山东省济南市2021-2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)
山东省济南市2021-2022高一数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1A =-,{}0,1,2B =,则A B =( )A. {}0B. {}1C. {}0,1D.1,0,1,2【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}1,0,1A =-,{}0,1,2B =,故{}0,1A B =.故选：C【点睛】本题主要考查了交集的运算,属于基础题. 2.命题“()0,,e 1xx x ∀∈+∞+”的否定是( )A. ()0,,e1xx x ∃∈+∞+B. ()0,,e 1xx x ∀∈+∞<+C. ()0,,e 1xx x ∃∈+∞<+D. (],0,e1xx x ∀∈-∞+【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题判定即可. 【详解】命题“()0,,e1xx x ∀∈+∞+”的否定是“()0,,e 1x x x ∃∈+∞<+”.故选：C【点睛】本题主要考查了全称命题的否定,属于基础题. 3.函数()2lg 23y x x =--的定义域为( ) A. ()1,3-B. ()3,1-C. ()(),31,-∞-⋃+∞D. ()(),13,-∞-+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据对数中真数大于0求解即可.【详解】由题,2230x x -->,即()()310x x -+>,解得3x >或1x <-. 故选：D【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域,属于基础题. 4.为了得到函数sin(2)4y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（ ）A. 向左平移4π个单位长度 B. 向右平移4π个单位长度 C. 向左平移8π个单位长度 D. 向右平移8π个单位长度 【答案】D 【解析】sin 2sin 248x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此可知，为了得到函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin2y x =的图象向右平移8π个单位长度. 本题选择D 选项.5.方程2log 5x x =-的解所在的区间是( ) A. ()1,2 B. ()2,3 C. ()3,4 D. ()4,5【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理判定即可. 【详解】设2()log 5f x x x =+-，202(2)log 252f =+-=-<，204(4)log 451f =+-=>根据零点存在性定理可知方程2log 5x x =-的解所在的区间是()3,4. 故选：C【点睛】本题主要考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间,属于基础题. 6.函数2()1xf x x =+ 的图象大致为( ) A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性与当0x >时的正负判定即可. 【详解】因为()22()()11xxf x f x x x --==-=-+-+.故()f x 为奇函数,排除CD. 又当0x >时, 2()01xf x x =>+,排除B. 故选：A【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式判断函数图像的问题,需要判断奇偶性与函数的正负解决,属于基础题. 7.已知123a -=21log 3b =,121log 3c =,则( ) A. b a c <<B. b c a <<C. c b a <<D.a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】判断各式与0,1的大小即可. 【详解】()()120,3013,a -=∈=,221log log 103b =<=,1221log log 313c ==>。
故01b a c <<<<,即b a c <<. 故选：A【点睛】本题主要考查了指对幂函数的大小比较,需要判定各数的大致区间进行判定,属于基础题.8.已知函数()32log 2xf x x-=+,若()()10f a f a +->,则实数a 的取值范围是( ) A. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C. ()2,2-D. ()1,2-【答案】B 【解析】 【分析】先计算函数的定义域,再根据()32log 2xf x x-=+的单调性与奇偶性求解()()10f a f a +->即可.【详解】由题()32log 2xf x x-=+的定义域满足()()202202x x x x ->⇒-+<+,解得22x -<<.又()()3322log lo 210g 2x xf x f x x x-++-=⋅=+=-,故()f x 为奇函数.又()3324log log 122x f x x x -⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭,且42y x =+在()2,2-为减函数,故412y x=-++在()2,2-为减函数.故()f x 为减函数. 故()()10f a f a +->即()()()11f a f a f a >--=-.所以222121a a a a-<<⎧⎪-<-<⎨⎪<-⎩,解得11,2a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故选：B【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性与单调性求解不等式的问题,需要根据题意判断函数的奇偶性与单调性,并结合定义域进行求解,属于中档题.二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.若0a b >>,0d c <<,则下列不等式成立的是( ) A. ac bc > B. a d b c ->-C.11d c< D. 33a b >【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判定或举出反例即可.【详解】对A,因为0a b >>,0c <,故ac bc <,故A 错误.对B,因为0a b >>,0d c <<,故d c ->-,故a d b c ->-,故B 正确. 对C,取2,1d c =-=-易得11d c>,故C 错误. 对D,因为()3f x x =为增函数,故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查了不等式性质的运用,属于基础题. 10.下列函数中,最小值为2的是( ) A. 223y x x =++ B. e e xx y -=+C. 1πsin ,0,sin 2y x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭D. 32xy =+ 【答案】AB 【解析】 【分析】对A,根据二次函数的最值判定即可. 对B 利用基本不等式判定即可. 对C,利用基本不等式判定即可. 对D,根据指数函数的值域判定即可.【详解】对A, ()2223122y x x x =++=++≥,当且仅当1x =-时取等号.故A 正确. 对B, 2e e e 2e x x x x y --=⋅≥=+,当且仅当0x =时取等号.故B 正确. 对C, 11sin 2sin 2sin sin =+≥⋅=y x x x x.取等号时1sin sin =x x ,又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故不可能成立.故C 错误 .对D,因为30xy =>,故322xy =+>.故D 错误. 故选：AB【点睛】本题主要考查了函数最值的运算,属于基础题.11.函数()()sin 0,0,0y A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图所示,则( )A. 该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B. 该函数的对称中心为ππ,0,3k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z C. 该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π,44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D. 把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的32,纵坐标不变,可得到该函数图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数图像得出振幅,再求解函数的周期,再代入最高点求解函数解析式.再分别求解函数的对称中心与单调增区间,并根据三角函数图像伸缩与平移的方法判断即可. 【详解】由图可知2A =,函数的周期为434πππ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭,故2233πωπ==.即22sin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,代入最高点,24π⎛⎫ ⎪⎝⎭有222sin sin 1346ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为623πππϕϕ+=⇒=.故22sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.故A 正确.对B, 22sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心：233322x k x k ππππ+=⇒=-.故该函数的对称中心为3ππ,0,22k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z .故B 错误.对C,单调递增区间为2222332πππk πx k π-≤+≤+,解得5ππ3π,3π,44x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z .故C 正确.对D, 把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的32,纵坐标不变,可得到22sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故D 正确.故选：ACD【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解解析式以及性质的问题,需要先根据周期,代入最值求解解析式,进而代入单调区间与对称中心求解即可.属于中档题.12.—般地,若函数()f x 的定义域为[],a b ,值域为[],ka kb ,则称[],a b 为()f x 的“k 倍跟随区间”;特别地,若函数()f x 的定义域为[],a b ,值域也为[],a b ,则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是( )A. 若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间,则3b =B. 函数()32f x x=-不存在跟随区间 C. 若函数()f x m =,则1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦D. 二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可.【详解】对A, 若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间,因为()222f x x x =-+在区间[]1,b 为增函数,故其值域为21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有222b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1b >故2b =.故A 错误. 对B,由题,因为函数()32f x x=-在区间(),0-∞与()0,+∞上均为增函数,故若()32f x x =-存在跟随区间[],a b 则有3232a ab b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即,a b 为32x x -=的两根.即2230x x -+=,无解.故不存在.故B 正确.对C, 若函数()f x m =[],a b ,因为()f x m =,故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=⎪-=⎨=⎪⎩a b <即()()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <,1=.易得01≤<.所以(1a m m ==-,令t =20t t m --=,同理t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.故1400m m +>⎧⎨-≥⎩,解得1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,故C 正确.对D,若()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b ,值域为[]3,3a b .当1a b <≤时,易得()212f x x x =-+在区间上单调递增,此时易得,a b 为方程2132x x x-+=的两根,求解得0x =或4x =-.故存在定义域[]4,0-,使得值域为[]12,0-. 故D 正确. 故选：BCD【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.32log 43327-=______. 【答案】-5 【解析】 【分析】根据对数与指数的运算求解即可. 【详解】()322log 433332744395=---=-=.故答案为：5-【点睛】本题主要考查了指对数的基本运算,属于基础题.14.“密位制”是一种度量角的方法,我国采用的“密位制”是6000密位制,即将一个圆周角分为6000等份,每一个等份是一个密位,那么120密位等于______弧度. 【答案】π25【解析】【分析】根据弧度的定义求解120密位占6000密位的比例再乘以2π即可. 【详解】由题, 120密位等于1202600025ππ⨯= 故答案为：25π【点睛】本题主要考查了弧度的定义与计算,属于基础题.15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+，则(1)f -= .【答案】3- 【解析】试题分析：因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+，则2(1)(1)(121)3f f -=-=-+⨯=-.考点：函数奇偶性的应用.16.已知函数()20.521,0log ,0x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨>⎪⎩,若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ,且1234x x x x <<<,则a 的最小值是______,()41223416x x x x x ⋅++⋅的最大值是______. 【答案】 (1). 1 (2). 4 【解析】 【分析】画出()20.521,0log ,0x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨>⎪⎩的图像,再数形结合分析参数的a 的最小值,再根据对称性与函数的解析式判断1234,,,x x x x 中的定量关系化简()41223416x x x x x ⋅++⋅再求最值即可. 【详解】画出()20.521,0log ,0x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨>⎪⎩的图像有：因为方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ,故()f x 的图像与y a =有四个不同的交点,又由图,()01f =, ()12f -=故a 的取值范围是[)1,2,故a 的最小值是1. 又由图可知,1212122x x x x =-⇒+=-+,0.530.54log log x x =,故0.530.540.534log log log 0x x x x =-⇒=,故341x x =.故()4124234416162x x x x x x x ⋅++=-⋅+. 又当1a =时, 0.544log 12x x -=⇒=.当2a =时, 0.544log 24x x -=⇒=,故[)42,4x ∈.又44162y x x +=-在[)42,4x ∈时为减函数,故当42x =时44162y x x +=-取最大值162242y +=-⨯=. 故答案为：(1). 1 (2). 4【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数以及范围的问题,需要根据题意分析交点间的关系,并结合函数的性质求解.属于难题.四､解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.已知集合{}14M x x =-<<,{}0N x x a =->. (1)当1a =时,求M N ⋂,M N ⋃;(2)若x M ∈是x ∈N 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 【答案】(1){}14M N x x ⋂=<<,{}1M N x x ⋃=>-.(2)1a ≤- 【解析】 【分析】(1)代入1a =再求交集与并集即可.(2)根据题意有M N,再根据区间端点满足的关系式求解即可. 【详解】(1)因为1a =,所以{}1N x x =>, 所以有{}14M N x x ⋂=<<,{}1M N x x ⋃=>-.(2)若x M ∈是x ∈N 的充分不必要条件, 则有M N, 所以1a ≤-.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及根据充分与必要条件求解参数的范围问题,属于基础题.18.在平面直角坐标系xOy 中,已知角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)请写出sin α,cos α,tan α的值; (2)若角β满足()cos 0αβ+=. (ⅰ)计算tan β的值;(ⅱ)计算22cos sin 2sin βββ+的值.【答案】(1)4sin 5α,3cos 5α=-,4tan 3α=-.(2)(ⅰ) 3tan 4β=-(ⅱ) 1615-【解析】 【分析】(1)根据三角函数定义直接写出即可.(2)i.根据两角和的余弦公式以及同角三角函数的关系求解即可. ii.根据3tan 4β=-与同角三角函数的关系求解sin ,cos ββ,再根据二倍角公式代入求解即可.【详解】(1)由三角函数定义可知:4sin 5α,3cos 5α=-,4tan 3α=-.(2)(法一)(ⅰ)由题意可知:cos cos sin sin 0αβαβ-=, 即cos cos sin sin αβαβ=, 所以有:13tan tan 4βα==-. (ⅱ)原式222cos 12sin cos sin 2tan tan ββββββ==++1615=-. (法二)(ⅰ)由题意可知:ππ,2k k αβ+=+∈Z , 所以π13tan tan πcot 2tan 4k βααα⎛⎫=+-===- ⎪⎝⎭, (ⅱ)由22sin cos 1sin 3tan cos 4βββββ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩,可知3sin 54cos 5ββ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3sin 54cos 5ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩原式2216cos 16252492sin cos sin 152525ββββ===-+-+ 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及同角三角函数的关系式以及三角恒等变换公式计算等.属于中档题.19.已知函数()22sin cos f x x x x =+.