2019年广东省高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(有答案解析)
解析：解：∵f（x）=e4x-x-2，f（0）=-1， ∴f′（x）=4e4x-1， ∴曲线 f（x）=e4x-x 在点 P（0，-1）处的切线的斜率为：k=3， ∴曲线 f（x）=e4x-x 在点 P（0，-1）处的切线的方程为：y=3x+1， 故选：D． 欲求在 x=0 处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x=0 处的导函数值，再结 合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决． 本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识，考查运算求解能 力，属于基础题．
第 8 页，共 17 页
∵AD=AB= ，CD=CB= ，且 AD⊥AB，
∴BD=
=2，AC⊥BD，
∴BO=OD=1，
∴OA=
1，OC=
=2．
将△ABD 沿着对角线 BD 翻折成△A′BD， 当 A′C 与以 O 为圆心，OA′为半径的圆相切时， 直线 A′C 与平面 BCD 所成角最大， 此时，Rt△OA′C 中，OA′=OA=1，OC=2， ∴∠OCA′=30°，
象的一条对称轴，则 ω 取最小值时，f（x）的单调增区间是（ ）
A.
B.
是 y=f（x）的图
C.
D.
11. 某罐头加工厂库存芒果 m（kg），今年又购进 n（kg）新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于 加工为芒果罐头・被加工为头的新芒果最多为）f1（kg），最少为 f2（kg），则下列坐标图最能 准确描述 f1、f2 分别与 n 的关系的是（ ）
6.答案：A
解析：【分析】 本题考查抛物线的定义以及简单性质，注意分析△PQF 为等边三角形，属于综合题． 根据题意画出图形，根据题意可得△PQF 为等边三角形，求出其边长，进而在 Rt△FMR 分析可得答 案．
【解答】 解：根据题意，如图所示：连接 MF，QF， 抛物线的方程为 y2=4x，其焦点为（1，0）， 准线 x=-1， 则 FH=2，PF=PQ， 又由 M，N 分别为 PQ，PF 的中点，则 MN∥QF， 又 PQ=PF，∠NRF=60°，
，求 λ 的取值
范围．
第 4 页，共 17 页
22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
（α 为参数）．P 是曲线 C1 上的动点，
将线段 OP 绕 O 点顺时针旋转 90°得到线段 OQ，设点 Q 的轨迹为曲线 C2．以坐标原点 O 为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线 C1，C2 的极坐标方程；
，则
的最小值为( ）
A. -6
B. -4
C. -3
D. -1
5. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,被誉为“东方模板”,它是由五块等腰直角三角形、一块
正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中
任取一点,则此点取自阴影部分的概率为（）
A.
B.
C.
D.
6. 在直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l，P 为 C 上一点，PQ 垂直 l 于点
=
=，
故选：D．
由题意可得 tan（α+45°）=
=2，求得 tanα 的值，再根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系
求得 cos2α 的值． 本题主要考查直线的倾斜角和斜率，一条直线到另一条直线的角的计算公式，及三角恒等变换的相 关知识，属于基础题．
8.答案：B
解析：【分析】 根据题意，分析函数 f（x）的奇偶性以及在（0，π）上 f（x）的符号，据此分析选项即可得答案． 本题考查函数图象的判断以及分析，一般用排除法分析，属于基础题． 【解答】
2. 复数 z1＝3+2i（i 为虚数单位）是方程 z2-6z+b＝0(b∈R)的根，则 b＝（ ）
A.
B. 13
C.
D. 5
3. 曲线 f（x）=e4x-x-2 在点（0，f（0））处的切线方程是（ ）
A. 3x+y+1=0
B. 3x+y-1=0
C. 3x-y+1=0
D. 3x-y-1=0
4. 已知实数 ， 满足约束条件
4.答案：A
解析：【分析】 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数 形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标 函数 z=-2x+y 的最小值． 【解答】
第 6 页，共 17 页
解：由 z=-2x+y，得 y=2x+z，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线 y=2x+z，由平移可知当直线 y=2x+z， 经过点 A(3,0)时，直线 y=2x+z 的截距最小，此时 z 取得最小值，
15. 已知点 A，B，C，D 在球 O 的表面上，且 AB＝AC＝2，
，若三棱锥 A-BCD 的体积为 ，
球心 O 恰好在棱 AD 上，则这个球的表面积为________． 16. 如图，在矩形 OABC 与扇形 OCD 拼接而成的平面图形中，OA=3，AB=5，
∠COD= ，点 E 在 上，F 在 AB 上，∠EOF= ，设∠AOF=x，则当平面区
∴直线 A′C 与平面 BCD 所成的最大角为 30°，其正切值为 tan30°= ．
故选 C．
10.答案：A
解析：解：函数 f（x）=2sin（ωx+φ）-1 的一个零点是 x= ， ∴f（ ）=2sin（ ω+φ）-1=0， ∴sin（ ω+φ）= ， ∴ ω+φ= +2kπ 或 ω+φ= +2kπ，k∈Z； 又直线 x=- 是函数 f（x）图象的一条对称轴， ∴- ω+φ= +kπ，k∈Z； 又 ω＞0，|φ|＜π， ∴ω 的最小值是 ，φ= ， ∴f（x）=2sin（ x+ ）-1； 令- +2kπ≤ x+ ≤ +2kπ，k∈Z， ∴- +3kπ≤x≤- +3kπ，k∈Z； ∴f（x）的单调增区间是[- +3kπ，- +3kπ]，k∈Z． 故选：A． 根据函数 f（x）的一个零点是 x= ，得出 f（ ）=0， 再根据直线 x=- 是函数 f（x）图象的一条对称轴，得出- ω+φ= +kπ，k∈Z； 由此求出 ω 的最小值与对应 φ 的值，写出 f（x），从而求出它的单调增区间．
2019 年广东省高考数学模拟试卷（理科）（5 月份）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A＝{x|x2-x-2＞0}，B＝{x|log2x≤2}，则 A∩B＝（ ）
A. (-∞，-1)∪(0，+∞)
B. (2，4]
C. (0，2)
D. (-1，4]
第 5 页，共 17 页
1.答案：B
-------- 答案与解析 --------
解析：【分析】 先求出集合 A，B，由此能求出 A∩B． 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【解答】 解：∵集合 A={x|x2-x-2＞0}={x|x＜-1 或 x＞2}， B={x|log2x≤2}={x|0＜x≤4}， ∴A∩B={x|2＜x≤4}=（2，4]． 故选：B．
由
，解得 A（3，0）．
将 A 的坐标代入 z=-2x+y，得 z=-6， 即目标函数 z=-2x+y 的最小值为-6． 故选 A．
5.答案：C
解析：解：设“东方模板”的面积是 4， 则阴影部分的三满足条件的概率 p= = ，
故选：C． 设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可． 本题考查了几何概型问题，考查面积之比，是一道基础题．
A.
B.
C.
D.
12. 若向量 ， ， 满足 ， ≠0，且（ ）•（ ）=0，则
的最小值是（ ）
A.
B.
C. 2
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
第 2 页，共 17 页
13. （1+ ）（1-2x）5 的展开式中 x2 的系数为______．
14. 已知定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）=1og2x-3x，则 f（-1）=______．
解：根据题意，对于 f（x）=sinx• ，有 f（-x）=sin（-x）• =sinx• =f（x），
即函数 f（x）为偶函数，据此可以排除 A、C，
又由在（0，π）上，sinx＞0， ＞0，有 f（x）＞0，
则函数 f（x）＞0，据此排除 D； 故选 B．
9.答案：C
解析：【分析】 本题考查直线与平面所成角的正弦值的最大值的求法，解题要注意等价转化思想和数形结合思想的 合理运用． 连结 AC，BD，交于点 O，由题设条件推导出 OA=1，OC=2．将△ABD 沿着对角线 BD 翻折成△A′BD， 当 A′C 与以 O 为圆心，OA′为半径的圆相切时，直线 A′C 与平面 BCD 所成角最大，由此能求出 结果． 【解答】 解：如图，平面四边形 ABCD 中， 连结 AC，BD，交于点 O，
（Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性； （Ⅱ）当 a=1 时，若关于 x 的不等式 f（x）+g（x）≤-2 恒成立，求实数 b 的取值范围．
21. 已知椭圆
的短轴长为 ，且离心率为 ，圆 D：x2+y2=a2+b2．
（1）求椭圆 C 的方程，
（2）点 P 在圆 D 上，F 为椭圆右焦点，线段 PF 与椭圆 C 相交于 Q，若
第 7 页，共 17 页
且∠NRF=∠QFH=∠FQP=60°， 则△PQF 为边长为 4 等边三角形，MF=2 ， 在 Rt△FMR 中，FR=2，MF=2 ， 则 MR=4，
广东省2019年高考理科数学模拟试题及答案(一)
广东省2019年高考理科数学模拟试题及答案（一）（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i2．设集合{}{}{}20,1,2,3,4,5,1,2,3,|540U A B x Z x x ===∈-+≥，则()U A B = ðA ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}23. 下列说法中正确的是A.命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B.命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题C.命题“存在000,1x x e x ∈≤+R ”的否定为：“对,1xx e x ∀∈>+R ”D.直线l 不在平面α内，则“l 上有两个不同的点到α的距离相等”是“//l α”的充要条件 4．设向量a 与b 的夹角为θ，且)1,2(-=a ，)3,2(2=+b a ，则θcos ＝A. 35-B.35C.55- 5．已知α是第四象限角，且1sin cos 5αα+=，则tan 2α=A ．13 B ．13- C ．12D ．12-6. 已知数列}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，则101a a +的值为A. 7B.5C.7-D.5-7. 设不等式组-20+200x y x y x ≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为Ω.则A. 原点O 在Ω内B.Ω的面积是1C. Ω内的点到y 轴的距离有最大值D.若点P(x 0,y 0) ∈Ω，则x 0+y 0≠08．如右图是寻找“徽数”的程序框图．其中“S MOD 10”表示自然数 S 被10除所得的余数，“S \10”表示自然数S 被10除所得的商．则 根据上述程序框图，输出的“徽数”S 为 A ．18B ．16C ．14D ．129. 已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行翻折，使BDC ∠为直角，则过A B C D ，，，四点的球的表面积为A ．3πB ．4π C.5π D ．6π10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．根据需要安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是A ．2日和5日B ．5日和6日C ．6日和11日D ．2日和11日 12．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为12,F F ，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△12AF F 的周长为6A. 22143y x +=B. 22132y x +=C. 2212x y += D. 2214x y +=二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设集合{}22(,)|(3sin )(3cos )1,A x y x y R ααα=+++=∈，{}(,)|34100B x y x y =++=，记P A B = ，则点集P 所表示的轨迹长度为 。
2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析
2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析2019年高考数学（理）模拟试题（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(1-i)z=2+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限2.设集合M={x|x<36}，N={2,4,6,8}，则M∩N=（）A。
{2,4}B。
{2,4,6}C。
{2,6}D。
{2,4,6,8}3.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A。
1/4B。
1/3C。
1/2D。
2/34.将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A。
42种B。
48种C。
54种D。
60种5.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A。
32π/3B。
64π/3C。
32πD。
64π/26.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，AC=BC，则△ABC的欧拉线方程为（）A。
2x+y-3=0B。
2x-y+3=0C。
x-2y-3=0D。
x-2y+3=07.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A。
广东省湛江市2019届高三高考模拟测试(二)理科数学试卷及解析
…………○……名：___________班级：____…………○……广东省湛江市2019届高三高考模拟测试（二）理科数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.若复数z 满足2z −z̅=3+12i ，其中i 为虚数单位，z̅是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A. 一 B. 二C. 三D. 四2.已知全集U=Z,A ={1,2,3,4}, B ={x |(x +1)(x −3)>0,x ∈Z }，则集合A ∩(C U B )的子集个数为（ ） A. 2B. 4C. 8D. 163.已知实数m 是给定的常数，函数f(x)=mx 3−x 2−2mx −1的图象不可能是( )A. B. C. D.4.平行四边形ABCD 中，∠BAD =120∘,|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2,|AD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=3, BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,CF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A. 3B. 32C. −3D. −325.设F 1,F 2分别为离心率e=√5的双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的左、右焦点，A 1,A 2分别为双曲线C 的左、右顶点，以F 1,F 2为直径的圆交双曲线的渐近线l 于M,N 两点，若四边形MA 2NA 1的面积为4，则b =（ ）A. 2B. 2√2C. 4D. 4√26.现有甲班A,B,C,D 四名学生，乙班E,F,G 三名学生，从这7名学生中选4名学生参加某项活动，则甲、乙两班每班至少有1人，且A 必须参加的方法有（ ） A. 10种B. 15种C. 18种D. 19种答案第2页，总16页……装……※※不※※要※※在※……装……7.在ΔABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且acosB =(4c −b )cosA ，则cos2A =（ ）A. −78B. −18C. 78D. 188.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为a ，当a ∈[2,2019]时，符合条件的a 共有（ ） A. 133个B. 134个C. 135个D. 136个9.已知α,β,γ是三个不同的平面，m,n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若m//α,n ⊂α，则m//n ；②若α∩β=m,m//n ，且n ⊄α,n ⊄β，则n//α,n//β； ③若n ⊥α,m ⊂β,α//β，则m ⊥n ；④ α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n ⊂γ，则m ⊥n .其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 410.