{高中试卷}高一数学月考试题0[仅供参考]
20XX年高中测试
高
中
试
题
试
卷
科目：
年级：
考点：
监考老师：
日期：
高一数学月考试题
一、选择题（每小题4分，共64分） 1.下列说法中，正确的是（ ）
(A)数列1，2，3和数列3，2，1是同一数列 (B)数列1，2，3和数列1，2，3，4是同一数列
(C)数列1，2，3，4，…的一个通项公式是)(+∈=N n n a n (D)数列1，2，3，4，…的通项公式是)(2+∈=N n n a n
2.已知数列}{n a 的首项11=a ，且)1(121>∈+=-n N n a a n n 且，则4a 的 值为（ ）
(A) 7 (B) 15 (C) 29 (D) 31 3.数列1，3，6，10，x ，21，28…中x 的值为（ ） (A) 12 (B) 15 (C) 17 (D) 18
4.已知数列}{n a 成等差数列，若12103=+a a ，则76a a +的值为（ ） (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 16
5.设集合}01{2>-=x x A ，}0log {2>=x x B ，则B A 等于（ ） (A)}1{>x x (B)}0{>x x (C)}1{-<x x (D) }11{>-<x x x 或
6.函数x y 2=关于直线x y =对称的函数为（ ）
(A)x y 21-= (B)x y 2
1
= (C)x y 2-= (D)x y 2=
7.函数1)(2++=bx x x f 在)0[∞+，上为增函数，则b 的取值范围是（ ） (A)0≤b (B)0≥b (C)0<b (D)0>b
8.下列表示同一函数的是（ ）
(A)2)1(1-=-=x y x y ， (B)2lg lg 2x y x y ==，
(C)1112+-=-=x x y x y ， (D)100
lg 2lg x
y x y =-=，
9.函数x a x f =)()10(≠>a a 且，则)1(-=x f y 函数的图象必过点（ ）
(A) (0，1) (B) (1，1) (C)(a , 2） (D))2(a ， 10.函数)34(log )(2
1-=x x f 的定义域为（ ）
(A)）（+∞,43 (B))43,∞-（ (C))1,43( (D)]143(，
11.已知==)2(lg )(2f x x f ，则( )
(A)2lg (B)2 (C)21 (D)2lg 21
12.函数2
22)3
1(+-=x x y 的单调增区间是（ ）
(A)(1，+∞) (B)(-∞,0) (C)(-∞,1) (D)(0,+∞)
13.在国内投寄平信，每封信不超过20g ，付邮资80分，超过20g 而不超过40g ，付邮资160分，依次类推，每封重x g )600(≤<x 的平信应付邮资为（单位：
分）⎪⎩
⎪
⎨⎧∈∈∈=].60,40(240],40,20(160],20,0(80x x x y ，，，若某人投寄45g 的平信，应付邮资（ ）
(A)80分 (B)160分 (C)240分 (D)320分
14.已知8)(3-+=bx x x f ，且10)2(=-f ,则=)2(f ( ) (A)-26 (B)-18 (C)-10 (D)10 15.函数)(3R x x y ∈=与直线x y =的交点坐标为（ ）
(A)(0,0) (B)(0,0)，(1,1) (C)(-1,-1) ，(0,0) ，(1,1) (D)(-1,-1) 16.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始匀速跑步前进，跑累了再匀速走余下的路程，下图中横轴表示出发后的时间t ，纵轴表示离学校的距离y ，则下列四个图中符合该学生的走法的是（ ）
O 0t t O 0t t O 0t t O 0t t
(A) (B) (C) (D)
二、填空题（每小题4分，共24分） 17.函数)31(log 7x y -=的定义域为
18.在等差数列}{n a 中，若===1293,3,9a a a 则
19.在数列}{n a 中，11=a ，21+=-n n a a )2(≥n ，则通项公式=n a 20.函数22-=x y 的定义域为 21.函数x x x f 24)(-=，则=-)0(1
f
.
22.函数⎩⎨⎧≤>=)
0(3)0(log )(2x x x x f x ,则=)]41
([f f
高一数学月考试题
班级学号姓名
一、选择题（每小题4分，共64分）
17. 18. 19. 20. 21. 22.
三、解答题（共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 23.解不等式：（12分）
(1)0862
<+-x x (2)12
2>-x
x
24.(12分)在等差数列}{n a 中，已知3110125==a a ，，求数列{n a }的通项公式.
25. (12分)某商人如果将进货单价为8元/件的商品按10元/件出售时，每月可销售100件，已知商品每涨价1元/件，销售量就减少10件。
问把销售价格定为多少时，才能赚取的利润最大,最大利润为多少元？
26.(12分)(1) 已知等差数列}{n a 中，100,221===n a d a ，，求n S ; (2) 求数列
)
1(1431321211+⋅⨯⨯⨯n n ，，，， 的前n 项和n S .
27.(14分)函数1
x
f(1)求证：)
=x
x
2
-
)
(2+
-(2)画出函数)
(x
f=
f的
)
x
(x
(
f
图象；(3)由图象说出当x为何值时，函数)
f取得最小值?
(x
附加题
28.（5分）定义在R 上的函数)(x f 满足关系式 2)2
1
()21(=-++x f x f ,
若数列}{n a 满足)8
(n
f a n =，求数列}{n a 的前七项之和.
高一数学月考试题答案
一、选择题（每小题4分，共64分）
17.}31{<x x 18. 0 19.12-=n a n 20.}1{≥x x 21. 0 22. 9
1
三、解答题（共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 23.解不等式：（12分）
(1)0862
<+-x x (2)122>-x x 解：原不等式等价为 解：原不等式等价为
0)2)(4(<--x x 022>--x
x x 42<<∴x 0)1)(2(>+-∴x x x
所以原不等式的解集为 012<<->∴x x 或
}42{<<x x 原不等式的解集为}012{<<->x x x 或
24.(12分)在等差数列}{n a 中，已知3110125==a a ，，求数列{n a }的通项公式.
解：设数列}{n a 的通项公式为b kn a n +=，则
⎩⎨⎧=+==+=3112105125b k a b k a ⎩⎨⎧-==⇒5
3b k 53-=∴n a n 25. (12分)某商人如果将进货单价为8元/件的商品按10元/件出售时，每月可销售100件，已知商品每涨价1元/件，销售量就减少10件。
问把销售价格定为多少时，才能赚取的利润最大,最大利润为多少元？
解：设此商品每月按10元/件的价格每件涨价x 元，则销售量减少10x 件，令赚取的利润为y ，于是
)10100)(2(x x y -+=
360)4(102+--=x
所以当4=x 时，=max y 360元，此时商品销售价格每件定为14元。
26.(12分)(1) 已知等差数列}{n a 中，100,221===n a d a ，，求n S ;
(2) 求数列)
1(1431321211+⋅⨯⨯⨯n n ，，，， 的前n 项和n S .
解：（1）由d n a a n )1(1-+=得 (2) 由111)1(1+-=+⋅=n n n n a n 得 100=2+2)1(-n )
1(1431321211+⋅++⨯+⨯+⨯=n n S n 50=∴n )1
1141313121211+-++-+-+-=n n （）（）（）（ 2550250)(50150=⨯+=a a S 1+=n n
27.(14分)函数12)(2+-=x x x f (1)求证：)()(x f x f =-(2)画出函数)(x f 的图象；(3)由图象说出当x 为何值时，函数)(x f 取得最小值?
证明：(1))(1212)()(22x f x x x x x f =+-=+---=-(2)图象如上所示
（3）由图象知当1±=x 时，0)(min =x f .
28.（5分）定义在R 上的函数)(x f 满足关系式 2)2
1()21(=-++x f x f , 若数列}{n a 满足)8
(n f a n =，求数列}{n a 的前七项之和. 解：由2)2
1()21(=-++x f x f 得2)1()(=-+x f x f
7)87()86()85()84()83()82()81(7=++++++=f f f f f f f S。
重庆市2024-2025学年高一上学期10月月考试题 数学含答案
重庆高2027届高一上期月考数学试题卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}432A B x x =≤=，，则A B = （）A.2163xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B.{}316x x ≤< C.223xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D.{}02x x ≤≤2.命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是（）A.230,1x x x ∀≥+≤ B.230,1x x x ∀<+≤ C.230,1x x x ∃<+≤ D.230,1x x x ∃≥+≤3.已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()1g x +=的定义域为（）A.()4,3- B.()2,5- C.1,33⎛⎫⎪⎝⎭D.1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭4.使得“[]21,2,0x x x a ∀∈+-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.2a ≥ B.2a > C.6a > D.6a ≥5.若正实数,x y 满足3x y +=，且不等式22823m m x y+>-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{31}m m -<<∣B.{3m m <-∣或1}m >C.{13}m m -<<∣D.{1mm <-∣或3}m >6.函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A.30,2⎛⎫⎪⎝⎭B.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()0,1 D.[]0,17.已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则下列选项错误的是（）A.的B.34aa b++的最小值为7+C.()()11a b ++的最大值为94D.2232a b a b +++的最小值为168.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}4,6,9的“交替和”是9647-+=；而{}5的交替和是5，则集合{}Z 54M x x =∈-≤≤∣的所有非空子集的“交替和”的总和为（）A.2048B.2024C.1024D.512二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,,a b c ∈R ；则下列不等式一定成立的有（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b >B.若0a b >>，则20242024b b a a +<+C.若,a b c d >>，则ac bd >D.()221222a b a b ++≥--10.下列说法正确的是（）A.若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件B.若关于x 的不等式2430kx kx k -++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是01k <≤C.若不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，则不等式2320ax ax b --≥的解集为[]1,4-D.“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题的充要条件为[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦11.已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且满足当[)0,2x ∈时，()22f x x x =-+，当2x ≥时，恒有()()2f x f x λ=-，且λ为非零常数，则下列说法正确的有（）A.()()101320272024f f λ+=B.当12λ=时，反比例函数()1g x x =与()f x 在()0,2024x ∈上的图象有且仅有6个交点C.当0λ<时，()f x 在区间[]2024,2025上单调递减D.当1λ<-时，()f x 在[]()*0,4n n ∈N上的值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}210A xx =-=∣，则集合A 有__________个子集.13.已知集合[]()(){}1,4,10A B x x a ax ==+-≤∣，若A B B = 且0a ≥，则实数a 的取值范围是__________.14.若正实数x ，y 满足()()332331423x y x y -+-=--，则2346y x x x y++的最小值为__________.四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()21,122,1x x f x x x ⎧->-⎪=⎨⎪--≤-⎩.（1）若()01f x =，求0x 的值；（2）若()3f a a <+，求实数a 的取值范围.16.已知函数()f x =A ，集合{}321B xx =->∣.（1）求A B ；（2）集合{}321M xa x a =-≤≤-∣，若M ()RA ð，求实数a 的取值范围.17.已知二次函数()f x 的图象过原点()0,0，且对任意x ∈R ，恒有()26231x f x x --≤≤+.（1）求()1f -的值；（2）求函数()f x 的解析式；（3）记函数()g x m x =-，若对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，求实数m 的取值范围.18.教材中的基本不等式可以推广到n 阶：n 个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若12,,,0n a a a >，则有*12,2n a a a n n n+++≥∈≥N ，当且仅当12n a a a === 时取等.利用此结论解决下列问题：（1）若,,0x y z >，求24y z xx y z++的最小值；（2）若10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()312x x -的最大值，并求取得最大值时的x 的值；（3）对任意*k ∈N ，判断11kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1111k k +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小关系并加以严格证明.19.已知定义在11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的函数()f x 同时满足下列四个条件：①512f ⎛⎫=-⎪⎝⎭；②对任意12x >，恒有()()0f x f x -+=；③对任意32x >，恒有()0f x <；④对任意,0a b >，恒有111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求32f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意[]1,1t ∈-，恒有()()21232f t k t k -+-+≤，求实数k 的取值范围.重庆高2027届高一上期月考数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}432A B x x =≤=，，则A B = （）A.2163xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B.{}316x x ≤< C.223xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D.{}02x x ≤≤【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集运算法则运算即可.【详解】因为{}{}4016A x x =≤=≤≤，{}2323B x x x x ⎧⎫==>⎨⎩⎭，所以A B = 2163x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.故选：A .2.命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是（）A.230,1x x x ∀≥+≤B.230,1x x x ∀<+≤ C.230,1x x x ∃<+≤ D.230,1x x x ∃≥+≤【答案】B 【解析】【分析】利用特称命题的否定形式回答即可.【详解】根据特称命题的否定形式可知命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是“230,1x x x ∀<+≤”.故选：B3.已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()1g x +=的定义域为（）A.()4,3- B.()2,5- C.1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可.【详解】因为函数()2f x +的定义域为()3,4-，所以函数()f x 的定义域为()1,6-，则对于函数()1g x +=，需满足116310x x -<+<⎧⎨->⎩，解得153x <<，即函数()1g x +=的定义域为1,53⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D.4.使得“[]21,2,0x x x a ∀∈+-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.2a ≥B.2a >C.6a > D.6a ≥【答案】C 【解析】【分析】对于全称量词命题2[1,2],0x x x a ∀∈+-≤，我们需要先求出使得该命题为真时a 的取值范围，然后再根据充分不必要条件的定义来判断选项.【详解】令2()f x x x =+，[1,2]x ∈.对于二次函数2y ax bx c =++，其对称轴为122b x a =-=-.因为10a =>，所以函数()f x 在[1,2]上单调递增.那么()f x 在[1,2]上的最大值为2max ()(2)226f x f ==+=.因为2[1,2],0x x x a ∀∈+-≤为真命题，即2a x x ≥+在[1,2]上恒成立，所以max ()6a f x ≥=.A 是B 的充分而不必要条件，即值A B ⇒，B A ¿.当6a >时，一定满足6a ≥，所以6a >是6a ≥的充分不必要条件.而2a >时，不能保证一定满足6a ≥，2a ≥时，也不能保证一定满足6a ≥.故选：C.5.若正实数,x y 满足3x y +=，且不等式22823m m x y+>-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{31}mm -<<∣ B.{3m m <-∣或1}m > C.{13}m m -<<∣ D.{1mm <-∣或3}m >【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式和常值代换法求得28x y+的最小值，依题得到不等式2236m m -+<，解之即得.