(1)求()f x 的最小正周期; (2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,(ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间;(ⅱ)求函数()f x 的最大值､最小值,并分别求出使该函数取得最大值､最小值时的自变量x 的值.【答案】(1)最小正周期为π(2)(ⅰ) 单调递减区间为π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(ⅱ) π12x =时,()f x 取最大值为2, 当π2x =时,()f x 取最小值为【解析】 【分析】(1)根据降幂公式与辅助角公式化简得()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭再求解即可. (2)(i)求解可得ππ4π2,333z x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦,再根据正弦函数的图像与单调区间求解即可. (ii)根据(i)中所得的单调区间求解最值即可. 【详解】(1)由题意可知:()sin 2f x x x =12sin 2222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为2ππ2T ==,所以()f x 的最小正周期为π. (2)(ⅰ)因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以ππ4π2,333z x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦,因为sin y z =,π4π,33z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调递减区间是π24π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 且由ππ4π2233x ≤+≤,得ππ122x ≤≤, 所以()f x 的单调递减区间为π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (ⅱ)由(ⅰ)可知当π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x 单调递增, 当2ππ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x 单调递减,且ππ2sin 2122f ⎛⎫== ⎪⎝⎭,π4π2sin 23f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()π02sin 3f ==所以:当π12x =时,()f x 取最大值为2, 当π2x =时,()f x取最小值为【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换化简三角函数的问题,同时也考查了三角函数在区间内的单调性与最值问题,属于中档题.20.济南新旧动能转换先行区,承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想,肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任,是全国新旧动能转换的先行区.先行区将以“结构优化､质量提升”为目标,通过开放平台汇聚创新要素,坚持绿色循环保障持续发展,建设现代绿色智慧新城.2021年某智能机器人制造企业有意落户先行区,对市场进行了可行性分析,如果全年固定成本共需2000(万元),每年生产机器人x (百个．．),需另投人成本()C x (万元),且()210200,040100006014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩,由市场调研知,每个机器人售价6万元,且全年生产的机器人当年能全部销售完.(1)求年利润()L x (万元)关于年产量x (百个．．)的函数关系式;(利润=销售额-成本) (2)该企业决定:当企业年最大利润超过2000(万元)时,才选择落户新旧动能转换先行区.请问该企业能否落户先行区,并说明理由.【答案】(1)()2104002000,040100002500,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)企业能落户新旧动能转换先行区.见解析 【解析】 【分析】(1)根据利润=销售额-成本,再分040x <<与40x ≥两种情况分别求解即可.(2)在040x <<区间内利用二次函数的最值求最大值,在40x ≥时利用基本不等式求最大值即可.【详解】(1)当040x <<时,()226100102002000104002000L x x x x x x =⨯---=-+-;当40x ≥时,()10000100006100601450020002500L x x x x x x ⎛⎫=⨯--+-=-+ ⎪⎝⎭ 所以()2104002000,040100002500,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当040x <<时,所以()()2210400************L x x x x =-+-=--+, 所以当20x时,()()max 202000L x L ==;当40x ≥时,所以()100002500250025002002300L x x x ⎛⎫=-+-=-= ⎪⎝⎭, 当且仅当10000x x=,即100x =时, 所以()()max 10023002000L x L ==>. 故该企业能落户新旧动能转换先行区.【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式与最值的求解,需要根据二次与基本不等式求最值,属于中档题.21.已知函数()412x f x a a =-+(0a >,且1a ≠),且()113f =. (1)求实数a 的值;(2)判断函数()f x 的奇偶性并证明(3)若函数()()1g x kf x =-有零点,求实数k 的取值范围. 【答案】(1)2(2)奇函数.见解析 (3)1k <-或1k >. 【解析】 【分析】 (1)代入()113f =求解即可. (2)由(1)化简可得()2121x x f x -=+,再分析()f x -与()f x 的关系判定即可.(3)分析可知2121x x k +=-有实根,再换元令2x t =,分析()11t h t t +=-,()()0,11,t ∈+∞的取值范围进而求得k 的取值范围即可. 【详解】(1)因为()411123f a a =-=+解得2a =(2)()f x 是奇函数.由2a =得:()421122221x xxf x -=-=⋅++ 故()()21122112x xx xf x f x -----===-++,所以()f x 是奇函数(3)方法一:代入2a =可得()2121x x f x -=+因为()21121x x g x k -=⋅-+有零点,所以()211021x x g x k -=⋅-=+有实根.显然0x =不是()0g x =的实根,所以2121x x k +=-有实根.设2x t =,()11t h t t +=-,()()0,11,t ∈+∞.因为()211h t t =+-. ①当()0,1t ∈时,()11,0t -∈-,所以111t <--, 所以()2111h t t =+<-- ②当()1,t ∈+∞时,()10,t -∈+∞, 所以()2111h t t =+>- 综上,()h t 的值域为()(),11,-∞-+∞所以,当()(),11,k ∈-∞-+∞时,2121x x k +=-有实根,即()21121x x g x k -=-+有零点方法二:代入2a =可得()2121x x f x -=+因为()21121x x g x k -=⋅-+有零点,所以()211021x x g x k -=⋅-=+有实根.所以()121xk k -=+有实根.显然,1k =时上式不成立,所以121xk k +=-有实根 因为20x >, 所以101k k +>- 所以1k <-或1k >. 所以,当()(),11,k ∈-∞-+∞时,121x k k +=-有实根. 即()21121x x g x k -=-+有零点【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解以及根据函数的零点个数求解参数的方法,需要根据题意参变分离,分析构造的函数的值域进而求得参数的范围.属于中档题.22.数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算. (1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果0a >,且1a ≠,0M >,那么()log log na a M n M n =∈R ;(2)请你运用上述对数运算性质计算lg3lg8lg16lg 4lg9lg 27⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值;(3)因为()10342102410,10=∈,所以102的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断20202019的位数.(注lg 2019 3.305≈) 【答案】(1)见解析(2)1712(3)20202019的位数为6677 【解析】 【分析】(1)根据指数与对数的转换证明即可.(2)根据对数的运算性质将真数均转换成指数幂的形式再化简即可. (3)分析2020lg 2019的值的范围再判断位数即可.【详解】(1)方法一: 设log a x M = 所以x M a = 所以()nn xnx M a a ==所以log log na a M nx n M ==,得证.方法二: 设log a x n M = 所以log a xM n= 所以xn a M = 所以x n a M =所以log na x M = 所以log log na a n M M =方法三: 因log na M n a M =()log log a a nn M Mn a a M ==所以log log na a M n M a a =所以log log na a M n M =得证.(2)方法一:34223lg3lg8lg16lg3lg 2lg 2lg 4lg9lg 27lg 2lg3lg3⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ lg33lg 24lg 22lg 22lg33lg3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭lg 317lg 22lg 26lg 3=⋅ 1712=. 方法二:()4927lg3lg8lg16log 3log 8log 16lg 4lg9lg 27⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22334233log 3log 2log 2=+ 233134log 3log 2log 2223⎛⎫=+ ⎪⎝⎭23117log 3log 226=⋅ 1712=. (3)方法一:设2020110201910k k +<<,*k ∈N 所以2020lg 20191k k <<+所以2020lg 20191k k <<+ 所以2020 3.3051k k <⨯<+ 所以6675.16676.1k << 因为*k ∈N 所以6676k =所以20202019的位数为6677 方法二: 设20202019N = 所以2020lg 2019lg N = 所以2020 3.305lg N ⨯= 所以lg 6676.1N =- 21 - 所以6676.10.166********N ==⨯因为0.111010<<,所以N 有6677位数,即20202019的位数为6677【点睛】本题主要考查了对数的运算以及利用对数的运算求解数字位数的问题,需要取对数分析对数值进行分析,属于中档题.。
2024届山东省济南市济钢高级中学高一上数学期末学业水平测试模拟试题含解析
2024届山东省济南市济钢高级中学高一上数学期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知集合{}{}|1,|21xM x x N x =<=>，则M N ⋂=A.∅B.{}|01x x <<C.{}|0x x <D.{}|1x x <2．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23521t K I t e--=+其中K 为最大确诊病例数．当()*0.95I tK =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）()ln193≈ A.60 B.65 C.66D.693．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“互为生成”函数，给出下列函数：()sin f x x =①；()sin cos f x x x =-②；()2cos 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭③；()22cos 2x f x x =-④，其中“互为生成”函数的是( )A.①②B.①④C.②③D.③④4．已知条件:240p x ->，条件2:560q x x -+<，则p 是q 的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如右图，甲乙两组数据的平均数分别为12,m m ，标准差分别为12,n n 则A.1212,m m n n <<B.1212,m m n n <>C.1212,m m n n ><D.1212,m m n n >>6．已知函数()2sin(2)(0)2f x x πφφ=+<<，若()()124f f ππ=，且当[,]6x πθ∈-时()[1,2]f x ∈-，则θ的取值范围是 A.{}6πB.[,]62ππC.5[,]26ππD.(,]62ππ-7．下列区间中，函数f （x ）=|ln （2-x ）|在其上为增函数的是（ ） A.(],1∞-B.41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.[)1,28．已知全集U R =，则正确表示集合{-1,0,1}A =和2{x|}B x x ==关系的韦恩图是A. B.C. D.9cos 251sin 40︒︒︒=-A.1B.3C.2D.210．下表是某次测量中两个变量,x y 的一组数据,若将y 表示为关于x 的函数,则最可能的函数模型是x2 3 4 5 6 7 8 9 y0.631.011.261.461.631.771.891.99A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
山东省烟台市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试卷
2021～2022学年度第一学期期末学业水平诊断高一数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin 210=A.12−B.12C.2−2.函数ln(4)y x =−的定义域为A.(0,4)B.(0,4]C.[0,4)D.[0,4]3.下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是DB4.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是 A.2xy = B.sin y x = C.3y x=D.ln y x =5.已知 1.13a =，0.23b =，2log 0.3c =，则,,a b c 的大小关系为 A.b a c << B.b c a <<C.c a b<< D.c b a <<6.已知函数(1),1()1(),1ex f x x f x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ，则(1ln 5)f −+的值为A.15B.5C.e 5D.5e7.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示.设水车的直径为8m ，其中心O 到水面的距离为2m ，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间是120s .当水车上的一个水筒A 从水中（0A 处）浮现时开始计时，经过t （单位：s ）后水筒A 距离水面的高度为()f t （在水面下高度为负数），则(140)f = A.3mB.4mC.5mD.6m8.设,a b ∈R ，定义运算,,a a ba b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()sin cos f x x x =⊗的最小值为 A.1−B.2−C.12−D.0二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省菏泽市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(A) Word版含答案
高一数学试题（A ）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{}1,0,1,2,3,4M =-，{}1,2,3,5N =-，P MN =，则P 的子集共有（ ）A ．8个B ．6个C ．4个D ．2个2．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 （ ）A ．2πB ．πC ．2D ．13．如图所示三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线 DE ，则DE 与AB 的位置关系是（ ） A ．异面 B ．平行C ．相交D ．以上均有可能4．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个 几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A ．三棱锥 B ．三棱柱 C ．四棱锥D ．四棱柱5．设232()3a =，231()3b =，131()3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a6．过△ABC 所在平面α外一点P ，作PO ⊥α，垂足为O ，连接P A ，PB ，PC ，若P A =PB =PC ，则点O 是△ABC 的（ ） A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心7．已知函数133,1()log ,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()4y f x x =+-的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知m ，n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．m ∥n ，m n αα⊥⇒⊥B ．α∥β，,m n αβ⊂⊂⇒ m ∥nC ．,m n αβ⊂⊂,m ∥n ⇒α∥βD ．,m n αα⊂⊂，m ∥β，n ∥β⇒α∥β9．已知函数||()5x f x =，2()(R)g x ax x a =-∈，若((1))1f g =，则a =（ ） A ．－1B ．2C ．3D ．110．如图所示，E 是正方形ABCD 所在平面外一点，E在面ABCD 上的正投影F 恰在AC 上，FG ∥BC ，AB =AE =2，∠EAB =60°．有以下四个命题： （1）CD ⊥面GEF ；（2）AG =1；（3）以AC ，AE 作为邻边的平行四边形面积是8； （4）∠EAD =60°．其中正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上）11．指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图所示，则二次函数2y ax bx =+的顶点的横坐标的取值范围是 ．12．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ．13．已知函数()f x 是R 上的增函数，(0,1), (3,1)A B -是其图象上的两点，那么(1)1f x +<的解集是 ． 14．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论：①BD ∥平面CB 1D 1 ； ②AC 1⊥BD ；③AC 1⊥平面CB 1D 1 ；④异面直线AD 与CB 1所成角为60°。
山东省威海市文登区文登第一中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题和解析
有 （人），故选项A正确；
对于B：12月份用电量不低于20度的频率是 ，
有 （人），故选项B正确；
对于C：12月份人均用电量为：
（度），故选项C错误；
对于D，用电量在 的有： 人，
所以1000位居民中任选1位，选到的居民用电量在[30，40）一组的概率为 ，故选项D正确.