把函数y=f (x )的图像向左平移2π3个单位长度，再把所得的图像上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数g (x )的图像，并且g (x )的图像如图所示，则f (x )的表达式可以为（ ）A. f (x )=2sin (x +π6)B. f (x )=sin (4x +π6)C. f (x )=sin (4x −π6)D. f (x )=2sin (4x −π6)11.已知直线l 不过坐标原点O ，且与椭圆C:x 24+y 23=1相交于不同的两点A,B,ΔOAB 的面积为√3，则|OA |2+|OB |2的值是（ ） A. 4B. 7C. 3D. 不能确定12.已知函数f (x )=1−22x +1，当x≥0时，不等式f (ax 2+x )+f (1−e x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (−∞,1]B. (0,1]C. (−∞,12] D. (0,12]…………装……:___________姓名：__…………装……第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.已知函数f (x )=e x cosx +x 5，则曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程是_______．14.若实数x,y 满足不等式组{2x +y −4≤0,x −y +m ≥0,y ≥0,，且z =x −2y 的最小为0，则实数m =______．15.设a∈(0,π2),β∈(0,π2)，且sinβcosβ=1+cos2α2cosα+sin2α，则tan (α+2β+π4)=______．16.圆锥Ω的底面半径为2，其侧面展开图是圆心角大小为180∘的扇形.正四棱柱ABCD−A ′B ′C ′D ′的上底面的顶点A ′,B ′,C ′,D ′均在圆锥Ω的侧面上，棱柱下底面在圆锥Ω的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为_____．三、解答题（题型注释）17.S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S n =−12n 2+212n . （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n=1a2n a 2n+2,T n=b 1+b 2+⋯+b n ，求T n .18.三棱锥A −BCD 中，底面ΔBCD 是等腰直角三角形，BC =BD =2,AB =√2，且AB ⊥CD,O为CD 中点，如图.（1）求证：平面ABO ⊥平面BCD ；（2）若二面角A −CD−B 的大小为π3，求AD 与平面ABC 所成角的正弦值. 19.某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：答案第4页，总16页参考公式：回归直线的方程是：ŷ=b̂x+â，其中，b̂=∑(x i−x̅)(y i−y̅)ni=1∑(x i−x̅)2ni=1=∑x i y i−nx̅y̅ni=1∑x i2−nx̅2ni=1,â=y̅−b̂x̅.（1）据题中数据，求月支出y（千元）关于月收入x（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；（2）从这6个家庭中随机抽取3个，记月支出超过6千家庭个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望. 20.已知动圆P过定点F(12,0)，且和直线x=−12相切，动圆圆心P形成的轨迹是曲线C，过点Q(4,−2)的直线与曲线C交于A,B两个不同的点.（1）求曲线C的方程；（2）在曲线C上是否存在定点N，使得以AB为直径的圆恒过点N？若存在，求出N点坐标；若不存在，说明理由.21.已知正实数a，函数g(x)=2a3x3−12(a+2)x2+x(x>0),f(x)=ax2−(a+2)x+ lnx+2.（1）讨论函数g(x)的单调性；（2）若f(x)<0在x∈[12,1]内有解，求a的取值范围.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，点M(0,1)，直线l:{x=2ty=1+t（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为7ρ2+ρ2cos2θ=24. （1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于点A,B，求1|MA|+1|MB|的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x−1|,g(x)=|2x+3|.（1）解不等式f(x)−g(x)≥2；（2）若2f(x)≤g(x)+m对于任意x∈R恒成立，求实数m的最小值，并求当m取最小值时x的范围.参数答案1.A【解析】1.利用复数的运算法则、共轭复数的定义和几何意义即可得出． 设z=a +bi,则2a +2bi −(a −bi )=3+12i 即a +3bi =3+12i,故{a =33b =12解a=3,b=4,z =3+4i ，则复数z 在复平面内对应的点在第一象限故选：A 2.C【解析】2.先求B.再求C U B ，求得A ∩(C U B )则子集个数可求由题C U B ={x |(x +1)(x −3)≤0,x ∈Z }={x |−1≤x ≤3,x ∈Z }=={−1,0,1,2,3}, 则集合A ∩(C UB )={1,2,3},故其子集个数为23=8故选：C 3.D【解析】3.令m=0,排除D,对函数求导，确定其极值点的正负即可判断. 当m=0,C 符合题意，当m ≠0，f ′(x )=3mx 2−2x −2m,∆=4+24m 2>0,设3mx 2−2x −2m =0的两根为x 1，x 2,则x 1x 2=−23<0,则两个极值点x 1，x 2异号，则D 不合题意，故选:D. 4.B【解析】4.将AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 分别表示为向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 及AD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的和，利用数量积的定义求值即可 由题AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ , AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +1AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑答案第6页，总16页则AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2）（AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +13AD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ）= 32故选：B 5.A【解析】5. 由e=√得渐近线方程与圆的方程x 2+y 2=c 2联立得M 坐标，利用四边形面积得a,c 的方程求解即可得b 由题e=√5=c a,∴b a=2,故渐近线方程为y =2x, 以F 1,F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2，联立{x 2+y 2=c 2y =2x，得y=±√5,由双曲线与圆的对称性知四边形MA2NA 1为平行四边形，不妨设y M=5,MA 2NA 1的面积S=2a ×√5=4,得ac=√5,又√5=ca ，得a=1,c=√5,b =2故选：A 6.D【解析】6.分情况讨论甲乙两个班的人数求解即可 由题按甲乙班参加人数分情况讨论如下： 若甲班1人，乙班3人，共1种方法； 若甲班2人，乙班2人，共C 31C 32=9种方法；若甲班3人，乙班1人，共C 32C 31=9种方法；故甲、乙两班每班至少有1人，且A 必须参加的方法有1+9+9=19种 故选：D 7.A【解析】7.根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A∵acosB ＝（4c ﹣b ）cosA ． ∴sinAcosB ＝4sinCcosA ﹣sinBcosA即sinAcosB+sinBcosA ＝4cosAsinC∴sinC ＝4cosAsinC ∵0＜C ＜π，sinC ≠0．∴1＝4cosA ，即cosA =14，则cos2A =2cos 2A −1=−78故选：A ． 8.C【解析】8.由题设a=3m+2=5n+3,m,n ∈N ∗,得3m=5n+1，对m 讨论求解即可 由题设a=3m+2=5n+3,m,n ∈N ∗,则3m=5n+1当m=5k,n 不存在； 当m=5k+1，n 不存在 当m=5k+2,n=3k+1，满足题意 当m=5k+3,n 不存在； 当m=5k+4,n 不存在； 故2≤a=15k+8≤2019,解−615≤k ≤201115,k ∈Z,则k=0,1,2…134,共135个故选：C 9.C【解析】9.利用线面关系逐项分析即可 对①若m//α,n⊂α，则m//n 或m,n 异面，故错误；对②，由线面平行的判定定理知：若α∩β=m,m//n ，且n ⊄α,n ⊄β，则n//α,n//β，正确对③，若n⊥α,α//β，则m ⊥β，m ⊂β,则m ⊥n ，正确对④，设α⋂γ=a,β⋂γ=b,在面γ内任取点O,作OA ⊥a, OB ⊥b,由α⊥γ,β⊥γ，得OA ⊥α, OB ⊥β,故OA ⊥m, OB ⊥m,则m ⊥γ，又n ⊂γ，则m ⊥n ，正确综上真命题的个数是3个 故选：C 10.B答案第8页，总16页【解析】10.根据条件先求出φ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可． ∵g （0）＝2sin φ＝1，即sin φ=12，∴φ=5π6+2kπ,或φ=π6+2kπ,k ∈Z （舍去）则g （x ）＝2sin （ωx +5π6），又7π12ω+5π6=2kπ,k ∈Z,∴ω=(2k −56)×127,当k=1,ω=2 即g （x ）＝2sin （2x +5π6），把函数g （x ）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的12，得到y ＝2sin （4x +5π6），再把纵坐标缩短到到原来的12，得到y ＝sin （4x +5π6），再把所得曲线向右平移2π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，即g （x ）＝sin[4（x -2π3）+5π6]＝sin [4x −8π3+5π6]=sin (4x −11π6)=sin (4x +π6)故选：B ． 11.B【解析】11.k 不存在时, 设直线x=t>0,得A,B 坐标进而得|OA |2+|OB |2=7；k 存在时，设直线方程y =kx +m,与椭圆联立，由面积公式结合韦达定理化简得3+4k 2=2m 2，进而得|OA |2+|OB |2的值即可由题直线斜率k 不存在时，设直线x=t>0，则A(t,√3−34t 2), B(t,−√3−34t 2),S=t√3−34t 2=√3,解t=√2, 则|OA |2+|OB |2=7k 存在时，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，y=kx +m, 与椭圆C:x 24+y 23=1联立得(3+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−3)=0,∆=48(4k2+3−m 2),x 1+x 2=−8km 3+4k2,x 1x 2=4(m 2−3)3+4k2,|AB |=√1+k 2×4√3√4k 2+3−m 23+4k2，点O 到直线l 的距离d=√1+k ∴S ∆AOB =12×√1+k 2×√3√4k 2+3−m 23+4k 2√1+k 2=2√3|m |√4k 2+3−m 23+4k =√3，得3+4k 2=2m 2，即k 2=2m 2−34①又x 124+y 123=1,x 224+y 223=1, |OA |2+|OB |2=14(x 12+x 22)+6=14[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+6=8k 2m 2−6m 2+18+24k2(3+4k 2)2+6=8k 2m 2−6m 2+18+24k24m4+6 将①代入得|OA |2+|OB |2=7故选：B 12.C【解析】12.由题判断f (x )为奇函数且单调递增，转化f (ax 2+x )+f (1−e x )≤0为f (ax 2+x )<f (e x −1)恒成立，利用单调性得ax 2+x <e x −1,分离a 求导求范围即可易知f (x )=1−22x +1单调递增，f (x )=1−22x +1=2x −12x +1，则f (−x )=2−x −12−x +1=1−2x 2x +1=− f (x )，故f (x )为奇函数，当x≥0时，不等式f (ax 2+x )+f (1−e x )≤0恒成立等价为f (ax 2+x )≤−f (1−e x )即f (ax 2+x )≤f (e x −1)恒成立，故ax 2+x ≤e x −1在x ≥0时恒成立当x=0时，0≤0恒成立，a ∈R当x>0时，a ≤e x −1−x x 2,设g (x )=e x −1−x x 2,则g ′(x )=x+2+e x (x−2)x3 设h (x )= x +2+e x (x −2),ℎ′(x )=e x (x −1)+1,ℎ′′(x )=xe x >0,则ℎ′(x )单增，又ℎ′(1)=0，则当0<x<1,ℎ′(x )<0, 当x>1,ℎ′(x )>0,故h (x )≥h (1)=0，即g ′(x )≥0，故g (x )单调递增，当x →0,g (x )→12,故a ≤12，综上a ≤12故选：C 13.y =x +1【解析】13.求导，x=0代入求k ，点斜式求切线方程即可f ′(x )=e x (cosx −sinx )+5x 4,则f ′(0)=1，又f (0)=1故切线方程为y=x+1 故答案为y=x+1答案第10页，总16页………装…………○…………订……请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※………装…………○…………订……14.−45【解析】14.画出可行域，由z 的几何意义确定其最小值，列m 的方程求解即可 画出可行域如图阴影部分所示： 当z=x −2y 过A 时取得最小值，联立{2x +y −4=0x −y +m =0得A (4−m 3,4+2m 3),则4−m 3+2×4+2m3=0，解m=−45故答案为−4515.−1【解析】15.sinβcosβ=1+cos2α2cosα+sin2α=2cos 2α2cosα+2sinαcosα=cosα1+sinα=cos 2α2−sin 2α2(sin α2+cos α2)2=cos α2−sin α2sin α2+cos α2=1−tan α21+tanα2=tan (π−α)……○…………装学校:___________姓……○…………装故tan β=tan (π4−α2)又a∈(0,π2),π4−α2∈(0,π4)，∴β=π4−α2，故2β=π2−α，则tan (α+2β+π4)=则tan (3π4)=−1故答案为−116.64√327【解析】16.设圆锥的母线长为l ，由侧面展开图求得l =4,进而得圆锥高为2√3，设正四棱柱ABCD −A ′B ′C ′D ′的底面边长为2a,高为h,进而得2−√2a2=23，正四棱柱体积V=4a 2ℎ=4a 2(2√3−√6a),设函数f (a )=4a 2(2√3−√6a)，求导求其最值即可设圆锥的母线长为l,圆锥底面周长为2π×2=4π=π×l,∴l =4,∴圆锥高为√42−22=2√3设正四棱柱ABCD −A ′B ′C ′D ′的底面边长为2a,高为h,则2−√2a2=23,得2√3−√6a =ℎ, 正四棱柱体积V=4a 2ℎ=4a 2(2√3−√6a),设f (a )=4a 2(2√3−√6a),f ′(a )=4a(4√3−3√6a),令f ′(a )=0得a=2√23,当0<a <2√23,f ′(a )>0;a >2√23,f ′(a )<0,故f (a )的最大值为f (2√23)=64√327故答案为64√32717.（1）a n =−n +11（2）T n =−118−14n−18【解析】17. （1）当n≥2时，a n =s n −s n−1=−n +11，检验n =1成立即可求解；（2）由b n =答案第12页，总16页1a 2n +a 2n+2=12(12n−11−12n−9)裂项相消求和即可 （1）当n ≥2时，a n =s n −s n−1=−12n 2+212n +12(n −1)2 −212(n −1)=−n +11当n=1时，满足上式，∴a n =−n +11（2）由a n =−n +11可得b n=1a2n +a 2n+2=1(2n−11)(2n−9)=12(12n−11−12n−9)∴T n =12[(1−9−1−7)+(1−7−1−5)+⋯+(12n−11−12n−9)]=12(1−9−12n −9) =−118−14n −1818.（1）见证明；（2）√427【解析】18. （1）证明CD⊥平面ABO ，即可证明平面ABO ⊥平面BCD （2）证明∠AOB 为二面角A −CD −B 的平面角，得∠AOB=π3，进而得ΔABO 为等边三角形，以B 为原点，建立空间直角坐标系，求平面ABC的法向量n⃑⃑ ，利用向量的线面角公式求解即可 （1）证明：ΔBCD 是等腰直角三角形，BC=BD =2,O 为CD 中点，∴BO ⊥CD∵AB ⊥CD,AB ∩BO =B,∴CD ⊥平面ABO ∵CD ⊂平面BCD,∴平面ABO ⊥平面BCD（2）∵CD ⊥平面ABO,∴CD ⊥AO∴∠AOB 为二面角A −CD −B 的平面角，∴∠AOB =π3∵BO =√2,∴AB =BO,∴ΔABO 为等边三角形，以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B (0,0,0),C (2,0,0), A (12,12,√62),D (0,2,0)BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,12,√62),BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0), AD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−12,32,−√62) 设平面ABC 的法向量n ⃑⃑ =(x,y,z )，则{BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑⃑ =0,BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑⃑ =0, 即{12x +12y +√62z =02x =0…………○……号：___________…………○……取n⃑⃑ =(0,√6,−1) 设AD 与平面ABC 所成角为θ，则sinθ=|cos⟨n ⃑ ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩|=3√62+√6212×√1+9+6×√7=√427故AD 平面ABC 所成角的正弦值为√427.19.