2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册：第5章 §2 2.1 实际问题的函数刻画
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
[思路点拨] 把x＝0代入C（x） → 求k的值 → 函数f（x）的表达式 → f（x）的最小值
[解] (1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40，∴C(x)＝3x4＋0 5 (0≤x≤10)，
∴f(x)＝6x＋230x×＋450＝6x＋38x＋005(0≤x≤10). (2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋38x＋005－10. 令3x＋5＝t，t∈[5，35]，
已知函数模型解决实际问题
[探究问题]
1．如何求形如y＝x＋ax(x＞0，a＞0)的函数的最小值？ 提示：利用基本不等式a＋b≥2 ab. 2．如何求形如y＝x＋x＋a m(x＋m＞0，a＞0)的函数的最小值？
提示：利用换元法转化后用基本不等式求解．
【例2】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热
(1)C (2)B [(1)由故事内容知乌龟先达到终点，兔子醒来乌龟 未达到终点，且兔子后来的速度更快，故选C.
(2)由题得，三个容器同时注水时，由于圆锥同样高度注水体积 越来越大，即此过程体积V(h)增加速度越来越快，由导数几何意义 知，曲线切线斜率越来越大，排除C，D，圆锥注满水后，体积匀速 增加，在矮圆柱注满水以前体积V(h)增加速度要大于矮圆柱注满水以 后的速度，即矮圆柱注满水以前的所在直线斜率大，故选B.]
提示：先确定两个变量是谁；再看两个变量之间的对应关系是 否满足函数定义；如果满足，就要考虑建立函数关系式．
1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数
模型是( ) x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A.一次函数模型
B．幂函数模型
C.指数函数模型
层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成
本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚
度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝
k 3x＋5
(0≤x≤10，k为常数)，若不建
隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年
的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
B [因为图中的点基本分布在一条抛物线上，所以可选择的函
数模型应为二次函数，故选B.]
3．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下 的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能 反映该同学的行程的是( )
A
B
C
D
C [因为离开家里的路程为d越来越远，所以排除B和D，又该 同学先跑后走，所以一开始速度大，离开家的距离d随着时间的增加 增长的较快，所以选C.]
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更 小，变化比较平稳
A [通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递 增的，所以B正确．从图观察C是正确的，D也正确，1～6月比较平 稳，7～12月波动比较大．故选A.]
自主 预习 探新 知
实际问题的函数刻画 (1)用函数刻画实际问题的条件： 在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问 题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函 数对其进行刻画． (2)用函数刻画实际问题的方法： 函数刻画的方法可以使用图象，但最多的还是使用解析式．
思考：世界上很多事物间的联系可以用函数刻画，在试图用函 数刻画两个变量的联系时，需要关注哪些要点？
当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的 变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除 不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
[跟进训练] 1．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收 集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量(单位：万人) 的数据，绘制了下面的折线图．
则y＝2t＋
800 t
－10≥2
2t·80t 0
－10＝70(当且仅当2t＝
800 t
，即t
＝20时等号成立)，
此时x＝5，因此f(x)的最小值为70.
∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万
元．
在例2(2)中，总费用f(x)有最大值吗？如果有，求出这个最大 值；如果没有，说明理由．
D．对数函数模型
A [根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此
函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．]
2．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图 所示，则可选择的模拟函数模型是( )
A.y＝ax＋b
B．y＝ax2＋bx＋c
C.y＝aex＋b
D．y＝a ln x＋b
第五章 函数应用
§2 实际问题中的函数模型 2.1 实际问题的函数刻画
学习目标
核心素养
1.会用函数图象的变化刻画变化过 1.在利用函数刻画实际问题的过程
程．(重点，难点)
中，培养数学抽象素养．
2．能够用已知的函数模型刻画实 2．在把实际问题转化为数学模型
际问题．(难点)
的(x)＝2(3x＋5)＋38x＋005－10. 令 3x＋5＝t，t∈[5，35]，设 g(t)＝2t＋80t 0－10， 设 t1，t2∈[5，35](t1＞t2)，则 g(t1)－g(t2)＝2t1＋ 8t010－2t2－8t020＝2(t1－t2)×t1t2－t1t2400 ， 所以当 t1，t2∈[5，20)时，g(t1)－g(t2)＜0；
合作 探究 释疑 难
利用图象刻画实际问题 【例1】 (1)“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道 上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当它醒来 后看到乌龟已经领先了，因此它用更快地速度去追，结果还是乌龟 先到了终点，请根据故事选出符合的路程—时间图象( )
A
B
C
D
(2)如图，是三个底面半径均为1，高分别为1，2，3的圆锥、圆 柱形容器，现同时分别向三个容器中注水，直到注满为止，在注水 的过程中，保证水面高度平齐，且匀速上升，记三个容器中水的体 积之和为V＝V(h)，h为水面的高，则函数V＝V(h)的大致图象为 ()
2020-2021学年北师大版高一数学必修1课件：第二章 1 生活中的变量关系
§1 生活中的变量关系 刷基础
题型2 函数关系与表达方式
9．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶 的形状是图中的( B)
解析
观察图像，根据图像的特点，发现当水深h＝
H 2
时，注水量V>
V0 2
(V0为水瓶总容量)，即水深为
解析 公司收入与产品数量之间的关系符合函数关系．
§1 生活中的变量关系 刷基础
题型2 函数关系与表达方式
6．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图像．由图像可知，下列说法中错误的是( C) A．这天15时的温度最高 B．这天3时的温度最低 C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃ D．这天21时的温度是30 ℃
§1 生活中的变量关系 刷易错
易错点1 混淆变量关系而致错
12．下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计 示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系； (2)商品的销售额与广告费之间的关系； (3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系； (4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．
解析 圆柱的体积V＝πr2h(其中r表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高)．
§1 生活中的变量关系 刷基础
题型2 函数关系与表达方式
11．在工作的状态下，饮水机会通过自动对水加热使饮水机中水的温度保持在一定范围内．如图所 示的是在饮水机的水温达到最高后，饮水机处于工作状态中的水的温度的变化情况．根据图设计一 个问题，并解答所设计的问题．
解析 水平线段表明小明离家的距离始终是300 m，然后离家的最远距离达到500 m，故选B.
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册：5.2.3 同角三角函数的基本关系(2)
为( C )
A．－
3 2
B．±
3 2
C．－
5 2
D．±
5 2
解析：∵A为三角形的一个内角，且sinAcosA＝－18，
∴A为钝角．∴cosA－sinA<0.
∴cosA－sinA＝－ cosA－sinA2
＝－ sin2A＋cos2A－2sinAcosA＝－
1＋14＝－
5 2.
8．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝
16 5
.
解析：tan2xsin2x＝tan2x(1－cos2x)＝tan2x－tan2xcos2x＝tan2x－ sin2x＝156.
11．若0<α<π2，则 α
果是 2cos2 .
1－2sinα2cosα2＋
1＋2sinα2cosα2的化简结
解析：由0<α<2π，得0<α2<4π，
所以0<sinα2<cosα2.
故原式＝ sinα2－cosα22＋ ＝cosα2－sinα2＋sinα2＋cosα2
sinα2＋cosα22
＝2cosα2.
三、解答题(共25分) 12．(12分)已知tanα＝3，求下列各式的值： (1)34ssiinnαα＋－5ccoossαα； (2)sin2α－4co2ss2inαα－co3ssαin－2αcos2α； (3)34sin2α＋12cos2α.