A． B．
C． D．
3．已知 ，且 ，则 的最小值为（）
A．3B．4C．6D．9
4．如图，在平行四边形 中， 是 的中点， 与 交于点 ，设 ， ，则 （）
A． B． C． D．
5．供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）
14．已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 __________.
15．某公司16个销售店某月销售产品数量 单位：台 的茎叶图如图所示，已知数据落在 中的频率为 ， 分位数为__________.
四、双空题
16．已知正数 满足 ，当 时， 的最小值为_______；当 时， 的最小值为_______
【详解】A.因为向量 ， ，所以 ，则 ，故正确；
B.由A知： ，所以 与 不可以作为一组基底，故错误；
C.因为向量 ， ，所以 ，故正确；
D.因为向量 ， ，所以 ，则 ，所以 与 方向相反，故错误；
故选：AC
12．ACD
【分析】根据函数解析式，结合选项逐项分析即可求出结果.
【详解】函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
2021-2022学年山东省枣庄市第九中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省枣庄市第九中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{1,0,1,2}A =-{|lg(1)}B x y x ==+A B = A ．B ．C ．D ．{1,0,1,2}-{0,1,2}{1,2}{2}【答案】B【解析】求出函数的定义域确定集合，然后由交集定义计算．B 【详解】，∴.{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=>-{0,1,2}A B ⋂=故选：B ．2．命题“，”的否定是 [)x 0,∞∀∈+22x x 0-≥()A ．，B ．，[)x 0,∞∀∉+22x x 0-<[)x 0,∞∀∉+22x x 0-≥C ．，D ．，[)x 0,∞∃∈+22x x 0-<[)x 0,∞∃∈+22x x 0-≥【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，据此可得命题“，”的否定是，，[)0,x ∞∀∈+220x x -≥[)0,x ∃∈+∞220x x -<故选C ．【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.3．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ）．A ．B ．C ．D ．tan y x =3xy =y =3y x=【答案】D【分析】根据函数的解析式直接判断函数的奇偶性和单调性即可．【详解】对A: 它是奇函数，它在区间上递增，但在定义域上不是tan y x =(,)()22k k k Z ππππ-+∈单调函数;对B: 是非奇非偶函数；3xy =对C: y =对D:是奇函数，在定义域内是增函数．3y x =4． 设则“且”是“”的,,x y R ∈2x ≥2y ≥224x y +≥A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【详解】试题分析：若x≥2且y≥2，则x 2≥4，y 2≥4，所以x 2+y 2≥8，即x 2+y 2≥4；若x 2+y 2≥4，则如（-2，-2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x 2+y 2≥4”的充分而不必要条件．故选A ．【解析】本题考查充分、必要、冲要条件．点评：本题也可以利用几何意义来做：“”表示为以原点为圆心，2为半径的圆外的点，224x y +≥包括圆周上的点，“且”表示横坐标和纵坐标都不小于2的点．显然，后者是前者的一部分，2x ≥2y ≥所以选A ．这种做法比分析中的做法更形象、更直观．5．若，，，则（ ）202112020a ⎛⎫= ⎪⎝⎭120202021b =20201log 2021c =A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c a b >>b a c>>【答案】D【分析】根据对数函数、指数函数的单调性比较大小即可.【详解】由函数，，的单调性可知，12020x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭2021xy =2020log y x =20211012020a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，，故.1202020211b =>20201log 02021c =<b a c >>故选：D6．函数在区间的图象大致是（）sin cos xxy x+=[]2,2ππ-A ．B ．C ．D ．【解析】判断函数非奇非偶函数，排除选项A 、B ，在计算时的函数值可排除选项D ，进而x π=-可得正确选项.【详解】因为，且，()sin cos x xf x x-+-=()()f x f x -≠-()()f x f x -≠所以既不是奇函数也不是偶函数，排除选项A 、B ，sin cos x xy x+=因为，排除选项D ，()()()sin cos 10f πππππ-+---==<-故选：C【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ､直角边AB ､AC ，已知以直角边AC ､AB 为直径的半圆的面积之比为，记，则的值为（ ）14ABC θ∠=sin 2cos cos sin θθθθ-+A ．-1B ．-2C ．0D ．1【答案】A【分析】由圆的面积公式及半圆面积比可得，即有，将目标式由弦化切求值即可.12AC AB =1tan 2θ=【详解】以直角边AC ，AB 为直径的半圆的面积分别为：，()221228AC AC ππ⋅⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭，()221228AB AB ππ⋅⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭由面积之比为，得：，即，14()()2214AC AB =12AC AB =在中，，则，Rt ABC 1tan tan 2AC ABC AB θ=∠==12sin 2cos tan 2211cos sin 1tan 12θθθθθθ---===-+++故选：A.8．已知函数是定义在上的偶函数，且当时， ()f x (,0)(0,)-∞+∞ 0x >()()()22,0414,42x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程解的个数为（ ）()1f x =A ．B ．C ．D ．46810【答案】D【分析】当时，作出函数的图象，把方程解的个数，转化为函数与0x >()f x ()1f x =()y f x =的图象交点的个数，结合图象和函数的奇偶性，得到图象交点的个数，即可求解.1y =【详解】由题意，函数当时，，0x >()()()22,0414,42x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩作出函数的图象，如图所示，()f x 又由方程解的个数，即为函数与的图象交点的个数，()1f x =()y f x =1y =当时，结合图象，两函数与的图象有5个交点，0x >()y f x =1y =又由函数为偶函数，图象关于轴对称，()y f x =y 所以当时，结合图象，两函数与的图象也有5个交点，0x <()y f x =1y =综上可得，函数与的图象有10个交点，()y f x =1y =即方程解的个数为10.()1f x =故选：D.二、多选题9．设、、为实数且，则下列不等式一定成立的是（ ）a b c a b >A ．B ．11a b >ln ln a b>C ．D ．()20221a b ->()()2211a c b c +>+【答案】CD【分析】取，可判断A 选项；利用对数函数的基本性质可判断B 选项；利用指数函数0a b >>的单调性可判断C 选项；利用不等式的基本性质可判断D 选项.【详解】对于A ，若，则，所以A 错误；0a b >>11a b <对于B ，函数的定义域为，而、不一定是正数，所以B 错误；ln y x =()0,∞+a b 对于C ，因为，所以，所以C 正确；0a b ->()20221a b ->对于D ，因为，所以，所以D 正确.210c +>()()2211a c b c +>+故选：CD10．设函数的图象为曲线，则下列结论中正确的是（ ）π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭E A ．是曲线的一个对称中心π(,0)12-E B ．若，且，则的最小值为12x x ≠12()()0f x f x ==12||x x -2πC ．将曲线向右平移个单位长度，与曲线重合sin 2y x =π3E D ．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，与曲线重合πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12E 【答案】BD【分析】由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论.sin()y A x ωϕ=+【详解】函数的图象为曲线，π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭E 令，求得，为最小值，故的图象关于直线对称，故A 错误；12x π=-()1f x =-()f x 12x π=-若，且，则的最小值为，故B 正确；12x x ≠12()()0f x f x ==12||x x -122222T ππ=⨯=将曲线向右平移个单位长度，可得的图象，故C 错误；sin 2y x =π32sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象，πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与曲线E 重合，故D 正确，故选：BD.11．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩()f x A ．B ．的值域为()13f =()f x (),4-∞C ．的解集为D ．若，则()1f x <()1,1-()3f x =x 【答案】BD【分析】将代入可知A 错误；分别在和的情况下，结合一次函数和1x =()2f x x =1x ≤-12x -<<二次函数的值域求法可知B 正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和1x ≤-12x -<<方程求得CD 正误.【详解】对于A ，，A 错误；()2111f ==对于B ，当时，；当时，；1x ≤-()2121f x x =+≤-+=12x -<<()[)20,4f x x =∈的值域为，B 正确；()f x \(),4-∞对于C ，当时，，解得：；1x ≤-()21f x x =+<-3x <-当时，，解得：；12x -<<()21f x x =<11x -<<的解集为，C 错误；()1f x ∴<()(),31,1-∞-- 对于D ，当时，，解得：（舍）；1x ≤-()23f x x =+=1x =当时，，解得：12x -<<()23f x x ==x =x =的解为D 正确.()3f x ∴=x =故选：BD.12．已知函数，且，则（ ）()221xf x a =-+()113f =A ．1a =B ．为非奇非偶函数()f x C ．函数的值域为()f x ()1,1-D ．不等式的解集为()()23130f x f x -+-<4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ACD 【分析】由求得可判断A ；利用奇偶性定义可判断B ；由的范围可得的范围，()113f =a x 2121-++x可判断C ；利用的单调性可判断D.()f x 【详解】，求得，A 正确；()211213f a =-=+1a =时，，1a =()22112121x x x f x -=-=++∵，∴为奇函数，B 不正确；()()21122112x x x x f x f x -----===-++x R ∈()f x ∵，∴，∴，，20x >211x+>10121x <<+22021x --<<+∴，C 正确；211121x --<+<+，因为是上单调递增函数，是上单调递减函数，()2121x f x =-+21xy =+R 221x y =+R 所以是上单调递增函数，()2121xf x =-+R ∴，()()()()()2231303133f x f x f x f x f x -+-<⇒-<--=-∴，∴，∴解集为，D 正确.2313x x -<-2340x x +-<4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ACD.三、填空题13．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为___________.π24π3【答案】π6【分析】由扇形的圆心角与面积求得半径再利用弧长公式即可求弧长.【详解】设扇形的半径为r ，由扇形的面积公式得：，解得，该扇形的弧长为2π1π3224r =⨯4r =.ππ4246⨯=故答案为：.π614．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么＝________.12x -【分析】从外向里一层一层的求出对数的真数，求出x 的值【详解】∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴23＝x ，∴()113222x --==＝【点睛】利用对数式与指数式的相互转化从外向里求出真数，属于基础题．15．已知（，为常实数），若，则())2021log sin 8f x a x b x =--a a ()54f -=___________.()5f =【答案】20-【分析】由得出，进而得出.()()16f x f x -+=-()()5516f f -+=-()5f【详解】，()()2021log sin 8f x a x b x ⎫-=----⎪⎭，())2021log sin 8f x a x b x -=-++-∴，∴，()()16f x f x -+=-()()5516f f -+=-∵，∴.()54f -=()520f =-故答案为：20-四、双空题16．已知正实数满足，则当__________时，的最小值是,x y 22412x y xy +=+x =121x y xy ++__________．【答案】 612【解析】利用基本不等式可知，当且仅当“”时取等号.而运用基本不等式12xy ≤122y x ==121x y xy ++后，结合二次函数的性质可知恰在时取得最小值，由此得解.122y x ==【详解】解：由题意可知：，即，当且仅当“”224124x y xy xy+=+≥=12xy ≤122y x ==时取等号，，当且仅2121112x yxy xy xy++≥=+=-∴226≥-=当“”时取等号.122y x ==故答案为：，6.12【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.五、解答题17．已知集合，，，全集{A x y =={}260B x x x =--<{}C x x a =<U =R(1)求，；A B ⋃()U A B⋂ (2)若，求实数的取值范围．A C ⋂≠∅a 【答案】(1)；(]2,8A B =- ()()2,2U A B =- (2)()2,+∞【分析】（1）根据偶次根式被开方数大于等于零，进而解一元二次不等式分别求得集合，由并,A B 集、补集和交集的定义可得结果；（2）由可得的范围，取补集即可得到时的范围.A C ⋂=∅a A C ⋂≠∅a 【详解】（1）由得：，即；210160x x -+-≥28x ≤≤[]2,8A =由得：，即，；260x x --<23x -<<()2,3B =-(]2,8A B ∴=- ，.()(),28,U A =-∞+∞ ()()2,2U A B ∴=-（2）由题意知：；(),C a =-∞若，则，时，的取值范围为.A C ⋂=∅2a ≤A C ∴≠∅ a ()2,+∞18．已知函数（且）.()()()log 2log 2a a x x f x =+--0a >1a ≠(1)判断的奇偶性并予以证明；()f x (2)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集.20x ax c -+≤10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x c >【答案】(1)奇函数，证明见解析(2){}20x x -<<【分析】（1）先求定义域，再由奇偶性定义证明即可；（2）根据解集得出，，再利用对数函数的单调性解不等式即可.12a =0c =【详解】（1）要使有意义，必须且，()f x 20x +>20x ->解得，所以的定义域为.22x -<<()f x ()2,2-是奇函数.()f x 证明如下：的定义域为，关于原点对称，()f x ()2,2-∵，()()()()()()log 2log 2log 2log 2a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-⎡⎤⎣⎦∴为奇函数.