天津市高一下学期期中数学试卷(理科)
天津市高一下学期期中数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）已知集合A={0，2，4，6}，B={2，4，8，16}，则A∩B等于（）
A . {2}
B . {4}
C . {0，2，4，6，8，16}
D . {2，4}
2. （2分） (2018高二上·会宁月考) 如果，且，那么的大小关系为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）在中，，则角的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）等差数列中，，，则此数列前20项和等于（）
A . 220
B . 200
5. （2分） (2018高二上·石嘴山月考) 不等式的解集为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）已知函数集合，则的面积是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2019高一下·湖州月考) 在中,角 , ,的对边分别为 , , ,且
,则的形状是（）
A . 等腰三角形
B . 直角三角形
C . 等腰直角三角形
D . 等腰或直角三角形
8. （2分） (2016高二上·大连期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n+1（4n ﹣3），则S15+S22﹣S31的值是（）
C . 46
D . 13
9. （2分）若｛an｝是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5的值为（）
A . 5
B . 10
C . 15
D . 20
10. （2分） (2016高二上·高青期中) △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示三角形的面积，若asinA+bsinB=csinC，且S= ，则对△ABC的形状的精确描述是（）
A . 直角三角形
B . 等腰三角形
C . 等腰或直角三角形
D . 等腰直角三角形
11. （2分） (2018高一下·柳州期末) 若，则的最小值为（）
A . -1
B . 3
C . -3
D . 1
12. （2分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+（3﹣3a2）x+b（a≥1，b∈R）．当x∈[0，2]时，记|f（x）|的最大值为|f（x）|max ，对任意的a≥1，b∈R，|f（x）|max≥k恒成立．则实数k的最大值为（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高二上·福州期中) 在△ABC中，，则角B=________．
14. （1分） (2016高一上·浦东期末) 已知ab＞0，且a+4b=1，则的最小值为________．
15. （1分）(2020·海南模拟) 已知数列满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
16. （1分） (2016高一下·合肥期中) 对于任意的实数m∈[0，1]，mx2﹣2x﹣m≥2，则x的取值范围是________．
三、解答题 (共5题；共45分)
17. （10分）(2018高一下·鹤岗期中) 解不等式：
（1）
（2）
（12
18. （10分）(2017·新课标Ⅰ卷理) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．分）
（1）
求sinBsinC；
（2）
若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
19. （10分） (2016高二上·延安期中) 若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．
（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0
（2） b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．
20. （10分） (2020高三上·静安期末) 请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.
（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.
（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.
21. （5分） (2017高一下·宜昌期中) 已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an﹣1+3an﹣2 ，（n≥3）
（Ⅰ）证明数列{an﹣3an﹣1}成等比数列，并求数{an}列的通项公式an；
（Ⅱ）若数列bn= （an+1+an），求数列{bn}的前n项和Sn ．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共5题；共45分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、19-2、
20-1、20-2、
21-1、。
2020-2021学年天津三中高一(下)期中数学试卷附详细解析参考答案
2020-2021学年天津三中高一（下）期中数学试卷附详细解析参考答案一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分。
）1．（3分）若复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或12．（3分）在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i3．（3分）若向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1）满足条件3﹣与共线，则x 的值（）A．1B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（3分）设，是非零向量，“＝||||”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（）A．2B．C．1D．6．（3分）如果在△ABC中，a＝3，，c＝2，那么B等于（）A．B．C．D．7．（3分）一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1：4，截去小圆锥的母线长为3cm，则圆台的母线长为（）A．3cm B．9cm C．12cm D．6cm8．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，AD＝1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0，1]，则•的取值范围是（）A．[﹣3，1]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣1，1]D．[1，3]二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。
）10．（4分）若复数，则|z|＝．11．（4分）若向量，满足（+）＝7，且||＝，||＝2，则向量与夹角为．12．（4分）在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，A＝45°，则b等于．13．（4分）等腰直角三角形直角边长为2，以斜边所在直线为轴旋转，其余各边旋转一周形成几何体，则该几何体的体积为．14．（4分）已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上．则球的体积与圆柱的体积的比值为．15．（4分）如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为．三、解答题（共4题，第16、17、18题每小题12分，第19题13分，共49分.）16．（12分）已知＝（1，2），＝（﹣3，1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设的夹角为θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量与互相垂直，求k的值．17．（12分）如图，在▱ABCD中，M，N分别在BC，AB上，且BM＝2MC，AN＝3NB，＝，＝．（1）试用，表示，；（2）若||＝4，||＝3，∠BAD＝60°，求•的值．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）如果a+b＝6，＝4，求c的值．19．（13分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△4BC的面积为，求△ABC的周长．2020-2021学年天津三中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分。
天津市河西区2019-2020学年高一第二学期数学期中试卷(解析版)
2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共9小题）.1．如果a→，b→是两个单位向量，则a→与b→一定（）A．相等B．平行C．方向相同D．长度相等2．若复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或13．在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如表：观看场数012345678%10%20%26%m%12%6%2%观看人数占调查人数的百分比从表中可以得出正确的结论为（）A．表中m的数值为8B．估计观看比赛不低于4场的学生约为360人C．估计观看比赛不低于4场的学生约为720人D．估计观看比赛场数的众数为24．甲、乙两个元件构成一并联电路，设E＝“甲元件故障”，F＝“乙元件故障“，则表示电路故障的事件为（）A．E∪F B．E∩C．D．E∩F5．若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i＝b+i，则（）A．a＝1，b＝1B．a＝﹣1，b＝1C．a＝1，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝﹣16．小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（ ）A ．30%B ．10%C ．3%D ．不能确定7．设A 、B 是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ） A ．事件A ⊆B ，则P （A ）＜P （B ） B ．若A 和B 互斥，则A 和B 一定相互独立C ．若A 和B 相互独立，则A 和B 一定不互斥D ．P （A ）+P （B ）≤18．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C +c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定9．已知向量a →，b →是两个不共线的向量，且向量m a →−3b →与a →+（2﹣m ）b →共线，则实数m 的值为（ ） A ．﹣1或3B ．√3C ．﹣1或4D ．3或4二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10．i 是虚数单位，复数6+7i 1+2i= ．11．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．12．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．则事件“x+y≤3”的概率为．13．在三角形ABC中，角A，B，C所对应的长分别为a，b，c，若a＝2，B=π6，c＝2√3，则b＝．14．已知e1→，e2→是夹角为23π的两个单位向量，a→=e1→−2e2→，b→=k e1→+e2→，若a→•b→=0，则实数k的值为．15．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则AE→•BE→的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．16．随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30]30.12（30，35]50.20（35，40]80.32（40，45]n1f1（45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．17．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．18．在△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝30°，b=√2，c＝2，解这个三角形．19．已知OP→=（2，1），OA→=（1，7），OB→=（5，1），设C是直线OP上的一点（其中O为坐标原点）（1）求使CA→⋅CB→取到最小值时的OC→；（2）根据（1）中求出的点C，求cos∠ACB．20．设z1是虚数，z2＝z1+1z1是实数，且﹣1≤z2≤l．