天津市2019版高一下学期数学期末考试试卷A卷
天津市2019版高一下学期数学期末考试试卷A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2018高二下·晋江期末) 设集合，若，则实数
的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）纯虚数满足，则实数等于（）
A . 1
B . -1
C . 2
D . -2
3. （2分）为了解某种轮胎的性能，随机抽取了8个进行测试，其最远里程数（单位：1000km）为：96, 112, 97, 108, 99, 104, 86, 98，则他们的中位数是（）
A . 100
B . 99
C . 98.5
D . 98
4. （2分） (2016高一下·湖北期中) 已知实数m、n满足2m+n=2，其中mn＞0，则的最小值为（）
A . 4
B . 6
C . 8
D . 12
5. （2分）过点A（﹣2，0）的直线交圆x2+y2=1交于P、Q两点，则• 的值为（）
A . 3
B . 1
C . 5
D . 4
6. （2分）已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
7. （2分） (2016高二下·威海期末) 把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值
，则f(x)的最小正周期是（）
A . 2π
B . π
C .
D .
9. （2分）某几何体的三视图如图所示，则其外接球的表面积为（）
A . 32π
B . 16π
C . 64π
D . 48π
10. （2分）(2020·江西模拟) 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数.设
，，，则，，的大小关系是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2016高一下·佛山期中) 如图，为了测量A、C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为（）km．
A . 7
B . 8
C . 9
D . 6
12. （2分）(2018·临川模拟) 已知函数，若方程在上有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高一下·天津期末) 某公司有1000名员工，其中，高层管理人员占5%，中层管理人员占15%，一般员工占80%，为了了解该公司的某种情况，现用分层抽样的方法抽取120人进行调查，则一般员工应抽取________人．
14. （1分） (2016高一下·溧水期中) 设平面向量 =（﹣1，2）， =（2，b），若，则等于________．
15. （1分）判断下列每对事件是不是互斥事件：
①将一枚硬币抛掷两次，记事件A：两次出现正面；事件B：只有一次出现正面．________
②某人射击一次，记事件A：中靶；事件B：射中9环．________
③某人射击一次，记事件A：射中环数大于5；事件B：射中环数小于5．________．
16. （1分） (2016高二下·鹤壁期末) 若f（x）=﹣ x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是________．
三、解答题 (共6题；共30分)
17. （5分） (2018高一下·齐齐哈尔期末) 如图，三棱柱中，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若底面为正三角形，，，侧面底面，，求四棱锥的体积.
18. （5分） (2016高一下·武城期中) 已知 =（ sinx，m+cosx）， =（cosx，﹣m+cosx），且f（x）=
（1）
求函数f（x）的解析式；
（2）
当x∈ 时，f（x）的最小值是﹣4，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．
19. （5分）已知f（x）=2sin（2x+）+1
（1）在直角坐标系中用“五点画图法”画出f（x）一个周期的图象（要求列表、描点）
（2）直接写出函数f（x）的单调递增区间以及f（x）取最大值时的所有x值的集合．
20. （5分） (2019高二上·兴宁期中) 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数.
（1）列举出所有可能的结果,并求两点数之和为5的概率；
（2）求以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点在圆的内部的概率．
21. （5分）(2017·太原模拟) 如图：在四棱锥E﹣ABCD中，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE= ，EC⊥BD，底面四边形是个圆内接四边形，且AC是圆的直径．
（1）求证：平面BED⊥平面ABCD；
（2）点P是平面ABE内一点，满足DP∥平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值．
22. （5分） (2019高一下·三水月考) 解不等式
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共30分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
20-1、
20-2、
21-1、21-2、
22-1、
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天津市和平区2018-2019学年高一下学期期末数学试题
天津市和平区2018-2019学年高一下学期期末数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．要从已编号(1～50)的50枚最新研制的某型导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( )A ．5，10，15，20，25B ．3，13，23，33，43C ．1，2，3，4，5D ．2，4，8，16，322．已知m 个数的平均数为a ，n 个数的平均数为b ，则这m n +个数的平均数为（ ） A ．2a b+ B ．a bm n++ C ．ma nba b++D ．ma nbm n++3．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ,则△PBC 的面积大于S4的概率是( ) A ．14B ．12C ．34 D ．234．经过(0,2)A ，(3,3)B -两点的直线方程为（ ） A ．35100x y +-= B ．3560x y ++= C ．5360x y +-=D ．5360x y ++=5．过点(3,2)且与直线450x y --=垂直的直线方程是（ ） A ．450x y +-= B ．450x y -+= C ．4100x y --=D ．4140x y +-=6．根据下面茎叶图提供了甲、乙两组数据，可以求出甲、乙的中位数分别为（ ）A ．24和29B ．26和29C ．26和32D ．31和297．已知M 为z 轴上一点，且点M 到点(1,0,1)A -与点(1,3,2)B -的距离相等，则点M 的坐标为（ ） A ．(3,0,0)B ．(0,2,0)-C ．(0,0,6)D ．(0,0,3)-8．已知直线3y kx =+与圆22(1)(2)4x y -++=交于M ，N 两点，若||MN =则k 的值为（ ） A ．512-B ．125C ．125-D ．125±9．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ） A ．15B ．25C ．35D ．4510．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.12．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.04，出现丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________. 13．已知直线134x y+=分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，则||AB 等于________.14．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x ＋4y －12＝0的公共弦的长为___．15．已知三点A (1,0)，B (0，C (2，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．三、解答题16．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；17．甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示.(1)分别求出两人得分的平均数与方差;(2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.18．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线4x -=相切。
2019-2020学年天津一中高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年天津一中高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．若复数z1对应复平面内的点（2，﹣3），且z1•z2＝1+i，则复数z2的虚部为（）A．﹣B．C．﹣D．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m⊥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，m∥n，则n⊥αD．若α⊥β，m⊥α，则m∥β3．设x，y∈R，向量＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．D．104．某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组[40，50），第2组[50，60），第3组[60，70），第4组[70，80），第5组[80，90），第6组[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（）A．1，3，4B．2，3，3C．2，2，4D．1，1，65．雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3米，求像体AD的高度（）（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）A．4.0米B．4.2米C．4.3米D．4.4米6．如图，O是△ABC的重心，＝，＝，D是边BC上一点，且＝3，则（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．在△ABC中，sin2＝（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形8．下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”9．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的体积等于（）A．B．C．D．10．已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足＝2，＝﹣，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣二、填空题11．