厚壁圆筒应力分析

（2-34）
轴向应力
z
piRi2 p0R02 R02 Ri2
称Lamè（拉美）公式
14
2.3 厚壁圆筒应力分析
表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值
受 力 情况 位
应
置
力
分
析
r
仅受内压
po=0 任意半径 r 内壁处
处
r=Ri
K
pi 2 1
1
Ro2 r2
pi
外壁处 r=Ro
0
仅受外压
任意半径 r 处
po K 2 K 2 1
a. 微元体 b. 平衡方程 c. 几何方程 (位移－应变） d. 物理方程（应变－应力） e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程
（求解微分方程，积分，边界条件定常数）
应力 7
2.3 厚壁圆筒应力分析 a. 微元体 如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组成，微元在轴线方向的长度为1单位。
径向应变 周向应变 变形协调方程
r
wdw wdw
dr dr
rwrddrdw r
d
dr
1rr
（2-27） （2-28）
10
2.3 厚壁圆筒应力分析 d. 物理方程
r
1 E
r
z
（2-29）
1 E
r
z
11
2.3 厚壁圆筒应力分析
e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程
r
1 E
rR0 rRi
2 K2 1
因此筒体材料强度不能得到充分的利用。
19
例题 20
讨论 21
2.3 厚壁圆筒应力分析 二、温度变化引起的弹性热应力 1、热应力概念 2、厚壁圆筒的热应力 3、内压与温差同时作用引起的弹性应力 4、热应力的特点
22
2.3 厚壁圆筒应力分析 1、热应力概念 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内所引起的应力，称为热应力。
对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以，假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布， 得：
zR i2p R i0 2 R R i0 2 2p0piR R i0 2 2 R p0 i2R 0 2＝ A
（2-25）
6
2.3 厚壁圆筒应力分析 2、周向应力与径向应力
由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着手，分析其应力和变形及它们之间的相互关 系。
逐渐减小，在外壁处
=0；
pi
轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力
和的一半，即
pi
r
r
z 12 r
18
2.3 厚壁圆筒应力分析
③除 外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。 z 以 为例，外壁与内壁处的
周向应力 之比为：
K值愈大不均匀程度愈严重，
当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服，
dr dr
dr
n1
r
n
r
Ri Ro
c.
d.
图2-15 厚壁圆筒中的应力 4
2.3 厚壁圆筒应力分析 2.3.1 弹性应力
•以轴线为z轴建立圆柱坐标。 •求解远离两端处筒壁中的三向应力。
一、压力载荷引起的弹性应力
二、温度变化引起的弹性热应力
5
2.3 厚壁圆筒应力分析 一、压力载荷引起的弹性应力 1、轴向（经向）应力
1
Ri2 r2
pi=0 内壁处
r=Ri
0
外壁处 r=Ro
po
K
pi 2 1
1
Ro2 r2
Pi
K K
2 2
11
pi
K
2
2 1
po K 2 K 2 1
1
Ri2 r2
po
2K 2 K 2 1
po
K K
2 2
11
z
pi
K
1 2 1
po
K K2
2
1
15
2.3 厚壁圆筒应力分析
z
z
z
pi K2 1
①周向应力 径向应力
及轴向应力 均为拉应力（正值），
z
为压应力（负值）。
r
17
2.3 厚壁圆筒应力分析 ②在数值上有如下规律： 内壁周向应力 有最大值，其值为：
外壁处减至最小，其值为：
内外壁 之差为 ；
径向应力内壁处为 ，随着 增加， 径向应力绝对值
max pi
K2 1 K2 1
minpi
2 K2 1
单向约束： 双向约束： 三向约束：
ty Et
xt
ty
Et 1
（2－35） （2－36）
r min 0
r max pi
max pi
K2 1 K2 1
min pi
2 K2 1
r r min 0
r max p0
(a)仅受内压
(b)仅受外压 图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布
r
z
p0
K2 K2 1
min p0
K2 1 K2 1
maxp0
2K2 K21
16
2.3 厚壁圆筒应力分析 仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律：
b. 平衡方程
r d rr dd r rrd 2 dsr 2 i n 0
r
r dr
dr
（2-26）
8
2.3 厚壁圆筒应力分析 c. 几何方程 (应力－应变）
w+dw
m1'
n' 1
m1
n1
m'
n'
w
m
n
d
r
图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移 9
2.3 厚壁圆筒应力分析 c. 几何方程（续）
厚壁圆筒应力分析
2.3 厚壁圆筒应力分析
主要内容
2.3.1 弹性应力 2.3.2 弹塑性应力 2.3.3 屈服压力和爆破压力 2.3.4 提高屈服承载能力的措施
2
2.3 厚壁圆筒应力分析 厚壁容器：
Do/Di 1.11.2
应力
径向应力不能忽略，处于三向应力状态；应力仅是半径的函数。
位移 应变 分析方法
周向位移为零，只有径向位移和轴向位移
径向应变、轴向应变和周向应变
8个未知数，只有2个平衡方程，属静不定问题，需平衡、几何、物理等方程 联立求解。
3
2.3 厚壁圆筒应力分析 2.3.1 弹性应力
研究在内压、外压 作用下，厚壁圆筒 中的应力。
p0
po
pi
pi
a.
po
m1 n1
m n
pi
b.
m1
m
dr
r+
r
z
1 E
r
z
r1 Er
d
dr
1rr
ddr1rE r
ddrE 1ddrddrr
d d rd d rr1 rr
r
r dr
dr
rdd2r2r
3dr
dr
0
（2－33）
r
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A
B r2
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A B r2
12
2.3 厚壁圆筒应力分析
边界条件为：当 当
时， 时，
r R；。i
r R0
r pi r p0
由此得积分常数A和B为：
A piRi2 p0R02 R02 Ri2
B pi p0 Ri2R02
R02 Ri2
13
2.3 厚壁圆筒应力分析
周向应力
piR R i0 2 2 R p0 i2 R 0 2piR 0 2p 0R R i2 i2R 0 2r1 2
径向应力
rpiR R i0 2 2 R p0 i2 R 0 2piR 0 2p 0R R i2 i2R 0 2r1 2