必修四2.4.平面向量的数量积
平面向量的数量积教案 A 第 1 课时教学目标一、知识与技能 1．掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 二、过程与方法本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义， 理解定义之后便可引导学 生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识．三、情感、态度与价值观 通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养 学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力． 教学重点、难点教学重点：教学难点： 教学关键： 教学方法本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义， 理解定义之后便可引导学 生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识． 学习方法通过类比物理中功的定义，来推导数量积的运算． 教学准备教师准备 : 多媒体、尺规 . 学生准备 : 练习本、尺规 .教学过程一、创设情境，导入新课 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力 么力F 所做的功W 可由下式计算： W =| F II s | cos 0,其中0是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量） 故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念． 二、主题探究，合作交流 提出问题平面向量数量积的定义． 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 平面向量数量积的定义的理解． F 的作用下产生位移 s ，那①a •b 的运算结果是向量还是数量它的名称是什么② 由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的 乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律师生活动：已知两个非零向量 a 与b ,我们把数量I a ll b |cos e 叫做a 与b 的数量积 (或内积)，记作a • b ,即卩a •b =| a ll b |cos e( 0<e<n).其中e 是a 与b 的夹角，I a |cos e( | b |cos e)叫做向量 a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生注意：(1) 两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向 量夹角的余弦的乘积；(2)零向量与任一向量的数量积为 0,即a - 0=0;(3) 符号“•”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“X”代替； (4)当 owe< —时 cos e >0,从而 a • b >0；当一<ewn 时，cos e <0,从而2 2a •b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a 、b 、c 和实数入，则向量的数量积满足下列运算律 ：①a •b =b • a (交换律);② (入 a )・ b =^( a • b )®( a +b )・ c =a - c +b - c 特别是：(1)当a z 0时， 垂直的非零向量 b ,都有a • b =0.注意：已知实数 a 、b 、c (b z0),则ab =bc a =c .但对向量的数量积，该推理不 正确，即a •b =b •c 不能推出a =c .由上图很容易看出，虽然 a • b =b • c ,但a z c .对于实数 a 、b 、c 有 ( a • b ) c =a (b • c )；但对于向量 a 、b 、c , (a • b ) c =a (b • c ) 不成立.这是因为(a • b ) c 表示一个与c 共线的向量，而 a (b • c )表示一个与a 共 线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a • b ) c =a (b • c )不成立.提出问题① 如何理解向量的投影与数量积它们与向量之间有什么关系 ② 能用“投影”来解释数量积的几何意义吗师生活动：教师引导学生来总结投影的概念，可以结合“探究”，让学生用平面向 量的数量积的定义， 提出注意点“投影”定义：| b |cos A 投影也是一个数量，不是向量；=a •(入b )(数乘结合律)；(分配律).由a • b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与 a从数与形两个角度进行探索研究. 教师给出图形并作结论性的总结,的概念，如下图.e 叫做向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考B当e为锐角时投影为正值；当e为钝角时投影为负值；当e为直角时投影为0 ；当e =0°时投影为| b | ；当e =180°时投影为-| b |.教师结合学生对“投影”的理解，让学生总结出向量的数量积的几何意义： 数量积a • b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影| b |cos e 的乘积.让学生思考：这个投影值可正、可负，也可为零，所以我们说向量的数量积的结果 是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质：设 A B C特别地 a • a =| a |2 或 | a |= J a ?a . a ? bD. cos e= ------- .|a||b|E | a • b | a || b | .上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证，教师给予必要的补充和提示， 在推导过程中理解并记忆这些性质.讨论结果： ① 略.② 向量的数量积的几何意义为数量积 a • b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影| b |cos e 的乘积.三、拓展创新，应用提高例1已知|a |=5 , | b |=4 , a 与b 的夹角为120。