【详解】因3x y +=，由28128()()3x y x y x y+=++1281(10)(10633y x x y =++≥+=，当且仅当28y x x y =时取等号，即当1,2x y ==时，28x y+取得最小值6.因不等式22823m m x y+>-+恒成立，故2236m m -+<，即2230m m --<，解得13m -<<.故选：C.6.函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A.30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()0,1 D.[]0,1【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到()f x 在定义域R 上为单调递减函数，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩因为函数()y f x =任意12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在定义域R 上为单调递减函数，则满足()()242223024252321a a a a +⎧≥⎪⎪-<⎨⎪-+⨯+≥-⨯+⎪⎩，即0321a a a ≥⎧⎪⎪<⎨⎪≤⎪⎩，解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]0,1.故选：D.7.已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则下列选项错误的是（）A.B.34a a b++的最小值为7+C.()()11a b ++的最大值为94D.2232a b a b +++的最小值为16【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式可判断AC 的正误，利用“1”的代换可判断B 的正误，利用换元法结合常数代换可判断D 的正误.【详解】选项A：2112,1a b a b +=+≤++===时取等，+A 对；选项B：3433443577a a b a b a b aa b a b a b+++++=+=++≥+，当且仅当35,22a b -==时取等，故34a a b ++的最小值为7+，故B 错选项C ：()()2119111,242a b a b a b +++⎛⎫++≤=== ⎪⎝⎭时取等，故()()11a b ++的最大值为94，故C 对；选项D ：换元，令3,2x a y b =+=+，则6x y +=，故()()222232941032x y a b x y a b x y x y--+=+=+-++++94194251413446666x y y x x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⋅-=++-≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1812,55x y ==取等号，故2232a b a b +++的最小值为16，故D 正确；故选：B.8.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}4,6,9的“交替和”是9647-+=；而{}5的交替和是5，则集合{}Z 54M x x =∈-≤≤∣的所有非空子集的“交替和”的总和为（）A.2048B.2024C.1024D.512【答案】A 【解析】【分析】将集合M 的子集两两配对(),A B ：使4,4A B ∈∉且{}4B A ⋃=，从而有集合A 与集合B 的交替和之和为4，再利用符合条件的集合对有92个，即可求解.【详解】由题知{}5,4,3,2,1,0,1,2,3,4M =-----，将集合M 的子集两两配对(),A B ：使4,4A B ∈∉且{}4B A ⋃=，则符合条件的集合对有92个，又由题设定义有集合A 与集合B 的交替和之和为4，所以交替和的总和为9114222048⨯==.故选：A.二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,,a b c ∈R ；则下列不等式一定成立的有（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b >B.若0a b >>，则20242024b b a a +<+C.若,a b c d >>，则ac bd >D.()221222a b a b ++≥--【答案】BD 【解析】【分析】利用特殊值验证AC 是错误的，利用作差法判断B 的真假，利用配方法证明D 是正确的.【详解】对A ：令1a =-，1b =，则0ab ≠且a b <，但11a b>不成立，故A 错误；对B ：当0a b >>时，()()()20242024202420242024b a a b b b a a a a +-++-=++()()202402024b a a a -=<+，所以20242024b b a a +<+成立，故B 正确；对C ：令3a =-，4b =-，0c =，1d =-，则,a b c d >>，但ac bd >不成立，故C 错误；对D ：因为()()()222212222144a b a b a b a b ++----++++=()()22120a b =-++≥，所以()221222a b a b ++≥--成立，故D 正确.故选：BD10.下列说法正确的是（）A.若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件B.若关于x 的不等式2430kx kx k -++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是01k <≤C.若不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，则不等式2320ax ax b --≥的解集为[]1,4-D.“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题的充要条件为[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断A ，分类讨论求出k 的范围判断B ，根据数轴穿根法及不等式的解集求出ba及0a <解不等式判断C ，由命题的否定转化为不等式恒成立，看作关于a 的不等式恒成立即可判断D.【详解】对A ，若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q p r ⇒⇔，但是p 不能推出q ，所以q r ⇒，但是r 不能推出q ，所以q 是r 的充分不必要条件，故A 正确；对B ，当0k =时，原不等式为03≥，恒成立满足题意，当0k ≠时，由题意需满足()2Δ16430k k k k >⎧⎨=-⋅+≤⎩，解得01k <≤，综上，实数k 的取值范围是01k ≤≤，故B 错误；对C ，由不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，结合数轴穿根法知，1,2bc a==，且0a <，所以不等式2320ax ax b --≥可化为2340x x --≤，解得14x -≤≤，故C 正确；对D ，由题意知[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥为真命题，则()22130a x x x --++≥在[]1,3a ∈-时恒成立，令()2()213g a a x x x =--++，只需()()2213403350g x x g x x ⎧-=-++≥⎪⎨=-≥⎪⎩，则14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，解得[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD11.已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且满足当[)0,2x ∈时，()22f x x x =-+，当2x ≥时，恒有()()2f x f x λ=-，且λ为非零常数，则下列说法正确的有（）A.()()101320272024f f λ+=B.当12λ=时，反比例函数()1g x x =与()f x 在()0,2024x ∈上的图象有且仅有6个交点C.当0λ<时，()f x 在区间[]2024,2025上单调递减D.当1λ<-时，()f x 在[]()*0,4n n ∈N 上的值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据所给函数解析式直接求解判断A ，根据()f x 的性质及(),()g x f x 图象判断B ，归纳出()f x 在[]2024,2025上的解析式判断C ，根据规律，归纳值域特点判断D.【详解】选项A ：()()()()()210121013101320272025202331f f f f f λλλλλ====== ，()()()()()210111012202420222020200f f f f f λλλλ====== ，则()()101320272024f f λ+=，所以选项A 正确；选项B ：由()()122f x f x =-知，()0,2024x ∈时，()()()()()[)()()[)()()[)210112,0,2124,2,42146,4,62120222024,2022,20242x x x x x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪⎪--∈⎪⎪⎪=--∈⎨⎪⎪⎪⎪--∈⎪⎩ ，由于()()()()()()1111111,33,553254g f g f g f ===<==<=，但()()()()31011111177,202320237220232g f g f =>==>= ，作,的图象，如图，结合图象可知()0,6x ∈上有2226++=个交点，在[)6,2024x ∈上无交点，故选项B 正确；选项C ：[]2024,2025x ∈时，()()()1012120242026f x x x λ=--，故()f x 在[]2024,2025上单增，故C 错误；选项D ：因为1λ<-，所以当[]0,4x ∈时，值域为[],1λ；当[]0,8x ∈时，值域为32,λλ⎡⎤⎣⎦；当[]0,12x ∈时，值域为54,λλ⎡⎤⎣⎦；当[]0,16x ∈时，值域为76,λλ⎡⎤⎣⎦；L 当[]0,4x n ∈时，值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：根据所给函数解析式，可知函数类似周期特点，图象形状类似，振幅有规律变化，据此可归纳函数的性质是解题的关键所在.三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}210A xx =-=∣，则集合A 有__________个子集.【答案】4【解析】【分析】求出集合A ，列举出集合A 的子集即可.【详解】因2{10}{1,1}A x x =-==-∣，故集合A 的子集有,{1},{1},{1,1}∅--共4个.故答案为：4.13.已知集合[]()(){}1,4,10A B x x a ax ==+-≤∣，若A B B = 且0a ≥，则实数a 的取值范围是__________.【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据集合的包含关系，讨论0a =和0a >两种情况，求集合B ，再比较端点值，即可求解.【详解】因为A B B = ，所以A B ⊆，因为()(){}10B x x a ax =+-≤∣，且0a ≥：1 当0a =时，[)0,B ∞=+，符合题意；2当0a >时，1,B a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则11404a a ≥⇒<≤，综上，10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：10,4⎡⎤⎢⎣⎦14.若正实数x ，y 满足()()332331423x y x y -+-=--，则2346y x x x y++的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性可知243x y =-，代入可得234386y x y xx x y x y++=+，根据基本不等式可得最值.【详解】由题可知()()()()3323231313x x y y -+-=-+-，因为3,y t y t ==在R 上单调递增，所以()3g t t t =+在R 上单增，所以上式可表示为()()2313g x g y -=-，则2313x y -=-，即243x y =-，因此()22433433866x y y x y y x x x x y x y x y -++=++=+≥=当且仅当38243y x x y x y⎧=⎪⎨⎪=-⎩即25x -=，2415y -=时等号成立，故答案为：.四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()21,122,1x x f x x x ⎧->-⎪=⎨⎪--≤-⎩.（1）若()01f x =，求0x 的值；（2）若()3f a a <+，求实数a 的取值范围.【答案】（1）02x =或3-（2）5,42⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据分段函数定义分类列方程求解；（2）根据分段函数定义分类列不等式求解．【小问1详解】由()01f x =可得：1∘>−1−1=1⇒0=20=−2舍去）0000123,,23;21x x x x ≤-⎧⇒=-=-⎨--=⎩ 综上或【小问2详解】由()3f a a <+可得：1∘>−11<+3⇒>−12−2−8<0⇒>−1−2<<4⇒∈−1,4；2∘≤−1−−2<+3⇒≤−1>−52⇒∈−52,−1综上可得5,42a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.16.已知函数()f x =A ，集合{}321B xx =->∣.（1）求A B ；（2）集合{}321M xa x a =-≤≤-∣，若M ()RA ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3{|4A B x x =≤ 或1}x >（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据条件，先求出集合,A B ，再利用集合的运算，即可求解；（2）由（1）可得R 3,24A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð，再根据条件，分M =∅和M 蛊两种情况讨论，即可求解.【小问1详解】由5402x +≥-,即4302x x -≥-，得到2x >或34x ≤，所以3{|4A x x =≤或2}x >，又由321x ->，得到321x -<-或321x ->，即13x <或1x >，所以1{3B x =<或1}x >，所以3{|4A B x x =≤ 或1}x >.【小问2详解】因为3{|4A x x =≤或2}x >，所以R 3,24A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð，①当321a a ->-，即43a <时，此时M =∅()RA ð，所以43a <满足题意，②当43a ≥，即M 蛊时，由题有212334a a -≤⎧⎪⎨->⎪⎩，解得4332a ≤≤，综上，实数a 的取值范围是3,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.17.已知二次函数()f x 的图象过原点()0,0，且对任意x ∈R ，恒有()26231x f x x --≤≤+.（1）求()1f -的值；（2）求函数()f x 的解析式；（3）记函数()g x m x =-，若对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4（2）()222f x x x=-（3）(],10-∞【解析】【分析】（1）令1x =-即可求出()1f -.（2）根据条件，先设出二次函数的解析式，再根据()26231x f x x --≤≤+恒成立，可求待定系数.（3）问题转化成()f x 在区间(]1,6的最小值不小于()g x 在[]6,10上的最小值求参数的取值范围.【小问1详解】在不等式()26231x f x x --≤≤+，令()()141414x f f =-⇒≤-≤⇒-=.【小问2详解】因为()f x 为二次函数且图象过原点()0,0，所以可设()()2,0f x ax bx a =+≠，由()1444f a b b a -=⇒-=⇒=-，于是()()24f x ax a x =+-，由题：()()262220,f x x ax a x x ≥--⇔+++≥∈R 恒成立⇔>0Δ≤0⇔>0+22−8=−22≤0⇒=2,=−2⇒=22−2，检验知此时满足()()223110,f x x x x ≤+⇔+≥∈R ，故()222f x x x =-.【小问3详解】函数()222f x x x =-，开口向上，对称轴12x =，所以()222f x x x =-在区间(]1,6上单调递增，因此，(]11,6x ∈时，()()()(11,6f x f f ⎤∈⎦，即()(]10,60f x ∈，而()g x m x =-在[]6,10上单调递减，所以[]26,10x ∈时，()[]210,6g x m m ∈--因为对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，等价于()()(]110010,10f g m m ∞≥⇒≥-⇒∈-18.教材中的基本不等式可以推广到n 阶：n 个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若12,,,0n a a a > ，则有*12,2n a a a n n n +++≥∈≥N ，当且仅当12n a a a === 时取等.利用此结论解决下列问题：（1）若,,0x y z >，求24y z x x y z++的最小值；（2）若10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()312x x -的最大值，并求取得最大值时的x 的值；（3）对任意*k ∈N ，判断11kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1111k k +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小关系并加以严格证明.【答案】（1）6（2）最大值为272048，38x =（3）1*1111,1kk k k k +⎛⎫⎛⎫+<+∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭N ，证明见解析【解析】【分析】（1）根据三阶基本不等式的内容直接可得解；（2）由()()32722212128333x x xx x x -=⋅⋅⋅⋅-，结合四阶基本不等式可得最值；（3）猜测111111kk k k +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，*k ∈N 成立，验证1k =不等式成立；结合推广公式证明2k ≥结论成立.