机械优化设计课后习题答案知识交流
机械优化设计试题及答案
机械优化设计试题及答案### 机械优化设计试题及答案#### 一、选择题（每题2分，共10分）1. 机械优化设计的最基本目标是什么？- A. 最小化成本- B. 最大化效率- C. 确保安全性- D. 以上都是2. 以下哪个是优化设计中常用的数学方法？- A. 线性代数- B. 微积分- C. 概率论- D. 几何学3. 在进行机械优化设计时，以下哪个因素通常不是设计变量？ - A. 材料选择- B. 尺寸参数- C. 工作温度- D. 制造工艺4. 机械优化设计中，约束条件通常包括哪些类型？- A. 应力约束- B. 位移约束- C. 速度约束- D. 所有上述5. 以下哪个软件不是用于机械优化设计的？- A. ANSYS- B. MATLAB- C. AutoCAD- D. SolidWorks#### 二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述机械优化设计的基本步骤。
2. 解释什么是多目标优化，并举例说明其在机械设计中的应用。
#### 三、计算题（每题15分，共30分）1. 假设有一个机械臂设计问题，需要优化其长度以获得最大的工作范围。
如果机械臂的长度 \( L \) 与工作范围 \( R \) 的关系为 \( R = L \times \sin(\theta) \)，其中 \( \theta \) 是机械臂与水平面的夹角，\( 0 \leq \theta \leq 90^\circ \)，求当 \( \theta = 45^\circ \) 时，机械臂的最佳长度 \( L \)。
2. 考虑一个简单的梁结构，其长度为 \( 10 \) 米，承受均布载荷\( q = 10 \) kN/m。
若梁的弯曲刚度 \( EI \) 为 \( 1 \times10^7 \) Nm²，求梁的最大挠度 \( \delta \)。
#### 四、论述题（每题15分，共30分）1. 论述机械优化设计在现代制造业中的重要性。
优化设计课后题和大作业
机械优化设计作业第一、机械优化设计课后练习第一章 机械优化的基本概念与数学模型1-1.优化设计问题的数学模型是由哪几部分组成的？其一般表达形式是什么？答：由三部分组成：设计变量、约束条件和目标函数。
优化设计一般表达形式是：F ind []12,,,TNNX x x x R =∈… ? ————设计变量 min ()f X ————目标函数s ．t ． ()()2j 0 01~s d d e h X j J == ————约束条件 ()()j01~g X jJ J ≤=+ ————约束条件 式中：L UX XX X Ω=≤≤｛｜｝1-2．建立优化设计问题数学模型的一般步骤及其需要注意的问题是什么？答：建立优化设计问题数学模型的一般步骤为： （1）选取设计变量 （2）建立目标函数 （3）确定约束条件 其注意事项： （1）设计变量在设计过程中选择的设计变量必须都是独立变量，有明显依赖关系；设计变量的选取与优化层次及优化问题的提法有关；设计变量的数目要适当；设计变量有显著且能直接调整控制参数。
（2）约束条件周密分析、合理确定约束条件，从客观实际出发，且能表为设计变量的约束函数的限制确定为约束；各约束条件应当是独立而不矛盾；要特别注意那些对优化效果确有影响，确有限制作用的约束，应注意它们是否可以适当放松以达更好优化效果。
（3）目标函数目标函数可能是多种，具体选哪个取决于对设计的具体要求和客观条件；根据工程实际选定最重要的为优化目标；考虑当前设计方案的实际情况；同时应考虑该指标是否容易给出数学表达式，常常以多目标优化使用更符合实际。
1-3.优化设计问题的求解方法有哪几类？迭代法的基本思想及特点是什么？答：①优化设计问题的求解方法分为两大类：简单优化问题的求解和数值迭代法。
（1）简单优化问题的求解方法：a 、解析法：适用于形式简单、容易求导，可直接写出数学模型显式表达式的、不带或仅带简单等式约束的优化问题，可通过高等数学的极值条件解方程求解。
~机械优化设计总结复习习题及答案
欢迎阅读机械优化设计复习题一.单项选择题1．一个多元函数()F X 在X * 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ）A ．()*0F X ∇= B. ()*0F X ∇=,()*H X 为正定 C ．()*0H X = D. ()*0F X ∇=,()*H X 为负定2.34.其6.F(X) A.x 17. A.8. A.9.多元函数F(X)在点X *附近的偏导数连续，∇F(X *)=0且H(X *)正定，则该点为F(X)的（ ）。
A.极小值点B.极大值点C.鞍点D.不连续点10.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ）。
A.凸函数B.凹函数C.严格凸函数D.严格凹函数1.B2.C3.B4.B5.A6.B7.D8.B9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 11.在单峰搜索区间[x 1 x 3] (x 1<x 3)内，取一点x 2，用二次插值法计算得x 4(在[x 1 x 3]内)，若x 2>x 4,并且其函数值F （x 4）<F(x 2)，则取新区间为（ ）。
A. [x 1 x 4]B. [x 2 x 3]C. [x 1 x 2]D. [x 4 x 3]12.用变尺度法求一n 元正定二次函数的极小点，理论上需进行一维搜索的次数最多为（ ） A. n 次 B. 2n 次 C. n+1次 D. 2次 13.在下列特性中，梯度法不具有的是（ ）。
