铅垂法求面积最值-2020年中考数学二次函数压轴题核心考点突破
2024年中考数学专题复习—二次函数面积定值比例问题以及米勒角
2024年中考数学专题复习—⼆次函数⾯积定值、比例问题以及米勒⾓⼀、⾯积定值与等值问题1 .定值问题【问题描述】如图，抛物线223y x x与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上⽅部分取⼀点P，连接PB、PC，若△PBC⾯积为3，求点P坐标．思路1：铅垂法列⽅程解．根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，设点P坐标为2,23m m m，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则点Q坐标为（m，-m+3），222333PQ m m m m m ，213332PBCS m mV，分类讨论去绝对值解⽅程即可得m的值．思路2：构造等积变形P QABC同底等⾼三⾓形⾯积相等．取BC 作⽔平宽可知⽔平宽为3，根据△PBC ⾯积为3，可知铅垂⾼为2，在y 轴上取点Q 使得CQ =2，过点Q 作BC 的平⾏线，交点即为满⾜条件的P 点．当点Q 坐标为（0,5）时，PQ 解析式为：y =-x +5，联⽴⽅程：2235x x x，解之即可．当点Q 坐标为（0,1）时，PQ 解析式为：y =-x +1，联⽴⽅程：2231x x x，解之即可．2 . 等值问题【问题描述】如图，抛物线223y x x 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线上存在⼀点P 使得△PBC 的⾯积等于△BOC 的⾯积，求点P 坐标．思路1：铅垂法计算出△BOC ⾯积，将“等积问题”转化为“定积问题”，⽤铅垂法可解．思路2：构造等积变形过点O 作BC 的平⾏线，与抛物线交点即为所求P 点，另外作点O 关于点C 的对称点M ，过点M 作BC 平⾏线与抛物线的交点亦为所求P 点．先求直线解析式，再联⽴⽅程即可求得P点坐标．⼆、⾯积比例问题1、⽅法突破除了三⾓形、四边形⾯积计算之外，⾯积⽐例也是中考题中常见的条件或结论，对⾯积⽐例的分析，往往⽐求⾯积要复杂得多，这也算是⾯积问题中最难的⼀类．⼤部分题⽬的处理⽅法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化．策略⼀：运⽤比例计算类策略⼆：转化⾯积比如图，B 、D 、C 三点共线，考虑△ABD 和△ACD ⾯积之⽐．CBA转化为底：共⾼，⾯积之⽐化为底边之⽐：则::ABD ACD S S BD CD V V ．B更⼀般地，对于共边的两三⾓形△ABD 和△ACD ，连接BC ，与AD 交于点E ，则:::ABD ACD S S BM CN BE CE V V．策略三：进阶版转化在有些问题中，⾼或底边并不容易表⽰，所以还需在此基础上进⼀步转化为其他线段⽐值，⽐如常见有：“A ”字型线段⽐、“8”字型线段⽐．“A ”字型线段⽐：:::ABD ACD S S BD CD BA AM V V ．“8”字型线段⽐：:::ABD ACD S S BD CD AB CM V V．转化为垂线：共底，⾯积之⽐化为⾼之⽐：:::ABD ACD S S BD CD BM CN V V ．B总结：⾯积能算那就算，算不出来就转换；底边不⾏就作⾼，还有垂线和平⾏．三、米勒⾓问题（最⼤张⾓）【问题描述】1471年，德国数学家⽶勒向诺德尔提出这样⼀个问题：如图，点A、B直线l的同⼀侧，在直线l上取⼀点P，使得∠APB最⼤，求P点位置．l【问题铺垫】这样顶点在圆外，两边和圆相交的⾓叫圆外⾓．圆外⾓：如图，像∠APB相关结论：圆外⾓等于这个⾓所夹两条弧的度数差（⼤减⼩）的⼀半．如图，»»2AB CDP ACB PBC．换句话说，对同⼀个圆⽽⾔，圆周⾓>圆外⾓．【问题解决】结论：当点P 不与A 、B 共线时，作△P AB 的外接圆，当圆与直线l 相切时，∠APB 最⼤．l证明：在直线l 上任取⼀点M （不与点P 重合），连接AM 、BM ，∠AMB 即为圆O 的圆外⾓，∴∠APB >∠AMB ，∠APB 最⼤．∴当圆与直线l 相切时，∠APB 最⼤．特别地，若点A 、B 与P 分别在⼀个⾓的两边，如下图，则有2OP OA OB．（切割线定理）证明：∵∠POA =∠BOP ，∠OP A =∠OBP （弦切⾓定理）∴△AOP ∽△POB ，∴OA OPOP OB ，∴2OP OA OB ．即可通过OA 、OB 线段长确定OP 长，便知P点位置．【题型1】作铅垂⾼解决⾯积定值问题例1－1湖北武汉市·中考真题1．抛物线L ：2y x bx c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x ＝1交于点B ．（1）直接写出抛物线L 的解析式；（2）如图1，过定点的直线 40y kx k k 与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的⾯积等于1，求k的值．【分析】（1）解析式：221y x x；（2）考虑到直线过定点Q （1，4），且M 、N 均为动点，故考虑⽤割补法．BMN QBN QBMS S S V V V ，分别过M 、N 作对称轴的垂线，垂⾜分别记为G 、H ，11112222BMN N M S QB NH QB MG QB NH MG QB x x V ，考虑N M x x ：联⽴⽅程：2214x x kx k ，化简得 2230x k x k ，N M x x，∴1212BMN S V ，解得：13k，23k （舍）．故k 的值为－3．2023·齐齐哈尔·中考真题（删减）2．如图，抛物线2722y x x 上的点A ，C 坐标分别为 0,2， 4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，点M 为y 轴负半轴上⼀点，且2OM，连接AC ，CM ，点P 是抛物线位于第⼀象限图象上的动点，连接AP ，CP ，当PACACM S S △△时，求点P 的坐标【答案】2,5P【分析】过点P 作PF x 轴于点F ，交线段AC 于点E ，⽤待定系数法求得直线AC 的解析式为122y x ，设点P 的横坐标为 04p p ，则27,22P p p p，1,22E p p ，故24(04)PE p p p ，先求得8ACMS △，从⽽得到212882PAC S PE OC p p △，解出p 的值，从⽽得出点P 的坐标；【详解】解：过点P 作PF x 轴于点F ，交线段AC 于点E ，设直线AC 的解析式为 0y kx m k ，将0,2A ， 4,0C 代⼊y kx m，得240m k m ，解得122k m，∴直线AC 的解析式为122y x 设点P 的横坐标为04p p则27,22P p p p，1,22E p p，∴2271224(04)22PE p p p p p p∵8ACMS △，∴212882PAC S PE OC p p △，解得122p p ，∴ 2,5P 南通·中考真题3．定义：若⼀个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数1122y x的图象的“等值点”．（1）分别判断函数2y x ，2y x x 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数3(0)y x x ，y x b的图象的“等值点”分别为点A ，B ，过点B 作BC x 轴，垂⾜为C ．当ABC 的⾯积为3时，求b 的值；解：（1）在2y x中，令2x x ，得02 不成⽴， 函数2y x的图象上不存在“等值点”；在2y x x 中，令2x x x ，解得：10x，22x ， 函数2y x x 的图象上有两个“等值点” (0,0)或(2,2)；（2）在函数3(0)y x x 中，令3x x，解得：xA ，在函数y x b 中，令x x b ，解得：12x b，1(2B b ，1)2b ，BC x Q 轴，1(2C b，0)，1||2BC b ，ABC Q 的⾯积为3，111|||3222b b ，当0b时，2240b ，解得b当0b2240b ，Q △2(4124840，⽅程2240b没有实数根，当b 时，2240b，解得：bb 的值为 2023·⼭东泰安·中考真题4．