行列式总结

行列式总结

一、概念

1. 排列：排列的逆序数及其计算方法，排列的奇偶性。

一个排列中，某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。

一个排列中所有逆序的总数叫做该排列的逆序数。

排列的逆序数的计算方法：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，然后相加。

• 逆序数为奇数的排列叫奇排列。 • 逆序数为偶数的排列叫偶排列。

2．行列式：()

()

121212

1112

12122

21212

1n n n

n t p p p n p p np p p p n n nn

a a a a a a D a a a a a a =

=

-∑

其他两种形式： ()1

212

1n t

p p p n D a a a =-∑ ()11

22

1n n t

p q p q

p q D a a a =-∑

一般项是不同行不同列元素乘积的代数和。 ※一般项中的元素及一般项符号的确定。

3. 余子式与代数余子式

一般地, 在n 阶行列式中, 把元素a ij 所在的第i 行和第j 列划去, 留下来的n -1阶行列式叫做元素a ij 的余子式, 记作M ij , 令

A ij = (-1)i+j M ij , 并称之为a ij 的代数余子式.

二、性质

⑴将行列式转置，行列式的值不变：T D D

。

⑵交换行列式的两行（列），行列式的值变号；

推论：如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为零；

⑶用数k乘行列式的某一行（列），等于用数k乘此行列式；推论1：如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式外面；

推论2：如果行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零；

⑷如果将行列式某一行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同。

推论：如果将行列式某一行（列）的每个元素都写成m个数的和，则此行列式可以写成m个行列式的和。

⑸将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。

三、计算

⑴定义法⑵化三角形法（利用性质）

⑶降阶法（展开法则）⑷其他

补充：二阶、三阶行列式的计算：对角线法则， 三角形行列式、范德蒙行列式的计算。 四、应用

⑴ 克拉默法则；

⑵ 齐次线性方程组有非零解的充要条件（D=0）。 五、重要定理

n 阶行列式等于它的任意一行(列)元素与其对应的代数余子式

乘积之和。

n 阶行列式的某一行(列)元素与另一行(列)的对应的代数余子

式乘积之和为零.

即: 1,,0,;n

ki kj k D i j a A i j ==⎧=⎨≠⎩∑ 1,,

0,;n

ik jk k D i j a A i j ==⎧=⎨≠⎩

∑

例 题 讲 解

13，（2）

23123

1230121230111

111

r r +=

（4）将各列加到第一列，

2()2()2()

x

y x y x y y x y y x y x x y x y

x x y

x

y

x y x

y

++++=++++

1

1

2()12()0

10

y

x y y

x y x y x y

x

x y x y x

y

x y

x

++=++=+---

222332()[()()]2()()2()x y x x y y x y x xy y x y =+---=+-+-=-+

17，（1）从第二行开始每行加上第一行，得到

111111111

1

110222 (8)

11

1

100221111

0002

-=

==-----.

（2）

a.11111111

1111111112

34

012

3

012

3

012311

3610025900130013141020

03919

00310

0001

=

=

=

=

b.433221,,r r r r r r ---…

111111111111111112

3

4

012

3

012301231

13610013600130013141020

01410

0014

0001

=

===

（3）各列之和相等，各行加到第一行…

123410101010111123412341234110

160

3412341234124123

4

1

2

3

4123

=

===

22.最后一列分别乘以121,,...n a a a ----再分别加到第1，2，…n-1列得到上三角形行列式

1211211211231

2

3

111

11

n n n n

x a a a a x a a a a x a a a a x a a a a ---=

1122312

2313

11210100100

010

1

()()...()n n n n n n n

n x a a a a a a a x a a a a a x a a a x a x a x a x a -------------=---