【小问1详解】因为,,0x y z >，所以由三阶基本不等式可得：246y z x x y z ++≥，当且仅当24y z xx y z==即2y z x ==时取等号，因此24y z x x y z++的最小值为6；【小问2详解】当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由四阶基本不等式可得：()()()432221227222272733312128333842048x x x x x x x x x x ⎛⎫+++- ⎪-=⋅⋅⋅⋅-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2123xx =-即310,82x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取等号，因此()312x x -的最大值为272048；【小问3详解】大小关系为111111kk k k +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，*k ∈N ，证明如下：由条件可知：12,,,0n a a a > 时，*1212,,2nn n a a a a a a n n n +++⎛⎫⋅≤∈≥ ⎪⎝⎭N ，当1k =时，左边11121⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，右边219124⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，左边<右边，不等式成立；当2k ≥，*k ∈N 时，由1k +阶基本不等式，可知：不等式左边111111111kk k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()(1)1111111111(11)11()111k k k k k k k k k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎛⎫++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪≤== ⎪+++ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭个个1111k k +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭而111k ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，因此上式的不等号取不到等号，于是1111111111kk k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，原不等式得证.19.已知定义在11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的函数()f x 同时满足下列四个条件：①512f ⎛⎫=-⎪⎝⎭；②对任意12x >，恒有()()0f x f x -+=；③对任意32x >，恒有()0f x <；④对任意,0a b >，恒有111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意[]1,1t ∈-，恒有()()21232f t k t k -+-+≤，求实数k 的取值范围.【答案】（1）0（2）()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，证明见解析（3）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）令1a b ==可得302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再由()()0f x f x -+=，即可得出答案；（2）由单调性的定义证明即可；（3）由单调性和奇偶性列出不等式，再结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】在111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中令333120222a b ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（或令53532,102222a b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=⇒=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭).而()()333000222f x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=⇒-+=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】()f x 在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减.下证明：由④知：对任意,0a b >，恒有111222f ab f b f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.证一：任取2112x x >>，于是()()22211111111111122112222222x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-+--+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为2112x x >>，所以2111022x x ->->221111132********x x x x --⇒>⇒+>--，而对任意32x >时恒有()0f x <，故211120122x f x ⎛⎫- ⎪+<⎪ ⎪-⎝⎭，即()()210f x f x -<，所以()f x 在1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递减，证毕；证二：任取2112x x >>，设2111,,1,022x mn x n m n =+=+>>()()21111222f x f x f mn f n f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为131.22m m >+>，所以102f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()()21f x f x <，也即()f x 在1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭单调递减,证毕；【小问3详解】在111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中：令5599222222a b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=⇒=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而()()0f x f x -+=，于是922f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭令139339,402442242a b f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+==⇒=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（2）知()f x 在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，又()()0f x f x -+=，可得()f x 在1,2∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上也单调递减，如图，可知不等式()()21232f t k t k -+-+≤等价于：对任意[]11t ,∈-，不等式()231234t k t k -+-+≥……①或者()29112322t k t k -≤-+-+<-恒成立，……②法一：令()()[]2123,1,1g t t k t k t =-+-+∈-立，因为()g t 开口向下，由()g t 图像可知：不等式①()()11313204;334144k g k g k ⎧⎧≥-≥⎪⎪⎪⎪⇔⇒⇒≥⎨⎨⎪⎪≥≥⎪⎪⎩⎩对于②，当1t =±时，由()()1391121022919112222k g k g k ∅⎧⎧-≤<-≤-<-⎪⎪⎪⎪⇒⇒∈⎨⎨⎪⎪-≤<--≤<-⎪⎪⎩⎩，即一定不存在k 满足②.综上取并，得3,4k ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭法二：令()()[]()2123,1,1,g t t k t k t g t =-+-+∈-开口向下，对称轴为12t k =-，且()()211152,1,224g k g k g k k k ⎛⎫-=-=-=++ ⎪⎝⎭，1 当112k -<-即32k >时，问题等价于>321≥34或>32−1<−121≥−92,解得32k >；2 当1102k -≤-≤即1322k ≤≤时，等价于()1322314k g ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或()13221133,;2242912k g k k g ⎧≤≤⎪⎪⎪⎛⎫⎡⎤-<-⇒∈⎨ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪⎪≥-⎪⎩3 当1012k <-≤即1122k -≤<时，问题等价于()1122314k g ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或()11221122912k g k g ⎧-≤<⎪⎪⎪⎛⎫-<-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥-⎪⎩，解得k ∈∅；4 当112k ->即12k <-时，问题等价于()12314k g ⎧<-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或()()12112912k g g ⎧<-⎪⎪⎪<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得k ∈∅；综上，3,4k ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭.。
广西壮族自治区贵百河武鸣高中2024-2025学年高一上学期10月月考试题 数学(含解析)
2024级“贵百河—武鸣高中”10月高一年级新高考月考测试数 学（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A . B.C .D .2.已知命题，则是（ ）A .B .C .D .3.已知集合，则“”是“集合M 仅有1个真子集”的（ ）A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件4.已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（）A .3B .0C .1D .25.给出下列结论：①两个实数a ，b 之间，有且只有a ﹥b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种；②若，则a ﹥b ；③若，；④已知，则.其中正确结论的个数为（ ）A .1B .2C .3D .4x123230{32}A x x =-<<{05}B x x =<<{35}x x -<<{02}x x <<{30}x x -<≤{3025}x x x -<≤≤<或2:1,1p x x ∀<->p ⌝21,1x x ∃≤-≤21,1x x ∃<-≤21,1x x ∀<->21,1x x ∀≥->{}()210R M x ax x a =-+=∈14a =)(x f y ＝)(x g y ＝()1f g ⎡⎤⎣⎦1>ab0a b >>0a bc d d c >>⇒>0ab >11a b a b>⇔<()f x6.已知函数的定义域是，则的定义域为（）A .B .C .D .7．已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ）A .B .C .D .8.已知正实数a ，b ，记，则M 的最小值为（）AB .2C .1D .二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2022-2023学年全国高中高一下数学人教A版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高一下数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 如图为水平放置的正方形，它在直角坐标系中点的坐标为，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点到轴的距离为( )A.B.C.D.2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知为奇函数，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件ABCO xOy B (2,2)B ′x ′122–√212–√z =i (i +2)+3z f (x)=−(a ≠2)a x 2x m<−a f (m)>0ABCD −A B C DBCQ CCCα//4. 在正方体中，为的中点，为的中点，平面过顶点，且平面，平面，平面平面，则直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.5. 下列命题正确的是（ ）A.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行B.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行C.若两个平面不平行，则两个平面内存在互相平行的直线D.若一条直线不平行于一个平面，则这个平面内不存在与该直线平行的直线6. 把直径分别为，，的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为（ ）A.B.C.D.7. 在平行四边形中，，，，若，则 A.B.C.D.8. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，若，则的外接圆半径为( )A.ABCD −A 1B 1C 1D 1P BC Q CC 1αC α//APQ α∩ABCD =m APQ∩AD =n D 1A 1m n −10−−√1010−−√103–√10−3–√106cm 8cm 10cm 3cm 6cm 8cm 12cm ABCD A =π3AB =3BC =2+3=EC −→−ED −→−0→⋅=BE −→−AC −→−()4−2274−54△ABC A B C a b c 2b ⋅cos C =2a +c b =3△ABC 23–√3–√B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是( )A.B.C.D.10. 已知，是单位向量，的最小值为，，则下列结论正确的是( )A.，的夹角为或B.，的夹角为C.或D.或11. 在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论中正确的是( )A.若，则B.若，则是等腰三角形C.若，则是直角三角形D.若，则是锐角三角形12. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是( )3–√3–√123–√6M ={m |m =,n ∈N}i n i M (1−i)(1+i)1−i 1+i 1+i 1−i(1−i)2e 1→e 2→|+λ|e 1→e 2→3–√2λ∈R e 1→e 2→π32π3e 1→e 2→2π3|+|=1e →1e 2→3–√|+|=1e →1e 2→3–√2△ABC A B C a b c a >b sin A >sin Bsin 2A =sin 2B △ABC a cos B −b cos A =c △ABC +−>0a 2b 2c 2△ABC 3a aA.该截角四面体的表面积为B.该截角四面体的体积为C.该截角四面体的外接球表面积为D.该截角四面体中，二面角的余弦值为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 如图三棱锥 中，平面 平面, ， ， ,则三棱锥 的外接球的表面积为________.14. 我舰在敌岛处南偏西的处，且，距离为海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西的方向以每小时海里的速度航行．若我舰要用小时追上敌舰，则其速度大小为________海里/小时．15. 过平面外一点作该平面的平行线有________条．16. 在中，，，，，，则________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知关于的实系数一元二次方程的两个复数根为、，试用实数表示的值．18. 的内角，，的对边分别为，，，已知．求；73–√a 2232–√12a3π112a 2A −BC −D 13P −ABC PAC ⊥ABC AB ⊥BC AB =BC =2PA =PC =3P −ABC A 50∘B A B 1210∘102△ABC AB =2AC =3∠BAC =120∘+=2AB −→−AC −→−AM −→−=2NA −→−CN −→−⋅=BN −→−MN −→−z +5z +a =0z 2αβa |α|+|β|△ABC A B C a b c 2cos C(a cos B +b cos A)=c (1)C 3–√若，的面积为，求的周长．19. 如图，在中，已知，，，为线段中点，为线段中点．求的值；求，夹角的余弦值．20. 如图，四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面平面，且分别为和的中点.证明：平面；求三棱锥的体积.21. 如图，在长方体中，，点，分别是线段，的中点．求证：平面平面；求直线与平面所成角的正弦值．22. 已知在中，，，为角，，所对的边，且．求角的值；若，求的取值范围．(2)c =7–√△ABC 33–√2△ABC △ABC AB =2AC =4∠BAC =60∘D BC E AD (1)⋅AD −→−BC −→−(2)EB −→−EC −→−P −ABCD ABCD △PAD ∠APD =90∘PAD ⊥ABCD AB =1，AD =2，E ，F PC BD (1)EF//PAD (2)C −PBD ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2BC =2C =2C 1M N C 1D 1DM (1)N ⊥A 1D 1MD B 1(2)M A 1MD B 1△ABC a b c A B C (b −2c)⋅cos A =a −2a ⋅cos 2B2(1)A (2)a =3–√b +c参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】平面图形的直观图斜二测画法画直观图【解析】结合斜二测画法规则得到正方形的直观图为一个角为 45°的平行四边形，得到B'C'对应的长度，求解即可. 【解答】解：由斜二测画出的直观图可知，，，所以，所以顶点到轴的距离为.故选.2.【答案】A【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的乘除运算【解析】由题意首先求得复数的值，然后结合复数对应的点即可确定其所在的象限．【解答】解：由复数的运算法则可得：，==1O ′A ′B ′C ′∠=C ′O ′A ′45∘∠=B ′C ′D ′45∘B ′x ′⋅sin =B ′C ′45∘2–√2B z z =i(i +2)+3=+2i +3i 2=−1+2i +3=2+2i (2,2)故复数在复平面内对应的点为，所在的象限是第一象限．故选．3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：因为为奇函数，所以，即，因为，所以，此时为奇函数，且为减函数，则，故“”是“”的充分不必要条件．故选.4.【答案】B【考点】异面直线及其所成的角余弦定理【解析】由线面平行及面面平行可知，直线与所成角即为与所成角（或其补角）．不妨设正方体的棱长为，利用余弦定理求解即可.【解答】解：由线面平行及面面平行可知，直线与所成角即为与所成角（或其补角）．不妨设正方体的棱长为，则，，，在中，，z (2,2)A f (x)=−(a ≠2)a x 2x f (−1)=−f (1)−=2−a 1a 12a ≠2a =12f (x)=−()12x2x f (m)>0⇔m <0m <−12f (m)>0A m n AP PQ 2m n AP PQ 2AP =5–√PQ =2–√AQ =3△APQ cos ∠APQ ==−5+2−92××5–√2–√10−−√10−−√即直线与所成角的余弦值为．故选．5.