－
sinα＋cosα sin2α－cos2α
＝
sin2α sinα－cosα
－
cos2αsinα＋cosα sin2α－cos2α
＝
sin2α sinα－cosα
－
cos2α
sinαco－s2cαosα＝ssinin2αα－－ccoossα2α＝sinα＋cosα＝右边，∴原式成立．
2021_2022学年高中数学第一章数列2.2.1等差数列的前n项和课时素养评价含解析北师大版必修5
五等差数列的前n项和(20分钟35分)1.设数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,若a6=2且S5=30,则S8等于( )A.31B.32C.33D.34【解析】选B.由已知解得所以S8=8a1+d=32.2.在等差数列{a n}和{b n}中,a1=25,b1=15,a100+b100=139,则数列{a n+b n}的前100项的和为( )A.0B.4475C.8950D.10000【解析】选C.设=a n+b n,则c1=a1+b1=40,c100=a100+b100=139,{}是等差数列,所以前100项和S100===8 950.3.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )A.63B.45C.36D.27【解析】选B.因为a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列, 所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.4.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=,则等于( )A. B.C.D.【解析】选A.设S3=m,因为=,所以S6=3m,所以S6-S3=2m.由等差数列依次每k项之和仍为等差数列,得S3=m,S6-S3=2m,S9-S6=3m,S12-S9=4m,所以S12=10m.所以=.5.(2019·高考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2=-3,S5=-10,则a5=,S n的最小值为. 【解析】设公差为d,a2=a1+d=-3,S5=5a1+d=-10,即a1+2d=-2,解得a1=-4,d=1,所以a5=a1+4d=0,S n=na1+d=,当n=4或5时,S n最小,为-10.答案:0 -106.在等差数列{a n}中,a1=25,S17=S9,求S n的最大值.【解析】方法一:设等差数列{a n}的公差为d.由S17=S9,得25×17+×(17-1)d=25×9+×(9-1)d,解得d=-2.所以S n=25n+×(n-1)×(-2)=-(n-13)2+169.由二次函数的性质,知当n=13时,S n有最大值169.方法二:设等差数列{a n}的公差为d.由S17=S9,得25×17+×(17-1)d=25×9+×(9-1)d,解得d=-2.因为a1=25>0,由解得≤n≤,所以当n=13时,S n有最大值,S13=25×13+=169.【补偿训练】设数列{a n}是公差不为零的等差数列,S n是数列{a n}的前n项和,且=9S2,S4=4S2,求数列{a n}的通项公式.【解析】设等差数列{a n}的公差为d,由S n=na1+d及已知条件得(3a1+3d)2=9(2a1+d),①4a1+6d=4(2a1+d).②由②得d=2a1,代入①,有=a1,解得a1=0或a1=.当a1=0时,d=0(舍去),因此a1=,d=.故数列{a n}的通项公式为a n=+(n-1)×=(2n-1).(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若S5=7,S10=21,则S15等于( )A.35B.42C.49D.63【解析】选B.在等差数列{a n}中,S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即7,14,S15-21成等差数列,所以7+(S15-21)=2×14,解得S15=42.2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n为等差数列的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )A.-12B.-10C.10D.12【解析】选 B.3=2a1+d+4a1+×d⇒9a1+9d=6a1+7d⇒3a1+2d=0⇒6+2d=0⇒d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.3.(2020·某某高一检测)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把100个面包分给五个人,使每个人所得成等差数列,最大的三份之和的是最小的两份之和,则最小的一份的量是( )A. B. C.D.【解题指南】由题意可得中间部分的为20个面包,设最小的一份为a1,公差为d,可得到a1和d 的方程,即可求解.【解析】选D.由题意可得中间的那份为20个面包,设最小的一份为a1,公差为d,由题意可得[20+(a1+3d)+(a1+4d)]×=a1+(a1+d),解得a1=.4.(2020·仙游高一检测)记S n为等差数列的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( )A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=2n2-8nD.S n=n2-2n【解析】选A.由题知,解得,所以a n=2n-5.所以S n==n2-4n.【光速解题】选 A.本题还可用排除法,对B,a5=5,S4==-10≠0,排除B;对C,S4=0,a5=S5-S4=2×52-8×5-0=10≠5,排除C;对D,S4=0,a5=S5-S4=×52-2×5-0=≠5,排除D.5.