（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若ω=1−z11+z1，求证ω为纯虚数；（3）求z2﹣ω2的最小值．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果a→，b→是两个单位向量，则a→与b→一定（）A．相等B．平行C．方向相同D．长度相等【分析】根据a→，b→是两个单位向量；只能得到其模长相等，方向不定，即可判断答案．解：因为a→，b→是两个单位向量；只能得到其模长相等，其他没法确定；故选：D．2．若复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1【分析】复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，复数的实部为0，虚部不等于0，求解即可．解：由复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，{x2−1=0可得x＝﹣1x−1≠0故选：A．3．在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如表：观看场数01234567观看人数占调查人数的8%10%20%26%m%12%6%2%百分比从表中可以得出正确的结论为（）A．表中m的数值为8B．估计观看比赛不低于4场的学生约为360人C．估计观看比赛不低于4场的学生约为720人D．估计观看比赛场数的众数为2【分析】由频率分布表的性质，求出m＝12；先由频率分布表求出观看比赛不低于4场的学生所占比率为36%，由此估计观看比赛不低于4场的学生约为360人；出现频率最高的为3．解：由频率分布表的性质，得：m＝100﹣8﹣10﹣20﹣26﹣16﹣6﹣2＝12，故A错误；∵观看比赛不低于4场的学生所占比率为：16%+12%+6%+2%＝36%，∴估计观看比赛不低于4场的学生约为：1000×36%＝360人，故B正确，C错误；出现频率最高的为3．故D错误；故选：B．4．甲、乙两个元件构成一并联电路，设E＝“甲元件故障”，F＝“乙元件故障“，则表示电路故障的事件为（）A．E∪F B．E∩C．D．E∩F【分析】由并联电路性质得：电路故障为甲、乙两个元件同时发生故障．解：甲、乙两个元件构成一并联电路，设E＝“甲元件故障”，F＝“乙元件故障“，则电路故障为甲、乙两个元件同时发生故障，∴表示电路故障的事件为E∩F．5．若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i＝b+i，则（）A．a＝1，b＝1B．a＝﹣1，b＝1C．a＝1，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝﹣1【分析】根据所给的关于复数的等式，整理出等式左边的复数乘法运算，根据复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等，得到a，b的值．解：∵（a+i）i＝b+i，∴ai﹣1＝b+i，∴a＝1，b＝﹣1，故选：C．6．小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A．30%B．10%C．3%D．不能确定【分析】计算鸡蛋占食品开支的百分比，利用一星期的食品开支占总开支的百分比，即可求得一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比解：根据一星期的食品开支图，可知鸡蛋占食品开支的百分比为3030+40+100+80+50=10%，∵一星期的食品开支占总开支的百分比为30%，∴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×10%＝3%．7．设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（）A．事件A⊆B，则P（A）＜P（B）B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥D．P（A）+P（B）≤1【分析】根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概型与性质进行判断．解：若事件B包含事件A，则P（A）≤P（B），故A错误；若事件A、B互斥，则P（AB）＝0，若事件A、B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B错误，C正确；若事件A，B相互独立，且P（A）＞12，P（B）＞12，则P（A）+P（B）＞1，故D错误．故选：C．8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B＝a sin A，则△ABC 的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B＝sin A sin A，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sin A＝1，可得A=π2，由此可得△ABC的形状．解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵b cos C+c cos B＝a sin A，则由正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B＝sin A sin A，即sin（B+C）＝sin A sin A，可得sin A＝1，故A=π2，故三角形为直角三角形，9．已知向量a →，b →是两个不共线的向量，且向量m a →−3b →与a →+（2﹣m ）b →共线，则实数m 的值为（ ） A ．﹣1或3B ．√3C ．﹣1或4D ．3或4【分析】利用向量共线定理即可得出．解：∵向量m a →−3b →与a →+（2﹣m ）b →共线，∴存在实数k 使得：m a →−3b →=k [a →+（2﹣m ）b →]，化为：（m ﹣k ）a →+[﹣3﹣k （2﹣m ）]b →=0→，∵向量a →，b →是两个不共线的向量， ∴{m −k =0−3−k(2−m)=0，解得m ＝3或﹣1． 故选：A ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10．i 是虚数单位，复数6+7i 1+2i= 4﹣i ．【分析】根据复数的运算法则计算即可．解：6+7i 1+2i=(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=6+14+7i−12i5=20−5i 5=4﹣i ，故答案为：4﹣i11．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 60 名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为44+5+5+6=15，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×15=60，故答案为：60．12．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．则事件“x+y≤3”的概率为112．【分析】基本事件总数n＝6×6＝36，利用列举法求出事件“x+y≤3”包含的基本事件（x，y）有3个，由此能求出事件“x+y≤3”的概率．解：将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．基本事件总数n＝6×6＝36，事件“x+y≤3”包含的基本事件（x，y）有：（1，1），（1，2），（2，1），共3个，则事件“x+y≤3”的概率为p=336=112．故答案为：112．13．在三角形ABC中，角A，B，C所对应的长分别为a，b，c，若a＝2，B=π6，c＝2√3，则b＝2．【分析】由题设条件知，直接利用余弦定理建立方程求出b即可．解：由余弦定理可知b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝22+(2√3)2−2×2×2√3×√32=4．因为b 是三角形的边长，所以b ＝2． 故答案为：2．14．已知e 1→，e 2→是夹角为23π的两个单位向量，a →=e 1→−2e 2→，b →=k e 1→+e 2→，若a →•b →=0，则实数k 的值为54．【分析】利用向量的数量积公式求出e 1→⋅e 2→；利用向量的运算律求出a →⋅b →，列出方程求出k ．解：∵e 1→，e 2→是夹角为23π的两个单位向量∴e 1→⋅e 2→=−12∴a →⋅b →=(e 1→−2e 2→)⋅(ke 1→+e 2→)=ke 1→2−2ke 1→⋅e 2→+e 1→⋅e 2→−2e 2→2=2k −52∵a →⋅b →=0∴2k −52=0 解得k =54 故答案为：5415．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E 为边CD 上的动点，则AE →•BE →的最小值为2116．【分析】可建立坐标系，然后根据给的条件求出A ，B ，E 的坐标，再设E （0，m ），则可将AE →•BE →整理成m 的函数，然后求其最小值．解：因为AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．故如图，建立如图所示的坐标系．则A （1，0），连接AC ，易证Rt △ACD ≌RtACB ， ∴∠DAC ＝∠DAB ＝60°＝∠BAx ＝60°，∴DC =ADtan60°=√3．x B ＝1+1×cos60°=32，y B =sin60°=√32．∴B(32，√32)．设E （0，m ），（0＜m ＜√3）．∴AE →=(−1，m)，BE →=(−32，m −√32)．∴AE →⋅BE →=32+m 2−√32m =（m −√34）2+2116．故当m =√34时，AE →•BE →的最小值为2116．故答案为：2116．三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．16．随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30]30.12（30，35]50.20（35，40]80.32（40，45]n1f1（45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事件可求概率．解：（1）（40，45]的频数n1＝7，频率f1＝0.28；（45，50]的频数n2＝2，频率f2＝0.08；（2）频率分布直方图：（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件，已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为525=15，∴P（A）=C40(1−15)4=0.4096，∴P（A）＝1﹣P（A）＝1﹣0，4096＝0.5904，∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率0.5904．17．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．【分析】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则P（A）=1220=35，P（B）=820=25，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P（A B+AB）＝P（A）P（B）+P（A）P（B），由此能求出结果．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为P（AB）＝P（A）P（B）．由此能求出结果解：（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则P（A）=1220=35，P（B）=820=25，∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P（A B+AB）＝P（A）P（B）+P（A）P（B）=35×(1−25)+（1−35）×25=1325．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：P（AB）＝P（A）P（B）＝（1−35）（1−25）=625．18．在△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝30°，b=√2，c＝2，解这个三角形．【分析】根据正弦定理求得C，进而得到A，根据余弦定理求得a即可．解：由正弦定理可得sin C=cb sin B=√2×12=√22，因为b＜c，则C＝135°或45°，所以A＝15°或105°；根据余弦定理可得cos B=a2+c2−b 22ac ，即√32=a2+4−24a，解得a=√3−1（√3+1舍），故该三角形a=√3−1，A＝15°，C＝135°或a=√3−1，A＝105°，C＝45°．19．已知OP →=（2，1），OA →=（1，7），OB →=（5，1），设C 是直线OP 上的一点（其中O 为坐标原点）（1）求使CA →⋅CB →取到最小值时的OC →； （2）根据（1）中求出的点C ，求cos ∠ACB ．【分析】（1）根据题意设点C(x ，12x)，从而将CA →⋅CB →数量积的坐标表示求出来，可得一个关于x 的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案；（2）根据（1）中的点C ，可以求得CA →，CB →的坐标，利用向量的数量积即可求得cos ∠ACB 的值．