i是虚数单位，则||的值为．12．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件B的对立事件）发生的概率为．13．若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．14．在△ABC中，AC＝2AB＝2，∠BAC＝120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且，则的值是．15．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若a2﹣b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝．16．在△ABC中，∠BAC＝60°，||＝2，＝2，||＝，则||＝；设＝λ﹣（λ∈R），且•＝4，则λ的值为．三、解答题17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a＝，b＝2．求：（ⅰ）边长c；（ⅱ）sin（2B﹣C）的值．18．某校参加夏令营的同学有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其所属年级情况如表：高一年级高二年级高三三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母写这个试验的样本空间；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件M的样本点，并求事件M发生的概率．19．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SD＝1．（1）求证：BC⊥SC；（2）求平面SBC与平面ABCD所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．20．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH＝HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．参考答案一、选择题1．若复数z1对应复平面内的点（2，﹣3），且z1•z2＝1+i，则复数z2的虚部为（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】由已知求得z1，代入z1•z2＝1+i，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由题意，z1＝2﹣3i，又z1•z2＝1+i，∴，∴复数z2的虚部为．故选：B．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m⊥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，m∥n，则n⊥αD．若α⊥β，m⊥α，则m∥β【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，n∥α或n⊂α；在C中，由线面垂直的判定定理得n⊥α；在D中，m与β平行或m⊂β．解：设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则：在A中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥n，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故C正确；在D中，若α⊥β，m⊥α，则m与β平行或m⊂β，故D错误．故选：C．3．设x，y∈R，向量＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．D．10【分析】由向量平行与垂直的充要条件建立关于x、y的等式，解出x、y的值求出向量的坐标，从而得到向量的坐标，再由向量模的公式加以计算，可得答案．解：∵，且，∴x•2+1•（﹣4）＝0，解得x＝2．又∵，且，∴1•（﹣4）＝y•2，解之得y＝﹣2，由此可得，，∴＝（3，﹣1），可得＝＝．故选：B．4．某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组[40，50），第2组[50，60），第3组[60，70），第4组[70，80），第5组[80，90），第6组[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（）A．1，3，4B．2，3，3C．2，2，4D．1，1，6【分析】利用分层抽样的性质结合频率分布直方图能求出第2，3，4组抽取的人数．解：采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2抽取的人数为：8×＝2人，第3组抽取的人数为：8×＝2人，第4组抽取的人数为：8×＝4人．故选：C．5．雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3米，求像体AD的高度（）（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）A．4.0米B．4.2米C．4.3米D．4.4米【分析】在Rt△DBC中求出BC，再利用Rt△ABC的边角关系求出AC的值，即得AD 的大小．解：在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3米，所以BC＝CD＝2.3米；在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，BC＝2.3米，所以tan70.5°＝，AC＝BC tan70.5°＝2.3×2.842＝6.5366≈6.5（米），所有AD＝AB﹣CD＝6.5﹣2.3＝4.2（米），即像体AD的高度为4.2米．故选：B．6．如图，O是△ABC的重心，＝，＝，D是边BC上一点，且＝3，则（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】由O为△ABC的重心，则点E为BC的中点，且，又由＝3，得：D是BC的四等分点，再利用平面向量的线性运算可得则＝﹣+，故得解解：如图，延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心，则点E为BC的中点，且由＝3，得：D是BC的四等分点，则＝﹣+，故选：A．7．在△ABC中，sin2＝（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形【分析】直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简求解即可判断三角形的形状．解：因为sin2＝＝，即，由余弦定理可得，可得a2+b2＝c2，所以三角形是直角三角形．故选：B．8．下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”【分析】利用对立事件和互斥事件的概念求解．解：根据事件的特点易知，事件M是否发生对事情N发生的概率没有影响，故M与N 是相互独立事件，故A，B，D属于相互独立事件．对于C：由于第一次摸到球不放回，因此会对第二次摸到球的概率产生影响，所以这两个事件不是相互独立事件；故选：C．9．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的体积等于（）A．B．C．D．【分析】根据直线平面的垂直问题得出Rt△SBC，Rt△SAC中AC的中点O，判断SC 为球O的直径，又可求得SC＝2，球O的半径R＝1，求解即可．【解答】解；∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴SA⊥BC，AB⊥BC，∴BC⊥面SAB，∵BS⊂面SAB，∴SB⊥BC，∴Rt△SBC，Rt△SAC中AC的中点O，∴OS＝OA＝OB＝OC，∴SC为球O的直径，又可求得SC＝2，∴球O的半径R＝1，体积，故选：B．10．已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足＝2，＝﹣，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【分析】根据＝﹣，根据线性运算进行变换可求得∠DAB＝；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标值建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，得到关于t的二次函数，求得二次函数最小值即为所求．解：由题意知：＝，设∠DAB＝θ，所以＝（）•（）＝2＝4cosθ﹣4cosθ＝﹣，所以cosθ＝，又θ∈（0，π），所以，以AC与BD交点为原点，AC为x轴，BD为y轴建立如图所示的直角坐标系，所以A（﹣，0），C（，0），D（0，1），B（0，﹣1），E（），设F（0，t），则＝（，t），＝（﹣，t+），所以＝﹣2+t（t+）＝t2＝（t）2﹣，当t＝时，取最小值，故选：D．二、填空题11．i是虚数单位，则||的值为．【分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算．解：由题意，可知：＝＝＝2﹣3i，∴||＝|2﹣3i|＝＝．故答案为：．12．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件B的对立事件）发生的概率为．【分析】基本事件总数n＝6，利用列举法求出事件（表示事件B的对立事件）包含的基本事件的个数，由此能求出一次试验中，事件（表示事件B的对立事件）发生的概率．解：掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，基本事件总数n＝6，事件（表示事件B的对立事件）包含的基本事件有：2，4，5，6，共4个，则一次试验中，事件（表示事件B的对立事件）发生的概率为：P（A∪）＝＝．故答案为：．13．若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．【分析】由圆柱的侧面展开图是正方形，我们易得圆柱的高与底面周长相等，设侧面的正方形边长为A后，易分别计算出侧面积和全面积，代入计算后，易得结果．解：可以设该侧面的正方形边长为A，则S侧面积＝A2全面积S＝A2+2π则圆柱的全面积与侧面积的比＝＝故答案：14．在△ABC中，AC＝2AB＝2，∠BAC＝120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且，则的值是﹣．【分析】取基底为，，把所求向量转化为用基底表示，即可求出结论．解：因为△ABC中，AC＝2AB＝2，∠BAC＝120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且，∴＝﹣＝﹣（）；则＝（+）•（+）＝（﹣）•（﹣）＝﹣﹣+•＝﹣×22﹣×12+×1×2×cos120°＝﹣﹣﹣＝﹣．故答案为：﹣．15．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若a2﹣b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝．【分析】由正弦定理得c＝2b，再由余弦定理可得cos A＝，把c＝2b 代入化简可得cos A的值，从而求得A的大小．解：∵sin C＝2sin B，∴c＝2b，∴cos A＝＝＝＝＝，又0＜A＜π，∴A＝，故答案为．16．在△ABC中，∠BAC＝60°，||＝2，＝2，||＝，则||＝3；设＝λ﹣（λ∈R），且•＝4，则λ的值为．