如图1，⼆次函数24y ax bx的图象经过点(4,0),(1,0)A B ．(1)求⼆次函数的表达式；(2)若点P 在⼆次函数对称轴上，当BCP V ⾯积为5时，求P 坐标；(3)⼩明认为，在第三象限抛物线上有⼀点D ，使90DAB ACB ∠∠；请判断⼩明的说法是否正确，如果正确，请求出D 的坐标；如果不正确，请说明理由．【答案】(1)254y x x(2)5,42 或5,162【分析】（1）直接运⽤待定系数法求解即可；（2）⾸先求出直线BC 解析式，然后通过设P 点坐标，并表⽰对应Q 点坐标，从⽽利⽤“割补法”计算BCP V 的⾯积表达式并建⽴⽅程求解即可；【详解】（1）解：将(4,0),(1,0)A B 代⼊24y ax bx 得：1644040a b a b ，解得：15a b，∴抛物线解析式为：254y x x ；（2）解：由抛物线254y x x可知，其对称轴为直线52x， 0,4C ，设直线BC 解析式为：y kx c ，将 1,0B ， 0,4C 代⼊解得：44k c，∴直线BC 解析式为：44y x，此时，如图所⽰，作PQ x ∥轴，交BC 于点Q，∵点P 在⼆次函数对称轴上，∴设5,2P m ，则4,4m Q m，∴456424m m PQ ，∴ 116642242BCP C B m m S PQ y yV ，∵要使得BCP V ⾯积为5，∴652m ，解得：4m 或16m ，∴P 的坐标为5,42 或5,162【题型2】作平⾏线解决⾯积问题例2－1⼭东省临沂市·中考真题5．在平⾯直⾓坐标系中，直线2y x与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2(0)y ax bx c a 经过点A 、B ．（1）求a 、b 满⾜的关系式及c 的值．（2）如图，当1a时，在抛物线上是否存在点P ，使PAB 的⾯积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）点A 坐标为（－2，0），点B 坐标为（0，2），代⼊解析式可得：c ＝2，4a －2b +2＝0（2）考虑A 、B ⽔平距离为2，△P AB 的⾯积为1，故对应的铅垂⾼为1．当a ＝－1时，可得b ＝－1，抛物线解析式为y ＝－x ²－x +2．取点C （0，3）作AB 的平⾏线，其解析式为：y ＝x +3，联⽴⽅程－x ²－x +2＝x +3，解得x ＝－1，故点1P坐标为（－1，2）取点D （0，1）作AB 的平⾏线，其解析式为：y ＝x +1，联⽴⽅程－x ²－x +2＝x +1，解得11x，21x ．点2P坐标为1 、点3P坐标为1 ．2023·四川⽢孜·中考真题6．已知抛物线2y x bx c与x 轴相交于 10A ，，B 两点，与y 轴相交于点 03C ，．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第⼀象限抛物线上⼀点，PBC V 的⾯积与ABC V 的⾯积相等，求直线AP 的解析式【答案】(1)2,3.b c，(2)1y x (3)存在，点P的坐标为12 或12 【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）PBC ABCS S △△得到AP BC ∥，即可求解；（3）由题意的：,AEP AEP P E PE，即可求解．【详解】（1）由题意，得10,3.b c c2,3.b c（2）由（1）得抛物线的解析式为2=23y x x ．令0y ，则2230x x ，得1213x x -=，．∴B 点的坐标为30，．PBC ABC S S Q △△，∴AP BC ∥．∵ 3003B C ，，，-，∴直线BC 的解析式为3y x ．∵AP BC ∥，∴可设直线AP 的解析式为y x m．∵10A（-，）在直线AP 上，∴01m．∴1m．∴直线AP 的解析式为1y x．四川凉⼭州·中考真题7．如图，抛物线2y ax bx c的图象过点(1,0)A 、(3,0)B 、(0,3)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在⼀点P ，使得PAC 的周长最⼩，若存在，请求出点P 的坐标及PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上⽅的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAM PAC S S 若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线解析式为：y ＝－x ²+2x +3；（2）将军饮马问题，作点C 关于对称轴的对称点C ’（2，3），连接AC ’，与对称轴交点即为所求P 点，可得P 点坐标为（1，2），△P AC 的周长亦可求．（3）过点C 作AP 平⾏线与抛物线交点即为M 点，联⽴⽅程得解；记AP 与y 轴交点为Q 点，作点C 关于Q 点的对称点点D ，过点D 作AP 的平⾏线，与抛物线在x 轴上⽅部分的交点即为所求M 点，联⽴⽅程得解．连云港·中考真题8．如图，抛物线22(3)(69)y mx m x m 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知(3,0)B ．（1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上⼀点，若PBC ABCS S ，请直接写出点P 的坐标；解：（1）将(3,0)B 代⼊22(3)(69)y mx m x m ，化简得，20m m，则0m （舍)或1m ，1m ，243y x x ．(0,3)C ，设直线BC 的函数表达式为y kx b ，将(3,0)B ，(0,3)C 代⼊表达式，可得，033k b b ，解得，13k b，直线BC 的函数表达式为3y x ．（2）如图，过点A 作1//AP BC，设直线1AP 交y 轴于点G ，将直线BC 向下平移GC 个单位，得到直线23P P．由（1）得直线BC 的表达式为3y x ，(1,0)A ， 直线AG 的表达式为1y x ，联⽴2143y x y x x ，解得10x y ，或21x y，1(2,1)P 或(1,0)，由直线AG 的表达式可得(0,1)G ，2GC ，2CH ，直线23P P 的表达式为：5y x ，联⽴2543y x y x x，解得，3272x y，或，3272x y，23(2P，72，33(2P，7)2 ，；综上可得，符合题意的点P 的坐标为：(2,1)，(1,0)，3(2，7)2 ，3(2，722023·⿊龙江·中考真题9．如图，抛物线23y ax bx 与x 轴交于 3,0,1,0A B 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)拋物线上是否存在⼀点P ，使得12PBC ABCS S V V ，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)223y x x (2)存在，点P 的坐标为2,3 或3,12 【分析】（1）采⽤待定系数法，将点A 和点B 坐标直接代⼊抛物线23y ax bx，即可求得抛物线的解析式．（2）过线段AB 的中点D ，且与BC 平⾏的直线上的点与点B ，点C 连线组成的三⾓形的⾯积都等于12ABC S V ，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联⽴，即可求得答案．【详解】（1）解：因为抛物线23y ax bx 经过点 30A ,和点 10B ,两点，所以933030a b a b，解得12a b，所以抛物线解析式为：223y x x．（2）解：如图，设线段AB 的中点为D ，可知点D 的坐标为1,0 ，过点D 作与BC 平⾏的直线l，假设与抛物线交于点1P， 2P （1P 在2P的左边），（2P在图中未能显⽰）．设直线BC 的函数解析式为 10y kx b k ．因为直线BC 经过点10B ,和 0,3C ，所以1103k b b，解得133k b，所以，直线BC 的函数解析式为：33y x． ⼜12//PP BC ，可设直线12PP的函数解析式为23y x b ，因为直线12PP经过点D 1,0 ，所以230b ．解得23b ．所以，直线12PP的函数解析式为33y x ．