解：（1）∵OP →=(2，1)，则直线OP 的方程为y =12x ， ∵C 是直线OP 上的一点，则设点C(x ，12x)，∴CA →=OA →−OC →=(1−x ，7−12x)，CB →=OB →−OC →=(5−x ，1−12x)，∴CA →⋅CB →=（1﹣x ）（5﹣x ）+（7−12x ）（1−12x ） =54x 2−10x +12 =54(x −4)2−8，∴当x ＝4时，CA →⋅CB →取到最小值，此时C （4，2），∴OC →=(4，2)；（2）由（1）可知，C （4，2），∴CA →=(−3，5)，CB →=(1，−1)，∴cos∠ACB=CA→⋅CB→|CA→|⋅|CB→|=−3−5√(−3)+5√1+(−1)=−4√1717，故cos∠ACB=−4√1717．20．设z1是虚数，z2＝z1+1z1是实数，且﹣1≤z2≤l．（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若ω=1−z11+z1，求证ω为纯虚数；（3）求z2﹣ω2的最小值．【分析】（1）设z1＝a+bi，（a，b∈一、选择题，且b≠0），则z2＝（a+aa2+b2）+（b−ba2+b2）i，因为z2是实数，所以a2+b2＝1，即|z1|＝1，且z2＝2a，由﹣1≤z2≤1，z1的实部的取值范围为[−12，12]．（2）ω=1−z11+z1=1−a−bi1+a+bi=1−a2−b2−2bi(1+a)2+b2=−bia+1，由此证明ω=1−z11+z1是纯虚数．（3）z2﹣ω2＝（a+aa2+b2）+（b−ba2+b2）i﹣（−bia+1）2＝2（a+1）+2a+1−3，a+1∈[12，32]，利用基本不等式即可得出答案．解：（1）设z1＝a+bi，（a，b∈R，且b≠0），则z2＝z1+1z1=（a+bi）+1a+bi=（a+bi）+a−bi(a+bi)(a−bi)=（a+bi）+a−bia2+b2=（a+aa2+b2）+（b−ba2+b2）i，因为z2是实数，所以b−ba2+b2=0，即b（a2+b2−1a+b）＝0，因为b≠0，所以a2+b2＝1，即|z1|＝1，且z2＝2a，由﹣1≤z 2≤1，得﹣1≤2a ≤1，解得−12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围为[−12，12]．（2）证明：∵a 2+b 2＝1，ω=1−z 11+z 1=1−a−bi 1+a+bi =1−a 2−b 2−2bi (1+a)2+b2=−bi a+1， 因为−12≤a ≤12，b ≠0，所以ω=1−z11+z 1为纯虚数．（3）z 2﹣ω2＝（a +aa 2+b 2）+（b −ba 2+b2）i ﹣（−bia+1）2，＝2a +（b ﹣b ）i +b2(a+1)2＝2a +1−a 2(a+1)2＝2a +1−aa+1=2a(a+1)+(1−a)a+1=2a 2+a+1a+1＝1+2a 2a+1＝1+2(a+1)2−4a−2a+1＝1+2(a+1)2−4(a+1)+2a+1＝1+2（a +1）﹣4+2a+1＝2（a +1）+2a+1−3，a +1∈[12，32]，2最小＝1．当2（a+1）=2a+1时，即a＝0时，z2﹣ω。
2019-2020学年天津市新华中学高一(下)期中数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年天津市新华中学高一（下）期中数学试卷1. 设复数z 满足z =1+3i 1+i，则|z|=( )A. √5B. √52C. √102D. 22. 已知向量a⃗ =(2,3)与向量b ⃗ =(x,6)共线，则实数x 的值是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 63. 下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是( )A. 某县从该县中、小学生中抽取200人调查他们的视力情况B. 从15种疫苗中抽取5种检测是否合格C. 某大学共有学生5600人，其中专科生有1300人、本科生3000人、研究生1300 人，现抽取样本量为280的样本调查学生利用因特网查找学习资料的情况D. 某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对15−75岁的人群进行随机抽样调查 4. 在△ABC 中，若sinA a=cosB b=cosC c，则△ABC 是( )．A. 正三角形B. 有一内角为30°的等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 有一内角为30°的直角三角形5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =1，c =2√2，B =45°，则sinC =( )A. 441B. 45C. 2√55D. 4√41416. 甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩(单位：环)如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10：若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用x 1−，x 2−表示，方差分别为s 12，s 22表示，则( ) A. x 1−>x 2−，s 12>s 22B. x 1−>x 2−，s 12<s 22C. x 1−<x 2−，s 12<s 22 D. x 1−<x 2−，s 12>s 22 7. 某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为37和27，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为( )A. 2949B. 649C. 2349D. 43498. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率P(A ∪B)=( )A. 12B. 13C. 23D. 569. 对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度(单位：m/s)的数据如下：27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36.则他的最大速度的第一四分位数是( )A. 29B. 29.5C. 30D. 3610. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. 14B. 12C. 34D. 111. 某学院的A ，B ，C 三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为100的样本，已知该学院的A 专业有700名学生，B 专业有500名学生，则在该学院的C 专业应抽取______名学生． 12. 设i 是虚数单位，复数1+ai2−i 为纯虚数，则实数a =______．13. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=4，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ +b ⃗ |=______． 14. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球(1)至少有1个白球；都是白球； (2)至少有1个白球；至少有1个红球 (3)恰有1个白球；恰有2个白球 (4)至少有1个白球；都是红球 是互斥事件的序号为______ ．15. 袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是______．16. 已知点A(−1,1)，B(1,3)，C(−2,−1)，D(3,4)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为______． 17. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图，估计这次测试中数学成绩的平均分约为 、众数约为 、中位数约为 (结果不能整除的精确到0.1)18.甲船在岛A处南偏西50°的B处，且AB的距离为10海里，另有乙船正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时8海里的速度航行，若甲船要用2小时追上乙船，则速度大小为______海里．)，则角B的19.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA=acos(B−π6大小为(1)；若a=2，c=3，则b的值为(2)．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵z=1+3i1+i，∴|z|=|1+3i1+i |=|1+3i||1+i|=√10√2=√5．故选：A．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵向量a⃗=(2,3)与向量b⃗ =(x,6)共线，∴x2=63，解得x=4，故选：C．利用向量平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查平面向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了简单随机抽样方法，解题时应根据简单随机抽样特点进行选择，是基础题．【解答】解：A、C、D选项个体数量大且个体有明显差异，不宜用简单随机抽样；B量小，简单，最适合用简单随机抽样方法抽样；故选：B．4.【答案】C【解析】解：∵sinA a=cosB b =cosC c，则由正弦定理，可知：sinAsinA =cosB sinB=cosCsinC =1，∴sinB =cosB ，sinC =cosC ， ∴B =π4，C =π4，∴A =π2，∴△ABC 是等腰直角三角形． 故选C ．先利用正弦定理把题设中的边转化成角的正弦，整理求得sinB =cosB ，sinC =cosC ，进而分别求得B 和C ，则三角形的形状可判断．本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理完成边角问题的互化．5.【答案】C【解析】解：因为a =1，c =2√2，B =45°，所以根据余弦定理，可得：b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =1+8−2×1×2√2×√22=5，可得b =√5，所以根据正弦定理csinC =bsinB ，可得sinC =c⋅sinB b=2√2×√22√5=2√55． 故选：C ．根据余弦定理求出b 的值，再根据正弦定理求出sinC 即可． 本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题型．6.【答案】B【解析】解：∵x 1−=7+8+8+8+95=8，x 2−=6+6+7+7+105=7.2，∴x 1−>x 2−．则S 12=15[(7−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(9−8)2]=0.4， S 22=15[(6−7.2)2+(6−7.2)2+(7−7.2)2+(7−7.2)2+(10−7.2)2]=2.16，∴S 12<S 22． 故选：B ．由平均数公式，方差公式直接代入求值．本题考查平均数公式，方差公式，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为37和27，两户是否获得扶持资金相互独立， 则这2户都没有获得扶贫基金的概率为(1−37)(1−27)=2049， 则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为1−2049=2949， 故选：A ．由题意先求出这2户都没有获得扶贫基金的概率，再用1减去此概率，即为所求． 本题主要考查相互独立事件的概率，事件和它的对立事件概率间的关系，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”， 基本事件总数n =6，A ∪B 包含的基本事件个数1，2，3，4，6， 则概率P(A ∪B)=56． 故选：D ．利用列举法能求出概率P(A ∪B)．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】A【解析】解：∵最大速度的数据从小到大为：27，28，29，30，31，33，34，35，36，36，38，38∴他的最大速度的第一四分位数是29． 故选：A ．把12个数从大到小排序后，直接找．本题考查四分位数的概念，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：以BC 所在的直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，∵△ABC 是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点， ∴B(−1,0)，C(1,0)，E(0,0)，A(0,√3)， ∴D(−12,√32)， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−√32)， 设F(x,y)， ∴EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)， ∵DE =2EF ， ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(12,−√32)=2(x,y)，解得x =14，y =−√34，∴AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,−5√34)， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,−5√34)⋅(2,0)=12，故选：B ．