江苏省海门中学2020—2021学年第一学期阶段检测(二)高三数学试题(word版含答案)
江苏省海门中学2020-2021年度第一学期阶段检测
高三数学试题-无答案
一､单项选择题:(本题共7小题,每小题5分,共35分,)
1.设集合2{|2}M x log x =<,集合1{|8}2x N x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭
,则() A.M N ⋂=∅
B.M N ⊆
C.{|34}M N x x ⋃=-<<
D.N M ⊆
2.已知复数1z i =
-,则||z =()
A.1 C D.2
3.设x R ∈,则“38x >”是“||2x >”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.柏拉图多面体,是指严格对称,结构等价的正多面体由于太完美,因此数量很少,只有正四､六､八､十二､二十面体五种如果用边数不同的正多边形来构造接近圆球､比较完美的多面体,那么数量会多一些,用两种或两种以上的正多边形构建的凸多面体虽不是正多面体但有些类似,这样的多面体叫做半正多面体古希腊数学家物理学家阿基米德对这些正多面体进行研究并发现了13种半正多面体(后人称为“阿基米德多面体”)现在正四面体上将四个角各截去一角,形成最简单的阿基米德家族种的一个,又名截角四面体设原正四面体的棱长为6,则所得的截角四面体的表面积为()
A. B. C. D.
5.现代健康生活的理念,每天锻炼1小时,健康工作50年,幸福生活一辈子我国每所学校都会采取一系列措施加强学生的体育运动在某校举行的秋季运动会中,来自同一队的甲乙丙丁四位同学参加了4×100米接力赛,则甲乙互不接棒的概率为() A.16 B.13 C.12 D.23
6.已知正方形ABCD 的内切圆的半径为1,点M 是圆上的一动点,则MA MB ⋅的取值范围是()
A.[]1,0-
B.[]1,3-
C.[]0,3 D .[]
1,4- 7.“白日依山尽,黄河入海流,欲穷千里目,更上一层楼”,古诗《登鹳雀楼》是一首登高的名作,诗人王之涣描绘了一幅美妙的山水画,从此也令鹳雀楼名声大作,世人也能领略鹳雀楼之美鹳雀楼有三层,前对中条山,下临黄河,传说有鹳雀在此停留下面是复建的鹳雀楼的示意图,游客(视为一质点)从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°沿直线前进79米到达E 点此时看点C 的仰角为45°,若2BC AC =,则鹳雀楼的高AB 约为（）)
1.73≈
A.65米
B.74米
C.83米
D.92米 二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分
8.已知双曲线22
2212x y k k
-=,对于k R ∀∈且0k ≠,则下列四个选项中因k 改变而变化的是() A.焦距 B.离心率 C.顶点坐标 D.渐近线方程
9.已知函数()233l f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭),则下列说法中正确的是() A.()f x 的最小正周期为π B.()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦上单调递增 C.5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的个对称中心 D.当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时,()f x 的最大值为1 10.设x,()0,y ∈+∞),,S x y =+P xy =,以下四个命题中正确的是()
A.若1P =,则S 有最小值2
B.若2S P =,则S 有最小值4
C.若21S P P
=+,则2S 有最小值2 D.若3S P +=,则P 有最大值1 11.如图,棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为线段AB 上的动点(不含端点),则下列说法中正确的是()
A.平面11A D P ⊥平面1A AP
B.多面体CDPD 的体积为定值
C.1APD 恒为锐角三角形
D.直线D 1P 与BC 所成的角可能为6
π 三､填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分请将答案填写在答题卡相应的位置上)
12.已知数列{}n a 满足0n a >,且()
22*1111,2n n n n a a a a a n N ++=-=∈,则n a =____. 13.某校科学社团研究一种卫星接收天线,发现其曲面与轴截面的交线为抛物线,在
轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚焦到焦点
处,已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m,则该抛物线的焦点到定点的
距离为____m.
14.将函数()2221f x sin x sin x =+-图像先向左平移4
π个单位,再将每一点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()g x 的图像,若()2l g α=,,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
,则cos α=____. 15.已知球O 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球,则平面11B CD 截球O 的截面面积为____. 四､解答题:(本大题共6小题,共75分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)
16.(本题满分15分)
请从下面两个条件中任选个,补充在下面的问题中,并解决问题
①ABC 的面积为26AB AB BC +⋅=-.
在ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知2b c -=,A 为钝角,s sinA = (1)求边a 的长
;
(2)求sin2C 的值
17.(本题满分12分)
已知数列{}n a 是等差数列,且23a =,47a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,且()*112n n S b n N =-
∈. (1)求数列{},{}n n a b 的通项公式;
(2)记n n n c a b =,数列{}n c 的前n 项和为n T ,证明:2n T <.
18.(本题满分12分)
如图,在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是菱形,G ､P 是线段AB ､SD 的中点.
(1)证明:GP ∥平面SBC;
(2)若3BAD π
∠=,2AB SA SB ===,SD =,求平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角的余弦值.
19.(本题满分12分)
苏果超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本为每瓶4元,售价每瓶6元未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完｡根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位℃)有关如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[
)20,25,需求量为350瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,
得到下面的频率分布表:
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为420(单位:瓶)时,求Y 的期望值.
20.(本题满分12分)
已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的一个焦点坐标为()1,0F ,其左右顶点分别为A,B,点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在椭圆E 上.
(1)求椭圆E 的标准方程;
(2)若过点()4,0P 的直线l 与椭圆E 交于C,D 两点,AC,BD 交于点T,求AP AT ⋅的值.
21.(本题满分12分)
已知函数()f x lnx =,函数()()21xlnx g x x e =+.
(1)求函数()f x 在1x =处的切线方程;
(2)当()0,x ∈+∞)时,证明:当2m 时,()()1mf x g x +.。
江苏省海门市2020学年度第一学期高三数学期中考试卷
江苏省海门市2020学年度第一学期高三数学期中考试卷（11.21）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量(3,4)a =r ，(8,6)b =-r，则向量a r 与b rA ．互相平行B ．互相垂直C ．夹角为030 D ．夹角为060 2．已知24sin 225α=-，,04πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin cos αα+等于 A ．75-B ．15-C ．15D ．753．已知a b c >>，0a b c ++=，当01x <<时，代数式2ax bx c ++的值是A ．正数B ．负数C ．0D ．介于1-与0之间 4．“神六飞天，举国欢庆”，据科学计算，运载“神州”六号飞船的“长征”二号系列火箭在点火1分钟通过的路程为2km ，以后每分钟通过的路程比前一分钟增加2km ，在达到离地面240km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是A ．10分钟B ．13分钟C ．15分钟D ．20分钟 5．条件p ：“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍”；条件q ：“直线l 的斜率为2-”，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分也非必要条件6．设函数25(1)()1(1)x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则不等式()1f x ≥的解集为A ．(][],21,2-∞-UB ．()(),20,2-∞-UC ．(][],20,2-∞-UD ．[][)2,02,-+∞U7．若实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则xy yz zx ++的取值范围是A ．[]1,1-B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．已知()y f x =是定义域为R 的单调函数，且12x x ≠，1λ≠-，121x x λαλ+=+，211x x λβλ+=+，若12()()()()f x f x f f αβ-<-，则 A ．0λ< B ．0λ= C ．01λ<< D ． 1λ>9．图像12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数24xy =-的图像关于A ．直线1x =对称B ．点(1,0)对称C ．直线2x =对称D ．点(2,0)对称10．直线l 与圆221x y +=l 与两坐标轴围成的三角形的面积等于 A ．32 B ．12 C ．1或3 D ．12或32第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.11．ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ，若tan A 和tan B 是关于x 的方程210x ax a +++=的两实根，则C ∠= ．12．在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是 ．13．已知实数x 、y 满足约束条件10201x ay x y x --≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩()a R ∈，目标函数3z x y =+只有当1x y =⎧⎨=⎩时取得最大值，则a 的取值范围是 ． 14．要得到cos(2)4y x π=-的图像，且使平移的距离最短，则需将sin 2y x =的图像即可得到．15．假设实数1234,,,a a a a 是一个等差数列，且满足113a <<及34a =．若定义2n an b =，给出下列命题：①1234,,,b b b b 是一个等比数列；②12b b <；③24b >；④432b >；⑤24256b b ⨯=．其中正确的命题序号为 ．16．已知函数2()44f x x =--，若0m n <<，且()()f m f n =，则mn 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分。
江苏省海门市2020学年度第一学期高三数学期中考试卷