【分析】由＝2可得，然后两边平方处理，结合平面向量的数量积运算，解方程即可；把和＝λ﹣均代入•＝4，化简整理后，代入已知数据，解关于λ的方程即可得解．解：∵＝2，∴B、D、C三点共线，∴，两边平方，有，∴，解得，（舍负）．∵•＝4，∴（），化简整理，得，∴，解得．故答案为：3，．三、解答题17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a＝，b＝2．求：（ⅰ）边长c；（ⅱ）sin（2B﹣C）的值．【分析】（I）利用正弦定理、和差公式化简即可得出．（II）（ⅰ）因为，，利用余弦定理即可得出．（ⅱ）由，可得cos B再利用倍角公式、和差公式即可得出．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得………∴，∴，∵0＜C＜π，…………∴…………………（Ⅱ）（ⅰ）因为，，由余弦定理得，∴…………………（ⅱ）由，…………………因为B为锐角，所以…………………，………………………18．某校参加夏令营的同学有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其所属年级情况如表：高一年级高二年级高三三年级男同学A B C女同学X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母写这个试验的样本空间；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件M的样本点，并求事件M发生的概率．【分析】（I）结合已知数据，直接利用列举法即可求解；（II）结合等可能事件的概率公式即可直接求解．解：（I）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．（II）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事件M发生的概率．19．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SD＝1．（1）求证：BC⊥SC；（2）求平面SBC与平面ABCD所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．【分析】（1）先证明SD⊥BC，又BC⊥CD，证明BC⊥平面SDC，根据线面垂直的性质，得出结论；（2）根据题意∠SCD为所求二面角的平面角，根据几何法求出∠SCD；（3）根据题意，得到∠DMP为所求异面直线所成的角，根据勾股定理，求出结果．解：（1）∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥CD，∵SD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴SD⊥BC，又DC∩SD＝D，∴BC⊥平面SDC，∵SC⊂平面SDC，∴BC⊥SC；（2）由（1）知BC⊥SC，又CD⊥BC，∴∠SCD为所求二面角的平面角，在Rt△DSC中，∵SD＝DC＝1，∴∠SCD＝45°；（3）取AB中点P，连结MP，DP，在△ABS，由中位线定理得MP∥SB，∴∠DMP或其补角是异面直线DM与SB所成角，∵，，所以△DMP中，有DP2＝MP2+DM2，∴∠DMP＝90°．20．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH＝HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【分析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF；（2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）求出＝（﹣，，），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF＝OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI＝BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB＝BD．∴EF∥GI，EF＝GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E （0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为＝（x，y，z），则，取＝（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为＝（1，0，0），∵|cos＜，＞|＝∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为＝；（3）解：AH＝HF，∴＝＝（，0，）．设H（a，b，c），则＝（a+，b，c）＝（，0，）．∴a＝﹣，b＝0，c＝，∴＝（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值＝|cos＜，＞|＝＝．。
精品解析：天津市部分区2019-2020学年高一下学期期末数学试题(解析版)
【点睛】本题考查单位向量的概念,解题时要注意与与 平行的单位向量有两个,一个与 同向,一个与 反向．
8.四名同学各掷一枚骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数.根据下面四名同学的统计结果,可以判断出一定没有出现点数6的是（）
（注:一组数据 的平均数为 ,它的方差为 ）
A. 平均数为2,方差为2.4B. 中位数为3,众数为2
详细详细解析:连结AC,
则AC是A1C在平面ABCD上 射影,
则∠A1CA即为直线A1C与平面ABCD所成角 正弦值,
设正方体的棱长为1,
则 ,
则 ,
点晴:本题需要先找出线面角所成角的平面角,然后放在三角形中进行解决即可
15.已知 中, 为边 上的点,且 ,若 ,则 ______.
【答案】
【详细解析】
2.复数 （ 是虚数单位）在复平.第四象限
【答案】D
【详细解析】
【详细分析】
求得 对应的坐标,由此得出正确选项.
【详细详细解析】复数 对应的坐标为 ,在第四象限.
故选:D
【点睛】本小题主要考查复数对应点所在象限的判断,属于基础题.
3.用斜二测画法画边长为2的正方形 的直观图时,以射线 , 分别为 轴、 轴的正半轴建立直角坐标系,在相应的斜角坐标系中得到直观图 ,则该直观图的面积为（）
17.从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生,将他们的数学检测成绩（分）分成六段（满分100分,成绩均为不低于40分的整数）: , ,..., 后,得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求图中实数 的值;
（Ⅱ）若该校高一年级共有学生600名,试根据以上数据,估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数.
所以,事件 发生的概率 .
2019年天津大张屯中学高一数学理下学期期末试题含解析
2019年天津大张屯中学高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. .若实数x，y满足，则的取值范围为（）A. [4,8]B. [8,+∞)C. [2,8]D. [2,4]参考答案：A【分析】利用基本不等式得，然后解不等式可得，同时注意．【详解】∵，∴（时取等号），，∴，又，∴，∴．故选A．【点睛】本题考查基本不等式求最值问题，解题关键是掌握基本不等式的变形应用：．2. 利用“长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四面体A1BC1D”的特点，求得四面体PMNR（其中PM=NR=，PN=MR=，MN=PR=）的外接球的表面积为（）A．14πB．16πC．13πD．15π参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为，，，则长方体的对角线长等于四面体PMNR外接球的直径，即可求出四面体PMNR外接球的表面积．【解答】解：由题意，构造长方体，使得面上的对角线长分别为，，，则长方体的对角线长等于四面体PMNR外接球的直径．设长方体的棱长分别为x，y，z，则x2+y2=10，y2+z2=13，x2+z2=5，∴x2+y2+z2=14∴三棱锥O﹣ABC外接球的直径为，∴三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为π?14=14π，故选A．3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度参考答案：B【分析】由，根据函数的图像变换规律可得解.【详解】要得到函数的图象.只需将函数的图象向左平移个单位长度.故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图像平移，解决此类问题应注意对函数图像平移的影响.4. 在锐角三角形中，若，则的取值范围为A. B. C.D.参考答案：A5. 若，对，是真命题，则的最大取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C6. 给出以下四个问题：①输入一个数, 输出它的相反数．②求面积为的正方形的周长．③求三个数中输入一个数的最大数．④求函数的函数值．其中不需要用条件语句来描述其算法的有（）A．个 B．个 C．个 D．个参考答案：B略7. 方程lnx+2x﹣6=0的近似解所在的区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）参考答案：B【考点】二分法求方程的近似解．【分析】根据单调性求解f（1）=﹣4，f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，据函数的零点判断方法可得：零点在（2，3）内．【解答】解：令函数f（x）=lnx+2x﹣6，可判断在（0，+∞）上单调递增，∴f（1）=﹣4，f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，∴根据函数的零点判断方法可得：零点在（2，3）内，方程lnx+2x﹣6=0的近似解：在（2，3）内．故选：B【点评】本题考查了函数的零点，与方程的根的关系，根据函数的单调性判断分析，属于中档题．8. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为A . B.C. D.参考答案：C9. 图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的（）参考答案：A略10. 已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为120°，此时点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A． B． C．D．参考答案：C考点：多面体的外接球及表面面积公式的运用.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 计算__________．参考答案：【分析】采用分离常数法对所给极限式变形，可得到极限值.【详解】.【点睛】本题考查分离常数法求极限，难度较易.12. 函数在上是减函数，则实数的取值范围是__________。
(3份试卷汇总)2019-2020学年天津市高一数学下学期期末复习检测试题
22．（8分）某种笔记本的单价是5元，买 个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数 .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
对称轴穿过曲线的最高点或最低点，把 代入后得到 ,因而对称轴为 ，选 .