【答案】C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：设大铁球的半径为，则有 ，解得．故选．7.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算向量的几何表示m n 10−−√10B Rcm π=π×(+43R 34362)3π×(+π×(4382)343102)3R =6B【解析】根据平面向量的数量积的定义以及平面向量的基本定理求解即可.【解答】解：由，知,所以.故选.8.【答案】B【考点】正弦定理余弦定理【解析】先利用余弦定理可将条件等式化成，再利用余弦定理可求出，本题中为特殊角，进一步利用正弦定理即可解决问题.【解答】解：由，根据余弦定理，得，整理，得，由余弦定理，得.，，设的外接圆半径为为，由正弦定理，得，解得.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）+3=EC −→−ED −→−0→=EC −→−34DC −→−⋅BE −→−AC −→−=(−)⋅BC −→−34DC −→−AC−→−=(−)⋅(+)AD −→−34AB −→−AD −→−AB −→−=−+⋅=−2AD −→−234AB −→−214AB −→−AD −→−B +−=−ac a 2c 2b 2cos B B 2b cos C =2a +c 2b ⋅=2a +c +−a 2b 2c 22ab+−=−ac a 2c 2b 2cos B ==−+−a 2c 2b 22ac 12∵B ∈(0,π)∴B =2π3△ABC R 2R ===2b sin B 3sin 2π33–√R =3–√B9.【答案】B,C【考点】复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，中，时，；时，；时，；时，，∴．选项中，；选项中，；选项中，；选项中，．故选.10.【答案】A,C【考点】平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角向量的模【解析】根据条件知，的最小值为，这样即可求出，的夹角为或，从而求出的值．【解答】解：设与的夹角为，M ={m |m =,n ∈N}i n n=4k(k ∈N)i n =1n=4k +1(k ∈N)i n =i n=4k +2(k ∈N)i n =−1n=4k +3(k ∈N)i n =−i M ={−1,1,i,−i}A (1−i)(1+i)=2∉M B ==−i ∈M 1−i1+i (1−i)2(1+i)(1−i)C ==i ∈M 1+i1−i (1+i)2(1−i)(1+i)D (1−i)2=−2i ∉M BC (+λ)e 1→e 2→234e 1→e 2→π32π3|+|e 1→e 2→e 1→e 2→θ–√，是单位向量，且的最小值为的最小值为，，当时，的最小值为，即，与的夹角为或，故正确；错误；或，或，故正确；错误．故选．11.【答案】A,C【考点】正弦定理余弦定理【解析】根据正余弦定理和三角形内角和判断各选项即可.【解答】解：对于，由正弦定理及大边对大角，所以正确；对于，可得或，是直角三角形或等腰三角形，所以错误；对于，由已知及余弦定理可得，化简得，所以正确；对于，由余弦定理可知，，可得角是锐角，但不能得出是锐角三角形，所以错误．故选．12.【答案】A,B,C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算∵e 1→e 2→|+λ|e 1→e 2→3–√2∴(+λ)e 1→e 2→234∴=+2cos θλ+1(+λ)e 1→e 2→2λ2=+1−θ(λ+cos θ)2cos 2λ=−cos θ(+λ)e 1→e 2→21−θ=cos 234cos θ=±12∴e 1→e 2→π32π3A B ∴|+=+2⋅+=1e 1→e 2→|2e 1→2e 1→e 2→e 2→23∴|+|=1e 1→e 2→3–√C D AC A A B A =B A +B =π2△ABC B C a −b =c +−a 2c 2b 22ac +−b 2c 2a 22bc =+a 2b 2c 2C D cos C =>0+−a 2b 2c 22ab C △ABC D AC棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】解：．题中截角四面体由个边长为的正三角形，个边长为的正六边形构成，故，正确；．∵棱长为的正四面体的高，∴，正确；．如图，∵截角四面体上下底面距离为，∴，∴，∴，∴，∴，∴，正确；．二面角的余弦值为负值，错误.故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】A 4a 4a S =4×+4×6×=73–√4a 23–√4a 23–√a 2AB a h =a 6–√3V =×⋅⋅(3a)−133–√4(3a)26–√34××⋅a =133–√4a 26–√3232–√12a 3BC a −a =a 6–√6–√326–√3+=a −R 2O ′C 2−−−−−−−−−√−R 2O ′′H 2−−−−−−−−−√26–√3+=a −R 2a 23−−−−−−−√−R 2a 2−−−−−−√26–√3=a −−R 2a 23−−−−−−−√26–√3−R 2a 2−−−−−−√−=+−−a ⋅R 2a 2383a 2R 2a 246–√3−R 2a 2−−−−−−√=R 2118a 2S =4π=πR 2112a 2CD A −BC −D D ABC 81π7球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：取中点为，连结，因为为中点，所以，又，所以,平面平面，所以平面，故球心在上，设球心为，半径为，则，所以球心为的外心，因为,,,解得，故球的表面积.故答案为：.14.【答案】【考点】解三角形的实际应用【解析】AC O OB,OP AB ⊥BC,O AC OA =OB =OC PA =PC PO ⊥AC PAC ⊥ABC PO ⊥ABC PO O ′R A =P =C =R O ′O ′O ′O ′△PAC AC ==2A +B B 2C 2−−−−−−−−−−√2–√cos ∠APC ===A +C −A P 2P 2C 22AP ⋅CP 9+9−82×3×359sin ∠APC ==,=2R =1−(59)2−−−−−−−√214−−√9AC sin ∠APC 22–√214−−√9R =927–√S =4π=R 281π781π714∠BAC =120∘BC =28由题意推出，利用余弦定理求出，然后推出我舰的速度．【解答】解：依题意，，，，在中，由余弦定理，得．解得．所以渔船甲的速度为海里/小时．故我舰要用小时追上敌舰速度大小为：海里/小时．故答案为：．15.【答案】无数【考点】平行公理平面的基本性质及推论命题的真假判断与应用【解析】直接利用平面与平面平行的判定定理判断图可．【解答】解：过平面外一点作该平面的平行平面，有且只有个，在平行平面上过这个点的直线有无数条，这些直线都与原平面平行．故答案为：无数.16.【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】画出图形，由，，则点在边上距点处点在中点处，根据平面向量数量积运算得出结论．∠BAC =120∘BC =28∠BAC =120∘AB =12AC =10×2=20△ABC B =A +A −2AB ×AC ×cos ∠BAC =+−2×12×20×cos =784C 2B 2C 2122202120∘BC =28=14BC 221414192+=2AB −→−AC −→−AM −→−=2MA −→−CN −→−N AC C CN =1M BC【解答】解：如图：∵，，则点在边上距点处，点在中点处.．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：∵关于的实系数一元二次方程的两个复数根为、，∴．∵与互为共轭复数，∴，．∴．【考点】复数代数形式的混合运算【解析】关于的实系数一元二次方程的两个复数根为、，可得，利用根与系数的关系及其共轭复数的性质即可得出．【解答】+=2AB −→−AC −→−AM −→−=2NA −→−CN −→−N AC C CN =1M BC ⋅=(+)⋅(+)BN −→−MN −→−BA −→−AN −→−MC −→−CN −→−=(+)⋅(−+)BA −→−AN −→−12AC −→−12AB −→−CN −→−=(−+)⋅(−)AB −→−23AC −→−16AC −→−12AB −→−=−⋅+|+|−⋅16AB −→−AC −→−12AB −→−|219AC −→−|213AC −→−AB −→−=−⋅+|+|12AB −→−AC −→−12AB −→−|219AC −→−|2=−×2×3×(−)+×4+×912121219=+2+132=9292z +5z +a =0z 2αβαβ=a αβ|α|=|β||α|==αβ−−−√a −√|α|+|β|=2|α|=2a −√z +5z +a =0z 2αβ|α|+|β|=2|α|+5z +a =02解：∵关于的实系数一元二次方程的两个复数根为、，∴．∵与互为共轭复数，∴，．∴．18.【答案】解：已知等式利用正弦定理化简得：，整理得：.∵，，∴.又，∴.由余弦定理得，，∴.∵，∴，∴，∴，∴的周长为．【考点】正弦定理余弦定理三角形的面积公式【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据不为求出的值，即可确定出出的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，即可求的周长．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：，整理得：.∵，，∴.又，∴.z +5z +a =0z 2αβαβ=a αβ|α|=|β||α|==αβ−−−√a −√|α|+|β|=2|α|=2a −√(1)2cos C(sin A cos B +sin B cos A)=sin C2cos C sin(A +B)=sin C sin C ≠0sin(A +B)=sin C cos C =120<C <πC =π3(2)7=+−2ab ⋅a 2b 212(a +b −3ab =7)2S =ab sin C =ab =123–√433–√2ab =6(a +b −18=7)2a +b =5△ABC 5+7–√sin C 0cos C C a +b △ABC (1)2cos C(sin A cos B +sin B cos A)=sin C2cos C sin(A +B)=sin C sin C ≠0sin(A +B)=sin C cos C =120<C <πC =π3(2)由余弦定理得，，∴.∵，∴，∴，∴，∴的周长为．19.【答案】解：∵，，，∴为直角三角形， ，如图建立直角坐标系，则，，，∵为的中点，∴，∴，，∴．由为线段中点可知，∴，，∴．【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角【解析】(2)7=+−2ab ⋅a 2b 212(a +b −3ab =7)2S =ab sin C =ab =123–√433–√2ab =6(a +b −18=7)2a +b =5△ABC 5+7–√(1)AB =2AC =4∠BAC =60∘△ABC BC =23–√B (0,0)A(0,2)C (2,0)3–√D BC D (,0)3–√=(,−2)AD −→−3–√=(2,0)BC −→−3–√⋅=×2=6AD −→−BC −→−3–√3–√(2)E AD E (,1)3–√2=(−,−1)EB −→−3–√2=(,−1)EC −→−33–√2cos , =EB −→−EC −→−⋅EB −→−EC −→−||||EB −→−EC −→−=−×+1×13√233√2⋅(−+(−13√2)2)2−−−−−−−−−−−−−√+(−1()33√22)2−−−−−−−−−−−−−√=5217−−−√此题暂无解析【解答】解：∵，，，∴为直角三角形， ，如图建立直角坐标系，则，，，∵为的中点，∴，∴，，∴．由为线段中点可知，∴，，∴．20.【答案】证明：如图，连结∵四边形为矩形且是的中点，∴也是的中点.又是的中点， 平面, 平面,∴ 平面；如图，取中点为连结,(1)AB =2AC =4∠BAC =60∘△ABC BC =23–√B (0,0)A(0,2)C (2,0)3–√D BC D (,0)3–√=(,−2)AD −→−3–√=(2,0)BC −→−3–√⋅=×2=6AD −→−BC −→−3–√3–√(2)E AD E (,1)3–√2=(−,−1)EB −→−3–√2=(,−1)EC −→−33–√2cos , =EB −→−EC −→−⋅EB −→−EC −→−||||EB −→−EC −→−=−×+1×13√233√2⋅(−+(−13√2)2)2−−−−−−−−−−−−−√+(−1()33√22)2−−−−−−−−−−−−−√=5217−−−√(1)AC.ABCD F BD F AC E PC EF//AP ，∵EF ⊂PAD PA ⊂PAD EF//PAD (2)AD O ，PO∵为等腰直角三角形，∴ ，∵平面平面 ，且平面平面，∴平面,即为三棱锥的高．由得，又.，.【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】证明：如图，连结∵四边形为矩形且是的中点，∴也是的中点.又是的中点， 平面, 平面,∴ 平面；如图，取中点为连结,∵为等腰直角三角形，∴ ，∵平面平面 ，且平面平面，∴平面,即为三棱锥的高．由得，又.△PAD PO ⊥AD PAD ⊥ABCD PAD∩ABCD =AD PO ⊥ABCD PO P −BCD AD =2PO =1AB =1∴=BC ⋅CD =1S △BCD 12∴==×1×1=V C−PBD V P−BCD 1313(1)AC.ABCD F BD F AC E PC EF//AP ，∵EF ⊂PAD PA ⊂PAD EF//PAD (2)AD O ，PO △PAD PO ⊥AD PAD ⊥ABCD PAD∩ABCD =AD PO ⊥ABCD PO P −BCD AD =2PO =1AB =1=BC ⋅CD =1BCD 1，.21.【答案】证明：依题意，，因为点是线段的中点，故，而平面，平面，故，因为，故平面，因为平面，故平面平面．解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设是平面的一个法向量，所以令，则，，，而，设直线与平面所成角为，则【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】证明：依题意，，因为点是线段的中点，故，而平面，平面，故，因为，故平面，因为平面，∴=BC ⋅CD =1S △BCD 12∴==×1×1=V C−PBDV P−BCD 1313(1)M =D =1D 1D 1N DM DM ⊥N D 1⊥A 1D 1DCC 1D 1DM ⊂DCC 1D 1⊥DM A 1D 1∩N =A 1D 1D 1D 1DM ⊥N A 1D 1DM ⊂MD B 1N ⊥A 1D 1MD B 1(2)D 1D 1A 1D 1C 1D D 1x y z D (0,0,1)(1,2,0)B 1M (0,1,0)(1,0,0)A 1=(0,1,−1)DM −→−=(1,1,0)MB 1−→−−n =(,,)x 0y 0z 0MD B 1 ⋅=0,DM −→−n →⋅=0,MB 1−→−−n →{−=0,y 0z 0+=0.x 0y 0=1z 0=−1x 0=1y 0=(−1,1,1)n →=(−1,1,0)M A 1−→−−M A 1DM B 1θsin θ==.|⋅|n →M A 1−→−−||||n →M A 1−→−−6–√3(1)M =D =1D 1D 1N DM DM ⊥N D 1⊥A 1D 1DCC 1D 1DM ⊂DCC 1D 1⊥DM A 1D 1∩N =A 1D 1D 1D 1DM ⊥N A 1D 1DM ⊂MD B 1N ⊥A D故平面平面．解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设是平面的一个法向量，所以令，则，，，而，设直线与平面所成角为，则22.【答案】解：∵在中，，∴由正弦定理得， ，∴，即，∴.∵，∴，∴．∵，∴由正弦定理可得， ，∴．∵，∴，∴，∴.N ⊥A 1D 1MD B 1(2)D 1D 1A 1D 1C 1D D 1x y z D (0,0,1)(1,2,0)B 1M (0,1,0)(1,0,0)A 1=(0,1,−1)DM −→−=(1,1,0)MB 1−→−−n =(,,)x 0y 0z 0MD B 1 ⋅=0,DM −→−n →⋅=0,MB 1−→−−n →{−=0,y 0z 0+=0.x 0y 0=1z 0=−1x 0=1y 0=(−1,1,1)n →=(−1,1,0)M A 1−→−−M A 1DM B 1θsin θ==.|⋅|n →M A 1−→−−||||n →M A 1−→−−6–√3(1)△ABC (b −2c)⋅cos A =a −2a ⋅=a −2a ⋅cos 2B 21+cos B 2(sin B −2sin C)cos A =sin A(−cos B)sin B cos A +cos B sin A =2sin C cos A sin(B +A)=2sin C cos A sin C =2sin C cos A sin C ≠0cos A =12A =π3(2)a =3–√===2b sin B c sin C a sin A b +c =2(sin B +sin C)=2[sin B +sin(−B)]2π3=3sin B +cos B =2sin(B +)3–√3–√π60<B <2π3<B +<π6π65π6sin(B +)∈(,1]π612b +c ∈(,2]3–√3–√【考点】二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式正弦定理正弦函数的定义域和值域【解析】【解答】解：∵在中，，∴由正弦定理得， ，∴，即，∴.∵，∴，∴．∵，∴由正弦定理可得， ，∴．∵，∴，∴，∴.(1)△ABC (b −2c)⋅cos A =a −2a ⋅=a −2a ⋅cos 2B 21+cos B 2(sin B −2sin C)cos A =sin A(−cos B)sin B cos A +cos B sin A =2sin C cos A sin(B +A)=2sin C cos A sin C =2sin C cos A sin C ≠0cos A =12A =π3(2)a =3–√===2bsin B c sin C asin A b +c =2(sin B +sin C)=2[sin B +sin(−B)]2π3=3sin B +cos B =2sin(B +)3–√3–√π60<B <2π3<B +<π6π65π6sin(B +)∈(,1]π612b +c ∈(,2]3–√3–√。
数学高一月考试题及答案
数学高一月考试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=2x+3，则f(-1)的值为（）A. -1B. 1C. 5D. -52. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B为（）A. {1,2}B. {1,3}C. {2,3}D. {4}3. 函数y=x^2-4x+4的最小值是（）A. 0C. -4D. 14. 已知向量a=(1,2)，b=(2,3)，则a·b的值为（）A. 1B. 5C. 7D. 105. 已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则a3的值为（）A. 18B. 24C. 54D. 726. 若直线l的方程为2x-y+1=0，则l的斜率为（）A. 2C. 1/2D. -1/27. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)的值为（）A. 3x^2-3B. -3x^2+3C. 3x^2+3D. -3x^2-38. 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点在x轴上，则a和b的关系是（）A. a>bB. a<bC. a=bD. a=-b9. 已知函数f(x)=|x|，x∈[-1,1]，则f(x)的最大值为（）A. 0C. 2D. -110. 已知抛物线y=x^2+2x+1的顶点坐标为（）A. (-1,0)B. (-1,1)C. (1,0)D. (1,1)二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+m，若f(x)在[2,+∞)上单调递增，则m的取值范围是________。