江苏省海门市2020学年度第一学期高三数学期中考试卷（11.21）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量(3,4)a =r ，(8,6)b =-r，则向量a r 与b rA ．互相平行B ．互相垂直C ．夹角为030 D ．夹角为060 2．已知24sin 225α=-，,04πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin cos αα+等于 A ．75-B ．15-C ．15D ．753．已知a b c >>，0a b c ++=，当01x <<时，代数式2ax bx c ++的值是A ．正数B ．负数C ．0D ．介于1-与0之间 4．“神六飞天，举国欢庆”，据科学计算，运载“神州”六号飞船的“长征”二号系列火箭在点火1分钟通过的路程为2km ，以后每分钟通过的路程比前一分钟增加2km ，在达到离地面240km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是A ．10分钟B ．13分钟C ．15分钟D ．20分钟 5．条件p ：“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍”；条件q ：“直线l 的斜率为2-”，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分也非必要条件6．设函数25(1)()1(1)x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则不等式()1f x ≥的解集为A ．(][],21,2-∞-UB ．()(),20,2-∞-UC ．(][],20,2-∞-UD ．[][)2,02,-+∞U7．若实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则xy yz zx ++的取值范围是A ．[]1,1-B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．已知()y f x =是定义域为R 的单调函数，且12x x ≠，1λ≠-，121x x λαλ+=+，211x x λβλ+=+，若12()()()()f x f x f f αβ-<-，则 A ．0λ< B ．0λ= C ．01λ<< D ． 1λ>9．图像12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数24xy =-的图像关于A ．直线1x =对称B ．点(1,0)对称C ．直线2x =对称D ．点(2,0)对称10．直线l 与圆221x y +=l 与两坐标轴围成的三角形的面积等于 A ．32 B ．12 C ．1或3 D ．12或32第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.11．ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ，若tan A 和tan B 是关于x 的方程210x ax a +++=的两实根，则C ∠= ．12．在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是 ．13．已知实数x 、y 满足约束条件10201x ay x y x --≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩()a R ∈，目标函数3z x y =+只有当1x y =⎧⎨=⎩时取得最大值，则a 的取值范围是 ． 14．要得到cos(2)4y x π=-的图像，且使平移的距离最短，则需将sin 2y x =的图像即可得到．15．假设实数1234,,,a a a a 是一个等差数列，且满足113a <<及34a =．若定义2n an b =，给出下列命题：①1234,,,b b b b 是一个等比数列；②12b b <；③24b >；④432b >；⑤24256b b ⨯=．其中正确的命题序号为 ．16．已知函数2()44f x x =--，若0m n <<，且()()f m f n =，则mn 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分。
南通市海门中学、泗阳中学2021-2022学年高三上学期第二次诊断测试数学试题及答案
1 2
1,
2
，B
错误；
由集合 A,B，可知 C、D 错误.
故选：A.
r
r
2. 已知向量 a (cos ,sin ) ， b (sin, cos ) ，则 a b （ ）
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2
【答案】B
【解析】
【分析】求出 a b 的坐标，由模的坐标表示计算．
【详解】由已 知
其中 M 为绝对星等， m 为目视星等， d 为距离（单位：光年）．现在地球某处测得牛郎星
目视星等为 0.77，绝对星等为 2.19；织女星目视星等为 0.03，绝对星等为 0.5，且牛郎星和
织女星与地球连线的夹角大约为 34°，则牛郎星与织女星之间的距离约为（ ）（参考数
据：100.906 8.054 ，100.716 5.199 ， cos 34 0.8 ）
（2）求证：函数 f (x) 存在两个零点（记为 x1, x2 ），且 x1x2 1 ．
22. 已知函数 f (x) ex 1 x ． x
（1）求函数 f x 的单调区间；
（2）若对 x 0 ， f (x) ax2 1 成立，求实数 a 的取值范围．
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高三诊断考试试题及答案解析
2022 届高三第二次诊断测试
A. BB1 // 平面 ACD1
B. B1D 平面 ACD1
C. 顶点 B1 到平面 ACD1 的距离为 4 3 3
D. 过顶点 A 可作 2 条不同直线与直线 AC ， AD1 所成的角均为 60°
12.
已知函数
f
x 的定义域 (1,1) ，且
f
(1 ) 1，若 2
f (x)
江苏省海门中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学
江苏省海门中学高三数学十月月考试卷考试时间：2020年10月31日 试卷满分：150分第Ⅰ卷（共60分）一、单选题：本大题共8个小题，每小题6分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设U R =，集合01x A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}11B x x =-<<，则()U A B =（ ）A (]0,1B ．[)0,1C ．()0,1D ．[]0,12．函数()()131ln 2f x x x =--的定义域为（ ）A ．()1,11,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,11,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()0,23．在ABC △中，已知45A =︒，30B =︒，2c =a =（ ）A 62B 62C 31D 314．若[]1,2x ∃∈-，使得不等式220x x a -+<成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．3a <-B ．0a <c ．1a <D ．3a >-5．“开车不喝酒，喝酒不开车．”公安部交通管理局下发《关于2019年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表，经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下图，且该图表示的函数模型()0.540sin 13,02390e 14,2x x x f x x π-⎧⎛⎫+≤<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⋅+≥⎩，则该人喝一瓶啤酒后至少经过（ ）小时才可以驾车？（参考数据：ln15 2.71≈，ln30 3.40≈） 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别 阈值（mg/100mL ）饮酒后驾车 20≥，80<醉酒后驾车80≥A ．5B ．6C ．7D ．8 6．已知正实数d c b a ,,,满足1,1=+=+d c b a ，则dabc 11+的最小值是（ ） A .10 B .9 C .24 D .337．如图，在ABC △中，4BC =，4BA BC ⋅=，点P 为边BC 上的一动点，则PA PC ⋅的最小值为（ ）A ．0B ．2-C ．94-D ．3- 8．已知函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．811,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．811,33⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1013,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多选题（本大题4个小题，每小题5分，共20分，每题有两个或以上的选项正确，全选对得5分，少选但没有错选得3分，有错选成全不选得0分）9．若函数1x y a b =+-（0a >，且1a ≠）的图像不经过第二象限，则需同时满足（ ） A ．1a >B ．01a <<C ．0b >D ．0b ≤10．下列不等式成立的是（ ）A ．若0<<b a ，则22b a >B ．若4=ab ，则4≥+b aC ．若b a >，则22bc ac >D ．若0,0>>>m b a ，则ma mb a b ++< 11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++=12．已知函数()1+=x e xx f ，()()⎩⎨⎧>+-≤=0,20,2x a x x x x f x g ，且()01=g ，则x 的方程()()01=--t x g g 实根个数的判断正确的有（ ）A ．当2-<t 时，方程()()01=--t x g g 没有相异实根B ．当011<<+-t e或2-=t 时，方程()()01=--t x g g 有1个相异实根 C ．当et 111+<<时，方程()()01=--t x g g 有2个相异实根 D ．当e t 111+-<<-或10≤<t 或et 11+=时，方程()()01=--t x g g 有4个相异实根 第Ⅱ卷（共90分）三、填空题（本大题3个小题，每题5分，满分15分，将答案填在答题纸上）13．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos sin θθ和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数z 满足()1i e i z i π+⋅=+，则z =_______． 14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒．若24m n +=2=________． 15．若存在两个正实数x ，y 使等式()()ln ln 0x m y x y x +--=成立，（其中 2.71828e =）则实数m的取值范围是________．四、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分15分）（注意：在试题．．．卷．上作答无．．．．效．）在①()sin sin sin B C A C -=- ②tan tan cos A B a B=+ ③2cos cos cos a A b C c B =+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出b c +的最大值；若问题中的三角形不存在，请说明理由（若选择多个，则按第一个条件评分）问题：已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，________，求b c +的最大值 17．（本小题满分15分）（注意：在．试．题．卷．上作答无效．．．．．）数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且11a n =+． （Ⅰ）求n S ，n a ；（Ⅱ）若n n b a =⋅{}n b 的其前n 项和n T ．18．（本小题满分15分）（注意：在．试题卷．．．上作答无效．．．．．） 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为21, l l ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到21, l l 的距离分别为2千米和5千米，点N 到21, l l 的距离分别为4千米和2.5千米，以12, l l 在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型． （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．19．（本小题满分15分（注意：在试题．．．卷．上作答无效．．．．．） 