具时滞的单种群模型和SIS模型的稳定性和分支分析
具時滞的单种群模型和SIS模型的稳定性和分支分析
第2章 预备知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1 几何准则. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Hopf 分支存在条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
具有时滞的生态-流行病SIS模型的稳定性和Hopf分支
Ｖ ０ Ｉ ＿ ３ ２ Ｎ ｏ ． ２
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０１ ３
ＤＯＩ ： １ ０． ３ ９ ６ ９ ／ Ｊ ． Ｉ Ｓ Ｓ Ｎ． １ ０ ０ ４—６ ０ ２ Ｘ． ２ ０１ ３ ． ０ ２ ． ０ ２ ６
具 有 时滞 的 生 态 一流 行 病 Ｓ Ｉ Ｓ模 型 的 稳定 性 和 Ｈ ｏ ｐ ｆ 分 支
其模 型 为
ｄ Ｘ
＝
２ ０ ０ ３年 ， 孙树 林 、 原 存德 考 虑 了疾 病 只 在捕 食 者
之间传播 ， 染病的捕食 者会 因病死亡 ， 食饵有密度制 约 的捕食 一 被 捕食 的 Ｓ Ｉ Ｓ模 型 ¨ Ｊ ：
ｄ Ｘ
＝
（ 口一ｂ ｘ）一
（ 。一ｂ ｘ）一
警 ＝ ｅ Ｘ Ｓ ｓ 一 ＋ ６ Ｉ
Ｅ 。 和Ｅ 两个非负平衡点 ， 当 ∈（ 堕
，
为接触率 ， ６ 为恢复率 ， 易感捕食者 的怀孕所需要 的 时问为 丁 ≥ ０ ， 在这段时间里食饵转化为捕食者 自身
的能量 。
衡点 Ｅ 。 ， Ｅ 外， 边 界平衡 点 Ｅ 也 存 在 。当 ｅ ∈（ ｅ ， ｃ ］ 时， 除了 Ｅ 。 ， Ｅ 和 Ｅ 外， 正衡点 Ｅ ，出现 。
赵红妮 ， 窦霁 虹 ， 刘艺艺
（ 西北大学 数学系 ， 陕西 西安 ７ １ ０ １ ２ ７ ）
摘
要： 该文考 虑一 类含 有 时滞的捕 食者 染病 的 生态一 流行病 Ｓ Ｉ Ｓ模型 ， 主要 利 用特征 根 法讨论 了
平衡点的存在性及其稳定性 ， 证 明了＇ ３ －时滞 ＝ ０时， 正平衡 点是局部渐近稳定的， 随着时滞增加 ，
，
数， ａ 为食饵的内禀增长率 ， ｂ 为密度制约系数 ， Ｃ 为
一类具时滞和非线性传染率的SIS传染病模型的Hopf分支
一类具时滞和非线性传染率的SIS传染病模型的Hopf分支童姗姗;窦霁虹;王佳颖【摘要】研究了一类具恢复期时滞且发生率为非线性的SIS传染病模型,讨论了该系统地方病平衡点的稳定性。
利用Hopf分支理论,以时间τ为参数给出了系统在地方病平衡点处产生Hopf分支的充分条件。
%A class of an SIS epidemic mathematic model with constant recruitment,time delay and nonlinear incidence is studied,and its stability of endemic equilibrium is discussed.By applying the theorem of Hopf bifurcation,the sufficient conditions of the endemic equilibrium occurring Hopf bifurcation with delay as parameter is given.【期刊名称】《延安大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(030)003【总页数】3页(P19-21)【关键词】Hopf分支;时滞;非线性传染率;局部渐近稳定【作者】童姗姗;窦霁虹;王佳颖【作者单位】西北大学数学系,陕西西安710127;西北大学数学系,陕西西安710127;西北大学数学系,陕西西安710127【正文语种】中文【中图分类】O175.1近二十年来，许多学者通过数学模型研究传染病动力学，已有很多成果［1］。
