全称量词命题和存在量词命题的否定
2021-2022学年高一上数学必修一1．5.2全称量词命题和存在量词命题的否定学习目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点含量词的命题的否定p 綈p 结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题1．∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)2．“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”．(√)3．“∃x∈R，|x|＝x”是假命题．(×)一、全称量词命题的否定例1写出下列命题的否定．(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.解(1)存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)∃x∈R，x2－2x＋1<0.反思感悟全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题．跟踪训练1写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；(2)p：∀x∈N,2x>0.解(1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故綈p为假命题．(2)綈p：∃x∈N,2x≤0.綈p为假命题．二、存在量词命题的否定例2写出下列命题的否定．(1)有些四边形有外接圆；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x∈R，x2＋1<0.解(1)所有的四边形都没有外接圆；(2)所有平行四边形都不是菱形；(3)∀x∈R，x2＋1≥0.反思感悟对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．跟踪训练2写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，∴命题的否定是假命题．三、全称量词命题、存在量词命题的综合应用例3对于任意实数x，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．解令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5，因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．延伸探究本例条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．解令y＝－x2＋4x－1，因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.又因为∃x∈R，－x2＋4x－1>m有解，所以只要m小于函数的最大值即可，所以所求m的取值范围是{m|m<3}．反思感悟求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>y max(或a<y min)．(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>y min(或a<y max)．跟踪训练3若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则实数a的取值范围是() A．a≥1 B．a>1 C．a<1 D．a≤1答案 D解析命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则Δ≥0，即a≤1.故选D.1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0D．∃x∈R，|x|＋x2≥0答案 C解析条件∀x∈R的否定是∃x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<0”．2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是()A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1答案 C解析利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.3．关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是()A．綈p：∃x∈R，x2＋1≠0B．綈p：∀x∈R，x2＋1＝0C．p是真命题，綈p是假命题D．p是假命题，綈p是真命题答案 C解析命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，綈p是假命题．4．命题“同位角相等”的否定为________．答案有的同位角不相等解析全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位角不相等．5．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：________.答案所有的三角形都不是直角三角形解析命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定．1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．(2)命题真假的判断．2．方法归纳：转化思想．3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．1．若p：∀x∈R，|x|≤1，则()A．綈p：∃x∈R，|x|>1B．綈p：∀x∈R，|x|>1C．綈p：∃x∈R，|x|≥1D．綈p：∀x∈R，|x|≥1答案 A解析根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，∀x∈R，|x|≤1的否定为：∃x∈R，|x|>1，故选A.2．命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定()A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0B．∃x>0，使得x2－x＋3>0C．∀x>0，都有x2－x＋3>0D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0答案 B解析命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.4．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为()A．∀x∈N，x3≤x2B．∃x∈N，x3>x2C．∃x∈N，x3<x2D．∃x∈N，x3≤x2答案 D解析命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题；∴綈p：“∃x∈N，x3≤x2”．故选D.5．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是()A．命题綈p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题答案 C解析命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题，故选C.6．命题“∃x∈N，x2>1”的否定是________．答案∀x∈N，x2≤1解析由题意，根据存在量词命题与全称量词命题的关系可得，命题“∃x∈N，x2>1”的否定为“∀x∈N，x2≤1”．7．命题：∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是____________．答案∀x∈R，x2－x＋1≠0.解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是：∀x∈R，x2－x＋1≠0.8．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________．答案存在x∈R，使得x2－2x＋4>0解析原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以其否定为：存在x∈R，使得x2－2x＋4>0.9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)∀x ∈R ，x 2>0；(2)∃x ∈R ，x 2＝1；(3)∃x ∈R ，x 是方程x 2－3x ＋2＝0的根；(4)等腰梯形的对角线垂直．解 (1)命题的否定：∃x ∈R ，使x 2≤0，因为x ＝0时，02＝0，所以命题的否定为真．(2)命题的否定：∀x ∈R ，使x 2≠1，因为x ＝1时，x 2＝1，所以命题的否定为假．(3)命题的否定：∀x ∈R ，x 不是方程x 2－3x ＋2＝0的根，因为x ＝1时，12－3×1＋2＝0，即x ＝1为方程的根，所以命题的否定为假．(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．10．命题p 是“对某些实数x ，若x －a >0，则x －b ≤0”，其中a ，b 是常数．(1)写出命题p 的否定；(2)当a ，b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解 (1)命题p 的否定：对任意实数x ，若x －a >0，则x －b >0.(2)b ≤a .11．下列命题的否定是真命题的是( )A ．三角形角平分线上的点到两边的距离相等B ．所有平行四边形都不是菱形C ．任意两个等边三角形都是相似的D ．3是方程x 2－9＝0的一个根答案 B解析 A 的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到两边的距离不相等，假命题， B 的否定：有些平行四边形是菱形，真命题，C 的否定：有些等边三角形不相似，假命题，D 的否定： 3不是方程x 2－9＝0的一个根，假命题，故选B.12．已知命题“∃x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <0B ．0≤a ≤4C ．a ≥4D ．