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点()1,0A 和点()1,0=1B OC -，，且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点． (1)若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求OC OD +的最小值； (2)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，向量(),1cos ,sin 2cos m BC n x x x m n ==--⋅，求的最小值及对应的x 值．20．（本小题满分15分）（注意：在试题．．．卷．上作答无．．．．效．） 已知函数()()ln 1f x ax x =-+.（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若函数()0f x >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求正实数．．．a 的最值范围；（Ⅲ）求证：n N +∀∈!ne n <．（e 为自然对数的底数）10月月考数学试卷答案第一部分：选择题（每题5分，共60分.9-12多选题：全选对得5分，少选但没有错选得3分，有错选或全不选得0分)1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．B 7．C 8．A 9．AD 10．AD 11．ACD 12．AB 7．解：作AO BC ⊥于O 点，由4BA BC ⋅=知，1BO =．法一：建系如图所示，()0,A h ，()1,0B -，()3,0C ，设(),0P x ，则()()(),3,03PA PC x h x x x ⋅=-⋅-=-（其中13x -≤≤）所以当32x =时，PA PC ⋅取得最小值94-． 法二：()PA PC PO OA PC PO PC ⋅=+⋅=⋅,只需考虑P 在OC 上时即可，2924PO PC PO PC PO PC ⎛⎫+⎪⋅=-⋅≥-=- ⎪⎝⎭（当且仅当P 为OC 中点时取等号） 8．解：()sin cos 6f x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin cos cos sin cos 66x x x ππωωω=++ 33sin cos 3sin 223x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 当[]0,x π∈时，,333x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦∵()f x 在[]0,π有且仅有3个零点 ∴343πππωπ≤+< 综上：∴81133ω≤< 11．解：对A ，写出数列的前6项为1，1，2，3，5，8，故A 正确； 对B ，8112358132154S =+++++++=，故B 错误；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a ++++=．故1352019a a a a ++++是斐波那契数列中的第2020项．对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a ++++=，故D 正确；故选：ACD ．三、填空题（每题5分，满分15分，将答案填在答题纸上） 13．1由欧拉公式cos sin cos sin 1i i e i e i θπθθππ=+=+=-有：， 由()1i e i z i π+⋅=+，所以11iz i i +==-- 所以1z =. 14．12-解析：根据题中的条件可得：22cos542sin182cos18-==︒⋅︒︒sin 3612sin 362-︒==-︒，故答案是：12-．15．(),0-∞ 解析：()()ln ln x m x y y x =--，()()ln ln 11ln x y y x y ym x x x --⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭设0y t x =>且1t ≠，设()()1ln g t t t =-，那么()()11ln 1ln 1g t t t t t t '=-+-⋅=-+-， ()221110t g t t t t+''=--=-<恒成立，所以()g t '是单调递减函数，当1t =时，()10g '=，当()0,1t ∈时，()0g t '>，函数单调递增，当()1,t ∈+∞，()0g t '<，函数单调递减，所以()g t 在1t =时，取得最大值，()10g =，即10m<， 解得：0m <，故填：(),0-∞． 四、解答题16．（15分）解：若选择条件①()sin sin sin B C A C -=-()()sin sin sin A C C A C ⇒+-=- ……………2分2cos sin sin A C C ⇒= ……………6分∵sin 0C >，∴1cos 2A =，∴3A π= ……………15分 若选择条件②tan tan A B =+sin sin cos cos A B A B ⇒=+()sin sin cos cos cos cos A B CA B A B+⇒==∵sin 0C >1tan cos A A=⇒=∴3A π= ……………15分若选择条件③2cos cos cos a A b C c B =+2sin cos sin cos sin cos A A B C C B ⇒=+ ()2sin cos sin sin A A B C A ⇒=+=∵sin 0A >，∴1cos 2A =，∴3A π= 由余弦定理可知 2222cos b c bc A a +-=()222434b c bc b c bc ⇒+-=⇒+-=()224332b c b c bc +⎛⎫⇒+-=≤ ⎪⎝⎭()2444b c b c +⇒≤⇒+≤ 当且仅当b c =时等号成立综上()max 4b c += ……………15分 17．（15分）解：（1）当1n =时，12a =，则11a =， ……………2分则2n S n =，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=- ……………6分当1n =时，11a =适合上式，则21n a n =-， ……………8分 （2）由（1）可知，()212nn b n =- ……………10分则()21232212n n T n =⋅+⋅++- ()23121232212n n T n +=⋅+⋅++-两式相减得()()212222212n n n T n +-=+++--， ……………13分∴()12326n n T n +=-+ ……………15分18.（15分）解（1）依题意可知()()2,5,4,2.5M N ，代入a y x b =+得510202.54a a ba b b ⎧=⎪=⎧⎪+⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪+⎩， 所以()1024y x x=≤≤. ……………4分（2）①设10,P t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭（24t ≤≤），曲线()1024y x x =≤≤的导函数'210y x =-， 所以曲线()1024y x x =≤≤在P 处切线的斜率为210t-， 由点斜式得切线方程为：()21010y x t t t -=--，即21020y x t t=-+， ……………6分 令0x =得20y t =，即切线l 的纵截距为20t；令0y =得2x t =，即切线l 的横截距为2t ； ……………8分所以()()()2222204002424f t t t t t t⎛⎫=+=+≤≤ ⎪⎝⎭. ……………10分 ②由于()()22400424f t t t t=+≤≤，而22224004004480t t t t+≥⋅=，当且仅当[]224004102,4t t t =⇒=时等号成立. 所以当10=t l 8045=……………15分19．（15分）解：（1）设()(),001D t t ≤≤，由题易知2222C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以22OC OD t ⎛+= ⎝⎭，所以22221121221222OC OD t t t t t ⎛+=++=+=+ ⎝⎭ ()01t ≤≤，所以当22t =2OC OD +的最小值为12，则OC OD +的最小值为22. ………………………………………………………………………………………………7分 （2）由题意得()()cos ,sin ,cos 1,sin C x x m BC x x ==+，则221cos sin 2sin cos 1cos 2sin 21224m n x x x x x x x π⎛⎫=-+-=--=+⎪⎝⎭. 因为50,,22444x x ππππ⎡⎤∈≤+≤⎢⎥⎣⎦所以，所以当2428x x πππ+==，即时，sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1，所以m n的最小值为1-8x π=.…………15分20．（15分）解：（Ⅰ）当1a =时，由题意()1,x ∈-+∞()1100xf x x '=-==⇒=所以当0x =时，()()min 00f x f == ……………5分 （Ⅱ）由()11f x a x'=-+ 当1a ≥时，()10,11x ∈+，∴()101f x a x'=->+恒成立，即()f x 在()0,+∞上单调递增，所以()()00f x f >=恒成立，符合当01a <<时，()()1111ax a a a f x x x x a ---⎛⎫'==- ⎪++⎝⎭，当10,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，即()f x 在10,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，此时()()00f x f <=，不符合综上：1a ≥ ……………10分 说明：此间分离变量结合洛必达法则，酌情给分． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，1a =时，()ln 1x x >+，()0,x ∈+∞取1x k =，k N +∈，则11ln 1k k⎛⎫+< ⎪⎝⎭，1k =，2，…，n即111111kkk k e e e k k k +⎛⎫⎛⎫+<⇒+<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1k =，2，…，n 上式n 个式子相乘得：1232341123nn n e n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅< ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()1!nnn e n +<e < ……………15分。
江苏省南通市海门区2021至2022学年高三上学期学业质量监测数学试卷 差答案
2021~2022学年度第一学期期末质量调研高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |x 2－4＜0}，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，1，2} 2．若复平面内点(1，－2)对应的复数为z ，则z ＋1z -－i＝A ．45＋25B ．2iC ．－2iD ．23．已知菱形ABCD 的对角线AC ＝2，点P 在另一对角线BD 上，则→AP ·→AC 的值为A ．－2B ．2C ．1D ．4 4．已知a ＝log 328，b ＝π0.02，c ＝sin1，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b 5．已知函数f (x )＝x 2－a e x有三个零点，则实数a 的取值范围是A ．(0，4e 2)B ．[0，4e 2)C ．[0，4e2] D ．(0，4e )6．已知正四棱锥P －ABCD 的底面边长为22，侧棱P A 与底面ABCD 所成的角为45°，顶点P ，A ，B ，C ，D 在球O 的球面上，则球O 的体积是A ．16πB ．323πC ．8πD ．823π7．现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差X 通常被认为服从正态分布．若某物理量做n 次测量，最后结果的误差，X n ~N (0，2n )，则为使|X n |≥14的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为A ．32B ．64C ．128D ．256【附】随机变量X ~N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.9544，P (u －3σ＜X ＜μ＋3σ)＝0.9974．8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点A ，B 在抛物线C 上，且满足AF ⊥BF ．设线段AB 的中点到1的距离为d ，则ABd的最小值为A ．322B ． 3C ．22D ．2二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。
