高中数学解题公式大全

高中数学 数学公式大全 1 集合12{,,

,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子

有22n -个.

2二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式2

()(0)f x ax bx c a =++≠；

(2) 顶点式2

()()(0)h f x a a k x =-+≠；（当抛物线的顶点坐标为(,)h k 时）；

(3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时）；

（4）切线式02

()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+；（当抛物线与直线y kx d =+相切且切点的横坐标为

0x 时）。

3 常见结论的否定形式: （1）所以===存在一个； （2）（都）是===不（都）是；

（3）至少有n 个===至多有n-1个； （4）至多有n 个===至少有n+1个； （5）大（小）于===不大（小）于。 4函数的奇偶性：（定义域关于原点对称） 奇函数：（1）奇函数的图象关于原点对称；

（2）奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间； （3）定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 .

偶函数：（1）偶函数的图象关于y 轴对称；

（2）偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；

奇偶函数间的关系：(1)奇·偶=奇；（2）奇·奇=偶；(6)奇±偶=非奇非偶。 5函数的周期性：对函数f （x ），若存在T ≠0，使得f （x+T ）=f （x ），则就叫f （x ）是周期函数。 (1)、f （x+T ）= - f （x ），此时周期为2T ； （2）、 f （x+m ）=f （x+n ），此时周期为2m n - ； (3)、1

()()

f x m f x +=-

，此时周期为2m 。 6对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2

b

a x +=； 两个函数)(a x f y +=与)(x

b f y -= 的图象关于直线2

b a

x -=对称. 7 对数公式 :log log log m a m N

N a

=

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >)；

对数恒等式：log a N

a N =(0a >,且1a ≠, 0N >)。 8 对数的运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则

（1）log log m n

a a n

b b m

=

?； (2)log 10a =； (3)log log ()n a a M n M n R =∈; (4) log log (,)m n

a a n N N n m R m

=∈。

9 平均增长率：若原产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则 (1)x

y N p =+（x ：时间，y ：总产值）.

10等差数列：前n 项和：1()2n n n a a S += ；1(1)

2

n n n S na d -=+。

常用性质：（1）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列；

（2）{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --成等差数列； （3）,,0p q p q a q a p a +===则 ； （4） 1+2+3+…+n=

2

)

1(+n n 。 11等比数列：前n 项和：11(1)(1)

(1)

1n n na q S a q q q =??

=-?≠?-?

。

常用性质：若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}n n a b ?为等比数列。

12 分期付款(按揭贷款) ：每次还款(1)(1)1

n

n

ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 13三角函数： （1）tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

；

（2）sin cos a b αα+=)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b

a

?=

). （3）sin 2sin cos ααα=2

2tan 1tan α

α

=

+ ； （4） 2

21cos 21cos 2sin ,cos 22

αααα-+==

； （5）2

2

2

2

cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan α

α

-=+.

（6）22tan tan 21tan ααα=-； sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2αα

ααα

-==

+ 14 三角函数的周期公式

（1）函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期

2||

T πω=

； （2）函数tan()y x ω?=+，,2

x k k Z π

π≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期

||

T πω=

； （3）OAB S ?=

2,2

a b c S r r a b c ?

??+==++斜边内切圆直角内切圆－.

15 平面向量：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212()x x y y +.

16 向量的平行与垂直 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则： （1）a ||b ?b =λa 12210x y x y ?-=；（交叉相乘差为零）；

（2）a ⊥b (a ≠0)? a ·b =012120x x y y ?+=.（对应相乘和为零）； (3)零向量与任一向量的数量积为零。

17 线段的定比分公式 ：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，

则12

1

211x x x y y y λλλλ+?=??+?+?=?+?

?121OP OP OP λλ+=+?12

(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 18三角形的重心坐标公式： △ABC 三个顶点的坐标分别为：11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),

则△ABC 的重心的坐标是：123123

(,)33

x x x y y y G ++++.

19三角形五“心”向量形式的充要条件：（设O 为ABC ?所在平面上一点）

（1）O 为ABC ?的外心2

2

2

OA OB OC ?==；（中垂线） （2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=；（中线） （3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?；（高） （4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=；（角平分线） （5）O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+. 20 常用不等式：

（1）3

3

3

3(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>； （2）b a b a b a +≤+≤-；

(3

）22ab a b a b +≤≤

+ 21 极值定理:已知y x ,都是正数，则有

（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值2

4

1s ； （3）已知,,,a b x y R +

∈，若1ax by += ，则有：

21111()()by ax ax by a b a b x y x y x y

+=++=+++≥++=； （4）已知,,,a b x y R +

∈，若1a b x y

+=，则有：

2()()a b ay bx

x y x y a b a b x y x y

+=++=+++≥++=

22直线的五种方程：

（1）点斜式： 11()y y k x x -=- ； (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k ) （2）斜截式： y kx b =+ ； (b 为直线l 在y 轴上的截距)

（3）两点式的推广：211211()()()()0x x y y y y x x -----= （无任何限制条件！）

(3) 截距式： 1x y

a b

+=； (a b 、分别为直线的横、纵截距，00a b ≠≠、) 直线0Ax By C ++=的法向量：(,)l A B '=，方向向量：(,)l B A =-

23 夹角公式：

(1)21

21

tan ||1k k k k α-=+(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)；

(2)12

21

1212

tan ||A B A B A A B B α-=+(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠)。

24 圆的方程：

（1）圆的一般方程 2

2

0x y Dx Ey F ++++=； (224D E F +-＞0).