12. 已知向量a=(3,-2)，b=(1,4)，则|a+b|的值为________。
13. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a5的值为________。
14. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，若f(x)=0，则x的值为________。
15. 已知直线l的倾斜角为45°，则l的斜率k的值为________。
北京市中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷含答案
北京市2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷班级______姓名______学号______2024.09.30（答案在最后）一、选择题（共8个小题，每题5分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案．．．．．．．填在答题纸相应的题号处．．．．．．．．．．．）1.已知集合{10}A xx =-≤≤∣，集合{1,0,1,2}B =-，则A B = （）A.RB.{10}x x -≤≤∣C.{1,0}- D.{1,0,1}-【答案】C【解析】【分析】根据交集运算求解即可.【详解】因为集合{10}A xx =-≤≤∣，集合{1,0,1,2}B =-，所以{}1,0A B ⋂=-.故选：C2.下列命题中，正确的是（）A.若a b >，则22ac bc > B.若,a b c d >>，则a c b d +>+C.若,a b c d >>，则ac bd> D.若a b >，则11a b >【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性质及举反例即可判断.【详解】对A 选项，当0c =时不等式不成立,故A 选项错误；B 选项，满足不等式的同向可加性，故B 选项正确；C 选项，当2,1,1,2a b c d ===-=-，则ac bd =，故C 选项错误；D 选项，当1,2a b =-=-时，11a b<，故D 选项错误.故选：B 3.方程组2202x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.{(1,1),(1,1)}-- B.{(1,1),(1,1)}--C.{(2,2),(2,2)}-- D.{(2,2),(2,2)}--【答案】B【解析】【分析】根据消元法求得不等式组的解，结合集合的表示方法，即可求解.【详解】由题意，将y x =-代入222x y +=，可得21x =，即1x =±，当1x =时，1y =-；当1x =-时，1y =，所以方程组的解集为{(1,1),(1,1)}--.故选：B.4.下列不等式中，解集为{1xx <∣或3}x >的不等式是（）A .2430x x -+≥ B.2430x x -+< C.103x x -≥- D.|2|1x ->【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法、分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别解各选项不等式即可求解.【详解】由2430x x -+≥可得()()130x x --≥，解得1x ≤或3x ≥，故A 错误；由2430x x -+<可得13x <<，故B 错误；由103x x -≥-可得()()()13030x x x --≥-≠，解得1x ≤或3x >，故C 错误；由|2|1x ->可得21x ->或21x -<-，即1x <或3x >，故D 正确.故选：D5.“0a b >>”是“22a b >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可.【详解】当0a b >>时，22a b >；当22a b >时，a b >，不一定0a b >>，所以“0a b >>”是“22a b >”的充分不必要条件.故选：A.6.平流层是指地球表面以上10km (不含)到50km (不含)的区域,下述不等式中,x 能表示平流层高度的是A.|10|50x +< B.|10|50x -< C.|30|20x +< D.|30|20x -<【答案】D【解析】【分析】根据绝对值的几何意义即可得解|30|20x -<.【详解】解析:如图：设(10),(50)A B ,则AB 的中点为(30)M ,由距离公式可得|30|20x -<.答案:D【点睛】此题考查根据绝对值的几何意义解决实际问题，关键在于正确理解绝对值的几何意义.7.若不等式04x <<是||x a <成立的充分条件，则a 的取值范围是（）A.1a ≥ B.4a ≥ C.1a ≤ D.4a ≤【答案】B【解析】【分析】由题意知()()0,41,1a a ⊆-+可得1014a a -≤⎧⎨+≥⎩，解不等式即可得出答案.【详解】由题设，不等式a x a -<<且>0成立的充分条件是04x <<，则()()0,4,a a ⊆-，所以4a ≥，所以实数a 的取值范围是4a ≥.故选：B.8.已知集合{}{}2221,N ,21,N P yy x x x Q y y x x x ==+-∈==-+-∈∣∣，则P Q = （）A.{}1- B.{0} C.∅ D.N 【答案】A【解析】【分析】由两个方程相等可求得两曲线交点的横坐标，根据集合的几何意义求出纵坐标的值即为交集的结果.【详解】由222121x x x x +-=-+-，解得0x =，当0x =时，2221211x x x x +-=-+-=-，所以1{}P Q ⋂=-.故选：A二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分．请将正确答案填在答题卡相应的题号处．．．．．．．．．．．．．．．．．）．9.命题2R,230x x x ∀∈-+>的否定是______．【答案】R x ∃∈，2230x x -+≤【解析】【分析】根据全称量词命题的否定求解.【详解】命题2R,230x x x ∀∈-+>的否定是R x ∃∈，2230x x -+≤.故答案为：R x ∃∈，2230x x -+≤10.已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合P ＝{1，3，5}，Q ＝{1，2，4}，则（U P ð）∪Q ＝____．【答案】{1，2，4，6}，【解析】【分析】由已知，先求出U P ð，再求（U P ð）∪Q ．【详解】∵U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合P ＝{1，3，5}，Q ＝{1，2，4}，∴U P ð＝{2，4，6}，∴（U P ð）∪Q ＝{1，2，4，6}，故答案为：{1，2，4，6}，11.已知集合{1,2,3}A ⊆，集合A 可以为______（写出符合要求的所有A ）【答案】{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3∅【解析】【分析】写出集合的子集即可得解.【详解】因为集合{1,2,3}A ⊆，所以集合A 可以为{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3∅.故答案为：{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3∅12.已知12,x x 是关于x的一元二次方程210x -+=的两根，则12x x +=______；1211x x +=______．【答案】①.②.【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解.【详解】由一元二次方程根与系数的关系可知，12x x +=，121x x ⋅=，所以12121211x x x x x x ++==⋅.故答案为：；13.若2{{1,2,4,}a ⊆，则a =________________________【答案】4，16，0【解析】【分析】依题意有{}21,2,4,a，逐个列方程求解，并检验元素的互异性.【详解】依题意有{}21,2,4,a1≠，2=时，216a =，满足题意，则4a =；4=时，2256a =，满足题意，则16a =；2a =时，0a =或1a =，0a =时满足题意，1a =时与元素的互异性矛盾.综上，4a =或16a =或0a =时满足题意，故答案为：4，16，014.若对2R,230x ax ax ∀∈-+>恒成立是真命题，则实数a 的取值范围是______【答案】[)0,3【解析】【分析】分0,0a a =≠讨论，根据一元二次不等式恒成立求解.【详解】当0a =时，原不等式为30>，对任意实数都成立，满足题意；当0a ≠时，2R,230x ax ax ∀∈-+>恒成立，需满足()202120a a a >⎧⎪⎨--<⎪⎩，即003a a >⎧⎨<<⎩，解得0<<3a .综上，实数a 的取值范围是[)0,3.故答案为：[)0,3三、解答题（共3个小题，每题10分，其30分，请将解题过程和答案写在规定的区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．．．）15.已知a ，b 为正数，且a b ≠，比较33+a b 与22a b ab +的大小．【答案】3322a b a b ab +>+【解析】【分析】通过作差，提取公因式便可得出33222()()()a b a b ab a b a b +-+=-+，并根据条件可以判断2()()0a b a b -+>，这样即可得出所比较两个式子的大小关系【详解】33223322()()a b a b ab a b a b ab +-+=+-- 22()()a ab b a b =---22()()a b a b =--2()()a b a b =-+；0a > ，0b >且a b ≠；2()0a b ∴->，0a b +>；2()()0a b a b ∴-+>；即3322()()0a b a b ab +-+>；3322a b a b ab ∴+>+．【点睛】本题主要考查作差法比较两个代数式的大小关系，分解因式法的运用，以及平方差公式，属于基础题．16.一元二次方程210ax bx ++=的解集是12,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，求实数a ，b 的值，并求方程230bx ax b +--=的解集．【答案】13,2a b =-=,{}1,7-【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求,a b ，再解一元二次方程得解.【详解】因为一元二次方程210ax bx ++=的解集是12,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，所以122312123b a a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⋅=⎪⎩，解得13,2a b =-=，所以方程230bx ax b +--=为2670x x --=，解得7x =或1x =-，所以方程的解集为{}1,7-.17.已知集合{}22,(,1)A x a x a B ∞=<<-=-∣．（1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若U B A ⊆ð，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2⎡⎤⎣⎦（2）[)1,-+∞【解析】【分析】（1）分类讨论，根据子集列出不等式求解；（2）分集合是否为空集讨论，根据子集关系列不等式得解.【小问1详解】当22a a -≤时，即12a -≤≤时，A =∅，满足A B ⊆；当A ≠∅时，若A B ⊆，则需22221a a a ⎧<-⎨-≤⎩，解得1a ≤<-，综上，实数a的取值范围2⎡⎤⎣⎦.【小问2详解】由（1）知，当12a -≤≤时，A =∅，所以R U A =ð，满足U B A ⊆ð；当1a <-或2a >时，(])2,2,U A a a ⎡=-∞-+∞⎣ ð，由U B A ⊆ð可得1a ≤，又2a >，所以2a >.综上，实数a 的取值范围[)1,-+∞.。
重庆市中学2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
重庆市2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题（命题人：）（答案在最后）考试说明：1.考试时间120分钟2.试题总分150分3.试卷页数2页一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U =R ，3{|ln}3x M x y x -==+，}2{|2,1xx y y N =≤≤=，如图阴影部分所表示的集合为（）A.{}23x x ≤< B.{}34x x <≤C.{|2x x ≤或3}x > D.{}33x x -≤≤【答案】B 【解析】【分析】由题意知，阴影部分表示的为M N ⋂，算出集合,M N 表示的范围，根据集合的交集的运算，即可得到本题答案.【详解】全集U =R ，集合M 中函数满足303x x ->+，解得3x <-或3x >，M ={|3x x <-或3}x >，集合N 中指数函数2x y =在上单调递增，则24222=x ≤≤，}|24{y N y =≤≤，由图可得阴影部分所表示的集合为{|34}M N x x ⋂=<≤，故选：B.2.若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：(1)2f =-，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，(1.40625)0.054f =-，(1.4375)0.162f =，(1.6)0.625f =，那么方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）为（）A.1.2 B.1.3C.1.4D.1.5【答案】C【解析】【分析】由参考数据可得(1.4375)(1.375)0f f <，区间(1.375,1.4375)满足题干要求精确到0.1，结合选项可得答案.【详解】因为1.6 1.43750.16250.1-=>，所以不必考虑端点1.6；因为1.40625 1.250.156250.1-=>，所以不必考虑端点1.25和1；因为(1.4375)0f >，(1.375)0f <，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数()f x 在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知：1.4[1.375,1.4375]∈.故选：C.3.“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】首先根据1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，再判断即可得到答案.【详解】由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.4.函数21π()sin 212x xf x x -⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先得到函数的奇偶性，再计算出当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，判断出答案.【详解】化简函数()f x 解析式可得21()cos 21x x f x x -=⋅+，定义域为R ，112121212()()cos cos()cos cos 121212112xxxx x x x x f x f x x x x x------+-=⋅+-=⋅+⋅++++ 01212cos 11cos 22x x x x x x -=⋅+⋅+=+-，()f x ∴为奇函数，AC 错误；又因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，21()cos 021x x f x x -=⋅>+，B 错误，D 正确.故选：D.5.已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.9 B.69-C.9D.9【答案】A 【解析】【分析】先根据已知条件及同角三角函数基本关系求出π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3cos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭；再利用已知角π4α+和π42β-来配凑2βα+；最后利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πππ,442α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πππ,4242β⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+=⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π1cos 43α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πcos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.ππsin sin 2442ββαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 442442ββαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13333=⨯-⨯9=.故选：A.6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A.3hB.4hC.5hD.7h【答案】C 【解析】【分析】先根据题意表示出经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量；再列出不等式求解即可.【详解】经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量为：30.8mg /ml 4t⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.只需30.80.24t⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，即3144t⎛⎫< ⎪⎝⎭，341log 43344t ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为函数34x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，所以341lg 42lg 20.602log 4.8164lg 4lg 32lg 2lg 30.6020.477t >==≈=---，故他至少要经过5个小时后才能驾车.故选：C.7.定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为A.9B.8C.7D.6【答案】B 【解析】【分析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式，再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象，2()()F x x f x x =-的零点个数，等价于求1()f x x =的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.