0<a <4答案 D解析 ∵命题“∃x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，∴命题“∀x ∈R ，使4x 2＋(a－2)x ＋14>0”是真命题，即判别式Δ＝(a －2)2－4×4×14<0，即Δ＝(a －2)2<4，则－2<a －2<2，即0<a <4，故选D.13．命题∀x ∈R ，x 2－x ＋3>0的否定是________，命题∃x ∈R ，x 2＋1<0的否定是________． 答案 ∃x ∈R ，x 2－x ＋3≤0 ∀x ∈R ，x 2＋1≥014．已知命题p ：任意x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是____________．答案 {a |a ≤0，或a ≥1}解析 若命题p 为真命题，则Δ＝4a 2－4a <0，∴0<a <1，所以当p 为假命题时，a 的取值范围是a ≤0或a ≥1.15．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥2x ＋1”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x ＋1B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋1C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x ＋1D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋1答案 D解析 由题意可知，全称量词命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥2x ＋1”的否定形式为存在量词命题“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋1”，故选D.16．已知命题“存在x ∈R ，ax 2－2ax －3>0”是假命题，求实数a 的取值范围．解 因为命题“存在x ∈R ，ax 2－2ax －3>0”的否定为“对于任意x ∈R ，ax 2－2ax －3≤0恒成立”，由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题．事实上，当a ＝0时，对任意的x ∈R ，不等式－3≤0恒成立；当a ≠0时，借助二次函数的图象(图略)，数形结合，易知不等式ax 2－2ax －3≤0恒成立的等价条件是a <0且其判别式Δ＝4a 2＋12a ≤0，即－3≤a <0；综上知，实数a 的取值范围是{a |－3≤a ≤0}．。
高考数学讲义：全称量词命题与存在量词命题的否定(解析版)
第11讲：全称量词命题与存在量词命题的否定【学习目标】1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础知识】知识点：含量词的命题的否定pp结论全称量词命题∀x ∈M ，p (x )∃x ∈M ， p (x )全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x ∈M ，p (x )∀x ∈M ， p (x )存在量词命题的否定是全称量词命题知识点：命题的否定与原命题真假性相反.【考点剖析】考点一：全称量词命题的否定例1．命题:p 对任意1x ， 10xx e ，则命题p 的否定是（）A．当1x 时， 10xx e B．存在01x ，使得 0010x x e C．存在01x ，使得 0010x x e D．当1x 时， 10xx e 【答案】B 【详解】由全称命题的否定可知，命题p 的否定为：存在01x ，使得 0010xx e .故选：B.变式训练1：命题“22,26x x ”的否定（）A．22,26x x B．22,26x x C．22,26x x D．22,26x x 【答案】D 【详解】因为原命题“22,26x x ”，所以其否定为“22,26x x ”，故选：D.变式训练2：命题“x R ，220210x x ”的否定是（）A．0x R ，00220210x x B．0x R ，20020210x x C．x R ，220210x x D．x R ，220210x x 【答案】B 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ，220210x x ”的否定是“0x R ，20020210x x ”.故选：B.变式训练3：命题“20,10x x ax ”的否定是（）A．20,10x x ax B．20,10x x ax C．20,10x x ax D．20,10x x ax 【答案】C 【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“20,10x x ax ”的否定是“20,10x x ax ”.故选：C考点二：存在量词命题的否定例2．写出下列存在量词命题的否定：（1）某箱产品中至少有一件次品；（2）方程28150x x 有一个根为偶数；（3）x R ，使210x x .【答案】（1）“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是正品”；（2）“方程28150x x 有一个根为偶数”的否定是“方程28150x x 的每一个根都不是偶数”；（3）“x R ，使210x x ”的否定是“x R ，210x x ”.变式训练1：设命题2000:,310p x R x x ，则p 为（）A．2,310x R x x B．2000,310x R x x .C．2,310x R x x D．2000,310x R x x .【答案】A 【详解】命题0:p x R ，200310x x ，由含有一个量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，则p 为：x R ，2310x x ．故选：A ．变式训练2：设命题p ：x Z ，221x x ，则p 的否定为（）A．x Z ，221x x B．x Z ，221x x C．x Z ，221x x D．x Z ，22x x【答案】B 【详解】由特称命题的否定知p 的否定为：x Z ，221x x .故选：B.变式训练3：下列关于命题“x R ，使得210x x ”的否定说法正确的是（）A．x R ，均有210x x 假命题B．x R ，均有210x x 真命题C．x R ，有210x x 假命题D．x R ，有210x x 真命题【答案】B 【详解】命题“x R ，使得210x x ”的否定是x R ，均有210x x ，对x R ，又22131()024x x x ，故该命题为真命题.故选：B考点三：全称量词与存在量词命题的否定（判断真假）例3．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出命题的否定，并判断其真假.（1）不论m 取何实数,关于x 的方程220x x m 必有实数根；（2）某些梯形的对角线互相平分；（3）函数y kx 图象恒过原点.【答案】（1）即“所有m R ，关于x 的方程220x x m 都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数m ，使得关于x 的方程220x x m 没有实数解”，真命题；（2）是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；（3）即“所有k R ，函数y kx 图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数k，使函数y kx 图象不过原点”，是假命题.变式训练1：判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出下列命题的否定.（1）所有的正方形都是矩形；（2）每一个奇数都是正数；（3）x R ，210x x ；（4）有些实数有平方根；（5）x R ，210x .【答案】前三个命题都是全称量词命题，即具有形式“∀x∈M，p(x)”.其中命题（1）的否定是“并非所有的正方形都是矩形”，也就是说“存在一个正方形不是矩形”；命题（2）的否定是“并非每一个奇数都是正数”，也就是说“存在一个奇数不是正数”；命题（3）的否定是“∃x∈R，210x x ”；后两个命题都是存在量词命题，即具有形式“∃x∈M，p(x)”.其中命题(4)的否定是“不存在一个实数，它有平方根”，也就是说“所有实数都没有平方根”；命题(5)的否定是“∀x∈R，210x ”.变式训练2：判断下列命题的否定的真假：（1）任何一个平行四边形的对边都平行；（2）非负数的平方是正数（3）有的四边形没有外接圆；（4）,x y Z 3y 【答案】（1）命题的否定为“存在一个平行四边形的对边不平行”，由平行四边形的定义知该命题的否定是假命题；（2）命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”，因为200 ，不是正数，所以该命题的否定是真命题；（3）命题的否定为“所有四边形都有外接圆”，因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题；（4）命题的否定为“,x y Z 3y ”，因为当0x ，3y 3y ，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题.变式训练3：写出下列命题的否定，并判断它们的真假.（1）2,10x x x R ；（2）每个正方形都是平行四边形；（3）m N N ；（4）平行四边形的对边相等.【答案】解：（1）2,10x R x x ，假命题，因为140 ，不等式无解2存在一个正方形不是平行四边形，假命题，因为任何正方形都是平行四边形.3m N N，假命题，因为0m N 1N4存在平行四边形，它的对边不相等，假命题，因为平行四边形的对边必相等.考点四：全称量词与存在量词命题的否定应用例4．若命题“存在实数21x x x ，使得230x x m ++-<”是假命题，求实数m 的取值范围.【答案】3m m .【详解】由题可转化为命题“对任意的 2,1x ，不等式230x x m ++-³恒成立”为真命题，即23m x x 恒成立，令 23f x x x ，又 211124f x x在 2,1 上单调递减，所以 min 13f x f ，故3m .变式训练1：已知命题:p “至少存在一个实数[1,2]x ，使不等式2220x ax a 成立”的否定为假命题，试求实数a 的取值范围．