根据题意可知，12DBC ABCS S V V ．⼜12//PP BC ，所以，直线12PP 上任意⼀点P 与点B ，点C 连线组成的P BCV 的⾯积都满⾜12P BC ABCS S V V ．所以，直线12PP 与抛物线223y x x 的交点1P ，2P 即为所求，可得23323x x x ，化简，得260x x ，解得1232x x ，，所以，点1P的坐标为 2,3 ，点2P 的坐标为 3,12 ．故答案为：存在，点P 的坐标为2,3 或 3,12 ．江苏徐州·中考真题10．如图，点A 、B 在214y x 的图象上．已知A 、B 的横坐标分别为2 、4，直线AB 与y 轴交于点C ，连接OA 、OB ．（1）求直线AB 的函数表达式；（2）求AOB 的⾯积；（3）若函数214y x 的图象上存在点P ，使PAB 的⾯积等于AOB 的⾯积的⼀半，则这样的点P 共有 个．解：（1）Q 点A 、B 在214y x 的图象上，A 、B 的横坐标分别为2 、4，(2,1)A ，(4,4)B ，设直线AB 的解析式为y kx b， 2144k b k b ，解得122k b， 直线AB 为122y x ；（2）在122y x 中，令0x ，则2y ，C 的坐标为(0,2)，2OC ，112224622AOB AOC BOC S S S ．（3）过OC 的中点，作AB 的平⾏线交抛物线两个交点1P、2P ，此时△1P AB 的⾯积和△2P AB 的⾯积等于AOB 的⾯积的⼀半，作直线12PP 关于直线AB 的对称直线，交抛物线两个交点3P 、4P ，此时△3P AB 的⾯积和△4P AB 的⾯积等于AOB 的⾯积的⼀半，所以这样的点P 共有4个，故答案为4．【题型3】⾯积比例问题的转化定值问题或函数表达式例3－1内蒙古通辽市·中考真题11．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a 的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A 和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上A 、M 两点之间的部分（不包含A 、M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S 若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设顶点式，代⼊A 点坐标，可得解析式为：228y x x．当x ＝3时，y ＝5，故点B 坐标为（3，5），∴直线AB 的解析式为：y ＝2x －1．（2）铅垂法表⽰△ACD 的⾯积： 设点D 坐标为2,28m m m ，过点D 作DP ⊥x 轴交AB 于P 点，则P 点坐标为 ,21m m ，线段DP ＝－m ²+9，221492182ACD S m m V ，⾯积公式表⽰△MCD 的⾯积：过点D 作DQ ⊥MC 交MC 于点Q ，则DQ ＝1－m ，11814422MCD S MC DQ m m V 2DAC DCM S S V V ， 2218244m m解得：m ＝5或－1．考虑D 点在A 、M 之间的抛物线上，故m ＝－1．D 点坐标为（－1，5）．2023·辽宁盘锦·中考真题12．如图，抛物线23y ax bx 与x 轴交于点 10A ，， 30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图，点E 是第⼀象限内⼀点，连接AE 交y 轴于点D ，AE 的延长线交抛物线于点P ，点F 在线段CD 上，且CF OD，连接FA FE BE BP ，，，，若AFE ABE S S △△，求PAB V ⾯积．【答案】(1)223y x x ，(2) 23Q ，，(3)72【分析】（1）将点 10A ，， 30B ，代⼊抛物线23y ax bx 得到309330a b a b，解⽅程组即可得到答案；（2）设4MN m，3BN m ，则5BM QM m ，则9QN m ，33ON m ，从⽽表⽰出点Q 的坐标为339m m ，，代⼊抛物线解析式，求出m 的值即可得到答案；（3）求出直线AP 的表达式，利⽤AFEABE S S △△，得到 1122A E E DF x x AB y ，求出点P 的坐标，再根据12PAB PS AB y V 进⾏计算即可得到答案．【详解】（1）解：Q 抛物线23y ax bx 与x 轴交于点 10A ，， 30B ，，309330a b a b，解得：12a b， 抛物线的解析式为：223y x x ；（2）解：设点 223m m P m ，，直线AP 的解析式为y kx b ，Q 10A ，，2023k b km b m m，解得： 33k m b m ，直线AP 的解析式为 33y m x m ，当0x 时， 33y m m ， 03m ，，3OD m ，3CF OD m ，在抛物线223y x x 中，当0x 时，3y ， 03C ，，3OC ， 33323DF OC OD CF m m m ，设点E 的坐标为 33t m t m ，，Q 10A ，， 30B ，，4AB ，Q AFE ABE S S △△， 1122A E E DF x x AB y ， 1123143322m t m t m ，解得：52m ， 点P 的坐标为5724，，117742242PAB P S AB yV ．13．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx经过A （4，0），B （1，4）两点．P 是抛物线上⼀点，且在直线AB 的上⽅．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB ⾯积是△P AB ⾯积的2倍，求点P 的坐标【答案】(1)241633y x x，(2)存在，162,3 或（3，4）【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）待定系数法求得直线AB 的解析式为41633y x，过点P 作PM ⊥x 轴，垂⾜为M ，PM 交AB 于点N ．过点B 作BE ⊥PM ，垂⾜为E ．可得PAB PNB PNAS S S△△△32PN，设2416,1433P m m m m ，则416,33N m m ．由2416416833333PN m m m ，解⽅程求得m 的值，进⽽即可求解；【详解】（1）解：（1）将A （4，0），B （1，4）代⼊2y ax bx，得16404a b a b ，解得43163a b ．所以抛物线的解析式为241633y x x ．（2）设直线AB 的解析式为0y kx t k ，将A （4，0），B （1，4）代⼊y kx t，得404k t k t，解得43163k t ．所以直线AB 的解析式为41633y x．过点P 作PM ⊥x 轴，垂⾜为M ，PM 交AB 于点N ．过点B 作BE ⊥PM ，垂⾜为E．所以PAB PNB PNAS S S△△△1122PN BE PN AM 12PN BE AM 32PN ．因为A （4，0），B （1，4），所以14482OAB S △．因为△OAB 的⾯积是△P AB ⾯积的2倍，所以3282PN ，83PN．设 2416,1433P m m m m ，则416,33N m m ．所以2416416833333PN m m m ，即24201683333m m ，解得12m ，23m ．所以点P 的坐标为162,3或（3，4）．zz2022·福建·统考模拟预测14．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx 经过A （4，0），B （1，4）两点．P 是抛物线上⼀点，且在直线AB的上⽅．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB ⾯积是△P AB ⾯积的2倍，求点P 的坐标；【答案】(1)241633y x x(2)存在，162,3或（3，4）【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）待定系数法求得直线AB 的解析式为41633y x，过点P 作PM ⊥x 轴，垂⾜为M ，PM 交AB 于点N ．