传染病动力模型中，最重要的是对发生率的描述，在经典的流行病模型［2-4］中通常采用双线性发生率（βSI）和标准发生率，同时，对发生率为非线性［5-6］的传染病模型也有一些研究成果。
2009年杜艳可等在文献［7］中研究了如下一类具非线性发生率βISp的SIS传染病模型：讨论了其平衡点以及极限环的性态。
一类带收获和时滞的生态经济模型的稳定性和Hopf分支_图文_(精)
５ｌ６数学杂志Ｖｂ１．３３七。
长∞ 一∞ 。
＾Ｊｃ．山０Ｉ１：＇、ＱＩＯ．Ｏ９６Ｏ．Ｏ９５５Ｏ．Ｏ９５ｏ．０９４５｜Ｉ鲁娶ｌｊ０４ｌａｌｓａ意山．Ｉｏ≈０ａＪｃＩ．＞七０∞ Ｏ．Ｏ９４Ｏ．ｏ９３５Ｏ．３６图１７＿：０．７５＜ＴＯ，正平衡点Ｙｏ＝（０．６７，０．３８，０．１０）是渐近稳定的ａ）Ｑ ×ＩＯ．０９６Ｏ．１Ｏ．Ｏ９５．Ｏ９５０．０９４Ｏ．Ｏ９Ｏ．７Ｏ．Ｏ９３ｙ—ｐ图２当丁＝０．７９５＜Ｔｏ正平衡点ｙ０：（０．６７，０．３８，０．１０）处分支周期解李华刚等：一类带收获和时滞的生态经济模型的稳定性和Ｈｏｐｆ分支∞ ∞ ＾Ｊ哪ｃ● ５１７茎８秀。
图３当７＿＝０．９＞７０正平衡点ｙ０＝（０．６７，０．３８，０．１０）是不稳定的３结论本文避开直接研究微分代数系统的困难，通过微分代数系统局部参数化的方法把微分代数系统转化为等价的二维微分系统，通过研究微分系统的稳定性和Ｈｏｐｆ分支性质，从而得到微分代数系统与之有相同的性质．４数值模拟对于系统（１．２），取参数／＇１＝ａ２＝Ｐ＝ｌ，。
＝ｍ＝ｒ２＝１，ａｌ＝２，ｃ＝石１，＝面１，则系统＿＝＿一㈤），．１【Ｅ（）（（ｔ）一）一：０．通过计算容易求的正平衡点Ｙｏ＝（０．６７，０．３８，０．１０），Ａ＝百１，Ｂ＝，Ｃ＝１，Ｄ＝，Ｗ０＝参考文献［１】马知恩．种群生态学的数学模型与研究［Ｍ］．合肥：安徽教育出版社，１９９６．【２］刘宣亮，戴国仁．一个食饵种群具有常数收获率和具有ＩＩＩ类功能性反应系统的定性分析［Ｊ］．生物数学学报，１９９７，１２（３）：２１３—２２２．５１８数学杂志Ｖｏ１．３３ ¨Ｕ杨建雅，张风琴．一类具有阶段结构的捕食食饵种群收获模型ｆＪ］．数学杂志，２０１０，３０（６）：１０７７—１０８３．【３］［４］邱林．具有时滞的细胞神经网络吸引集与周期解存在性［Ｊ＿．．Ｉ＝程数学学报，２００８，２５（２）：２１１—２１８．【５１ＭａｒｔｉｎＡ，ＲｕａｎＳ．Ｐｒｅｄａｔｏｒ—ｐｒｅｙｍｏｄｅｌｓｗｉｔｈｄｅｌａｙａｎｄｐｒｅｙｈａｒｖｅｓｔｉｎｇ［Ｊ］．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ｂｉｏ１．，２００１，４３：２４７－２６７．田晓红，徐瑞，工丽丽．一类具时滞和收获的捕食模型的稳定性与Ｈｏｐｆ分支＿Ｊ］．＿ｒ程数学学报，２０１０，２７（４）：６８４～６９２．ＧｏｒｄｏｎＨＳ．Ｅｃｏｎｏｍｉｃｔｈｅｏｒｙｏｆａｃｏｍｍｏｎｐｒｏｐｅｒｔｙｒｅｓｏｕｒｃｅ：ｔｈｅｉｆｓｈｅｒｙ［Ｊ］．Ｐｏｌｉｔ．Ｅｃｏｎ．．１９５４．６２：１２４１４２．ＣｈａｏＬ．Ｄｙｎａｍｉｃａｌｂｅｈａｖｉｏｒｉｎａｈａｒｖｅｓｔｅｄｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ—ａｌｇｅｂｒａｉｃｐｒｅｙ．ｐｒｅｄａｔｏｒｍｏｄｅｌｗｉｔｈｄｉｓｃｒｅｔｅｔｉｍｅｄｅｌａｙａｎｄｓｔａｇｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎｌａｏｆｔｈｅＦｒａｎｋｌｉｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，２００９，ｄｏｉ：１０．１０１６．ＢｏｓｈａｎＣ，ＸｉａｏｘｉｎＬ，ＹｏｎｇｑｉｎｇＬ．Ｎｏｒｍａｌｆｏｒｍｓａｎｄｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌａｌｇｅｂｒａｉｃｓｙｓｔｅｍｓ［ＪＪ．ＡｃｔａＭａｔｈ．Ａｐｐ１．Ｓｉｎｉｃａ，２０００，２３：４２９—４３３．ＧｕｏｄｏｎｇＺ，ＬｕｌｕＺ，ＢｏｓｈａｎＣ．Ｈｏｐｆｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎａｎｄｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｒｆａｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ。