以BC 所在的直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出．本题考查了向量在几何中的应用，关键是构建坐标系，属于中档题．11.【答案】20【解析】解：某学院的A ，B ，C 三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为100的样本，已知该学院的A专业有700名学生，B专业有500名学生，则在该学院的C专业应抽取：100×1500−700−5001500=20．故答案为：20．利用分层抽样的性质直接求解．本题考查在该学院C专业学生中应抽取学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．12.【答案】2【解析】解：因为1+ai2−i =(1+ai)(2+i)(2−i)(2+i)=2−a+(2a+1)i5，是纯虚数，所以a=2．故答案为：2．复数的分母实数化，利用复数是纯虚数，求出a的值即可．本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．13.【答案】5【解析】解：根据题意，a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =0，则|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=9+16=25，则|a⃗+b⃗ |=5；故答案为：5．根据题意，由向量垂直的性质可得a⃗⋅b⃗ =0，又由|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2，据此变形可得答案．本题考查向量模的计算，涉及向量数量积的运算性质，属于基础题．14.【答案】(3)(4)【解析】解：(1)“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”与都是白球不是互斥事件；(2)当是“1个白球，1个红球”，两个事件都成立，故(2)不是互斥事件；(3)“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，则(3)是互斥事件；(4)“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是互斥事件； 故答案为：(3)(4)根据互斥事件的定义进行判断．本题考查了互斥事件判断，根据互斥事件的定义是解决本题的关键．15.【答案】25【解析】解：袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球， 从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是： P =25×14+35×24=25． 故答案为：25．利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】2√2【解析】解：由题意，可知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,5)，故向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52+52=2√2． 故答案为：2√2．本题先根据向量的定义得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,5)，然后根据向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影公式AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |CD⃗⃗⃗⃗⃗ |进行计算可得结果． 本题主要考查向量的定义及投影公式的应用．考查了转化思想，定义法，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属基础题．17.【答案】727573.3【解析】解：①平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．所以平均成绩为：45×(0.005×10)+55×(0.015×10)+65×(0.020×10)+75×(0.030×10)+85×(0.025×10)+95×(0.005×10)=72；②由众数概念知，众数是出现次数最多的，在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为众数，由频率分布直方图知，这次测试数学成绩的众数为75；③由于中位数是所有数据中的中间值，故在直方图中，体现的是中位数的左右两边频数应用相等，即频率相等，从而就是小矩形的面积和相等，因此在频率分布直方图中，将频率分布直方图中所有小矩形面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求，∵前三个小矩形的面积和为(0.005+0.015+0.020)×10=0.4，第四个小矩形的面积为0.030×10=0.3，0.4+0.3=0.7>0.5，∴中位数应位于第四个小矩形中，设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x=0.1，解得x≈3.3，故成绩的中位数为73.3．故答案为：72，75，73.3．①平均数是频率分布直方图的“重心”，是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；②众数是出现次数最多的，在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为众数；③中位数是所有数据中的中间值，在直方图中，中位数的左右两边频数相等，即频率相等．本题考查了利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数的方法，是基础题．18.【答案】7【解析】解：根据题意建立坐标系：如图所示：由题意知：AB=10，BC=2×8=16，∠BAC=120°，利用余弦定理：BC2=AB2+AC2−2AC⋅AB⋅cos120°=196，所以BC=14．所以乙船的航速为142=7海里．故答案为：7直接利用方位角的应用求出三角形的内角大小，进一步利用余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：方向角的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】π3√7【解析】解：∵在△ABC中，由正弦定理得asinA =bsinB，得bsinA=asinB，又bsinA=acos(B−π6).∴asinB=acos(B−π6)，即sinB=cos(B−π6)=cosBcosπ6+sinBsinπ6=√32cosB+12sinB，∴tanB=√3，又B∈(0,π)，∴B=π3．第11页，共12页∵在△ABC中，a=2，c=3，B=π，3∴由余弦定理得b=√a2+c2−2accosB=√4+9−2×2×3×1=√7．2，√7故答案为：π3).由此能求出B，进而根据余弦定由正弦定理得bsinA=asinB，与bsinA=acos(B−π6理即可解得b的值．本题考查三角形角和边的求法，考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．第12页，共12页。
天津市重点中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷
南开中学2022—2023学年度第二学期期中检测高一数学试卷考试时间：100分钟I 卷(共32分)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分，共100分．考试结束后，将答题卡、答题纸一并交回.一、单项选择题(共8题，每题4分，共32分)1. 下面关于平面向量的描述不正确的有()A ．共线向量是在一条直线上的向量B ．起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量C ．向量CD 与向量DC 长度相等D ．两个非零向量a ，b ，若a +b =a -b ，则a ⊥b 2. 己知复数z 满足i -1 z =2，给出下列四个命题其中正确的是()A ．z =2B ．z 的虚部为-1C ．z =1+iD ．z 2=-2i 3.以下说法正确的是()①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．A ．①②④⑥B ．②③④⑤C ．①②③⑥D ．①②⑤⑥4．在平行四边形ABCD 中，AC =1,2 ，BD =-3,2 ，则AD =()A ．-1,2B ．-2,4C ．1,-2D ．2,-45. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =c 2cos B +1 ,sin C =45，则sin B =()A ．1825B ．-2425C ．-1825D ．24256．在△ABC 中，AB =1,AC =4,∠BAC =π3，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD ⋅BC 的值为()A ．-163B ．163C ．-4D ．47．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE =45AB ，连接AC 、EF 交于点P ，若AP =411AC ，则点F 在AD 上的位置为()A ．AD 边中点B ．AD 边上靠近点D 的三等分点C ．AD 边上靠近点D 的四等分点D ．AD 边上靠近点D 的五等分点8. 如图，△ABC 是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若AD =2，BD =1，点M 为线段CE 上的动点，则MA ⋅MC 的最小值为()A ．-254B ．2516C ．-2516D ．254II 卷(共68分)二、填空题(共6题，每小题4分，共24分)9. 若i 是虚数单位，复数1+3i 2-i 3=.10.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是侧棱AA 1的中点，则平面B 1CE 截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得的截面图形的周长是.11.已知点B (6,5)，若向量AB 与a =(2,3)同向，|AB |=213，则点A 的坐标为.12.已知a ,b ,c 分别为ΔABC 的三个内角A ,B ,C 的对边，a =3，且(a +b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C ，则ΔABC 面积的最大值为.13. 三棱锥P -ABC 的顶点都在球O 的球面上，且AB =2AC =12，∠ABC =π6，若三棱锥P -ABC 的体积最大值为108，则球O 的表面积为.14．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：米)，三角高程测量法是珠穆朗玛峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ,B ,C 三点，且A ,B ,C 在同一水平面上的投影A ′,B ′,C ′满足∠A ′C ′B ′=45°,∠A ′B ′C ′=60°, 由点C 测得点B 的仰角为15°,BB ′与CC′的差为100，由点B测得点A的仰角为45°, 则A,C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′-CC′为米.三、解答题(共3题，共44分)15．(14分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且sin2A+sin A sin B=cos2B-cos2C.(1)求角C的大小；(2)若sin A=2sin B，c=7，求△ABC的面积.16．（15分）已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=AB=13，M、N分别为PA、BD上的点，且PMMA=BNND=58．(1)求证：MN∥平面PBC；(2)求线段MN的长.17. （15分）如图所示，某市有一块空地△OAB，其中OA=2km，∠OAM=60°，∠AOB=90°．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N，都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．设∠AOM=θ．(1)当AM=1km时，求此时防护网的总长度.(2)若θ=15°，问此时人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的多少倍？(3)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？参考答案1-4ABCA5-8DBBC9．1+i10．32+2511. (2，-1)12．94313．192π14．100(3+2)15．