等差数列{a n}的前四项和为124,后四项和为156,各项和为210,则此数列的项数为( )A.5B.6C.7D.8【解析】选B.由题意知a1+a2+a3+a4=124,a n+a n-1+a n-2+a n-3=156,所以4(a1+a n)=280,所以a1+a n=70.又S==×70=210,所以n=6.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019·某某高考)已知数列{a n}(n∈N+)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.【解析】设等差数列的首项为a1,公差为d,由a2a5+a8=0,S9=27,得解得a1=-5,d=2,所以S8==4(2a1+7d)=16.答案:167.已知S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1=-2018,-=6,则S2020=.【解析】由等差数列的性质可得也为等差数列.设其公差为d,则-=6d=6,所以d=1.故=+2 019d=-2 018+2 019=1,所以S2 020=1×2 020=2 020.答案:2 0208.(2020·全国Ⅱ卷)记S n为等差数列的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.【解析】设等差数列的公差为d.因为是等差数列,且a1=-2,a2+a6=2,根据等差数列通项公式:a n=a1+d,可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d++5d=2,整理可得:6d=6,解得:d=1.根据等差数列前n项和公式:S n=na1+d,n∈N*,可得:S10=10×+=-20+45=25,所以S10=25. 答案:25三、解答题(每小题10分,共20分)9.在等差数列{a n}中.(1)a1=105,a n=994,d=7,求S n;(2)d=2,a n=11,S n=35,求a1和n.【解析】(1)d====7,解得n=128.所以S n===70 336.(2)由得解方程组得或10.设等差数列的前n项和为S n,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列的通项公式及前n项和公式.(2)设数列{b n}的通项公式为b n=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设等差数列的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9.所以整理得解得所以a n=1+(n-1)×2=2n-1,S n=n×1+×2=n2.(2)由(1)知b n=,所以b1=,b2=,b m=,若b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+b m,所以=+,即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t===1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列.即当t=5时,b1,b2,b4成等差数列;当t=3时,b1,b2,b5成等差数列;当t=2时,b1,b2,b7成等差数列.1.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n等于( )A.12B.16C.9D.16或9【解析】选C.a n=120+5(n-1)=5n+115,由a n<180得n<13且n∈N+,由n边形内角和定理得,(n-2)×180=n×120+×5.解得n=16或n=9,因为n<13,所以n=9.2.某仓库有同一型号的圆钢600根,堆放成如图所示的形状,从第二层开始,每一层比下面一层少放一根,而第一层至少要比第二层少一根,要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少),则最下面一层放几根?共堆了多少层?【解析】设最下面一层放n根,则最多可堆n层,则1+2+3+…+n=≥600,所以n2+n-1 200≥0,记ƒ(n)=n2+n-1 200,因为当n∈N+时,f(n)单调递增,而f(35)=60>0,f(34)=-10<0,所以n≥35,因此最下面一层最少放35根.因为1+2+3+…+35=630,所以最多可堆放630根,必须去掉上面30根,去掉顶上7层,共1+2+3+…+7=28根,再去掉顶上第8层的2根,剩下的600根共堆了28层.故最下面一层放35根,共堆了28层.高考- 11 - / 11。
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册：5.2.2 同角三角函数的基本关系(1)
1 A.2
B．－12
C．2
D．－2
解析：由sin2x＋cos2x＝1得cos2x＝1－sin2x，得cos2x＝(1－ sinx)(1＋sinx)，得1＋cossixnx＝1－cossixnx，所以sicnoxs－x 1＝－1－cossixnx＝－ －12＝12.故选A.
6．若α为第三象限角，则 1c－ossαin2α＋ 12－sicnoαs2α的值为( B ) A．3 B．－3 C．1 D．－1
解析：∵α为第三象限角，∴cosα<0，sinα<0， ∴原式＝－ccoossαα－2ssiinnαα＝－3.
7．已知ssiinnθθ＋ －ccoossθθ＝2，则sinθcosθ的值是( C )
3 A.4
B．±130
3 C.10
D．－130
解析：由条件得sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，即3cosθ＝sinθ， ∴tanθ＝3，∴sinθcosθ＝sins2inθθ＋cocsoθs2θ＝1＋tatnaθn2θ＝1＋3 32＝130.