【答案】{|3}a a 【详解】由题意知，命题p 为真命题，即2220x ax a 在[1,2]上有解，令222y x a a x ，所以max 0y ，又因为最大值在1x 或2x 时取到，∴只需1x 或2x 时，0y 即可，∴1220a a 或4420a a ，解得3a 或2a ，即3a ．故实数a 的取值范围{|3}a a ．变式训练2：已知a R ，命题p ： 0,1x ，使得(1)10a x ；命题q ：x R 使得240x ax .（1）写出命题p 的否定p ，并求p 为真时，实数a 的取值范围；（2）若命题,p q 有且只有一个为真，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2a ；（2）42a 或4a .【详解】（1）由题意，p ： 0,1x ，使得(1)10 a x ；若p 为真，即11a x0,1x 恒成立，所以只需11a ，解得2a ．（2）由（1）可得，p 为真时，2a ；所以，若命题p 为真，则2a ；若命题q 为真，则对于x R ，240x ax 恒成立，因此只需 ，即2160a ，解得44a ；因为命题,p q 有且只有一个为真，若p 真q 假，则有24a a或24a a ，解得4a ；若p 假q 真，则有244a a，解得42a ；综上，p 、q 有且只有一个为真时，a 的取值范围是42a 或4a .【过关检测】1、已知命题:0p x，20x xp 的否定为（）A．00x，0020x xB．0x，20x xC．0x，20x xD．00x，0020x x【答案】D 【详解】先变量词，将“ ”改为“”，再改结论，将“20x x”改为“0020x x则p 的否定为：0x，0020x x .故选：D.2、命题“对x R ，都有21x x ”的否定是（）A．2,1x R x x B．x R ，都有21x x C．2,1x R x x D．2,1x R x x 【答案】C 【详解】因为原命题为“对x R ，都有21x x ”，所以其否定为“2,1x R x x ”，故选：C.3、已知命题:1p x R ，则（）A．:1p x RB．:1p x RC．:1p x RD．:1p x R 【答案】C 【详解】因为:1p x R，所以:1p x R ，故选：C.4、设命题2:,21p x Z x x ，则p 的否定为（）A．2,21x Z x x B．2,21x Z x x C．2,21x Z x x D．2,2x Z x x【答案】B 【详解】命题2:,21p x Z x x ，则p 的否定为：2,21x Z x x .故选：B5、命题“20,1x x x ”的否定是（）A．“20000,1x x x ”B．“20,1x x x ”C．“20000,1x x x ”D．“20,1x x x ”【答案】A 【详解】命题“20,1x x x ”的否定是“20000,1x x x ”故选：A.6、已知命题0:p x R ，20010x x ，则p 是（）A．0x R ，20010x x B．0x R ，20010x x C．x R ，210x x D．x R ，210x x 【答案】C 【详解】由特称命题的否定可知p 为：x R ，20010x x .故选：C.7、已知命题:0p x ，20x x ，则命题p 的否定为（）A．20,0x x x B．20,0x x x C．20,0x x x D．20,0x x x 【答案】D 【详解】命题:0p x ，20x x 的否定是20,0x x x ．故选：D．8、关于命题，下列判断正确的是（）A．命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题B．命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C．命题“4,x R x R ”的否定为“400,x R x R ”D．命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”【答案】C 【详解】A 选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A 错；B 选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故B 错；C 选项，命题“4,x R x R ”的否定为“400,R x x R ”故C 正确；D 选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D 错；故选：C9、命题p ：x R ，2440x x ，则命题p 的否定p 以及p 的真假性正确的选项是（）A．p ：0x R ，使得200440x x ，假B．p ：0x R ，使得200440x x ，真C．p ：0x R ，使得200440x x ，假D．p ：x R ，200440x x ，真【答案】B 【详解】由全称命题的否定为特称命题，可得否定是“0x R ，使得200440x x ”，令02x ，则200444840x x ，所以命题“0x R ，使得200440x x ”为真命题，故选：B.10、命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）A．任意一个无理数，它的平方不是有理数B．任意一个无理数，它的平方是有理数C．存在一个无理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】A【详解】解：命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选：A 11、已知命题21:,04p x R x x ，则p 为_____．【答案】20001,04x R x x 【详解】由全称命题的否定为特称命题，已知21:,04p x R x x ，所以20001:,04p x R x x .故答案为：20001,04 x R x x .12、命题“20000,20200x x x ”的否定是___________.【答案】20000,20200x x x 【详解】命题“20000,20200x x x ”的否定是“20000,20200x x x ”故答案为：20000,20200x x x 13、写出下列命题的否定并判断真假:（1）所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）某些梯形的对角线互相平分；（3）被8整除的数能被4整除.【答案】（1）命题的否定是:存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题.（2）命题的否定:任意梯形的对角线都不互相平分，是真命题.（3）命题的否定:存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题.14、写出下列命题的否定，并判断其真假.（1）p：所有的方程都有实数解；（2）q：2,4410x R x x ；（3）r：2,220x x x R ；（4）s：某些平行四边形是菱形.【答案】（1）p ：存在一个方程没有实数解，真命题.比如方程210x 就没有实数解.（2）q ：2,4410x R x x ，假命题.由于22,441(21)0x R x x x 恒成立，是真命题，所以¬q 是假命题.（3）r ：2,220x x x R ，真命题.（4）s ：每一个平行四边形都不是菱形，假命题.15、已知p ：x R ，210mx ，q ：x R ，210x mx ．（1）写出命题p 的否定q ；命题q 的否定q ；（2）若p 和q 至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）p ：x R ，210mx ；q ：x R ，210x mx ；（2）2m .【详解】（1）p ：x R ，210mx ；q ：x R ，210x mx ．（2）由题意知，p 真或q 真，当p 真时，0m ，当q 真时，240m ，解得22m ，因此，当p 真或q 真时，0m 或22m ，即2m ．16、已知m R ，命题:p [0,1]x ，23x m m 恒成立；命题:q 存在x R ，使得220x x m .（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若,p q 有且只有一个真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[0,3]；（2）0m 或13m .【详解】（1）∵[0,1]x ，23x m m∴230m m ，解得03m ，故实数m 的取值范围是[0,3]（2）当q 为真命题时，则440m ，解得1m ∵p，q 有且只有一个真命题当p 真q 假时，031m m ，解得：13m 当p 假q 真时，031m m m 或，解得：0m 综上可知，13m 或0m 故所求实数m 的取值范围是0m 或13m .。
1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定课件——高中数学人教B版必修第一册
命题 自然语言 符号语言 命题情势 真假判断
r
每一个素数都是奇数 ∀x∈A， x∈B 全称量词命题 假命题
¬r
存在一个素数不是奇数 ∃x∈A， x∉B 存在量词命题 真命题
一般地，全称量词命题“∀x∈M，q(x)”的否定 是存在量词命题
x
当 x 1时不等式成立，因此q 是真命题.
（3）s ：所有直角三角形都是等腰三角形. 因为有一个内角为 30° 的直角三角形不是等腰三角形，所以s 是假命题.
例 2 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： （1）p：a R ，一次函数 y x a 的图像经过原点． （2）q：x(3， )， x2 9 ．
命题 自然语言 符号语言 命题情势 真假判断
s
存在整数是自然数 ∃x∈Z， x∈N 存在量词命题 真命题
¬s
不存在整数是自然数 ∀x∈Z， x∉N 全称量词命题 假命题
命题 自然语言 符号语言 命题情势 真假判断
r
存在实数的平方小于0 ∃ x∈R ，x²＜0 存在量词命题 假命题
¬r
不存在实数的平方小于 0 ∀ x∈R ，x²≥0 全称量词命题 真命题
解：（1） p :aR ，一次函数 y x a 的图像不经过原点. 因为当 a 0 时，一次函数 y x a 的图像经过原点，
所以p 是____假_______命题.
（2） q : x(3， )， x² 9. 因为 x 0 时， x² 0 9 ，所以q 是真命题.
C 1.命题“对任意的 x R ， x3 x2 1 0 ”的否定是( ).