(1)2π3(2)32【分析】(1)先将条件中的等式全部变为正弦，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求角即可；(2)先利用正弦定理将sin A=2sin B转化为a,b的关系，再结合(1)中的条件求出a,b，最后利用三角形的面积公式求解即可.【详解】(1)∵sin2A+sin A sin B=cos2B-cos2C=1-sin2B-1-sin2C=sin2C-sin2B,∴由正弦定理得a2+ab=c2-b2，即a2+b2-c2=-ab∴cos C=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12，又C∈0,π，∴C=2π3；(2)∵sin A=2sin B，∴由正弦定理得a=2b①，又a2+b2-7=-ab②，由①②得a=2,b=1，∴S△ABC=12ab sin C=12×2×1×sin2π3=32.16.17. 【答案】(1)6km；(2)3倍；(3)当θ=15°时，S△OMN最小值为6-33km2．【分析】(1)在三角形OAM中，由余弦定理得OM的值，利用勾股定理可得三角形OAM是直角三角形，可求θ的值，求得△OAN是等边三角形，即可得解．(2)由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求MNAM=3，由于以O为顶点时，△OMN和△OAM的高相同，根据三角形的面积公式即可求解．(3)由已知利用正弦定理求出OM，ON，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求△OMN的面积关于θ的函数，利用正弦函数的性质即可求解其最小值．【详解】(1)在三角形OAM中，由余弦定理得，OM=22+12-2×2×1×cos60°=3，所以OM2+AM2=3+1=4=OA2，所以三角形OAM是直角三角形，所以∠OMA=90°，θ=30°．由于∠MON =30°，所以∠AON =∠A =60°，所以△OAN 是等边三角形，周长为2×3=6，也即防护网的总长度为6km ．(2)θ=15°时，在三角形OAM 中，由正弦定理得OM sin60°=AM sin15°⇒OM =AM ⋅sin60°sin15°，在三角形OMN 中，∠ONA =180°-60°-15°-30°=75°，由正弦定理得，MN sin30°=OM sin75°⇒MN =OM ⋅sin30°sin75°=AM ⋅sin60°⋅sin30°sin75°sin15°．所以MN AM =sin60°⋅sin30°sin75°sin15°=sin60°⋅sin30°cos15°sin15°=sin60°⋅sin30°12sin30°=2sin60°=3．以O 为顶点时，△OMN 和△OAM 的高相同，所以S △OMN S △OAM =MN AM=3，S △ONN =3S △OAM ，即人工湖用地△OMN 的面积是堆假山用地△OAM 的面积的3倍．(3)在三角形OAN 中，∠ONA =180°-60°-30°-θ=90°-θ，由正弦定理得，ON sin60°=2sin 90°-θ=2cos θ⇒ON =2sin60°cos θ=3cos θ．在三角形OAM 中，∠ONA =180°-60°-30°-θ=90°-θ，由正弦定理得OM sin60°=2sin 180°-60°-θ =2sin θ+60°⇒OM =2⋅sin60°sin θ+60° =3sin θ+60°．所以S △OMN =12⋅OM ⋅ON ⋅sin30°=14⋅3cos θ⋅3sin θ+60° =34⋅1sin θ+60° ⋅cos θ=34⋅1sin θcos60°+cos θsin60° ⋅cos θ=34⋅112sin θcos θ+32cos 2θ=34⋅114sin2θ+32⋅1+cos2θ2=34⋅114sin2θ+34cos2θ+34=32⋅112sin2θ+32cos2θ+32=32⋅1sin 2θ+60° +32=3⋅12sin 2θ+60° +3．由于∠AOM =θ，0°<θ<60°，所以当2θ+60°=90°，θ=15°时，S △OMN 最小值为3⋅12+3=3⋅2-32+3 2-3=(6-33)km 2．。
天津市第二耀华中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
天津市第二耀华中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题1．下列向量中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（ ）A ．(0,0),(1,2)a b ==r rB ．(5,7),(1,2)a b ==-rrC ．(3,5),(6,10)a b ==r rD ．13(2,3),,24a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭r r2．复数2i1iz +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．zB ．z 的共轭复数为31i 22+C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在平面内的对应点位于第一象限3．四边形OABC 直观图为如图矩形1111O A B C ，其中113O A =，111O C =，则四边形OABC 的周长为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．164．已知m ，n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ） ①,,,m n m n ααββαβ⊂⊂⇒∥∥∥ ②,n m n m αα⊥⇒⊥∥ ③,,m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥∥ ④,m m n n αα⊥⊥⇒∥ A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知平面向量()()0,1,1,1a b ==-r r ，则向量a r在向量b r 上的投影向量是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎝⎭C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭6．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，则四棱锥111A B C CB -的体积是（ ）．A ．B ．CD ．7．△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,CA =6,则AB BC ⋅u u u v u u u v的值为 A ．19B ．14C ．-18D ．-198．设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定9．已知A ､B 是球O 的球面上两点，且90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π10．在锐角三角形ABC 中，cos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C+=，则a c +的取值范围是（ ）A ．B ．(C ．(D ．(二、填空题11．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．12．已知z=i 是虚数单位，则1+z 50+z 100=. 13．已知非零向量a r ，b r 满足223b a =r r ，且(32)a a b ⊥+r r r ，则向量a r 与b r的夹角为．14．设点O 是ABC V 的外心，1312AB AC ==，，则BC AO ⋅=u u u v u u u v.15．如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为．16．若ABC V 是钝角三角形，3a =，4b =，c x =，则x 的取值范围是．三、解答题17．在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥面ABC ，AB ⊥AC ，AP =AC =2，AB =1，(1)求三棱锥P —ABC 的侧面积； (2)求点A 到平面PBC 的距离.18．已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =u r 与(cos ,sin )n A B =r平行. (1)求A ；(2)若2a b ==，求ABC V 的面积．19．如图，四棱锥C ABED -中，四边形ABED 是正方形，若G ，F 分别是线段EC ，BD 的中点.（1）求证：//GF 平面ABC .（2）在线段CD 上是否存在一点P ，使得平面//GFP 平面ABC ？并说明理由. 20．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足πsin sin 3c A a C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC V 的面积为1a b -=，求c 和()cos 2A C -的值. 21．在四棱锥P ABCD -中，已知AB P ,CD AB AD ⊥，,222,2,BC PA AB AD CD PA PC E ⊥====是线段PB 上的点.(1)求证：PC ⊥底面ABCD ；(2)是否存在点E 使得三棱锥P ACE -的体积为49若存在，求出BE BP的值；若不存在，请说明理由.。
2023-2024学年天津市河西区高一下学期期中考试数学试题
2023-2024学年天津市河西区高一下学期期中考试数学试题1.化简：（）A．B．C．D．2.下列说法正确的是（）A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．长方体是平行六面体C．用一个平面去截圆柱，所得截面一定是圆形或矩形D．用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台3.复数的共轭复数是（）A．B．C．D．4.已知正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则（）A．2B．C．4D．5.若单位向量，，满足，，则（）A．0B．C．0或D．0或6.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（）A．B．C．D．7.正六边形中，，，则（）A．B．C．D．8.如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．9.在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围是（）A．B．C．D．10.已知是虚数单位，复数的虚部为___________．11.已知向量，，且，则实数__．12.在中，，，，则BC边上的高为________．13.已知是关于的实系数方程的两个虚根，则___________．14.底面半径为1的圆锥的侧面积是它的底面积的两倍，则圆锥的内切球的表面积与圆锥的表面积之比为___________．15.在四边形中，，，，，为的中点，，则_____；设点为线段上的动点，则最小值为_____．16.已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中是实数(1)求和的值；(2)若是纯虚数，求实数的值17.已知向量，且．(1)求向量与的夹角；(2)求的值；(3)若向量与互相垂直，求k的值．18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若．（i）求的值；（ii）求的面积．。
天津市和平区第一中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
外语听力有试听环
外语考试 14:40 入场完毕，听力采用 CD 播放。 14：50 开始听力试听，试听结束时，会 有“试听到此结束”的提示。听力部分考试结束时，将会有“听力部分到此结束”的提示。 听力部分结束后，考生可以开始做其他部分试题。
1
天津市和平区第一中学 2018-2019 学年高一数学下学期期中试题 （含
六大注意
1
考生需自己粘贴答题卡的条形码
考生需在监考老师的指导下， 自己贴本人的试卷条形码。 粘贴前， 注意核对 一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手 报告。如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。万一粘贴不理想，也不 要撕下来重贴。 只要条形码信息无误， 正确填写了本人的考生号、 考场号及座位 号，评卷分数不受影响。
解析）
一、选择题
1. 以下说法正确的有几个（
）
①四边形确定一个平面； ②如果一条直线在平面外， 那么这条直线与该平面没有公共点； ③
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④如果两条直线垂直于同一条直线， 那么
这两条直线平行；
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
【答案】 B
【解析】
3
A.
B.
C.
【答案】 B 【解析】 【分析】 由三视图可知，该三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且三棱锥的高为 的斜边长是 2，利用锥体的体积公式可得结果 .