（1）y ̂=−0.2x −0.6（2）见解析【解析】19.（1）先求x ̅，y ̅,再利用公式求b ̂，a ̂即可；（2）由超几何分布列分布列求期望即可 （1）x̅=20+30+35+40+48+556=38,y ̅=4+5+6+8+8+116=7 b ̂= (20×4+30×5+35×6+40×8+48×8+55×11)−6×38×7202+302+352+402+482+552−6×382≈0.2 â=y ̅−bx ̅=7−0.2×38=−0.6 所以月支出y 关于x 月收入的线性回归方程是：y ̂=−0.2x −0.6 （2）ξ的可能取值为0,1,2,3P (ξ=0)=C 33⋅C 30C 63=120, P (ξ=1)=C 32⋅C 31C 63=920,P (ξ=2)=C 31⋅C 32C 63=920, P (ξ=3)=C 30⋅C 33C 63.故ξ的分布列为：数学期望E (ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=1.5.20.（1）y 2=2x （2）见解析答案第14页，总16页【解析】20.（1）由抛物线定义确定P的轨迹方程，（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线的方程为l AB:x=n(y+2)+ 4，代入抛物线方程，整理得y2−2ny−4n−8=0,设存在定点N(x0,y0)，由K NA⋅K NB=−1，代入韦达定理整理得(2y0−4)n+y02−4=0，利用{2y−4=0,y2−4=0,即可得y0=2,x0=2（1）设动圆圆心P到直线x=−12的距离为d，根据题意，d=|PF|∴动点P形成的轨迹是以F(12,0)为焦点，以直线x=−12为准线的抛物线，∴抛物线方程为y2=2x.（2）根据题意，设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线的方程为l AB:x=n(y+2)+4，代入抛物线方程，整理得y2−2ny−4n−8=0,Δ=4n2+16(n+2)=4(n2+4n+8)>0,y 1+y2=2n,y1y2=−4n−8若设抛物线上存在定点N，使得以AB为直径的圆恒过点N，设N(x0,y0)，则y02=2x0K NA=y1−y0x1−x0=y1−y0y122−y022=2y1+y0，同理可得K NB=2y2+y0K NA⋅K NB=2y1+y0⋅2y2+y0=4y1y2+(y1+y2)y0+y0=4−4n−8+2ny0+y0=−1∴(2y0−4)n+y02−4=0,∴{2y0−4=0,y02−4=0,解得y0=2,x0=2,∴在曲线C上存在定点N(2,2)，使得以AB为直径的圆恒过点N.21.（1）见解析；（2）a>1【解析】21.（1）g′(x)=2ax2−(a+2)x+1令g′(x)=0，解得x1=12,x2=1a,讨论1a与12的大小关系确定g′(x)的符号变化求单调性即可；（2）f(x)<0在x∈[12,1]内有解，则f(x)min<0,f′(x)=2ax2−(a+2)x+1x =g′(x)x(x>0)，由（1）的讨论确定f′(x)的正负变化确定其最小值即可求解g′(x)=2ax2−(a+2)x+1令g′(x)=0，解得x1=12,x2=1a当1a <12时，即a >2时在(0,1a ),(12,+∞)上，函数g (x )单调递增，在(1a ,12)上，函数g (x )单调递减； 当1a =12时，即a =2时，函数g (x )在定义域(0,+∞)上单调递增；当1a>12时，即0<a <2时，在(0,12),(1a ,+∞)上，函数g (x )单调递增，在(12,1a)上，函数g (x )单调递减. 综上所述，当a >2时，在(0,1a ),(1a ,+∞)上，函数g (x )单调递增；在(1a ,12)上，函数g (x )单调递减；当a=2时，函数g (x )在定义域(0,+∞)上单调递增；当0<a <2时，在(0,12),(1a,+∞)上，函数g (x )单调递增，在(12,1a)上，函数g (x )单调递减. （2）若f (x )<0在x ∈[12,1]内有解，则f (x )min <0,f ′(x )=2ax −(a +2)+1x=2ax 2−(a+2)x+1x=g ′(x )x(x >0)由（1）可知，当1a≤12，即a ≥2时，∵x ∈[12,1],∴f ′(x )≥0，函数f (x )在[12,1]上单调递增，f (x )min =f (12)=a 4−a+22+ln 12+2<0，解得；a >4(1−ln2),∴a ≥2当12<1a<1，即1<a<2时，∵x ∈[12,1]∴在x ∈[1a,1]时，f ′(x )≤0，函数在上单调递减，在x ∈[1a,1]时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[1a,1]上单调递增， ∴f (x )min =f (1a)=1a−a+2a+ln 1a+2 =−1a+1+ln 1a令1a =t ∈(12,1),ℎ(t )=−t +1+lnt (12<t <1), ℎ′(t )=−1+1t >0，函数ℎ(t )在(12,1)上单调递增.∴ℎ(t )<ℎ(1)=0恒成立，∴1<a <2当1a ≥1，即0<a ≤1时，∵x ∈[12,1],∴f ′(x )≤0，函数f (x )在[12,1]上单调递减， f (x )min =f (1)=0,f (x )min <0不成立，综上所述：a >1.22.（1）y 24+x 23=1（2）43【解析】22.（1）利用极坐标与普通的互化求解即可；（2）将直线l 的参数方程化为标准形式为：{x =5y =1+5（t 为参数），与椭圆联立，利用t 的几何意义求解1|MA |+1|MB |即可答案第16页，总16页（1）∵7ρ2+ρ2cos2θ=24∴7ρ2+ρ2(2cos 2θ−1)=24又∵ρ2=x 2+y 2,x =ρcosθ∴曲线C 的直角坐标方程为：y 24+x 23=1（2）将直线l 的参数方程化为标准形式为：{x =√5y =1+5（t 为参数），代入曲线C 方程，得19t 2+6√5t −45=0.∆>0恒成立∴t 1+t 2=−6√519,t 1t 2=−4519∴1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|= |t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=4323.（1）{x |−2≤x ≤−43}（2）x≤−32【解析】23.（1）零点分段去绝对值化简f (x )−g (x )解不等式即可；（2）2f (x )<g (x )+m 恒成立，即|2x −2|−|2x +3|≤m 恒成立，即m ≥(|2x −2|−|2x +3|)max ，由绝对值三角不等式求(|2x −2|−|2x +3|)max 即可求解 （1）f (x )−g (x )=|x −1|−|2x +3|当x ≤−32时，不等式化为x +4≥2，解得x ≥−2，可得−2≤x ≤−32；当−32<x <1时，不等式化为−3x −2≥2，解得x ≤−43，可得−32<x ≤−43；当x≥1时，不等式化为−x −4≥2，解得x ≤−6，可得x ∈∅.综上可得，原不等式的解集为{x |−2≤x ≤−43}.（2）若2f (x )<g (x )+m 恒成立，则|2x −2|−|2x +3|≤m 恒成立，∴m ≥(|2x −2|−|2x +3|)max又∵|2x −2|−|2x +3|≤|(2x −2)−(2x +3)|=5∴m 最小值为5.此时{(2x −2)(2x +3)≥0,(2x −2)2≥(2x +3)2,∴{x ≥1或x ≤−32x ≤−14,解得x ≤−32.。
广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析
广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析绝密★启用前广东省2019年高考理科数学试卷注意事项：1.考生答卷前，必须在答题卡上填写姓名和准考证号。
2.回答选择题时，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x|-4<x<2}，N={x|x^2-x-6<0}，则M∩N=（）A。
{x|-4<x<3}B。
{x|-4<x<-2}C。
{x|-2<x<2}D。
{x|2<x<3}2.设复数z满足|z-i|=1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A。
(x+1)^2+y^2=1B。
(x-1)^2+y^2=1C。
x^2+(y-1)^2=1D。
x^2+(y+1)^2=13.已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（）A。
a<b<cB。
a<c<bC。
c<a<bD。
b<c<a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约为0.618，称为黄金分割比例。
某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A。
165cmB。
175cmC。
185cmD。
190cm5.函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为（）A。
B。
C。
D。
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一重卦由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图为一重卦。
在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A。
B。
C。
D。
7.已知非零向量，满足||=2||，且（-）⊥，则与的夹角为（）A。
广东省2019年高考数学一模试卷(理科)(解析版) (2)
2019年广东省清远市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{a n}中，已知S15=90，那么a8=（）A．12 B．4 C．3 D．62．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．3．如果命题p∨q是真命题，命题￢p是假命题，那么（）A．命题p一定是假命题B．命题q一定是假命题C．命题q一定是真命题D．命题q是真命题或假命题4．如图所示的坐标平面的可行域内（包括边界），若使目标函数z=ax+y （a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（）A．B．C．4 D．5．在△ABC中，=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形6．“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的（）A．必要不充分条件B．既不充分也不必要条件C．充要条件D．充分不必要条件7．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．8．若A（1，﹣2，1），B（4，2，3），C（6，﹣1，4），则△ABC 的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形9．过双曲线的一个焦点作直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有（）A．4条B．3条C．2条D．1条10．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+（a＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段12．已知m、n、s、t∈R*，m+n=3，其中m、n是常数且m＜n，若s+t的最小值是，满足条件的点（m，n）是椭圆一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）A．x﹣2y+3=0 B．4x﹣2y﹣3=0 C．x+y﹣3=0 D．2x+y﹣4=0一、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是．14．已知数列{x n}满足，且x1+x2+x3+…+x100=1，则lg（x101+x102+…+x200）=．15．已知a=，则展开式中的常数项为．16．设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为．二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．（1）判断△ABC的形状；（2）求sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围．18．设数列{a n}各项为正数，且a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*）（I）证明：数列{log3（1+a n）}为等比数列；（Ⅱ）令b n=log3（1+a2n﹣1），数列{b n}的前n项和为T n，求使T n＞345成立时n的最小值．19．某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．（1）求证：平面PBD⊥平面BFDE；（2）求二面角P﹣DE﹣F的余弦值．21．已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．22．设a，b∈R，函数，g（x）=e x（e为自然对数的底数），且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）内恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{a n}中，已知S15=90，那么a8=（）A．12 B．4 C．3 D．6【考点】等差数列的性质．【分析】由题意可得：S15=（a1+a15）=90，由等差数列的性质可得a1+a15=2a8，代入可得答案．【解答】解：因为数列{a n}是等差数列，所以，a1+a15=2a8，则S15=（a1+a15）=15a8，又S15=90，所以，15a8=90，则a8=6．故选：D．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．2．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得：b=c，所以a=，进而求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意可得：以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，所以b=c，所以a=，所以离心率e=．故选B．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．特别是椭圆定义的应用．3．如果命题p∨q是真命题，命题￢p是假命题，那么（）A．命题p一定是假命题B．命题q一定是假命题C．命题q一定是真命题D．命题q是真命题或假命题【考点】复合命题的真假．【分析】根据已知中命题“p或q”是真命题，命题“非p”是假命题，易根据复合命题真假的真值表，判断出命题p与命题q的真假，进而得到答案．【解答】解：∵命题“p或q”真命题，则命题p与命题q中至少有一个命题为真命题，又∵命题“非p”也是假命题，∴命题p为真命题．故命题q为可真可假．故选D【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．4．如图所示的坐标平面的可行域内（包括边界），若使目标函数z=ax+y （a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（）A．B．C．4 D．【考点】简单线性规划．【分析】化目标函数为直线方程的斜截式，结合使目标函数z=ax+y （a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，可知直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合，由斜率相等求得a值．【解答】解：如图，化目标函数z=ax+y（a＞0）为y=﹣ax+z，要使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合，即﹣a=，∴a=．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5．在△ABC中，=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，进而化简整理求得sin2A=sin2B，进而推断出A=B或A+B=90°，进而可推断出三角形的形状．【解答】解：由正弦定理可得=∵=∴=，求得sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B∴A=B或2A+2B=180°，A+B=90°∴三角形为等腰或直角三角形．故选C【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形形状的判断．解题的关键是通过正弦定理把边转化为角的问题，利用三角函数的基础公式求得问题的解决．6．“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的（）A．必要不充分条件B．既不充分也不必要条件C．充要条件D．充分不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意得：命题若a≠1或b≠2则a+b≠3是假命题；命题若a+b≠3则≠1或b≠2是真命题；可得答案．