具有时滞和阶段结构的SIS传染病模型的稳定性
【 （）一 一 ３ ｔ ｒ 一 ”２ — ） （
ｆ ￡ ｚ （ ）一 （） ｆ 一 （）一 ￡
（） ｆ．
），
而 文Ｅ ］ 种生 物从幼 年到成 年 的时 间间隔 不是一 个常数 ， ２某 而是 种群 数量 的 函数 ， 考虑 如 下模型 ：
一 －ｂ ｙ㈩ 一
＋ （， ｃ￡ ）
（ １ ）
设 （） １ 中的各参 数均 大于零 ， 系统 （ ） 以看 出后 两 个 方程 独 立 于第 一 个 方 程 ， 以 我们 可 以仅 考虑 下 面 从 １可 所
的系统 ：
～ 卜ｒ 蝴 一
，一 一 一
薯
．
＋ ，
关 键 词 ：传 染 病模 型 ； 平衡 点 ；局 部 稳 定 性 ；全 局 稳 定 性 ； 阈值 ，
中 图 分 类 号 ：Ｏ１ ５ １ ７． ３
文 献 标 志 码 ：Ａ
文 章 编 号 ：１ ７ — ３ ３ ２ １ ） ３ ０ １ — ７ ６ ３０ １ （ ０ １ ０ — ０ ００
０ 引 言
’
显然系统 （ ） ２ 的一致 持续 生存 和稳 定 性 隐含 着 系统 （ ） １ 的一 致 持 续生 存 和 稳 定性 。下 面我 们 主 要 讨论 系统
（） ２ 的一致 持续 生存 和稳定 性 。令 Ｒ 一 ｛ ， ≥０ ≥ｏ 且 ｃ｛ 一ｒ ０ ， ） 从 ［ ，］ Ｒ （ ）： ｚ ， ｝ ［ ，］Ｒ 为 一ｒ ０ 到 的连
” （ — ｒ ｔ （
ｌ （ 一 Ｒ ｚ （—ｒ ） 一 ２ ， ） ｅ” ｔ （ ） （ ）
）＝ ｌ（ ＝ ￡ ｒ ＝ｚ （）＋ （） ￡，
一类具有阶段结构的SIS传染病模型的稳定性
ｔ （ ） ＝一（ ＋ ）＋ 一 ‘一２ ， ｒ Ｅ‘ Ｊ 口＋ ‘一 （ ０＋ｂ＋ｃ ）＝
３ 无病平衡 点稳定性 讨论
定理 ２ 当 尺 。≤ １时 ，无 病 平 衡 点 （ ｏ０ Ｘ ，） 局部 渐 近稳定 。
一
（ ＋ 口
—
对 系统 （ ） 行无 量纲 变 换 ， ＝ ， ＝ Ｙ １进 Ｘ Ｓ ｌ
２ ，＝ Ｙ
Ⅳ
，
则 ＋Ｓ＋，＝１．再 将 Ｓ ＝１一Ｘ 一， 人 代
原 系统 （ ） 则 系统转 化 为等 价形 式 １，
ｆ ＝ｔ 一（ｔ ＋ｃ） 一口 Ｘ ｔ ｔ＋ ，垒 ｅ（ ， ｘ，） Ｉ ’＝８ ｌ一８ ｌ一８ 一（ ｘ ０＋ｂ＋ｃ Ｉ垒 Ｑ（ Ｉ ） ｘ，
， ＝ －一 ‘一 ± ‘ —
，
部渐 近稳 定 。
证
＝
系统在 Ｅ‘处 的 Ｊｅｂ 矩 阵为 ａｏｉ
Ｊ Ｅ‘ （ ）＝
１ 一
ｉ ±垒 ２ ± ± ２ ± （
（ ＋ ） 。
、 ’ 。 （ 一 。 一 一 一 ＋＋ ） ‘ ‘ ‘ ０ ） （ ｂｃ。 ＋＋ ，
目。ｔ ， ， ， ｂ 为正 常数 ，ｔ 幼年 出 ｔ， ０， ｃ， 均 ｔ为 生率 ， 为幼 年死 亡 率 ， 表 示单 位 时间 内幼 年成 长
２０ ０ ８年 ３月 ４ 日收 到
定 １假 ＝ 理 设
对 于 系统 （ ） 有 ： ３式
乏
，
１ 系统 （ ） 总存 在无病平衡 点 Ｅ （ ｏ０ ） ３式 ｏＸ ，），
年， 在不 同 阶 段会 表 现 出 不 同 的 特 性 。近 些 年 来 ，
分别 表示 疾病 的传 染 率 和 恢 复 率 ， 表 示 染 病 者 的 ｂ
具有种群Logistic增长及饱和传染率的SIS模型的稳定性和Hopf分
具有种群Logistic增长及饱和传染率的SIS模型的稳定性和
Hopf分
具有种群Logistic增长及饱和传染率的SIS模型的稳定性和Hopf 分支
该文研究一类具有种群Logistic增长及饱和传染率的SIS传染病模型,讨论了平衡点的存在性及全局渐近稳定性,得到疾病消除的阈值就是基本再生数R0=1.证明了,当R0＜1时,无病平衡点全局渐近稳定;当R0＞且αK≤1时,正平衡点全局渐近稳定;当R0＞1且△=0时,系统在正平衡点附近发生Hopf分支;当R0＞1且△＜0时,系统在正平衡点外围附近存在唯一稳定的极限环.