江苏省南通市海门市第一中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题
江苏省海门第一中学2020~2021学年第一学期期末测试高一数学一､单项选择题：本大题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{1,3,4,5,7},{31,}A B xx k k ===+∈Z ∣，则A ∩B =（ ） A. {4,7} B. {1,3,5} C. {1,4,7} D. {5,7}C直接根据交集的定义计算可得；解：{}{}31,,5,2,1,4,7,10,13,B xx k k ==+∈=--Z ∣，{}1,3,4,5,7A =，所以{}1,4,7A B =，故选：C 2. 已知函数y =f (x )的定义域为A ，则“x A ∀∈，都有f (x )≥4”是“函数y =f (x )最小值为4”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B根据充分必要条件，函数最值可判断必要性，利用特殊函数形式，可判断充分性，即可得解. 若“()f x 在A 上的最小值为4”则“x A ∀∈，()4f x ≥”成立，即必要性成立；函数()254f x x =+≥恒成立，但()f x 在A 上的最小值不是4，即充分性不成立，“x A ∀∈，()4f x ≥”是“()f x 在A 上的最小值为4”的必要不充分条件．故选：B. 3. 已知函数y =f (x )的部分图象如图所示，则其解析式可能是（ ）A. ()sin 2f x x x =B. ()||sin 2f x x x =C. ()cos 2f x x x =D. ()||cos2f x x x =B利用函数()0f π=排除两个选项，再由奇偶性排除一个后可得正确选项．由图象知()0f π=，经验证只有AB 满足，C 中()cos 2f ππππ==，D 中()f ππ=，排除CD ，A 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--==为偶函数，B 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A ，选B ．故选：B ．思路点睛：由函数图象选择解析式可从以下方面入手：(1)从图象的左右位置，观察函数的定义域；从图象的上下位置，观察函数的值域； (2)从图象的变化趋势观察函数的单调性； (3)从图象的对称性观察函数的奇偶性； (4)从图象的特殊点，排除不合要求的解析式．.4. 已知2225351,3,(3)2a b c -⎛⎫===- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. b a c >> B. a c b >> C. c a b >> D. b c a >>D分别利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，即可得正确选项.()21122555522124a -=⎛⎫= ==⎪⎝⎭，()1122333339b ===，()()2511255393c ⎡⎤=-=⎣⎦=-，因为15y x =在()0,∞+单调递增，所以115549<，即a c <，因为9x y =在R 上单调递增，1153<，所以115399<，即c b <，所以a c b <<，即b c a >>故选：D.5. 函数2()cos f x x x =-在区间(,1)k k +上存在零点，其中k ∈Z ，则k 的值为（ ） A. -2 B. -2或-1 C. -1 D. -1或0D利用零点存在性定理判断选项.当2k =-时，()24cos20f -=->，()11cos10f -=->，并且函数()2cos f x x x =-在区间()2,1--单调递减，所以不存在零点；当1k =-时，()11cos10f -=->，()0cos010f =-=-<，此时区间()1,0-上存在零点；当0k =时，()11cos10f =->，()()010f f <，此时区间()0,1存在零点.故选：D6. 已知1sin 34x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22sin sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A. 1B.C. 1916D.34C由诱导公式求得cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再由平方关系和诱导公式计算．由已知1cos cos sin 62334x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 222115sin 1cos 166416x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，21sin sin cos 32664x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2211519sin sin 3641616x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．关键点点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，选用适当的公式进行变形求值．本题中首先利用诱导公式得出cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再用诱导公式得出2sin 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭，用平方关系得出2sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，这样求解比较方便． 7. 学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把365(11%)+看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是3651.0137.7834≈：而把365(11%)-看作是每天“落后”率都是1%，一年后是3650.990.0255≈.若“进步”的值是“落后”的10倍，大约经过（ ）天.(参考数据：lg101 2.0043≈，lg99 1.9956≈)A. 110B. 115C. 120D. 125B设经过x 天“进步”的是“落后”的10倍，根据题意列出方程，解方程即可求解. 设经过x 天“进步”的是“落后”的10倍，则100.99 1.01xx⨯=即 1.01100.99x⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1.010.99lg10lg101log 10 1.01101lg101lg99lg lg 0.9999x ====- 111152.0043 1.99560.0087≈=≈-，所以大约经过115天“进步”的值是“落后”的10倍.故选：B.8. 已知函数321,01,()4log ,1a ax x x x f x x x x x ⎧--<⎪=⎨⎪->⎩，对()()211212210,0x f x x f x x x x x -∀>>>-成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B根据题意可得()()1212f x f x x x <，构造函数()()f xg x x=，使函数()g x 在()0,∞+上单调递减，根据分段函数的单调性可得011121114a a a ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪--≥-⎪⎩，解不等式即可求解.对()()211212210,0x f x x f x x x x x -∀>>>-成立，即()()21120x f x x f x -<成立，即()()1212f x f x x x <，()()f xg x x∴=在()0,∞+上单调递减， 由()21,01,()4log 1,1a ax x x f x g x x x x ⎧--<≤⎪==⎨⎪->⎩，可得011121114a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪--≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤.故选：B 二､多项选择题：本题共4小题.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.请把答案填涂在答题卡相应的位置上.9. 已知角,,αβγ，满足αβγπ++=，则下列结论正确的是（ ） A. sin()sin αβγ+= B. cos()cos βγα+= C. sin sin22αγβ+=D. cossin22αβγ+=AD由诱导公式判断．因为αβγπ++=，所以sin()sin()sin αβπγγ+=-=，()()cos cos cos γβπαα+=-=-，22αβγπ++=，sinsin cos 2222αγπββ+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，cos cos sin 2222αβπγγ+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．BC 错，AD 正确．故选：AD ．10. 若函数f (x )的定义域为D ，对于12,x x D ∀∈，且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则称函数f (x )为“凸函数”下列函数是“凸函数”的有（ ）A. 1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. ()ln f x x =C. ()f x =D. ()sin ,02f x x x π=<<BCD根据“凸函数”的定义判断．下列函数f (x )的定义域为D ，12,x x D ∀∈，且12x x ≠，若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则22121212211()()122()2222x xx x f x f x x x f +⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭=>== ⎪⎝⎭，A 不凸函数；若()ln f x x =，则2121212121212ln ln ()()11ln ln()ln()2222222x x x x x x x x f x f x f x x +++++⎛⎫==>== ⎪⎝⎭，B 是凸函数；若()f x =()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，只要证<，令1210,10m x n x =+≥=+≥，m n ≠<2m n+<，即证m n <+，这显然成立．即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，C 是凸函数，若()sin ,0,2f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则12121212()()sin sin sin 2222f x f x x x x x x x f ++++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭112212121212sincos sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos 222222222222x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不妨设1202x x π<<<，则120224x x π<<<，1212sin sin 0,cos cos 02222x x x x-<->， 所以1212()()022f x f x x x f ++⎛⎫-< ⎪⎝⎭，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，D 是凸函数，故选：BCD ． 关键点点睛：本题主要考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是用新定义去判断，证明相应的不等式成立即可．证明不等式的方法有：基本不等式、分析法、作差法． 11. 对于实数a ，b ，c ，其中a >b >0，下列不等式式恒成立的有（ ） A. a c b c +>+ B. ac bc >C. 114a b ab+++ D. 3322a b a b ab ++ACD利用不等式的性质、基本不等式进行判断．由不等式性质A 显然正确；当0c 时，B 不成立，B 错误；由于0a b >>，所以1124a ba b +++>=≥⨯=，C 正确； 332222222()()()()()()0a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b +--=---=--=-+>，D 正确．故选：ACD ．方法点睛：本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．