A.二次收剑性 B.要计算一阶偏导数C.对初始点的要求不高D.只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向 14. A.15. A C.16.和λi≥0 A. D.17 A.18．（ A. Ф C. Ф19. A. 梯度法 B. Powell 法 C. 共轭梯度法 D. 变尺度法1.B2.C3.B4.B5.A6.B7.D8.B9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 20. 利用0.618法在搜索区间［a,b ］内确定两点a 1=0.382,b 1=0.618，由此可知区间［a,b ］的值是( )A. ［0,0.382］B. ［0.382,1］C. ［0.618,1］D. ［0,1］ 21. 已知函数F(X)=x 12+x 22-3x 1x 2+x 1-2x 2+1，则其Hessian 矩阵是( ) A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2332 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2332 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3223 22. 对于求minF(X)受约束于g i (x)≤0(i=1,2,…,m)的约束优化设计问题，当取λi ≥0时，则约束极值点的库恩—塔克条件为( )A. ∇F(X)=∑=∇λm1 iii(X)g,其中λi为拉格朗日乘子B. -∇F (X)= ∑=∇λm1 iii(X)g,其中λi为拉格朗日乘子C. ∇F(X)= ∑=∇λq1 iii(X)g,其中λi为拉格朗日乘子，q为该设计点X处的约束面数D. -∇F(X)= ∑∇λq i i(X)g,其中λi为拉格朗日乘子，q为该设计点X处的约束面数23.A. SB. SC. SD. S24.25.26.A.C.27. 优化设计的维数是指( )A. 设计变量的个数B. 可选优化方法数C. 所提目标函数数D. 所提约束条件数28.在matlab软件使用中，如已知x=0:10，则x有______个元素。
最新机械优化设计课后习题答案知识分享
第一章习题答案1-1某厂每日（8h制）产量不低于1800件。
计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件/ h,正确率为98%,计时工资为4元/ h；二级检验员标准为：速度为15件/力，正确率为95%,计时工资3 元/ ho检验员每错检一件，工厂损失2元。
现有可供聘请检验人数为:一级8人和二级10人。
为使总检验费用最省, 该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为（2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f（力二8*4**+ 8*3*X2 + 2 （ 8*25*0.02*+8*15*0. 05x2 ）二40K+ 36x2(3) 本问题的最优化设计数学模型：min f (X)二40K+36X2X W Rs. t. g y (力=800-8*25^+8*15匕WOgi (X) =Xi-8W0§3 (A) ~%2_1 0^0闽(力二—Xi WOgs (A) —~x2 WO1-2已知一拉伸弹簧受拉力F，剪切弹性模量5 材料重度「，许用剪切应力国，许用最大变形量〔刃。
欲选择一组设计变量X = [X| x2x3]r =[d D2 n]r使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数心簧丝直径〃沖10<D2<50 o 试建立该优化问题的数学模型。
注：弹簧的应力与变形计算公式如下S罟，—1 +瘁,心牛（旋绕比），"器解：(1)确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X二(2) 建立数学模型的目标函数;取弹簧重量为目标函数，即：心二分也(3) 本问题的最优化设计数学模型: min f (X -匚心山XwR4s. t. gi （力—0. 5-Xi WO §2（A）—10—%2 WO 戲（力—^2—50 WO切（力~3—%3 W0馬(无二(1+宀警十]W02X2兀勺说(力二氾*]W01-3某厂生产一个容积为8000 co?的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。
(完整版)机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计
2.黄金分割法（0.618法）
原理：提高搜索效率：1）每次只插一个值，利用一个前次的插值；2）每次的缩短率λ相同。左右对称。
程序：p52
（四）插值方法
1.抛物线法
原理：任意插3点：
算得： ； ；
要求：
设函数 用经过3点的抛物线 代替，有
解线代数方程
解得：
程序框图p57
网格法 ，缩小区间，继续搜索。
Monte Carlo方法 ， ，随机数。
比较各次得到的 得解
遗传算法(专题)
（二）区间消去法（凸函数）
1.搜索区间的确定：高—低--高（ ）则区间内有极值。
2.区间消去法原理：在区间[a, b]内插两个点a1, b1保留有极值点区间，消去多余区间。
缩短率：
（三）0.618法
可行方向—约束允许的、函数减小的方向。（图）约束边界的切线与函数等高线的切线方向形成的区域。
数学模型
