这10个数分别填在下图的○内，使每条线上四个数的和都是21，每个三角形顶点上的三个数的和都是17.把1～8这八个数填在下图的○内，使外环的四边形、内环的四边形、横行、竖行每四个数的和都相等.把1～9这9个数填入下图的九个三角形中，使得每相邻四个小三角形所组成的大三角形中四个数的和都相等，问这个和的最小值是多少？并填完整图形；这个和的最大值是多少？并填完整图形。
2010年是虎年，请把1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21这11个数不重复的填入虎额上的“王”字中，使三行、一列的和都等于35。
（走美杯初赛真题）在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除。
将5-9这5个数填入下图中的○内，使得横行三数之和等于竖列三数之和。
四年级奥数：数阵图
四年级奥数：数阵图（一）我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵，其解题的关键在于“重叠数”。
本讲和下一讲，我们学习三阶方阵，就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图，解题的关键仍然是“重叠数”。
我们先从一道典型的例题开始。
例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。
分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。
我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45，正好是三个横行数字之和，所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。
也就是说，每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。
在1～9这九个数字中，三个不同的数相加等于15的有：9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2，8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。
因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。
因为中心方格中的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在两对角线上，所以它应同时出现在上述的四个算式中，只有5符合条件，因此应将5填在中心方格中。
同理，四个角上的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在一条对角线上，所以它应同时出现在上述的三个算式中，符合条件的有2，4，6，8，因此应将2，4，6，8填在四个角的方格中，同时应保证对角线两数的和相等。
经试验，有下面八种不同填法：上面的八个图，都可以通过一个图的旋转和翻转得到。
例如，第一行的后三个图，依次由第一个图顺时针旋转90°，180°，270°得到。
又如，第二行的各图，都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。
所以，这八个图本质上是相同的，可以看作是一种填法。
例1中的数阵图，我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。
一般地，将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为三阶幻方。
四年级数学思维能力拓展专题突破系列(二十)数阵图讲义(含答案)
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（二十）数阵图------数阵图基础（1）1、掌握什么是数阵图2、会灵活应用多种方法求数阵图1、掌握数阵图的概念。
2、灵活应用数阵图的求解方法。
例题1：把1～5这五个数分别填在右图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9？例题2：将1～7这七个自然数填入右图的七个○内，使得每条线上的三个数之和都等于10。
例题3：将 10～20填入右图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
例题4：下把1～5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。
（即是该课程的课后测试）练习1：如图，将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12或10。
练习2：如图将1～9这九个数分别填入图中的○里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。
练习3：如图，将1～9这九个数分别填入图中的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
（至少找出两种本质上不同的填法）练习4：如图，将3～9这七个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。
练习5：如图，将1～11这十一个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
练习1：解析：练习2：解析：练习3：解析：练习4：解析：练习5：解析：中心数是重叠数，并且重叠4次。
所以每条直线上的三数之和等于［（1＋2＋…＋11）＋重叠数×4］÷5＝（66＋重叠数×4）÷5。
为使上式能整除，重叠数只能是1，6或11。
显然，重叠数越大，每条直线上的三数之和越大。
所以重叠数是11，每条直线上的三数之和是22。
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（二十）数阵图------数阵图基础（2）1、掌握什么是数阵图2、会灵活应用多种方法求数阵图1、掌握幻方的概念。
2、求解幻方的方法。
例题1：请你将1～9这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等。