，求a • b 活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解. 解：a • b =| a || b |cos e=5X 4 X cos 120 ° =5X 4 X(-)2=-10 .点评：确定两个向量的夹角，利用数量积的定义求解.2 2 2 2 2 我们知道，对任意 a , b € R,恒有(a +b ) =a +2ab +b , ( a +b ) (a - b ) =a -b .对 a 、b ,是否也有下面类似的结论(a +b ) 2=a 2+2a • b +b 2；(a +b )・( a -b ) =a 2- b 2. 解：(1) (a +b ) = ( a +b )・( a +b ) =a • b +a • b +b • a +b • b =a 2+2a - b +b 2；(2) (a +b )・( a -b ) =a • a -a • b +b - a -b - b=a 2- b 2.例 3 已知 | a |=6 , | b |=4 , a 与 b 的夹角为 60°,求(a +2b )・(a -3 b ).a 、b 为两个非零向量，e 为两向量的夹角，e 是与b 同向的单位向量. e • a =a •e=| a |cos e . a 丄 b a • b =0.当a 与b 同向时，a • b =| a || b | ；当a 与b 反向时，a • b =-| a || b | . 例2任意向量 (1)(2)解：（a +2b ）・（ a -3b ） =a • a - a • b -6 b • b2 2=| a | -a • b -6| b |2 2=| a | -| a ll b |cos 0 -6| b |2 2=6-6X 4X cos60° -6X4 =-72 .例4已知l a |=3 , l b |=4，且a 与b 不共线，当k 为何值时，向量a +kb 与a - kb 互相 垂直 解：a +kb 与a - kb 互相垂直的条件是（a +kb ）・（ a- kb ） =0, 即 a 2- k 2b 2=0.2 2 2 2•/ a =3 =9, b =4 =16,9••• 9-16 k =0.••• k=± -.43也就是说，当k =± -时，a +kb 与a -kb 互相垂直.4点评：本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件. 四、小结1. 先由学生回顾本节学习的数学知识，数量积的定义、几何意义，数量积的重要 性质，数量积的运算律.2. 教师与学生总结本节学习的数学方法，归纳类比、定义法、数形结合等.在领 悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性地思考问题，并鼓励学生进行一题多 解.课堂作业1. 已知a , b , c 是非零向量，则下列四个命题中正确的个数为（ ①|a • b |=| a ll b | ③a 丄b | a +b |=| a -b |A. 1 B . 2 2•有下列四个命题：ABC 为直角三角形的充要条件是 AB • BC =0；④厶ABC 为斜三角形的充要条件是 AB • BC 丰0. 其中为真命题的是（）a //b ②a 与b 反向l aDa •b =-| a ll b |-c |=| b • c | ④ |a |=|b |①在△ ABC 中，若AB • BC >0,则^ ABC 是锐角三角形; ②在△ ABC 中，若 AB •BC >0,则^ ABC 为钝角三角形;A.①B.②C. 3D.④3.设l a l=8 ,e为单位向量，a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为（）第2课时教学目标一、 知识与技能1 .掌握平面向量数量积运算规律 . 2.能利用数量积的性质及数量积运算规律解决有关问题.3. 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简 单问题. 二、 过程与方法教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示.通过例题 分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个 因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标 表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的， 都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.三、 情感、态度与价值观通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高 学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质. 教学重点、难点A.B. 4C. 42.8+逅24. ① ③设a 、b 、c 是任意的非零平面向量, (a • b ) c - (c • a ) b =0 ；(b • c ) a - (c • a ) b 不与 c 垂且它们相互不共线，有下列四个命题：②| a |-| b |<| a -b | ;④(3a +2b )・(3a -2 b ) =9|a | 2-4| b |2. 其中正确的是( A. ①② ) .②③.③④D .②④5. 在^ ABC 中, AB =b , AC =c ,则 J (|b|c|)2 (b ?c)2 等于()10 B . — S AABCC2设i , j 是平面直角坐标系中a = (m+1)如果(a +b )±( a -b )，则实数 m=_7 .若向量 a 、b 、c 满足 a +b +c =0，且 | a |=3 , | b |=1 , | c |=4，贝U a • b +b • c +c • a= ________ .参考答案：A. 6..S\ ABCD. 2S L ABCx 轴、y 轴方向上的单位向量，且i-3j ，b =i +(m-1)j ，教学重点：平面向量数量积的坐标表示. 教学难点：向量数量积的坐标表示的应用. 教学关键：平面向量数量积的坐标表示的理解.教学突破方法：教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标 表示•并通过练习，使学生掌握数量积的应用. 教法与学法导航教学方法：启发诱导，讲练结合.学习方法：主动探究，练习巩固. 