过点B 作BE ⊥PM ，垂⾜为E ．可得PAB PNB PNAS SS△△△32PN，设2416,1433P m m m m ，则416,33N m m ．由2416416833333PN m m m ，解⽅程求得m 的值，进⽽即可求解；【详解】（1）解：（1）将A （4，0），B （1，4）代⼊2y ax bx，得16404a b a b ，解得43163a b．所以抛物线的解析式为241633y x x ．（2）设直线AB 的解析式为0y kx t k ，将A （4，0），B （1，4）代⼊y kx t，得404k t k t，解得43163k t．所以直线AB 的解析式为41633y x．过点P 作PM ⊥x 轴，垂⾜为M ，PM 交AB 于点N ．过点B 作BE ⊥PM ，垂⾜为E．所以PAB PNB PNAS S S△△△1122PN BE PN AM 12PN BE AM 32PN ．因为A （4，0），B （1，4），所以14482OAB S △．因为△OAB 的⾯积是△P AB ⾯积的2倍，所以3282PN ，83PN．设 2416,1433P m m m m ，则416,33N m m ．所以2416416833333PN m m m，即24201683333m m ，解得12m ，23m ．所以点P 的坐标为162,3或（3，4）．【题型4】⾯积比例问题的转化为线段比例4－115．如图，抛物线22(0)y ax x c a 与x 轴交于点A 和点B （点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，3OB OC．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图，连接BC ，点D 是直线BC 上⽅抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当:3:2COF CDF S S时，求点D的坐标．【分析】（1）解析式：223y x x （2）显然△COF 和△CDF 共⾼，可将⾯积之⽐化为底边之⽐．::3:2COF CDF OF DF S S V V ，思路1：转化底边之⽐为“A ”字型线段⽐在y 轴上取点E （0，5），（为何是这个点？因此此时OC ：CE ＝3：2）过点E 作BC 的平⾏线交x 轴于G 点，EG 与抛物线交点即为所求D 点，根据平⾏线分线段成⽐例，OF ：FD ＝OC ：CE ＝3：2．直线EG 解析式为：y ＝－x +5，与抛物线联⽴⽅程，得：2235x x x，解得：11x，22x ．故D 点坐标为（1，4）或（2，3）．思路2：转化底边之⽐为“8”字型线段⽐过点D 作DG ∥y 轴交BC 边于点G ，则OF OCFD DG ，⼜OC ＝3，故点G 满⾜DG ＝2即可．这个问题设D 点坐标即可求解．也可以构造⽔平“8”字，过点D 作DG ∥x 轴交BC 于点G ，则OF OBFD DG，⼜OB ＝3，∴DG ＝2即可．但此处问题在于⽔平线段不如竖直线段易求，⽅法可⾏但不建议．其实本题分析点的位置也能解：思路3：设点D 坐标为2,23m m m ，根据OF ：DF ＝3：2，可得F 点坐标为23369,5555m m m ，点F 在直线BC 上，将点坐标代⼊直线BC 解析式：y ＝－x +3，23693+35555m m m ，解得11m，22m ，故D 点坐标为（1，4）或（2，3）．这个计算的⽅法要求能理解⽐例与点坐标之间的关系，即由D 点坐标如何得到F 点坐标．深圳市中考真题16．如图抛物线经2y ax bx c过点(1,0)A ，点(0,3)C ，且OB OC ．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P 为抛物线上⼀点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的⾯积分为3:5两部分，求点P 的坐标．【分析】（1）解析式为223y x x，对称轴为直线x ＝1．（2）连接CP ，可将四边形CBP A 分为△CAP 和△CBP ．即:3:5CAP CBP S SV V 或:5:3CAP CBP S S V V ．考虑△CAP 和△CBP 共底边CP ，记CP 与x 轴交于点M ，则::CAP CBP S S AM BMVV ①AM ：BM ＝5：3，点M 坐标为3,02，根据C 、M 坐标求解直线CM 解析式：23y x，联⽴⽅程：22323x x x，解得：10x （舍），24x ．故P 点坐标为（4，－5）．②AM ：BM ＝3：5，点M 坐标为1,02，根据C 、M 坐标求解直线CM 解析式为：63y x，联⽴⽅程：22363x x x，解得：10x （舍），28x ．故P 点坐标为（8，－45）．牡丹江中考真题17．抛物线2y x bx c经过点(3,0)A 和点(0,3)C ．（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D 的坐标；（2）若过顶点D 的直线将ACD 的⾯积分为1:2两部分，并与x 轴交于点Q ，则点Q 的坐标为 ．注：抛物线2(0)y ax bx c a 的顶点坐标24(,)24b ac b a a解：（1）把点(3,0)A 和点(0,3)C 代⼊2y x bx c 得：9303b c c，解得：23b c ，223y x x ，2223(1)4y x x x Q ， 顶点(1,4)D ．（2）取线段AC 的三等分点E 、F ，连接DE 、DF 交x 轴于点1Q 、2Q ，则：:1:2DAE DEC S S ，:2:1DAF DFC S S ，Q 点(3,0)A ，点(0,3)C ，(2,1)E ，(1,2)F ，DF x 轴于点2Q ，2(1,0)Q ，设直线DE 的解析式为：(0)y kx b k，把点(1,4)D ，(2,1)E 代⼊，得：421k b k b，解得：37k b，直线DE 的表达式为：37y x，当0y时，73x，17(3Q ，0)．故答案为：17(3Q，0)，2(1,0)Q．2022·四川内江中考真题18．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （2，0），与y 轴交于点C （0，2）．(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；(2)点P 为抛物线上⼀点，连接CP ，直线CP 把四边形CBP A 的⾯积分为1：5两部分，求点P 的坐标．【答案】(1)211242y x x，(2)点P 的坐标为（6，﹣10）或（﹣143，﹣109）．【分析】（1）运⽤待定系数法即可解决问题；（2）过点D 作DH ⊥AB 于H ，交直线AC 于点G ，过点D 作DE ⊥AC 于E ，可⽤待定系数法求出直线AC 的解析式，设点D 的横坐标为m ，则点G 的横坐标也为m ，从⽽可以⽤m 的代数式表⽰出DG ，然后利⽤cos cos EDG CAO得到5DE DG，可得出关于m 的⼆次函数，运⽤⼆次函数的最值即可解决问题【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （2，0），与y 轴交于点C （0，2）．∴16404202a b c a b c c，解得：14122a b c，∴抛物线的解析式为211242y x x ；（2）如图，设直线CP 交x 轴于点E，直线CP 把四边形CBP A 的⾯积分为1：5两部分，⼜∵S△PCB：S△PCA＝11::22C P C PEB y y AE y y EB AE，则EB：AE＝1：5或5：1则AE＝5或1，即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），将点E的坐标代⼊直线CP的表达式：y＝nx+2，解得：n＝﹣2或2 3，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝23x+2，联⽴⽅程组22211242y xy x x或222311242y xy x x，解得：x＝6或﹣143（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣143，﹣109）．2023·四川泸州中考真题19．