四年级奥数数阵
数阵知识导航数阵图就是将一些数，按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
它的类型一般分为三种：辐射型数阵图；封闭型数阵图；复合型数阵图。
辐射型数阵图：从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图。
一般地，有M条射线，每条射线有N个数的图形称为M—N图。
辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“射线条数”-1，即M-1.对于辐射型数阵图，有：已知各数之和+重叠数×重叠次数=射线上各数之和×射线条数。
封闭型数阵图：一个数阵图，如果它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为封闭型数阵图。
封闭型M—N图有M个重叠数，重叠次数都是1次。
对于封闭型数阵图因为重叠数只重叠一次，所以：已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数。
（主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字只和，最后填出数阵图。
）精典例题例1：将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
思路点拨：题中要求射线上数字和是___，每条射线上的和是____×____=____。
题上已知各数之和：_________________。
所以重叠数是____-____=____。
模仿练习：把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都相等。
（1+2+3+4+5）+ 重叠数 = 每条线上的和×215 + 重叠数 = 每条线上的和×2每条线上的和 =因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是，，。
若“重叠数”= ，则每条线上的和为：；若“重叠数”= ，则每条线上的和为：；若“重叠数”= ，则每条线上的和为： .由此可知，此题共有三种情况，具体填法如下：例2：把1~7填入下图中,使每条线段上三个○内的数的和等于10思路点拨：已知各数之和+重叠数×重叠次数=射线上各数之和×射线条数。
四年级奥数第4讲数阵图
第4讲数阵图一.常识要点在平庸的数学王国中,有一类异常有味的数学问题,它变更多端,惹人入胜,奥妙无限.它就是数阵,一座真正的数字迷宫,它对爱好探讨数字纪律的人有着极大的吸引力,以至有些人留连个中,用平生的精神来研讨它的变更.那么,到底什么是数阵呢？我们先不雅察下面两个图：左上图中有3个大圆,每个圆周上都有四个数字,有意思的是,每个圆周上的四个数字之和都等于13.右上图就更有意思了,1～9九个数字被排成三行三列,每行的三个数字之和与每列的三个数字之和,以及每条对角线上的三个数字之和都等于15,是不是很奥妙！上面两个图就是数阵图.一些数按照必定的规矩,填在某一特定图形的划定地位上,这种图形,我们称它为“数阵图”,数阵图的种类繁多,壮丽多彩,这里只介绍两种数阵图,即凋谢型数阵图和关闭型数阵图.二.精讲精练例1：把1～5这五个数分离填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9.解析：中央方格中的数很特别,横行的三个数有它,竖列的三个数也有它,我们把它叫做“重叠数”.也就是说,横行的三个数之和加上竖列的三个数之和,只有重叠数被加了两次,即重叠了一次,其余各数均被加了一次.因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9,所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9,重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3.重叠数求出来了,其余各数就好填了(见右图).演习1：1.把1～5这五个数分离填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10.2.将1～7这七个天然数填入左下图的七个○内,使得每条边上的三个数之和都等于10.例2：把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等.解析：与例1不合之处是已知“重叠数”为5,而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数.所以,必须先求出这个“和”.依据例1的剖析知,两条直线上的三个数相加,只有重叠数被加了两遍,其余各数均被加了一遍,所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10.是以,两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5.在剩下的四个数1, 2, 3, 4中,只有1+4=2+ 3=5.故有右图的填法.演习2：1.将 10～20填入左下图的○内,个中15已填好,使得每条边上的三个数字之和都相等.例3：把1～5这五个数填入右图中的○里,使每条直线上的三个数之和相等.解析：例1是知道每条直线上的三数之和,不知道重叠数;例2是知道重叠数,不知道两条直线上的三个数之和;本例是这两样都不知道.但由例1.例2的剖析知道,(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和×2,所以,每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2.因为每条直线上的三数之和是整数,所以重叠数只可能是1,3或5.若“重叠数”=1,则两条直线上三数之和为(15+1)÷2=8.若“重叠数”=3,则两条直线上三数之和为(15+3)÷2=9.若“重叠数”=5,则两条直线上三数之和为(15+5）÷2=10.填法见右下图.由以上几例看出,求出重叠数是解决数阵问题的症结.(1)若已知每条直线上各数之和,则重叠数等于(直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数.