法二：对于 A，命题的否定：x R ，x2 x 1 0 ，是全称量词命题，且x R ， 4
人教版高中数学必修第一册第一章1.5.8全称量词命题与存在量词命题的否定【课件】
初探新知
【活动1】 理解命题的否定的含义
【问题1】说出下列命题的否定： (1) 64是9的倍数；(2) 空集是集合A＝{1，2，3，4}的真子集． 【问题2】请你判断问题1中命题及它的否定的真假． 【问题3】一个命题与它的否定之间具有怎样的关系?
熟练掌握命题的否定的表示
学科核心素养
通过对命题的否定的学习，提高 逻辑推理和直观想象素养
理解命题与命题的否定之间的逻 通过掌握命题和它的否定的真假
辑关系
判定，提高逻辑推理素养
情境导学
“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词.2009年11月23日 《人民日报》曾经发表过一篇文章《创新，从敢于否定开始》一文 中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要 ．一旦下决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想 ：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方 可以加强．”
_ ∃x0∈_R_，__x__2_0__＋__x_0_＋___a_≤___0_______．
【解】 只需将将“∀”改为“∃”，结论改为相反即可，
即∃x0∈R，x20 ＋x0＋a≤0.
5. [教材改编题]已知命题：∀x∈R，x2－x＋1≠0，写出该命题
的否定：_∃__x_0_∈___R_，__x__2_0－___x_0_＋___1_＝___0____，
[2020·江苏启东中学月考]已知命题p：∃x0∈R，x20－x0＋
1 4
D ≤0，则该命题的否定为( )
A.∃x0∈R，x20 －x0＋ C.∀x∈R，x20－x0＋ 1
1>0
1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定课件(人教版)(1)
3.填空:(1)一般地,对一个命题进行否定,就可以得到一个新的
命题,这一新命题称为原命题的否定.
(2)一个命题和它的否定不能同时为真命题,也不能同时为假
命题,只能一真一假.
二、全称量词命题的否定
【问题思考】
1.写出下列命题的否定:
(1)所有的正比例函数都是一再进行否定.要
注意对其进行改写进而找出量词,同时应把握每一个命题的
含义,写出否定情势后最好结合它们的真假性(一真一假)进行
验证.
2.注意对全称量词命题和存在量词命题的否定情势的理解,培
养数学抽象素养.
随 堂 练 习
1.命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是(
C.∃x≥0,2x≠3 D.∃x<0,2x≠3
解析:因为原命题为存在量词命题,所以其否定为全称量词命
题,即∀x≥0,2x≠3.
答案:B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
(1)用自然语言描述的全称量词命题的否定情势是唯一
的.( × )
(2)全称量词命题的否定一定是存在量词命题,存在量词命题
的否定一定是全称量词命题.( √ )
(3)存在量词命题与其否定的真假可以相同.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一 全称量词命题的否定与真假判断
【例1】 写出下列全称量词命题的否定,并判断其真假.
(1)所有矩形的对角线相等;
(2)不论m取什么实数,x2+x-m=0必有实数根;
(3)等圆的面积相等,周长相等.
)
A.不存在x∈R,2x>0
B.存在x∈R,2x≥0
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 学习目标1．通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点 全称量词命题和存在量词命题的否定 p ¬p 结论 全称量词命题∀x ∈M ，p (x )□1∃x ∈M ，¬p (x ) 全称量词命题的否定是□2存在量词命题 存在量词命题∃x ∈M ，p (x ) □3∀x ∈M ，¬p (x ) 存在量词命题的否定是□4全称量词命题[微练1] 若命题p ：∃x >0，x 2－3x ＋2>0，则命题p 的否定为( )A ．∃x >0，x 2－3x ＋2≤0B ．∃x ≤0，x 2－3x ＋2≤0C ．∀x >0，x 2－3x ＋2≤0D ．∀x ≤0，x 2－3x ＋2≤0答案：C[微练2] 已知命题p ：∀n ∈N *，n 2>12n －1，则命题p 的否定为( ) A ．∃n ∈N *，n 2≤12n －1B ．∀n ∈N *，n 2<12n －1C ．∀n ∈N *，n 2≤12n －1D ．∃n ∈N *，n 2<12n －1答案：A题型一 全称量词命题的否定(链接教材P 29例3)写出下列全称量词命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解：(1)该命题的否定是存在一个平行四边形，它的对边不平行．(2)该命题的否定是∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．(3)该命题的否定是∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)该命题的否定是存在被5整除的整数，末位不是0.写全称量词命题的否定的两个关注点(1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．(2)有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”．题型二存在量词命题的否定(链接教材P30例4)写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：(1)某些梯形的对角线互相平分；(2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小；(3)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.[解](1)该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分．命题的否定为真命题．(2)该命题的否定：对任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．命题的否定为假命题．(3)该命题的否定：∀x，y∈Z，2x＋y≠3.当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．写存在量词命题的否定的两个关注点(1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p ：∃x ∈M ，p (x )，它的否定：∀x ∈M ，¬p (x )．(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后再否定．题型三 利用命题的否定求参数的取值范围已知命题p ：∀x ∈{x |－3≤x ≤2}，都有x ∈{x |a －4≤x ≤a ＋5}，且p的否定是假命题，求实数a 的取值范围．[解] 因为p 的否定是假命题，所以p 是真命题，又∀x ∈{x |－3≤x ≤2}，都有x ∈{x |a －4≤x ≤a ＋5}，所以{x |－3≤x ≤2}⊆{x |a －4≤x ≤a ＋5}，则⎩⎨⎧a －4≤－3，a ＋5≥2，解得－3≤a ≤1，即实数a 的取值范围是－3≤a ≤1.1．命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化；2．求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求范围．命题“存在x >1，使得2x ＋a <3”是假命题，求实数a 的取值范围．解：命题“存在x >1，使得2x ＋a <3”是假命题，所以此命题的否定“任意x >1，使得2x ＋a ≥3”是真命题，因为对任意x >1，都有2x ＋a >2＋a ，所以2＋a ≥3，即a ≥1.所以实数a 的取值范围是a ≥1.1．知识网络2．特别提醒(1)只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”．