如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知抛物线2y ax2x c与坐标轴分别相交于点A，B，0,6C三点，其对称轴为2x．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F是该抛物线上位于第⼀象限的⼀个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．①当CD CE时，求CD 的长；②若CAD V ，CDE V ，CEF △的⾯积分别为1S ，2S ，3S ，且满⾜1322S S S ，求点F 的坐标．【答案】(1)21262y x x(2)①8 ；②4,6F 【分析】（1）根据抛物线对称轴为2x ，可得222a，求得12a ，再将 0,6C 代⼊抛物线，根据待定系数法求得c ，即可解答；（2）①求出点B ，点A 的坐标，即可得到直线BC 的解析式为6y x，设CD a ，则 0,6D a ，求得AD 的解析式，列⽅程求出点E 的坐标，最后根据CD CE列⽅程，即可求出CD 的长；②过,E F 分别作AB 的垂线段，交AB 于点,G H ，过点D 作EG 的垂线段，交EG 于点I ，根据1322S S S ，可得2AD EF DE ，即13DE AF ，证明DEI AFB △∽△，设21,262F h h h ，得到直线AF 的解析式，求出点D 的坐标，即可得到点E 的坐标，将点E 的坐标代⼊6y x解⽅程，即可解答．【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为2x ，得222a，解得12a，将0,6C 代⼊抛物线可得6c， 抛物线的解析式为21262y x x ；（2）解：当0y 时，得210262 x x ，解得16x ，22x ，2,0A ， 6,0B ，设CB 的解析式为y kx b，将 0,6C ， 6,0B 代⼊y kx b ，得606b k b，解得16k b，CB 的解析式为6y x，设CD a，则 0,6D a ，设AD 的解析式为11y k x b，将 0,6D a ， 2,0A 代⼊11y k x b ，得111602a b k b，解得11626a k b a，AB 的解析式为662ay x a，联⽴⽅程6662y x a y x a，解得284888a x a a y a，根据CD CE，得a解得18a28a ，经检验，18a28a 是⽅程的解，Q 点F 是该抛物线上位于第⼀象限的⼀个动点，D 在y 轴正半轴，6a，8a即CD的长为8 ；②解：如图，过,E F 分别作AB 的垂线段，交AB 于点,G H ，过点D 作EG 的垂线段，交EG 于点I，1322S S S Q ，2AD EF DE ，13DE AF，设21,262F h h h，则2AH h ，,EG AB FH AB Q ，EG FH ∥，DEI AFB ，DI EG Q ，90DIE ，DEI AFB △∽△，112333DI AB h ，即点D 的横坐标为1233h，21122363EI FH h h ，设AF 的解析式为22y k x b ，将 2,0A ，21,262F h h h，代⼊得22222021262k b h h k h b，解得221326k h b h ，AF 的解析式为1362y h x h ，0,6D h ，即6DO h ，90DOG Q ，四边形DOGI 是矩形，6IG DO h ，211863EG EI IG h h ，即21211,83363E h h h ，将21211,83363E h h h 代⼊6y x ，得21112866333h h h ，解得14h ，240h （舍去）， 4,6F ．2022·四川内江中考真题20．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （2，0），与y 轴交于点C （0，2）．(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；(2)点P 为抛物线上⼀点，连接CP ，直线CP 把四边形CBP A 的⾯积分为1：5两部分，求点P 的坐标．【答案】(1)211242y x x(2)点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣143，﹣109）．【分析】（1）运⽤待定系数法即可解决问题；（2）根据S△PCB：S△PCA＝11():():,22C P C PEB y y AE y y BE AE即可求解．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．∴1640 4202a b ca b cc，解得：14122abc，∴抛物线的解析式为211242y x x；（2）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBP A的⾯积分为1：5两部分，⼜∵S△PCB：S△PCA＝11::22C P C PEB y y AE y y EB AE，则EB：AE＝1：5或5：1则AE＝5或1，即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），将点E的坐标代⼊直线CP的表达式：y＝nx+2，解得：n＝﹣2或2 3，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝23x+2，联⽴⽅程组22211242y xy x x或222311242y xy x x，解得：x＝6或﹣143（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣143，﹣109）．【题型5】⽶勒⾓（最⼤张⾓问题）例题5-121．如图，在平⾯直⾓坐标系中，A（1，0）、B（5，0）直线l经过点C（-1，2），点P是直线l上的动点，若∠APB的最⼤值为45°，求直线l的解析式．【分析】考虑到直线l未知但∠APB的最⼤值已知为45°，故构造圆．记△ABP外接圆圆⼼为M点，则∠AMB=2∠APB=90°，故可确定M点位置．根据A（1，0）、B（5，0），不难求得M点坐标为（3，2），连接MC 、MP ，考虑到圆M 与直线CP 相切，故MP ⊥CP ，△CPM 是直⾓三⾓形．∵MC =4，MP =MA=，∴CP△CPM 是等腰直⾓三⾓形，易求P 点坐标为（1，4），⼜C 点坐标为（-1，2），可求直线l 的解析式为y =x +3．⼭东烟台中考真题22．如图，抛物线23y ax bx 与x 轴交于A （-1，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ⊥y轴交抛物线于另⼀点D ，作DE ⊥x 轴，垂⾜为点E ，双曲线 60y x x经过点D ，BD ．（1）求抛物线的表达式；（2）动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC ⽅向运动，运动时间为t 秒，当t 为何值时，∠BPD的度数最⼤？（请直接写出结果）【分析】（1）考虑到点D 纵坐标与点C 相同，为3，代⼊反⽐例解析式，可得D 点坐标为（2，3），根据A 、D 坐标可得抛物线解析式：223y x x ．（2）求t 即求P 点位置．思路2：切割线定理延长BD 交y 轴于M 点，则当2MP MD MB 时，∠BPD 最⼤．考虑到B （3，0）、D （2，3），可得直线BD 解析式：39y x，故直线BD 与y 轴交点M 点坐标为（0，9），MD，MB ，∴260MP MD MB，∴MP∴P点坐标为 0,9 ，故t的值为9 2023·四川宜宾中考真题23．如图，抛物线2y ax bx c 与x 轴交于点 4,0A 、 2,0B ，且经过点 2,6C．(1)求抛物线的表达式；(2)在x 轴上⽅的抛物线上任取⼀点N ，射线AN 、BN 分别与抛物线的对称轴交于点P 、Q ，点Q 关于x 轴的对称点为Q ，求APQ △的⾯积；(3)点M 是y 轴上⼀动点，当AMC 最⼤时，求M 的坐标．【答案】(1)233642y x x (2)814APQ S V(3) 0,12M 【分析】（1）设抛物线的解析式为42y a x x ，代⼊点C 的坐标，确定a 值即可．（2）设233,642N m m m，直线AN 的解析式为y kx b ，直线BN 的解析式为y px q ，表⽰出P ，Q ，Q 的坐标，进⽽计算即可．