作者：徐为坚 Xu Weijian 作者单位：玉林师范学院数学与计算机科学系,玉林,537000 刊名：数学物理学报ISTIC PKU英文刊名：ACTA MATHEMATICA SCIENTIA 年，卷(期)：2008 28(3) 分类号：O175.13 关键词：平衡点全局渐近稳定极限环 Hopf分支。
具有对流项的单种群时滞反应扩散模型的稳定性和Hopf分支
第３８卷第１期２０２４年１月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３８N o ．１J a n ．２０２４收稿日期:２０２３Ｇ０６Ｇ１０基金项目:国家自然科学基金项目(６１７６３０２４)作者简介:潘英翠(１９９８Ｇ),女,山东临沂人,在读硕士,研究方向为微分方程与动力系统．E Ｇm a i l :p a n yc ３２１＠１６３．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２４)０１Ｇ００２４Ｇ０６具有对流项的单种群时滞反应扩散模型的稳定性和H o pf 分支潘英翠,张存华,李永花(兰州交通大学数理学院,甘肃兰州７３００７０)摘要:考虑了D i r i c h l e t 边界条件下具有对流项的单种群时滞反应扩散模型．通过分析模型在空间非齐次稳态解处线性化模型的特征值问题,获得了模型空间非齐次稳态解的稳定性以及H o p f 分支的存在性．关键词:时滞反应扩散模型;特征值;稳定性;H o p f 分支中图分类号:O １７５㊀㊀㊀文献标志码:AS t a b i l i t y a n dH o p fB i f u r c a t i o no f a S i n g l eP o p u l a t i o nD e l a y e d R e a c t i o nD i f f u s i o n M o d e lw i t hC o n v e c t i o nT e r mP A N Y i n g Ｇc u i ,Z HA N GC u n ＧH u a ,L IY o n gＧh u a (S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a )A b s t r a c t :I nt h i s p a p e r ,as i n g l e p o p u l a t i o nd e l a ye dr e a c t i o nd if f u s i o n m o d e lw i t hc o n v e c t i o n t e r ma n dD i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s c o n s i d e r e d ．B y a n a l y z i ng th e ei ge n v a l u e p r o b l e mof t h em o d e l l i n e a r i z e d a t t h e n o n h o m og e n e o u s s t e a d y Ｇs t a t e s o l u t i o no f th em o d e l s p a c e ,t h e s t a Ｇbi l i t y o f t h en o n h o m o g e n e o u ss t e a d y Ｇs t a t es o l u t i o no f t h e m o d e l s p a c ea n dt h ee x i s t e n c eo f H o pf b i f u r c a t i o na r e o b t a i n e d ．K e y wo r d s :D e l a y e d r e a c t i o nd i f f u s i o nm o d e l ;e i g e n v a l u e s ;s t a b i l i t y ;H o p f b i f u r c a t i o n 0㊀引言近年来,许多研究学者关注了对流环境中的种群动力学[１Ｇ２]．在文献[３]中,M a 和W e i 考虑了齐次D i r i c h l e t 边界条件下具有对流项的单种群模型∂u (x ,t )∂t ＝d u x x (x ,t )－㊀㊀a u x (x ,t )－b u (x ,t )＋g (u (x ,t －r )),㊀㊀t ＞０,x ɪ(０,L ),u (０,t )＝u (L ,t )＝０,t ＞０,ìîíïïïïïï(１)其中:u (x ,t )是位置x 和时刻t 处物种的种群密度;d ＞０表示种群的扩散系数;a ＞０是种群的对流率;b 是种群的死亡率;g ɪC m(R ,R )(m ȡ３)是种群的出生率且满足g (０)＝０．令u ＝e x p(－a x /d )u ,t ＝d t ,仍用u 和t 表示u 和t ,则模型(１)化为∂u (x ,t )∂t ＝e －γx (e γx u x (x ,t ))x －㊀㊀εu (x ,t )＋e －γx f (e γx u (x ,t －τ)),㊀㊀t ＞０,x ɪ(０,L ),u (０,t )＝u (L ,t )＝０,t ＞０,ìîíïïïïïï其中f (u )＝g (u )/d 且γ＝a /d ,ε＝b /d ,τ＝d r ．