2．A
10．A
【解析】
【分析】
该不等式为一元二次不等式，根据一元二次函数的图象与性质可得， 的图象是开口向下且与x轴没有交点，从而可得关于参数的不等式组，解之可得结果.
【详解】
不等式为一元二次不等式，故 ，
根据一元二次函数的图象与性质可得，
的图象是开口向下且与x轴没有交点，
则 ，解不等式组，得 .
故本题正确答案为A.
【解析】
【分析】
利用正弦定理化简已知条件，得到 ，由此得到 ，进而判断出正确选项.
【详解】
由正弦定理得 ，所以 ，所以 ，故三角形为等腰三角形，故选A.
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
3．A
【解析】
【分析】
线性规划问题，首先画出可行域，再令z=0，画出目标函数，上下平移得到z的最值。
17．已知 ,函数 .
(1)当 时,解不等式 ;
(2)若对 ,不等式 恒成立,求a的取值范围.
18．某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2m2，可做A、B的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3m2，可做A、B的外壳分别为6个和6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小．
天津市东丽区2019-2020学年新高考高一数学下学期期末经典试题
连结 ，因为 ，所以异面直线 与 所成角是 ，在 中， ， ， ，所以 .
故选A.
【点睛】
本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题.
5．D
【解析】
【分析】
根据等差数列片断和的性质得出 、 、 、 成等差数列，并将 和 都用 表示，可得出 的值．
【详解】
根据等差数列的性质，若数列 为等差数列，则 也成等差数列；又 ，则数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，则 ，故选D．
8．C
【解析】
【分析】
作出可行域，利用平移法即可求出．
【详解】
作出不等式组表示的平面区域，如图所示：
当直线 平移至经过直线 与直线 的交点 时， 取得最大值， ．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划问题的解法应用，属于基础题．
9．C
【解析】
【分析】
由数量积的几何意义，利用外心的几何特征计算即可得解.
【详解】
是圆 的一条弦,易知 在 方向上的投影恰好为 ，
所以 =| | | |= =2.故选C.
【点睛】
本题考查了数量积的运算，利用定义求解要确定模长及夹角，属于基础题.
10．C
【解析】
【分析】
举例三边长分别是 的三角形是钝角三角形，否定A，B，通过计算求出最大角是最小角的二倍的三角形，从而可确定C、D中哪个正确哪个错误．
4．如图，在长方体 中， ， ， ， 分别是 ， 的中点则异面直线 与 所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
5．设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （）
A． B． C． D．
6．已知直线 与直线 互相平行，则实数 的值为（）
天津市一中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析
天津市一中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题1.若复数1z 对应复平面内的点()2,3，且121z z i ⋅=+，则复数2z 的虚部为（ ） A. 513-B.513C.113D.1132.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A. 若//m α,//m β,则//αβ B. 若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C. 若m α⊥,//m n ,则n α⊥D. 若αβ⊥,m α⊥,则//m β3.设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则=a b +( ) A. 5B. 25C. 10D. 104.某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（ ）A. 1，3，4B. 2，3，3C. 2，2，4D. 1，1，65.雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体AD 和底座CD 两部分组成．如图，在Rt ABC 中，70.5ABC ∠=︒，在Rt DBC 中，45DBC ∠=︒，且 2.3CD =米，求像体AD 的高度（ ）（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.50.943︒≈，cos70.50.334︒≈，tan70.5 2.824︒≈）A. 4.0米B. 4.2米C. 4.3米D. 4.4米6.如图，O 是△ABC 的重心，AB =a ，AC =b ，D 是边BC 上一点，且BD =3DC ，则（ ）A 15OD a b 1212=-+ B. 15OD a b 1212=-C. 15OD a b 1212=--D. 15OD a b 1212=+7.在ΔABC 中,2sin 2A =(,,2c b a b c c-分别为角,,A B C 的对应边),则ΔABC 的形状为 A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形8.下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（ ）A 掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”B. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”C. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D. 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”9.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =O的体积等于( )A.3π B.43π C.23π D.6π 10.已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =，23AE BD ⋅=-，则AF EF ⋅的最小值为（ ）A. 23-B. 43-C. 15275-D. 7336-二、填空题11.i 是虚数单位，则51ii-+的值为__________. 12.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为16，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件AB （B 表示事件B 的对立事件）发生的概率为______.13.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．14.在ABC 中，22AC AB ==，120BAC ∠=，O 是BC 的中点，M 是AO 上一点，且3AO MO =，则MB MC ⋅的值是______.15.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A =____.16.在ABC 中，60BAC ∠=︒，2AC →=，2BD DC →→=，AD →=，则AB →=______；设()AE AC AB R λλ→→→=-∈，且4AD AE →→⋅=，则λ的值为______.三、解答题17.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c (cos cos )0C a B b A c ++=． （1）求角C 的大小；（2）若a =2b =．求：（ⅰ）边长c ；（ⅱ）sin(2)B C -的值．18.某校参加夏令营的同学有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ，其所属年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母写出这个试验的样本空间；（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件M的样本点，并求事件M发生的概率.19.如图，四棱锥S ABCD-的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，1SD=.（1）求证BC SC⊥；（2）求平面SBC与平面ABCD所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.20.如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF；（Ⅱ）求二面角O−EF−C的正弦值；（Ⅲ）设H为线段AF上的点，且AH=23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.答案与解析一、选择题1.若复数1z 对应复平面内的点()2,3，且121z z i ⋅=+，则复数2z 的虚部为（ ） A. 513-B.513C.113D.113【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知求出2511313z i =-，即得复数2z 的虚部. 【详解】由题意12+3z i =，由121z z i ⋅=+得21(1)(23)3512+3(2+3)(2)1313i i i z i i i i ++-===--， ∴复数2z 的虚部为113， 故选：C.【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A. 若//m α,//m β,则//αβ B. 若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C. 若m α⊥,//m n ,则n α⊥ D. 若αβ⊥,m α⊥,则//m β【答案】C 【解析】 【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B 中，//n α或n ⊂α；在C 中，由线面垂直的判定定理得n α⊥；在D 中，m 与β平行或m β⊂．【详解】设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则： 在A 中，若//m α，//m β，则α与β相交或平行，故A 错误；在B 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，故B 错误；在C 中，若m α⊥，//m n ，则由线面垂直的判定定理得n α⊥，故C 正确； 在D 中，若αβ⊥，m α⊥，则m 与β平行或m β⊂，故D 错误． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题． 3.设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则=a b +( ) A. 5 B. 25C. 10D. 10【答案】C 【解析】 试题分析:向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，2402x x ∴-=⇒=，1(4)202y y ⨯--=⇒=-，从而(2,1)(1,2)(3,1)a b +=+-=-，因此223(1)10a b +=+-=，故选C ．