【详解】当(0,2)x ∈时，()cos((1))cos(sin()2222f x x x x ππππ=-=-=，()f x 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，()()12002f f ∴==，()()14202f f ==，若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-，即()sin()2f x x π=，()2,0x ∈-即当22x -≤≤时，()sin()2f x x π=，当24x ≤≤时，022x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-，当45x ≤≤时，223x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=，由2()()0F x x f x x =-=，得：当0x =时，由(0)0F =，即0x =是()F x 的一个零点，当0x ≠时，由2()0f x xx -=得1()xf x =，即1()f x x=，作出函数()f x 与1()g x x=在，[2,5]-上的图象如图：由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点，加上一个0x =，故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个，故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用.判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()0f a f b < ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()0()()f x h x g x Û＝＝，则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x ＝的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意120x x <<，均有()()2112120x f x x f x x x ->-且(3)3f =，则不等式()0f x x ->的解集为（）A.(3,0)(3,)-⋃+∞B.()3,3-C.(,3)(3,)-∞-⋃+∞D.(3,0)(0,3)-⋃【答案】A 【解析】【分析】先变形得到()()1212f x f x x x <，令()()f x g x x =，得到()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递增，结合(3)(3)13f g ==，得到3x >，再结合函数的奇偶性和单调性得到30x -<<，从而求出答案.【详解】因为120x x <<，所以()()21120x f x x f x -<，所以()()1212f x f x x x <.设函数()()f x g x x =，则函数()()f x g x x =在(0,)+∞上单调递增，且(3)(3)13f g ==.当0x >时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x>，即()(3)g x g >，解得3x >，又因为()f x 是定义在上的奇函数，所以(0)0f =，所以，当0x =时，不等式()0f x x ->无解.因为()f x 是定义在上的奇函数，所以−=−，()()f x g x x=的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，又()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，故()()f x g x x=为偶函数，且在(,0)-∞单调递减，当0x <时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x<，因为(3)(3)13f g --==-，故()(3)g x g <-，解得30x -<<，综上，不等式()0f x x ->的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A.若1a b <<，则11b a< B.若22ac bc >，则a b>C.若0a b >>，0c >，则b b c a a c+<+ D.若c a b >>，a b c a c b<--【答案】ABC 【解析】【分析】AB 选项，可利用不等式性质进行判断；CD 选项，利用作差法比较出大小.【详解】A 选项，若1a b <<，则0ab >，不等式两边同除以ab 得11b a<，A 正确；B 选项，若22ac bc >，则0c ≠，故20c >，不等式两边同除以2c 得a b >，B 正确；C 选项，()()()b a cb bc ab bc ab ac a a c a a c a a c -++---==+++，因为0a b >>，0c >，所以0,0b a a c -<+>，故()()0b a c b b c a a c a a c -+-=<++，所以b b ca a c+<+，C 正确；D 选项，()()()a b c a b c a c b c a c b --=----，因为c a b >>，所以0c a ->，0c b ->，0a b ->，但c 的正负不确定，故无法判断()()()c a b c a c b ---的正负，从而无法判断a c a -与bc b-的大小关系，D 错误.故选：ABC.10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于直线π6x =对称B.函数()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.1(0)2f =-D.函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】【分析】由三角函数的周期性与奇偶性，结合三角函数图象平移法则求得,ωϕ，再利用代入检验法与整体代入法逐一分析各选项即可得解.【详解】因为函数()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期为2ππω=，则2ω=，故()sin(2)f x x ϕ=+，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，因为得到的图象对应的函数2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，所以2πππ(Z)32k k ϕ+=+∈，即ππ(Z)6k k ϕ=-+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，当π6x =时，则πππ1sin 6362f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，令πππ2π22π262k x k -+<-<+，Z k ∈，得ππππ(Z)63k x k k -+<<+∈，当1k =时，()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C ，π1(0)sin 62f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，πππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BCD.11.设函数()()12,1log 1,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则()1243412x x x x ++++的值可以是（）A.4B.5C.163D.6【答案】AB 【解析】【分析】画出函数图象，数形结合得到120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，结合交点关系得到()12344444222111x x x x x x +++=++++-，构造函数42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，根据函数单调性得到取值范围，求出答案.【详解】函数()f x的图象如图所示，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知，当01t <≤时，直线y t =与函数()f x 的图象有四个交点，交点的横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，1x >时，令12()log (1)1f x x =-=，解得32x =或3x =.由图可知，120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，由()()34f x f x =，可得34111x x -=-，则有34111x x =+-，所以()1233444444422221111x x x x x x x x +++=+=+++++-.令42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，易知()g x 在(2,3]上为减函数，且16(2)3g =，(3)4g =，故()12344164213x x x x ≤+++<+，且1644,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1654,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，AB 正确；又1616164,,64,333⎡⎫⎡⎫∉∉⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，CD 错误.故选：AB.【点睛】将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数为1()f x -，且11()()4f a f b --+=-，则11a b +的最小值为__________.【答案】12【解析】【分析】先利用指、对数式的互化得到函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数，再利用对数的运算性质化简11()()4f a f b --+=-，最后由基本不等式求得最值即可．【详解】因为x y a =和log a y x =（0a >，1a ≠）互为反函数，若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则112()log f x x -=，又因为11()()4f a f b --+=-，所以111222log log log ()4a b ab +==-，所以16ab =，且0a >，0b >，又11116162a b a b a b ab +++==≥=，当且仅当4a b ==时等号成立，所以11a b +的最小值为12.故答案为：12.13.如果函数()f x 的图象可以通过()g x 的图象平移得到，则称函数()f x 为函数()g x 的“同形函数”，下面几对函数是“同形函数”的是__________.（填上正确选项的序号即可）①()sin f x x =，()cos g x x =；②()2sin cos f x x x =，()cos 2g x x =；③44()sin cos f x x x =-，()cos 2g x x =；④()sin 2tan f x x x =⋅，()cos 2g x x =.【答案】①②③【解析】【分析】①②③，结合三角恒等变换及平移变换法则求出答案；④由两函数定义域不同，故④错误.【详解】①()cos g x x =的图象向右平移π2个单位得到()sin f x x =的图象，①正确；②π()2sin cos sin 2cos 22f x x x x x ⎛⎫===-⎪⎝⎭，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向右平移π4个单位得到，故②正确；③()()44222222()sin cos sin cos sincos sin cos f x x x x xx x x x =-=-+=-cos 2cos(2π)x x =-=+，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向左平移π2个单位得到，故③正确；④2sin ()sin 2tan 2sin cos 2sin 1cos 2cos(2)1co πs xf x x x x x x x x x=⋅=⋅==-=++，因为()sin 2tan f x x x =⋅的定义域不是，而()cos 2g x x =的定义域是，所以不可能由()cos 2g x x =的图象平移得到()sin 2tan 2f x x x =⋅的图象，故④错误.故答案为：①②③14.定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[0,1]x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R ，有(2)()f x f x +=-，2024(),0()log (),0f x xg x x x ≥⎧=⎨--<⎩，则方程()()0g x g x --=实数根的个数为__________.【答案】2027【解析】【分析】由于题意可得函数()f x 以4为周期，分0x >，0x <，0x =三种情况讨论，把问题转化函数图象交点个数问题，作出函数图象，结合函数的周期性即可得解．【详解】对任意∈有(2)()f x f x +=-，得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 以4为周期，由于函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则()(2)f x f x =-，又(2)()f x f x +=-，所以(2)(2)0f x f x ++-=，则函数()f x 的图象关于(2,0)对称.当0x >时，0x -<，由()()0g x g x --=得()()g x g x =-，则2024()log f x x =-，作出()y f x =与2024log y x =-的大致图象如图，令2024log 1x -=-，则2024x =，而20244506=⨯，由图可知，在第一个周期内有三个交点，后面每个周期内有两个交点，所以()y f x =与2024log y x =-的图象在(0,)+∞上有350521013+⨯=个交点；当0x <时，0x ->，由()()g x g x =-得：2024log ()()x f x --=-，令x t -=，0t >，得2024()log f t t =-，由上述可知，()y f t =与2024log y t =-的图象在(0,)+∞上有1013个交点，故()y f x =-与2024log ()y x =--的图象在(,0)-∞上有1013个交点，又0x =时，()()0g x g x --=成立，所以方程()()0g x g x --=实数根的个数为2101312027⨯+=.故答案为：2027.【点睛】思路点睛：由题分析可得函数()f x 以4为周期，图象关于(2,0)中心对称，把问题转化函数图象交点个数问题，数形结合可得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合{}11ee x A x -=≤≤，若关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A .（1）求函数()2f x x mx n =++的解析式；（2）求关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+的解集，其中λ∈R .【答案】（1）详见解析；（2）{|x x λ<-或}3x λ>-.【解析】【分析】（1）先化简集合A ，再根据关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，利用根与系数的关系求解；（2）由（1）化简不等式为()()30x x λλ++->求解.【小问1详解】解：集合{}11ee x A x -=≤≤{}|12x x =≤≤，因为关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，所以3,2m n =-=，则()232f x x x =-+；【小问2详解】由（1）知：关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+即为：()2232322x x x λλ-++>-+，即为()222330x x λλλ+-+->，即为()()30x x λλ++->，解得：3x λ>-或x λ<-，所以不等式的解集为：{|x x λ<-或}3x λ>-.16.若函数()y f x =对任意实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =，则称其为“保积函数”.现有一“保积函数”()f x 满足(1)1f -=-，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈.（1）判断“保积函数”()f x 的奇偶性；（2）若“保积函数”()f x 在区间(0,)+∞上总有()0f x >成立，试证明()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（3）在（2）成立的条件下，若(2)2f =，求()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集.【答案】（1）()f x 为奇函数（2）证明见解析（3）π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）赋值，结合(1)1f -=-，进而得到()f x 为奇函数；（2）()f x 在(0,)+∞上单调递增，利用定义法得到函数的单调性；（3）赋值法得到1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，结合函数单调性得到211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，数形结合，结合定义域，得到不等式，求出解集.【小问1详解】()f x 为奇函数，理由如下：根据题意，令1y =-，得()()(1)f x f x f -=-，因为(1)1f -=-，所以()()f x f x -=-，故结合定义域可知，()f x 为奇函数.【小问2详解】证明：任取1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x >，则2101x x <<，因此()()()()()2212111111x x f x f x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2101x x <<，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈，所以2110x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，因为(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，所以()10f x >，所以()()()2121110x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，又因为120x x >>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；【小问3详解】(1)1f -=-Q ，又()f x 为奇函数，(1)(1)1f f ∴=--=，()()()f xy f x f y = ，112(2)22f f f⎛⎫⎛⎫∴⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)2f = ，1122f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，故原不等式等价于()211log sin 2f x f ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，[0,2π]x ∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增且(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，又()f x 为奇函数，()f x ∴在上单调递增，故211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，则221log sin log 22x ≤-=，[0,2π]x ∈，∴sin 0sin 2x x >⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得π04x <≤或3ππ4x ≤<，综上，()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集为π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.17.