D i r i c h l e t 边界条件表明外部环境是恶劣的,物种不能跨越环境边界移动．一些研究人员已经研究了D i r i c h l e t 边界条件下扩散系统在空间非齐次稳态解附近的动力学行为[３Ｇ５]．然而,讨论D i r i c h l e t 边界条件下扩散系统空间非齐次稳态解附近的动力学行为非常困难,因为非齐次稳态解是空间非常数的．文献[５]应用L y a p u n o v ＧS c h m i d t 约化方法,研究该模型空间非均质稳态解的稳定性,H o pf 分支的存在和方向等．在文献[６]中,B u s e n b e rg 和H u a n g 利用隐函数定理和巧妙的构造,研究了具有D i r i ch l e t 边界条件的延迟扩散H u t c hi n s o n 方程的H o pf 分支的存在性．在有些情况下,需要同时考虑瞬间和延迟反馈控制,基于此,本文考虑模型:∂u (x ,t )∂t ＝e －γx (e γx u x (x ,t ))x －㊀㊀εu (x ,t )＋e －γx f (e γx u (x ,t ),㊀㊀e γxu (x ,t －τ)),x ɪ(０,L );u (０,t )＝u (L ,t )＝０,ìîíïïïïïï(２)其中t ＞０．在文献[７]中,作者利用L y a pu n o v ＧS c h m i d t 约化方法得到了模型(２)空间非齐次稳态解的稳定性．本文在文献[７]的基础上,通过分析模型(２)在空间非齐次稳态解处线性化模型的特征值问题,研究了模型(２)的空间非齐次稳态解的稳定性以及H o pf 分支的存在性．在本文中,设C k (X ,Y )是从X 到Y 的k 次连续可微映射的B a n a c h 空间,其中X ＝H ２([０,L ])ɘH １０([０,L ]),Y ＝L ２([０,L ]),且Y １＝{y ɪY |‹v ,y ›＝０,v ɪK },H １０([０,L ])＝{u ɪH １(Ω,R )|u (x )＝０,x ɪ∂Ω}．在复值的H i l b e r t 空间Y C 中,‹u ,v ›＝ʏL ０u －(x )v (x )d x ．1㊀特征值问题记f １(０,０)＝α,令λ＝α＋f ２(０,０)－ε,考虑下面的特征值问题:－e －γx (e γx φx )x ＋q (x )φ＝㊀㊀λφ,x ɪ(０,L );φ(０)＝φ(L )＝０,ìîíïïïï(３)其中q (x )ɪC ([０,L ])．由文献[３]可知(３)的所有特征值都是实的．设λ１(q )是(３)的主特征值,则其对应的特征函数不改变符号．下面将用φ１表示相应于主特征值λ１＝λ１(０)＞０的特征值函数且满足 φ１ L ２[０,L ]＝１．根据文献[７],在条件(H )f １１(０,０)＋２f １２(０,０)＋f ２２(０,０)ʂ０下,当λɪΛ (λ∗,λ１)ɣ(λ１,λ∗)时,其中λ∗和λ∗为常数,模型(２)有空间非齐次的稳态解u λ(x )＝ω－λφ１(x )＋h (ω－λφ１(x ),λ),其中ω－λ是方程g (ω－,λ)＝ʏ１０φ１(x )G (u λ,λ)d x ＝０的解,这里G (u λ,λ)＝(e γx(u λ)x )x －(fᶄ１(０,０)＋f ᶄ２(０,０)－λ)e γxu λ＋f (e γx u λ,e γxu λ)．另外h ( ,λ):s p a n {φ１}ңX １满足h (０,λ)＝０,其中X １＝{y ɪX |‹v ,y ›＝０,v ɪK }．K ＝s p a n {φ１}．在u λ处线性化模型(２),可得∂v (x ,t )∂t ＝e －γx (e γx v x )x (x ,t )[]－㊀㊀εv (x ,t )＋f ᶄ１(e γx u λ,e γxu λ)v (x ,t )＋㊀㊀fᶄ２(e γx u λ,e γxu λ)v (x ,t －τ),v (０,t )＝v (L ,t )＝０,ìîíïïïïïï(４)其中,t ＞０,x ɪ(０,L )．根据文献[８Ｇ９],由(４)的解所诱导的半群的无穷小生成元A τ,λ为A τ,λψ＝ψ,ψɪDo m (A τ,λ),其中D o m (A τ,λ)＝{ψɪC C ɘC １C ∣ψ(０)ɪX C ,ψ(０)＝I },I ＝e －γx (e γx (ψ(０))x )x －εψ(０)＋f ᶄ１(e γx u λ,e γxu λ)ψ(０)＋f ᶄ２(e γx u λ,e γx u λ)ψ(－τ)．C C ＝C ([－τ,０],Y C ),C １C ＝C １([－τ,０],Y C )．A τ,λ的谱集为σ(A τ,λ)＝{μɪC ∣m (λ,μ,τ)ψ＝０,ψɪX C \{０}},其中m (λ,μ,τ)ψ e －γx (e γx ψx )x －εψ＋[fᶄ１(e γx u λ,e γxu λ)＋f ᶄ２(e γx u λ,e γx u λ)e －μτ]ψ－μψ．将τ作为分支参数,研究了A τ,λ的谱来描述模型(２)正稳态解u λ的稳定性．引理１㊀假设条件(H )成立,那么当λɪΛ时,对于所有的τ＞０,０∉σ(A τ,λ)．证明㊀若０ɪσ(A τ,λ),则对于任何τ＞０,存在一个ψɪX C \{０},使得m (λ,０,τ)ψ＝e －γx (e γx ψx )x －εψ＋[fᶄ１(e γx u λ,e γxu λ)＋５２第１期潘英翠等:具有对流项的单种群时滞反应扩散模型的稳定性和H o pf 分支fᶄ２(e γx u λ,e γx u λ)]e －γx ψ＝０．