教学准备教师准备：多媒体、尺规. 学生准备：练习本、尺规. 教学过程一、 创设情境，导入新课前面我们学习了平面向量的坐标表示和坐标运算，以及平面向量的数量积，那么， 能否用坐标表示平面向量的数量积呢若能， 如何表示呢由此又能产生什么结论呢本节课我们就来研究这个问题.二、 主题探究，合作交流提出问题：① 已知两个非零向量 a = (x i , y i ), b = (X 2, y 2),怎样用a 与b 的坐标表示a • b 呢 ② 怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件③ 你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式 师生活动：教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示. 生到黑板上板书推导过程，教师给予必要的提示和补充•推导过程如下：■/ a =x i i +y i j , b =X 2 i +y 2j , a • b = (x i i +y i j ) •( X 2 i +y 2j ).2 . ・ . ・ ・2=x i X 2 i +x i y 2 i • j +X 2y i i • j +y i y 2j .又i =1 , j • j =1, i • j=j • i =0, a • b =x i X 2+y i y 2. 教师给出结论性的总结，由此可归纳如下： A. 平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和， 即 a = (x i , y i ), b = (X 2, y 2), 贝U a • b =x i X 2+y i y 2. B. 向量模的坐标表示若 a =（X ，y ），则 I a |2=x 2+y 2，或 |a |= J x2y 2 .(板书课题)提示学生在向教师可以组织学如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(X i , y i )、(X 2, y 2)，那么|a |=V 52(7)2 J 74, |b |=/6)2( 4)2屁,a = (X 2-X 1 , y 2-y 1), | a |= ((x ? 为)2 ly ¥1 )2.C. 两向量垂直的坐标表示设 a = (X 1 , y 1), b = (X 2 , y 2),贝Ua 丄b X 1X 2+y 1y 2=0.D. 两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量，a = (X 1 , y 1), b = (X 2 , y 2) , 0是a 与b 的夹角，根据向量 数量积的定义及坐标表示，可得三、拓展创新， 例1已知A(1 , 2), B (2, 3), C(-2 , 5),试判断△ ABC 勺形状，并给出证明. 活动：教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断 平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长是否相等，角是否为直角.可先作 出草图，进行直观判定，再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或 者模相等，则此平面图形与平行四边形有关 ；若三角形的两条边所在的向量模相等或者 由两边所在向量的数量积为零，则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以 让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解：在平面直角坐标系中标出 A( 1, 2), B(2, 3), C(-2 , 5)三点，我们发现^ ABC 是直角三角形.下面给出证明.••• AB= (2-1 , 3-2 ) = (1, 1),AC =(-2-1, 5-2 ) = (-3 , 3),••• AB • AC =1X( -3 ) +1X 3=0. ••• AB 丄 AC .:,△ ABC 是直角二角形.点评：本题考查的是向量数量积的应用，禾U 用向量垂直的条件和模长公式来判断三 角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时，首先要作出草图，得到直观判定， 然后对你的结论给出充分的证明.例2设a =(5, -7),b = (-6 , -4 )，求a • b 及a 、b 间的夹角0(精确到1°).解：a • b =5X( -6 ) + (-7 )X( -4 ) =-30+28=-2 .cos 0 =_agb|a||b|X X y y 1 y2应用提咼2由计算器得 cos 0 =--- — ~ -0 . 03.J 74 J 52利用计算器得 1 . 6rad=92°.四、小结1. 在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向 量的夹角，向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公 式、两向量垂直的坐标表示.2. 在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方 法，定义法，待定系数法等.课堂作业 5. 求u 的模的最小值.6. 已知a , b 都是非零向量，且 a +3b 与7a -5b 垂直，a -4b 与7a -2b 垂直，求a 与 b 的夹角.7. 已知△ ABC 的三个顶点为 A (1, 1) , B(3, 1), C (4 , 5),求^ ABC 的面积. 参考答案：1.a =A. 4(2 , -3), b = (x , 2x ),且 a • b =—,则 x 等于3C.1D. -32.a = (1 , 2),A. 3.A. 4. m>—2若a = a 丄b 与a = (cos a ,33b = (1, m),若a 与b 的夹角为钝角，B. m<12sin a ), C.b = (cos 3 ,C. (a +b ) B. a / b (u , V )垂直的单位向量是( 1m> —2 sin3 ),则( 丄(a -b ) D .)m 的取值范围是(1D. m< — 2)(a +b )//( a -b )A.u^~22V u VB.寸u2C.=)2VD.