例如，“三角形存在外接圆”是全称量词命题，量词“所有的”被省略了，所以这个命题的否定是“有些三角形不存在外接圆”．(2)否定命题时，要注意特殊的词，如“全”“都”等．课时规范训练A基础巩固练1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0D．∃x∈R，|x|＋x2≥0解析：C此全称量词命题的否定为∃x∈R，|x|＋x2<0.2．命题“∃x>0，2x2＝5x－1”的否定是()A．∀x>0，2x2≠5x－1B．∀x≤0，2x2＝5x－1C．∃x>0，2x2≠5x－1D．∃x≤0，2x2＝5x－1解析：A存在量词命题的否定是全称量词命题．3．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是()A．命题¬p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题解析：C命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故¬p是假命题，命题p也是全称量词命题，故选C．4．(多选题)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是()A．¬p：∃x∈R，x2＋1＝0B．¬p：∀x∈R，x2＋1＝0C．p是真命题，¬p是假命题D．p是假命题，¬p是真命题解析：AC命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，¬p是假命题．5．(多选题)对于下列命题的否定，说法正确的是()A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形D．p：∀n∈N，2n≤100；p的否定：∃n∈N，2n>100解析：ABD“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误，A、B、D正确．6．(多选题)下列四个命题中，其否定是假命题的有()A．有理数是实数B．有些四边形不是菱形C．∀x∈R，x2－2x>0D．∃x∈R，2x＋1为奇数解析：ABD由题意，有理数是实数的否定：有些有理数不是实数，是假命题．有些四边形不是菱形的否定：所有的四边形都是菱形，是假命题．∀x∈R，x2－2x>0的否定：∃x∈R，x2－2x≤0，是真命题．∃x∈R，2x＋1为奇数的否定：∀x∈R，2x＋1都不是奇数，是假命题．7．某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组甲同学给组内乙同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为这两位同学题中m的取值范围是否一致？________．(填“是”“否”中的一个)解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的．答案：是8．若命题“存在x<2023，x>a”是假命题，则实数a的取值范围是________．解析：由于命题“存在x<2023，x>a”是假命题，因此其命题的否定“对任意x<2023，x≤a”是真命题．所以a≥2023.答案：{a|a≥2023}9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：(1)关于x的方程ax＝b都有实数根；(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；(3)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(4)∃x>1，x2－2x－3＝0.解：(1)这个命题的否定为“有些关于x的方程ax＝b无实数根”，如0·x＝1，所以这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．(2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以这个命题为真命题，这个命题的否定为假命题．(3)这个命题的否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，因为末位数字是0或5的整数都能被5整除，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题．(4)这个命题的否定为“∀x>1，x2－2x－3≠0”，因为当x＝3时，x2－2x－3＝0，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题．B能力进阶练10．(多选题)对下列命题进行否定，得到的新命题是全称量词命题且为真命题的有()A．∃x∈N，x＋1＜0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0解析：AC命题的否定是全称量词命题，则原命题为存在量词命题，故排除B选项．命题的否定为真命题，则原命题为假命题．又选项A、C中的命题为假命题，选项D中的命题为真命题，故选AC．11．若命题“∀x∈R，x2＋1>m”是真命题，则实数m的取值范围是() A．m≤1B．m<1C ．m ≥1D ．m >1解析：B ∵x 2＋1的最小值为1，∴m 的取值范围为{m |m <1}．12．设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则①∀x ∈Q ，有x ∈P ；②∀x ∉Q ，都有x ∉P ；③∃x ∉Q ，使得x ∈P ；④∃x ∈P ，使得x ∉Q .正确的表述是________．解析：因为P ∩Q ＝P ，所以P ⊆Q ，所以①、③、④说法错误，②正确． 答案：②13．已知任意0≤x 1≤3，存在14－m ≤x 2≤2，使得x 1≥x 2，则实数m 的取值范围是________．解析：任意0≤x 1≤3，存在14－m ≤x 2≤2，使得x 1≥x 2等价于(x 1)min ≥(x 2)min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ≥14 C 探索创新练14．甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出了如下预测：甲说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙说：我不会获奖，丙获奖；丙说：甲和丁中有一人获奖；丁说：乙的猜测是对的．成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符．已知有两人获奖，则获奖的是( )A ．甲和丁B ．甲和丙C ．乙和丙D ．乙和丁解析：D 易知乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不相符，若乙、丁的预测与结果相符，则甲、丙的预测与结果不相符，矛盾，故乙、丁的预测与结果不相符，从而获奖的是乙和丁，故选D．。
全称量词命题与存在量词命题的否定-课件
知识概要
一、复习命题与量词；
二、命题的否定；
三、全称量词命题与存在量词命题的否定.
命题：可供真假判断的陈述语句.
全称量词：在陈述中表示所述事物的全体.
全称量词命题： ∀ ∈ , .
存在量词：在陈述中表示所述事物的个体或部分.
存在量词命题：∃ ∈ , .
全称量词命题， ∀ ∈ ， ∈ .
命题是真命题，因为实数包含有理数与无理数.
每一个有理数都不是实数.
假命题
¬:不是每一个有理数都是实数. 假命题
¬:存在一个有理数不是实数.
: 每一个有理数都是实数.
全称量词命题， ∀ ∈ ， ∈ .
命题是真命题，因为实数包含有理数与无理数.
两个命题之间有什么关系？它们的真假性如何？
（1） : 3的相反数是−3 ；
（2） : 3的相反数不是−3 .
两个命题之间有什么关系？它们的真假性如何？
（1） : 3的相反数是−3 ；
（2） : 3的相反数不是−3 .
命题是真命题，命题是假命题.
命题是命题的否定，命题是命题的否定.
解析: （3）：至少有一个直角三角形不是等腰三角形.
存在量词命题，
¬：所有直角三角形都是等腰三角形.
原命题和命题的否定必须一个为真，一个为假.
是真命题，因为等腰直角三角形满足条件，
¬是假命题，因为是真命题，
或非等腰直角三角形.
例2. 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
（1） ：∃ ∈ ，一次函数 = + 的图像经过原点；
每一个有理数都不是实数.
假命题
¬:不是每一个有理数都是实数. 假命题
¬:存在一个有理数不是实数.