用内点法或混合法，取 ，
直接方法
（一）随机方向法
1.在可行域产生一个初始点 ，因 （约束），则
--（0，1）的随机数。
2.找k个随机方向，每个方向有n个方向余弦，要产生kn个随机数 ， ， ，随机方向的单位向量为
3.取一试验步长 ，计算每个方向的最优点
4.找出可行域中的最好点 得搜索方向 。以 为起点， 为搜索方向得 。最优点必须在可行域内或边界上，为此要逐步增加步长。
得
穷举下去得递推公式
3.算例
p73
4.框图p72
5.特点
作业：1. 2.
（六）变尺度法
1.引言
坐标变换
二次函数
令 为尺度变换矩阵
《机械优化设计》第6章习题解答-2资料
8． 有一汽门用弹簧，已知安装高度H1=50.8mm,安装（初始）载荷F1=272N ，最大工作载荷F2=680N ，工作行程h=10.16mm 弹簧丝用油淬火的50CrV A 钢丝，进行喷丸处理； 工作温度126°C ；要求弹簧中径为20mm ≤D2≤50mm ，弹簧总圈数4≤n1≤50，支 承圈数n2=1.75，旋绕比C ≥6；安全系数为1.2；设计一个具有重量最轻的结构方案。
[解] 1．设计变量：影响弹簧的重量的参数有弹簧钢丝直径：d ，弹簧中径D1和弹簧总圈数n1，可取这三个参数作为设计变量：即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=H D x x x 212．目标函数：弹簧的重量为式中 ρ――钢丝材料的容重，目标函数的表达式为3221611262101925.0108.725.0)(x x x n D d x F --⨯=⨯⨯=π３．约束条件：１）弹簧的疲劳强度应满足min S S ≥式中 2.1m i n m i n =--S S ，可取最小安全系数，按题意S ――弹簧的疲劳安全系数，由下式计算：m s s s S ττττττττα⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002式中 ：劳极限，计算方法如下弹簧实际的脉动循环疲--0τ初选弹簧钢丝直径：4mm ≤d ≤8mm ，其抗拉强度MPa b 1480=σ，取弹簧的循环工作次数大于710，则材料的脉动循环疲劳极限为MPa b 44414803.03.0'0=⨯==στ设可靠度为90％，可靠性系数 868.0=r k ； 工作温度为126°C ，温度修正系数 862.0126273344273344=+=+=T k t再考虑到材料经喷丸处理，可提高疲劳强度10％，则弹簧实际的脉动循环疲劳极限为MPa k k t r 4.365444862.0868.01.1)1.01('00=⨯⨯⨯=+=ττ36/107.8mm kg -⨯=ρρπ12220.25n D d W =--s τ弹簧材料的剪切屈服极限，计算公式为MPa b s 74014805.05.0=⨯==στ--ατ弹簧的剪应力幅，计算公式为328dD F ka πτα=式中 k ――曲度系数，弹簧承受变应力时，计算公式为14.02)(6.1615.04414d D C C C k ≈+--=a F ――载荷幅，其值为N F F F a 2042/)272680(2/)(12=-=-=m τ――弹簧的平均剪应力，计算公式为328dD F k m sm πτ=式中s k ――应力修正系数，计算公式为dD C k s /615.01615.012+=+= m F ――平均载荷，其值为N F F F m 4762/)272680(2/)(12=+=+=由此，得到弹簧疲劳强度的约束条件为 计算剪应力幅ατ：86.2186.023214.023.8308)/(6.1x x d D F d D dD F ka a =⋅==ππτα328 计算平均应力幅m τ：21312246.74512.1212615.01x x x d D F Dd dD F k m m sm +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==33288ππτ 计算弹簧的实际疲劳安全系数S ：mms s s S τττττττττταα494.0506.14.365+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0002从而得到弹簧的疲劳强度约束条件为012.1)(min 1≤-=-=SS S S x g ２）根据旋绕比的要求，得到约束条件016)(21min 2≤-=-=x x C C C x g３）根据对弹簧中径的要求，得到约束条件50222≤-=-=≤-=-=1)4(0120)3(max max 242min 3x D D D g x D D D g４）根据压缩弹簧的稳定性条件，要求：c F F ≤2式中 c F ――压缩弹簧稳定性的临界载荷，可按下式计算：K H D H F C ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2022085.611813.0μ 式中 K ――要求弹簧具有的刚度，按下式计算：mm N h F F K /2.4016.1027268012=-=-=0H ――弹簧的自由高度，按下式计算： 当mm K F 16.9240.26802===λ 时， 304.20)5.0(2.1)5.0(310+-=+-=x n H λμ――长度折算系数，当弹簧一端固定，一端铰支时，取 7.0=μ；则：[][]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-=221398.1311304.20)5.0(268.320.3040.5)(13x x x x x F C于是得 01680)(25≤-=-=CC C F F F F x g5）为了保证弹簧在最大载荷作用下不发生并圈现象，要求弹簧在最大载荷2F 时的高度2H 应大于压并高度b H ，由于13112)5.0()5.0(64.4016.108.50x x d n H h H H b -=-==-=-=于是得到010123.00246.0)(131226≤--=-=x x x H H H x g b６）为了保证弹簧具有足够的刚度，要求弹簧的刚度αK 与设计要求的刚度K 的误差小于1/100，其误差值用下式计算：401.02.40)75.1(8100/)(33241---=--=x x Gx K K K αθ式中 G ――弹簧材料的剪切弹性模量，取G=80000Mpa 。