或(V J u 2__V 2=)2V已知向量 a = (cos23°, cos67°) , b = (cos68°, cos22°) , u =a +tb (t € R),1.C 2 .D 3 . C 4 . D1 —1 Sx AB(=— | AB || AC|sin / BAG —2 教案B第一课时b225. |a|= Pcos 23 cos 67I2(cos 232sin 23 =1，同理有 I b |=1 .又 a • b =cos23°cos68° +cos67° cos22° =cos23° cos68° +sin23 ° sin68 =cos45°=••• |u|2= (a +t b )2=a 2+2t a • b +t 2b 2=t 2+J 2 t+1= (t+)2t=昱时,2|u| m in = ----26. 又 由已知(a +3b )丄(7a -5 b ) (a +3b ) • ( 7a -5 b ) =0(a -4 b ) ± (7a -2b )(a -4b ) • (7a -2b)=07a 2-30 a • b +8b 2=0.7a +16a • b -15b =0.①二22. ②2 2①-②得 46a • b =23b 2，即 a • b =— l^L.③ 2 2将③代入①，可得 7| a |2+8| b | 2-15| b |2=0,即 | a | 2=| b |2,有 | a |=| b | ,? |b|2•••若记 a 与 b 的夹角为 0,贝U cos 9= a ?b —2—|agb| |bgb|又 9€ [0 ° , 180° ] , .9 =60°,!卩 a 与 b 的夹角为1 -- ' -- -------------- '7.分析：S x ABC F — | AB || AC |sin / BAC 而 | AB | ,2可先求出cos / BAC.60°| AC |易求，要求sin / BAC解：••• AB = (2, 0), AC = (3, 4),| AB |=2 , | AC |=5 , uuur uuu•• cos / BAC LtAB^uCT|AB||AC|34-.• sin / BAC —. 5X 2X 5X - =4.5教学目标一、 知识与技能1. 了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2. 体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律， 并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算.二、 过程与方法体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力. 三、 情感、态度与价值观通过自主学习、主动参与、积极探究，学生能感受数学问题探究的乐趣和成功的喜 悦，增加学习数学的自信心和积极性，并养成良好的思维习惯. 教学重点平面向量数量积的定义，用平面向量的数量积表示向量的模、夹角. 教学难点平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用. 教 具多媒体、实物投影仪. 内容分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义； 平面向量数量积的 3个重要性质;平面向量数量积的运算律. 教学流程概念引入7概念获得7简单运用7运算律探究7理解掌握7反思提高 教学设想： 一、情境设置：问题1:回忆一下物理中“功”的计算，功的大小与哪些量有关结合向量的学习你有什么想法LT U力做的功：W = | F | | S |cos 理量所涉及的物理量，从“向量相乘”的角度进行分析）二、新课讲解1平面向量数量积（内积）的定义 ：已知两个非零向量 a 与b ,它们的夹角是 0，则数量I a ll b |cos 叫a 与b 的数量 积，记作ab ,即有a b = | a || b |cos , （0< n ）.并规定：0与任何向量的数 量积为0.问题2 :定义中涉及哪些量它们有怎样的关系运算结果还是向量吗（引导学生认清 向量数量积运算定义中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，运算结果是数量）注意：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别.LT U是F 与S 的夹角.（引导学生认识功这个物150°(1) 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos 的符号所决定.(2) 两个向量的数量积称为内积，写成 a b ；今后要学到两个向量的外积 a x b , 而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分•符号“• ”在向量运算中不是乘 号，既不能省略，也不能用“X”代替. (3) 在实数中，若a 0,且a b =0,则b =0；但是在数量积中，若a 0,且a b =0, 不能推出b =0.因为其中cos 有可能为0. (4) 已知实数a 、b 、c (b =b c 推导不出 a = c .如下图：a b = | a | | b | cos b c = | b || c | cos 0), 则ab=bc a=c .但是在向量的数量积中, b || OA , b || OA a b = b c ，但 a c. (5)在实数中，有( 显然，这是因为左端是与 不共线. (“投影”的概念)：c = a (b c ),但是在向量中， (a b ) c a c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a b ) 作图 2. 定义：| b | cos 叫做向量 投影也是一个数量，不是向量; 值；当 为直角时投影为0;当 3. 向量的数量积的几何意义 数量积a b 等于a 的长度与 b 在a 方向上的投影. 当 为锐角时投影为正值; =0时投影为| b | ;当 b 在a 方向上投影I b | cos 例1已知平面上三点 A 、 (b c ) a 与c 当 为钝角时投影为负 =180 时投影为 | b | . 的乘积. B 、C 满足 | AB |=2 , | BC |=1 , | CA |=，求 AB • BC + BC • CA + CA . AB 的值. 解：由已知,| BC 12+| CA 12=| AB I 2,所以△ ABC 是直角三角形.而且/ AC&90。
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2课件新人教A版必修4
|c+td|= (2������ + 4)2 + (������-3)2 = 5������2 + 10������ + 25,
.