D. 2，底面等腰直角三角形
【详解】
由三视图可知，该三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且三棱锥的高为 的斜边长是 2，可求两直角边长为 ，所以三棱锥的底面积为
根据重心得到点 G的坐标，然后根据数量积的坐标运算得到所求．
天津市部分区2023-2024学年高一下学期期中数学试卷
天津市部分区2023-2024学年高一下学期期中数学试卷一、单选题1．已知向量()3,4a =r ，(),3b m =r ，若a b ⊥r r ，则实数m =（ ）A ．-4B ．94-C ．94D ．42．已知复数()()3i 1i z =+-，i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．−23．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若105A =︒，45B =︒，b =则c =（ ）A．1 B ．2 C D 4．已知,m n 为空间两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列命题中不正确的是（ ）A ．若m α⊥，n α⊥，则//m nB ．若m α⊥，//αβ，则m β⊥C ．若//m n ，//n α，则//m αD ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥5．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =2c =，则角A =（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，11B D 的中点，则直线EF 与直线1AA 所成角的正切值为（ ）A ．12B ．13C D7．已知向量a r ，b r ，满足2a b +=r r 2=r a ，b =r a r 与b r 的夹角为（ ） A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π68．已知向量a r ，b r 不共线，且向量c a b λ=r r r +，()21d a b λ=-+u r r r ，若c r 与d u r 方向相反，则实数λ的值为（ ）A ．-1B ．12-C ．1或12- D ．-1或129．如图，在ABC V 中，π3BAC ∠=，2AD DB =u u u r u u u r ，P 为CD 上一点，且14AP AC AB λ=+u u u r u u u r u u u r ，若3AC =u u u r ，4AB =u u u r ，则AP DC ⋅u u u r u u u r 的值为（ ）A ．76- B ．76 C ．1312- D ．1312二、填空题10．i 是虚数单位，复数42i 1i+=-． 11．已知点()2,3A ，()6,3B -，若13AP AB =u u u r u u u r ，则点P 的坐标为． 12．已知()1,2AB =-u u u r ，点()()2,0,3,1C D -，则向量AB u u u r 在CD u u u r 方向上的投影为． 13．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC 的直观图，其中2O B O C ''''==，则三角形A B C '''的面积为．14．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设组合体无盖，且内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．若球的半径为1cm ，组合体的容积为314πcm 3，则该组合体内壁表面积为2cm ．15．在直角梯形ABCD 中，90A D ∠=∠=︒，点P 在BC 边上（包含端点），若244AD AB DC ===，则AP DP ⋅u u u r u u u r 的取值范围是．三、解答题16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知5a =，11b =，3cos 5C =． (1)求c 的值；(2)求ABC V 的面积；(3)求()sin A C -的值．17．已知复数()()2223232i z m m m m =--+-+，其中i 为虚数单位，R m ∈. (1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)z 在复平面内对应的点在第二象限，求m 的取值范围.18．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =．(1)求证：直线BD ⊥平面11AAC C ；(2)求点A 到平面1A BD 的距离．19．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()sin ,m A b c =+u r ，()sin sin ,n C B a b =-+r ，且m n u r r ∥．(1)求角C ；(2)若2b =，sin sin A B =，求ABC V 的周长．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，22AB AD ==，PD ⊥底面ABCD ，M ，N 分别是BC ，PA 的中点．(1)求证：MN //平面PCD ；(2)若直线PB 与平面PCD PD 的长．。
天津市高一下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．下面关于平面向量的描述不正确的有（ ） A ．共线向量是在一条直线上的向量B ．起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量C ．向量与向量长度相等CDDC D ．两个非零向量，若，则 ,a b a b a b +=- a b ⊥【答案】A【分析】对于A ，由共线向量的定义可判断；对于B ，由相等向量的定义可判断；对于C ，由相反向量的定义可判断；对于D ，由两边平方得，即可判断. ||||a b a b +=- 0a b ⋅=【详解】对于A ，共线向量所在的直线平行或重合，A 错误；对于B ，根据相等向量的定义可知，起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量，B 正确；对于C ，向量与向量是相反向量，长度相等，C 正确；CDDC 对于D ，两个非零向量，若，则两边平方得,a b ||||a b a b +=- 22()()a b a b +=- 所以，所以，即，D 正确.222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+0a b ⋅= a b ⊥ 故选：A2．已知复数满足，给出下列四个命题其中正确的是（ ） z ()i 12z -=A ． B ．的虚部为C ．D ．2z =z 1-1i z =+22i z =-【答案】B【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可逐项判断. z 【详解】∵，∴，故z 的虚部为， ()i 12z -=22(i 1)1i 1(i 1)(i 1)z i --===----⋅--1-则，，，所以B 正确，A ，C ，D 不正确. ||2z ==≠1i z =-+()221i 2i z =--=故选：B.3．以下说法正确的是（ ）①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体． A ．①②④⑥ B ．②③④⑤C ．①②③⑥D ．①②⑤⑥【答案】C【分析】根据棱柱（直棱柱、平行六面体、多面体）、棱锥（正棱锥）的结构特征判断各项的正误.【详解】①棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行，故侧面是平行四边形，故正确； ②平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，而长方体是各面都为矩形的平行六面体，故正确；③直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱，显然长方体的侧棱与底面都垂直，故为直棱柱，故正确； ④底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误； ⑤底面为长方形的直四棱柱是长方体，故错误； ⑥四棱柱、五棱锥均有六个面，都是六面体，正确. 故选：C4．在平行四边形ABCD 中，，，则（ ） ()1,2AC = ()3,2BD =- AD = A ． B ．C ．D ．()1,2-()2,4-()1,2-()2,4-【答案】A【分析】根据平行四边形的性质，结合平面向量线性运算坐标表示公式进行求解即可. 【详解】设该平行四边形的对角线的交点为， O ，()1113,1,11,22222AD AO OD AC BD ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A5．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则ABC A ()42cos 1,sin 5a c B C =+=sin B =（ ） A ．B ．C ．D ．18252425-1825-2425【答案】D【分析】运用正弦定理与和差公式可得，根据角的范围可得，再结合倍角()sin sin B C C -=2B C =正弦公式即可求解.【详解】因为，由正弦定理得：， ，()2cos 1a c B =+()sin sin 2cos 1A C B =+()πA B C =-+ ，即 ，()()sin sin 2cos 1B C C B ∴+=+sin cos cos sin sin B C B C C -=即，()sin sin B C C -=又 ，所以 ，0π,0πB C <<<<ππB C -<-<所以或，得或（舍）， B C C -=πB C C -=-2B C =B π=又 ，， ，π0π,2,02B B C C <<=∴<<4sin 5C =3cos 5C ==所以 . 24sin sin 22sin cos 25B C C C ===故选：D.6．在中，，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则的值为ABC A π1,4,3AB AC BAC ==∠=AD BC ⋅ （ ） A ． B ．C ．D ．4163-1634-【答案】B【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.ABAC AD BC AD BC ⋅ 【详解】如下图所示：，()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ 由平面向量数量积的定义可得，π1cos 14232AB AC AB AC ⋅=⋅=⨯⨯= 因此，()()()22112233AD BC AB AC AC AB AC AB AC AB ⋅=+⋅-=+⋅- . ()22116422133=⨯+-⨯=故选：B.7．如图，在平行四边形中，、分别为、上的点，且，连接、ABCD E F AB AD 45AE AB =AC 交于点，若，则点在上的位置为EF P 411AP AC =F ADA ．边中点ADB ．边上靠近点的三等分点 AD DC ．边上靠近点的四等分点 AD D D ．边上靠近点的五等分点 AD D 【答案】B【分析】设，可得出，由，并将用表示，AF xAD =u u u r u u u r 1AD AF x =u u u r u u u r ()441111AP AC AB AD ==+u u u r u u u r u u u r u u u r AB AE将用表示，利用、、三点共线求出的值，即可得出点在边上的位置.AD AFE PF x F AD 【详解】设，可得出，，.AF xAD =u u u r u u u r1AD AF x =u u u r u u u r 45AE AB =u u u r u u u r Q 54AB AE ∴=u u u r u u u r ，()444515411111141111AP AC AB AD AE AF AE AF x x ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q 、、三点共线，，解得，即， E P F 5411111x ∴+=23x =23AF AD =u u u r u u u r 因此，点在边上靠近点的三等分点. F AD D 故选：B.