证明不等式是否成立，如果不能直接应用不等式的性质，可以用作差法，不等式两边作差后与0比较，也可以用基本不等式进行证明．12. 对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（ ） A. 把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期 B. 对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x < C. 对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D. 当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1AC根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值；解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-，对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x xx x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减，所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故B 错误；对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 1，故D 错误；故选：AC本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数； 三､填空题：本大题共4小题.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 计算：2log 521(lg5)lg 2lg502⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭___________.45根据对数恒等式及对数的运算法则计算可得；解：()()22log 5log 5221(lg5)lg 2lg50(lg5)lg10lg5lg5lg1022-⎛⎫+⨯-=+-⨯+- ⎪⎝⎭()()21(lg5)1lg5lg515=+-⨯+-()()2214lg51lg555=+--= 故答案为：4514. 已知角α顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，点(sin ,cos )P αα是角α终边上一点且32ππα<<，则2sin cos sin cos αααα-=+___________. 12利用三角函数的定义以及同角三角函数基本关系可计算出tan α的值，再利用化弦为切即可求解.因为点(sin ,cos )P αα是角α终边上一点， 所以22sin cos sin cos αααα==+，所以sin tan 1cos ααα==， 所以2sin cos 2tan 12111sin cos tan 1112αααααα--⨯-===+++， 故答案为：12. 15. 已知定义在R 上的奇函数y =f (x )，当x >0时，()21x f x x =+-，则关于x 的不等式()22()f x f x -<的解集为___________.(,2)(1,)-∞-+∞确定函数的单调性，然后解不等式．2x y =和y x =都是增函数，所以()21x f x x =+-在(0,)+∞上增函数，而02010-+=,即()f x 在[0,)+∞上是增函数，又()f x 是奇函数，所以()f x 在(,0]-∞是递增，也即在(,)-∞+∞上是增函数，因此由()22()f x f x -<得22x x -<，解得2x <-或1x >．故答案为：(,2)(1,)-∞-+∞．关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性，由单调性解函数不等式．解题关键是确定单调性．解题时要注意由奇函数()f x 在(0,)+∞上递增，得()f x 在(,0)-∞上递增，并不能得出()f x 在R 或在(,0)(0,)-∞+∞上递增，但由奇函数()f x 在[0,)+∞上递增，可得其在R 上是增函数． 16. 若x >1，y >1，且a b x y xy ==，则a +4b 的最小值为___________. 9首先由已知确定1,1a b >>，然后利用基本不等式求最小值．因为a b x y xy ==，所以1a y x -=，1b x y -=，又1,1x y >>，所以10,10a b ->->，111(1)(1)()b a b a b x y x x -----===，所以(1)(1)1a b --=，4(1)4(1)559a b a b +=-+-+≥=，当且仅当14(1)a b -=-时等号成立， 所以4a b +的最小值为9． 故答案为：9．易错点睛：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．四､解答题：本大题共6小题，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤一.17. 已知集合{212}A xa x a =-≤≤+∣，其中a ∈R ，集合{B x y ==∣. （1）当a =1时，求(),R A B A B ⋃⋂；（2）若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，求实数a 的取值范围.（1）{13}A B x x ⋃=-≤≤∣，()R {11}A B x x ⋂=-<∣；（2）[3,)+∞.（1）求出集合A 、B ，再利用集合的交、并、补运算即可求解. （2）由题意可得B A ⊆，利用集合的包含关系即可求解.{{}2230{13}B x y x x x x x ===-++≥=-≤≤∣∣∣（1）当a =1时，A ={x |1≤x ≤3}，所以{13}A B x x ⋃=-≤≤∣；R {1A x x =<∣或3}x >， 所以()R {11}A B xx ⋂=-≤<∣. （2）因为“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，所以B A ⊆，所以21123a a -≤-⎧⎨+≥⎩，解得a ≥3.所以实数a 的取值范围是[3，+∞).18. 在①将函数f (x )图象向右平移12π个单位所得图象关于y 轴对称：②函数6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数；③当712x π=时，函数6y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭取得最大值.三个中任选一个，补充在题干中的横线处，然后解答问题.题干：已知函数()2sin()f x x ωϕ=+，其中0,||2πωϕ><，其图象相邻的对称中心之间的距离为2π，___________. （1）求函数y =f (x )的解析式； （2）求函数y =f (x )在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值，并写出取得最小值时x 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.条件选择见解析；（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）12x π=-时，函数f (x )取得最小值，最小值为2-.（1）由相邻中心距离得周期，从而可得ω，选择①，写出平移后解析式，由对称性得新函数为偶函数，结合诱导公式求得ϕ，选择②，求出6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由函数为奇函数，结合诱导公式求得ϕ，选择③，求出()6y f x π=-，代入712x π=，结合正弦函数最大值可得ω，从而得函数解析式；（2）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由，求得23x π-的范围，然后由正弦函数性质得最小值．（1）因为函数f (x )=2sin(ωx +φ)的图象相邻的对称中心之间的距离为2π， 所以周期22T π=，即T =π，所以22T πω==.若选择①，因为函数f (x )图象向右平移12π个单位所得图象关于y 轴对称，所以()2sin 22sin 2126g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象关于y 轴对称，所以62k ππϕπ-=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-.所以函数y =f (x )的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若选择②，因为2sin 22sin 2663y f x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦是奇函数，所以3k πϕπ+=，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-.所以函数y =f (x )的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若选择③，2sin 22sin 2663y f x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由题设，当712x π=时，函数6y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭取得最大值，所以当722()1232k k Z πππϕπ⨯-+=+∈，即2()3k k Z πϕπ=-∈， 因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-.所以函数y =f (x )的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）因为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以422,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当232x ππ-=-，即12x π=-时，函数f (x )取得最小值，最小值为2-.关键点点睛：本题考查由三角函数的图象与性质求解析式，解题关键是掌握正弦函数的图象与性质，解题时注意“五点法”和整体思想的应用．对于奇偶性问题注意诱导公式的应用，由此计算比较方便．19. 已知310,2,tan ,sin 223ππαβπαβ<<<<==. （1）求cos()αβ-的值； （2）求αβ+的值.（1）10；（2）74π. （1）由tan α求得sin ,cos αα，由sin β求得cos β，然后由两角差的余弦公式计算；（2）由两角和的正弦公式求得sin()αβ+后，由3522ππαβ<+<可得αβ+ 因为1tan 3α=，所以sin 1cos 3αα=，又因为22sin cos 1αα+=，02πα<<，所以sin α=，cos α=sin β=322πβπ<<，所以cos β=.（1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+⎛=+ ⎝⎭10=.（2）因为sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+⎛= ⎝⎭2=-. 因为02πα<<，322πβπ<<，所以3522ππαβ<+<，所以74αβπ+=． 方法点睛：本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查同角间的三角函数关系，求角求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，以便选用恰当的公式求值．在求角，一般先确定出这个角的范围，在这个范围内选三角函数值是一对一的函数求得这个三角函数值，然后得角，如果不能直接得出一对一的函数，常常需要由已知或已求出的三角函数值缩小角的范围，从而得出角．20. 已知函数()242()log log 2f x x m x =-+.（1）若函数y =f (x )在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为8，求实数m 的值；（2）若函数y =f (x )在(1，2)上有唯一的零点，求实数m 的取值范围. （1）1或-1；（2）(3,)+∞.（1）令2log t x =，则22y t mt =-+，由x 的取值范围求出t 的取值范围，对二次函数的对称轴分类讨论，分别求出参数的值；（2）依题意函数22y t mt =-+在()0,1上有唯一的零点，令()22g t t mt =-+，又()02g =，()13g m =-，对()1g 分三种情况讨论，最后取并集；解：因为()242()log log 2f x x m x =-+()22log log 2x m x =-+222log log 2x m x =-+， 令2log t x =，则22y t mt =-+，（1）因为1,44x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[2,2]t∈-，所以2222224m my t mt t⎛⎫=-+=-+-⎪⎝⎭，[2,2]t∈-当02m，即m≥0时，此时当t=-2，即14x=时，y取最大值，即4+2m+2=8，解得m=1，满足；当02m<，即0m<时，此时当t=2时，即x=4时，y取最大值，即4-2m+2=8，解得m=-1，满足.