分析可利用向量分解的方法,将������������, ������������用基底表示,然后利用运 算律计算求解,也可建立平面直角坐标系,利用坐标运算求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析(方法 1)������������ ·������������ =
������������
+
1 3
������������
解(1)因为a∥b,所以3x=4×9,即x=12. 因为a⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3.故b=(9,12),c=(4,-3).
(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1). 设m,n的夹角为θ,
则 cos θ=|������������|·|������������| =
()
答案(1) (2)× (3)× (4) (5)× (6)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
数量积的坐标运算 角度1 数量积的基础坐标运算 【例1】 已知向量a=(-1,2),b=(3,2). (1)求a·(a-b); (2)求(a+b)·(2a-b); (3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c). 分析根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算.
-3×7+(-4)×1 (-3)2+(-4)2 72+12
=
2-5252=-
22.
因为 θ∈[0,π],所以 θ=34π,即 m,n 的夹角为34π.
2014年人教A版必修四课件 2.4 平面向量的数量积
则 q =135.
问题1. 向量的数量积与向量的数乘有什么区别? 向量的数量积是向量还是数量? 向量的数乘是一个向量, 而向量的数量积是一个 数量, 是三个数量的乘积. 几何意义: | a | cosq 表示 a 在 b 方向上的投影 (如图), |OC | = | a |cosq . A a a 方向上的投影, | b | cosq 表示 b 在 D | OD | = | b | cosq . q 即 a b =|Байду номын сангаасa | | b | cosq B O C b =OC· OB =OD· OA.
即两向量的夹角为锐角时, 数量积为正, 夹角为钝角时, 数量积为负, 夹角为直角时, 数量积为零.
两非零向量垂直 数量积为零.
练习: (课本106页) 2. 已知△ABC中, AB =a, AC =b, 当 a· b<0 或 a· b=0 时, 试判断△ABC的形状. 解: a b =| a | | b | cos A, 当 a b 0 时, cosA < 0, 则角A为钝角, ∴△ABC为钝角三角形. 当 a b = 0 时, cosA = 0, 则角A为直角, ∴△ABC为直角三角形.
练习: (课本106页) 3. 已知 |a|=6, e 为单位向量, 当 a、e 之间的夹角 q 分别等于 45、90、135 时, 画图表示 a 在 e 方向 上的投影, 并求其值. 解: 各图中的投影用OA表示. | a |= 6 (1) 当q =45º 时, | a |= 6 2 45º OA = | a | cos 45= 6 O 2 A e =3 2 . (1) O e (A) (2) 当q =90º 时, (2) OA = | a | cos 90=0. | a |= 6
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(1)课件新人教A版必修4
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
平面向量数量积公式
平面向量数量积公式介绍平面向量是二维空间中具有大小和方向的量。
数量积（又称点积或内积）是平面向量运算的一种形式，用于确定两个向量的相关性以及它们之间的夹角。
数量积公式平面向量数量积公式表示为：A ·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，A和B是平面向量，|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度），θ则表示向量A和B之间的夹角。
公式解释平面向量数量积公式的等式左边A · B表示向量A和B之间的数量积。
数量积可以通过两个向量的模和它们之间的夹角来计算。
公式右边的|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度）。
向量的模可以通过求平方根来得到，即|A| = √(A1^2 + A2^2)和|B| = √(B1^2 + B2^2)，其中A1和A2分别为向量A在x轴和y轴上的分量，B1和B2类似地代表向量B在x轴和y轴上的分量。
公式右边的cos(θ)表示向量A和B之间的夹角的余弦值。
夹角的余弦可以通过向量的数量积和向量模之间的关系来计算，即cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|)。
综上所述，平面向量数量积公式说明了如何通过向量的模和夹角来计算两个向量之间的数量积。
数量积应用平面向量数量积在多个数学和物理应用中都有重要作用，例如：1.计算向量的模：通过平面向量数量积公式，可以计算向量的模。
向量的模用于衡量向量的长度和大小。
2.计算向量之间的夹角：通过平面向量数量积公式，可以计算两个向量之间的夹角。
夹角的大小和方向可以帮助我们理解向量之间的关系。
3.判断向量的正交性：如果两个向量的数量积为零，即A · B = 0，则称这两个向量为正交向量。
正交向量的特点是它们之间的夹角为90度。
4.判断向量的平行性：如果两个向量的夹角为0度或180度，即θ =0或θ = π，则称这两个向量为平行向量。
平行向量的特点是它们之间的数量积等于两个向量的模的乘积。
5.导出向量的投影：通过平面向量数量积公式，可以导出向量在另一个向量上的投影。
2.4《平面向量的数量积》教案(新人教必修4)
§2.4平面向量的数量积第7课时一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 教学过程： 一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x ，),(y x a .若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０(1 )时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a1111.10．力做的功：W = |F | |s |cos ，是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 ≤ ≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a b = b c a = c如右图：a b = |a ||b |cos= |b ||OA|，b c = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但ac(5)在实数中，有(a b )c = a (b c )，但是(a b )ca (bc )显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当C为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos2 aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba5|a b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２. 解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с）， ∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能. 四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12 3.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量a 、b 的夹角为3，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = . 6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______. 7.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角. 9.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +tb |最小时的t 值，并求此时b 与a +tb 的夹角. 