()f x （2）由不等式的解集为，20x ax c -+≤10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴得，，10,210,2c a ⎧⨯=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩12a =0c =∴，得，()()()1122log 2log 20f x x x =+-->()()1122log 2log 2x x +>-∵为减函数，12log y x =∴20,20,22,x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩解得：，所以解集为.20x -<<{}20x x -<<19．已知.3sin cos αα=(1)若为锐角，求的值；αcos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)求的值.tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(2)7【分析】（1）由已知结合同角三角函数的平方关系可解得，然后由余弦的两角和可得；sin ,cos αα（2）由已知可得，由二倍角公式可得，最后由正切的两角和可得.tan αtan 2α【详解】（1）由，为锐角223sin cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩α解得sin αcos α=∴cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos cos sin sin 33ππαα=-12==（2）由3sin cos αα=得1tan 3α=则22122tan α33tan2α1tan α4113⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭31πtan2α14tan 2α7341tan2α14++⎛⎫∴+=== ⎪-⎝⎭-20．目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备.若该设备预计从第1个月到第个月的检测费用和设备维护费用总计为万元，该设备每月检测收入为20万元.n ()*n ∈N ()25n n +(1)该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）；(2)若该设备使用若干月后，处理方案有两种：①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】(1)第4个月开始盈利(2)方案①较为合算，理由见解析【分析】（1）求出利润表达式然后解不等式可得答案；（2）分别计算出两种方案的利润比较可得答案.【详解】（1）由题意得，即，()2203650n n n --+>215360n n -+<解得，∴.312n <<()*3n n >∈N ∴该设备从第4个月开始盈利.（2）该设备若干月后，处理方案有两种：①当月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出，.()22036536153n n n n n n --+⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭当且仅当时，取等号，月平均盈利达到最大，6n =∴方案①的利润为：（万元）.()2063636302038⨯--++=②当盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.，()222158120365153624y n n n n n n ⎛⎫=--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭∴或时，盈利总额最大，7n =8n =∴方案②的利润为20+16=36（万元），∵38>36，∴方案①较为合算.21．已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像， ()()2sin 0,22x f x ωϕωπϕ=≥<⎛⎫+ ⎪⎝⎭6π()g x 图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.()g x ()f x 2π（1）求在上的增区间;()f x []0,π（2）若在上有两解，求实数的取值范围.()230f x m -=+0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦m【答案】（1）；（2）.70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12⎛ ⎝【解析】（1）由的相邻两条对称轴的距离是，可得函数的周期，从而得出的值，由平移()f x 2πω得出的解析式，根据图像关于原点对称，可求出的值，从而可求单调增区间,得出()g x ()g x ϕ()f x 答案.（2）令 则，则，根据有两解，即23t x π=+4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[2s n 2]i t ∈()230f x m -=+有两解，从而可得答案.2sin 32t m =-【详解】解:由的相邻两条对称轴的距离是，则，()f x 2π22T ππω==1,ω∴=()()2sin 2f x x ϕ∴=+()2sin 2sin 2326x g x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎛⎫==-+ ⎪⎝⎥⎝⎣⎦⎭⎭函数的图像关于原点对称，， ()g x 3k πϕπ-+= ,2πϕ< 所以3πϕ=()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭（1）由， 222232k x k πππππ-≤+≤+Z k ∈得，51212k x k ππππ-≤≤+Z k ∈令得0k =51212x ππ-≤≤得1k =7131212x ππ≤≤在增区间是()f x \[]0,π70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令，则()223t x π=+0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 4,33t ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦所以[2s n 2]i t ∈若有两解，即在上有两解，()230f x m -=+2sin 32t m =-4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由，即2sin y t =322m ≤-<123m <≤12m ∴<≤的取值范围是m ∴12⎛ ⎝【点睛】关键点睛：本题考查求正弦型函数的单调增区间和根据方程的解个数求参数的范围问题，解答本题的关键是设，由则所以若23t x π=+0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[2s n 2]i t ∈有两解，即在上有两解，然后数形结合求解，属于中档()230f x m -=+2sin 32t m =-4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦题.22．对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”．()f x ()f x ()f x （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由；()|cos |f x x =（2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数的取值范围；2()log (sin )1f x x m =++[,]33ππ-m （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由．22()4243x x f x m m +=-+- R【答案】（1）是“伪奇函数”，理由见解析；（2；（3）答案见解析.1m <≤【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可；（2）由题意可知，，22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=即在有解，结合三角函数的性质即可求解；221sin 4m x -=[,]33ππ-（3）由题意可知，在上有解，2444(22)860x x x x m m --+-++-=R 令，则，从而在有解，22x x t -=+22,442x x t t -≥+=-224880t mt m -+-=[2,)+∞再分类讨论即可得出结果【详解】（1） ，()0()22f f ππ-==．((022f f ππ∴-+=是“伪奇函数”．()|cos |f x x ∴=（2）为“伪奇函数”，()f x ，()()0f x f x ∴+-=即，22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=即在有解．221sin 4m x -=[,]33ππ-，sin [x ∈ ．2211sin [,1]44m x ∴=+∈又在恒成立，sin 0m x +> [,33ππ-max (sin )m x ∴>-=．1m <≤（3）当为定义域上的“伪奇函数”时，22()4243x x f x m m +=-+- R 则在上有解，()()f x f x -=-R 可化为在上有解，2444(22)860x x x x m m --+-++-=R 令，则，22x x t -=+22,442x x t t -≥+=-从而在有解，224880t mt m -+-=[2,)+∞即可保证为“伪奇函数”，()f x 令，22()488F t t mt m =-+-则当时，在有解，①(2)0F ≤224880t mt m -+-=[2,)+∞即，22210m m --≤m ≤≤当时，在有解等价于②(2)0F >224880t mt m -+-=[2,)+∞22164(88)0,22,(2)0,m m m F ⎧∆=--≥⎪>⎨⎪>⎩m <时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是．m ≤≤22()4243x x f x m m +=-+- R。
2021-2022学年山东省潍坊市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
山东省潍坊市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 异面的棱有( ) A ．8条B ．6条C ．4条D ．2条〖解 析〗如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 异面的棱有：BC ，CD ，11C D ，11B C ． 〖答 案〗C2．下列命题正确的是( ) A ．若向量//a b ，//b c ，则//a c B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．方向不同的两个向量不可能是共线向量D ．若向量(3,6)a =--，则a 分别在x 轴，y 轴上的投影的数量之和为9-〖解 析〗A ．若a 与c 不共线，0b =，满足//a b ，//b c ，则得不出//a c ，A 错误； B ．模相等方向相反时，这两个向量不相等，B 错误； C ．方向相反的两个向量共线，C 错误；D.(3,6)a =--在x 轴上的投影为3-，在y 轴上的投影为6-，D 正确．〖答 案〗D3．下列各式化简结果为12的是( ) A ．212cos 75-︒ B ．sin15cos15︒︒C ．sin14cos16sin76cos74︒︒+︒︒D ．tan20tan25tan20tan25︒+︒+︒︒〖解 析〗对于A ，原式1(1cos150)cos150cos30=-+︒=-︒=︒=，故错误； 对于B ，原式1111sin302224=︒=⨯=，故错误；对于C ，原式1sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin302=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=，故正确； 对于D ，原式tan(2025)(1tan20tan25)tan20tan25=︒+︒-︒︒+︒︒tan45(1tan20tan25)tan20tan251tan20tan25tan20tan251=︒-︒︒+︒︒=-︒︒+︒︒=，故错误．〖答 案〗C4．定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，2()f z z =就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数()f z 之后，对任意一个复数0z ，通过计算公式1()n n z f z +=，n N ∈，可以得到一列值0z ，1z ，2z ，⋯，n z ，⋯．若2()f z z =，01z i =-，当3n 时，(n z = ) A ．122n -B ．22nC ．122n +D ．14n -〖解 析〗依题意，21(1)2z i i =-=-，22(2)4z i =-=-，243(4)2z =-=， 当3n 时，0n z >，由21n n z z +=，得：212log 2log n n z z +=，而23log 4z =，则2122n nlog z log z +=，当4n 时，252622422323242521n n n log z log z log z log z log z log z log z log z log z log z -=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯31422n n --=⨯=， 23log 4z =满足上式，∴当3n 时，12log 2n n z -=，122n n z -=．〖答 案〗A5．在ABC ∆中，若3AB =，4BC =，30C =︒，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定〖解 析〗3AB =，4BC =，AB BC <，C A ∴<，A ∴必为大于30︒的角，故A 可以为锐角，也可以是钝角，∴此三角形有二解．〖答 案〗B 6．若tan 2θ=-，则sin cos2(sin cos θθθθ=- )A ．65-B ．25-C ．25D ．65〖解 析〗因为tan 2θ=-，所以sin cos2sin cos θθθθ-22sin ()sin cos cos sin θθθθθ-=-sin (cos sin )(cos sin )sin cos θθθθθθθ+-=-2sin cos sin θθθ=--222sin cos sin sin cos θθθθθ--=+22tan 1tan tan θθθ--=+2441-=+25=-． 〖答 案〗B7．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，且AF CE G =，则( )A ．12AF AD AB =-B ．2133AG AD AB =- C ．1()2EF AD AB =+D ．3BG GD =〖解 析〗E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，∴12EF AC =， AC AD AB =+，∴1()2EF AD AB =+，故选项C 正确； 12AF AD DF AD AB =+=+，故选项A 错误； 221333AG AF AD AB ==+，故选项B 错误； 2BG GD =，故选项D 错误．〖答 案〗C8．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=>，若()f x 的图像在区间(0,)π上有且只有2个最低点，则实数ω的取值范围为( ) A ．137(,]62B ．725(,]26C ．814(,]33D ．28(,]33〖解 析〗函数()cos (0)2cos()3f x x x x πωωωω=>=+，若()f x 的图像在区间(0,)π上有且只有2个最低点，(33x ππω+∈，)3πωπ+， 353ππωππ∴<+，求得81433ω<． 〖答 案〗C二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．已知正四棱台上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则( )A ．正四棱台的高为2BC ．正四棱台的表面积为20+D〖解 析〗对于A ，正四棱台上下底面对角线长为，∴正四棱台的高h ==错误；对于B ，正四棱台的斜高h '==B 正确；对于C ，正四棱台侧面积为14(24)2⨯⨯+4，16，∴正四棱台的表面积41620S =++=+C 正确；对于D ，正四棱台的体积1(416)3V =D 正确．〖答 案〗BCD10．设1z ，2z ，3z 为复数，且30z ≠，则下列命题正确的是( ) A ．若12||||z z =，则12z z =± B ．若1323z z z z =，则12z z = C ．若2313||z z z =，则13z z =D ．