【解答】解：由题意得：∵命题若a≠1或b≠2则a+b≠3与命题若a+b=3则a=1且b=2互为逆否命题∴判断命题若a≠1或b≠2则a+b≠3的真假只要判断：命题若a+b=3则a=1且b=2互为逆否命题的真假即可因为命题若a+b=3则a=1且b=2显然是假命题所以命题若a≠1或b≠2则a+b≠3是假命题∴a≠1或b≠2推不出a+b≠3所以a≠1或b≠2推不出a+b≠3同理若a=1且b=2则a+b=3是真命题∴命题若a+b≠3则a≠1或b≠2是真命题∴a+b≠3⇒a≠1或b≠2“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件．故选：A．【点评】判断充要条件时可以先判断某些命题的真假，当命题的真假不易判断时可以先判断原命题的逆否命题的真假（原命题与逆否命题的真假相同）．7．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．【考点】等差数列的性质．【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．8．若A（1，﹣2，1），B（4，2，3），C（6，﹣1，4），则△ABC 的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【分析】求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角．【解答】解：，，得A为锐角；，得C为锐角；，得B为锐角；所以为锐角三角形故选项为A【点评】本题考查向量数量积的应用：据数量积的正负判断角的范围．9．过双曲线的一个焦点作直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有（）A．4条B．3条C．2条D．1条【考点】双曲线的简单性质．【分析】当直线与双曲线左右各有一个交点时，弦长|AB|最小为实轴长2a=2，若|AB|=4，则这样的直线l有且仅有两条，当直线l与双曲线的一支有两个交点时，弦长|AB|最小为通径长=4，若|AB|=4，则这样的直线l有且仅有1条，数形结合即可．【解答】解：如图：当直线l与双曲线左右各有一个交点时，弦长|AB|最小为实轴长2a=2，当直线l与双曲线的一支有两个交点时，弦长|AB|最小为通径长=4根据双曲线的对称性可知，若|AB|=4，则当直线与双曲线左右各有一个交点时，这样的直线可有两条，当直线与双曲线的一支有两个交点时，这样的直线只有1条，所以若|AB|=4，则这样的直线有且仅有3条，故选：B【点评】本题考查了双曲线的几何性质，特别是直线与双曲线相交时弦长的几何性质，在平时的学习中注意积累一些结论，对解决此类选择题很有好处．10．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】由题意可得：，进而得到与||，||，再由cos＜，＞=可得答案．【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以，所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=，所以cos＜，＞==，∴的夹角为60°故选C．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题11．设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+（a＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段【考点】轨迹方程．【分析】由基本不等式可得a+≥6，当a+=6 时，点P满足|PF1|+|PF2|=|F1F2|，P的轨迹是线段F1F2；a+＞6时，点P满足|PF1|+|PF2|为常数，且大于线段|F1F2|的长，P的轨迹是椭圆．【解答】解：∵a＞0，∴a+≥2=6．当a+=6=|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+=|F1F2|得，点P的轨迹是线段F1F2．当a+＞6=|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+＞|F1F2|得，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．综上，点P的轨迹是线段F1F2 或椭圆，故选D．【点评】本题考查椭圆的定义，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，确定 a +的范围是解题的关键．12．已知m 、n 、s 、t ∈R *，m +n=3，其中m 、n 是常数且m ＜n ，若s +t 的最小值 是，满足条件的点（m ，n ）是椭圆一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．x ﹣2y +3=0B ．4x ﹣2y ﹣3=0C ．x +y ﹣3=0D ．2x +y ﹣4=0 【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知得（s +t ）（）的最小值 是，即（s +t ）（）=m +n +，满足时取最小值，得m=1，n=2．设以（1，2）为中点的弦交椭圆椭圆于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由中点从坐标公式知x 1+x 2=2，y 1+y 2=4，把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）分别代入4x 2+y 2=16，得，两式相减得2（x 1﹣x 2）+（y 1﹣y 2）=0，求得k 即可【解答】解：∵sm 、n 、s 、t 为正数，m +n=3，，s +t 的最小值 是，∴（s +t ）（）的最小值 是，∴（s +t ）（）=m +n +，满足时取最小值，此时最小值为m +n +2=3+2，得：mn=2，又：m +n=3，所以，m=1，n=2．设以（1，2）为中点的弦交椭圆椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=4，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入4x2+y2=16，得两式相减得2（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，∴k=．∴此弦所在的直线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣4=0．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式和点差法的合理运用，属于基础题．一、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是195．【考点】进行简单的合情推理．【分析】由题意，给每个人的钱数组成首项为3，公差为1的等差数列，由此求出等差数列的前n项和，列出方程求解．【解答】解：设共有n人，根据题意得；3n+=100n，解得n=195；∴一共有195人．故答案为：195．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和的应用问题，也考查了方程思想的应用问题，是基础题目．14．已知数列{x n}满足，且x1+x2+x3+…+x100=1，则lg（x101+x102+…+x200）=100．【考点】对数的运算性质．【分析】法一：由已知得，，从而得到x101+x102+…+x200=10100，由此能求出lg（x101+x102+…+x200）．法二：由已知得，从而利用等比数列的性质，可知，x101+x102+…+x200=10100（x1+x2+x3+…+x100）=10100，由此能求出lg（x101+x102+…+x200）．【解答】解法一：∵数列{x n}满足=lg（10x n），∴，∵x1+x2+x3+…+x100=1，∴=1，∴，，∴x101+x102+…+x200==10100，则lg（x101+x102+…+x200）=lg10100=100．故答案为：100．解法二：∵数列{x n}满足=lg（10x n），∴，∵x1+x2+x3+…+x100=1，∴等比数列的性质，可知，x101+x102+...+x200=10100（x1+x2+x3+ (x100)=10100，∴lg（x101+x102+…+x200）=lg10100=100．故答案为：100．【点评】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．15．已知a=，则展开式中的常数项为﹣160．【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】根据定积分运算求出a的值，再利用二项式定理求展开式中的常数项．【解答】解：a==arcsinx=，∴[（a+2﹣）x﹣]6=，其展开式的通项公式为T r+1=（2x）6﹣r=（﹣1）r26﹣r x6﹣2r；令6﹣2r=0，解得r=3；∴展开式中常数项为（﹣1）323=﹣160．故答案为：﹣160．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了定积分的计算问题，是中档题．16．设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y 轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（1，1），B（2，4），∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，若a=0，则y=z，此时满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．（1）判断△ABC的形状；（2）求sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（1）由已知等式结合正弦定理化边为角，再由两角差的余弦求得sin（A﹣B）=0，可得A=B，则△ABC为等腰三角形；（2）把sin（2A+）﹣2cos2B利用两角和的正弦及降幂公式化简，得到关于A的三角函数，再由A的范围求得答案．【解答】解：（1）由acosB=bcosA，结合正弦定理可得，sinAcosB=cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB=0，得sin（A﹣B）=0，∵A，B∈（0，π），∴A﹣B∈（﹣π，π），则A﹣B=0，∴A=B，即△ABC为等腰三角形；（2）sin（2A+）﹣2cos2B=sin2Acos+cos2Asin﹣2cos2B=﹣（1+cos2B）=﹣cos2A﹣1==．∵0，∴，则．即sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围是．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理和余弦定理在求解三角形中的应用，是中档题．18．设数列{a n}各项为正数，且a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*）（I）证明：数列{log3（1+a n）}为等比数列；（Ⅱ）令b n=log3（1+a2n﹣1），数列{b n}的前n项和为T n，求使T n＞345成立时n的最小值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）由a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*），可得a2=4a1，a2=，解得a1，a2．由于a n+1+1=+2a n+1=，两边取对数可得：log3（1+a n+1）=2log3（1+a n），即可证明．（II）由（I）可得：log3（1+a n）=2n﹣1，可得b n=log3（1+a2n﹣1）=22n﹣2=4n﹣1，可得数列{bn}的前n项和为T n，代入化简即可得出．【解答】（I）证明：∵a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*），∴a2=4a1，a2=，解得a1=2，a2=8．∴a n+1+1=+2a n+1=，两边取对数可得：log3（1+a n+1）=2log3（1+a n），∴数列{log3（1+a n）}为等比数列，首项为1，公比为2．（II）解：由（I）可得：log3（1+a n）=2n﹣1，∴b n=log3（1+a2n﹣1）=22n﹣2=4n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为T n==．不等式T n＞345，化为＞345，即4n＞1036．解得n＞5．∴使T n＞345成立时n的最小值为6．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？【考点】古典概型及其概率计算公式；概率的基本性质．【分析】（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，由此能求出顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率．（Ⅱ）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X﹣B（3，0.4），由此能求出商场经理希望顾客参加抽奖．（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y﹣B（10，0.4）．恰好k次中奖的概率为，k=0，1，…，10．由此能求出顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．【解答】解：（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是．…（Ⅱ）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X﹣B（3，0.4），所以E（X）=np=3×0.4=1.2．由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.2×100=120元．由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以商场经理希望顾客参加抽奖．…（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y﹣B（10，0.4）．于是，恰好k次中奖的概率为，k=0，1， (10)从而，k=1，2， (10)当k＜4.4时，P（Y=k﹣1）＜P（Y=k）；当k＞4.4时，P（Y=k﹣1）＞P（Y=k），则P（Y=4）最大．所以，最有可能获得的现金奖励为4×100=400元．于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．…【点评】本题主要考查随机事件的概率、古典概型、二项公布、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力．20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．（1）求证：平面PBD⊥平面BFDE；（2）求二面角P﹣DE﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出PD⊥PF，PD⊥PE，则PD⊥平面PEF，由此能证明平面PBD⊥平面BFDE．（2）连结BD、EF，交于点O，以O为原点，OF为x轴，OD为y轴，过O作平面BFDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角P﹣DE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，EF∥AC，BD⊥AC，EF⊥BD，∵点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF 折起，使A，C两点重合于P．∴PD⊥PF，PD⊥PE，∵PE∩PF=P，PE、PF⊆平面PEF．∴PD⊥平面PEF．又∵EF⊂平面PEF，∴PD⊥EF，又BD∩PD=D，∴EF⊥平面PBD，又EF⊂平面BFDE，∴平面PBD⊥平面BFDE．解：（2）连结BD、EF，交于点O，连结OP，∵平面PBD⊥平面BFDE，平面PBD∩平面BFDE=BD，又EF⊥平面PBD，PO，BD⊂平面PBD，∴PO⊥EF，BD⊥EF，∵PD⊥平面PEF，以O为原点，OF为x轴，OD为y轴，过O作平面BFDE的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设在正方形ABCD的边长为2，则DO=，=，PE=PF=1，PD=2，PO==，∴P（0，，），D（0，，0），E（﹣，0，0），F（，0，0），=（﹣，﹣，0），=（0，﹣，），=（，﹣，0），设平面PDE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，则=（﹣3，1，2），平面DEF的法向量=（0，0，1），设二面角P﹣DE﹣F的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角P﹣DE﹣F的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，求出最小值，然后求点P的坐标；（Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2．通过当y1=﹣2时，求出直线AP的方程为x=1；当y1≠﹣2时，求出直线AP的方程，然后求出Q的坐标，求出B点的坐标，解出直线AB的斜率，推出AB的方程，判断直线AB恒过定点推出结果．【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x0，y0），则，所以，点P到直线l的距离．当且仅当y0=2时等号成立，此时P点坐标为（1，2）．…（Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2．当y1=﹣2时，A点坐标为（1，﹣2），直线AP的方程为x=1；当y1≠﹣2时，直线AP的方程为，化简得4x﹣（y1+2）y+2y1=0；综上，直线AP的方程为4x﹣（y1+2）y+2y1=0．与直线l的方程y=x+2联立，可得点Q的纵坐标为．因为，BQ∥x轴，所以B点的纵坐标为．因此，B点的坐标为．当，即时，直线AB的斜率．所以直线AB的方程为，整理得．当x=2，y=2时，上式对任意y1恒成立，此时，直线AB恒过定点（2，2），当时，直线AB的方程为x=2，仍过定点（2，2），故符合题意的直线AB恒过定点（2，2）．…【点评】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般，分类与整合等数学思想．