考点：1.向量的模；2.向量的平行与垂直．4.某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（ ）A. 1，3，4B. 2，3，3C. 2，2，4D. 1，1，6【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图可得第2，3，4组中频数之比，结合分层抽样的特点可得人数. 【详解】由图可知第2，3，4组的频率之比为0.15:0.15:0.3，所以频数之比为1:1:2，现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，所以第2，3，4组抽取的人数依次为2，2,4. 故选：C.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的解读及分层抽样方法，通过频率分布直方图可得出频率是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.5.雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体AD 和底座CD 两部分组成．如图，在Rt ABC 中，70.5ABC ∠=︒，在Rt DBC 中，45DBC ∠=︒，且 2.3CD =米，求像体AD 的高度（ ）（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.50.943︒≈，cos70.50.334︒≈，tan70.5 2.824︒≈）A. 4.0米B. 4.2米C. 4.3米D. 4.4米【答案】B 【解析】 【分析】在Rt BCD 和Rt ABC 中，利用正切值可求得AC ，进而求得AD . 【详解】在Rt BCD 中， 2.3tan CDBC DBC==∠（米），在Rt ABC 中，tan 2.3 2.824 6.5AC BC ABC =∠≈⨯≈（米），6.5 2.3 4.2AD AC CD ∴=-=-=（米）.故选：B .【点睛】本题考查解三角形的实际应用中的高度问题的求解，属于基础题.6.如图，O 是△ABC 的重心，AB =a ，AC =b ，D 是边BC 上一点，且BD =3DC ，则（ ）A 15OD a b 1212=-+ B. 15OD a b 1212=- C. 15OD a b 1212=--D. 15OD a b 1212=+【答案】A 【解析】 【分析】由O 为△ABC 的重心，则点E 为BC 的中点，且()122AO OE AE AB AC ，==+，又由BD =3DC ，得：D 是BC 的四等分点，再利用平面向量的线性运算可得则1115341212OD OE ED AE a b =+=+=-+，故得解【详解】如图，延长AO 交BC 于E ，由已知O 为△ABC 的重心， 则点E 为BC 的中点，且()122AO OE AE AB AC ，==+ 由BD =3DC ，得：D 是BC 的四等分点， 则()()1111134324OD OE ED AE BC AB AC AC AB =+=+=⨯++- 151212a b =-+， 故选A ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及重心的特征，属中档题． 7.在ΔABC 中,2sin 2A =(,,2c ba b c c-分别为角,,A B C 对应边),则ΔABC 的形状为A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】B 【解析】由题可得21sin22A cosA -==1222c b b c c -=-，所以bcosA c=.由此可知，该三角形是直角三角形，所以角C 为直角. 本题选择B 选项.8.下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（ ）A 掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”B. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”C. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D. 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生” 【答案】C 【解析】 【分析】利用相互独立事件的定义直接判断各选项，即可得到结果．【详解】对于选项A ，事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件；对于选项B ，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”， 则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件；对于选项C ，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球， 事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”， 则事件M 发生与否和事件N 有关，故事件M 和事件N 与不是相互独立事件；对于选项D ，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”， 则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件； 故选：C.【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概念和对相互独立事件的判断，本题属于基础题.9.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =球O 的体积等于( )A.3π B.43π C.2π D.6π 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平面垂直的判定与性质得出SBC ，SAC 为直角三角形，可得SC 的中点O 为球心，又可求得2SC =，求出球的半径，即可得解．【详解】解：SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，SA BC ∴⊥，AB BC ⊥， BC ∴⊥面SAB ， BS ⊂面SAB ， SB BC ∴⊥，Rt SBC ∴，Rt SAC 中AC 的中点O ， OS OA OB OC ∴===，SC ∴为球O 的直径，又可求得2SC =，∴球O 的半径1R =，体积34433V R ππ==， 故选B ．【点睛】本题综合考查了空间几何体的性质，空间思维能力的运用，平面，立体问题的转化，巧运用直角三角形的性质．10.已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =，23AE BD ⋅=-，则AF EF ⋅的最小值为（ ）A. 23-B. 43-C. 15275-D. 7336-【答案】D 【解析】根据23AE BD ⋅=-，根据线性运算进行变换可求得3DAB π∠=；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出AF EF ⋅，得到关于t 的二次函数，求得二次函数最小值即为结果. 【详解】由题意知：23BE BC =，设DAB θ∠= ()()22233AE BD AB BE AD AB AB AD AB BC AD BC AB ∴⋅=+⋅-=⋅-+⋅-⋅ 8824cos 4cos 333θθ=-+-=- 1cos 2θ∴= 3πθ⇒= 以AC 与BD 交点为原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系：()3,0A ∴-，2313E ⎫-⎪⎪⎝⎭，设()0,F t 则()3,AF t =，23133EF t ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2112233AF EF t t t t ⎛⎫∴⋅=-++=+- ⎪⎝⎭当16t =-时，()min 11732361836AF EF ⋅=--=- 本题正确选项：D【点睛】本题考查向量数量积的运算问题，涉及到利用定义的运算和数量积的坐标运算，解题关键是能够通过线性运算进行变换，通过数量积运算的定义求得夹角；再通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算，通过函数关系求解得到最值.二、填空题11.i 是虚数单位，则51i i-+的值为__________. 13【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模． 【详解】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-． 【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.12.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为16，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件AB （B 表示事件B 的对立事件）发生的概率为______. 【答案】23【解析】 【分析】 根据对立事件的概率公式以及互斥事件的概率的加法公式可得结果.【详解】依题意可知，事件A 与事件B 为互斥事件，且()2163P A ==，()4263P B ==， 所以()P A B ()()P A P B =+()()1P A P B =+-1221333=+-=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了对立事件的概率公式，考查了互斥事件的概率的加法公式，属于基础题.13.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．【答案】2π12π+ 【解析】【分析】利用侧面展开图是正方形得到圆柱的底面半径与高的关系后可得圆柱的表面积与侧面积之比. 【详解】设正方形的边长为a ，圆柱的底面半径为r ，则2r a π=，2a r π=， 所以圆柱的全面积为22224a S a ππ=⨯+全，故全面积与侧面积之比为222221242a a a ππππ⨯++=，填2π12π+. 【点睛】圆柱的侧面展开图是矩形，其一边的长为母线长，另一边的长为底面圆的周长，利用这个关系可以得到展开前后不同的几何量之间的关系.14.在ABC 中，22AC AB ==，120BAC ∠=，O 是BC 的中点，M 是AO 上一点，且3AO MO =，则MB MC ⋅的值是______.【答案】53-【解析】【分析】 用AB 、AC 表示向量MB 、MC ，然后利用平面向量数量积的运算律可求得MB MC ⋅的值.【详解】O 为BC 的中点，()12AO AB AC ∴=+， 3AO MO =，()1136MO AO AB AC ∴==+，()2133AM AO AB AC ==+， ()()11233MB AB AM AB AB AC AB AC ∴=-=-+=-， ()()11233MC AC AM AC AB AC AC AB ∴=-=-+=-， 22AC AB ==，120BAC ∠=， ()()()22112252299MB MC AB AC AC AB AB AC AB AC ∴⋅=-⋅-=⋅--221155122122923⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯--⨯-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：53-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.15.