如例1.(2)若已知重叠数,则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数.如例2.(3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道,则要从重叠数的可能取值剖析评论辩论,如例3. 演习3：1、将3～9这七个数分离填入下图的○里,使每条直线上的三个数之和等于20.2.将1～11这十一个数分离填入右上图的○里,使每条直线上的三个数之和相等,并且尽可能大. :例4：将1~6,使每条边上的三个○内的数的和都等于9.解析：因为1＋2＋39,则三条边上的和为9×3 = 27, 27－21 = 6,这个6就是因为三个极点都被反复算了一次.所以三个极点的和为6,在1-6中,只能选1.2.3 填入三个极点中,再将4.5.6填入别的的三个圈即可.a .b .c .d f .演习4：1.把1-8个数分离填入○中,使每条边上三个数的和相等.例5：把20以内的质数分离填入下图的一个○中,使得图顶用箭头衔接起来的四个数之和都相等.解析：由上图看出,三组数都包含左.右两头的数,所以每组数的中央两数之和必定相等.20以内共有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数,两两之和相等的有5＋19＝7＋17＝11＋13,于是得到下图的填法.演习5：1.将1~8个数分离填入图中,使每个圆圈上五个数和分离为20,21,22.例6：在右图的六个○内各填入一个质数（可取雷同的质数）,使它们的和等于20,并且每个三角形（共5个）极点上的数字之和都相等.解析：因为大三角形的三个极点与中央倒三角形的三个极点正好是图中的六个○,又因为每个三角形极点上的数字之和相等,所以每个三角形极点上的数字之和为20÷2＝10.10分为三个质数之和只能是2＋3＋5,由此得到右图的填法.演习6：1.把1~9,填入下图中,使每条线段三个数和及四个极点的和也相等.2.把1~12这十二个数,填入下图中的12个○内,使每条线段上四个数的和相等,两个齐心圆上的数的和也相等.三、课后巩固1.把1~8这8个数,分离填入图中的方格内(每个数必须用一次),使“十一”三笔中每三个方格内数的和都相等.2.把1~9个数分离填入○中,使每条边上四个数的和相等.3.把1~10填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等.4.把4~9填入下图中,使每条线上三个数的和相等,都是18.5.将1~9这九个数分离填入图中○内,使每条线段三个数相等.6. 把1~8这8个数填入下图,使每边上的加.减.乘.除成立.7.把0~9填入104个小三角形构成的大三角形的和相等.8.图有五个圆,它们订交互相分成9个区域,如今两个区域里已经填上10与6,请在别的七个区域里分离填进2.3.4.5.6.7.9七个数,使每圆内的和都等于15.9.把1~8,.10.将1-12这十二个数分离填入图中的十二个小圆圈里,使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和26.11.将1~10这十个数分离填入下图中的十个○内,使每条线段上四个○内数的和相等,每个三角形三个极点上○内数的和也相等.。
四年级奥数：数阵图
四年级奥数：数阵图（一）我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵,其解题的关键在于“重叠数”.本讲和下一讲,我们学习三阶方阵,就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图,解题的关键仍然是“重叠数”.我们先从一道典型的例题开始.例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中,使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等.分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几.我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45,正好是三个横行数字之和,所以每一横行的数字之和等于45÷3=15.也就是说,每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15.在1～9这九个数字中,三个不同的数相加等于15的有：9＋5＋1,9＋4＋2,8＋6＋1,8＋5＋2,8＋4＋3,7＋6＋2,7＋5＋3,6＋5＋4.因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字.因为中心方格中的数既在一个横行中,又在一个竖列中,还在两对角线上,所以它应同时出现在上述的四个算式中,只有5符合条件,因此应将5填在中心方格中.同理,四个角上的数既在一个横行中,又在一个竖列中,还在一条对角线上,所以它应同时出现在上述的三个算式中,符合条件的有2,4,6,8,因此应将2,4,6,8填在四个角的方格中,同时应保证对角线两数的和相等.经试验,有下面八种不同填法：上面的八个图,都可以通过一个图的旋转和翻转得到.例如,第一行的后三个图,依次由第一个图顺时针旋转90°,180°,270°得到.又如,第二行的各图,都是由它上面的图沿竖轴翻转得到.所以,这八个图本质上是相同的,可以看作是一种填法.例1中的数阵图,我国古代称为“纵横图”、“九宫算”.一般地,将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中,如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等,那么这样的图称为三阶幻方.在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等,而不要求两条对角线上的三数之和也相等,则解不唯一,这是因为在例1的解中,任意交换两行或两列的位置,不影响每行或每列的三数之和,故仍然是解.例2用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方.分析与解：给出的九个数形成一个等差数列,对照例1,1～9也是一个等差数列.