13．(13分)证明下列三角恒等式：tatnanαα－sisniαnα＝tatnaαnα＋sisninαα.
sin2α 证明：左边＝csoinsααco－sαsinα＝sinα－sisni2nααcosα ＝sin1α－1c－osc2oαsα＝1＋sicnoαsα＝si1nα＋csoinsαα＝si1nα＋ta1nα ＝tatnaαnα＋sisninαα＝右边，所以原等式成立．
解析：原式＝cosα 1＋csoins22αα＋sinα 1＋csoins22αα ＝cosα co1s2α＋sinα sin12α＝cosα－c1osα＋sinαsi1nα＝0.
三、解答题(共25分)
2020-2021学年高中新教材北师大版数学必修第一册习题：第一章 1.3 第1课时 交集和并集 W
第一章预备知识§1集合1.3集合的基本运算第1课时交集和并集课后篇巩固提升基础达标练1.设集合A={0,2,4,6,8,10},B={x|2x-3<4},则A∩B=()A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2}D.{2,4,6}{x|x<3.5},又A={0,2,4,6,8,10},∴A∩B={0,2}.2.已知集合M={-1,0,1,2}和N={0,1,2,3}的关系的Venn图如图所示,则阴影部分所表示的集合是()A.{0}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}M∩N={0,1,2},故选C.3.(多选题)(2020山东泰安高一质检)满足{1,3}∪A={1,3,5}的集合A可能是()A.{5}B.{1,5}C.{3}D.{1,3,5}{1,3}∪A={1,3,5},知A⊆{1,3,5},且A中至少有1个元素5.所以A={5}或A={1,5}或A={1,3,5}.4.设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=()A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}5.(2020安徽池州高三期末)已知集合A={(x,y)|x-2y+1=0},B={(x,y)|x-y=0},则A∩B=()A.{x=1,y=1}B.{1,1}C.{(1,1)}D.⌀A表示直线x-2y+1=0的点的集合,集合B表示直线x-y=0的点的集合,所以A∩B表示两条直线的交点,解所以A∩B={(1,1)}.6.(2020广东珠海高一期末)已知集合A={-2,0,2},B={y|y=x2,x∈A},则A∪B=()A.{-4,4,-2,2,0}B.{-2,2,0,4}C.{-4,4,0,2}D.{0,2,4}B={y|y=x2,x∈A}={0,4},A={-2,0,2},所以A∪B={-2,0,2,4}.7.已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b=.,可知a=1,b=6,∴2a-b=-4.48.已知关于x的方程3x2+px-7=0的解集为A,方程3x2-7x+q=0的解集为B,若A∩B=.求A∪B.A∩B=,∴-∈A,且-∈B.由-∈A,设3x2+px-7=0的另一根为m.由根与系数的关系得m=-,解得m=7.∴A=,同理B=,∴A∪B=.9.(2020江苏南京师大附中高一月考)已知集合A={x|1≤x≤5},B={x|-2<x<3}.(1)求A∪B;(2)若C={x|x∈A∩B,x∈Z},试写出集合C的所有子集.∵A={x|1≤x≤5},B={x|-2<x<3}.∴A∪B={x|-2<x≤5}.(2)∵A∩B={x|1≤x<3},∵C={x|x∈A∩B,x∈Z},∴C={1,2},集合C的子集有⌀,{1},{2},{1,2}.能力提升练1.(多选题)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},则使A∪B=A的实数m的取值范围可以是()A.{m|-3≤m≤4}B.{m|-3<m<4}C.{m|2<m<4}D.{m|m≤4}A∪B=A,∴B⊆A.①若B≠⌀,则m+1<2m-1,解得m>2.∵A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},∴m+1≥-2,且2m-1≤7,解得-3≤m≤4.此时2<m≤4.②若B=⌀,则m+1≥2m-1,解得m≤2,符合题意.综上,实数m满足m≤4即可.2.设集合A={x|x为合数},B={x|x为质数},N表示自然数集,若E满足A∪B∪E=N,则这样的集合E中最少含有的元素个数为()A.1B.2C.3D.4设集合A={x|x为合数},B={x|x为质数},N表示自然数集,∴A∪B中只比N中少两个元素:0和1.