所以实数m的值为1或-1.（2）因为x∈(1，2)，所以(0,1)t∈，因为函数y=f(x)在(1，2)上有唯一的零点，且2logt x=在(1，2)是增函数，所以函数22y t mt=-+在(0，1)上有唯一的零点，令g(t)=t2-mt+2，因为g(0)=2，g（1）=3-m，①当g（1）=3-m<0，即m>3时，满足题意②当g（1）=3-m=0，则m=3时，此时g(t)=t2-3t+2，令g(t)=t2-3t+2=0，解得t=1或t=2，不满足；③当g（1）=3-m>0时，且201,280,mm⎧<<⎪⎨⎪-=⎩此时无解；综上，实数m的取值范围为(3，+∞).二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．21. 如图，现有一块半径为2m，圆心角为3π的扇形木板，按如下方式切割一平行四边形：在弧AB上任取一点P(异于A､B)，过点P分别作PC､PD平行于OB､OA，交OA､OB分别于C､D两点，记AOPα∠=.（1）当点P位于何处时，使得平行四边形OCPD的周长最大？求出最大值；（2）试问平行四边形OCPD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值以及相应的α的值；若不存在，请说明理由.（1）点P位于弧AB的中点时，使得平行四边形OCPD的周长最大，最大值为833；（2）存在，最大值为23.过P点作OC的垂线，垂足为H，从而可得PH=2sinα，OH=2cosα，43sinPCα=，23sinCHα=，得出23sin2cosOC OH CHαα=-=-.（1）平行四边形OCPD的周长为f(α)83sin3πα⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可求解. （2）4323()sin26S OC PHπαα⎛⎫=⋅=+-⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可求解.过P点作OC的垂线，垂足为H，因为OP=2，∠AOP=α，则PH=2sinα，OH=2cosα，2sin43sinsin3PCααπ=，123sin2CH PCα==所以23sin2cosOC OH CHαα=-=，（1）设平行四边形OCPD的周长为f(α)，则43sin83sin43sin()2()4cos4cosf OC PCαααααα=+==833πα⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为点P异于A､B两点，所以03πα<<，所以当6πα=，即点P位于弧AB的中点时，使得平行四边形OCPD的周长最大，最大值为3. （2）设平行四边形OCPD 的面积为S (α)，则()2cos 2sin S OC PH ααα⎛=⋅=⋅ ⎝⎭4sin cos αα=-2sin 2α=26πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由（1）得，03πα<<，所以52666πππα<+<， 所以当262ππα+=，即6πα=，也就是点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD. 22. 已知函数()21()221x f x a =-+为奇函数，其中a 为常数. （1）求函数y =f (x )的解析式；（2）若关于x 的方程()1()212x f x k ++=在[1,1]-上有解，求实数k 的最大值； （3）若关于x 的不等式()1(21)226x f λλ++≤在[2,2]-恒成立，求实数λ的取值范围. （1）11()212xf x =-+；（2）最大值为14；（3）13,210⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. （1）根据奇函数的性质可得(0)0f =，代入解析式求出a =2，再根据()()0f x f x 验证即可求解. （2）令121x t =+，12,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，方程转化为2k t t =-在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求出2t t -的取值范围即可求解.（3）将不等式转化为1(21)221x λλ-≤++≤，令2x μ=，1,44μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得令()(21)2h u u λλ=++，根据函数的单调性可得11141(4)1h h ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≤≤⎩，解不等式即可求解.（1）因为函数()21()221x f x a =-+为奇函数，且定义域为R ，所以()021(0)0221f a =-=+，解得a =2. 此时11()212x f x =-+， 所以1111()()0212212x x f x f x --+=-+-=++， 所以函数f (x )为奇函数.所以函数y =f (x )的解析式为11()212x f x =-+. （2）令121x t =+，因为x ∈[-1，1]，所以12,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()1()212x f x k ++=[-1，1]上有解,()111212122xx k ⇔-++=+在[-1，1]上有解, 2k t t ⇔=-在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解， 因为221124k t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，12,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以21,94k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以实数k 的最大值为14. （3）设12x x <，则()()()()2112121211112202122122121x x x x x x f x f x --=--+=>++++， 即f (x 1)>f (x 2)，所以函数11()212x f x =-+在R 上单调递减， 因为1111(1)2126f --=-=+，1(1)6f =-， 所以()()111(21)22(21)22666x x f f λλλλ++≤⇔-≤++≤()(1)(21)22(1)x f f f λλ⇔≤++≤-，1(21)221x λλ⇔-≤++≤(*)令2x μ=，则由x ∈[-2，2]，得1,44μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()(21)22(21)2x h u u λλλλ=++=++，则结合题设及(*)，得1,44μ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，1()1h u -≤≤，所以11141(4)1hh⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≤≤⎩，即21121414(21)21λλλλ+⎧-≤+≤⎪⎨⎪-≤++≤⎩，解得13 210λ-≤≤-，所以实数λ的取值范围为13,210⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.。
江苏省南通市海门中学2020-2021学年高三上学期阶段检测(二)数学试题
江苏省海门中学2020-2021年度第一学期阶段检测高三数学试题一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域）.1.设集合{}2|log 2M x x =<，集合1|82x N x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则（ ） A.MN =∅ B.M N ⊆ C.{|34}M N x x =-<<D.N M ⊆2.已知复数1z i=-，则z =（ ）A.1 D.2 3.设x R ∈，则“38x >”是“2x >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.柏拉图多面体，是指严格对称，结构等价的正多面体.由于太完美，因此数量很少，只有正四、六、八、十二、二十面体五种.如果用边数不同的正多边形来构造接近圆球、比较完美的多面体，那么数量会多一些，用两种或两种以上的正多边形构建的凸多面体虽不是正多面体但有些类似，这样的多面体叫做半正多面体.古希腊数学家物理学家阿基米德对这些正多面体进行研究并发现了13种半正多面体（后人称为“阿基米德多面体”）.现在正四面体上将四个角各截去一角，形成最简单的阿基米德家族种的一个，又名截角四面体.设原正四面体的棱长为6，则所得的截角四面体的表面积为（ ）A. B. C. D.5.现代健康生活的理念，每天锻炼1小时，健康工作50年，幸福生活一辈子.我国每所学校都会采取一系列措施加强学生的体育运动.在某校举行的秋季运动会中，来自同一队的甲乙丙丁四位同学参加了4100⨯米接力赛，则甲乙互不接棒的概率为（ ） A.16 B.13 C.12 D.236.已知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，点M 是圆上的一动点，则MA MB ⋅的取值范围是（ ）A.[]1,0-B.[]1,3-C.[]0,3D.[]1,4-7.“白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼”，古诗《登鹳雀楼》是一首登高的名作，诗人王之涣描绘了一幅美妙的山水画，从此也令鹳雀楼名声大作，世人也能领略鹳雀楼之美.鹳雀楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说有鹳雀在此停留.下面是复建的鹳雀楼的示意图，游客（视为一质点）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79米到达E 点此时看点C 的仰角为45°，若2BC AC =，则鹳雀楼的高AB 约为（ ） 1.73≈）A.65米B.74米C.83米D.92米8.已知实数a ，b ，c R ∈，满足ln(2)ln ln 0a b c a b c ==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.c b a >> B.c a b >>C.b c a >>D.b a c >> 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知双曲线222212x y k k-=，对于k R ∀∈且0k ≠，则下列四个选项中因k 改变而变化的是（ ）A.焦距B.离心率C.顶点坐标D.渐近线方程 10.已知函数1()sin 233f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法中正确的是（ ） A.()f x 的最小正周期为π B.()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C.5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D.当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为1 11.设x ，(0,)y ∈+∞，S x y =+，P xy =，以下四个命题中正确的是（ ）A.若1P =，则S 有最小值2B.若2S P =，则S 有最小值4C.若21S P P=+，则2S 有最小值2 D.若3S P +=，则P 有最大值1 12.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列说法中正确的是（ ）A.平面11A D P ⊥平面1A APB.多面体1CDPD 的体积为定值C.1APD △恒为锐角三角形D.直线1D P 与BC 所成的角可能为6π 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上）13.已知数列{}n a 满足0n a >，且11a =，22112n n n n a a a a ++-=（*n N ∈），则n a =___________. 14.某校科学社团研究一种卫星接收天线，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为4.8m ，深度为1m ，则该抛物线的焦点到定点的距离为__________m.15.将函数2()2sin sin 21f x x x =+-图像先向左平移一个单位，再将每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若1()2g α=，,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则cos α=___________. 