（3）当M 是y 轴与经过A ，C ，M 三点的圆的切点是最⼤计算即可.【详解】（1）∵抛物线2y ax bx c 与x 轴交于点 4,0A 、 2,0B ，∴设抛物线的解析式为42y a x x ，∵经过点 2,6C ，∴ 62422a ，解得34a ，∴ 3424y x x ，∴233642y x x ．（2）如图，当点N 在对称轴的右侧时，∵22333627+4+1424y x x x ，∴对称轴为直线=1x，设233,642N m m m，直线AN 的解析式为y kx b ，直线BN 的解析式为y px q ，∴224020,3333664242k b p q mk b m m mp q m m 解得2222333366424224,33123624242m m m m p k m m m m m m b q m m ，∴直线AN 的解析式为2243363624442y m m x m m m m ，直线BN 的解析式为22233363124222y x m m m m m m ，当=1x 时， 2223399618362912444444242m m m m m m y m m m m ， 22233399631218422914422224y m m m m m m m m m m ，∴ 91,24P m ， 91,44Q m ，91,44Q m ，∴992724442PQ m m ，∴127813224APQ S V ．如图，当点N 在对称轴的左侧时，∵22333627+4+1424y x x x ，∴对称轴为直线=1x ，设233,642N m m m ， 91,24P m ， 91,44Q m ，91,44Q m ，∴992724442PQ m m ，∴127813224APQ S V ．综上所述，814APQ S V ．（3）当AMC V 的外接圆与OM 相切，切点为M 时， AMC 最⼤，设外接圆的圆⼼为E ，Q 是异于点M 的⼀点，连接QA ，QC ，QA 交圆于点T ，则AMC ATC，根据三⾓形外⾓性质，得ATC AQC ，故AMC AQC ，∴AMC 最⼤，设OA 与圆交于点H ，连接MH ，ME ，根据切线性质，∴90EMO MOA ，作直径HN ，连接MN ，∴90HMN ，MNH MAH，∵EM EH ，∴EMH EHM，∴9090EMH EHM，∴OMH MNH MAH，∴OMH OAM V V ∽， ∴OM OH OA OM ，∴2OM OA OHg ，设,OM y OH x ，则AH 4x，∴24y x，∴y过点E 作EF OA ，垂⾜为F ，过点C 作CG OA ，垂⾜为G ，交EM 于点P ，根据垂径定理，得42x AF FH ，四边形EMOF 是矩形，∴4422x x EC EM OF x ，根据 2,6C ，得2CD PM OG ，6CG ∴4222P x E EM PM x ，∴6CP CG PG CG OM在直⾓三⾓形PEC 中，∴2224()(6(22x x ，∴16x∴22(16)x ，∴21122560x x，解得156x 2564x （舍去），∴ 2612y故12OM ∴当AMC 最⼤时， 0,12M ．。
全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 04铅垂法求面积(不含答案版)
专题04 铅垂法求面积 铅垂法1： 铅垂法2： 铅垂法3：A B ABC x x CD S -⋅=21△ A C ABC x x BD S -⋅=21△ C B ABC x x AD S -⋅=21△一、求三角形面积最值 例1．如图，抛物线y ＝x 2﹣x +与x 轴交于A 、B 点，直线l ：y ＝kx ﹣3k +4与抛物线交于E ，F 两点．（1）直线l 过定点： ；（2）求S △BEF 的最小值．例2．如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x +1和y 轴交于点A ，与它的对称轴直线x ＝1交于点B ，过定点的直线y ＝kx ﹣k +4（k ＜0）与该抛物线交于点M ，N ．若△BMN 的面积等于1，求k 的值．对应练习：1．（2024•凉州区二模）如图，已知：关于y的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x 轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），抛物线的对称轴与x 轴交于点D．（1）求二次函数的表达式．（2）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达B点时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出面积．2．（2024•沂源县一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B （﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值及点P的坐标；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2024•鼓楼区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图，点P为直线BC下方抛物线上一点，PD⊥BC于点D，求PD的最大值；4．（2024•翠屏区校级模拟）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，当△ACE面积的最大值时，求出此时点E的坐标；5．（2024秋•长沙期中）如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；6．（2024秋•阜阳期中）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求b、c的值；（2）若点P是抛物线BC段上的一点，当△PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；7．（2024秋•西岗区校级月考）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接BC．（1）求该二次函数和直线BC的解析式；（2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，作PQ⊥x轴于点Q，交BC于点H，当PH的长度最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，若△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为．8．（2024秋•吉林月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．（1）求该二次函数的解析式；（2）求点A的坐标；（3）连接CP、BP，当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值；9．（2023秋•大丰区月考）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴相交于点C（0，4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P．连接AP，CP，当三角形ACP的面积最大时，求此时点P的坐标；10．（2024•深圳三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点C（0，3），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值；二、求四边形面积最值例3．（2024•南召县开学）综合与探究如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴相交于点C（0，4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，当四边形AOCP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AOCP面积的最大值．对应练习：1．（2023秋•新会区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2）．（1）求二次函数的解析式；（2）若点M为该二次函数图象在第四象限内的一个动点，当四边形ACMB 的面积最大时求出此时点M的坐标及四边形ACMB面积的最大值；2．（2024春•江北区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D，连接BD．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，点P在第一象限内的抛物线上，连接PB、PC，当四边形BPCD的最大值；的面积最大时，求出此时点P的坐标以及S四边形BPCD3．（2024•吐鲁番市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积；。