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、教学后记：第8课时二、平面向量数量积的运算律教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b |cos叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图C定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0时投影为|b|；当= 180时投影为|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 e a = a e =|a |cos ；2 a b a b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b =|a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律 1．交换律：a b = b a证：设a ，b 夹角为，则a b = |a ||b |cos ，b a = |b ||a |cos∴a b = b a2．数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 证：若 > 0，( a ) b = |a ||b |cos ， (a b ) = |a ||b |cos，a ( b ) = |a ||b |cos ， 若 < 0，( a ) b =| a ||b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos， (a b )= |a ||b |cos ，a (b ) =|a || b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos.3．分配律：(a + b ) c = a c + b c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos = |a | cos 1 + |b | cos 2∴| c | |a + b | cos =|c | |a | cos1 + |c | |b | cos2，∴c (a + b ) = c a + c b 即：(a + b ) c= a c + b c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a 5b 垂直，a 4b 与7a2b 垂直，求a 与b 的夹角. 解：由(a + 3b )(7a 5b ) = 0 7a 2 + 16a b 15b 2 = 0 ①(a4b )(7a2b ) = 0 7a 230a b + 8b 2 = 0 ②两式相减：2a b = b 2 代入①或②得：a 2 = b 2设a 、b 的夹角为，则cos=21222 ||||||b b b a b a ∴ = 60例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB ，BC AD ，AC =AD AB ∴|AC|2=AD AB AD AB AD AB 2||222而BD =AD AB ， ∴|BD|2=AD AB AD AB AD AB 2||222∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB = 2222||||||||AD DC BC AB例3 四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２① 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系. 四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3D.不平行也不垂直 4.已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |= . 6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：C数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos； 2aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |5．平面向量数量积的运算律 交换律：a b = b a数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 分配律：(a + b ) c = a c + b c 二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a ，),(22y x b ，试用a 和b 的坐标表示b a .设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11 ，j y i x b 22 所以))((2211j y i x j y i x b a 2211221221j y y j i y x j i y x i x x 又1 i i ，1 j j ，0 i j j i ，所以b a 2121y y x x这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a 2121y y x x 2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a ，则222||y x a 或22||y x a.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a (平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a ，),(22y x b ，则b a 02121 y y x x 三、 两向量夹角的余弦（ 0）co s =||||b a ba 222221212121y x y x y y x x四、 讲解范例：五、 设a = (5， 7)，b = ( 6， 4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o ) 例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C ( 2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足x a = 9与x b = 4的向量x . 解：设x = (t ， s )， 由429349s t s t b x a x32s t ∴x = (2， 3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使 B = 90 ，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x 5， y 2) ∵OB AB ∴x (x 5) + y (y 2) = 0即：x 2 + y 2 5x 2y = 0 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x 5)2 + (y 2)2即：10x + 4y = 29由2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或∴B 点坐标)23,27( 或)27,23(；AB =)27,23( 或)23,27(例6 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.解：当A = 90 时，AB AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23当B = 90 时，AB BC = 0，BC =AC AB = (1 2， k 3) = ( 1， k 3) ∴2×( 1) +3×(k 3) = 0 ∴k =311 当C = 90 时，AC BC = 0，∴ 1 + k (k 3) = 0 ∴k =2133 六、 课堂练习：1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.83 2.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ） A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53( C.)54,53( 或)53,54(D.)54,53( 或)54,53(4.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .5.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 6.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =，b =，则a 与b 的夹角为 . 七、 小结（略） 八、 课后作业（略） 九、 板书设计（略） 十、 课后记：。
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(2)课件新人教A版必修4
(2) 若 点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
2020-2021学年人教版必修四数学课件2.4平面向量的数量积(二)
| b | cos 0
数量积a b等于 | a | 与投影 | b | cos的乘积。
练习
• P119 练习 3
小结：
• 1. a b | a || b | cos
• 2.