全称量词命题与存在量词命题的否定(新版教材)
全称量词命题与存在量词命题的否定基础知识1．命题的否定(1)定义：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”．(2)结论：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然．2．存在量词命题的否定1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(C)A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0D．∃x∈R，|x|＋x2≥0解析：命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”是全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以命题的否定是∃x∈R，|x|＋x2<0.2．“∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020”的否定是(C)A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020B．∃m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 020C．∀m，n∈Z，有m2≠n2＋2 020D．以上都不对解析：命题“∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，所以命题的否定是∀m，n∈Z，有m2≠n2＋2 020.3．设命题p：∀x∈(－1,1)，|x|<1，则¬p为(B)A．∃x∈(－1,1)，|x|<1B．∃x∈(－1,1)，|x|≥1C．∀x∈(－1,1)，|x|≥1D．∀x∉(－1,1)，|x|≥1解析：命题p是全称量词命题，其否定¬p为∃x∈(－1,1)，|x|≥1.4．设命题p ：有些三角形是直角三角形，则¬p 为__任意三角形不是直角三角形__. 解析：命题p 是存在量词命题，¬p 为任意三角形不是直角三角形． 5．命题“∃x <1使得x 2≥1”是__真__命题．(选填“真”或“假”)类型 存在量词命题的否定 ┃┃典例剖析__■典例1 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)p ：存在x ∈R,2x ＋1≥0； (2)q ：存在x ∈R ，x 2－x ＋14<0；(3)r ：有些分数不是有理数．思路探究：把存在量词改为全称量词，然后否定结论． 解析：(1)任意x ∈R,2x ＋1<0，为假命题． (2)任意x ∈R ，x 2－x ＋14≥0.因为x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，是真命题．(3)一切分数都是有理数，是真命题． 归纳提升：1.存在量词命题否定的步骤(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．存在量词命题否定的真假判断存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． ┃┃对点训练__■1．将本例(2)改为：q ：存在x ∈R ，x 2－x －1<0，写出它的否定，并判断真假． 解析：任意x ∈R ，x 2－x －1≥0.因为x 2－x －1＝(x －12)2－54，所以不能判断其值大于等于零，为假命题．类型 全称量词命题的否定 ┃┃典例剖析__■典例2 写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)∀a ∈R ，方程x 2＋ax ＋2＝0有实数根；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)∀n∈N，n2≤2n.思路探究：把全称量词改为存在量词，然后否定结论．解析：(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行．(2)∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．(3)∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)∃n∈N，n2>2n.归纳提升：1.全称量词命题否定的步骤(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．2．全称量词命题否定的真假判断方法全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．┃┃对点训练__■2．写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)p：∀x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2；(2)q：∀x∈R，x3＋1≠0；(3)r：所有分数都是有理数．解析：(1)¬p：∃x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|<2.例如当x＝2时，|x－2|＝0<2，¬p是真命题．(2)¬q：∃x∈R，x3＋1＝0.例如当x＝－1时，x3＋1＝0，所以¬q是真命题．(3)¬r：存在一个分数不是有理数．由r是真命题可知¬r是假命题．易混易错警示写命题的否定时忽略隐含的量词┃┃典例剖析__■典例3写出下列命题的否定：(1)可以被5整除的数，末位数字是0；(2)能被3整除的数，也能被4整除．错因探究：本题易忽略命题中存在的隐含量词，如“可以被5整除的数”实际上含有全称量词“任何一个”，注意要在否定时改为“存在”．事实上，对于(1)，通常会错解为“可以被5整除的数，末位数字不是0”，而原命题为假命题，错解中命题的否定也是假命题，故此命题的否定错误；(2)的易错点与(1)相仿，易错解为“能被3整除的数，不能被4整除”．解析：(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：存在可以被5整除的数，末位数字不是0.(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．误区警示：由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“∀x∈m，p(x)”的形式，再把它的否定写成“∃x∈M，¬p(x)”的形式．要学会挖掘命题中隐含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证．学科核心素养全称量词命题、存在量词命题为假命题时求参数问题┃┃典例剖析__■已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时，通常等价转化为¬p是真命题后，再求参数的值或取值范围．(1)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语．解决此类问题，可构造函数，利用数形结合法求参数范围(值)，也可用分离参数法求参数范围(值)．(2)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值)．典例4已知命题p：“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．思路探究：命题p的否定¬p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图像和性质转化为Δ与0的关系，解不等式求解．解析：方法一：¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，即m>－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立，设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知，当x＝1时，y最大值＝1，∴m>y最大值＝1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)．方法二：¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，设函数y＝x2－2x＋m，由二次函数的图像和性质知，只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ<0，即4－4m<0，得m>1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)．课堂检测·固双基1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(C)A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析：命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．2．命题“对任意x∈R，都有x2＋2x＋3>0”的否定为(A)A．存在x∈R，使得x2＋2x＋3≤0B．对任意x∈R，都有x2＋2x＋3≤0C．存在x∈R，使得x2＋2x＋3>0D．不存在x∈R，使得x2＋2x＋3≤0解析：命题的否定为“存在x∈R，使得x2＋2x＋3≤0”．3．“∀x>0，x2＋1>|x＋1|”的否定是__∃x>0，使x2＋1≤|x＋1|__.解析：根据含有量词的命题的否定的规则，可以写出：∃x>0，使x2＋1≤|x＋1|.4．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，命题“对于任意a>0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上”的否定是__存在一个a>0，使二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下__. 5．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假．(1)p：不论m取何实数，方程3x2－2x＋m＝0必有实数根；(2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；(3)r：等圆的面积相等，周长相等．解析：(1)全称量词命题p：∀m∈R，方程3x2－2x＋m＝0有实数根，该命题的否定是存在量词命题，¬p：∃m∈R，使得方程3x2－2x＋m＝0没有实数根．当Δ<0，即m>13时，方程没有实数根，所以¬p是真命题．(2)命题q的否定是全称量词命题¬q：∀x∈R，x2＋x＋1>0.易知(x＋12)2＋34>0恒成立，所以¬q是一个真命题．(3)命题r的否定是¬r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等．由平面几何知识知¬r是一个假命题．A级基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分)1．命题“对任意x∈R，都有|x＋1|＋|x－2|≥3”的否定为(A)A．存在x∈R，使得|x＋1|＋|x－2|<3B ．对任意x ∈R ，都有|x ＋1|＋|x －2|<3C ．存在x ∈R ，使得|x ＋1|＋|x －2|≥3D ．不存在x ∈R ，使得|x ＋1|＋|x －2|<3解析：命题的否定为“存在x ∈R ，使得|x ＋1|＋|x －2|<3”．2．已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，如果p ：a ∈(A ∪B )，那么“¬p ”是( D ) A ．a ∈A B ．a ∈∁U BC ．a ∉(A ∩B )D ．a ∈[(∁U A )∩(∁U B )]解析：“p 或q ”的否定是“非p 且非q ”，所以“a ∈(A ∪B )”的否定为“a ∉A 且a ∉B ”，即“a ∈[(∁U A )∩(∁U B )]”．3．