22．设a，b∈R，函数，g（x）=e x（e为自然对数的底数），且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）内恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出两个函数的导数，利用函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．列出方程即可求解b．（Ⅱ）求出导函数f'（x）=，通过﹣1≤a≤1时，当a2＞1时，分别判断导函数的符号，推出函数的单调区间．（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=e x﹣x2﹣2ax﹣1，可得h（0）0．求出h'（x）=e x﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=e x﹣2x﹣2a，求出导数u'（x）=e x﹣2．当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，求出．考虑的情况，的情况，分别通过函数的单调性以及函数的最值，推出a的范围即可．【解答】（Ⅰ）f'（x）=x2+2ax+b，g'（x）=e x，由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1．…（Ⅱ）f'（x）=x2+2ax+1=（x+a）2+1﹣a2，当a2≤1时，即﹣1≤a≤1时，f'（x）≥0，从而函数f（x）在定义域内单调递增，当a2＞1时，，此时若，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增；若，f'（x）＜0，则函数f（x）单调递减；若时，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增．…（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=e x﹣x2﹣2ax﹣1，则h（0）=e0﹣1=0．h'（x）=e x﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=e x﹣2x﹣2a，则u'（x）=e x﹣2．当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，令u（0）=h'（0）=1﹣2a=0，得．先考虑的情况，此时，h'（0）=u（0）≥0；又当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）单调递减，所以h'（x）＞0；故当x∈（﹣∞，0）时，h（x）单调递增；又因为h（0）=0，故当x＜0时，h（x）＜0，从而函数g（x）﹣f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减；又因为g（0）﹣f（0）=0，所以g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）恒成立．接下来考虑的情况，此时，h'（0）＜0，令x=﹣a，则h'（﹣a）=e﹣a＞0．由零点存在定理，存在x0∈（﹣a，0）使得h'（x0）=0，当x∈（x0，0）时，由h'（x）单调递减可知h'（x）＜0，所以h（x）单调递减，又因为h（0）=0，故当x∈（x0，0）时h（x）＞0．从而函数g（x）﹣f（x）在区间（x0，0）单调递增；又因为g（0）﹣f（0）=0，所以当x∈（x0，0），g（x）＜f（x）．综上所述，若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）恒成立，则a的取值范围是．…【点评】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想．。
广东省惠州市2019届高三第五次模拟考试数学理试题
广东省惠州市2019届高三第五次模拟考试理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）已知集合{}2|2A x x x =+-<0，集合{}|B x x =>0，则集合AB =（ ）A ．{}|1x x <B ．{}|2x x >-C ．{}|0x x <<1D ．{}|2x x -<<1 （2）若复数z 满足1i z i ⋅=--，则在复平面内，z 所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（3）若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．6C ．7D ．8 （4）两个正数a 、b 的等差中项是，且a b ＜，的离心率e 等于（ ）ABCD（5）已知函数()y f x =与x y e =互为反函数，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，若()1g a =，则实数a 的值为（ ） A ．e - BC ．e D（6）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。
广东省2019届普通高校招生全国统一考试模拟试卷及答案解析(一)(理数)
广东省2019届普通高校招生全国统一考试模拟试卷（一）数 学（理科）本试卷共4页，23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 已知集合},2|{},21|{A x y y B x x A x∈==<-=，则A ∩B ＝A ．（﹣∞，8）B ．（﹣∞，3）C ．（0，8）D ．（0，3）2． 复数z ＝51i i-－i （i 为虚数单位）的虚部为A ．－12B ．12 C ．－12i D ．12i 3． 双曲线9x 2﹣16y 2＝1的焦点坐标为A ．⎪⎭⎫⎝⎛±0,125 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛±125,0 C ．（±5，0） D ．（0，±5）4． 记n S 为等差数列的前项和，若38,34482==+S a a ，则=1a A ．4 B ．5C ．6D ．75． 已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为A ．B ．C ．D ．6． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π7． 执行如图的程序框图，依次输入x 1＝17，x 2＝19，x 3＝20，x 4＝21，x 5＝23，则输出的S 值及其统计意义分别是 A ．S ＝4，即5个数据的方差为4 B ．S ＝4，即5个数据的标准差为4 C ．S ＝20，即5个数据的方差为20 D ．S ＝20，即5个数据的标准差为208． 已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足031216=--，则A ．312+=B ．312-=C ．AC AB OA 312+-=D ．AC AB OA 312--=9． 在数列{a n }的前n 项和为n S ，且a 1＝2，a n +a n +1＝2n （n ∈N ＊），则S 13＝A ．34213-B ．32213+C ．34214-D ．32214+10．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即满足618.0215≈-==AC BC AB AC ． 后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点在 △ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在△ABC 内任取 一点M ，则点M 落在△APQ 内的概率为 A ．B ．25-C ．D ．11．已知函数)0(216sin )(>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f ，点P ，Q ，R 是直线y ＝m （m ＞0）与函数f （x ）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ |＝|QR |＝32π，则=+m ωA ．52B ．23C ．3D 53+12．已知函数x e kx x f x 341)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，若)0(<x f 的解集中恰两个正整数，则k 的取值范围为A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛--813,121323e eB ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--813,121323e e C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛--413,8132e e D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--413,8132e e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．的展开式中， 的系数为__________．14．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+,1,012,01123x y x y x 则z ＝2x +y 的最大值为 ．15．已知三棱锥ABC P -中，AC AB AP ,,两两垂直，且2===AC AB AP ，若点D ，E 分别在棱PB ，PC 上运动（都不含端点），则AD ＋DE ＋EA 的最小值为_____．51251452216．已知F 为抛物线)0(2:2>=p py x C 的焦点，曲线1C 是以F 为圆心，4p为半径的圆，直线03632=+-p y x 与曲线C ，1C 从左至右依次相交于S R Q P ,,,，则=PQRS___． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17．（12分）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知a b A c A c +=+sin 3cos .（1）求C ；（2）若D 在边BC 上，且310,1411cos ,3===∆ABC S B DC BD ， 求.18．（12分）已知五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为矩形，52,4222=====AC AB AD DE CD ，且二面角C AB F --的大小为. （1）证明：⊥AB 平面ADE ；（2）求二面角F BC E --的余弦值. 19．（12分）已知点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,22),2,1(都在椭圆1:2222=+b x a y C )0(>>b a 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点)1,0(M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点Q P ,（异于顶点），记椭圆C 与y 轴的两个交点分别为21,A A ，若直线P A 1与Q A 2交于点S ，证明：点S 恒在直线4=y 上.20．（12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1若以上表得到的男、女学员第次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X 元，求X 的分布列与数学期望. 21．（12分）已知函数)()()(R a e a x x f x∈-=.（1）讨论)(x f 的单调性；（2）当2=a 时，x x x f x F ln )()(+-=，记函数)(x F y =在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41上的最大值为，证明：34-<<-m .(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2θθy x （θ为参数）已知点Q （4，0），点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；（2）已知直线kx y l =:与曲线C 2交于A ，B 两点，若3=，求k 的值．23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)已知函数)0(12)(>-++=a x a x x f ． （1）求)(x f 的最小值；（2）若不等式05)(<-x f 的解集为（m ，n ），且n ﹣m ＝43，求a 的值．。
2019年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)-解析版
2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B={x|2x＞1}，则（）A. B. C. D.2.已知a为实数，若复数（a+i）（1-2i）为纯虚数，则a=（）A. B. C. D. 23.已知双曲线：的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，则C的离心率为（）A. B. C. D. 34.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A. B. C. D.5.若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则=（）A. B. 2 C. D. 36.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，S2m-1=11，则m=（）A. 11B. 10C. 6D. 57.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h=f（t）的图象大致是（）A.B.C.D.8.（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A. 5B. 10C. 15D. 209.已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在，上单调递减，则ω的最大值是（）A. B. C. D. 210.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.11.已知以F为焦点的抛物线C：y2=4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A. 2B.C.D. 412.已知函数，＞，，的图象上存在关于直线x=1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3=6，S6=54，则a1=______．14.若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a=______．15.已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0-2y0=2，则m的取值范围是______．16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC=60°，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，点H在线段OB1上，OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M-C1O1H的体积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B=（3a-b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b-a=2，求△ABC的面积．18.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD=，且二面角A-BD-C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19.某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．20.已知椭圆：＞＞的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2=1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B两点．求△ABF 的面积的最大值．21.已知函数f（x）=e2x-ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：＜．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．23.已知函数f（x）=|x+a|-|2x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，集合B={x|2x＞1}={x|x＞0}，A、A∩B={x|0＜x＜2}，故本选项错误；B、A B={x|x＞0}，故本选项错误；C、A B，故本选项错误；D、A B，故本选项正确；故选：D．首先化简集合，再求交集，并集即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】A【解析】解：（a+i）（1-2i）=a+2+（1-2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1-2a≠0，得a=-2且a≠，即a=-2，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心（2，-4），双曲线的一条渐近线为：y=bx，双曲线的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，可得2b=4，所以b=2，a=1，则c=，则C的离心率为：．故选：C．求出圆心坐标，代入渐近线方程没去成b，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：由几何概型中的面积型可得：=，所以=，即π=，故选：C．