已知函数())f x x =ω+ϕ（0ω>，ππ22ϕ-≤≤）的图象关于直线π3x =对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和ϕ的值；（2）当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，求函数()y f x =的最大值和最小值；（3）设()()(0)g x f cx c =>，若()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标不属于区间(π,2π)，求c 的取值范围.【答案】（1）2ω=，π6ϕ=-（22-（3）1150,,6312⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据最小正周期求出ω，再根据对称轴求出ϕ；（2）由（1）可得()f x 解析式，再由x 的取值范围求出π26x -的范围，最后由正弦函数的性质计算可得；（3）首先得到()g x 的解析式，由12ππ22c⨯≥求出c 的大致范围，再求出()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)时c 的取值范围，即可得解.【小问1详解】因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期πT =，所以2π2Tω==，又因为()f x 的图象关于直线π3x =对称，所以232ππkπϕ⨯+=+，k ∈Z ，所以ππ6k ϕ=-，k ∈Z ，又ππ22ϕ-≤≤，所以π6ϕ=-，综上可得2ω=，π6ϕ=-.【小问2详解】由（1）知π()26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，ππ5π2666x -≤-≤，所以当ππ262x -=（即π3x =）时，max ()f x =当ππ266x -=-（即0x =）时，min 3()2f x =-，所以函数()y f x =在π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 2-.【小问3详解】由题意π()()26g x f cx cx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()0c >，()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标都不属于区间(π,2π)，12ππ22c ∴⨯≥且0c >，解得102c <≤，令ππ2π62cx k -=+，k ∈Z ，解得ππ23k x c c=+，k ∈Z ，若()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)，则πππ2π23k c c <+<，解得114623k k c +<<+，当1k =-时，112c -<且16c <-（矛盾），故解集为空集；当0k =时，1163c <<；当1k =时，55126c <<，故c 的取值范围为1150,,6312⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.18.已知函数2()43f x x x =-+，()(4)3g x a x =+-，a ∈R .（1）若[1,0]x ∃∈-，使得方程()20m f x -=有解，求实数m 的取值范围；（2）若对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围；（3）设()()()h x f x g x =+，记()M a 为函数()h x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值.【答案】（1）[]2log 3,3（2）{15a a ≤-或9}5a ≥-（3）3-【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性，结合存在性的定义、对数的单调性进行求解即可；（2）根据存在性和任意性的定义，结合函数的对称性分类讨论进行求解即可；（3）根据函数的对称性、单调性分类讨论进行求解即可.【小问1详解】[1,0]x ∃∈-，2()20243m m f x x x -=⇔=-+，因为函数2()43f x x x =-+的图象的对称轴是直线2x =，所以()y f x =在[1,0]-上为减函数，max ()(1)8f x f =-=，min ()(0)3f x f ==，故2[3,8]m ∈，所以m 的取值范围为[]2log 3,3.【小问2详解】对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，∴即在区间[1,5]-上，()()12max max f x g x ≤，函数2()43f x x x =-+图象的对称轴是直线2x =，又[1,5]x ∈-，∴当5x =时，函数()f x 有最大值为2(5)54538f =-⨯+=，①当4a =-时，()3g x =-，不符合题意，舍去；②当4a >-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[7,517]a a --+，5178a ∴+≥，得95a ≥-；③当4a <-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[517,7]a a +--，78a ∴--≥，得15a ≤-，综上，a 的取值范围为{15a a ≤-或9}5a ≥-；【小问3详解】函数2()h x x ax =+图象的对称轴为2a x =-，①当2a ≤-或0a ≥时，()h x 在[0,1]上单调递增，则()(1)|1|M a f a ==+；②当20a -<<时，2()max ,(1)max ,124a a M a ff a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=-=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，解不等式组22014a a a -<<⎧⎪⎨>+⎪⎩，得(221a -<<-，故当20a -<<，()((2,22141,210a a M a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+-≤<⎩，综上，()((2,22141,221a a M a a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+≤-≥-⎩或，()M a ∴在((),21∞--上单调递减，在()21,∞⎡+⎣上单调递增，(21a ∴=-时，()M a取最小值为(2113+=-.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数的对称轴与所给区间的相位位置进行分类讨论.19.已知()()()sin22sin cos 8f m θθθθ=---+．（1）当1m =时，求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若()fθ的最小值为7-，求实数m 的值；（3）对任意的π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，不等式()816sin cos m f θθθ->-恒成立．求m 的取值范围．【答案】（1）172+（2）5m =或1m =-（3）722,6⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用辅助角公式，化简函数，再代入求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）首先设sin cos t θθ=-，利用三角恒等变换，将函数表示成关于t 的二次函数，讨论对称轴，结合定义域求函数的最小值，列式求解m ；（3）根据（2）的结果，不等式参变分离为128m t t t->+-，在(t ∈恒成立，转化为判断函数的单调性，求函数的最值，即可求解m 的取值范围.【小问1详解】()()())πsin22sin cos 8sin22sin 84f m m θθθθθθ⎛⎫=---+=--+ ⎪⎝⎭，当1m =时，ππππ1ππsin 881261242124f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1178262π+=+=；【小问2详解】设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，22sin cos 1=-+t θθ，()()()229,f Q t t m t t θ⎡==---+∈⎣，其对称轴为12m t =-+，当102m-+≥，即2m ≥时，()f θ的最小值为(77Q =+=-，则5m =；当102m-+<，即2m <时，()f θ的最小值为77Q =-=-1m =-；综上，5m =或1m =-；【小问3详解】由()816sin cos m f θθθ->-，对所有π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都成立．设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则(t ∈，()281629m t m t t-∴>---+，(t ∈恒成立，280t -> ，128m t t t∴-+->，在(t ∈恒成立，当(t ∈时，8t t -递减，则18t t t+-在(递增，t ∴=时18t t t +-取得最大值726得2m ->2∴>m 所以存在符合条件的实数m ，且m的取值范围为2,6∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题的关键利用公式()22sin cos 1sin cos θθθθ=--，从而利用换元法转化为关于t 的函数问题.。
2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题
2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题1.已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（）A．30，91B．31，91C．30，90D．31，902.已知复数为纯虚数，则实数（）A．1B．2C．3D．43.如图所示，是的中线.是上的一点，且，若，其中，则的值为（）A．B．C．D．4.已知，则（）A．B．C．D．5.已知向量，在方向上的投影向量为，则（）A．1B．2C．3D．46.已知是不同的直线，是不同的平面，则（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7.已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（）A．B．C．D．8.在锐角中，角的对边分别为，若，则（）A．B．C．D．9.在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则为等腰直角三角形C．，则此三角形有一解D．若，则为钝角三角形10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A．乙发生的概率为B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立D．丙与丁互为对立事件11.如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（）A．B．C．直线与平面所成角的最大值是D．的最小值为12.已知i为虚数单位，复数z满足，则z的模为__________．13.已知向量满足，则与的夹角为______．14.已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是______．15.如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，(1)若为侧棱的中点．求证：平面；(2)若过的平面与交于点，求证：；16.某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．17.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．18.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，且为的中点．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值；(3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由．19.已知的内角的对边为，且．(1)求；(2)若的面积为；①已知为的中点，求边上中线长的最小值；②求内角的角平分线长的最大值．。
高一年级月考数学试卷(附答案)
高一年级月考数学试卷(附答案)高一年级的小伙伴们！月考的战鼓又敲响啦，数学这个“大怪兽”是不是让你们又爱又恨呢？别担心，咱先把这份试卷拿出来溜溜，看看它到底有多厉害。
一、选择题（每题5分，共60分）1. 已知集合A={x|x^2 3x + 2 = 0}，B={1,2}，那么A与B的关系是（）咱来分析分析哈，先把集合A里的方程解出来，x^2 3x + 2 = 0，因式分解得(x 1)(x 2)=0，那x = 1或者x = 2，所以集合A={1,2}，这不就和集合B一模一样嘛，所以答案选B。
2. 函数f(x)=√(x 1)+(1)/(x 2)的定义域是（）A. [1,2)∪(2,+∞)B. (1,2)∪(2,+∞)C. [1,+∞)D. (2,+∞)这个函数啊，要让根式有意义，根号下的数得大于等于0，也就是x 1≥0，得x≥1。
还有那个分式，分母不能为0，也就是x 2≠0，得x≠2。
综合起来，定义域就是[1,2)∪(2,+∞)，答案选A。
（后面选择题依次按这样生动的风格编写和讲解）二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知sinα=(3)/(5)，α是第二象限角，则cosα=______。
这道题呢，咱得根据三角函数的平方关系来做。
sin^2α+cos^2α = 1，已知sinα=(3)/(5)，那cos^2α = 1-sin^2α = 1 ((3)/(5))^2 = 1-(9)/(25)=(16)/(25)。
又因为α是第二象限角，第二象限角的余弦值是负的，所以cosα = -(4)/(5)。
（其他填空题同理讲解）三、解答题（共70分）1. （12分）已知数列{a_n}是等差数列，a_1 = 2，a_3 = 6，求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n。
这是个等差数列的问题。
咱先求公差d，a_3 = a_1+(3 1)d，把a_1 = 2，a_3 = 6代进去，6 = 2 + 2d，解得d = 2。
2024-2025学年高一上学期第二次月考(10月)数学试题
2024级高一数学试题总分：150分 时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定为（ ）x ∀∈R 2210x x -+>A.， B.，x ∀∈R 2210x x -+<x ∀∉R 2210x x -+>C.， D.，x ∃∈R 2210x x -+≥x ∃∈R 2210x x -+≤2.定义集合运算.设，，则集合的真子{},,A B c c a b a A b B ==+∈∈◇{}0,1,2A ={}2,3,4B =A B ◇集个数为（ ）A.32B.31C.30D.153.设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合且{}02M x x =≤≤{}02N y y =≤≤M N 以集合为值域的函数关系的有（ ）NA ①②③④ B.①②③C.②③D.②4.已知函数.下列结论正确的是（ ）()223f x x x =-++A.函数的减区间()f x ()(),11,3-∞- B.函数在上单调递减()f x ()1,1-C.函数在上单调递增()f x ()0,1D.函数的增区间是()f x ()1,3-5.已知函数，则下列关于函数的结论错误的是（ ）()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩()f xA. B.若，则()()11f f -=()3f x =x C.的解集为 D.的值域为()1f x <(),1-∞()f x (),4-∞6.已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ）()f x []0,1fA.和B.和⎡⎣[]1,0-⎡⎣[]0,1C.和D.和[]1,0-[]1,0-[]1,0-[]0,17.设函数；若，则实数的取值范围是（ ）()()()4,04,0x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩()()231f a f a ->-a A. B.()(),12,-∞-+∞ ()(),21,-∞-+∞ C. D.()(),13,-∞-+∞ ()(),31-∞-+∞ 8.已知函数满足，则（ ）()f x ()111f x f x x ⎛⎫+=+⎪-⎝⎭()2f =A. B. C. D.34-343294二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.设集合，集合，若，则实数的值可以为（ {}2280A x x x =--={}40B x mx =-=A B =∅R m ）A. B. C.0 D.12-1-10.已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（ ）0x <()()240ax x b -+≥A. B.0a >0b <C.的最小值为8 D.的最小值为2a b -1b a +16411.已知，均为正实数.则下列说法正确的是（ ）x y A.的最大值为22xy x y +128.若，则的最大值为84x y +=22x y +C.若，则的最小值为21y x+=1x y +3+D.若，则的最小值为22x y x y +=-12x y x y +++169三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数______()f x =13.已知函数满足对任意实数，都有成立，()25,1,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩12x x ≠()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦则实数的取值范围是______a 14.记为，，中最大的数.设，，则的最小值为______.{}max ,,abc a b c 0x >0y >13max ,,y x x y ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；()f x ()()94ff x x =+()f x （2）已知函数.求的解析式；()24212f x x x +=-()f x （3）已知函数满足，求函数的解析式.()f x ()1222f x f x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭()y f x =16.（本小题满分15分）已知定义在的函数，，满足对，等式()0,+∞()f x ()21f =(),0,x y ∀∈+∞恒成立且当时，.()()()f xy f x f y =+1x >()0f x >（1）求，的值；()1f 14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）若，解关于的不等式：.()21f =x ()()64f x f x +-≤17.（本小题满分15分）已知函数()21,1,1x ax x f x ax x ⎧-++≤=⎨>⎩（1）若，用定义法证明：为递增函数；3a =()f x （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围.x ()22f x x >-a 18.（本小题满分17分）两县城和相距20km ，现计划在县城外以为直径的半圆弧（不含A B AB AB 两点）上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂AB C 对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城A A B 的距离的平方成反比，比例系数为，对城市和城市的总影响度为城市和城市的影响度之和，B K A B A B 记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：当C A x C A B y 垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为0.065.AB AB （1）将表示成的函数；y x（2）判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小？若存AB A B 在，求出该点到坡的距离；若不存在，说明理由.A 19.（本小题满分17分）已知集合，其中，由中元{}()12,,2k A a a a k =⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥()1,2,i a Z i k ∈=⋅⋅⋅⋅⋅⋅A 素可构成两个点集和：，.P Q (){},,,P x y x A y A x y A =∈∈+∈(){},,,Q x y x A y A x y A =∈∈-∈其中中有个元素，中有个元素.新定义一个性质：若对任意的，，则称集合具P m Q n G x A ∈x A -∉A 有性质G（1）已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性{}0,1,2,3J ={}1,2,3K =-{}222L y y x x ==-+质，若有，则直接写出其对应的集合、；若无，请说明理由；G P Q （2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？A G 2024k =Q （3）试判断：集合具有性质是的什么条件并证明.A G m n =。