∵E满足A∪B∪E=N,∴E中的元素一定有0,1,并且还可以有其他自然数.∴集合E中最少含有元素个数为2.3.(2020湖北荆州中学高一期末)定义集合的商集运算为=x x=,m∈A,n∈B,已知集合S={2,4,6},T=x x=-1,k∈S,则集合∪T中的元素个数为()A.5B.6C.7D.8解析∵集合的商集运算为=x x=,m∈A,n∈B,集合S={2,4,6},∴T=x x=-1,k∈S={0,1,2},∴= 0,,1,∴∪T=0,,1,2.∴集合∪T元素的个数为7个.4.(2020江西南康中学高一月考)已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α,β.若集合A={α,β},B={2,4,5,6},C={1,2,3,4},A∩C=A,A∩B=⌀,求p,q的值.A∩C=A知A⊆C,又A={α,β},则α∈C,β∈C.而A∩B=⌀,故α∉B,β∉B.显然既属于C又不属于B的元素只有1和3.令α=1,β=3.对于方程x2+px+q=0的两根α,β,根据根与系数的关系可得p=-4,q=3.5.已知集合A={x|-2<x<3},B={x|m<x<m+9}.(1)若A∪B=B,求实数m的取值范围;(2)若A∩B≠⌀,求实数m的取值范围.A∪B=B,∴A⊆B,∴解得-6≤m≤-2,∴实数m的取值范围是[-6,-2].(2)当A∩B=⌀时,3≤m,或m+9≤-2,解得m≥3,或m≤-11,∴当A∩B≠⌀时,-11<m<3,∴实数m的取值范围是(-11,3).素养培优练(2020上海育才中学高一月考)设集合A={x|0≤x+a≤1},B={x|a-1≤x≤0},其中a∈R,求A∩B.a-1>0,即a>1时,B=⌀时,A∩B=⌀;当a-1=0,即a=1时,A={x|-1≤x≤0},B={0},则A∩B={0};当a-1<0,即a<1时,1-a>0.若-a>0,即a<0时,如右图所示,A∩B=⌀.若-a=0,即a=0时,如下图所示,A={x|0≤x≤1},B={x|-1≤x≤0},则A∩B={0}.若a-1<-a<0,即0<a<时,如下图所示,A∩B={x|-a≤x≤0}.若-a≤a-1,即≤a<1时,如右图所示,A∩B={x|a-1≤x≤0}.综上所述,当a<0或a>1时,A∩B=⌀;当a=0或a=1时,A∩B={0};当0<a<时,A∩B={x|-a≤x≤0};≤a<1时,A∩B={x|a-1≤x≤0}.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册教师用书：第1章 §4 4.2 一元二次不等式及
姓名，年级：时间：4。
2 一元二次不等式及其解法学习目标核心素养1。
掌握图象法解一元二次不等式．(重点）2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点）1. 通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养．2. 通过一元二次不等式的应用，培养逻辑推理素养．1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式，叫作一元二次不等式．2．一元二次不等式的解集使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系如下表:判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a＞0）的根有两相异实根x1，x2（x1＜x2）有两相等实根x1＝x2＝－错误!没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x｜x＞x2或x＜x1｝错误!Rax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集｛x｜x1＜x＜x2｝∅∅的条件是什么？提示：错误!或错误!。
2．关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅，a，b,c满足的条件是什么？提示：错误!或错误! .1．不等式x2－3x＋2＜0的解集为( )A．（－∞,－2）∪（－1,＋∞)B．（－2，－1)C．（－∞，1）∪(2，＋∞）D．(1，2）D[∵（x－1)（x－2)＜0，∴1＜x＜2。
故原不等式的解集为（1，2）.］2．设集合S＝｛x｜｜x|<5｝，T＝{x｜x2＋4x－21〈0｝，则S∩T＝（）A．｛x|－7<x〈－5} B．{x|3〈x〈5}C．{x｜－5<x<3｝D．｛x|－7〈x<5｝C［S＝｛x｜－5<x〈5}，T＝{x｜－7<x<3｝,∴S∩T＝{x|－5〈x〈3｝．]3．不等式2x2－x－1＞0的解集是________．错误!∪错误!［∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1）＞0，∴x＞1或x＜－错误!。