由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：=，所以=，即π=，得解本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题5.【答案】D【解析】解：由题意，可根据平行四边形法则画出如下图形：由图可知：=，∴===1•2•+1•2•1=3．故选：D．本题可根据平行四边形法则画出图形找到M点的位置，然后根据两个向量的数量积的性质进行计算．本题主要考查两个向量的数量积的计算，属基础题．6.【答案】C【解析】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，则：，解得：a m=1．S2m-1===11，解得：m=6故选：C．直接利用等差数列的性质的应用和等差数列的前n项和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的性质的应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】B【解析】解：函数h=f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则（2-1）（1+a）5=32，∴a=1，该展开式中x4的系数是2••a-1••a4=10a-5a4=5，故选：A．令x=1，可得展开式的各项系数和，再根据展开式的各项系数和为32，求得a的值，再利用通项公式可得该展开式中x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ=．所以：f（x）=cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k=0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．直接利用函数的奇偶性和单调性，建立不等式组，进一步求出最大值．本题考查的知识要点：函数的奇偶性和单调性的应用，不等式组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2=7π．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=λ|BF|，∴x1+1=λ（x2+1），∴x1=λx2+λ-1∵|y1|=λ|y2|，∴x1=λ2x2，当λ=1时，弦AB的中点到C的准线的距离2．当λ≠1时，x1=λ，x2=，|AB|=（x1+1）+（x2+1）=．∵，∴（λ++2）max=．则弦AB的中点到C的准线的距离d=，d最大值是．∵，∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是．故选：B．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义得到中点到准线的距离，属于中档题．．12.【答案】A【解析】解：当x＞1时，f（x）==x+，设f（x）在（1，+∞）上的图象关于x=1的对称图象为g（x），则g（x）=f（2-x）=2-x+（x＜1），由题意可知f（x）与g（x）在（-∞，1）上有公共点．∵g′（x）=-1+＜0，∴g（x）在（-∞，1）上单调递减，又f（x）=ln（x+a）在（-∞，1）上单调递增，∴g（1）＜f（1），即2＜ln（1+a），解得a＞e2-1．故选：A．求出f（x）关于直线x=1对称的函数g（x），则g（x）与f（x）在（-∞，1）上有公共解，根据两函数的单调性列出不等式即可得出a的范围．本题考查了函数零点与单调性的关系，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵S3==6，S6==54，∴=1+q3=9，解得q3=8，则q=2，∴=6，解得a1=故答案为：先利用等比数列的求和公式分别表示出S3及S6，代入已知的等式，两者相除并利用平方差公式化简后，得到关于q的方程，求出方程的解得到q的值即可求出首项此题考查了等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14.【答案】2【解析】解：函数的导数为：f′（x）=a+，f′（1）=a+3，而f（1）=a-3，切线方程为：y-a+3=（a+3）（x-1），因为切线方程经过（2，4），所以4-a+3=（a+3）（2-1），解得a=2．故答案为：2．求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．15.【答案】（ ，]【解析】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（-m，-2），直线x-2y=2的斜率为，斜截式方程为y=x-1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则点C（-m，-2）必在直线x-2y=2的下方，即-2≤-m-1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（-m，1-2m），可得1-2m≥-1，解得m，故m的取值范围是：（-∞，]．故答案为：（-∞，]．作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则平面区域内必存在一个C点在直线x-2y=2的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16.【答案】【解析】解：因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC=60°，边长为1，∴O1C1⊥平面BB1D1D，且O1C1=，O1B1=，∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1=，∵OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，∴当M在B处时△O1MH的面积取得最小值．连接O1B，则O1B=OB1==，∴B1到O1B的距离d===，∵OH=3HB1，∴H到直线O1B的距离为d=．∴S ===，∴V =S•O1C1==．故答案为：．当M与B重合时△O1HM的面积最小，故三棱锥M-C1O1H的体积最小，求出△O1BH的面积，代入棱锥的体积公式计算即可．考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos B=（3a-b）cos C，∴由正弦定理可知，sin C cos B=3sin A cos C-sin B cos C，…1分即sin C cos B+cos C sin B=3sin A cos C，∴sin（C+B）=3sin A cos C，…2分∵A+B+C=π，∴sin A=3sin A cos C，…3分∵sin A≠0，∴cos C=，…4分∵0＜C＜π，∴sin C==；…6分（2）∵，cos C=，∴由余弦定理：c2=a2+b2-2ab cos C，可得：24=a2+b2-ab，…8分∴（a-b）2+ab=24，…9分∵b-a=2，∴解得：ab=15，…10分∴S△ABC=ab sin C==5…12分【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cosC的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值；（2）利用余弦定理及已知可求ab的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．此题考查正弦、余弦定理的综合应用，涉及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．18.【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，∴Rt△ABD=Rt△BCD，∴AD=CD，∵点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，∵PD∩PB=P，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．解：（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，∵Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由已知二面角A-BD-C为120°，∴∠AEC=120°，在等腰△AEC中，由余弦定理得AC=，∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∴AB=，在Rt△ABD中，，∴BD=，∵BD=，∴AD=，∵BD2=AB2+AD2，∴AB=2，∴AE=，，由上述可知BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，在Rt△AEO中，∠AEO=60°，∴AO=，AE=1，sin，∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．【解析】（1）推导出AD=CD，PD⊥AC，PB⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面ACD⊥平面BDP．（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，则AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由二面角A-BD-C为120°，得∠AEC=120°，由余弦定理得AC=，推导出BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO 是直线AD与平面BCD所成角，由此能求出直线AD与平面BCD所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】角：（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），则P（η=2）=，∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，P（X=400）=0.4×0.4=0.16，P（X=450）=2×0.4a=0.8a，P（X=500）=2×0.4b+a2=0.8b+a2，P（X=550）=2ab，P（X=600）=b2，（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得a+b=0.6，∴b=0.6-a，∵P（X≤500）≥0.8，∴0.16+0.48+a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤-0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6-a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4，0.6），E（X）=400×0.16+450×0.8a+500（0.8b+a2）+1100ab+600b2=520-100a，当a=0.4时，E（X）的最大值为480，∴X的数学期望E（X）的最大值为480．【解析】（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），由此能求出购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得b=0.6-a，由P（X≤500）≥0.8，得a≥0.4，由b＞0，得a＜0.6，由此能求出X的数学期望E（X）的最大值．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）由椭圆：＞＞可知焦点在x轴上，∵圆O：x2+y2=1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0），与y轴的两个交点的坐标分别为（0，1），（0，-1），根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，故椭圆方程为+y2=1（2）设过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，则=1，即m2=t2+1设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，则△=（2tm）2-4（t2+2）（m2-2）=8＞0，∴y1+y2=-，y1y2=，∴|y1-y2|===，∴△ABF的面积S=|PF|•|y1-y2|=，令f（m）=，m≥1∴f′（m）=，当m≥1时，f′（m）≤0，∴f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴f（m）≤f（1）=，故△ABF的面积的最大值为【解析】（1）根据根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，即可求出椭圆方程，（2）过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，可得m2=t2+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，根据韦达定理和三角形面积即可表示出S=，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出面积的最大值本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、韦达定理、三角形面积计算公式、导数和函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）函数的导数f′（x）=2e2x-2ax，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0恒成立，即2e2x-2ax≥0，得a≤在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，当0＜x＜时，h′（x）＜0，此时函数为减函数，由x＞时，h′（x）＞0，此时函数为增函数，即当x=时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，h（）=2e，则a≤2e，即实数a的取值范围是（-∞，2e]．（2）由（1）知，当a≤2e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不存在极大值，当a＞2e时，＜ln，ln a＞ln，又f′（0）=2＞0，f′（）=2e-a＜0，f′（ln a）=2e2ln a-2a lna=2a（a-ln a）＞0，（易证明a-ln a＞0），故存在x1∈（0，），使得f′（x1）==0，存在x2∈（，ln a），使得f′（x2）=0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，即当x=x1时，f（x）取得极大值，即M=，由0＜x1＜时，得1-x1＞0，x1≠1-x1，由2-2ax1=0，得=ax1，故M==ax1-ax12=ax1（1-x1）＜a•（）2=，即＜成立．【解析】（1）求函数的导数，利用函数的单调性转化为f′（x）≥0恒成立进行求解．（2）求函数的导数，结合函数极大值的定义，讨论a范围，进行证明即可．本题主要考查导数的应用，结合函数单调性，极值和导数的关系转化为导数问题是解决本题的关键．考查学生的运算和推导能力，综合性较强，难度较大．22.【答案】解：（1）曲线C1的普通方程为y=1-x2（-1≤x≤1），把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρ（cosθ-a sinθ）=，得直线C2的直角坐标方程为y-ax=，即ax-y+=0，（2）由直线C2：ax-y+=0，知C2恒过点M（0，），由y=1-x2（-1≤x≤1），当时，得x =±1，所以曲线C1过点P（-1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1==，直线MQ的斜率k2==-，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即-，所以a的取值范围为[-，]．【解析】（1）利用平方关系消去参数t可得C1的普通方程，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x+1|-|2x-1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x-1|，可得（x+1+2x-1）（x+1-2x+1）＞0，即3x（x-2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）=|x+a|-|2x-1|=|x+a|-|x-|-|x-|≤|x+a-x+|-0=|a+|，可得f（x）的最大值为|a+|=a+，（a＞0），则a+＜1，解得0＜a＜．【解析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。
广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析
绝密★启用前广东省2019年高考理科数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5B．a n＝3n﹣10C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年广东省高考数学模拟试卷(理科)(5月份)