若21z z =，则1323||||z z z z =〖解 析〗当11z =，2z i =时，12||||z z =，但12z z ≠±，故选项A 错误；1323z z z z =，且30z ≠，12z z ∴=，故选项B 正确；当1z i =，3z i =-时，2313||z z z =，但13z z ≠，故选项C 错误； 若21z z =，则1313||||||z z z z =⋅，23231313||||||||||||||z z z z z z z z =⋅=⋅=⋅， 故选项D 正确． 〖答 案〗BD11．已知函数()cos(2)12f x x π=+，则下列说法正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图像关于直线1124x π=对称C ．函数()f x 的图像关于点7(,0)24π-对称D ．函数()f x 在(0,)4π上单调递减〖解 析〗对于函数()cos(2)12f x x π=+，对于A ：函数的最小正周期为22ππ=，故A 错误； 对于B ：当1124x π=时，1124()cos 12424f ππ==-，故B 正确； 对于C ：当724x π=-时，7142()cos()cos()02424242f ππππ--=+=-=，故C 正确； 对于D ：当(0,)4x π∈时，72(,)121212x πππ+∈，故函数在该区间上单调递减，故D 正确．〖答 案〗BCD12．在ABC ∆中，P ，Q 分别为边AC ，BC 上一点，BP ，AQ 交于点D ，且满足AP tPC =，BQ QC λ=，BD DP μ=，AD mDQ =，则下列结论正确的为( )A ．若12t =且3λ=时，则23m =，9μ=B ．若2μ=且1m =时，则13λ=，12t =C ．若121tλ-=时，则121t μ-=D ．(1)(1)(1)(1)t mt m μλμλ=++++ 〖解 析〗由题意得：1t AC AP t +=，1m AQ AD m+=，BQ QC λ=， ()AQ AB AC AQ λ-=-，即111AQ AC AB λλλ=⋅+⋅++， 即11111m t AD AP AB m t λλλ++=⋅⋅+⋅++， 所以111111t m mAD AP AB t m m λλλ+=⋅⋅+⋅++++，因为B ，D ，P 三点共线，所以1111111t m mt m m λλλ+⋅⋅+⋅=++++，当12t =，且3λ=时，11312111311312m m m m +⋅⋅+⋅=++++，解得23m =，1BP BD μμ+=，1BC BQ λλ+=，AP tPC =， ∴()BP BA t BC BP -=-，即111t BP BC BA t t=⋅+⋅++， 即11111t BD BC BA t t μλμλ++=⋅⋅+⋅++，所以111111t BD BC BA t t λλλλλλ+++=⋅⋅+⋅++，因为A ，D ，Q 三点共线，所以1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++， 当12t =，且3λ=时，131121113111122μμμμ+⋅⋅+⋅=++++，解得9μ=，故A 正确； 若2μ=且1m =时，11211t t λλλ+⋅+=++，，113112t t t λλ+⋅+=++，解得12λ=，13t =，故B 错误； 1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++，变形为1111t t t t λλλμ++=+++①， 若121t λ-=时，则2t t λλ-=，代入①式得1111t μ-=+， 假设1111t μ-=+成立，则121t t=+，解得2t =-，此时10λ=，显然无解，故假设不成立，故C 错，同理可得1111111m m m λμμλμμ++⋅⋅+⋅=+++，1111111m t m m t m μμμ++⋅⋅+⋅=+++，所以111111(1)(1)t m m t m m μμμμμ-⋅=-=++++++，111111(1)(1)m m m m m λμμλμμ-⋅=-=++++++， 所以(1)(1)(1)(1)t mt m μλμλ=++++．故D 正确． 〖答 案〗AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答 案〗填在答题卡的相应位置． 13．记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若222sin a c b B +-=，则B = ．〖解析〗因为222sin a c b B +-=，所以由余弦定理可得2cos sin ac B B =，所以可得tan B =， 又(0,)B π∈，则3B π=．〖答 案〗3π14．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，侧棱长为2，则其外接球的表面积为 ． 〖解 析〗如图，设正三棱柱111ABC A B C -的上下底面中心分别为E ，F ，则由正三棱柱与球的对称性可知EF 的中点O 即为正三棱柱111ABC A B C -的外接球心， OA ∴即为外接球的半径R ，设正三角形ABC 的截面小圆半径为r ，又正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，∴由正弦定理可得12sin 60r =︒，∴r =，又12EF AA ==，1OF ∴=，在Rt AOF ∆中由勾股定理可得222r OF R +=，∴2113R +=，∴243R =，∴正三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为24164433R πππ=⨯⨯=． 〖答 案〗163π 15．如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即A ，B 两点间的距离），现取与A ，B 两点在同一平面内的两点C ，D ，测得C ，D 间的距离为1500米，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为 米．〖解 析〗由题意可知在ADC ∆中，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 则1801501515DAC ∠=︒-︒-︒=︒，故1500AD DC ==， 在BDC ∆中，15120135DCB ACD ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 故1801351530DBC ∠=︒-︒-︒=︒，故由sin sin BD CDDCB DBC=∠∠得1500sin 21sin 2CD DCB BD DBC ∠===∠，在ADB ∆中，2222cos135AB AD BD AD BD =+-⋅⋅︒，22215002150051500=++⨯⨯=⨯，故AB =)． 〖答案〗16．在平面直角坐标系xOy 中，给定1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，假设O ，A ，B 不在同一直线上，利用向量的数量积可以方便的求出OAB ∆的面积为12211||2S x y x y =-．已知三点(1,1)A ，(3,4)B -，2(,8)1tC t +，则ABC ∆面积的最大值为 ． 〖解 析〗依题意，在ABC ∆中，1(OA x =，1)y ，2(OB x =，2)y ， 则ABC ∆的面积为12211||2S x y x y =-， 当(1,1)A ，(3,4)B -，2(1t C t +，8)时，(4,3)AB =-，2(11t AC t =-+，7) 则ABC ∆面积22113|3(1)28||25|2121ABC t t S t t ∆=-+=+++， 显然ABC ∆面积取最大值时，必有0t >，因此，当0t >时，213131353(25)(25)(25)1212242ABC t S t t t t ∆=+=+=++⨯， 当且仅当1t =时取“=”， 所以ABC ∆面积的最大值为534． 〖答 案〗534四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知(3,)A m ，(2,1)B ，(2,1)C -，(,2)D n -是复平面内的四个点，其中m ，n R ∈，且向量AC ，BD 对应的复数分别为1z ，2z ，且1262z z i -=-+． （1）求1z ，2z ； （2）若复数12z tz z +=，t R ∈，在复平面内对应的点Z 在第四象限，求实数t 的取值范围． 解：（1）由已知可得(5,1)AC m =--，(2BD n =-，3)-， 则15(1)z m i =-+-，223z n i =--，所以123(4)62z z n m i i -=--+-=-+，则3642n m -=-⎧⎨-=⎩，解得2m =，9n =，所以15z i =--，273z i =-， （2）因为125(5)(73)(327)(223)73(73)(73)58z t i t t i i t t iz z i i i +--+-+-+-++-+====--+ 在复平面内对应的点在第四象限，则32702230t t -+>⎧⎨-+<⎩，解得322273t <<，即实数t 的范围为3222(,)73． 18．（12分）已知向量(1,2)a =，(2,5)b =-，2()c a tb t R =+∈． （1）若c b ⊥，求t 的值；（2）若c 与a 的夹角为锐角，求t 的取值范围． 解：（1）c b ⊥，(22,45)c t t =-+，∴2(22)5(45)0c b t t ⋅=--++=，∴1629t =-； （2）c 与a 的夹角为锐角，∴0c a ⋅>，且c 与a 不共线，∴222(45)0452(22)0t t t t -++>⎧⎨+--≠⎩，解得54t >-且0t ≠，t ∴的取值范围为：504t t t ⎧⎫-≠⎨⎬⎩⎭且．19．（12分）在ABC ∆中，点P 在边BC 上，3C π=，4AP =，记AC 的长为m ，PC 的长为n ，且16mn =． （1）求APB ∠；（2）若ABC ∆的面积为sin PAB ∠． 解：（1）在APC ∆中，由于3C π=，AC m =，PC n =，16AC PC mn ⋅==，所以利用余弦定理2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅，整理得：22216()3m n mn m n mn =+-=+-，解得8m n +=，故4m n ==， 则：AC PC AP ==，所以APC ∆为等边三角形，所以23APB π∠=． （2）由ABC S ∆=，所以1sin 2AC BC ⋅⋅⋅=7BC =，则3BP =；如图所示：作AD BC ⊥交BC 于点D ，由（1）可知：在等边三角形APC 中，AD =2PD =，在Rt ABD ∆中，AB = 在ABP ∆中，利用正弦定理：sin sin AB PBAPB PAB=∠∠，整理得：3sin74PAB ∠==．20．（12分）某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1)．现测量其中一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （如图2)．（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花50朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（参考数据： 3.14)π≈；（2）若C 是母线SA 的一个三等分点（靠近点)S ，从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．解：（1）圆锥的侧面展开图的面积为：618339.12S rl ππ==⨯⨯≈， 需要的鲜花为：339.125016956⨯=（朵)； （2）圆锥的侧面展开图如图：122183ASC ππ∠==，18SA =，6SC =，在SAC ∆中，AC ==即灯光带的最小长度为米．21．（12分）已知函数5()sin(2)2cos()sin()644f x x x x πππ=--++． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()y f x k =-在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个零点，求实数k 的取值范围． 解：（1）5()sin(2)2cos()sin()644f x x x x πππ=--++ sin 2cos cos2sin 2cos()sin()6644x x x x ππππ=-+++12cos2sin(2)22x x x π=-++12cos2cos22x x x =-+12cos22x x =+sin(2)6x π=+， 令222262k x k πππππ-+++，k Z ∈，所以36k x k ππππ-++，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为：[3k ππ-+，]6k ππ+，k Z ∈．（2）函数()y f x k =-在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个零点， 即曲线sin(2)6y x π=+与直线y k =在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个交点， 由11[,]612x ππ∈-，可得2[66x ππ+∈-，2]π， 当11[,]612x ππ∈-时，()sin(2)[16f x x π=+∈-，1]， 设26t x π=+，则sin y t =，[6t π∈-，2]π，当(1k ∈-，1)(02-⋃，1)时，曲线sin y t =与直线y k =区间[6t π∈-，2]π上有且仅有两个交点．22．（12分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)ϕπ<，()f x 图像上相邻的最高点与最低点的横坐标相差2π，3x π=-是()f x 的一条对称轴，且()(1)6f f π>． （1）求()f x 的〖解 析〗式；（2）将函数()f x 的图像向右平移12π个单位得到函数()t x 的图像，若存在1x ，2x ，⋯，m x 满足1205m x x x π<<⋯<，且1223|()()||()()|t x t x t x t x -+-+⋯+1|()()|20(2m m t x t x m --=，*)m N ∈，求m 的最小值；（3）令()()cos2h x f x x =-，()[()]g x h h x =，若存在[,]123x ππ∈使得2()(2)()30g x a g x a +-+-成立，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意，周期22T ππ=⨯=，故22,()sin(2)f x x πωϕπ===+， 且2()()32k k Z ππϕπ⨯-+=+∈，即7()6k k Z πϕπ=+∈， 因为||ϕπ<，故766ππϕπ=-=或75266ππϕπ=-=-， 故()sin(2)6f x x π=+或5()sin(2)6f x x π=-．当()sin(2)6f x x π=+时，()sin(2)1,(1)sin(2)16666f f ππππ=⨯+==+<， 故()sin(2)6f x x π=+成立；当5()sin(2)6f x x π=-时， 55()sin(2)1,(1)sin(2)16666f f ππππ=⨯-=-=->-．综上有()sin(2)6f x x π=+； （2）由题意，()sin[2()]sin 2126t x x x ππ=-+=，根据题意，要使m 的值尽量小， 则1|()()|m m t x t x --要尽量大．又1|()()|2m m t x t x --，结合()sin 2t x x =的图象可得，当12345673579110,,,,,,444444x x x x x x x ππππππ=======， 8910111213151719,,,,54444x x x x x πππππ=====时， m 的取值最小为12，（3）由（1）()2sin(2)6f x x π=+，所以1()()cos2sin(2)cos2cos2cos262h x f x x x x x x x π=-=+-=+-12cos2sin(2)26x x x π=-=-， 当[,]123x ππ∈时，0262x ππ-， 0()1h x ∴，所以，2()2666h x πππ---，所以，1()[()]sin[2()][,sin(2)]626g x h h x h x ππ==-∈--， ∴1()1[,1sin(2)]26g x π+∈+-，2223ππ<<，∴2362πππ<-<sin(2)16π<-<， 由2()(2)()30g x a g x a +-+-，可得2()2()3[()1]g x g x a g x +++，所以，22()2()3[()1]22()1()1()1()1g x g x g x a g x g x g x g x ++++==+++++，由基本不等式可得2()12[()()1g x g x g x ++++，当且仅当1()1[,1sin(2)]26g x π++-时，等号成立，所以，22a ．即a ∈)+∞．。
山东省济南市2021-2022学年高三上学期期末数学试题
【解析】
【分析】先分别求甲乙两箱摸到红球的概率，进一步求摸到红球的概率.
【详解】甲箱摸到红球的概率 ，乙箱摸到红球的概率 ；
硬币正面向上时的概率 ，硬币正面向下时的概率 ，
故摸到红球的概率为 .
故答案为: .
16.某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2；第二行得到数列 ；第三行得到数列 ，则第5行从左数起第6个数的值为________.用 表示第 行所有项的乘积，若数列 满足 ，则数列 的通项公式为________.