二次函数中面积的最值问题(六大题型)学生版-2024年中考数学压轴题专项训练
二次函数中面积的最值问题(六大题型)通用的解题思路：二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：1)当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下：一般步骤为：①设出要求的点的坐标；②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；③列出关系式求解；④检验是否每个坐标都符合题意．2)用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.3)利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等；②通过已知点的坐标，求出直线解析式；③求出题意中要求点的坐标；④检验是否每个坐标都符合题意．题型01三角形面积最值问题1(2024·宁夏银川·一模)如图，二次函数y =-x 2+6x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1，5 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是二次函数图象上的一个动点，且在直线AB 上方，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②设△PAB 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．2(2024·新疆克孜勒苏·二模)如图，抛物线y =x ²+bx +c (b ，c 是常数)的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，A 2,0 ，AB =6，点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ ∥BC 交AC 于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)求△CPQ 面积的最大值，并求此时P 点坐标．3(23-24九年级下·湖北武汉·开学考试)如图，抛物线y =ax 2-4ax +3a 交x 轴于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧)，交y 轴正半轴于点C ,OB =OC ，点P 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)若tan∠ACP=2，求点P的横坐标．(3)平面上有两点M m,-m-3，求△PMN的面积的最小值．,N m+2,-m-54(23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习)△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=4，点P从点C出发，沿射线CA方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以相同的速度从点B出发，沿射线BA方向运动．设运动时间为x(x≠2且x≠4)秒，△APQ的面积为S．(1)当0<x<2时，如图①，求S与x的函数关系式；(2)当2<x<4时，如图②，求S的最大值；(3)若在运动过程中，存在两个时刻x1，x2，对应的点P和点Q分别记为P1，P2和Q1，Q2，对应的△AP1Q1和△AP2Q2的面积分别记为S1和S2，且当CP1=P1P2时，S1=S2，请求出x1的值．5(2023·山东聊城·二模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点A 的坐标为-1,0，直线CD:y=2x-3与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动， ，与y轴交于点C0,-3过点M作MP⊥x轴，垂足为点P，交直线CD于点N．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)点M在运动过程中，能否使以C，N，M为顶点的三角形是以NM为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．6(2024·浙江宁波·模拟预测)如图，一次函数y=33x+3的图象与坐标轴交于点A、B，抛物线y=-33x2+bx+c的图象经过A、B两点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P为抛物线上一动点，在直线AB上方是否存在点P使△PAB的面积最大？若存在，请求出△PAB 面积的最大值及点P的坐标，请说明理由．7(2024·甘肃陇南·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=-x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点B1,0，抛物线对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为直线AC下方抛物线上一点，当△MAC的面积最大时，求点M的坐标；(3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点．要使得以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等，请直接写出点P的坐标．8(2024·江苏盐城·模拟预测)已知抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB=OC．(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；(2)如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，求△PBC的最大面积；(3)如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在直线y=2x-9上，求证：直线MN必经过一个定点，并求该定点坐标．9(2024·四川广元·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=-x2+bx+c与x轴交于点B，A(-3, 0)，与y轴交于点C(0,3)．(1)求直线AC和抛物线的解析式．(2)若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使得以M，A，C三点为顶点的三角形是以AC为底的等腰三角形?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，求△PAC面积的最大值．10(2024·安徽安庆·一模)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A1,0两点，与y轴交于、B3,0点C．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F．