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A =____. 【答案】6π 【解析】【分析】由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得c =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角A .【详解】sin C B = 根据正弦定理：sin sin b c B C= ∴可得c =根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-由已知可得：22a b -=故可联立方程：222222cos c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪-=⎩解得：cos 2A =. 由0A π<< ∴6A π= 故答案为：6π. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16.在ABC 中，60BAC ∠=︒，2AC →=，2BD DC →→=，3AD →=，则AB →=______；设()AE AC AB R λλ→→→=-∈，且4AD AE →→⋅=，则λ的值为______.【答案】 (1). 3 (2).2711【解析】【分析】由2BD DC →→=可得1233AD AB AC →→→=+，然后两边平方处理，结合平面向量的数量积运算，解方程即可； 把1233AD AB AC →→→=+和AE AC AB λ→→→=-代入4AD AE →→⋅=，化简整理后，代入已知数据，解关于λ的方程即可得解．【详解】解：2BD DC →→=，B ∴、D 、C 三点共线， ∴1233AD AB AC →→→=+， 两边平方得：2221412||||||2||||cos609933AD AB AC AB AC →→→→→=++⨯⨯︒， ∴2371441||42||99992AB AB →→=+⨯+⨯⨯⨯， 解得：37AB →=-或（舍去）．4AD AE →→=，12()()433AB AC AC AB λ→→→→∴+-=， 化简整理，得221224333AB AC AB AC λλ→→→→--++=， ∴1229432cos604333λλ--⨯+⨯+⨯⨯⨯︒=，解得2711λ=． 故答案为：3，2711． 【点睛】本题考查平面向量的模、向量的加减法运算以及向量的数量积运算，利用到了平面向量基本定理，还采用了平方法解决模长问题，考查学生的分析能力和运算能力．三、解答题17.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c (cos cos )0C a B b A c ++=．（1）求角C 的大小；（2）若a =2b =．求：（ⅰ）边长c ；（ⅱ）sin(2)B C -的值．【答案】（1）34C π=； （2）（ⅰ）c =（ii ）sin(2)B C -=． 【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得角C 的大小.（2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边c ；（ⅱ）由两角差的正弦公式求得sin(2)B C -的值.【详解】解：（1(sin cos sin cos )sin 0C A B B A C ++=∴sin sin 0C C C +=，∴cos 2C =-， 0C π<<， ∴34C π=（2）（ⅰ）因为2a b ==，34C π=，由余弦定理得2222cos 2422(10c a b ab C =+-=+-⨯=，∴c =（ⅱ）由sin sin sin c b B C B =⇒=，因为B 为锐角，所以cos B =4sin 225B ==，223cos 2cos sin 5B B B =-=，43sin(2)sin 2cos cos2sin (55B C B C B C -=-=⨯-=【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，还考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及两角差的正弦公式.18.某校参加夏令营的同学有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ，其所属年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母写出这个试验的样本空间；（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件M 的样本点，并求事件M 发生的概率.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；25. 【解析】【分析】（1）根据样本空间的概念写出即可；（2）利用列举法写出样本点，然后根据古典概型的概率公式求出概率即可得.【详解】（1）这个试验的样本空间为： {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A X A Y A Z B C B X B Y B Z C X C Y C Z X Y X Z Y Z .（2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为；{},A Y ，{},A Z ，{},B X ，{},B Z ，{},C X ，{},C Y 共6种，因此事件M 发生的概率()62155P M ==. 【点睛】本题考查了样本空间的概念，考查了用列举法求古典概型的概率，属于基础题.19.如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面ABCD ，1SD =.（1）求证BC SC ⊥；（2）求平面SBC 与平面ABCD 所成二面角的大小；（3）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）45︒；（3）90︒.【解析】【分析】（1）根据题意，由线面垂直证线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，再证线线垂直.（2）由（1）中线面垂直，可知所求二面角的平面角为SCD ∠，根据题意可求角度.（3）利用中位线将异面直线平移，则DMP ∠或其补角是异面直线DM 与SB 所成角，根据勾股定理，即可求解.【详解】（1）∵底面ABCD 是正方形， ∴BC CD ⊥，∵SD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，∴SD BC ⊥，又DCSD D =， ∴BC ⊥平面SDC ，∵SC ⊂平面SDC ，∴BC SC ⊥.（2）由（1）知BC SC ⊥，又CD BC ⊥，∴SCD ∠为所求二面角的平面角，在Rt DSC ∆中，∵1SD DC ==，∴45SCD ∠=︒.（3）取AB 中点P ，连结,MP DP ，在ABS ，由中位线定理得//MP SB ， DMP ∴∠或其补角是异面直线DM 与SB 所成角， ∵132MP SB ==2151242DM DP ==+=， 所以DMP ∆中，有222DP MP DM =+，90DMP ∴∠=︒.【点睛】本题考查（1）垂直关系的转化证明（2）二面角的求法（3）异面直线所成角，考查逻辑推理能力，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中等题型.20.如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB=BE=2.（Ⅰ）求证：EG ∥平面ADF ；（Ⅱ）求二面角O−EF−C 的正弦值；（Ⅲ）设H 为线段AF 上的点，且AH=23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ3（Ⅲ）721. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出平面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证；（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出平面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值；（Ⅲ）利用空间向量求线面角，关键是求出平面的法向量，再利用向量数量积求出向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值. 试题解析：依题意，OF ABCD 平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF 的方向为x 轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.（Ⅰ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-.设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则110{0n AD n AF ⋅=⋅=，即20{20x x y z =-+=. 不妨设1z =，可得()102,1n =,，又()0,1,2EG =-，可得10EG n ⋅=， 又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面.（Ⅱ）解：易证，()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量.依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-.设()2,,n x y z =为平面CEF 的法向量，则220{0n EF n CF ⋅=⋅=，即0{20x y x y z +=-++=. 不妨设1x =，可得()21,1,1n =-. 因此有2226cos ,OA n OA n OA n ⋅==-⋅，于是23sin ,3OA n =， 所以，二面角O EF C --的正弦值为3. （Ⅲ）解：由23AH HF =，得25AH AF = 因为，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此2227cos ,21BH n BH n BH n ⋅==-⋅.所以，直线BH和平面CEF. 【考点】利用空间向量解决立体几何问题。
天津市东丽区2019-2020学年高一下期末经典数学试题含解析