a bab 0
2
a
|
a
|2
可用来求向量的模
3.投影
作业
• A.小结 • B.P121 A3
a
|
a
|2
(1) | a | 2，
2
a
22 4
(2) | a | 10，
2
a
102 100
(3) | a | 8，
2
a a 82 64
2
(4)a
4，
|
a
|2
2
a
4
,| a |
42
2
(5)a
7，
|
a
|2
2
a
7
,| a |
7
求向量模的方法
数量积运算律
• 经验证，数量积满足如下运算率
(1)a b b a
(2)( a) b (a b) ( a) b
(3)(a b) c a c b c
常用公式
(1)(a
b)2
2
a
2a
b
2
b
2
2
(2)(a b) (a b) a b
例题Байду номын сангаас
已知 | a | 6,| b | 4,a与b的夹角为60，求
a
b，
2
a
,
2
b,
(a 2b) (a 3b),
时候为正，什么时候为负？
a b | a || b | cos
平面向量的数量积_图文_图文
我们知道，数量之间可以进行加、 减、乘、除运算，运算的结果依然 是数量。那么向量呢？
前面，我们对向量进行了加减的运算， 发现它们运算的结果还是向量。那么向 量之间能否进行乘除运算呢？如果能的 话，运算的结果还是向量吗？
一 .引入
物理实例如图，一个物体在力F 的作用下产生位移S，那么力F 所做的功W=____________
特别地,a ·a (或写成 a 2)=| a |2或| a |=√a ·a .
(4)| a ·b |≤| a || b |.
向量a与b共线
| a ·b |=| a || 算律 (1) a ·b = b ·a (交换律); (2) ( a ) ·b=( a ·b )= a ·( b ); (3) ( a + b ) ·c= a ·c + b ·c（分配律）;
2. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时 , △ ABC各是什么三角形.
钝角三角形
直角三角形
4、P108 Ex1
六、运算律
实数之间的乘法满足哪些运算律？你能类比得出向
量的数量积的运算律吗？
从力的做功来
(1) a ·b = b ·a (交换律);
看若力增大n倍
A 2
a
bB
1
O A1 c B1 C
例2 辨析题:
向量的数量积 不满足消去律
1.若a≠0,且a ·b=0,则b=0. （ X ）
2.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.（ X ）
3.(a ·b) ·c=a ·(b ·c（). X ）
┐
4.若a2=0,则a=0（ √ ） 5.若a2+b2= 0,则a=b= （ √ ） 6若 |a ·b|≥|a| ·|b|， 则a∥b.（ √ ）
高中数学 2.4.2 平面向量的数量积(第2课时)课件 新人教A版必修4
已 知 |a | 8 ,|b | 6 ,a 与 b 的 夹 角 为 1 3 5 ， 求 ab ， a 2,b 2 , (a 2 b )(a 3 b ), (a b )2 ,|a b |
解 : a b |a ||b |c o s 2 4 2
2
a
|
a|264
2
b
|
b|236
(a2b)(a3b)a2ab6b2 |a |2 |a ||b |c o s 6 |b |2 15224 2
1、数量积的定义： ab|a||b|cos
其中： a 0 , b 0
是 a和 b的夹 ,范角 围 0是
注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.
规定: 0 a 0
2.两个重要的结论：
a b ab0
2
a
aa|a|2
投影
b
Oθ
a
|b|cos0
b
O
a
|b|cos0
b θ a
O
|b|cos0
b 在 a 上 的 投 影 ： |b |c o s
求 (a2b)(a3b).
解：(a2b)(a3b). aaab6bb
|a|2ab6|b|2 |a|2|a||b|co s 6|b|2 6 2 6 4 c6 o 0 s6 4 2 72.