C.丙地：均值为7，方差为2D.丁地：极差为 ， 分位数为8
【答案】C
【解析】
【分析】对于选项AC：首先假设不达标，通过均值、中位数和方差的公式运算，检验假设是否成立；对于选项BD：根据众数、中位数、极差和百分位数定义即可判断.
【详解】不妨设8天中，每天查获的酒驾人数从小到大分别为 ， ， ， ，
且 ，其中 ，
【分析】根据向量坐标得线性运算和模的坐标表示即可判断A；
根据向量数量积的坐标表示即可判断B；
根据 即可判断C；
根据投影向量的定义即可判断D.
【详解】解： ，则 ，故A错误；
，故B正确；
，又 ，所以向量 与 的夹角为60°，故C错误；
向量 在 上的投影向量为 ，故D正确.
故选：BD.
10.已知实数 ， ， 满足 ，则下列说法正确的是（）
选项A：若不达标，则 ，因为中位数为5，所以 ，
又因为均值为4，故 ，从而 ，且 ，则 ， ， ， 满足题意，从而甲地有可能不达标；故A错误；
选项B：由众数和中位数定义易知，当 ， ， ， 时，乙地不达标，故B错误；
山东省滨州市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题 附答案
高一数学试题2022.1本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．在考试结束后将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,5M =，{}4,5N =，则()UM N ⋃=（ ）A. {}2,3,4,5B. {}5C. {}1,6D. {}1,2,3,4,6【答案】C 【解析】【分析】根据集合的运算可得答案.【详解】因为{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,5M =，{}4,5N =， 所以{}2,3,4,5M N ⋃=，所以(){}U1,6M N ⋃=故选：C2. 下列哪组中的两个函数是同一函数（ ） A. 2)y x =与y x =B. 2y lnx =与2y lnx =C. 211x y x -=-与1y x =+D. 21x y x+=与1y x x =+【答案】D 【解析】【分析】逐项判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果.【详解】A 中2)y x = 定义域为[)0,+∞，而y x =定义域为R ，所以定义域不同，不是同一函数，排除A ；B 中2y lnx =定义域()(),00,-∞⋃+∞，而2y lnx =定义域为()0,∞+，所以定义域不同，不是同一函数，排除B ；C 中 y =211x y x -=- 定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，而1y x =+定义域为R ，所以定义域不同，不是同一函数，排除C ；D 中，21x y x +=与1y x x =+的定义域均为()(),00,-∞⋃+∞，且211+==+x y x x x，对应法则一致，所以是同一函数，D 正确. 故选D【点睛】本题主要考查判断两函数是否是同一函数，熟记相等函数的判定条件即可，属于基础题型. 3. 对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．4. 一个扇形的弧长与面积的数值都是4，则该扇形圆心角（正角）的弧度数为（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据扇形的弧长公式计算即可.【详解】因为一个扇形的弧长与面积的数值都是4， 即4,4S l == 所以22S r l ==，所以圆心角为2lr= 故选：C5. 已知3log 4a =，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性比较可得1c a >>，根据指数函数的单调性可得1b <.【详解】11133331log log 5log 5log 45c a --===>=3log 31>=, 10311144b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以c a b >>. 故选；D【点睛】思路点睛：指数式、对数式、幂值比较大小问题，思路如下：思路一、对于同底数的幂值或对数式，直接根据指数函数或对数函数的单调性比较大小；思路二、对于不同底数的幂值或对数式，化为同底数的幂值或对数式，再根据思路一进行比较大小；或者找中间量（通常找0和1）进行比较. 6. 若()tan 2πα+=，则()()2sin 4sin cos 2παπαα⎛⎫----=⎪⎝⎭（ ） A. 95- B. 75- C.75 D.95【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式化简，然后可算出答案. 【详解】因为()tan tan 2παα+==所以()()222222cos 4sin cos 14tan 7sin 4sin cos cos 4sin cos 2cos sin 1tan 5παααααπαααααααα--⎛⎫----=-===- ⎪++⎝⎭故选：B7. R x ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]2.12=，[]33=，[]1.52-=-．设0x 为函数()23log 1f x x x=--的零点，则[]0x =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】【分析】根据函数零点存在定理判断零点0x 的取值范围即可求解. 【详解】解：因为()23log 1f x x x=--在()0,∞+上单调递增， 又()2233log 31log 3203f =--=-<，()2314log 41044f =--=>， 所以()03,4x ∈， 所以[]03x =， 故选：B.8. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买12g 黄金，售货员先将6g 的砝码放在天平左盘中，取出x g 黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g 的砝码放在天平右盘中，再取出y g 黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则（ ） A. 12x y +> B. 12x y += C. 12x y +< D. 以上选项都有可能【答案】A 【解析】【分析】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设)a b >，先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m ，利用杠杆的平衡原理可得16a m b =，26bm a=，再利用作差法比较12m m +与12的大小即可．【详解】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设)a b >， 先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m ， 由杠杆的平衡原理：16bm a =⨯，26am b =⨯，解得16a m b =，26bm a =， 则1266a b m m b a+=+， 下面用作差法比较12m m +与12的大小，212666()()1212a b b a m m b a ab-+-=+-=， 又a b ≠，∴26()0b a ab->，1212m m ∴+>，∴顾客实际购买的黄金大于12克．故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9. 下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的是（ ） A. 1y x=B. 2y x =-C. 12log y x = D. cos y x =【答案】BC 【解析】【分析】利用奇偶性和单调性的知识逐一判断即可. 【详解】1y x=是奇函数，不满足题意； 2y x =-是偶函数，且在区间()0,+∞上单调递减，满足题意；12log y x =是偶函数，且在区间()0,+∞上单调递减，满足题意；cos y x =是偶函数，但在区间()0,+∞上不单调递减，不满足题意；故选：BC10. 已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 的最小正周期是πB. ()f x 在区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C. 将函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()f x 的图象 D. 若方程()f x m =在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(2,3--【答案】AD 【解析】【分析】利用三角函数的知识逐一判断即可. 【详解】因为函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是22ππ=，故A 正确； 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,33x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调递增，故B 错误； 将函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位长度，得到函数22sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，故C 错误； 当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以若方程()f x m =在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(2,3--，故D 正确 故选：AD11. 已知函数()lg f x x =，若a ＞b ＞c ，且()()()f c f a f b >>，则（ ） A. a ＞1 B. b ＞1 C. 0＜c ＜l D. 0＜ac ＜1【答案】ACD 【解析】【分析】去掉绝对值，化为分段函数，根据函数图象，可判断出01c <<及1a >，b 则可能大于1，也可能大于0小于1，再结合,a c 范围得到不等式，求出01ac <<.【详解】()lg ,01lg ,1x x f x x x -<<⎧=⎨≥⎩，定义域为()0,∞+，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为a ＞b ＞c ，且()()()f c f a f b >>，结合函数图象可知，01c <<，且1a >，b 则可能大于1，也可能大于0小于1，故AC 正确，B 错误；其中lg lg c a ->，则lg lg lg 0c a ac +=<，故01ac <<，D 正确；故选：ACD12. 如图①是某条公共汽车线路收支差额y 关于乘客量x 的函数的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种建议，如图②③所示．（图②中实线与虚线平行），则下列说法正确的有（ ）A. 图②的建议：提高成本，并提高票价B. 图②的建议：降低成本，并保持票价不变C. 图③的建议：提高票价，并保持成本不变D. 图③的建议：提高票价，并降低成本 【答案】BC 【解析】【分析】根据图像反应了收支差额与乘客量x 的变化情况，即直线的斜率说明票价问题，当0x =时的点说明公司的成本情况，再结合图像进行分析可得答案．【详解】由（2）直线平行，即票价不变，直线向上平行移动时说明当乘客量为0时，收入为0， 但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；（3）当乘客量为0时，支出不变，但是倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大， 即票价提高了说明此建议是提高票价而保持成本不变． 故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数()223,0,2ln ,0,x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩，则()()01f f +=______．【答案】5-【解析】【分析】根据解析式算出答案即可.【详解】因为()223,0,2ln ,0,x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩所以()()01325f f +=--=- 故答案为：5-14. 2232711849⎛⎫⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．【答案】3 【解析】【分析】根据指数幂的运算算出答案即可.【详解】2220333271131911138492444⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故答案为：315. 已知()1cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=，则tan tan αβ=______.【答案】12【解析】【分析】利用两角和差余弦公式将()cos αβ+和()cos αβ-分别展开，再将两式进行加和减，可求得sin sin αβ和cos cos αβ，两式相除即可求得结果.【详解】()1cos cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=…①， ()3cos cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=…②， ①+②得：42cos cos 5αβ=，解得：2cos cos 5αβ=； ①-②得：22sin sin 5αβ-=-，解得：1sin sin 5αβ=1sin sin 15tan tan 2cos cos 25αβαβαβ∴===.故答案为：12. 【点睛】本题考查两角和差余弦公式的应用，涉及到同角三角函数商数关系的应用，属于基础题.16. 已知223log 64a b==，则11a b+=______． 【答案】1 【解析】【分析】将指数式变为对数式，求出,a b 的值，然后利用换底公式即可求解.【详解】解：因为223log 646a b===，所以23log 6,log 6a b ==，所以()66623log 2log 3log 2311log 6log 1116a b +=+=+=⨯=， 故答案为：1.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知函数()()21f x x a x a =+--，（1）当a ＝2时，求不等式()0f x >的解集；（2）若函数()f x 在[]1,3上具有单调性，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()(),12,-∞-⋃+∞ （2）3a ≤或7a ≥ 【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出答案即可； （2）由条件可得112a -≤或132a -≥，解出即可. 【小问1详解】当2a =时，()220f x x x =-->，解得2x >或1x <-故不等式()0f x >的解集为()(),12,-∞-⋃+∞ 【小问2详解】因为函数()f x 在[]1,3上具有单调性，所以112a -≤或132a -≥，解得3a ≤或7a ≥18. 已知函数()()2log 1f x x =+，()21log 1g x x=-， （1）设函数()()()h x f x g x =+，判断函数()h x 的奇偶性，并说明理由；（2）()1,1x ∀∈-，用()M x 表示()f x ，()g x 中的较大者，记为()()(){}max ,M x f x g x =，求函数()M x 的解析式．【答案】（1）()h x 是奇函数； （2）()()21log ,1,11M x x x=∈--. 【解析】【分析】（1）判断()h x -与()h x 的关系即可； （2）利用作差法比较()(),f x g x 的大小关系即可. 【小问1详解】()()()()22221log 1log log 1log 11h x x x x x=++=+---， ()h x 的定义域为()1,1-，()()()()22log 1log 1h x x x h x -=--+=-，所以()h x 是奇函数， 【小问2详解】()()()()()()2222221log 1log log 11log 1log 101f x g x x x x x x-=+-=+-=-≤=- 所以当()1,1x ∈-时，()()f x g x ≤所以()()(){}()()21max ,log ,1,11M x f x g x g x x x===∈-- 19. 某同学用“五点法”画函数()()sin f x A x =+ωϕ（ω＞0，2πϕ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+2π π32π 2πx29π59π()sin A x ωϕ+0 20 －2（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式； （2）当R x ∈时，求使()1f x ≤成立的x 的取值集合． 【答案】（1）表中数据见解析，()2sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； （2）22,,3339k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据表示数据可得函数的最值、周期和取得最值时的x 的值，然后可得答案； （2）由条件可得1sin 362x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，然后解出即可. 【小问1详解】 表中数据补充完整为：x ωϕ+2π π 32π 2πx18π 29π 718π 59π 1318π()sin A x ωϕ+2－2()2sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小问2详解】 由2sin 316x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭可得1sin 362x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭所以7232666k x k πππππ-≤-≤+，解得22,3339k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以使()1f x ≤成立的x 的取值集合为22,,3339k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦20. 已知指数函数()y f x =的图象经过点()2,9P ， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设函数()()1g x f x =，证明：函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于y 轴对称．【答案】（1）()3xf x =（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设指数函数()x y f x a ==(0a >且1)a ≠，由函数图象过点()2,9P 即可求解；（2）任取函数()y f x =的图象上一点()00,P x y ，证明()00,P x y 关于y 轴的对称点为()00,P x y '-在函数()y g x =的图象上即可.【小问1详解】解：由题意，设指数函数()xy f x a ==(0a >且1)a ≠，因为函数()y f x =的图象经过点()2,9P ，所以29a =，解得3a =， 所以函数()3xf x =；【小问2详解】证明：由（1）知()()1133x x y g x f x -====， 任取函数()y f x =的图象上一点()00,P x y ，则003xy =，因为()00,P x y 关于y 轴的对称点为()00,P x y '-，且()00033xx y --==，所以()00,P x y '-在函数()y g x =的图象上，所以函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于y 轴对称． 