(５)令ψ(x )＝βλφ１(x )＋ω－λϕλ(x ),(６)其中βλɪR ,ϕλɪX １,满足‹φ１,ϕλ›＝０,将(６)代入(５),可得βλm (λ,０,τ)φω－λ＋m (λ,０,τ)ϕλ＝０．(７)将βλ和ϕλ(x )在λ＝λ１处进行泰勒展开,可得βλ＝ð¥j ＝０βj (λ－λ１)j ,ϕλ(x )＝ð¥j ＝０ϕj (x )(λ－λ１)j．令l i m λңλ１m (λ,０,τ)φϖλ φ~,‹φ１,φ~›＝B ．其中φ~＝φ１l i m λңλ１λ－λ１ω－λ＋f １１(０,０)＋２f １２(０,０)＋f ２２(０,０)()φ２１e γx,B ＝f １１(０,０)＋２f １２(０,０)＋f ２２(０,０)()ʏL０e ２γx φ３１(x )d x ２ʏL０e γx φ２１(x )d x．当λ趋近于λ１时,比较(７)中各项的系数,可得到β０φ~＋((e γx ( )x )x ＋λ１e γx)ϕ０＝０．由条件(H )可知,φ~∉Y １,那么β０＝０．在X １中,根据ϕ０ɪX １和(e γx ( )x )x ＋λ１e γx是可逆的,可知ϕ０(x )ʉ０．对于所有x 和j ɪN ．比较(７)中高阶项的系数,可以得到βj ＝ϕj (x )ʉ０,这意味着m (λ,０,τ)ψ＝０只有一个解ψ＝０,这与ψɪX C \{０}相矛盾．因此,当λɪΛ＝(λ∗,λ１)ɣ(λ１,λ∗)时,０∉σ(A τ,λ)．证毕．接下来,讨论A τ,λ的纯虚数特征值的存在．对于每个(λ,τ)ɪΛˑR ＋,A τ,λ有一个纯虚数特征根μ＝i ω(ωʂ０)的充分必要条件是对于某个ψɪX C\{０},m ~(λ,ω,θ)ψ (e γx －εψe γx＋f ᶄ１(e γx u λ,e γx u λ)＋f ᶄ２(e γx u λ,e γx u λ)e －i θ[] ψe γx －i ωe γxψ＝０．(８)当ω＞０,θɪ[０,２π)时,上式可解,那么m (λ,i ω,τn )ψ＝０,τn ＝θ＋２n πω,n ＝０,１,２, ．若(ω,θ,ψ)是(８)的解,且满足ψ＝βφ１＋ω－λϕɪX C \{０},‹φ１,ϕ›＝０,则m ~(λ,ω,θ)ψ＝０．又u λ＝ω－λφ１＋h (ω－λφ１,λ),将(８)乘以φ１(x )并在(０,L )上积分,计算得到０＝ʏL０φ１(x )m ~(λ,ω,θ)ψ(x )d x ＝ʏL０φ１(x ){(e γx( )x )x －εe γx＋[f ᶄ１(e γx u λ(x ),e γxu λ(x ))＋fᶄ２(e γx u λ(x ),e γx u λ(x ))e －i θ]e γx －i ωe γx}[βφ１(x )＋ω－λϕ(x )]d x ＝－(λ１＋ε＋i ω)ʏL０e γx[βφ１(x )＋ω－λϕ(x )]d x ＋ʏL０φ１(x )[(fᶄ１(０,０)＋f １１(０,０)e γx u λ＋f １２(０,０)e γxu λ)＋(fᶄ２(０,０)＋f ２１(０,０)e γxu λ＋f ２２(０,０)e γx u λ)e －i θ]e γx [βφ１(x )＋ω－λϕ(x )]d x ＋o (ω－λ)＝－λ１＋ε－α－(λ＋ε－α)e －i θ[]βʏL０e γxφ２１(x )d x －i ωβʏL ０e γx φ２１(x )d x ＋βω－λʏL ０e ２γx φ３１(x )[f １１(０,０)＋f １２(０,０)＋(f ２１(０,０)＋f ２２(０,０))e －i θ]d x ＋o (ω－λ)．整理得{－λ１＋ε－α－(λ＋ε－α)e －i θ[]ʏL０e γxφ２１(x )d x －i ωʏL０e γxφ２１(x )d x }/ω－λ＋[f １１(０,０)＋f １２(０,０)＋f ２１(０,０)＋f ２２(０,０)()e －i θ]ʏL０φ３１(x )e ２γxd x ＝０．对上式分离实虚部,得l i m λңλ１θ２ω－λ＝４Bλ１＋ε－α,l i mλңλ１(λ１＋ε－α)θ＋ωω－λθ＝[(f１１(０,０)－f １２(０,０)－２f ２２(０,０))ʏL０φ３１(x )e ２γx d x ]/３ʏL０e γx φ２１(x )d x ()．根据上述分析,得出如下结论．６２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷定理１㊀如果(ω,θ,ψ)是(８)的解,其中ψɪX C \{０},那么l i mλңλ１θ２ω－λ＝４Bλ１＋ε－α,l i mλңλ１(λ１＋ε－α)θ＋ωω－λθ＝[f １１(０,０)－f １２(０,０)－２f ２２(０,０)()ʏL０φ３１(x )e ２γx d x ]/３ʏL ０e γx φ２１(x )d x ()．根据定理１,讨论λɪ(λ∗,λ１)时的情况,作如下变换θ＝－tω－λ,ω＝t ω－λε＋λ－α－ηω－λ(),(９)其中l i m λңλ１t ＝t ∗ʉ２Bε＋λ１－α,l i m λңλ１η＝０．(１０)因此,得到如下结果．定理２㊀假设条件(H )成立,则存在一个常数λ∗＜λ１,(i )存在从(λ∗,λ１)到X C \{０}()ˑR ３的连续可微映射F :λa (ϕλ,βλ,t λ,ηλ),使得F (ϕ∗,１,t ∗,０,λ１)＝０,且F (ϕλ,βλ,t λ,ηλ,λ)＝０,其中F (ϕ,β,t ,η,λ)＝[βm ~(λ,t ω－λε＋λ－α－ηω－λ(),－t ω－λ)φ１]/ω－λ＋m ~(λ,t ω－λε＋λ－α－ηω－λ(),－t ω－λ)ϕ．