2
a
|
a
|2
可用来求向量的模
已 知 a6 ， b4 ， a与 b的夹角为 600 ， 求 : |ab|和 |ab|.
abb acos
数量积运算满足交换律：a b b a
二、平面向量的数量积的运算律：
经验证，数量积满足如下运算律
⑴交换律： abba
⑵对数乘的结合律： (a)b(ab)a(b)
数学人教A版必修4知识导航：2.4平面向量的数量积 含解析 精品
2.4 平面向量的数量积知识梳理1.平面向量数量积的含义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cosθ叫做a 与b 的数量积（linner produ c t ）（或内积），记作a ·b ，即规定a ·b =|a ||b |cosθ,其中θ是a 与b 的夹角，|a |cosθ(|b |cosθ)叫作向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影（projection ）.并且规定，零向量与任一向量的数量积为0.2.平面向量数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ，则有：(1)a ·b =b ·a ；(2)(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )；(3)(a +b )·c =a ·c +b ·c .3.平面向量数量积的坐标表示（1）设a =(x 1，y 1)，b =(x 2,y 2)，则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.（2）平面向量数量积公式的几个推论：①若a =(x ，y),则有|a |=22y x +;②设A 、B 两点的坐标分别是(x 1,y 1),(x 2,y 2)，则|AB|=212212)()(y y x x -+-.③若a =(x 1,y 1),b =(x 2，y 2),a 、b 的夹角为θ，则有 cosθ=222221212121y x y x y y x x +∙++.若θ=90°，则cosθ=0，公式变形为x 1x 2+y 1y 2=0，这是两向量垂直的等价说法，即a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.知识导学要学好本节内容，可通过探究活动利用向量的数量积定义推导有关结论，通过概念辨析题加深对平面向量数量积的认识，在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，以熟练地应用数量积的性质.处理向量的问题我们可以有两种思路:一是纯向量式,二是向量的坐标式,我们要灵活运用,二者互相补充,根据不同题目选择不同的方法.疑难突破1.向量的夹角.剖析：（1）如图2-4-1，已知两个向量a 、b ，作=a ，=b ,则∠AOB 叫做向量a 、b 的夹角.图2-4-1（2）两个向量a 、b 的夹角θ∈［0,π］.当θ=0时，a 、b 同向，当θ=π时，a 、b 反向.当θ=90°时，两向量a 与b 垂直，并记作a ⊥b .2.向量的数量积与实数的乘法有何区别?剖析： (1)如果两个数a ·b =0，则a 与b 中至少有一个为0.而a ·b =0可推导出以下四种可能： ①a =0，b =0；②a =0，b ≠0；③a ≠0，b =0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b .(2)对于数量有：实数a 、b 、c 且ab =ac ,a ≠0⇒b =c .但对于向量，这种推理就不正确，即a ·b =a ·c ，且a ≠0推不出b =c .例如：|a |=1，|b |=22,|c |=21,a 与b 的夹角为4π,a 与c 的夹角为0°， 显然a ·b =a ·c =21，但b ≠c . 3.怎样确定两个向量的数量积的符号?剖析：两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量夹角余弦值的乘积，由于|a |、|b |均为正数，故其符号由夹角来决定.当0°≤θ＜90°时，cosθ＞0，a ·b ＞0；当θ=90°时，a ·b =0；当90°＜θ≤180°时，cosθ＜0，a ·b ＜0.4.向量的运算律剖析：(1)a ·b =|a ||b |cosθ=|b ||a |cosθ=b ·a ;(2)(λa )·b =λ|a ||b |cosθ=λ(|a ||b |c osθ)=λ(a ·b ),又λ|a ||b |cosθ=|a |λ|b |cosθ=a ·(λb ),∴(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb ).(3)如图2-4-2，任取一点O ，作=a ，=b ，=c .因为a +b 在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影的和，即|a +b |cosθ=|a |cosθ1+|b |cosθ2，图2-4-2∴|c ||a +b |cosθ=|c ||a |cos θ1+|c ||b |cosθ2.∴c ·(a +b )=c ·a +c ·b .∴(a +b )·c =a ·c +b ·c .值得注意的是：（1）两个向量的数量积是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角的余弦的乘积，其符号由夹角决定.（2）两个向量a 、b 的数量积a ·b 与代数中a 、b 的乘积a ·b 不同，书写时要严格区分开.。