不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数,即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数,即13,17,21,25,而且对角两数的和相等,即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见右图）.与幻方相反的问题是反幻方.将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同,这样填好后的图称为三阶反幻方.例3将前9个自然数填入右图的9个方格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同,并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻,所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线.经试验有下图所示的三种情况：按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算,只有第二种情况得到下图的两个解.因为第二种情况是螺旋形,故本题的解称为螺旋反幻方.例4将九个数填入左下图的九个空格中,使得任一行、任一列以及两条证明：因为每行的三数之和都等于k,共有三行,所以九个数之和等于3k.如右上图所示,经过中心方格的有四条虚线,每条虚线上的三个数之和都等于k,四条虚线上的所有数之和等于4k,其中只有中心方格中的数是“重叠数”,九个数各被计算一次后,它又被重复计算了三次.所以有九数之和+中心方格中的数×3=4k,3k+中心方格中的数×3=4k,注意：例4中对九个数及定数k都没有特殊要求.这个结论对求解3×3方格中的数阵问题很实用.在3×3的方格中,如果要求填入九个互不相同的质数,要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等,那么这样填好的图称为三阶质数幻方.例5求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方.分析与解：由例4知中间方格中的数为267÷3＝89.由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中,每组的三个数中都有89,所以每组的其余两数之和必为267-89＝178.两个质数之和为178的共有六组：5+173＝11＋167＝29＋149＝41＋137＝47+131＝71+107.经试验,可得右图所示的三阶质数幻方.练习161.将九个连续自然数填入3×3的方格内,使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于66.2.将1,3,5,7,9,11,13,15,17填入3×3的方格内,使其构成一个幻方.3.用2,4,6,12,14,16,22,24,26九个偶数编制一个幻方.4.在下列各图空着的方格内填上合适的数,使每行、每列及每条对角线上的三数之和都等于27.5.将右图中的数重新排列,使得每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.6.将九个质数填入3×3的方格内,使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于21.7.求九个数之和为657的三阶质数幻方.第17讲数阵图（二）例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数）,使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.解：由上一讲例4知中间方格中的数为7.再设右下角的数为x,然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21,如下图所示填上各数（含x）.因为九个数都不大于12,由16－x≤12知4≤x,由x+2≤12知x≤10,即4≤x≤10.考虑到5,7,9已填好,所以x只能取4,6,8或10.经验证,当x＝6或8时,九个数中均有两个数相同,不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）.这两个解实际上一样,只是方向不同而已.例2将九个数填入右图的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有证明：设中心数为d.由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d.由此计算出第一行中间的数为2d——b,右下角的数为2d-c（见下图）.根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c）,3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c,d——c＋b＝d——a＋c,2c＝a＋b,a＋bc＝2.值得注意的是,这个结论对于a和b并没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数；可以相同,也可以不同.例3在下页右上图的空格中填入七个自然数,使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90.解：由上一讲例4知,中心数为90÷3＝30；由本讲例2知,右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）.其它数依次可填（见右下图）.例4在右图的每个空格中填入个自然数,使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等.解：由例2知,右下角的数为（8＋10）÷2=9；由上一讲例4知,中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图）,且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21.由此可得右下图的填法. 