《机械优化设计》复习题-答案讲解
《机械优化设计》复习题解答一、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为 [-47,-50]T 。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是寻找搜索方向，二是计算最优步长。
3、当优化问题是凸规划的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高－低－高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6、函数 C X B HX X T T ++21的梯度为HX+B 。
7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在共轭关系。
8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 错误!未找到引用源。
，充分条件是 错误!未找到引用源。
(错误!未找到引用源。
正定 。
10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36 10] 。
12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件。
13、牛顿法的搜索方向d k= ，其计算量大 ，且要求初始点在极小点 附近 位置。
14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T ++21的形式 错误!未找到引用源。
。
15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足d 1T Hd 2=0，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。
《机械优化设计》习题及答案1word版本
机械优化设计习题及参考答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。
求设计变量向量[]12Tn x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l ==L ()0(1,2,)j g x j m ≤=L2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d fρ令xo Tx f x f x f x fx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]21[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。
（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。
（2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。
梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。
负梯度-)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。
2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最大的方向和数值。
解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ∇。
求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇120122214210x x x x f x f x f 2221)0(⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∇x f x f x f =5⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇∇=5152512)0()0(x f x f p ϖ2-3.试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章习题答案1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。
计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。
检验员每错检一件，工厂损失2元。
现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。
为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡二级检验员一级检验员21x x ；（2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2（8*25*0.02x 1 +8*15*0.05x 2 ） =40x 1+ 36x 2（3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3·s.t. g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤01-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。
欲选择一组设计变量T T n D dx x x ][][2321==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥，簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。
试建立该优化问题的数学模型。
注：弹簧的应力与变形计算公式如下322234881,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比），解： （1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：f (X ) =322124x x rx π（3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) =322124x x rx π X ∈R 3·s.t. g 1(X ) =0.5-x 1 ≤0g 2(X ) =10-x 2 ≤0g 4(X ) =3-x 3 ≤0 g 5(X ) =[]τπ-+312218)21(x Fx x x ≤0 g 6(X ) =[]λ-413328Gx x Fx ≤01-3 某厂生产一个容积为8000 cm 3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。
解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡h r x x21高底面半径 , 表面积为目标函数，即：m i n f (X ) = πx 12 + 2π x 1 x 2考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：m i n f (X ) = πx 12 + 2π x 1 x 2X =[x 1,x 2]T∈R 2s.t . g 1(X ) = -x 1 ≤0g 2(X ) = -x 2 ≤0h 1(X ) = 8000 - πx 12 x 2 = 01-4 要建造一个容积为1500 m 3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。
基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。
现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。
解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡高宽长321x x x ； （2）建立数学模型的目标函数；取总价格为目标函数，即：f (X ) = 8(x 1 x 3 + x 2 x 3) + 6 x 1 x 2 + 12 x 1 x 2（3）建立数学模型的约束函数；1）仓库的容积为1500 m 3。
即：1500-x 1 x 2 x 3 =02）仓库宽度为高度的两倍。
即：x 2 -2 x 3 = 0 3）各变量取值应大于0，即：x 1 > 0, x 2 .> 0.，则 -x 1 ≤0，-x 2 ≤0（4）本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) = 8(x 1 x 3 + x 2 x 3) + 18 x 1 x 2 X ∈R 3·s.t. g 1(X ) = -x 1 ≤0g 2(X ) = -x 2 ≤0h 1(X ) = 1500-x 1 x 2 x 3 =0 h 2(X ) = x 2 -2 x 3 = 01-5 绘出约束条件：82221≤+x x ； 82221≤+-x x ； 421≤x x 所确定的可行域 1-6 试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量： 1[132]T =X ; 2[234]T =X ; 3[414]T =X 。
第二章习题答案2-1 请作示意图解释：(1)()()()k k k k α+=+XX S 的几何意义。
2-2 已知两向量12[1220],[2021]T T P P =-=,求该两向量之间的夹角θ。
2-3 求四维空间内两点)2,1,3,1(-和)0,5,6,2(之间的距离。
2-4 计算二元函数321121()56f x x x x =-+-X 在(0)[11]T =X 处，沿方向[12]T=-S 的方向导数(0)'()s f X 和沿该点梯度方向的方向导数(0)'()f ∇X 。