2019年广东省高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选挥题：本题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={x|x2−x−2>0}，B={x|log2x≤2}，则A∩B=()A.(−∞, −1)∪(0, +∞)B.(2, 4]C.(0, 2)D.(−1, 4]【答案】B【考点】交集及其运算【解析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2−x−2>0}={x|x<−1或x>2}，B={x|log2x≤2}={x|0<x≤4}，∴A∩B={x|2<x≤4}=(2, 4]．故选B.2. 复数z1＝3+2i（i为虚数单位）是方程z2−6z+b＝0(b∈R)的根，则b＝（）A.√13B.13C.√5D.5【答案】B【考点】复数的运算【解析】利用实系数一元二次方程虚根成对及根与系数的关系求解．【解答】∵z1＝3+2i是方程z2−6z+b＝0(b∈R)的根，由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，z2＝3−2i为方程另一根，则b＝(3+2i)(3−2i)＝13．3. 曲线f(x)＝e4x−x−2在点（0, f(0)）处的切线方程是（）A.3x+y+1＝0B.3x+y−1＝0C.3x−y+1＝0D.3x−y−1＝0【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】欲求在x＝0处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x＝0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．【解答】∵f(x)＝e4x−x−2，f(0)＝−1，∴f′(x)＝4e4x−1，∴ 曲线f(x)＝e 4x −x 在点P(0, −1)处的切线的斜率为：k ＝3，∴ 曲线f(x)＝e 4x −x 在点P(0, −1)处的切线的方程为：y ＝3x +1，4. 已知实数x ，y 满足约束条件{x ≥1,x +y ≤3,y ≥x −3,则z =−2x +y 的最小值为( )A.−6B.−4C.−3D.−1 【答案】 A【考点】求线性目标函数的最值 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z ＝−2x +y 的最小值． 【解答】解：由z =−2x +y ，得y =2x +z ，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y =2x +z ，由平移可知当直线经过点A 时，直线y =2x +z 的截距最小，此时z 取得最小值，由{x +y =3,x −y =3,解得A(3, 0)． 将A 的坐标代入z =−2x +y ，得z =−6， 即目标函数z =−2x +y 的最小值为−6． 故选A .5. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A.932 B.516 C.38 D.716【答案】 C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可．【解答】设“东方模板”的面积是4，则阴影部分的三角形面积是1，阴影部分平行四边形的面积是12，则满足条件的概率p=1+1 24=38，6. 在直角坐标系xOy中，抛物线C:y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若∠NFR＝60∘，则NR＝（）A.2B.√3C.2√3D.3【答案】A【考点】抛物线的性质【解析】根据题意画出图形，根据题意可得△PQF为等边三角形，求出其边长，进而在Rt△FMR分析可得答案．【解答】根据题意，如图所示：连接MF，QF，抛物线的方程为y2＝4x，其焦点为(1, 0)，准线x＝−1，则FH＝2，PF＝PQ，又由M，N分别为PQ，PF的中点，则MN // QF，又PQ＝PF，∠NRF＝60∘，且∠NRF＝∠QFH＝∠FQP＝60∘，则△PQF为边长为4等边三角形，MF＝2√3，在Rt△FMR中，FR＝2，MF＝2√3，则MR＝4，则NR=12MR＝2，故选：A．7. 直线y＝2x绕原点顺时针旋转45o得到直线l，若l的倾斜角为α，则cos2α的值为（）A.8+√1010B.8−√1010C.−45D.45【答案】 D【考点】 二倍角的三角函数 【解析】由题意可得 tan(α+45∘)=tanα+11−tanα=2，求得tanα 的值，再根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得cos2α的值． 【解答】由题意可知 tan(α+45∘)=tanα+11−tanα=2，∴ tanα=13， ∴ cos2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=45，8. 函数y =sinx ⋅e x +1e x −1的部分图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】 B【考点】函数的图象变化 函数的图象 【解析】根据题意，分析函数f(x)的奇偶性以及在(0, π)上f(x)的符号，据此分析选项即可得答案． 【解答】根据题意，对于f(x)＝sinx ⋅e x +1e x −1，有f(−x)＝sin(−x)⋅e −x +1e −x −1=sinx ⋅e x +1e x −1=f(x)， 即函数f(x)为偶函数，据此可以排除A 、C ，又由在(0, π)上，sinx>0，e x+1e−10，有f(x)>0，则函数f(x)>0，据此排除D；9. 平面四边形ABCD中，AD＝AB=√2，CD＝CB=√5，且AD⊥AB，现将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，则在△A′BD折起至转到平面BCD内的过程中，直线A′C与平面BCD所成的最大角的正切值为（）A.1B.12C.√33D.√3【答案】C【考点】直线与平面所成的角【解析】连结AC，BD，交于点O，由题设条件推导出OA＝1，OC＝2．将△ABD沿着对角线BD 翻折成△A′BD，当A′C与以O为圆心，OA′为半径的圆相切时，直线A′C与平面BCD所成角最大，由此能求出结果．【解答】如图，平面四边形ABCD中，连结AC，BD，交于点O，∵AD＝AB=√2，CD＝CB=√5，且AD⊥AB，∴BD=√2+2=2，AC⊥BD，∴BO＝OD＝1，∴OA=√(√2)2−1=1，OC=√(√5)2−1=2．将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，当A′C与以O为圆心，OA′为半径的圆相切时，直线A′C与平面BCD所成角最大，此时，Rt△OA′C中，OA′＝OA＝1，OC＝2，∴∠OCA′＝30∘，∴直线A′C与平面BCD所成的最大角为30∘，其正切值为tan30∘=√33．10. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)−1(ω>0, |φ|<π)的一个零点是x=π3，x=−π6是y=f(x)的图象的一条对称轴，则ω取最小值时，f(x)的单调增区间是（）A.[−53π+3kπ,−16π+3kπ],k∈ZB. [−73π+3kπ,−16π+3kπ],k∈ZC.[−23π+2kπ,−16π+2kπ],k∈ZD.[−13π+2kπ,−16π+2kπ],k∈Z【答案】B【考点】正弦函数的单调性函数解析式的求解及常用方法 【解析】根据函数f(x)的一个零点是x =π3，得出f(π3)=0，再根据直线x =−π6是函数f(x)图象的一条对称轴，得出−π6ω+φ=π2+kπ，k ∈Z ； 由此求出ω的最小值与对应φ的值，写出f(x)，从而求出它的单调增区间． 【解答】解：函数f(x)=2sin(ωx +φ)−1的一个零点是x =π3， ∴ f(π3)=2sin(π3ω+φ)−1=0， ∴ sin(π3ω+φ)=12，∴ π3ω+φ=π6+2kπ或π3ω+φ=5π6+2kπ，k ∈Z ；又直线x =−π6是函数f(x)图象的一条对称轴， ∴ −π6ω+φ=π2+kπ，k ∈Z ； 又ω>0，|φ|<π， ∴ ω的最小值是23，φ=11π18，∴ f(x)=2sin(23x +11π18)−1；令−π2+2kπ≤23x +11π18≤π2+2kπ，k ∈Z ，∴ −5π3+3kπ≤x ≤−π6+3kπ，k ∈Z ；∴ f(x)的单调增区间是[−5π3+3kπ, −π6+3kπ]，k ∈Z ．故选B ．11. 某罐头加工厂库存芒果m(kg)，今年又购进n(kg)新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头・被加工为头的新芒果最多为）f 1(kg)，最少为f 2(kg)，则下列坐标图最能准确描述f 1、f 2分别与n 的关系的是（ ） A.B.C.D.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据题意分类讨论f 1，f 2分别与n 的关系，再对照图象选择即可得答案． 【解答】要使得被加工为罐头的新芒果最少，尽量使用库存罐头，即当m+n 3≤m,n ≤2m 时f 2＝0，当n >2m 时，f 2=m+n 3−m =n−2m 3，对照图象舍去C ，D ．要使得被加工为罐头的新芒果最多，则尽量使用新芒果，即当m+n 3≤n,n ≥m2时f 1=m+n 3，当m+n 3>n,n <m2时f 1＝n ；∵ m2<2m ，12. 若向量a →，b →，c →满足a →≠b →，c →≠0，且(c →−a →)⋅(c →−b →)＝0，则|a →+b →|+|a →−b||c →|的最小值是（ ） A.√3B.2√2C.2D.32【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】不妨设c →=(x, y)，c →−a →=(m, 0)，c →−b →=(0, n)，a →=(x −m, y)，b →=(x, y −n)，设N(2x, 2y)，P(2x −m, 2y −n)．M 为ON 的中点．代入化简利用不等式的性质即可得出． 【解答】不妨设c→=(x, y)，c→−a→=(m, 0)，c→−b→=(0, n)，∴a→=(x−m, y)，b→=(x, y−n)，设N(2x, 2y)，P(2x−m, 2y−n)．M为ON的中点．∴|a→+b→|+|a→−b||c→|=√(2x−m)2+(2y−n)2+√m2+n222≥2√x2+y222=2．当且仅当三点O，P，N取等号．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．共20分(1+1x)(1−2x)5的展开式中x2的系数为________．【答案】−40【考点】二项式定理及相关概念【解析】把(1−2x)5按照二项式定理展开，可得(1+1x)(1−2x)5的展开式中x2的系数．【解答】∵(1+1x )(1−2x)5＝(1+1x)⋅(1−10x+40x2−80x3+80x4−32x5)，故展开式中x2的系数为40−80＝−40，已知定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1og2x−3x，则f(−1)＝________．【答案】3【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据x>0时，f(x)＝1og2x−3x即可求出f(1)＝−3，再根据f(x)是奇函数即可求出f(−1)＝3．【解答】∵f(x)是R上的奇函数，且x>0时，f(x)＝log2x−3x，∴f(−1)＝−f(1)＝−(log21−3)＝3．故答案为：3．已知点A，B，C，D在球O的表面上，且AB＝AC＝2，BC＝2√2，若三棱锥A−BCD 的体积为4√23，球心O恰好在棱AD上，则这个球的表面积为________．【答案】16π【考点】球的体积和表面积【解析】首先明确O为AD的中点，且BC的中点M为直角三角形CAB的外心，在利用OM⊥平面CAB，结合三棱锥体积求得OM，进而得到球半径，得解．【解答】如图，由题意可知球心O为AD的中点，由AB＝AC＝2，BC=2√2可得△CAB为直角三角形，BC的中点M即为其外接圆圆心，∴OM⊥平面CAB，且D到平面CAB的距离为2OM，∴V A−BCD=V D−ABC=13S△CAB×20M=13×2×20M=4√23，∴OM=√2，在直角三角形OMB中，r＝OB=√2OM＝2，∴S=4πr2=16π，如图，在矩形OABC与扇形OCD拼接而成的平面图形中，OA＝3，AB＝5，∠COD=π6，点E在CD^上，F在AB上，∠EOF=π3，设∠AOF＝x，则当平面区域OECBF（阴影部份）的面积取到最大值时，cosx＝________35．【答案】35【考点】扇形面积公式【解析】当平面区域OECBF（阴影部份）的面积取到最大值时，空白区域的面积和最小；先列出空白区域面积，再求导得cosx=35时，平面区域OECBF（阴影部份）的面积取到最大值．【解答】因为∠EOF=π3，所以∠DOE=π3−x，x∈[π6, π3]依题意得当平面区域OECBF（阴影部份）的面积取到最大值时，空白区域的面积和最小，∵S△OAF+S扇DOE =12OA⋅AF+12OD2⋅∠DOE=12×3×3tanx+12×52⋅(π3−x)=9tanx−25x2+25π6设y＝9tanx−25x，x∈[π6, π3 ]∴ y′＝9⋅(sinxcosx)′−25=9cos 2x −25=9−25cos 2x cos 2x∴ 当cos 2x =925，即cosx =35时，平面区域OECBF （阴影部份）的面积取到最大值． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步里．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分已如各项均为正数的数列{a n }的前项和为S n ，且a 1＝1，a n =√S n +√S n−1，(n ∈N ∗，且n ≥2)（1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：当n ≥2时，1a 1+12a 2+13a 3+⋯+1na n<32．【答案】由a n =√S n +√S n−1，得S n −S n−1=√S n +√S n−1，即√n −√S n−1=1(n ≥2)， 所以数列{S n }是以√S 1=√a 1=1为首项，以1为公差的等差数列， 所以√S n =1+(n −1)×1=n ，即S n =n 2， 当n ≥2时，a n ＝S n −S n−1＝2n −1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，也满足上式，所以a n ＝2n −1；证明：当n ≥2时，1na n=1n(2n−1)<1n(2n−2)=121n(n−1)=12(1n−1−1n )，所以1a 1+12a 2+13a 3+⋯+1na n<1+12(1−12+12−13+⋯+1n−1−1n )=32−12n <32．【考点】数列与不等式的综合 【解析】（1）由a n =√S n +√S n−1，说明数列{S n }是以1为首项，以1为公差的等差数列，然后求解S n =n 2，推出a n ＝2n −1；（2）当n ≥2时，化简1na n，结合放缩法，转化求解数列的和，推出结果．【解答】由a n =√S n +√S n−1，得S n −S n−1=√S n +√S n−1，即√S n −√S n−1=1(n ≥2)， 所以数列{S n }是以√S 1=√a 1=1为首项，以1为公差的等差数列， 所以√S n =1+(n −1)×1=n ，即S n =n 2， 当n ≥2时，a n ＝S n −S n−1＝2n −1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，也满足上式，所以a n ＝2n −1；证明：当n ≥2时，1na n=1n(2n−1)<1n(2n−2)=121n(n−1)=12(1n−1−1n )，所以1a 1+12a 2+13a 3+⋯+1na n<1+12(1−12+12−13+⋯+1n−1−1n )=32−12n <32．如图，四棱锥F −ABCD 中，底面ABCD 为边长是2的正方形，E ，G 分别是CD 、AF 的中点，AF ＝4，∠FAE ＝∠BAE ，且二面角F −AE −B 的大小为90∘．（1）求证：AE ⊥BG ；（2）求二面角B −AF −E 的余弦值． 【答案】证明：连接BE ，由已知可得，AE ＝BE =√5， 在△ABE 中，由余弦定理可得，cos∠BAE =√5)22√5)22×√5×2=√55． ∵ ∠FAE ＝∠BAE ，∴ cos∠FAE =√55，在△FAE 中，有EF 2＝AF 2+AE 2−2AE ⋅AF ⋅cos∠FAE ＝13． ∴ EF =√13．∵ 二面角F −AE −B 的大小为90∘，∴ 以E 为坐标原点，以过E 垂直CD 的直线为x 轴， 以EC 所在直线为y 轴，以过E 且垂直于底面的直线为z 轴建立空间直角坐标系． 则A(2, −1, 0)，E(0, 0, 0)，B(2, 1, 0)， F(25, −15, 8√55)，G(65, −35, 4√55)， 则EA →=(2,−1,0)，BG →=(−45,−85,4√55)， ∴ EA →⋅BG →=−85+85=0，则AE ⊥BG ；由（1）得EA →=(2,−1,0)，EF →=(25,−15,8√55)，AB →=(0,2,0)，AF →=(−85,45,8√55)．设平面EAF 的一个法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)，平面BAF 的一个法向量为n →=(x 2,y 2,z 2)， 由{m →⋅EA →=2x 1−y 1=0m →⋅EF →=25x 1−15y 1+8√55z 1=0，取x 1＝1，得m →=(1, 2, 0)； 由{n →⋅AB →=2y 0=0n →⋅AF →=−85x 2+45y 2+8√55z 2=0 ，取z 2=√5，得n →=(5,0,√5)． ∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√5×√30=√66． ∵ 二面角B −AF −E 为锐角，则其余弦值为√66．【考点】二面角的平面角及求法 【解析】（1）连接BE ，由已知可得，AE ＝BE =√5，在△ABE 中，由余弦定理可得cos∠BAE ，结合∠FAE ＝∠BAE ，得cos∠FAE ，再由余弦定理求得EF ，根据二面角F −AE −B 的大小为90∘，以E 为坐标原点，以过E 垂直CD 的直线为x 轴，以EC 所在直线为y 轴，以过E 且垂直于底面的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，利用EA →⋅BG →=0可得AE ⊥BG ；（2）由（1）求得所用向量的坐标，然后分别求出平面EAF 与平面BAF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角B −AF −E 的余弦值． 【解答】证明：连接BE ，由已知可得，AE ＝BE =√5， 在△ABE 中，由余弦定理可得，cos∠BAE =√5)22√5)22×√5×2=√55． ∵ ∠FAE ＝∠BAE ，∴ cos∠FAE =√55，在△FAE 中，有EF 2＝AF 2+AE 2−2AE ⋅AF ⋅cos∠FAE ＝13． ∴ EF =√13．∵ 二面角F −AE −B 的大小为90∘，∴ 以E 为坐标原点，以过E 垂直CD 的直线为x 轴， 以EC 所在直线为y 轴，以过E 且垂直于底面的直线为z 轴建立空间直角坐标系． 