16.已知球O 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面11B CD 截球O 的截面面积为______.四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）请从下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决问题①ABC △的面积为26AB AB BC +⋅=-在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c -=，A 为钝角，sin 4A =__________. （1）求边a 的长；（2）求sin 2C 的值.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，且23a =，47a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且112n n S b =-（*n N ∈）. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：2n T <.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，G 、P 是线段AB 、SD 的中点.（1）证明：//GP 平面SBC ；（2）若3BAD π∠=，2AB SA SB ===，SD =SBC 与平面SGD 所成锐二面角的余弦值.20.（本题满分12分）苏果超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本为每瓶4元，售价每瓶6元.未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为350瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频率分布表：（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为420（单位：瓶）时，求Y 的期望值.21.（本题满分12分） 已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的一个焦点坐标为()1,0F ，其左右顶点分别为A ，B ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若过点()4,0P 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，AC ，BD 交于点T ，求AP AT ⋅的值.22.（本题满分12分）已知函数()ln f x x =，函数2ln ()(1)x x g x x e =+.（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）当(0,)x ∈+∞时，证明：当2m ≤时，(1)()mf x g x +≤.江苏省海门中学2020-2021年度第一学期阶段检测高三数学试题一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域）.1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】B解：设AC x =，则2BC x =在Rt ABE △中，2BC BE x ==，∴279BD x =+3tan 30279x x ︒==+∴24.7x =≈ ∴374AB x =≈，选B.8.【答案】A解：令ln ()x f x x =，21ln ()0x f x x -'==，x e =()f x 在(0,)e ，(,)e +∞ ∴max 1()()f x f e e== ln 0c c -<，∴ln 0c c>，∴1c > ln(2)ln 0a b a b=< ∴01b <<，102a <<()f x 在(0,1) ln 2ln ln 2ln ln 2()()a a f b f a a a a a+==+=+ ∴()()f b f a >，∴b a >综上c b a >>，选A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.【答案】AC 10.【答案】AC11.【答案】AD解：1P =，即1xy =2S x y =+≥=，当且仅当1x y ==时取“=”，A 正确2S P =，即2x y xy +=，即11122x y+=1111()12222222x y S x y x y x y y x ⎛⎫=+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当22x y y x=，即1x y ==时取“=”，最小值为2，B 错 21S P P=+ 若21()2x y xy xy +=+≥，当且仅当1xy xy =即1xy =即1y x=时取“=” 此时221()4x y x x ⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭矛盾，C 错 ∴2S 最小值不能是2. 32x y xy xy xy ++=≥+，∴230xy xy +-≤1)0≤，∴1xy ≤ 即max 1xy =，当且仅当1x y ==时取“=”，D 正确选AD12.【答案】ABD解：对于A ，∵11A D ⊥平面1A AP ，11A D ⊂平面11A D P∴平面11A D P ⊥平面1A AP ，A 正确对于B ，11C DPD P CDD V V --=，∵1CDD S △，P 到平面1CDD 的锤子数学距离均为定值故1C DPD V -为定值，B 正确对于C ，设1A P x =，∴AP =1PD =1AD =此时1AD 最长，考察2221111122cos 022x x x APD AP PD AP PD +++-∠===⋅⋅ 当02x <<时，1cos 0APD ∠<，1APD ∠为锐角，当2x =时，1APD ∠为直角，C 错对于D ，即求1D P 与11A D 所成角11A D P ∠1111tan 1A P A D P A P ∠==∈，3∈，∴11A D P ∠可能为6π，D 正确 选：ABD. 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上）13.【答案】12n - 14.【答案】1.4415.解：1()2(1cos 2)sin 211cos 2sin 21224f x x x x x x π⎛⎫=⋅-+-=-+-=- ⎪⎝⎭()f x 向左平移4π244x ππ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭再将每一点的横坐标变为原来锤子数学的2倍，变为()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴1()2g α=142πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ∵,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则0,42ππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭cos 04πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴1cos cos cos cos sin sin 44444442424ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 16.【答案】6π解：连接1AC ，则1AC 经过点O 且1AC ⊥平面11B CD由1C 到平面11B CD1OC = 知O 到平面1B CD，且圆O 半径为12∴221266S ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦截面. 四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解：选①（1）1242bc bc == 2b c -=，∴(2)24b b -=，6b =，4c =∵A为钝角，∴1cos 4A ==- 在ABC △中由锤子数学余弦定理得8a ==. （2）在ABC △中由正弦定理得4sin sin sin sin a c C A C C =⇒=⇒= ∴7cos 8C =，7sin 22sin cos 28C C C ===. 18.解：（1）∵{}n a 为等差数列，设公差为d∴4222a a d -==，∴32(2)21n a n n =+-=- ∵112n n Sb =-① 2n ≥时，11112n n S b --=-② ∴11111223n n n n n b b b b b ---⇒=-⇒=①② 在①式中令1n =得123b = ∴{}n b 为等比数列，且首项为23公比为13，∴1212333n n n b -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭（2）242(21)33n n n n c n -=-⋅= ∴12312610464233333n n n n n T ---=+++++① 23111264104642333333n n n n n n n T -+---=+++++② -①②得1231141193224444224213333333313n n n n n n n T -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎣⎦=++++-=+-- 11424244433333n n n n n ++-+=--=- ∴2223n n n T +=-. 19.解：（1）证明：取SC 的中点E ，连接PE ，BE∵G ，P 分别为AB ，SD 的中点，底面ABCD 是菱形 ∴//12BG CD ，//12PE CD ，//BG PE ∴四边形PGBE 为平行四边形∴//GP BE ，∵GP ⊄平面SBC ，BE ⊂平面SBC∴//GP 平面SBC .（2）∵3BAD π∠=，AB AD =，∴ABD △为等边三角形，又∵SAB △为等边三角形，G 为AB 中点∴AB SG ⊥，AB DG ⊥，∵2AB =，∴SG =DG =∴2226SG DG SD +==∴SG DG ⊥，∴SG ⊥底面ABCD分别以图中GB ，GD ，GS 所在的直线为x ，y ，z 轴建立锤子数学空间直角坐标系∴(1,0,0)B，C，S，∴(1,0,SB =，SC =设平面SBC 的一个法向量()1000,,n x y z =，平面SGD 的一个法向量2(1,0,0)n =∴001100000020x n SB n SC x ⎧⎧=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩令0x =得01z =，01y =-，∴1(3,1,1)n =-设平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角为θ，1n ，2n 所成角为ϕ， ∴121215cos |cos |5n n n n θϕ⋅===⋅20.解：（1）最高气温锤子数学低于20的概率为21618190905+== 最高气温位于区间[)20,25的概率为362905= 最高气温不低于25的概率为25742905++= X 的所有可能取值为200，350，5001(200)5P X ==，2(350)5P X ==，2(500)5P X == 六月份X 的分布列如下：（2）①当这天锤子数学最高气温低于20时，利润20062202420440Y =⨯+⨯-⨯=-此时1(40)5P Y =-= ②当这天最高气温位于[)20,25时，利润35067024204560Y =⨯+⨯-⨯=∴2(560)5P Y == ③当这天最高气温不低于25时，利润42064204840Y =⨯-⨯=2(840)5P Y == Y 的分布列如下∴Y 的期望值122()40560840552555E Y =-⨯+⨯+⨯=21.解：（1）由题意知22222192141c a ab b a bc =⎧⎪⎪=⎧⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎩∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）设直线l 的锤子数学方程为(4)y k x =-，()11,C x y ，()22,D x y ，(2,0)A -，(2,0)B ()22222(4)34816123412y k x x k x x x y =-⎧⇒+-+=⎨+=⎩ ()2222343264120k x k x k +-+-=，212221223234641234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩直线AC 方程为11(2)2y y x x =++，BD 方程为22(2)2y y x x =-- 联立两直线方程锤子数学得21212222T T x y x x x y ++=⋅-- 而2222143x y +=，∴22222324y x x y +=⋅-- ∴()()()()()()12121222121212222423324444416T T x x x x x x x x k x x k x x x x ++++++=-⋅=-⋅----++⎡⎤⎣⎦ 222222222226412644331443434344366412128163434k k k k k k k k k k k -++++=-⋅=-⋅=-⋅⎡⎤-⋅-+⎢⎥++⎣⎦∴1T x =，∵(6,0)AP =，()3,T AT y =，∴18AP AT ⋅=.22.解：（1）1()f x x'=，1k =，切点(1,0) ∴()f x 在1x =处的锤子数学切线方程为1y x =-.（2）即证：当2m ≤时，2sin ln(1)(1)x m x x e+≤+ 而22sin 2sin (1)(1)ln(1)(1)2ln(1)2ln(1)x x x x e m x x e x x e++-+≥+-+≥-+ 令2(1)()2ln(1)x g x x e +=-+，2(1)2()1x g x e x +'=-+，令()0g x '=得1x =，且当01x <<时，()0g x '<，()g x ；当1x >时，()0g x '>，()g x∴()1)12ln 0g x g ≥=-=故2sin (1)ln(1)x x em x +≥+，证毕！。