天津市东丽区2019-2020学年高一下期末经典数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量(2,0)a=，||1b =，1a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可. 【详解】 因为cos ,a b a b a b<>=，所以a 与b 的夹角为23π. 故选：D. 【点睛】本题主要考查向量的夹角的运算，以及运用向量的数量积运算和向量的模.2．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，*n N ∈． 下列命题中真命题是 ( )A ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，得到11n n a n a n++=，利用累乘法，求得1n a na =，从而可作出判定，得到答案． 【详解】由题意知，向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，*n N ∈， 当//n n c b 时，可得1(1)n n na n a +=+，即11n n a n a n++=，所以3211111123121n n n a a a na a a na a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-， 所以数列{}n a 表示首项为1a ，公差为1a 的等差数列． 当n n c b ⊥，可得1(1)0n n na n a +++=，即11n n a na n +=-+， 所以132111111(1)121()()()23n n n n aa a a n a a a a a a n n----=⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯-⨯⨯-=，所以数列{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列. 故选A ． 【点睛】本题主要考查了向量的平行关系的坐标表示，等差数列的定义，以及“累乘法”求解通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．已知直线l 1：ax ＋2y ＋8＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则实数a 的取值是（ ） A ．－1或2 B ．－1C ．0或1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】12:0,:0:::l ax by c l dx ey f a d b e c f ++=++=⇔=≠直线与直线平行【详解】2:1=2:(1)8:(1)12a a a a a -≠-⇒=-=或，选A.【点睛】本题考查由两直线平行求参数.4．把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为1:3，母线长为6cm ，则己知圆锥的母线长为（ ）cm . A ．8 B ．9C ．10D ．12【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥的轴截面三角形的相似性，通过圆台的上、下底面半径之比为1:3来求解. 【详解】设圆锥的母线长为l ，因为圆台的上、下底面半径之比为1:3，所以6:1:3l l -=， 解得9l =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了旋转体轴截面中的比例关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5．下列各命题中，假命题的是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12π C ．根据弧度的定义，180一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧度制的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，正确；B 选项，一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12π，正确；C 选项，根据弧度的定义，180一定等于π弧度，正确；D 选项，用角度制度量角，与圆的半径长短无关，故D 错. 故选：D. 【点睛】本题主要考查弧度制的相关判定，熟记概念即可，属于基础题型.6．已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最小角的余弦值是（ ） A ．45B ．34C ．18D 【答案】B 【解析】 【分析】设ABC ∆的最大角为B ，最小角为C ，可得出1b a =+，1c a =-，由题意得出2B C =，由二倍角公式sin sin 22sin cos B C C C ==，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出关于a 的方程，求出a 的值，可得出cos C 的值. 【详解】设ABC ∆的最大角为B ，最小角为C ，可得出1b a =+，1c a =-，由题意得出2B C =，sin sin 22sin cos B C C C ∴==，所以，2cos b c C =，即2cos b C c =，即222b a bc c ab+-=， 将1b a =+，1c a =-代入222b a b c c ab+-=得1411a a a a ++=-+，解得5a =，6b ∴=，4c =， 则63cos 284b Cc ===，故选B. 【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题时根据对称思想设边长可简化计算，另外就是充分利用二倍角公式进行转化是解本题的关键，综合性较强.7．在三棱锥P ABC -中， 25PA PB PC ===， 23AB AC BC ===，则三棱锥P ABC -外接球的体积是（ ） A ．36π B ．125π6C ．32π3D ．50π【答案】B 【解析】 【分析】三棱锥P ABC -是正三棱锥，取O '为ABC 外接圆的圆心，连结PO '，则PO '⊥平面ABC ，设O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，外接球的半径为R ，可求出O A PO ''，，然后由2222OO O A OA R ''+==可求出半径，进而求出外接球的体积. 【详解】由题意，易知三棱锥P ABC -是正三棱锥，取O '为ABC 外接圆的圆心，连结PO '，则PO '⊥平面ABC ，设O 为三棱锥P ABC -外接球的球心.因为AB AC BC ===，所以122O A '==.因为PA PB PC ===4PO '==.设三棱锥P ABC -外接球的半径为R ，则()2244R R -+=，解得52R =，故三棱锥P ABC -外接球的体积是34125ππ36R =. 故选B. 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球体积的求法，考查了学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题. 8．已知m ，n 为直线，α，β为平面，下列命题正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若m α⊂，n β⊂，则m 与n 为异面直线C ．若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m n ⊥D ．若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可. 【详解】由m ，n 为直线，α，β为平面，知：在A 中，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 在B 中，若m α⊂，n β⊂，则m 与n 相交、平行或异面，故B 错误；在C 中，若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m 与n 相交、平行或异面，故C 错误；在D 中，若m α⊥，n β⊥，//αβ，则由线面垂直、面面平行的性质定理得//m n ，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于基础题. 9．已知某地A 、B 、C 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取10%的户数进行调査，则样本容量和抽取C 村贫困户的户数分别是（ ）A ．100，20B ．100，10C ．200，20D ．200，10【答案】B 【解析】 【分析】将饼图中的A 、B 、C 三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以10%得出样本容量，在C 村人口户数乘以10%，再乘以50%可得出C 村贫困户的抽取的户数. 【详解】由图1得样本容量为()35020045010%100010%100++⨯=⨯=，抽取贫困户的户数为20010%20⨯=户，则抽取C 村贫困户的户数为200.510⨯=户． 故选B. 【点睛】本题考查样本容量的求法，考查分层抽样、扇形统计图和条形统计图计算数据，考查运算求解能力，属于基础题.10．在面积为S 的平行四边形ABCD 内任取一点P ，则三角形PBD 的面积大于3S的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．49【答案】A 【解析】 【分析】转化条件求出满足要求的P 点的范围，求出面积比即可得解. 【详解】 如图，设P 到BD 距离为h ，A 到BD 距离为H ，则11233PBDS SBD h BD H =⋅>=⨯⋅， ∴23h H >，∴满足条件的点P 在AGH 和CEF △中， 所求概率12199AGH SS P S S ===. 故选：A. 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题. 11．函数()cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．12x π=-B ．6x π=-C ．6x π=D ．3x π=【答案】B 【解析】 【分析】根据最小正周期为π求解ω与()f x 解析式,再求解()f x 的对称轴判断即可. 【详解】因为()f x 最小正周期为π,故22ππωω=⇒=.故()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,对称轴方程为()2,3x k k Z ππ+=∈,解得(),26k x k Z ππ=-∈.当0k =时, 6x π=-.故选：B 【点睛】本题主要考查了三角函数最小正周期的应用以及对称轴的计算.属于基础题.12． “b 是1+1-”是“b 是2与2的等比中项”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项和等比中项的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若b 是1+1则131312b ++-==，若b 是23+与23-的等比中项， 则(23)(23)1b =±+-=±，则“b 是13+与13-的等差中项”是“b 是23+与23-的等比中项”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差中项和等比中项的定义求出b 的值是解决本题的关键．二、填空题：本题共4小题13．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若6sin α=，则()cos αβ-=________. 【答案】13【解析】 【分析】由题意得出βπα=-，结合诱导公式，二倍角公式求解即可. 【详解】6sin 0α=>，则角α的终边可能在第一、二象限由图可知，无论角α的终边在第一象限还是第二象限，都有βπα=-()()221cos cos(2)cos(2)cos 212sin 1233αβαππααα⎛⎫∴-=-=-=-=--=--⨯= ⎪⎝⎭故答案为：13【点睛】本题主要考查了利用二倍角的余弦公式以及诱导公式化简求值，属于基础题.14．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 ． 【答案】23【解析】 【分析】 【详解】由题意可得：该三棱锥的三条侧棱两两垂直，长都为，所以三棱锥的体积.