（2）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ

θ=+??=+?

；

（3）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=。 (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).

25 椭圆的方程：（准线到中心的距离为2

a c

；焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c =；过焦点且垂

直于长轴的弦叫通经，其长度为：2

2b a

;|F1F2|=2c; |PF1|+|pf2|=2a.）

（1）椭圆的参数方程cos sin x a y b θ

θ=??=?；

（2）焦半径公式:21()a PF e x a ex c =+=+； 2

2()a PF e x a ex c

=-=-；

（3）两焦半径与焦距构成三角形的面积122

1||tan 2

F PF P F PF S c y b ?∠==。

26椭圆的的内外部:

（1）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的内部22

00

221x y a b ?

+<； （2）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的外部2200

221x y a b

?

+>。 27 椭圆的切线方程:

(1) 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y

a b +=；

（2）过椭圆22221x y a b +=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y

a b +=；

（3）椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222

A a

B b c +=。

28 双曲线的方程：（准线到中心的距离为2

a c

，焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c =；过焦点且

垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：2

2b a

.）

（1）焦半径公式21|()|||a PF e x a ex c =+=+，2

2|()|||a PF e x a ex c

=-=-，

（2）两焦半径与焦距构成三角形的面积122

1cot 2

F PF F PF S b ?∠=。

29 双曲线的方程与渐近线方程的关系:

(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a

b

y ±=；

(2)若渐近线方程为x a

b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x ；

(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x ；

（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） (4) 焦点到渐近线的距离总是b 。

30双曲线的切线方程:

(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y

a b -=；

(2)过双曲线22221x y a b -=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y

a b -=；

（3）双曲线22221x y a b -=与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222

A a

B b c -=。

31 抛物线2

2(0)y px p =>的焦半径公式:

焦半径02p CF x =+；过焦点弦长p x x p

x p x CD ++=+++=21212

2.

32二次函数22

24()24b ac b y ax bx c a x a a

-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线： （1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --； （2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-； （3）准线方程是241

4ac b y a

--=。

33 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 ：AB =

或1212||||AB x x y y ==--

（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程???=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02

=++c bx ax

0?>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率，12||x x -=34证明直线与平面的平行的思考途径：

（1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 35证明直线与平面垂直的思考途径：

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。 36证明平面与平面的垂直的思考途径：

（1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直； (3) 转化为两平面的法向量平行。 37 异面直线间的距离 ：

||

||

CD n d n ?=

(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). 38点B 到平面α的距离： 39分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++； 分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =???； 组合数的性质: m

n C +1

-m n

C =m

n C 1+。

40二项展开式的通项公式r

r n r n r b a C T -+=1。 412

012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=+++

+的展开式的系数关系：

012(1)n a a a a f ++++=； 012(1)(1)n n a a a a f -++

+-=-；0(0)a f =。

42 互斥事件分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)； 43独立事件同时发生的概率：P(A ·B)= P(A)·P(B)；

44 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k k n k

n n P k C P P -=-

45数学期望的性质：

（1）()()E a b aE b ξξ+=+； （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=； (3) 若ξ服从几何分布,且1

()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E p

ξ=

。 46 方差：()()()22

2

1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?+

+-?+

标准差：σξ=ξD 。

方差的性质：

(1)()2D a b a D ξξ+=； (2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-； (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q

p ξ-===，则2q D p

ξ=

。 方差与期望的关系：()2

2

D E E ξξξ=-。

47正态分布密度函数：(

)()()2

2

26,,x f x x μ--

=

∈-∞+∞（实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示

个体的平均数与标准差.）对于2

(,)N μσ，取值小于x 的概率：()x F x μσ-??

=Φ

???

；

()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<<。

48)(x f 在0x 处的导数（或变化率）：

00000()()()lim

lim x x x x f x x f x y

f x y x x

=?→?→+?-?''

===??。 瞬时速度：00()()

()lim lim

t t s s t t s t s t t t

υ?→?→?+?-'===??。 瞬时加速度：00()()

()lim lim

t t v v t t v t a v t t t

?→?→?+?-'===??。 49 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-。 50 几种常见函数的导数：

(1) x x 1)(ln =

' ； (2) 1(log )log a a x e x

'=； (3) x x e e =')(； (4) a a a x

x ln )(='。 50 导数的运算法则：（1）'''

()uv u v uv =+； （2）'''2

()(0)u u v uv v v v -=

≠. 51复平面上的两点间的距离公式：

12||d z z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）。

52实系数一元二次方程2

0ax bx c ++=的解：

（1）若2

40b ac ?=->,

则1,22b x a -±=；

（2）若2

40b ac ?=-=,则122b x x a

==-；

（3）若2

40b ac ?=-<，则在实数集R 内没有实数根；在复数集C

内有且仅有两个共轭复数根

240)x b ac =-<;

（4）X1.X2=-b\a,X1+X2=c\a.