则A(2, −1, 0)，E(0, 0, 0)，B(2, 1, 0)， F(25, −15, 8√55)，G(65, −35, 4√55)， 则EA →=(2,−1,0)，BG →=(−45,−85,4√55)， ∴ EA →⋅BG →=−85+85=0，则AE ⊥BG ；由（1）得EA →=(2,−1,0)，EF →=(25,−15,8√55)，AB →=(0,2,0)，AF →=(−85,45,8√55)．设平面EAF 的一个法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)，平面BAF 的一个法向量为n →=(x 2,y 2,z 2)， 由{m →⋅EA →=2x 1−y 1=0m →⋅EF →=25x 1−15y 1+8√55z 1=0 ，取x 1＝1，得m →=(1, 2, 0)； 由{n →⋅AB →=2y 0=0n →⋅AF →=−85x 2+45y 2+8√55z 2=0，取z 2=√5，得n →=(5,0,√5)．∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√5×√30=√66． ∵ 二面角B −AF −E 为锐角，则其余弦值为√66．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．目前，国家教育主管部门正在研制的《新时代全面加强和改进学校体育美育工作意见》，以及将出台的加强劳动教育指导意见和劳动教育指导大纲，无疑将对体美劳教育提出刚性要求．为激发学生加强体育活动，保证学生健康成长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两人进行比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止．设甲在每同中获胜的概率为P(P >12)，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结東时比赛停止的概率为=59，（1）求p 的值；（2）设X 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ． 【答案】依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．所以有p 2+(1−p)2=59．解得p =23或p =13（舍）．依题意知，依题意知，X 的所有可能值为2，4，6，8．设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响． 从而有P(X =2)=59，P(X =4)=(1−59)×59=2081，P(X =6)=(1−59)×(1−59)×59=80729，P(X =8)=(1−59)×(1−59)×(1−59)×1=64729． 所以随机变量X 的分布列为：则EX =2×59+4×2081+6×80729+8×64729=2522729．【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．然后求出p =23．（2）X 的所有可能值为2，4，6，8．求出概率得到分布列，然后求解期望即可． 【解答】依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．所以有p 2+(1−p)2=59．解得p =23或p =13（舍）． 依题意知，依题意知，X 的所有可能值为2，4，6，8．设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响． 从而有P(X =2)=59，P(X =4)=(1−59)×59=2081，P(X =6)=(1−59)×(1−59)×59=80729，P(X =8)=(1−59)×(1−59)×(1−59)×1=64729． 所以随机变量X 的分布列为：则EX =2×59+4×2081+6×80729+8×64729=2522729．已知函数f(x)＝lnx +1−x ax(a ∈R 且a ≠0)，g(x)＝(b −1)x −xe x −1x (b ∈R)(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a ＝1时，若关于x 的不等式f(x)+g(x)≤−2恒成立，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）∵ f(x)=lnx +1ax −1a ，当a <0时，∴ f ′(x)>0，∴ f(x)在|AB|＝2单调递增； 当a >0时，由f ′(x)>0得：x >1a ；由f ′(x)<0得：0<x <1a ，∴ f(x)在(0,1a )单调递减， 在(1a ,+∞)单调递增综上：当a <0时，f(x)在(0, +∞)单调递增；当a >0时，f(x)在(0,1a )单调递减，在(1a ,+∞)单调递增． （2）由题意：当a <0时，不等式f(x)+g(x)≤−2， 即lnx +1x −1+(b −1)x −xe x −1x ≤−2．即b −1≤e x −lnx x−1x 在(0, +∞)恒成立，令ℎ(x)=e x −lnx x−1x，则ℎ(x)=e x −1−lnx x 2+1x 2=x 2e x +lnxx 2，令u(x)＝x 2e x +lnx ，则u ′(x)=(x 2+2x)e x +1x >0， ∴ u(x)在(0, +∞)单调递增又u(1)=e >0,u(12)=√e4−ln2<0，所以，u(x)有唯一零点x 0(12<x 0<1)所以，u(x 0)＝0，即x 0e x 0=−lnx 0x 0−−−−−−−−()当x ∈(0, x 0)时，u(x)<0即ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；x ∈(x 0, +∞)时，u(x)>0即ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x 0)为ℎ(x)在定义域内的最小值．分）令k(x)=xe x (12<x <1)则方程()等价于k(x)＝k(−lnx) 又易知k(x)单调递增，所以x ＝−lnx ，e x =1x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 所以，ℎ(x)的最小值ℎ(x 0)=e x 0−lnx 0x 0−1x 0=1x 0−−x 0x 0−1x 0=1所以b −1≤1，即b ≤2，所以实数b 的取值范围是(−∞, 2]． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】(Ⅰ)通过当a <0时，当a >0时，判断导函数的符号，得到函数的单调区间即可， (Ⅱ)通过当a <0时，不等式f(x)+g(x)≤−2，即b −1≤e x −lnx x−1x在(0, +∞)恒成立，令ℎ(x)=e x −lnx x−1x，求出导函数令u(x)＝x 2e x +lnx ，则u ′(x)=(x 2+2x)e x +1x >0，利用导函数的符号，求解函数的最值，转化证明求解即可． 【解答】（1）∵ f(x)=lnx +1ax −1a ，当a <0时，∴ f ′(x)>0，∴ f(x)在|AB|＝2单调递增； 当a >0时，由f ′(x)>0得：x >1a ；由f ′(x)<0得：0<x <1a ，∴ f(x)在(0,1a )单调递减， 在(1a ,+∞)单调递增综上：当a <0时，f(x)在(0, +∞)单调递增；当a >0时，f(x)在(0,1a )单调递减，在(1a ,+∞)单调递增．（2）由题意：当a <0时，不等式f(x)+g(x)≤−2， 即lnx +1x −1+(b −1)x −xe x −1x ≤−2． 即b −1≤e x −lnx x−1x 在(0, +∞)恒成立，令ℎ(x)=e x −lnx x−1x ，则ℎ(x)=e x −1−lnx x 2+1x 2=x 2e x +lnxx 2，令u(x)＝x 2e x +lnx ，则u ′(x)=(x 2+2x)e x +1x >0， ∴ u(x)在(0, +∞)单调递增又u(1)=e >0,u(12)=√e4−ln2<0，所以，u(x)有唯一零点x 0(12<x 0<1)所以，u(x 0)＝0，即x 0e x 0=−lnx 0x 0−−−−−−−−()当x ∈(0, x 0)时，u(x)<0即ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；x ∈(x 0, +∞)时，u(x)>0即ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x 0)为ℎ(x)在定义域内的最小值．分）令k(x)=xe x (12<x <1)则方程()等价于k(x)＝k(−lnx) 又易知k(x)单调递增，所以x ＝−lnx ，e x =1x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 所以，ℎ(x)的最小值ℎ(x 0)=e x 0−lnx 0x 0−1x 0=1x 0−−x 0x 0−1x 0=1所以b −1≤1，即b ≤2，所以实数b 的取值范围是(−∞, 2]．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的短轴长为2√3，且离心率为12，圆D:x 2+y 2＝a 2+b 2．（1）求椭圆C 的方程，（2）点P 在圆D 上，F 为椭圆右焦点，线段PF 与椭圆C 相交于Q ，若PF →=λQF →，求λ的取值范围． 【答案】由题意可知{2b =2√3e =c a=12a 2=b 2+c 2，解得a ＝2，b =√3， 故椭圆的方程为x 24+y 23=1．圆D:x 2+y 2＝7，点F 的坐标为(1, 0)，设P(x 1, y 1)，Q(x 0, y 0)，由PF →=λQF →，可得(1−x 1, −y 1)＝λ(1−x 0, −y 0)，λ>0， ∴ {x 1=λx 0+(1−λ)y 1=−λy 0，由x 12+y 12＝7，可得(λx 0+1−λ)2+(λy 0)2＝7， 又y 02＝3−34x 02，代入消去y 0，整理成关于x 0的等式为14λ2x 02+2λ(1−λ)x 0+4λ2−2λ−6＝0，此方程在[−2, 2]上必须有解， 令f(x)=14λ2x 2+2λ(1−λ)x +4λ2−2λ−6，则f(−2)＝9λ2−6λ−6，f(2)＝λ2+2λ−6，△＝λ2(10−6λ)， 若f(−2)＝0，解得λ=1−√73（舍去）或λ=1+√73，若f(2)＝0，解得λ＝−1−√7（舍去），λ＝−1+√7，若f(0)＝0在(−2, −2)上有且只有一个实根，则由f(−2)f(2)<0，解得1+√73<√7−1，若f(0)＝0在(−2, −2)上有两个实根，（包含两相等实根），则{f(−2)>0f(2)>0△≥0−2<−4λ(1−λ)λ2<2 ，解得√7−1≤λ≤53， 综上所述λ的取值范围为[√7+13, 53]．【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）由题意可知{2b =2√3e =c a =12a 2=b 2+c 2，解得a ＝2，b =√3，即可求出椭圆方程，（2）设P(x 1, y 1)，Q(x 0, y 0)，由PF →=λQF →，可得(1−x 1, −y 1)＝λ(1−x 0, −y 0)，λ>0，根据方程根的关系即可求出λ的取值范围．【解答】由题意可知{2b =2√3e =c a=12a 2=b 2+c 2，解得a ＝2，b =√3， 故椭圆的方程为x 24+y 23=1．圆D:x 2+y 2＝7，点F 的坐标为(1, 0)，设P(x 1, y 1)，Q(x 0, y 0)，由PF →=λQF →，可得(1−x 1, −y 1)＝λ(1−x 0, −y 0)，λ>0， ∴ {x 1=λx 0+(1−λ)y 1=−λy 0，由x 12+y 12＝7，可得(λx 0+1−λ)2+(λy 0)2＝7， 又y 02＝3−34x 02，代入消去y 0，整理成关于x 0的等式为14λ2x 02+2λ(1−λ)x 0+4λ2−2λ−6＝0，此方程在[−2, 2]上必须有解， 令f(x)=14λ2x 2+2λ(1−λ)x +4λ2−2λ−6，则f(−2)＝9λ2−6λ−6，f(2)＝λ2+2λ−6，△＝λ2(10−6λ)， 若f(−2)＝0，解得λ=1−√73（舍去）或λ=1+√73，若f(2)＝0，解得λ＝−1−√7（舍去），λ＝−1+√7，若f(0)＝0在(−2, −2)上有且只有一个实根，则由f(−2)f(2)<0，解得1+√73<√7−1，若f(0)＝0在(−2, −2)上有两个实根，（包含两相等实根），则{f(−2)>0f(2)>0△≥0−2<−4λ(1−λ)λ<2 ，解得√7−1≤λ≤53， 综上所述λ的取值范围为[√7+13, 53]．选考题共10分，请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分[选修4-4：极坐标与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =1+sinα （α为参数）．P 是曲线C 1上的动点，将线段OP 绕O 点顺时针旋转90∘得到线段OQ ，设点Q 的轨迹为曲线C 2．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若射线θ=π3(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点（除极点外），且有定点M(4, 0)，求△MAB 面积． 【答案】（1）由题设曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =1+sinα （α为参数）． 转换为直角坐标方程为：x 2+(y −1)2＝1， 即x 2+y 2−2y ＝0，将线段OP 绕O 点顺时针旋转90∘得到线段OQ ，设点Q 的轨迹为曲线C 2． 故C 1的极坐标方程为ρ2−2ρsinθ＝0，即ρ＝2sinθ． 设点Q(ρ, θ)(ρ≠0)，则由已知得M(ρ,θ+π2)， 代入C 1的极坐标方程得ρ=2sin(θ+π2)， 即C 2的极坐标方程为ρ＝2cosθ(ρ≠0)．（2）将θ=π3代入C 1，C 2的极坐标方程得A(√3,π3),B(1,π3)， 又因为M(4, 0)，所以S △TOA =12|OA|⋅|OM|sin π3=3 S △TOB =12|OB|⋅|OM|sin π3=√3，所以S △MAB =S △MOA −S △MOB =3−√3． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)直接利用参数方程和直角坐标方程为的转换求出结果．(Ⅱ)利用直线和曲线的位置关系式的应用，利用向量的数量积的运算，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果． 【解答】（1）由题设曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =1+sinα （α为参数）． 转换为直角坐标方程为：x 2+(y −1)2＝1， 即x 2+y 2−2y ＝0，将线段OP 绕O 点顺时针旋转90∘得到线段OQ ，设点Q 的轨迹为曲线C 2． 故C 1的极坐标方程为ρ2−2ρsinθ＝0，即ρ＝2sinθ． 设点Q(ρ, θ)(ρ≠0)，则由已知得M(ρ,θ+π2)， 代入C 1的极坐标方程得ρ=2sin(θ+π2)， 即C 2的极坐标方程为ρ＝2cosθ(ρ≠0)．（2）将θ=π3代入C 1，C 2的极坐标方程得A(√3,π3),B(1,π3)， 又因为M(4, 0)，所以S △TOA =12|OA|⋅|OM|sin π3=3 S △TOB =12|OB|⋅|OM|sin π3=√3，所以S △MAB =S △MOA −S △MOB =3−√3． [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）已知函数f(x)＝|x −m|−|2x +3m|(m >0)． （1）当m ＝1时，求不等式f(x)≥1的解集；（2）对于任意实数x ，t ，不等式f(x)<|2+t|+|t −1|恒成立，求m 的取值范围． 【答案】f(x)＝|x −m|−|2x +3m|={−x −4m,x ≥m−3x −2m,−32m <x <m x +4m,x ≤−32m ， 当m ＝1时，由f(x)≥1可得{x ≥1−x −4≥1 或{−32<x <1−3x −2≥1 或{x ≤−32x +4≥1 ， 即为x ∈⌀或−32<x ≤−1或−3≤x ≤−32，∴ 不等式f(x)≥1的解集为{x|−3≤x ≤−1}；不等式f(x)<|2+t|+|t −1|对任意的实数t ，x 恒成立， 等价于对任意的实数f(x)<[|2+t|+|t −1|]min 恒成立， 即[f(x)]max <[|2+t|+|t −1|]min ，∵ f(x)＝|x −m|−|2x +3m|＝|x −m|−|x +32m|−|x +32m| ≤|−32m −m|−|−32m +32m|−|−32m +32m|=52m ， 当且仅当x =−32m 上式取得等号，|2+t|+|t −1|≥|(2+t)−(t −1)|＝3，当(2+t)(t −1)≤0即−2≤t ≤1时，取得等号，∴ 52m <3又m >0，所以0<m <65．【考点】绝对值不等式的解法与证明 不等式恒成立的问题 【解析】（1）将m ＝1的值带入，得到关于x 的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）问题等价于对任意的实数x ，f(x)<[|2+t|+|t −1|]min 恒成立，根据绝对值的性质求出f(x)的最大值以及[|2+t|+|t −1|]min ，求出m 的范围即可． 【解答】f(x)＝|x −m|−|2x +3m|={−x −4m,x ≥m−3x −2m,−32m <x <m x +4m,x ≤−32m ， 当m ＝1时，由f(x)≥1可得{x ≥1−x −4≥1 或{−32<x <1−3x −2≥1 或{x ≤−32x +4≥1 ， 即为x ∈⌀或−32<x ≤−1或−3≤x ≤−32，∴ 不等式f(x)≥1的解集为{x|−3≤x ≤−1}；不等式f(x)<|2+t|+|t −1|对任意的实数t ，x 恒成立， 等价于对任意的实数f(x)<[|2+t|+|t −1|]min 恒成立， 即[f(x)]max <[|2+t|+|t −1|]min ，∵ f(x)＝|x −m|−|2x +3m|＝|x −m|−|x +32m|−|x +32m| ≤|−32m −m|−|−32m +32m|−|−32m +32m|=52m ， 当且仅当x =−32m 上式取得等号，|2+t|+|t −1|≥|(2+t)−(t −1)|＝3，当(2+t)(t −1)≤0即−2≤t ≤1时，取得等号，∴ 52m <3又m >0，所以0<m <65．。