【点睛】本题考查平面向量的基本定理与线性运算，解题的关键就是利用三点共线结论求出参数的值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若ABC A ，点M 为线段上的动点，则的最小值为（ ）2,1AD BD ==CE MA MC ⋅A ．B ．C ．D ．254-25162516-254【答案】C【分析】根据题意结合余弦定理求得，从而可求得，设1,2,AE CE ==AC •5CA CE =，则，利用二次函数的性质即可求解. ,01CM CE λλ=≤≤2()45MA MC CA CM CM λλ⋅=--⋅=- 【详解】因为是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形， ABC A 又，2,1AD BD ==1,2,AE CE ∴==AC ==则，即，222cos 52CE CA AE CE CA ACE +-⨯⨯∠==•5CA CE = 设，,01CM CE λλ=≤≤则()MA MC CA CM CM ⋅=--⋅= 22245CE CA CE λλλλ-⋅=- 25254816λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭又，则时，取最小值.01λ≤≤58λ=•MA MC 2516-故选：C二、填空题9．若是虚数单位，复数________. i 313i2i +=-【答案】/1i +1i +【分析】利用复数乘法和除法法则即可求解.【详解】. ()()()()2313i 2i 13i 13i 2i 6i 3i 55i 1i 2i 2i 2i 2i 55+⨯-++-+-+=====+-++⨯-故答案为：.1i +10．如图，正方体的棱长为2，E 是侧棱的中点，则平面截正方体1111ABCD A B C D -1AA 1B CE 所得的截面图形的周长是________.1111ABCD A B C D -【答案】【分析】为中点，则截面图形为梯形，利用勾股定理求各边的长，可得周长. F AD 1B CFE 【详解】为中点，连接，F AD 1,,EF FC A D正方体中，，，则四边形为平行四边形， 11//A B DC 11=A B DC 11A B CD 有，，11//A D B C 11A D B C =为中点，是的中点，则，得，F AD E 1AA 1//EF A D 1//EF B C 则平面截正方体所得的截面图形为梯形， 1B CE 1111ABCD A B C D -1B CFE其中， 1B C ==EF ==1C E F B ===则梯形的周长为 即所得的截面图形的周长是 1B CFE +故答案为：+11．已知点，若向量与同向，A 的坐标为________. ()6,5B AB()2,3a = AB = 【答案】()2,1-【分析】设，则，，则， ，解得，得(),A x y AB a λ=0λ>()()6,52,3x y λλ--=AB a λ= 2λ=到答案.【详解】设，则，，(),A x y AB a λ=0λ>则，故，()()6,52,3x y λλ--=6253x y λλ=-⎧⎨=-⎩又因为， AB a λ===2λ=故，则.21x y =⎧⎨=-⎩()2,1A -故答案为：.()2,1-12．已知a 、b 、c 分别为的三个内角A 、B 、C 的对边，，且ABC A 2a =，则面积的最大值为______．()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-ABC A【分析】先求出角的大小，由，考虑余弦定理建立的方程，再由基本不等式求A 1sin 2S bc A =,b c 的最大值.bc 【详解】解析：因为， ()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-根据正弦定理可知，即， (a b)()(c b)a b c +-=-222b c a bc +-=由余弦定理可知，又，故，1cos 2A =(0,π)A ∈π3A =又因为，所以，2a =224b c bc +-=（当且仅当时取等号），即 2242b c bc bc bc bc =+-≥-=b c =4bc ≤所以11sin 422S bc A =≤⨯=ABC A13．三棱锥的顶点都在球O 的球面上，且，若三棱锥-P ABC π212,6AB AC ABC ==∠=-P ABC 的体积最大值为108，则球O 的表面积为________. 【答案】192π【分析】解三角形知为直角三角形，求出外接圆半径，圆心、球心、P 在一条直线上时棱锥体积最大，求出此时棱锥高，再由求出球的半径即可. 222()R h R r -+=【详解】在中，由正弦定理得：，解得， ABC A sin sin AC ABB C=sin 1C =，90C ∴=︒外接圆的半径，ABC ∴A 6r =当三棱锥体积最大时，P 到的距离最大，ABC A 即P 点为AB 中点与球心连线延长线与球的交点，且此连线垂直于平面ABC ，设三棱锥的高为h ，则，解得， 1110823AC BC h ⨯⨯⨯=h =设球的半径为R ，则，解得222()R h R r -+=R =.24π192πS R ∴==故答案为：192π14．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：米），三角高程测量法是珠穆朗玛峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影满足，由点C 测,,A B C '''45,60A C B A B C ''''''∠=∠= 得点B 的仰角为，与的差为100，由点B 测得点A 的仰角为，则A ，C 两点到水平15 BB 'CC '45 面的高度差为________米.A B C '''AA CC ''-【答案】)1002【分析】过C 作，过B 作，由已知条件求出BD 、AE ，所求高度差即为CD BB ⊥'BE AA '⊥.BD AE +【详解】过C 作，过B 作，如图所示，CD BB ⊥'BE AA '⊥已知与的差为100，则，BB 'CC '100BD =又，则 ，， 15BCD ∠=100tan15CD ︒=()tan 60tan 45tan15tan 60451tan 60tan 45-=-==+⋅则，100(2B C CD ''===又，，则，45A C B ∠'''= 60A B C '∠''= 75C A B '''∠= 由正弦定理，， sin sin B C A B C A B A C B ''''=''''''∠∠sin 45A B ︒''= ()sin 75sin 3045sin 30cos45cos30sin 45=+=+=即100A B ''==+又，所以 ， 45ABE ∠= 100AEBE A B ''===+则A ，C 两点到水平面的高度差A B C ''' （米）.)1001002001002AA CC BD AE ''-=+=++=+=故答案为： ．)1002+三、解答题15．在中，内角所对的边分别为，且. ABC A ,,A B C ,,a b c 222sin sinsin cos cos A A B B C +=-(1)求角的大小；C (2)若，的面积. sin 2sin A B =c =ABC A 【答案】(1) 2π3【分析】（1）先将条件中的等式全部变为正弦，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求角即可；（2）先利用正弦定理将转化为的关系，再结合（1）中的条件求出，最后利sin 2sin A B =,a b ,a b 用三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）,()2222222sin sin sin cos cos 1sin 1sin sin sin A A B B C B C C B +=-=---=- 由正弦定理得，即∴222a ab c b +=-222a b c ab +-=-，又，2221cos 222a b c ab C ab ab +--∴===-()0,πC ∈；2π3C ∴=（2），sin 2sin A B = 由正弦定理得①，∴2a b =又②，227a b ab +-=-由①②得，2,1a b ==. 112πsin 21sin 223ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=A16．已知点为正方形所在平面外一点，，、分别为P ABCD 13PA PB PC PD AB =====M N PA 、上的点，且. BD 58PM BN MA ND ==(1)求证：平面； //MN PBC (2)求线段的长. MN 【答案】(1)证明见解析 (2) 7MN =【分析】（1）过作的平行线交于，过作的平行线交于，连接，证明M AB PB E N CD BC F EF 出四边形是平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； MEFN //ME NF （2）过作的平行线交于，计算出、的长以及的值，利用余弦定理可求E PC BC G EG FG EGF ∠得，即可得出的长.EF MN 【详解】（1）证明：过作的平行线交于，过作的平行线交于，连接M AB PB E N CD BC F EF ，因为，所以，， ::5:8PM MA BN ND ==::5:13ME AB NF CD ==因为四边形是正方形，则，所以，， ABCD AB CD =ME NF =因为，，，所以，， //ME AB //NF CD //AB CD //ME NF 所以，四边形是平行四边形，则，MEFN //MN EF 因为平面，平面，所以，平面. MN ⊄PBC EF ⊂PBC //MN PBC （2）解：过作的平行线交于，E PC BC G因为，，且，， ::5:8PM MA BN ND ==13PB BC ==//ME AB //NF CD 所以，，则，同理可得， 513PE PM PB PA ==5PE =5BF =因为，所以，，则， //EG PC 513CG PE BC PB ==5CG =所以，，则，1358BG BC CG =-=-=3FG BG BF =-=由且可得， 813EG BG PC BC ==13PC =8EG =因为，则为等边三角形，则，13PB PC BC ===PBC A 60EGF PCB ∠=∠= 由余弦定理得， 2222212cos 83283492EF EG FG EG FG EGF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=所以，，故.7EF =7MN EF ==17．如图所示，某市有一块空地，其中，，．当地政府OAB A 2km OA =60OAM ∠=︒90AOB ∠=︒计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，，都在边OMN A M N AB 上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游30MON ∠=︒OAM △OBN △乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网．设．OAN A =AOM θ∠（1）当时，求此时防护网的总长度；1km AM =（2）若，问此时人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的多少倍？15θ=︒OMN A OAM △（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面OMN A OMN A 积最小？最小面积是多少？【答案】（1）；（23）当时，最小值为． 6km 15θ=︒OMN S △26-【分析】（1）在三角形中，由余弦定理得的值，利用勾股定理可得三角形是直角OAM OM OAM 三角形，可求的值，求得是等边三角形，即可得解． θOAN A（2）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求为顶点时，MN AM=O OMN A 和的高相同，根据三角形的面积公式即可求解．OAM △（3）由已知利用正弦定理求出，，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求OM ON 的面积关于的函数，利用正弦函数的性质即可求解其最小值． OMN A θ【详解】（1）在三角形中，由余弦定理得，OAMOM ==所以，222314OM AM OA +=+==所以三角形是直角三角形，OAM 所以，．