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥2x ＋1”的否定是( D ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x ＋1 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋1 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x ＋1 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋1解析：将“∀x ∈R ”改为“∃x ∈R ”，“∃n ∈N *”改为“∀n ∈N *”，“ n ≥2x ＋1”改为“n <2x ＋1”即可．4．若x 是不为零的实数，则命题∀m ∈[0,1]，x ＋1x ≥2m 的否定形式是( D )A ．∀m ∈[0,1]，x ＋1x <2mB ．∃m ∈[0,1]，x ＋1x≥2mC ．∃m ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，x ＋1x ≥2mD ．∃m ∈[0,1]，x ＋1x<2m解析：∀m ∈[0,1]，x ＋1x ≥2m 的否定是∃m ∈[0,1]，x ＋1x <2m ，全称量词命题的否定是换量词，否结论，不改变条件．故选D ．5．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( C ) A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C ．[－1,2]D ．(－1,2)解析：依题意得：∀x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2≥0，Δ＝(2m )2－4(m ＋2)≤0解得：－1≤m ≤2，即m ∈[－1,2]． 二、填空题(每小题5分，共15分)6．“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0”的否定是__∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0__.解析：这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，故该命题的否定为∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0.7．静宁一中开展小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求m 的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，求m 的取值范围．你认为，两位同学所出的题中m 的取值范围是否一致？__是__(填“是”或“否”)解析：原命题是假命题，则该命题的否定是真命题，所以两位同学所出的题中m 的取值范围是一致的．8．已知非空集合M ，P ，则下列条件中，能得到命题“M ⊆P ”是假命题的是__④__. ①∀x ∈M ，x ∉P ； ②∀x ∈P ，x ∈M ；③∃x 1∈M ，x 1∈P 且x 2∈M ，x 2∉P ； ④∃x ∈M ，x ∉P .解析：M ⊆P 等价于∀x ∈M ，x ∈P ，因为“M ⊆P ”是假命题，所以其否定为∃x ∈M ，x ∉P ，它是真命题，故能得到“M ⊆P ”是假命题的条件是∃x ∈M ，x ∉P .故只有④符合条件． 三、解答题(共20分)9．(10分)命题p ：存在x >a ，使得2x ＋a <3.若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围． 解析：命题p 为假命题，则¬p ：任意的x >a ，都有2x ＋a ≥3为真命题．由此可得2a ＋a ≥3，即a ≥1.所以实数a 的取值范围是[1，＋∞)．10．(10分)命题p 是“对任意实数x ，有x －a >0或x －b ≤0”．其中a ，b 是常数． (1)写出命题p 的否定；(2)a ，b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解析：(1)根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，¬p ：∃x ∈R ， 满足x －a ≤0且x －b >0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≤0，x －b >0，得b <x ≤a ，所以当a >b 时，命题p 的否定为真．。
第一章 §2 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定
第2课时全称量词命题与存在量词命题的否定学习目标 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定. 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．知识点全称量词命题与存在量词命题的否定命题p 命题p的否定结论全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x)∃x∈M，x不具有性质p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题p：∃∈M，x具有性质p(x)∀x∈M，x不具有性质p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题1．∃x∈M，x具有性质p(x)与∀x∈M，x不具有性质p(x)的真假性相反．(√) 2．“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0.”(√)3．从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(×)4．全称量词命题与它的否定真假性相反．(√)一、全称量词命题的否定例1写出下列命题的否定：(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.解(1)存在一个矩形不是平行四边形．(2)存在一个素数不是奇数．(3)∃x∈R，x2－2x＋1<0.反思感悟对全称量词命题否定的两个步骤(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．跟踪训练1写出下列全称量词命题的否定：(1)对所有正数x，x>x＋1；(2)∀x∈R，x3＋1≠0；(3)所有被5整除的整数都是奇数；(4)每一个四边形的四个顶点共圆．解(1)该命题的否定：存在正数x，x≤x＋1.(2)该命题的否定：∃x∈R，x3＋1＝0.(3)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数．(4)该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．二、存在量词命题的否定例2写出下列存在量词命题的否定：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x∈R，x2＋1<0；(4)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解(1)该命题的否定，“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．(2)该命题的否定；“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．(3)该命题的否定：“不存在x∈R，x2＋1<0”，也即“∀x∈R，x2＋1≥0”．(4)该命题的否定：“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．反思感悟对存在量词命题否定的两个步骤(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．跟踪训练2判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)存在一个梯形的对角线互相平分；(2)∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(3)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小．解(1)假命题，任意一个梯形的对角线都不互相平分．(2)真命题，∀x ∈{x |x 是无理数}，x 2是有理数．(3)真命题，任意k ∈R ，函数y ＝kx ＋b 不是随x 值的增大而减小． 三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用例3 对于任意实数x ，不等式x 2＋4x －1>m 恒成立．求实数m 的取值范围． 解 令y ＝x 2＋4x －1，x ∈R ， 则y ＝(x ＋2)2－5≥－5，因为∀x ∈R ，不等式x 2＋4x －1>m 恒成立， 所以只要m <－5即可．所以所求m 的取值范围是{m |m <－5}． (教师) 延伸探究本例条件变为：“存在实数x ，使不等式－x 2＋4x －1>m 有解”，求实数m 的取值范围． 解 令y ＝－x 2＋4x －1，因为y ＝－x 2＋4x －1＝－(x －2)2＋3≤3. 又因为∃x ∈R ，－x 2＋4x －1>m 有解， 所以只要m <3即可，所以所求m 的取值范围是{m |m <3}． (学生)反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是集合间关系问题，通常转化为利用集合关系求参数范围．跟踪训练3 命题p ：“∃x ∈R ，ax 2－2x －1＝0”．若p 为真命题，求实数a 的取值范围． 解 若p 为真命题，即方程ax 2－2x －1＝0有实数根， ①a ＝0时，x ＝－12满足条件；②a ≠0时，Δ＝4＋4a ≥0，即a ≥－1，且a ≠0. 综上有a ≥－1，∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．1．命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0 B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0 C ．∃x ∈R ，|x |＋x 2<0 D ．∃x ∈R ，|x |＋x 2≥0 答案 C解析 条件∀x ∈R 的否定是∃x ∈R ，结论“|x |＋x 2≥0”的否定是“|x |＋x 2<0”． 2．命题“存在实数x ，使x >1”的否定是( ) A ．对任意实数x ，都有x >1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x ，都有x ≤1 D ．存在实数x ，使x ≤1 答案 C解析 利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．“存在实数x ，使x >1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C. 3．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是( ) A ．∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0B ．所有的正方形都是矩形C ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0D ．至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0 答案 AC解析 命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B ；再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题，又D 为真命题，故选AC. 4．命题“同位角相等”的否定为________． 答案 有的同位角不相等解析 全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位角不相等． 5．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：________. 答案 所有的三角形都不是直角三角形解析 命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定．1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．