(i i )模型(２)存在一个空间非齐次稳态解,模型(２)在其稳态解处线性化模型的解生成的半群的无穷小生成元A τ,λ具有一个纯虚数特征值iω,当且仅当ω＝ωλʉ－θλε＋λ－α－ηλω－λ(),τ＝τn ,λʉθλ＋２n πωλ,n ɪN ,且θλ＝－t λω－λ,ψλ＝βλφ１＋ω－λϕλ,其中βλ,ϕλ,t λ,ηλ,θλ在第(i )部分给出．证明㊀下面开始证明(i )部分,第(i i)部分同理可证．根据(９)和(１０),(８)可以简化为F (ϕ,β,t ,η,λ)＝０．其中l i m λңλ１β＝１,F :X １C ˑR ３ңY C ˑR ,且F (ϕ,β,t ,η,λ)＝[βm ~(λ,t ω－λε＋λ－α－ηω－λ(),－t ω－λ)φ１]/ω－λ＋m ~(λ,tω－λ(ε＋λ－α－ηω－λ),－t ω－λ)ϕ．通过一系列计算,可得φɡ∗ʉ[m ~(λ,t ω－λε＋λ－α－ηω－λ(),－t ω－λ)φ１]/ω－λ＝－２B e γx φ１＋f １１(０,０)＋２f １２(０,０)＋f ２２(０,０)()e ２γx φ２１．同时,也可以得到‹φ１,φɡ∗›＝０,以及l i m λңλ１m ~(λ,tω－λε＋λ－α－ηω－λ(),－t ω－λ)＝Lλ１．这意味着存在ϕ∗ɪX １C \{０},使得L λ１ϕ∗＝－φɡ∗．因此,可以得到F (ϕ∗,１,t ∗,０,λ１)＝０．接下来,将M :X １C ˑR３a Y C ˑR 定义为M ＝D ϕ,β,t ,ηM (ϕ∗,１,t ∗,０,λ１)．那么,M (χ,κ,ρ,ζ)＝L λ１χ＋{φɡ∗κ＋[t ∗(ε＋λ１)φ１s g n ω－λ]ρ＋(i t ∗s g n ω－λ)φ１ζ}e γx．因此,M 是一个从X １C ˑR３到Y C ˑR 的双射．根据隐函数定理,存在唯一一个从(λ∗,λ１)到X C ˑR ３的连续可微映射λa (ϕλ,βλ,t λ,ηλ),满足F (ϕλ,βλ,t λ,ηλ,λ)＝０．定理３㊀(i )若(ε＋λ１－α)(f １１(０,０)＋２f １２(０,０)＋f ２２(０,０))ʂ０,则对于λɪ(λ∗,λ１),有S (λ)ʂ０,其中S (λ)＝ʏL０e γx ψ－λ(x )ψλ(x )d x ＋τn ,λʏL ０e γxf ᶄ２(e γx u λ,e γx u λ)e －i θλψ－λ(x )ψλ(x )d x ．(i i )对于每一对(λ,n )ɪ(λ∗,λ１)ˑN ,则i ωλɪσ(A τn ,λ,λ)是简单的．７２第１期潘英翠等:具有对流项的单种群时滞反应扩散模型的稳定性和H o pf 分支证明㊀首先,证明(i )．假设存在λk {}¥k ＝１⊆(λ∗,λ１),使得l i m λңλ１λk ＝λ１,并且S (λk )＝０．即ʏL ０e γx ψ－λk (x )ψλk (x )d x ＝－τn ,λkʏL０e γxfᶄ２(e γxu λ,e γxu λ)e －i θλkψ－λk(x )ψλk (x )d x ．设k ң¥,将上式两边同乘ωλk ,得０＝l i m k ң¥ωλkʏL ０e γx ψ－λk (x )ψλk (x )d x ＝－li m k ң¥ωλk τn ,λkʏL０e γxfᶄ２(e γxu λ,e γxu λ)e －i θλk ψ－λk (x )ψλk (x )d x ＝－２n π(ε＋λ１－α)ʏL０e γx φ２１(x )d x ．由此,推出矛盾,故假设不成立,所以S (λ)ʂ０．接下来,证明A τn ,λ,λ的纯虚数特征值i ωλ是简单的．如果i ωλ不是简单的,则可以选择u ɪC １[－τn ,λ,０],X C \{０}()和一个常数k ɪR ,使得A τn ,λ－i ωλI d ()u ＝k ψλe i ωλ(),即u(θ)＝i ωλu (θ)＋k ψλe i ωλθ,u(０)＝e －γx (e γx u x )x (０)()－εu (０)＋fᶄ１(e γx u λ,e γxu λ)u (０)＋fᶄ２(e γx u λ,e γxu λ)u (－τn ,λ)．(１１)从式(１１)的第一个方程计算得出u (θ)＝(k θψλ＋z )e i ωλθ．将其带入(１１)的第二个方程,得e γx(i ωλz ＋k ψλ)＝(e γx z x )x －εe γx z ＋f ᶄ１(e γx u λ,e γx u λ)z e γx＋f ᶄ２(e γx u λ,e γx u λ)e γx e －i θλ(－k τn ,λψλ＋z )．计算上述方程与ψλ的内积,得k ‹ψλe γx ,ψλ›＝‹ψλ,(e γxz x )x －εe γx z ＋f ᶄ１(e γx u λ,e γx u λ)z e γx ＋fᶄ２(e γx u λ,e γx u λ)z e γx e －i θλ－i ωλe γx z ›－k ‹ψλ,τn ,λf ᶄ２(e γx u λ,e γx u λ)e γx e －i θλψλ›＝‹m (λ,i ωλ,τn ,λ)ψλ,z ›－k ‹ψλ,τn ,λf ᶄ２(e γx u λ,e γx u λ)e γx e －i θλψλ›＝－k ‹ψλ,τn ,λf ᶄ２(e γx u λ,e γx u λ)e γx e －i θλψλ›．结合定理３(i),意味着k ＝０．由此得出,A τn ,λ－i ωλI d ()u ＝０．通过归纳,可以得到K e r A τn ,λ－i ωλI d ()j []＝K e r A τn ,λ－i ωλI d ()(j ȡ１)．故纯虚数特征值i ωλɪA τ,λ是简单的．证毕．2㊀Hopf 分支的存在性接下来给出横截条件．