90OMA ∠=︒30θ=︒由于，所以，30MON ∠=︒60AON A ∠=∠=︒所以是等边三角形，周长为，OAN A 236⨯=也即防护网的总长度为．6km（2）时，在三角形中，由正弦定理得15θ=︒OAM ， sin 60sin 60sin15sin15OM AM AM OM ⋅︒=⇒=︒︒︒在三角形中，， OMN 180********ONA ∠=︒-︒-︒-︒=︒由正弦定理得， ． sin 30sin 60sin 30sin 30sin 75sin 75sin 75sin15MN OM OM AM MN ⋅︒⋅︒⋅︒=⇒==︒︒︒︒︒所以 sin 60sin 30sin 60sin 30sin 75sin15cos15sin15MN AM ︒⋅︒︒⋅︒==︒︒︒︒sin 60sin 302sin 601sin 302︒⋅︒==︒=︒以为顶点时，和的高相同，O OMN A OAM △所以， OMN OAM S MNS AM=△△ONN OAM S =A A 即人工湖用地的面积是堆假山用地OMN A OAM △（3）在三角形中，OAN ，180603090ONA θθ∠=︒-︒-︒-=︒-由正弦定理得，()222sin 60sin 60sin 90cos cos ON ON θθθ︒==⇒=︒︒-在三角形中，， OAM 180603090ONA θθ∠=︒-︒-︒-=︒-由正弦定理得 ()()22sin 60sin 18060sin 60OM θθ==︒︒-︒-+︒ ()2sin 60sin 60OM θ⋅︒⇒==+︒所以 1sin 302OMN S OM ON =⋅⋅⋅︒△()13144sin 60cos θθ==⋅+︒⋅ ()314sin cos 60cos sin 60cos θθθ=⋅︒+︒⋅3344==3342==．332==由于，，所以当，时， =AOM θ∠060θ︒<<︒26090θ+︒=︒15θ=︒最小值为．OMN S△2336==-。
2022-2023学年天津高一下册期中数学试卷(含解析)
2022-2023学年天津高一下册期中数学试卷（含解析）一、单选题1．（3分）下列说法中，正确的是（）A．三点确定一个平面B．过一条直线的平面有无数多个C．两条直线确定一个平面D．三条两两相交的直线确定三个平面2．（3分）已知复数，则（）A．z的虚部为1B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．在复平面内对应的点位于第二象限3．（3分）一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'B'＝2，则原图形△ABO的面积是（）A．1B．C．D．4．（3分）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则等于（）A．B．C．D．5．（3分）已知＝1，的夹角为，是与向量方向相同的单位向量，则在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．6．（3分）设复数z的共轭复数为，若2z+＝+2i，则z＝（）A．﹣1+2i B．1+2i C．1﹣2i D．7．（3分）已知正三棱锥P﹣ABC的底面边长为6cm，顶点P到底面ABC的距离是cm，则这个正三棱锥的侧面积为（）A．27cm2B．C．9cm2D．8．（3分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是（）A．若a＝2，b＝4，A＝30°，则B只有一解B．若a2+b2﹣c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形C．若b cos C+c cos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形D．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形9．（3分）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值是（）A．2B．4C．D．二.填空题10．（3分）已知平面向量＝（3，﹣2），＝（2，λ），若⊥（），则λ＝．11．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝6，，BB1＝4，则长方体外接球的表面积为．12．（3分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．13．（3分）若直线a∥平面α，直线b∥平面β，且a∈β，b⊂α，则a，b的位置关系是，若已知α与β相交，则a，b的位置关系是．14．（3分）如图，已知棱长为1的正方体ABCD﹣EFGH，点P为棱CG的中点，点Q、R 分别在棱BF、DH上，且四边形AQPR为平行四边形，则四棱锥G﹣AQPR的体积为．15．（3分）在△ABC中，∠BAC＝60°，||＝2，＝2，||＝，则||＝，设（λ∈R），且＝4，则λ的值为．三、解答题16．已知复数z＝m2﹣5m+6+（m2﹣m﹣2）i（i为虚数单位）．（1）若z是纯虚数，求实数m的值；（2）若z＞0，求实数m的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A、N、D 三点的平面交PC于M．求证：（1）PD∥平面ANC；（2）M是PC中点．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各条棱长均为2，M，N分别为CC1，AB的中点．（1）求证：CN∥平面AB1M；（2）求异面直线CN与B1M所成角的余弦值．19．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量＝（a，b）与＝（cos A，sin B）平行．（1）求A；（2）若a＝，b＝2，求sin C的值．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+cos A＝0，c＝4，a＝2．（1）求A，b；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．答案与试题解析一、单选题1．解：∵不在一条直线上的三点确定一个平面，∴A错误；∵过一条直线的平面有无数个，∴B正确；∵两条相交或平行直线确定一个平面，∴C错误；∵空间两两相交的三条直线确定一个平面或三个平面．∴D错误．故选：B．2．解：，则z的虚部为﹣1，，z2＝﹣2i为纯虚数，在复平面内对应的点位于第一象限．故选：C．3．解：因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，所以△ABO的底OB＝O′B′＝2，腰A′O′＝2，在△ABO中为直角三角形，且高OA＝2A′O′＝2×2＝4，所以直角三角形△ABO的面积是2×4＝4．故选：D．4．解：因为，所以＝3（），即＝3，所以＝＝4，则＝．故选：B．5．解：∵，，∴，，∴在方向上的投影向量为．故选：A．6．解：设z＝a+bi（a，b∈R），则＝a﹣bi，因为2z+＝+2i，所以2（a+bi）+（a﹣bi）＝+2i，整理得3a+bi＝+2i，由复数相等，可得，解得a＝，b＝2；所以z＝+2i．故选：D．7．解：由题意可作底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：＝cm，所以正三棱锥的斜高为：＝3cm，所以这个正三棱锥的侧面积为：3×＝27（cm2）．故选：A．8．解：对于A，根据正弦定理，可得sin B＝＝，结合b＞a可知B 有2解，故错误；对于B，△ABC中，∵a2+b2﹣c2＞0，∴角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故错误；对于C，若b cos C+c cos B＝b，sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故正确；对于D，若a cos A＝b cos B，则由正弦定理得2r sin A cos A＝2r sin B cos B，即sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A+2B＝180，即A＝B或A+B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；故选：C．9．解：设＝λ，则＝+＝+λ＝+λ（﹣）＝λ+（1﹣λ）＝+m，∴，解得m＝λ＝．S△ABC＝||•||sin∠BAC＝||•||＝2，∴||•||＝8，||2＝（+）2＝+2+•＝||+||2+||•||cos∠BAC≥2+||•||＝||•||＝4．当且仅当||＝||时，即当||＝||时，等号成立．∴||的最小值为2．故选：A．二.填空题10．解：∵，，∴，∴．故．11．解：由题意可知，长方体的体对角线为其外接球的直径，设外接球的半径为R，则2R＝BD1＝＝8，∴R＝4，因此，该长方体的外接球的表面积为4πR2＝4π×42＝64π．故64π．12．解：可以设该侧面的正方形边长为A，＝A2则S侧面积全面积S＝A2+2π则圆柱的全面积与侧面积的比＝＝故13．解：直线a∥平面α，直线b∥平面β，且a∈β，b⊂α，则a，b的位置关系是平行或异面，若α与β相交，则a，b的位置关系是相交、平行或异面．故平行或异面；相交、平行或异面．14．解：∵V G﹣AQPR＝2V G﹣RQP＝2V R﹣PQG＝＝＝＝，∴四棱锥G﹣AQPR的体积为．故．15．解：因为＝2，所以点D为线段BC上靠近点C的三等分点，由三点共线定理可知＝+，上式左右同时平方得＝++，已知∠BAC＝60°，||＝2，||＝，所以＝++××2×cos60°，解得＝3；因为＝+，，所以＝（）•（）＝4，化简得﹣++（）＝4，因为||＝3，||＝2，∠BAC＝60°，所以﹣×32+×22+（﹣）×3×2×cos60°＝4，解得λ＝，故第一空：3；第二空：．三、解答题16．解：（1）若z是纯虚数，则，解得m＝3．（2）若z＞0，则，解得m＝﹣1．17．证明：（1）连结BD，AC，设AC∩BD＝O，连结NO，∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，在△PBD中，N是PB的中点，∴PD∥NO，又NO⊂平面ANC，PD⊄平面ANC，∴PD∥平面ANC．（2）∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊄平面ADMN，AD⊂平面ADMN，∴BC∥平面ADMN．∵平面PBC∩平面ADMN＝MN，∴BC∥MN，又N是PB的中点，∴M是PC的中点．18．证明：（1）取AB1的中点Q，连结NQ，MQ，∵N，Q分别是AB，AB1的中点，∴NQ，又M是CC1的中点，∴MC BB1，∴NQ MC，∴四边形NQMC是平行四边形，∴NC∥MQ，∵CN⊄平面AB1M，MQ⊂平面AB1M，∴CN∥平面AB1M．解：（2）取BB1中点R，连结CR，NR，∵M，R分别是CC 1，BB1的中点，∴CM B1R，∴四边形CMBR是平行四边形，∴CR∥B1M，∴∠RCM为异面直线CN与B1M所成角，∵△ABC是边长为2正三角形，∴CN＝，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，∴CR＝＝，NR＝＝，∴CN2+NR2＝CR2，∴∠RNC＝90°，∴cos＝，∴异面直线CN与B1M所成角的余弦值为．19．解：（1）向量＝（a，b）与＝（cos A，sin B）平行，∴a sin B＝b cos A，∴sin A sin B＝sin B cos A，∵sin B≠0，∴sin A＝cos A，∴tan A＝，∵0＜A＜π，∴A＝；（2）由正弦定理可得＝，∴sin B＝＝＝，∵a＞b，∴A＞B，∴cos B＝＝，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝×+×＝．20．解：（1）△ABC中，sin A+cos A＝0，所以sin A+cos A＝0，即sin（A+）＝0，因为A∈（0，π），所以A+∈，所以A+＝π，解得A＝，又因为a＝2，c＝4，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即28＝b2+16﹣8b×（﹣），即b2+4c﹣12＝0，解得b＝﹣6（舍去）或b＝2，所以b＝2；（2）因为c2＝b2+a2﹣2ab cos C，所以16＝28+4﹣2×2×2×cos C，所以cos C＝，解得CD＝＝，所以CD＝BC，＝AB•AC•sin∠BAC＝×4×2×＝2，因为S△ABC＝S△ABC＝．所以△ABD的面积的面积为S△ABD。