2020-2021学年数学北师大版必修5：1-2-1 第1课时 等差数列的概念和通项公式
类型一 等差数列的判定
【例 1】 判断下列各数列是否为等差数列． (1)1,2,4,6,8； (2)7,7,7,7,7； (3)m，m＋n，m＋2n,2m＋n； (4)a－d，a，a＋d. 【思路探究】 根据等差数列的定义进行判断，即判断从第 2 项开始每一项与它前一项的差是否等于同一个常数．
【解】 (1)因为 2－1＝1,4－2＝2,6－4＝2,8－6＝2,1≠2， 所以该数列不是等差数列． (2)因为 7－7＝7－7＝7－7＝7－7＝0， 所以该数列是等差数列． (3)因为(m＋n)－m＝(m＋2n)－(m＋n)＝n， (2m＋n)－(m＋2n)＝m－n， 所以当 n＝m－n，即 m＝2n 时，该数列是等差数列； 当 m≠2n 时，该数列不是等差数列． (4)因为 a－(a－d)＝(a＋d)－a＝d， 所以该数列是等差数列．
规律方法 要判断一个数列是不是等差数列，只要看对于任 意的正整数 n，an＋1－an 是不是等于同一个常数，切记不可通过 计算 a2－a1，a3－a2，a4－a3 等几个有限的式子的值后，根据它 们的值都是同一个常数，就得出该数列为等差数列的结论．因为 由特殊到一般得出的结论不一定正确．
判断下列数列是否为等差数列： (1)an＝3n－1； (2)an＝1n，－n1＝，1n，≥2； (3)an＝n2＋n.
类型二 等差数列的证明
【例 2】 已知函数 f(x)＝x＋3x3，数列{xn}的通项由 xn＝f(xn －1)(n≥2，且 n∈N＋)确定．
(1)求证：x1n是等差数列； (2)当 x1＝12时，求 x100.
【思路探究】 (1)利用条件 xn＝f(xn－1)可以确定数列{xn}中 相邻两项的递推关系，要证明x1n是等差数列，按照定义，只需 证明xn1＋1－x1n或x1n－xn1－1(n≥2)是常数即可；
2020-2021学年新教材人教B版必修第一册 213方程组的解集 课件(49张)
单的实际问题．(重点、难点)
情景 导学 探新 知
我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡 翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡 百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为 x，y，z，则
x＋y＋z＝100， 5x＋3y＋13z＝100， 当z＝81时，x＝________，y＝________．
x＋y＋z＝70，
由题意得2x0＋3y0＋4z0＝2.5，解得yx＝＝5142，，
2z0＋3y0＋4x0＝2.3，
z＝4，
故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下
坡路是4 km.
列方程组解应用题的一般步骤 (1)审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之 间的等量关系； (2)设：恰当地设未知数； (3)列：依据题中的等量关系列出方程组； (4)解：解方程组，求出未知数的值；
(5)验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义； (6)答：写出结论．
提醒：(1)一般来说，设几个未知数就应列出几个方程．(2)设未知 数及写结论时，都要写清单位名称．
[跟进训练] 4．甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经 过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地 所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．
答：甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米或甲的 速度为每小时136千米，乙的速度为每小时137千米．
课堂 小结 提素 养
知识： 求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化 二元为一元，降次就是把二次降为一次．消元后求出一元二次方程 的根，应代入二元一次方程求另一个未知数的值，不能代入二元二 次方程，因为这样可能产生增根． 方法： 1．代入消元法． 2．加减消元法．
2024-2025学年高一数学必修第一册(配北师版)教学课件第5章本章总结提升
解 (1)由题意得G(x)=2.8+x.