21. 如图，扇形OPQ 的半径为1，圆心角为6π，平行四边形ABCD 的顶点C 在扇形弧上，D 在半径OQ 上，A ，B 在半径OP 上，记平行四边形ABCD 的面积为S ，COP α∠=．（1）用α表示平行四边形ABCD 的面积S ；（2）当α取何值时，平行四边形ABCD 的面积S 最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）3sin 2,0,326S ππαα⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）当12πα=时，S 取得最大值312-. 【解析】【分析】（1）过点C 作CE OP ⊥交OP 于点E ，在OCE △中可得sin CE α=，在OCD 中由正弦定理可得2sin 6CD πα⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后可得答案. （2）根据正弦函数的知识可得答案. 【小问1详解】过点C 作CE OP ⊥交OP 于点E ，在OCE △中1OC =，COE α∠=，所以sin CE α= 在OCD 中，,6COD OCD παα∠=-∠=，所以56ODC π∠=由正弦定理可得5sin sin 66CD OCππα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 6CD πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以()22sin sin cos 3sin sin cos 36S CD CE παααααααα⎛⎫=⋅=-== ⎪⎝⎭11cos 23sin 23sin 20,2236αππααα-⎛⎫⎛⎫==+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】因为0,6πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以当232ππα+=即12πα=时，S 取得最大值312-22. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，（1）当x ＜0时，()()1f x x x =-，求当x ＞0时，()f x 的解析式； （2）若()f x 在(],0-∞上单调递增，①判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，并用定义证明你的判断；②若()()22220f x x f x k -++--<对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）()()1f x x x =-+；（2）①()f x 在()0,∞+上单调递增，理由见解析；②1,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性求出当x ＞0时，()f x 的解析式；（2）①根据函数定义及奇偶性证明函数单调性，②根据函数奇偶性和单调性进行不等式的求解. 【小问1详解】当0x >时，0x -<，()()1f x x x -=---，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，故()()1f x x x -=---，所以当0x >时，()()1f x x x =-+； 【小问2详解】①()f x 在()0,∞+上单调递增，理由如下：因为()f x 在(],0-∞上单调递增，所以对任意()12,,0x x ∈-∞，且12x x <时，有()()12f x f x <，则()12,0,x x --∈+∞，且12x x ->-，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()11f x f x =--，()()22f x f x =--，故()()12f x f x --<--，即()()12f x f x ->-，故函数()f x 在()0,∞+上的单调递增；②因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在(],0-∞上的单调递增，可得：函数()f x 在R 上单调递增，又()()2222f x x f x k -+<---，则()()2222f x x f x k -+<+，因为()f x 在R 上的单调递增，故2222x x x k -+<+恒成立，即221144816k x x x ⎛⎫>-+=--+ ⎪⎝⎭，所以实数k 的取值范围为1,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.。
2021-2022学年山东省蓬莱高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省蓬莱第一中学高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}22|log (32),|4A x y x B x x ==-=>，则R A B ⋃=（ ）A ．3|22x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭B ．{|2}x x <C ．3|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{|2}x x【答案】D【解析】根据对数型函数的定义域化简集合A 的表示，解一元二次不等式化简集合B 的表示，最后根据集合的补集和并集的定义，结合数轴进行求解即可.【详解】因为{}{242B x x x x ==>或}2x <-，所以R {|22}B x x =-又因为{}23|log (32){|320}|,2A x y x x x x x ⎧⎫==-=->=<⎨⎬⎩⎭所以R A B ⋃={|2}x x . 故选：D【点睛】本题考查集合的补集与并集的定义，考查了数学运算能力，属于基础题.2．函数()lg(2)f x x =-的定义域为（ ） A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)2,∞+【答案】C【分析】解不等式组310,20x x -≥⎧⎨->⎩即得解. 【详解】解：由题得3101,2203x x x -≥⎧∴≤<⎨->⎩. 所以函数的定义域为1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C3．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点(sin ,tan )P αα在第四象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】依据三角函数值的符号判断角α的终边所在象限即可解决. 【详解】由点(sin ,tan )P αα在第四象限，可知sin 0,tan 0αα><，则角α的终边在第二象限. 故选：B4．已知命题“[]3,3x ∀∈-，240x x a -++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(4,)-+∞ B ．()21,+∞ C ．(),21-∞ D ．()3,-+∞【答案】A【分析】由全称命题的否定转化为最值问题求解即可. 【详解】因为命题“[]3,3x ∀∈-，240x x a -++≤”为假命题，所以240x x a -++>在[3,3]x ∈-上有解，所以2max (4)0x x a -++>，而一元二次函数24x x a -++在422(1)x =-=⨯-时取最大值，即22420a -+⨯+>解得4a >-， 故选：A5．函数()13cos313xxf x x -=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断奇偶性，可排除C ，D ，由特殊值()f π，可排除B ，即可得到答案.【详解】因为()()()1331cos 3cos31331x x x x f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++，所以函数()f x 为奇函数，排除C ，D ；又()13cos3013f ππππ-=>+，排除B ，故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6．若α，β的终边（均不在y 轴上）关于x 轴对称，则（ ） A ．sin sin 0αβ+= B ．cos cos 0αβ+= C ．22sin sin 1αβ+= D ．tan tan 0αβ-=【答案】A【分析】因为α，β的终边（均不在y 轴上）关于x 轴对称，则2k αβπ+=，Z k ∈，然后利用诱导公式对应各个选项逐个判断即可求解．【详解】解：因为α，β的终边（均不在y 轴上）关于x 轴对称， 则2k αβπ+=，Z k ∈，选项A ：sin sin sin sin(2)sin sin 0k αβαπααα+=+-=-=，故A 正确， 选项B ：cos cos cos cos(2)2cos 0k αβαπαα+=+-=≠，故B 错误， 选项C ：22222sin sin sin sin (2)2sin 0k αβαπαα+=+-=≠，故C 错误， 选项D ：tan tan tan tan(2)tan tan 2tan 0k αβαπαααα-=--=+=≠，故D 错误， 故选：A ．7．若31,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记cos sin cos log ,log cos ,1log tan x y z αααααα===+，则,,x y z 的大小关系正确的是（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．x z y <<D ．y x z <<【答案】C【分析】由题意可得0cos sin 1,tan 1αααα<<<<>，然后利用对数函数的单调性比较大小 【详解】因为31,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0cos sin 1,tan 1αααα<<<<>， 所以cos cos log log 10x ααα=<=， sin sin log cos log sin 1y αααα=>=，cos cos cos 1log tan log (cos tan )log sin z ααααααα=+==，因为0cos sin 1αα<<<，所以cos cos cos log cos log sin log 1ααααα>>， 所以cos 1log sin 0αα>>，即01z <<， 综上，x z y <<， 故选：C8．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f -=-，当,1,1a b且0a b +≠时()()0f a f b a b+>+.已知,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若()243sin 2cos f x θθ<+-对[]1,1x ∀∈-恒成立，则θ的取值范围是（ ）A ．,62ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．,32ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．,26ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由奇偶性分析条件可得()f x 在[]1,1-上单调递增，所以()max 1f x =，进而得2143sin 2cos θθ<+-，结合角的范围解不等式即可得解. 【详解】因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数， 所以当,1,1a b且0a b +≠时()()()()00()f a f b f a f b a b a b +-->⇔>+--，根据,a b 的任意性，即,a b -的任意性可判断()f x 在[]1,1-上单调递增， 所以()max (1)(1)1f x f f ==--=，若()243sin 2cos f x θθ<+-对[]1,1x ∀∈-恒成立，则2143sin 2cos θθ<+-，整理得(sin 1)(2sin 1)0θθ++>，所以1sin 2θ>-，由,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得,62ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故选：A.【点睛】关键点点睛，本题解题的关键是利用()()()()00()f a f b f a f b a b a b +-->⇔>+--，结合变量的任意性，可判断函数的单调性，属于中档题.二、多选题9．已知全集U =R ，集合M ，N 的关系如图所示，则（ ）A ．NM M =B ．()U M N ⋂=∅C ．()()U U M N ⊇D ．()()U U UM N N ⋂=【答案】AB【分析】根据韦恩图，结合集合的交并补运算逐个选项分析即可.【详解】由图可知()()()()(),,,U U U U UUN M M M N M N M N M ==∅⊆=.故选：AB10．幂函数21*()(22),N m f x m m x m --=+-∈，则下列结论正确的是（ ） A ．1m = B ．函数()f x 是偶函数 C ．(2)(3)f f -< D ．函数()f x 的值域为(0,)+∞【答案】ABD【分析】根据幂函数定义可知2221m m +-=，即可解得m 的值，结合m 是正整数即可对选项做出判断.【详解】由幂函数定义可知，系数2221m m +-=，解得1m =或32m =-，又因为*N m ∈，所以1m =；故A 正确； 1m =时，221()f x xx -==，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且满足2()()1f f x x x ==-，所以函数()f x 是偶函数，即B 正确； 由21()f x x=可知，函数()f x 在(0,)+∞为单调递减，所以(2)(2)(3)f f f -=>，所以C 错误； 函数21()f x x=的值域为(0,)+∞，即D 正确； 故选：ABD.11．已知函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则（ ）A ．函数解析式()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度可得函数()f x 的图象C ．直线1112x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴 D ．函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2【答案】ABC【分析】根据图像得到解析式，利用函数的性质进项判断即可. 【详解】由题图知：函数()f x 的最小正周期453612T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则22πωπ==，2A =，所以函数()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式中可得22sin 6πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()262k k Z ππϕπ+=+∈，得()23k k Z πϕπ=+∈， 因为2πϕ<，所以3πϕ=，因此()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度可得函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，故B正确.()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1112x π=-时，()2f x =，故C 正确.当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，23x π+∈2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以()f x ⎡∈-⎣故D 错误． 故选：ABC ．12．已知正实数x ，y ，z 满足236x y z ==，则（ ） A ．111x y z+=B ．236x y z >>C ．236x y z >> D ．24xy z ≥【答案】ACD【分析】令236x y z t ===则1t >，可得：2log x t =，6log z t =，进而结合对数运算与换底公式判断各选项即可得答案.；【详解】解：令236x y z t ===，则1t >，可得：2log x t =， 3log y t =，6log z t =， 对于选项A ：因为()231111lg 2lg 31lg 61lg 2lg 3log 6log log lg lg lg lg t x y t t t t t t z+=+=+=+===， 所以111x y z+=，故选项A 正确；对于选项B ，因为1t >，故lg 0t >，所以232lg 3lg 2log 3log lg 2lg323t t t x t y -=-=-()23lg lg3lg 2lg 2lg3t -=⋅9lg lg80lg 2lg3t =>⋅，即23x y >； ()3663lg lg3lg lg 62lg33lg 6lg 9363log 6log 0lg3lg 6lg3lg 6lg3lg 6t t t t y z t t ⋅--=-=-==<⋅⋅，即36y z <，故B 选项错误. 对于选项C ：log lg lg a t t a a a =，因为02lg 23lg36lg 6<<<，所以1112lg 23lg 36lg 6>>， 因为lg 0t >，所以lg lg lg 2lg 23lg 36lg 6t t t >>，即362log log log 236t t t >>，即236x y z>>，故选项C 正确；对于选项D ：()223lg lg lg log log lg 2lg3lg 2lg3t t txy t t =+=⋅=⨯， ()()()222262lg 444log 4lg lg 6lg 6t z t t ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 因为()22lg 6lg 2lg30lg 2lg324+⎛⎫<⨯<=⎪⎝⎭，因为lg 2lg3≠所以等号不成立， 所以()214lg 2lg3lg 6>⨯，即()()()222lg 4lg lg 2lg 3lg 6t t >⨯， 所以24xy z >，根据“或”命题的性质可知选项D 正确. 故选：ACD三、填空题13．如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是__________.【答案】{}90180120180,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈ 【分析】写出终边落在边界上的角，即可求出.【详解】因为终边落在y 轴上的角为90180,k k Z ︒+⋅︒∈， 终边落在图中直线上的角为1203601202180,k k ︒︒+⋅︒=+⋅︒Z k ∈； 3003601201802180120(21)180,n n n n Z ︒︒︒+⋅︒=+︒+⋅︒=++⋅︒∈，即终边在直线上的角为120180k ︒+⋅︒，Z k ∈，所以终边落在阴影部分的角为90180120180,k k k Z α︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈， 故答案为：{}90180120180,k k k Z αα︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈14．已知正数x ，y 满足21x y +=，则12xx y +的最小值为__________.【答案】5【分析】根据基本不等式即可求解最值.