2-5 已知一约束优化设计问题的数学模型为2212121122123142min ()(3)(4)[,]()50() 2.50()0()0Tf x x x xg x x g x x g x g x =-+-==+-≤=--≤=-≤=-≤X X X X X X求：(1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为()1234f =X 、、、时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。
(2) 找出图上的无约束最优解1*X 和对应的函数值1()f *X ，约束最优解2*X 和2()f *X ； (3) 若加入一个等式约束条件：12()0h x x =-=X求此时的最优解3*X ，3()f *X 。
解：下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面X 1OX 2 。
其中的同心圆是目标函数依次为f (X )=1、2、3、4时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。
由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即：X 1*＝[3，4]T函数值 f (X 1*)= 0 。
而约束最优解应在由约束线g 1(X)=0，g 2(X)=0，g 3(X)=0，g 4(X)=0，组成的可行域（阴影线内侧）内寻找，即约束曲线g 1(X)=0与某一等值线的一个切点X 2*，可以联立方程：⎩⎨⎧=+-=-+01052121x x x x ，解得X 2*=[2，3] 。
函数值 f (X 2*)= (2-3)2 + (3-4)2 = 2 。
加入等式约束条件，则X 3*为可行域上为h 1(X )=0上与某一条等值线的交点，可以联立方程：⎩⎨⎧=-=-+052121x x x x ， 解得X 3*=[5/2，5/2] 。
函数值 f (X 3*)= (5/2-3)2 + (5/2-4)2 = 2.5 。
2-6 试证明在(1,1)点处函数522)(1222122141+-++-=x x x x x x f X 具有极小值。
证明：求驻点：2244)(121311-+-=∂∂x x x x x X f ，221222)(x x x X f +-=∂∂ 0)(0)(21=∂∂=∂∂x X f x X f ，由，4)(]11[**==x f x T ，极值得：驻点 2)(4)()(2412)(2221122212221212=∂∂-=∂∂∂=∂∂∂+-=∂∂x X f x x x X f x x X f x x x X f ，， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=24410)(X H 海赛矩阵0244100102221121111>--=>=a a a aa ，各阶主子式：H (X )是正定的， 所以驻点必定是极小点。
故在(1,1)点处函数)(X f 具有极小值。
2-7 求函数221212()32210f x x x x =+--+X 的极值点，并判断其极值的性质。
解：26)(11-=∂∂x x X f ，14)(22-=∂∂x x X f 0)(0)(21=∂∂=∂∂x X f x X f ，由，24/229)(]4/13/1[**==x f x T ，极值得：极值点 4)(0)()(6)(222122212212=∂∂=∂∂∂=∂∂∂=∂∂x X f x x X f x x X f x X f ，， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4006)(X H 海赛矩阵04006062221121111>=>=a a a a a ，各阶主子式：H (X )是正定的，所以，)(X f 为凸函数。
24/229)(]4/13/1[**==x f T ，极值得：极值点X2-8 试判断函数2212121()221f x x x x x =+-++X 的凸性。
解：124)(211+-=∂∂x x x X f ，12222)(x x x X f -=∂∂ 2)(2)(2)(5)(222122212212=∂∂-=∂∂∂-=∂∂∂=∂∂x X f x x X f x x X f x X f ，，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2225)(X H 海赛矩阵 02225052221121111>--=>=a a a a a ，各阶主子式：H (X )是正定的， 所以，)(X f 为凸函数。
2-9 试用向量及矩阵形式表示221212()10460f x x x x =+--+X 并证明它在12{,,1,2}i x x x i =-∞<<∞=D 上是一个凸函数。
解：211210)(x x x X f -+-=∂∂，12224)(x x x X f -+-=∂∂ 2)(1)(2)(222212212=∂∂-=∂∂∂=∂∂x X f x x X f x X f ，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2112)(X H 海赛矩阵 02112022221121111>--=>=a a a aa ，各阶主子式：H (X )是正定的， 所以，)(X f 为凸函数。
2-10 现已获得优化问题212221122221212223124152min ()412..()250()1010340()(3)(1)0()0()0f x x s tg x x g x x x x g x x g x g x =--=+-≤=+--+≤=----≤=-≤=-≤X X X X X X的一个数值解[1.000,4.900]T=X ,试判定该解是否上述问题的最优解。