-0.4 2 + 3.2-2.8,0 ≤ ≤ 5,
∴f(x)=R(x)-G(x)=
8.2-, > 5.
(2)①当0≤x≤5时,由-0.4x2+3.2x-2.8>0得x2-8x+7<0,
解得1<x<7,∴1<x≤5.
a<b<c,则 的最小值为(
2
B.
3
3
C.
2
B )
9
D.
4
| 2 -3|, < 0,
解析 画出 f(x)= 3
和 y=m 的图象,如图所示.由题意得
, > 0
2
3
= =m,且
2
a -3=3-b
3
2 (9-2 )
≥
3
m∈(0,3),即 a=- 3 + ,b=-
=
2
2
+9-
B.此方程有两个互异的负实根
C.此方程有两个异号实根
D.此方程仅有一个实根
解析由常数a,b同号,b,c异号,可得a,c异号,令2x=t,则方程变为at2+bt+c=0,
t>0,由于此方程的判别式Δ=b2-4ac>0,故此方程有两个不相等的实数根,且
两根之积为
实数根.
<0,故关于t的方程只有一个实数根,故关于x的方程只有一个
★(2)函数f(x)=ax2-2x+1,若y=f(x)在区间
(-∞,0]
围为
1 1
- , 内有零点,则实数a的取值范
2020-2021数学北师大版第一册教师用书：第2章 §4 4.2简单幂函数的图象和性质含解析
2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册教师用书：第2章§4 4.2简单幂函数的图象和性质含解析4.2简单幂函数的图象和性质学习目标核心素养1。
了解幂函数的概念．(重点）2．掌握y＝x，y＝x2,y＝x3，y＝错误!，y＝x错误!的图象与性质．(重点)3．掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．（重点、难点)1.借助幂函数的图象的学习，培养直观想象素养．2．通过幂函数的性质的学习，培养逻辑推理素养．1．幂函数的概念形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数．思考：y＝1错误!是幂函数吗？提示:是．因为它可写成y＝x0错误!的形式．2．幂函数的图象如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；（2）y＝x错误!；(3）y ＝x2;（4）y＝x－1；(5）y＝x3的图象．3．幂函数的性质(1）所有的幂函数在（0,＋∞)上都有定义，并且图象都过点（1,1）;（2)α〉0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间［0，＋∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸;当0<α〈1时，幂函数的图象上凸；（3)α〈0时，幂函数的图象在区间（0,＋∞)上是减函数．1．已知幂函数f错误!＝kxα的图象过点错误!，则k＋α等于(）A．错误!B．1C．错误!D．2C[由幂函数的定义知k＝1.又f错误!＝错误!，所以错误!错误!＝错误!，解得α＝错误!，从而k＋α＝错误!。
]2．函数y＝x错误!的图象是（）A B C DB[当0<x〈1时，x错误!>x；当x〉1时，x错误!<x，故选B。
］3．已知幂函数f(x)＝（t3－t＋1)x错误!(t∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增加的,则函数的解析式为________．f（x）＝x2［∵f(x)是幂函数,∴t3－t＋1＝1，解得t＝－1或t＝0或t＝1.当t＝0时,f(x）＝x错误!是非奇非偶函数，不满足题意；当t＝1时，f（x）＝x－2是偶函数，但在(0，＋∞）上是减少的，不满足题意；当t＝－1时，f(x)＝x2，满足题意．综上所述,实数t的值为－1，所求解析式为f(x)＝x2.］4．已知函数f(x）＝（2m－3)x m＋1是幂函数．(1）求m的值；（2)判断f(x）的奇偶性．[解］(1）因为f(x)是幂函数，所以2m－3＝1,即m＝2。