考点：三棱锥的体积公式.15．函数sin arcsin y x x =+的值域是______. 【答案】ππsin1,sin122⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】先求得函数的定义域，根据函数在定义域内的单调性，求得函数的值域. 【详解】依题意可知，函数的定义域为[]1,1-，且函数在区间[]1,1-上为单调递增函数，故当1x =-时，函数有最小值为πsin12--，当1x =时，函数有最大值为πsin12+.所以函数函数sin arcsin y x x =+的值域是ππsin1,sin122⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦. 故答案为：ππsin1,sin122⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查反正弦函数的定义域和单调性，考查正弦函数的单调性，考查利用函数的单调性求函数的值域，属于基础题.16．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =________ 【答案】5 【解析】 【分析】由等差数列的前n 和公式，求得1710a a +=，再结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】由题意，根据等差数列的前n 和公式，可得1777()352a a S +==，解得1710a a +=， 又由等差数列的性质，可得17452a a a +==. 故答案为：5. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n 和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，以及合理应用等差数列的前n 和公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
天津市部分区2018～2019学年度第二学期期末考试高一数学
天津市部分区2018～2019学年度第二学期期末考试高一数学参考答案一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分)二、填空题：(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11．3 12．250x y +-= 13．1614 15 三、解答题：(本大题共5小题，共60分)16．解：（Ⅰ）设事件A 为“顾客中三等奖”，所有基本事件包括(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3) (2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)共16个， ……………………2分 事件A 包含基本事件(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)共4个， …………………………4分 所以41()164P A ==. ………………………6分 （Ⅱ）设事件B 为“顾客未中奖”，“两个小球号码相加之和等于5”这一事件包括基本事件(2,3),(3,2)共2个，…7分 “两个小球号码相加之和等于4”这一事件包括基本事件(1,3),(2,2),(3,1)共3个. ……………………8分2347()1()1()16161616P B P B =-=-++=. ………………………………11分 所以未中奖的概率为716. ………………………………12分 17．解：解方程组238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩, 得1,2x y =-=-. 直线1l 与直线2l 的交点是(1,2)M --. ………………………………2分（Ⅰ）设与直线230x y +-=平行的直线方程为20x y m ++=. ……………3分 由题意知该直线经过点(1,2)M --,所以220m --+=,即4m =. …………………6分 所以与直线230x y +-=平行的直线方程为240x y ++=. …………………7分（Ⅱ）设与直线230x y +-=垂直的直线方程为20x y n -+=. ……………8分 由题意知该直线经过点(1,2)M --,所以140n -++=,即3n =-. ………………………………11分 所以与直线230x y +-=垂直的直线方程为230x y --=. …………………12分18．解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin sin a b c A B C==， 可得sin sin sin sin 4sin cos sin A C C A A B C +=，即sin sin 2sin cos sin A C A B C =， ………………………………3分 因为,(0,)A C π∈，所以sin sin 0A C ≠，即1cos 2B =， ………………………4分 又因为(0,)B π∈，可得3B π=． ………………………………5分（Ⅱ）在ABC ∆中，由余弦定理及3a =，2c =，3B π=，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b ， ………………………………6分由正弦定理可得sin sin c C B b =， ………………………………7分因为c a <，故cos C = ………………………………8分因此sin 22sin cos C C C == ………………………………9分 21cos22cos 17C C =-=， ……………………………10分所以，1sin(2)sin 2cos 232C C C π+=⋅+= ………………………12分 19．解（Ⅰ）若方程22:240C x y x y m +--+=表示圆,则41640m +->，解得5m <.故实数m 的取值范围为(,5)-∞． ……………4分 （Ⅱ）若1m =,圆22:(1)(2)4C x y -+-=， ………………………………5分 ①当过点(3,2)M -的直线斜率不存在时，直线方程为3x =，圆心(1,2)C 到直线3x =的距离等于半径2，此时直线3x =与C 相切； ……6分 ②当过点(3,2)M -的直线斜率存在时，不妨设斜率为k ，则切线方程为2(3)y k x +=-，即320kx y k ---=， …………………………7分2=， …………………………9分 解得34k =-，即切线方程为3410x y +-=． ………………………………11分综上所述，切线方程为3x =或3410x y +-=． ………………………………12分20．（Ⅰ）证明:连接PF ,PAD ∆是等边三角形，F 为AD 的中点，所以PF AD ⊥；…1分又底面ABCD 是菱形，3BAD π∠=， 所以 BF AD ⊥，PF BF F =，所以AD ⊥平面PBF ，………………3分PB ⊂平面PBF ，所以PB AD ⊥.……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知BF AD ⊥，BF PA ⊥，AD PA A =，所以BF ⊥平面PAD ， ………………………………5分 又BF ⊂平面ABCD ，即平面ABCD ⊥平面PAD ， ………………………………6分 平面ABCD 平面PAD AD =，又PF AD ⊥，所以PF ⊥平面ABCD ， …7分 连接CF 交DE 于点H ，过H 作//HG PF 交PC 于G ，所以GH ⊥平面ABCD ， ……………………………8分 又GH ⊂平面DEG ，所以平面DEG ⊥平面ABCD ． ………………………………9分 因为3CB CE = ，所以23CG CH CE GP HF DF ===，即25CG CP =， ……………10分在等边三角形PAD ∆中，可得PF =在菱形ABCD 中，由余弦定理可得CF在Rt PFC ∆中，可得PC =CG =…………………………12分。
2019年天津汉沽区第九中学高一数学理下学期期末试卷含解析
2019年天津汉沽区第九中学高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数的最大值不大于，又当时，，则的值为( )A． 1 B. C.D .参考答案：D略2. 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（）A BC D参考答案：C略3. 当，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：B4. 函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，故选A．【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值．5. 在中，若，则是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形参考答案：A6. 对于，给出下列四个不等式①②③④其中成立的是（）A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④参考答案：D解析：由得②和④都是对的；7. 如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是（）A、B、C、D、参考答案：A略8. 已知不等式对任意及恒成立，则实数的取值范围为A B C D参考答案：B9. 如图是中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所得数据的平均数和方差分别为A.84，4.84B.84，1.6 C．85，1.6 D. 85，4参考答案：C略10. （5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，，则（）A．A∩B=? B．A∪B=R C．B?A D．A?B参考答案：B考点：并集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．解答：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选B．点评：本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 的最小正周期为，其中，则= ▲．参考答案：1012. 函数y=2的最小值是．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】利用换元法，结合指数函数和一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：设t=2x2﹣1，则t≥﹣1，则y=2t≥=2﹣1=，即函数y=2的最小值是，故答案为：．13. 一个球从128米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半．当它第9次着地时，共经过的路程是米．参考答案：38314. 在半径为4的半圆形铁皮内剪取一个内接矩形ABCD，如图(B,C两点在直径上，A，D两点在半圆周上），以边AB为母线，矩形ABCD为侧面围成一个圆柱，当圆柱侧面积最大时，该圆柱的体积为Δ.参考答案：略15. 函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围是▲．参考答案：略16. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是参考答案：17. 命题“若”的否命题为；参考答案：若，则；三、解答题：本大题共5小题，共72分。