(2)命题真假的判断．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．1．命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定()A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0B．∃x>0，使得x2－x＋3>0C．∀x>0，都有x2－x＋3>0D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0答案 B解析命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.2．命题“∀x∈[0，＋∞)，2x2－x≥0”的否定是()A．∀x∉[0，＋∞)，2x2－x<0B．∀x∉[0，＋∞)，2x2－x≥0C．∃x∈[0，＋∞)，2x2－x<0D．∃x∈[0，＋∞)，2x2－x≥0答案 C解析命题是全称量词命题，则命题的否定是存在量词命题，据此可得命题“∀x∈[0，＋∞)，2x2－x≥0”的否定是“∃x∈[0，＋∞)，2x2－x<0”，故选C.3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.4．对某次考试，有命题p：所有学生都会做第1题，那么命题p的否定是()A．所有学生都不会做第1题B．存在一个学生不会做第1题C．存在一个学生会做第1题D．至少有一个学生会做第1题答案 B解析根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题p：所有学生都会做第1题的否定是存在一个学生不会做第1题，故选B.5．(多选)下列选项中，错误的是()A．命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1<3x”B．命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0”C．“a>2”是“a>5”的充分不必要条件D命题：对任意x∈R，总有x2>0是真命题答案ACD解析对于A命题，“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故错误；对于B命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0”，正确；对于C“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故错误；对于D当x＝0时，x2＝0，故错误，故选ACD. 6．命题“∃x∈N，x2>1”的否定是____________________．答案∀x∈N，x2≤1解析由题意，根据存在量词命题与全称量词命题的关系可得，命题“∃x∈N，x2>1”的否定为“∀x∈N，x2≤1”．7．命题：∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是____________．答案∀x∈R，x2－x＋1≠0解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是：∀x∈R，x2－x＋1≠0.8．命题“∀x，y∈Z，使得x2>2y”的否定是__________．答案∃x，y∈Z，x2≤2y解析 全称量词命题的否定是存在量词命题． 9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假： (1)∀x ∈R ，x 2>0； (2)∃x ∈R ，x 2＝1；(3)∃x ∈R ，x 是方程x 2－3x ＋2＝0的根； (4)等腰梯形的对角线垂直．解 (1)命题的否定：∃x ∈R ，使x 2≤0，因为x ＝0时，02＝0，所以命题的否定为真． (2)命题的否定：∀x ∈R ，使x 2≠1， 因为x ＝1时，x 2＝1，所以命题的否定为假．(3)命题的否定：∀x ∈R ，x 不是方程x 2－3x ＋2＝0的根，因为x ＝1时，12－3×1＋2＝0，即x ＝1为方程的根，所以命题的否定为假．(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．10．已知命题p ：∀x ∈{x |－3≤x ≤2}，都有x ∈{x |a －4≤x ≤a ＋5}，且命题p 的否定是假命题，求实数a 的取值范围．解 因为命题p 的否定是假命题，所以p 是真命题， 又∀x ∈{x |－3≤x ≤2}，都有x ∈{x |a －4≤x ≤a ＋5}， 所以{x |－3≤x ≤2}⊆{x |a －4≤x ≤a ＋5}，则⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤－3，a ＋5≥2，解得－3≤a ≤1，即实数a 的取值范围是－3≤a ≤1.11．设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则命题p 的否定为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2n D ．∃n ∈N ，n 2＝2n答案 C解析 存在量词命题的否定是全称量词命题，故选C. 12．下列命题正确的是( )A ．命题“∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2≥0”的否定是“∃x ，y ∈R ，x 2＋y 2<0”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<1”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1≥1”D ．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0” 答案 A解析 对选项A ，命题“∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2≥0”的否定是“∃x ，y ∈R ，x 2＋y 2<0”，选项A 正确；对选项B ，∵x 2－5x －6＝0，∴x ＝－1或6，故“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，选项B 不正确；由存在量词命题的否定为全称量词命题知选项C 不正确；对选项D ，命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，选项D 不正确，故选A.13．已知命题“∃x ∈R ，使4x 2＋x ＋14(a －2)≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a <0B ．0≤a ≤4C ．a ≥4D ．a >94答案 D解析 ∵命题“∃x ∈R ，使4x 2＋x ＋14(a －2)≤0”是假命题，∴命题“∀x ∈R ，使4x 2＋x ＋14(a －2)>0”是真命题，即判别式Δ＝1－4×4×14(a －2)<0，解得a >94.14．已知命题：“∃x ∈{x |0≤x ≤1}，使2x 2＋4x ＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≥－6解析 当x ∈{x |0≤x ≤1}时， 因为2x 2＋4x ＝2(x ＋1)2－2， 所以0≤2x 2＋4x ≤6， 由题意有a ＋6≥0，∴a ≥－6.15．一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求m 的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，求m 的取值范围，你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)．解两位同学题中m的取值范围是一致的，∵“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，而“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，∴两位同学题中m的取值范围是一致的．16．已知命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．解由题意知命题p，q都是真命题．由∀1≤x≤3，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由∃1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．。
1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定
2) 每一个素数都是奇数；
x M,p(x)
3) x R, x2 2x 1 0
x M,p(x)
否定:
x M,p(x)
x M,p(x) x M,p(x)
从命题形式上看,
全称量词命题的否定是存在量词命题.
p （2） :存在一个四边形，它的四个顶点不共圆; p （3） : x0 Z, x02 的个位数字等于3.
写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数；
2)某些平行四边形是菱形；
3)x0 R, x 0 2 1 0
否定:
1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)每一个平行四边形都不是菱形;
3) x R, x2 1 0
x M,p(x)
x M,p(x)
x M,p(x)
x M,p(x)
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看,
存在量词命题的否定是全称量词命题.
一般地，存在量词命题的否定,有下面的结论
存在量词命题 p : x0 M,p(x0 )
它的否定 p : x M,p(x)
第一章 集合与常用逻辑
1.5 全称量词命题与存在 量词命题的否定
全称量词命题 含有全称量词的命题 “对M中任意一个x，有p(x)成立”
简记： x∈M，p(x)
读作“任意x属于M，有P(x)成立”。
存在量词命题 含有全称量词的命题 “存在M中的元素x0，有p(x0)成立”
简记： x0∈M，p(x0)
一般地,全称量词命题的否定,有下面的结论:
全称量词命题p: x M,p(x) 它的否定p： x M,p(x)
全称量词命题和存在量词命题的否定 课件(共28张PPT) 高一数学人教A版(2019)必修第一册
【即时训练】
一般地,对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论: 存在量词命题p：x0∈M，p（x0）， 它的否命题﹁p: x∈M,﹁p（x）.
例2 写出下列存在量词命题的否定： （1）p：x0∈R，x02＋2x0＋2≤0； （2）p：有的三角形是等边三角形； （3）p：有一个素数含有三个正因数. 【解析】（1）﹁p：x∈R，x2＋2x＋2＞0； （2）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形； （3）﹁p：每一个素数都不含三个正因数.
逻辑推理：通过具体命题真假的判断，培养逻辑推理的核心素养
（1）注意全称量词命题和存在量词命题的自然语言与符号语言的转化
（2）注意省略量词的命题的真假判断
（3）对于“至多”“至少”型的命题，多采用逆向思维的方法处理
判断全称、存在量词命题真假的方法: （1）若全称量词命题为真，则给定集 合中每一个元素x使p(x)为真，若为假命题，则只需举一
探究点1 全称量词命题的否定 写出下列命题的否定： （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）x∈R, x2－2x＋1≥0.
提示： 经过观察，我们发现，以上三个全称量词命题的否定都可以用存在量词命题表示. 上述命题的否定可写成: （1）存在一个矩形不是平行四边形； （2）存在一个素数不是奇数； （3）x0∈R，x02-2x0+1<0.
（2）若存在量词命题为真，则给定集 合中只要有一个元素x使p(x)为真即可，否则为假命题.
否定
否定结论
1.命题“原函数与反函数的图象关于y=x对称” 的否定是（ ） A.原函数与反函数的图象关于y=-x对称 B.原函数不与反函数的图象关于y=x对称 存在一个原函数与反函数的图象不关于 y=x对称 D.存在原函数与反函数的图象关于y=x对称