例5在下页上图的每个空格中填一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.解：由例2知,右下角的数为（6＋12）÷2=9（左下图）.因为左下图中两条虚线上的三个数之和相等,所以,“中心数”＝（10＋6）-9＝7.其它依次可填（见右下图）.由例3～5看出,在解答3×3方阵的问题时,上讲的例4与本讲的例2很有用处.练习171.在左下图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.2.在右上图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于24.3.下列各图中的九个小方格内各有一个数字,而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等,求x.4.在左下图的空格中填入七个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于48.5.在右上图的每个空格中填入一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.6.在右图的每个空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21.第18讲数阵图（三）数阵问题是多种多样的,解题方法也是多种多样的,这就需要我们根据题目条件灵活解题.例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中,使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.分析与解：由上图看出,三组数都包括左、右两端的数,所以每组数的中间两数之和必然相等.20以内共有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数,两两之和相等的有5＋19＝7＋17＝11＋13,于是得到下图的填法.例2在右图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1,2,3,4.分析与解：如左下图所示,受列及对角线的限制,a处只能填1,从而b处填3；进而推知c处填4,d处填3,e处填4,……右下图为填好后的数阵图.例3将1～8填入左下图的○内,要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内.分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻,而2～7中的任何一个数都与两个数相邻,所以这两个○内只能填1和8.2只能填在与1不相邻的○内,7只能填在与8不相邻的○内.其余数的填法见右上图.例4在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数）,使它们的和等于20,而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等.分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○,又因为每个三角形顶点上的数字之和相等,所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10.10分为三个质数之和只能是2＋3＋5,由此得到右图的填法.例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个,使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k,并且k不能被未标出的数整除.分析与解：设未被标出的数为a,则被标出的八个数之和为1＋2＋…＋9-a＝45-a.由于每个顶点都属于三个面,所以六个面的所有顶点数字之和为6k＝3×（45-a）,2k＝45-a.2k是偶数,45－a也应是偶数,所以a必为奇数.若a＝1,则k＝22；若a＝3,则k＝21；若a＝5,则k＝20；若a＝7,则k＝19；若a＝9,则k＝18.因为k不能被a整除,所以只有a＝7,k＝19符合条件.由于每个面上四个顶点上的数字之和等于19,所以与9在一个面上的另外三个顶点数之和应等于10.在1,2,3,4,5,6,8中,三个数之和等于10的有三组：10＝1＋3＋6＝1＋4＋5＝2＋3＋5,将这三组数填入9所在的三个面上,可得右图的填法.练习181.将1～6这六个数分别填入左下图中的六个○内,使得三条直线上的数字的和都相等.2.将1～8这八个数分别填入右上图中的八个方格内,使上面四格、下面四格、左边四格、右边四格、中间四格及四角四格内四个数相加的和都是18.3.在下页左上图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数都是1,2,3,4.4.将1～8填入右上图的八个空格中,使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数都不是相邻的两个自然数.5.20以内共有10个奇数,去掉9和15还剩八个奇数.将这八个奇数填入右图的八个○中（其中3已填好）,使得用箭头连接起来的四个数之和都相等.6.在左下图的七个○内各填入一个质数,使每个小三角形（共6个）的三个顶点数之和都相等,且为尽量小的质数.7.从1～13中选出12个自然数填入右上图的空格中,使每横行四数之和相等,每竖列三数之和也相等.答案练习16练习173.（1）11；（2）9.提示：（1）右下角的数为（3+7）÷2=5,所以x=8×2-5=11.（2）右下角的数为（5+9）÷2=7,中心数为（6+9）-7=8,所以x=8×2-7=9提示：左下角的数为（13+27）÷2=20,中心数为48÷3=16.提示：右下角的数为（20+16）÷2=18,中心数为（8+18）÷2=13.提示：与例1类似.练习181.有下面四个基本解.。
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第四讲数阵图初步
1．在图4-1中的三个圆圈填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.
2．请分别将1，2，4，6这四个数填在图4-2中的各空白区域，使得每个圆圈里四个数之和都等于15.
