江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题含附加题(word版)

南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试卷
数 学
参考公式；
圆锥的侧面积公式：S=πrl ，其中r 为圆锥底面圆的半径，l 为圆锥的母线长。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）
1．已知集合A={x|x=2k+1，k ∈z}，B={x|x(x-5)<0），则A ∩B=____ ． 2．已知复数z=1+2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为 ．
3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为-l ，则输入的实数x 的值为 ． 4.某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有 个．
5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 6.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f(x)=x+3
a
，则f(a)的值为 ． 7．若将函数f(x) =sin(2x+
3
π
)的图象沿x 轴向右平移ϕ（ϕ> 0）个单位后所得的图象与f(x)
的图象关于x 轴对称，则 ϕ的最小值为
8．在△ABC 中，AB=25，AC=5，∠BAC=90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为 ．
9．已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}= {b 1，b 2，b 3}={a ，b ，-2}，其中a>0，b>0，则a+b 的值为 ．
10.已知点P 是抛物线x 2=4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为（0，-1），则
PA
PF
的最小值为
11.已知x ，y 为正实数，且xy+2x+ 4y=41，则x+y 的最小值为 .
12.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x-m)2+y 2=r 2(m>0)．已知过原点O 且相互垂直的两条 直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交予A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB=OD ，则直线l 1的率为 ．
13.在△ABC 中，BC 为定长，||3|2|BC AC AB =+．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为 ．
14．函数f(x) =e x -x-b(e 为自然对数的底数，b ∈R)，若函数g(x)=f(f(x)一
2
1
）恰有4个零 点，则实数b 的取值范围为 ．
二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．（本小题满分14分）
如图，三棱锥P-ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC. (1)求证：AC ∥平面PDE;
(2)若PD=AC=2，PE=3，求证：平面PBC ⊥平面ABC.
16.（本小题满分14分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a=bcosC +csinB. (1)求B 的值．
(2)设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD=
717，cosA= -25
7，求b 的值．
17.（本小题满分14分）
如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道A8，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道
．记∠CBD 为θ．
(1)用疗表示栈道的总长度f(θ)，并确定sin θ的取值范围； (2)求当θ为何值时，栈道总长度最短．
18.（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
22b
y a x =1(a>b>0)的离心率为21，且过
点(0，3)．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，
①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．
19.（本小题满分16分）
已知函数f(x)=x 3-x 2-(a-16)x ，g(x) =alnx ，a ∈R ．函数h(x)= x
x f )
(-g(x)的导函数 h'(x)在[
2
5
，4]上存在零点． (1)求实数a 的取值范围；
(2)若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)x=0时取得最大值，求正实数b 的最大值; (3)若直线l 与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为-12，求实数a 的值．
20.（本小题满分16分）
已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n 。

记T n 为数列{a n }的前a n 项和， 即T n =a 1+a 2+…+n a a .
(1)若数列{a n }为等比数列，且a 1=1，S 4=5S 2，求T 3的值； (2)若数列{a n }为等整数列，且存在唯一的正整数n （n ≥2），使得n
n
a T <2，求数列{a n }的通项公式；
(3)若数列{T n }的通项为T n =2
)
1(+n n ，求证：数列{a n }为等差数列．
数学附加题
21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡1221，MN=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡1001 (1)求矩阵N ；
(2)求矩阵N 的特征值．
B ．选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎩
⎪
⎨⎧==2212t y t x （t 为参数），以原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 极坐标方程为2)4
cos(=-π
θρ．若直线l 交
曲线C 于A ，B
两点，求线段AB 的长， C ．选修4-5：不等式选讲 已知a>0，证明：.21212
2-+≥-+
a a a
a
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答，解答成写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22．（本小题满分10分）
某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商晶即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有2个红球与m(m ≥2，m ∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1
个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）．
(1)若m=4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；
(2)若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23.（本小题满分10分）
已知集合A n={1，2，…，n），n∈N*，n≥2，将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，M m)，其中m=2n，记集合M k中元素的个数为a k，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0.
(1)当n=2时，求a1+a2+…+a m的值；
(2)利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m-l，都有|a i-a i+1|=1．。