定理４㊀假设条件(H )成立,存在λɪ(λ∗,λ１),对每一个n ɪN ,存在一个(τn ,λ,i ωλ,ψλ)的邻域O n ˑD n ˑH n ɪR ˑC ˑX C ,一个满足μ(τn ,λ)＝i ωλ和ψ(τn ,λ)＝ψλ的连续可微映射(μ,ψ):O n ңD n ˑH n ,且(λ,n )ɪ(λ∗,λ)ˑN ．因此,A τ,λ在D n 中的唯一特征值是μ(τn ,λ),且,d R e (μ(τn ,λ))d τ＞０,n ɪN ．证明㊀由于在D n 中,A τ,λ的唯一特征值是μ(τn ,λ),所以满足m (λ,μ(τn ,λ),τn ,λ)ψ(τn ,λ)ʉ０,τɪO n ．在τ＝τn ,λ处对上式方程关于τ求微分,可得m (λ,μ(τn ,λ),τn ,λ)ψ(τn ,λ)d μ(τn ,λ)d τ＝fᶄ２(e γx u λ,e γx u λ)e γx e －μ(τn ,λ)τn ,λμ(τn ,λ)＋τn ,λd μ(τn ,λ)d τæèçöø÷ψλ＋ψλe γx d μ(τn ,λ)d τ．在(０,L )上,计算上述方程与ψλ的内积,得d μ(τn ,λ)d τ＝－‹ψλ,i ωλe －i θλe γx f ᶄ２(e γx u λ,e γx u λ)ψλ›‹ψλ,ψλe γx ＋τn ,λe －i θλe γx f ᶄ２(e γx u λ,e γx u λ)ψλ›＝－[iωλe －i θλʏL０e γxf ᶄ２(e γx u λ,e γxu λ)ψ－λ(x )ψλ(x )d x ]/(ʏL０e γx ψ－λ(x )ψλ(x )d x ＋τn ,λe －i θλʏL０e γxf ᶄ２(e γxu λ,e γxu λ)ψ－λ(x )ψλ(x )d x )＝－１S n(λ)(i ωλe －i θλʏL ０ʏL０e γx e γyf ᶄ２(e γx u λ,e γxu λ)ψ－λ(x )ψλ(x )ψ－λ(y )ψλ(y )d x d y ＋i ωλτn ,λʏL ０e γxf ᶄ２(e γx u λ,e γx u λ)ψ－λ(x )ψλ(x )d x ２)．根据ψλ和τn ,λ的表达式推断出,当λңλ１时,θλң０,ψλңφ１,ωλτn ,λң２n π．基于勒贝格控制收敛定理得l i mλңλ１d Re (μ(τn ,λ))d τ １θ４λ＝－l i m λңλ１(ωλs i n θλʏL０ʏL ０e γx e γyf ᶄ２(e γx u λ,e γxu λ)ψ－λ(x )ψλ(x )ψ－λ(y )ψλ(y )d x d y )/θ４λS n (λ)２()＝－l i m λңλ１(ω３λs i n θλʏL０ʏL ０e γx e γy８２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷fᶄ２(eγx uλ,eγx uλ)ψ－λ(x)ψλ(x)ψ－λ(y)ψλ(y)d x d y)/θ４λω２λS n(λ)２()＝(ε＋λ１－α)２/(４n２π２)＞０．证毕．综合上述的定理,可得如下结论．定理５㊀如果条件(H)成立,可得如下结论: (１)当λɪ(λ∗,λ１)时,Aτ,λ至少有一个具有正实部的特征值,即模型(２)的空间非齐次稳态解uλ是局部不稳定的．而且,在τ＝τn,λ(nɪN)时,会发生H o p f分支,模型(２)的空间非齐次周期轨道的一个分支会在(τn,λ,uλ)出现．(２)当τȡ０时,且λɪ(λ１,λ∗),Aτ,λ的所有特征值只有负实部,模型(２)的空间非齐次稳态解uλ是局部渐近稳定的．3㊀结语本文讨论了具有对流项的单种群时滞反应扩散模型的动力学行为．该模型在空间非齐次稳态解处线性化模型的解所诱导的半群有一个无穷小生成元Aτ,λ,通过分析Aτ,λ的零特征值和纯虚数特征值,并结合横截条件,得到了模型空间非齐次稳态解的稳定性以及H o p f分支的存在性．参考文献:[１]J I NZ h u c h e n g,Y U A NR o n g．H o 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具时滞的单种群模型和SIS模型的稳定性和分支分析
传染病动力学是对传染病进行理论性定量研究的一种重要方法。
它根据种群生长的特性、疾病发生的特性、疾病发生及在种群内传播、发展规律,以及与之有关的社会因素,建立能反映传染病动力学特性性态的定性、定量分析和数值模拟,来显示疾病的发展过程,揭示其流行规律,预测其变化发展趋势,分析疾病流行的原因和关键因素,寻求对其预防和控制的最优策略,为人们防治决策提供理论基础和数量依据。
传染病模型通常是研究其平衡状态(无病平衡状态和地方病平衡状态)的存在性及其稳定性,周期解的存在性,分支的存在性,建立疾病传染的基本再生数。
正周期解的存在说明疾病不会消失,它会周期循环变化;分支的存在说明疾病传播的敏感性,一些因素发生微小变化就可以导致疾病流行状况的最根本变化。
比如Hopf分支的出现则标志着某个影响疾病流行的因素的微小变动可能导致疾病流行情况的巨大变化,疾病最终可能由稳定到一个特殊的平衡状态变成周期性地爆发。
本文考虑了以一类成年种群增长模型为基础的具时滞的SIS模型传染病模型。
首先,我们以成熟期为分支参数,通过分析特征方程的根的分布给出了地方病平衡点的稳定性和Hopf分支的存在性的充分条件,进而应用规范型方法和中心流形理论,得到了关于确定Hopf分支的方向和分支周期解的稳定性和的计算公式。
最后我们用MATLAB软件给出几组数值模拟结果以支持我们的理论分析结果。