【详解】()212121124y x x y x y x y-+=+=+-， 由于0,0x y >>，21x y +=,所以()12122222241125x y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=++-=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当13x y == 时，取等号，故12x x y +最小值为5，故答案为：515．数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB 长为2，则莱洛三角形的面积是________．【答案】2π23-232π-【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解.【详解】由已知得2π3AB BC AC ===， 则AB =BC =AC =2，故扇形的面积为2π3， 由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍， ∴所求面积为22π33222π233⨯-=- 故答案为：2π23-32π-．四、双空题16．已知定义在R 上的奇函数12,(0)()(),(0)x x f x g x x ⎧-≥=⎨<⎩，则(1)f -=________；不等式(())7≤f f x 的解集为________.【答案】 1 (,2]-∞【解析】由奇函数关于原点对称的性质，即可求得(1)f -；不等式(())7≤f f x 的解集等价于()3f x ≥-的解集，即可求得答案.【详解】解：∵12,(0)()(),(0)x x f x g x x ⎧-≥=⎨<⎩是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()()()1221x xg x f x f x --==--=-=--，12,(0)()21,(0)x x x f x x -⎧-≥∴=⎨-<⎩，∴(1)211f -=-=；又12,(0)()21,(0)x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩在()0,∞+和()0-∞，上都单调递减，而且函数又是连续性函数，图像没有断开，所以函数12,(0)()21,(0)x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩在R 上单调递减，∵不等式(())7,(3)7f f x f ≤-=，()3f x ∴≥-，123xx ≥⎧∴⎨-≥-⎩或0213x x -<⎧⎨-≥-⎩， 解得：2x ≤，即不等式(())7≤f f x 的解集为(,2]-∞. 故答案为：1；(,2]-∞.【点睛】本题考查奇函数的性质以及求解方法，考查复合不等式的求解，属于中档题.五、解答题 17．（1）计算20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）计算31log 242766194log 3log 8log 82log 3--⋅+-【答案】（1）0；（2）3【分析】（1）利用有理数指数幂性质以及运算法则求解； （2）利用对数性质及运算法则求解.【详解】（1）20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12223816442216273-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22933220444⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）31log 242766194log 3log 8log 82log 33--⋅+-3212log 2323662134log 3log 2log 22log 33=-⨯++3log 42366134log 3log 2log 2log 32=-⨯⨯++()642log 23213=-+⨯=+=.18．如图，以Ox 为始边作角α与(0)ββαπ<<<，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin 2cos 211tan ααα+++的值；（2）若cos cos sin sin 0αβαβ+=，求()sin αβ+的值． 【答案】（1）1825（2）725【分析】(1)由三角函数的定义首先求得sin ,cos αα的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；(2)由题意首先求得,αβ的关系，然后结合诱导公式和两角和差正余弦公式即可求得三角函数式的值. 【详解】（1）由三角函数定义得3cos 5α=-，4sin 5α， ∴原式2222sin cos 2cos 2cos (sin cos )3182cos 2sin sin cos 5251cos cos αααααααααααα++⎛⎫====⨯-=⎪+⎝⎭+． （2）∵cos cos sin sin cos()0αβαβαβ+=-=，且0βαπ<<<， ∴2παβ-=，2πβα=-，∴3sin sin cos 25πβαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，4cos cos sin 25πβαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．∴44337sin()sin cos cos sin 555525αβαβαβ⎛⎫+=+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查三角函数的定义，二倍角公式及其应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．已知函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2(1)求函数()f x 的单调递增区间和其图象的对称轴方程; (2)先将函数()y f x =的图象各点的横坐标向左平移π12个单位长度，纵坐标不变得到曲线C ，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到()g x 的图象，若1()2g x ≥，求x 的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈； (2)πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】(1)由条件可得函数()f x 的最小正周期，结合周期公式求ω，再由正弦函数性质求函数()f x 的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数()g x 的解析式，根据直线函数性质解不等式求x 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2，所以()f x 的最小正周期为π，所以2ππω=，2ω=，所以π()2sin(2)3f x x =-， 由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，可得π5πππ1212k x k -≤≤+，()k ∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 由()ππ2πZ 32x k k -=+∈得π5π(Z)212k x k =+∈，所以所求对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈ （2）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度得到曲线π:2sin(2)6C y x =-，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到π()sin(2)6g x x =-的图象， 由1()2g x ≥得π1sin(2)62x -≥，所以ππ5π2π22π666k x k +≤-≤+，Z k ∈，所以ππππ62k x k +≤≤+，Z k ∈，所以x 的取值范围为πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦20．已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立.(2)证明函数()y f x =是R 上的减函数； (3)若2(2)()0f x f x -+<，求x 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3){1x x >或}2x <-【分析】（1）利用特殊值求出(0)0f =，从而证明()()f x f x -=-即可；（2）证明出[]121222()()()()f x f x f x x x f x ∴-=-+-12()f x x =-，再利用当0x >时，()0f x <恒成立即可得解；（3）利用函数的单调性和奇偶性进行证明即可得解. 【详解】（1）证明：由()()()f a b f a f b +=+， 令0a b 可得(0)(0)(0)f f f =+， 解得(0)0f =，令,==-a x b x 可得()()()f x x f x f x -=+-， 即()()(0)f x f x f +-=，而(0)0f =，()()f x f x ∴-=-，而函数()y f x =的定义域为R ，故函数()y f x =是奇函数．（2）证明：设12x x >，且1R x ∈，2x R ∈，则120x x ->， 而()()()f a b f a f b +=+[]121222()()()()f x f x f x x x f x ∴-=-+-1222()()()f x x f x f x =-+- 12()f x x =-，又当0x >时，()0f x <恒成立，即12()0f x x -<，12()()f x f x ∴<， ∴函数()y f x =是R 上的减函数；（3）(方法一）由2(2)()0f x f x -+<， 得2(2)()f x f x -<-， 又()y f x =是奇函数， 即2(2)()f x f x -<-，22x x ∴->-解得1x >或 2.x <-故x 的取值范围是{1x x >或}2x <-. (方法二)由2(2)()0f x f x -+<且(0)0f =，得2(2)(0)f x x f -+<， 又()y f x =在R 上是减函数， 220x x ∴-+>，解得1x >或 2.x <-故x 的取值范围是 {1x x >或}2x <-.21．已知函数()2f x x bx c =++，满足()()1f x f x =-，其一个零点为1-．(1)当0m ≥时，解关于x 的不等式()()21mf x x m ≥--； (2)设()()313f x x h x +-=，若对于任意的实数1x ，[]22,2x ∈-，都有()()12h x h x M -≤，求M 的最小值．【答案】(1)答案见解析 (2)242【分析】（1）根据条件求出,b c ，再分类讨论解不等式即可； （2）将问题转化为()()max min M h x h x ≥-，再通过换无求最值即可. 【详解】（1）因为()()1f x f x =-，则()()2211x bx c x b x c ++=-+-+，得1b又其一个零点为1-，则()1110f c -=++=，得2c =-，则函数的解析式为()22f x x x =--则()()2221m x x x m --≥--，即()()()222210mx m x mx x -++=--≥当0m =时，解得：1x ≤当0m >时，①2m =时，解集为R ②02m <<时，解得：1x ≤或2x m≥， ③m>2时，解得：2x m≤或1x ≥， 综上，当0m =时，不等式的解集为}{1x x ≤；当2m =时，解集为R ；当02m <<时，不等式的解集为{1x x ≤或2x m ⎫≥⎬⎭； 当m>2时，不等式的解集为2x x m ⎧≤⎨⎩或}1x ≥.（2）对于任意的1x ，[]22,2x ∈-，都有()()12h x h x M -≤， 即()()max min M h x h x ≥-令()222314t x x x =+-=+-，则()3th t =因为[]2,2x ∈-，则min 0t =，max 5t =可得()5max 3h t =，()0min 31h t ==则()()max min 2431242h x h x -=-=， 即242M ≥，即M 的最小值为242．22．某同学用“五点法”画函数()()cos 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请根据上表数据，求函数()f x 的解析式；(2)关于x 的方程()f x t =区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求t 的取值范围；(3)求满足不等式()()52043f x f f x f ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数解． 【答案】(1)()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)2⎡⎤⎣⎦； (3)2.【分析】（1）由表格中的数据可得出A 的值，根据表格中的数据可得出关于ω、ϕ的方程组，解出这两个量的值，可得出函数()f x 的解析式；（2）利用余弦型函数的基本性质求出函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，即可得出实数t 的取值范围；（3）分析可得()0f x <或()1f x >，分别解这两个不等式，得解集，令0k =，得解集的一部分，由此可得出解集中的最小正整数解.【详解】（1）解：由表格数据知，2A =，由325362πωπϕπωπϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得26ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）解：当2,0x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则cos 262x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦， 因为方程()f x t =区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，所以t的取值范围为2⎡⎤⎣⎦. （3）解：因为552cos 2sin 14266f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2432cos 2cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以不等式即：()()10f x f x ⎡⎤-⋅>⎣⎦，解得()0f x <或()1f x >，由()0f x <得cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以()3222Z 262k x k k πππππ+<-<+∈， 所以5,36x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，Z k ∈； 由()1f x >得1cos 262x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()222Z 363k x k k πππππ-+<-<+∈，所以,124x k k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，Z k ∈.令0k =可得不等式解集的一部分为5,,12436ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，解集中最小的正整数为2．。
2021-2022学年山东省济南市第一中学高一数学文联考试卷含解析
2021-2022学年山东省济南市第一中学高一数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(?R B)＝()A．{x|x＞1} B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}参考答案：D2. 设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（）A．B．C． D．参考答案：C3. 函数的图象是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】求出函数的定义域，排除选项，利用函数的单调性判断求解即可．【解答】解：函数，可得x，可得x＞1或﹣1＜x＜0，排除选项A，D；当x＞1时，y=x﹣是增函数，由复合函数的单调性可知，函数，x＞1是增函数，排除C，故选：B．4. 偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数，且，则不等式的解集为（）A. (－2,0)∪(2,+∞)B. (－∞,－2) ∪(0,2)C. (－∞,－2)∪(2,+∞)D. (－2,0) ∪(0,2)参考答案：B5. 在中, 已知则A.2B.3C.4D.5参考答案：B6. 函数在区间上的图像大致为（A）（B）（C）（D）参考答案：A略7. 下列说法正确的是A. 直线a平行于平面M，则a平行于M内的任意一条直线；B. 直线a与平面M相交，则a不平行于M内的任意一条直线；C. 直线a不垂直于平面M，则a不垂直于M内的任意一条直线；D. 直线a不垂直于平面M，则过a的平面不垂直于M.参考答案：B8. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是A.甲 B．乙 C．丙 D．丁参考答案：D略9. 设集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，2，3，4}，B={3，5，6}，则A∩（?U B）=（）A．{1，2} B．{1，2，7} C．{1，2，4} D．{1，2，3}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，写出运算结果即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，2，3，4}，B={3，5，6}，则?U B={1，2，4，7}，所以A∩（?U B）={1，2，4}．故选：C．10. 若f(x)=-x2+2ax与在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是( )A． B． C．（0，1） D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的图象过定点参考答案：（-2，0）12. lg2+lg5=，log42+=．参考答案：1，2【分析】根据对数和指数幂的运算性质计算即可．【解答】解：lg2+lg5=lg10=1，log42+2=+3×=2，故答案为：1，2．13. 已知角的终边与函数决定的函数图象重合，的值为_____________．参考答案：解析：在角的终边上取点14. 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a∶b∶c＝∶1∶1，则角A 的大小为____________参考答案：120°（或者）15. 将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为．参考答案：y=sin4x【分析】按照左加右减的原则，求出函数所有点向右平移个单位的解析式，然后求出将图象上所有点的横坐标变为原来的倍时的解析式即可．【解答】解：将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数=sin2x，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y=sin4x．故答案为：y=sin4x．【点评】本题是基础题，考查函数的图象的平移与伸缩变换，注意x的系数与函数平移的方向，易错题．16. 已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a-1，2a]，则a= ，b= .参考答案：，0。