2023-2024学年全国高中高一上数学人教A版月考试卷(含解析)
2023-2024学年全国高一上数学月考试卷考试总分：141 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 如图，阴影部分表示的集合为( )A.B.C.D.2. 若，，为实数，下列结论正确的是（ ）A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，则3. 若非空集合，，满足，且不是的子集，则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知，，则下列不等式成立的是（ ）A ∩(B)∁U B ∩(A)∁U A ∪(B)∁U B ∪(A)∁U a b c a >b c >d ac >bda <b <0>b a aba <b <0<1a 1ba >b >0>ab >a 2b 2A B C A ∩B =C B A x ∈A x ∈C a <0b <−1>>a aA.B.C.D. 5. 设，，若，则，的值为（ ）A.，B.，C.，D.，6. 已知：平行于同一平面的两条直线可能互相垂直；：两两互相平行的三条直线共面，则下列为真命题的是( )A.B.C.D.7. 函数＝的图象恒过点，若点在直线＝上，其中，则的最小值为（ ）A.B.C.D.8. 若，则关于的不等式的解集是( )A.B.a >>a b a b2>>a a b2a b >>a a b a b2>a >a b a b2T ={(x,y)|ax +y −3=0}S ={(x,y)|x −y −b =0}S ∩T ={(2,1)}a b a =1b =−1a =−1b =1a =1b =1a =−1b =−1p 1p 2∧p 1p 2∨p2p 1¬∧p 1p 2¬∨p 1p 2y (x +3)−1(a >0,a ≠1)log a A A mx +ny +10mn >0+1m 8n16182022a <0x −4ax −5>0x 2a 2{x|x >5a 或x <−a}{x|x >−a 或x <5a}{x|5a <x <−a}C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知集合＝，为自然数集，则下列表示正确的是（ ）A.B.＝C.D.10. 已知，，则 A. B. C. D.11. 下列四个不等式中，解集为的是（ ）A.B.C. D.12. 下列函数中，最小值是的是（ ）A.B.C.{x|5a <x <−a}{x|−a <x <5a}P {x |＝4}x 2N 2∈PP {−2,2}{∅}⊆PP N()∅−+x +1≤0x 22−3x +4<0x 2+6x +9≤0x 22y =(a >1)−2a +2a 2a −1y =++2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√y =+x 21x 2=+2D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）13. 全称命题“，”的否定是________．14. 设集合，则集合的子集个数是________.15. 不等式的解集为，则实数的取值范围是________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）16. 已知函数的定义域为集合，函数＝，的值域为集合．（1）求，；（2）求，．17. 已知不等式的解集是．（1）若，求的取值范围；（2）若＝，求不等式的解集．18. 设全集为，集合＝，＝．Ⅰ当＝时，求，；Ⅱ若＝，求实数的取值范围．19. 某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收取管理费元，月用电量不超过度时，每度元；超过度时，超过部分按每度元收取：方案二：不收取管理费，每度元．（1）求方案一的收费（元）与用电量（度）间的函数关系．若老王家九月份按方案一缴费元，问老王家该月用电多少度？（2）老王家该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？20. 已知集合，集合，，.当时，则是的什么条件？若是的必要条件，求实数的取值范围．21. 设＝．y =+x 22x∀x >03+2x >2x 2A ={1,2,3}A a +ax −3<0x 2R a A y +x +2x 2x ∈R B A B A ∪B A ∩B ∁R a +5x −2>0x 2M 1∈M a M {x |<x <2}a −5x +−1>0x 2a 2R A {x |−2x −3<0}x 2B {x |x ≥a}()a 1A ∩B (A ∪B)∁R ()A ∩B A a 2300.5300.60.58L(x)x 35A ={x|−3ax +2≤0}x 2a 2B ={x|−x −2≤0}x 2p :x ∈A q :x ∈B (1)a =1p q (2)q p a f(x)(m +1)−mx +m −1(m ∈R)x 2f(x)>0（1）若不等式解集为，求实数的取值范围；（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．f(x)>0∅m f(x)>0x m参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】【解答】解：图中的阴影部分表示的是集合与的补集的交集，即为，故选 . 2.【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】根据不等式的基本性质，判断每个选项即可．【解答】对于：若，，，均小于，则不正确，对于：若，则，则 ，即，故不正确，对于：若，则，即，故不正确，对于：若，则，正确，3.【答案】BB A B ∩(A)∁U B A a >0b c d 0B a <b <0>a 2b 2>a 2ab b 2ab >a b b a B C a <b <0<a ab b ab <1b 1a C D a >b >0>ab >a 2b 2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断集合的包含关系判断及应用【解析】无【解答】解：因为，所以“”“”；反之，若“”，但“”不一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选.4.【答案】C【考点】利用不等式比较两数大小【解析】由已知可得，，然后根据比较与的大小．【解答】因为，，所以，，又因为，所以．5.【答案】C【考点】子集与交集、并集运算的转换【解析】根据集合的表示法，元素即是集合中的元素，也是集合中的元素，代入方程求解即可．【解答】A ∩B =C x ∈C x ∈A x ∈A x ∈C x ∈A x ∈C B >0a b <0a b 2>1b 2a a b 2a <0b <−1>0a b <0a b 2>1b 2a <a b 2(2,1)T S解：根据题意：是方程组的解，代入求得 ，．故选6.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】无【解答】解：据题设分析知，为真命题，为假命题，所以“”为假命题，“”为真命题，“”为假命题，“”为假命题．故选．7.【答案】B【考点】基本不等式及其应用【解析】由题意可得定点，＝，把要求的式子乘进行变形，然后结合基本不等式即可求解．【解答】∵函数＝，且的图象恒过定点，令＝，求得＝，＝，可得．∵点在直线＝上，∴＝，即＝．则＝，当且仅当且＝即，时取等号，8.【答案】B{x =2y =1{ax +y −3=0x −y −b =0a =1b =1C p 1p 2∧p 1p 2∨p 1p 2¬∧p 1p 2¬∨p 1p 2B A(−2,−1)2m +n 11y (x +3)−1(a >0log a a ≠1)A x +31x −2y −1A(−2,−1)A mx +ny +10−2m −n +102m +n 1+=(+)(2m +n)1m 8n 1m 8n 10++×2≥10+2=18n m 8m n ⋅n m 16m n −−−−−−−−√=n m 16m n 2m +n 1m =16m =23一元二次不等式的应用【解析】写出等价不等式组，根据，解不等式组即可【解答】解：∵，∴，等价于或又∵，∴或.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B【考点】集合的包含关系判断及应用元素与集合关系的判断【解析】集合＝＝．为自然数集，由此能求出结果．【解答】集合＝＝．为自然数集，在中，，正确；在中，＝，正确；在中，，故错误；在中，不是的子集，故错误．10.【答案】A,B,D【考点】由基本不等式证明不等关系对勾函数求最值a <0−4ax −5>0x 2a 2(x +a)(x −5a)>0{ x +a >0，x −5a >0{ x +a <0，x −5a <0，a <0x >−a x <5a B P {x |＝4}x 2{−2,2}N M {x |＝4}x 2{−2,2}N A 2∈P B P {−2,2}C ∅⊆P C D P N D根据基本不等式及其性质，结合的妙用以及对勾函数的性质，逐项进行分析判断即可得解【解答】对于，因为，所以从而，正确．对于，因为，所以，解得所以，正确．对于，令，在为增函数，所以在上单调递增，从而，即，错误对于，因为，所以，正确．故选：11.【答案】B,D【考点】一元二次不等式的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】A,C【考点】基本不等式及其应用【解析】根据应用基本不等式的基本条件，分别判断即可求出．n A a +b =ab +=11a 1b a +2b =(a +2b)⋅(+)=3+++≥3+21a 1b 2b a a a a b ⋅2b a⋅=3+2b 2–√−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−− B ab ∈()a +b 22a +b ∈()a +b 22a +b ≥4+≥22a 25=22a 2≥2=82a+52–√24−−√−−−−−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√C ab =t (t ≥4),f (t)=t +1t [1,+∞)f (t)[4,+∞)f (t)≥174ab +≥1ab 174D ≤2(+)=2(+)1a −√1b √21a 1b +≤1a −√1b √2–√ABD【解答】解：对于，，当且仅当，即时取等号，故正确；对于，，当且仅当，即时取等号，显然不成立，故错误；对于，，当且仅当时取等号，故正确；对于，当时，无最小值，故错误．故选.三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）13.【答案】“，”【考点】全称命题的否定【解析】无【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题知，命题“，”的否定是“，”．故答案为：“，”．14.【答案】【考点】子集与真子集的个数问题【解析】此题暂无解析【解答】A y ==−2a +2a 2a −1(a −1+1)2a −1=(a −1)+≥2=21a +1(a −1)⋅1a −1−−−−−−−−−−−−√a −1=1a −1a =2AB y =+≥2+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√=+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√=−1x 2B C y =+≥2=2x 21x 2⋅x 21x 2−−−−−−√x =±1C D x <0D AC ∃x >03+2x ≤2x 2∀x >03+2x >2x 2∃x >03+2x ≤2x 2∃x >03+2x ≤2x 28=83解：集合中含有个元素，则集合的子集个数为.故答案为：.15.【答案】【考点】一元二次不等式的应用【解析】分三种情况讨论：当等于时，原不等式变为，显然成立；当时，根据二次函数的图象与性质可知解集为不可能；当时，二次函数开口向下，且与轴没有交点即小于时，由此可得结论．【解答】解：当时，得到，显然不等式的解集为；当时，二次函数开口向上，函数值不恒小于，故解集为不可能．当时，二次函数开口向下，由不等式的解集为，得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得；综上，的取值范围为故答案为：四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）16.【答案】＝＝，因为，所以；，，＝．【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】A 3A =8238−12<a ≤0(1)a 0−3<0(2)a >0R (3)a <0x △0(1)a =0−3<0R (2)a >0y =a +ax −3x 2y 0R (3)a <0y =a +ax −3x 2R x △=+12a <0a 2a(a +12)<0−12<a <0a −12<a ≤0−12<a ≤0A {x |−2x ≥5}x 2{x |x ≤0或x ≥2}A ∩B ∁R {x |x ≤0}由，所以，解得；所以的取值范围是．若＝，则＝的两个根，由根与系数的关系知，解得＝，所以不等式，即为：，所以，解得，所以不等式的解集为}．【考点】一元二次不等式的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】（1）由题可得＝，＝，所以＝．因为＝，所以：＝．（2）因为＝，所以．所以．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】1∈M a ⋅+5⋅1−3>016a >−3a (−7,+∞)M {x |<x <3}+5x −226a −2a −5x +−1>0x 2a 5−8−5x +7>0x 2+6x −3<0x 2−4<x <{x |−7<x <A {x |−1<x <3}B {x |x ≥3}A ∩B {x |1≤x <3}A ∪B {x |x >−3}(A ∪B)∁R {x |x ≤−1}A ∩B A A ⊆B a ≤−1，①当时，令＝，解得＝（舍去）．②当时，令＝，解得＝．∴老王家该月用电度电．令＝，由（1）可得：．显然为所求．①当时，令＝，解得，∴．②当时，令＝，解得．则．综上可得：．选择方案一比选择方案二好．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1），分类讨论解出即可得出．（2）令＝，由（1）可得：．显然为所求．分类讨论解出即可得出结论．【解答】，①当时，令＝，解得＝（舍去）．②当时，令＝，解得＝．∴老王家该月用电度电．令＝，由（1）可得：．显然为所求．①当时，令＝，解得，∴．②当时，令＝，解得．则．综上可得：．选择方案一比选择方案二好．20.【答案】解：当时，，，所以，所以是的充分不必要条件．因为是的必要条件，所以．而．当时，，所以所以，故；L(x)={0.5x +2,0<x ≤300.6x −1,x >300<x ≤300.5x +235x 66x >300.6x −135x 6060g(x)0.58x −L(x)g(x)={ 0.08x −2,0<x ≤30−0.02x +1,x >30g(x)>00<x ≤30g(x)0.08x −2>0x >2525<x ≤30x >30g(x)−0.02x +1>0x <5030<x <5030<x <50L(x)={ 0.5x +2,0<x ≤300.6x −1,x >30g(x)0.58x −L(x)g(x)={0.08x −2,0<x ≤30−0.02x +1,x >30g(x)>0L(x)={0.5x +2,0<x ≤300.6x −1,x >300<x ≤300.5x +235x 66x >300.6x −135x 6060g(x)0.58x −L(x)g(x)={ 0.08x −2,0<x ≤30−0.02x +1,x >30g(x)>00<x ≤30g(x)0.08x −2>0x >2525<x ≤30x >30g(x)−0.02x +1>0x <5030<x <5030<x <50(1)a =1A ={x|−3x +2≤0}={x|1≤x ≤2}x 2B ={x|−x −2≤0}={x|−1≤x ≤2}x 2A B p q (2)q p A ⊆B A ={x|−3ax +2≤0}x 2a 2={x|(x −a)(x −2a)≤0}a >0A ={x|a ≤x ≤2a}{a ≥−1，2a ≤2，−1≤a ≤10<a ≤1A ={0}当时，，成立；当时，，所以所以，故.综上所述，实数的取值范围为．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断集合的包含关系判断及应用根据充分必要条件求参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，，所以，所以是的充分不必要条件．因为是的必要条件，所以．而．当时，，所以所以，故；当时，，成立；当时，，所以所以，故.综上所述，实数的取值范围为．21.【答案】由不等式解集为，可得，即为，可得，a =0A ={0}a <0A ={x|2a ≤x ≤a}{2a ≥−1,a≤2,−≤a ≤212−≤a <012a [−,1]12(1)a =1A ={x|−3x +2≤0}={x|1≤x ≤2}x 2B ={x|−x −2≤0}={x|−1≤x ≤2}x 2A B p q (2)q p A ⊆B A ={x|−3ax +2≤0}x 2a 2={x|(x −a)(x −2a)≤0}a >0A ={x|a ≤x ≤2a}{a ≥−1，2a ≤2，−1≤a ≤10<a ≤1a =0A ={0}a <0A ={x|2a ≤x ≤a}{2a ≥−1,a ≤2,−≤a ≤212−≤a <012a [−,1]12f(x)>0∅m ≤−即的取值范围是，-]；由不等式对一切实数恒成立，当＝，即＝时，则不恒成立；当时，的图象为开口向下的抛物线；当，且，由，即为，解得，即的取值范围是（，．【考点】一元二次不等式的应用函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答m (−∞f(x)>0x m +15m −1f(x)>0m +7<0f(x)m +1>7△<0m >m +∞)。