3．如图4-3所示，请在三个空白圆圈填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等．
4．把1至8分别填入图4-4的八个方格，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之和也相等．
5．把l至12分别填入图4-5的圆圈，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等．
6．在如图4-6所示的3×3方格表填入1、2、3这三个数字各三次，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等．
7．把1至6分别填入图4-7的六个圆圈，使得每个正方形四个顶点的数之和都为13.
8．把1至6分别填入图4-8的六个方格，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等．这个和最大是多少？最小是多少？
9．把1至7这七个数分别填入图4-9中各圆圈，使每条直线上三个圆圈所填数之和都相等．如果中心圆填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法．
10.在图4-10的6个圆圈分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和，那么最下面那个数最小是几？
1．将1至9分别填入图4-11中的圆圈，可以使得图中所有三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都等于15.现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数.
2．在图4-12中的八个圆圈分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和相等，现在如果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整．
3．图4-13是由四个交叠的长方形组成的，在交点处有八个小圆圈．请你把1、2、3、4、5、6、7、8这八个自然数分别填入这些小圆圈，使得每个长方形上的四个数之和都相等．
4．在图4-14中的方格填入三个0、两个2、两个3、两个4，使得每个箭头所指的列中各方格数字之和都是6，并且使得从上到下第二行与第三行的数字之和都是7．
5．请在图4-15的每个小圆圈填入1或2，使得每个大圆圈上四个数之和两两不同．那么所填数的总和是多少？
6．把1至8分别填入图4-16的八个圆圈，使得任意两个有线段直接相连的圆圈的数字之差都不等于1．
7．在图4-17的七个圆圈填入七个连续自然数，使得每两个相邻圆圈所填数之和都等于它们连线上的已知数．请问：标有★的圆圈填的数是多少？
8．小悦是8月11日15点整出生的，她想把1，2，3，4，5，6，7这七个数填入图4 -18的七个方框里，每个数只填一次，使三条直线上的三个数之和恰好是8，11，15.问：在圆上的三个数的乘积最大可能是多少？
9．把1至6这六个数字填入图4-19六个圆圈，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最小是多少？最大是多少？
10.把1至l 1填入图4-20中“六一”图形的十一个空格，使得每一条直线上的两个或三个数之和都相等．
11.请将1至6填入图4-21的六个圆圈，使得四条直线上的数字之和都相等．
12.如图4-22，有一座长方形城堡，四周有十个掩体，守城的士兵有十件武器，各种武器的威力数如下表，为了使城堡四条边上的武器威力总数都相同，并且尽量大，应如何在十个掩体中配备武器？
1．如图4 -23，四个圆共被分成十二个区域，其中已有六个区域填有数，请将1至12中的另六个数填入其他区域，使得每个圆中四个数之和都是28.
2．如图4-24，请在三个圆圈分别填入三个数，使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之和．
3．把1至8填入图4-25中正方体八个顶点处的圆圈，使得正方体每个面上的四个数之和都相等．
4．把1至12分别填入图4-26所示六角星图案的十二个圆圈，使得每条直线上四个数之和都相等，现在已经填好了六个数，那么每条直线上各数之和应该是多少？并把下图补充完整．
5．把l至8填入图4 -27的八个圆圈，使得每个三角形三个顶点的数字之和相等，且小正方形顶点的数字之和是大正方形顶点的数字之和的一半．
6．图4-28中一共有6条线段，请将九个连续的自然数（其中一个是6）填入其中的九个圆圈，使得每条直线上圆圈的数加起来都等于23.
7．如图4 -29，5x5的方格表被分成了五块，请你在每格中填入l、2、3、4、5中的一个（其中两个格子已经分别填入1和2），使得每行、每列、每条对角线的五个数各不相同，且每块上所填数的和都相等．请问：ABCDE是多少？
8．图4-30是奥林匹克五环标志，五个圆共分成了九个部分．请在这九个部分中填入1至9这九个数，使得每个圆环的各数之和都相等，请问：这个和最大是多少？最小是多少？。