江苏省海门高级中学2021届高三上学期阶段检测(一)英语试卷+PDF版含答案
江苏省海门中学2020—2021年度第一学期阶段检测高三英语试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟；2．答卷前，务必将姓名、班级、学号、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上；3．请用0.5毫米黑色签字笔按题号在答题卡指定区域作答，在其它位置作答一律无效。
第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.When does the man want to meet Mr.Clark?A.On Wednesday.B.On Thursday.C.On Friday.2.What will the woman do tomorrow?A.Go to the bank.B.Take a trip to California.C.Lend some money to the man.3.What does the boy think of his parents?A.Open-minded.B.Generous.C.Strict.4.What are the speakers mainly talking about?A.Which dress to buy.B.How to choose a dress.C.What to wear to the party.5.Where does the conversation take place?A.At a restaurant.B.At a supermarket.C.At the woman’s house.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
江苏省海门市2022-2023学年高三上学期第二次诊断(期中)测试数学试卷(解析版)
2023届高三第二次诊断测试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有－－项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{x |3x ＜9}，则A ．A ∩B ＝B B ．A ∪B ＝{x |0＜x ＜2}C ．A ∩B ＝AD ．A ∪B ＝R2．已知向量→a ，→b ，→c ，其中→a 与→b 是相反向量，且→a ＋→c ＝→b ，→a －→c ＝(6，6)，则|→a |＝A ．2B ．22C ．32D ．83．已知函数f (x )x ，x ≤0x －5)，x ＞0，则f (2022)的值是A ．4B ．14C ．8D ．184．如图，由于建筑物AB 的底部B 是不可能到达的，A 为建筑物的最高点，需要测量AB ，先采取如下方法，选择一条水平基线HG ，使得H ，G ，B 三点在一条直线上．在G ，H 两点用测角仪测得A 的仰角为α，β，CD ＝a ，测角仪器的高度是h ，则建筑物AB 的高度为A ．a sin βsin(α－β)＋hB ．a sin αsin(α－β)＋hC ．a sin αsin βsin(α－β)＋hD ．a sin αsin βcos(α－β)＋h所以AB ＝a sin αsin βsin(α－β)＋h ，故答案选C ．5．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1＞0(a ，b ∈R ，a ≠0)的解集为{x |x ∈R ，x ≠－b 2a }，则b 4＋44a 有A ．最小值4B ．最小值－4C ．最大值4D ．最大值－4所以a ＞0，且 ＝0，即b 2＝4a ，6．已知α∈(π2，π)，tan α＝－3，则sin(2α－π4)等于A ．55B ．255C ．210D ．－7210【答案】C7．已知正实数a ，b ，c 满足e c ＋e －2a ＝e a ＋e －c ，b ＝log 23＋log 86，c ＋log 2c ＝2，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a作出函数y ＝log 2x 与函数y ＝2－x 的图象，如图所示，8．试估算腰长为1，顶角为20°的等腰三角形的底边长所在的区间A ．(14，27)B ．(27，13)C ．(13，25)D ．(25，12)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下面四个命题正确的是A ．若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R B ．若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈RC ．若复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|，则z 1―z 1＝z 2―z 2D ．若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝―z 210．T n 为等差数列{a n }的前n 项和，公差d ＞0，若a 3a 5a 7＝105，且1a 3a 5＋1a 5a 7＋1a 3a 7＝17，则A ．a 5＝5B ．S 9＝90C ．对于任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得a m ＝S nD ．一定存在三个正整数m ，n ，k ，当m ＜n ＜k 时，2a m ，2a n ，2ak 三个数依次成等差数列11．已知定义在R上的函数f(x)＝cosωx(ω＞0)在区间(－π3，0)上是增函数，则A．f(|x|)的最小正周期为πωB．满足条件的整数ω的最大值为3C．函数f(x)＝cosωx(ω＞0)的图像向右平移π3单位后得到奇函数g(x)的图像，则ω的值为3 2D．函数g(x)＝f(x)＋|f(x)|在(－π2，0)上有无数个零点12．在△ABC中，AB＝22，BC＝4，AC＝210，M是BC的中点，则A．线段AM的长度为25B．→BC＝－16AM·→C．∠AMB＋∠ACB＝π4D．在线段AB的延长线上存在点P，使得∠CPM的最大值为π4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f(x)＝2x－12x＋1，则f(2)＋f(－2)＝．【答案】014．试写出一个无穷等比数列{a n }，同时满足：(1)a 4＝1；(2)数列{a n }单调递减；(3)数列{a n }不具有单调性，则当n ∈N *时，a n ＝．【答案】(－12)n －415．在△ABC 中(角A 为最大内角，a ，b ，c 为∠A 、∠B 、∠C 所对的边)和△A 1B 1C 1中，若sin A ＝cos A 1，sin B ＝cos B 1，sin C ＝cos C 1，则45S △ABC a 2－b 2－c 2＝．16．已知函数f (x )e x ，0＜x ＜1ln x ，x ≥1的图像与直线l 1：y ＝1sin 2α交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1＜x 2，与直线l 1：y ＝12cos 2α交于两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，其中x 3＜x 4，则x 1x 2＋x 3x 4的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知集合A ＝{x |log 4x 24×log 2x 8≤3}，B ＝{x |2x －a x ＋1＞1}．(1)求集合A ；(2)已知命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】18．(12分)已知等差数列{a n}前n项和为S n，S4＝4S2，a2n＝2a n＋1(n∈N*)；数列{b n}是等比数列，且b1＝2，4b2，2b3，b4成等差数列．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若数列{(－1)n a n b n}的前n项和为T n，求9T n＋6n×(－2)n＋1的表达式．【解析】19．(12分)信息1：某同学用“五点法”作函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：ωx ＋φ0π2π3π22πx16A sin(ωx ＋φ)00－32信息2：如图，A 、C 为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象与x 轴的两个交点，B 、D 分别为函数图象的最高点和最低点，且BC ⊥CD ．(1)根据以上两则信息(1)和(2)，直接写出函数f (x )的解析式；(2)求g (x )＝f (x ) f (x ＋12)的单调增区间，以及当x ∈[0，14]时函数g (x )的值域．【解析】所以g (x )的值域为[－318，3316]．20．(12分)在△ABC 中，点D 在边BC 上，且AD ＝BD ，记λ＝BD CD．(1)当λ＝13，∠ADB ＝π3，求AB AC；(2)若tan ∠BAC ＝2tan B ，求λ的值．【解析】21．(12分)已知函数f(x)＝a e x－e1－a，g(x)＝ln(x＋1)，a∈R．(1)求函数g(x)在x＝0处的切线方程；(2)关于x的不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．【解析】所以函数g(x)在x＝0处的切线方程为y＝x，22．(12分)已知函数f(x)＝a e x－sin x，x∈(0，π2)且f(x)存在极值(a∈R)．(1)求a的取值范围；(2)若存在x1，x2(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)，证明：x1＋x2＜2ln1a．【解析】(2)由f(x1)＝f(x2)，可得a e x1－sin x1＝a e x2－sin x2，不妨设0＜x1＜x2，。
江苏省南通市海门中学2020-2021学年高一上学期10月质量检测数学试题(解析版)
17.设 ， ， 或 ，求：
（1） ；
（2）
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】求解出集合 ；（1）根据交集定义直接求得结果；（2）根据补集定义分别求得 的补集，根据交集定义求得结果.
【详解】由题意得： 或
（1）
（2） 或 ，
故选：D
【点睛】本题考查了已知不等式恒成立求参数取值范围问题，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
7.已知 , ,且 ,则 的最小值为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】因为 ,利用基本不等式,注意等号成立的条件,即可求得答案.
【详解】
当且仅当 ,取等号,即 ,结合 ,
可得 时,取得最小值 ．
【点睛】本题考查集合运算中的交集运算和补集运算，属于基础题.
18.设关于 的不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 .
（1）若 ，求集合 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）将 ，代入求解不等式即可；
（2）根据 ，分为 ， 和 解不等式，利用子集关系，即可求实数 的取值范围.
（2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得 的取值范围，由此求得 的最大值.
【详解】（1）动员 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则 ，解得 .
（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则 ，（ ），
故选:A.
【点睛】本题主要考查了根据均值不等式最值,解题关键是灵活使用均值不等式,注意等号验证,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.