①若点E在第一象限，连接CF、BF，求△CFB面积的最大值；②此抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接DF，若△DEF为直角三角形，请直接写出E点坐标．11(2024·安徽合肥·一模)如图，直线y=x-3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c 经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A．(1)求抛物线的函数表达式；(2)直接写出当x-3>x2+bx+c时，x的取值范围；(3)点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，连接OE．求△BOE面积的最大值及此时点P的坐标．12(2024·天津西青·一模)已知抛物线y=-x2-4ax-12a(a<0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C．(1)若点D4,12在抛物线上．①求抛物线的解析式及点A的坐标；②连接AD，若点P是直线AD上方的抛物线上一点，连接PA，PD，当△PAD面积最大时，求点P的坐标及△PAD面积的最大值；(2)已知点Q的坐标为-2a,-8a，连接QC，将线段QC绕点Q顺时针旋转90°，点C的对应点M恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．13(2024·山东临沂·二模)如图，抛物线y=ax2+32x+c与x轴交于点A和点B4,0，与y轴交于点C0,2，连接BC，点D在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接BD，CD，△BCD面积存在最大值，请帮助小明求出△BCD面积的最大值；(3)小明进一步探究点D位置时发现：如图2，点D在抛物线上移动，连接CD，存在∠DCB=∠ABC，请帮助小明求出∠DCB=∠ABC时点D的坐标．14(2024·广东深圳·二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与轴交于A，B 点，与y轴交于点C0,3，点B的坐标为3,0，点P是抛物线上一个动点．(1)求二次函数解析式；(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值；(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形；若不存在，请说明理由．15(2024·湖北·模拟预测)如图，抛物线y=x-12+k与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C0,-3．设P点在抛物线上运动，横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式；(2)当P点位于第四象限时，求△BCP面积的最大值，并求出此时P点坐标；(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h．① 求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；② 根据h的不同取值，试探索点P的个数情况．16(22-23九年级下·重庆·阶段练习)抛物线y=ax²+bx+5经过点A1,0和点B5,0．该抛物线与直线y=12x+5相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)连接PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；(3)连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．17(2024·江苏宿迁·一模)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(3，0)．(1)求出这条抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D是第一象限内该抛物线上一动点，过点D作直线l∥y轴，直线l与△ABD的外接圆相交于点E．①仅用无刻度直尺找出图2中△ABD外接圆的圆心P．②连接BC、CE，BC与直线DE的交点记为Q，如图3，设△CQE的面积为S，在点D运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S的最大值；如果不存在，请说明理由．18(2024·新疆乌鲁木齐·一模)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m 从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒t>0．(1)AH=，EF=(用含t的式子表示)．(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．19(2024·重庆·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过点(3,-4)，交x轴于点A(-1,0)，B两点，交y轴于点C(0,2)．(1)求抛物线的表达式；(2)连接AC ，BC ，M 为线段AB 上一动点，过点M 作MD ∥BC 交直线AC 于点D ，连接MC ，求△MDC 面积的最大值及此时M 点的坐标；(3)在(2)中△MDC 面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线BC 方向平移2个单位长度，P 是平移后的抛物线上一动点，连接CP ，当∠PCM 与△OBC 的一个内角相等时，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．20(2024·湖南衡阳·一模)如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过A 1,0 ,B -3,0 ,C 0,3 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 为第二象限内抛物线上一动点，求△BCD 面积的最大值；(3)设点P 为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．21(2024·甘肃天水·一模)如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x 轴交于A ,B 两点，D 是抛物线的顶点．O 为坐标原点．A ,B 两点的横坐标分别是方程x 2-4x -12=0的两根，且cos ∠DAB =22．(1)求抛物线的函数解析式；(2)作AC ⊥AD ，AC 交抛物线于点C ，求点C 的坐标及直线AC 的函数解析式；(3)在(2)的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在一点P ，使△APC 的面积最大？如果存在，请求出点P 的坐标和△APC 的最大面积；如果不存在，请说明理由．22(2024·山东聊城·一模)在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx -3与x 轴交于点A -1,0 和点B 3,0 ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若点P 为第四象限内抛物线上一点，当△PBC 面积最大时，求点P 的坐标；(3)若点P 为抛物线上一点，点Q 是线段BC 上一点(点Q 不与两端点重合)，是否存在以P 、Q 、O 为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23(2024·吉林长春·一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y =x +2分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点C 2,2 作x 轴垂线，垂足为D ，连接BC ．现有动点P 、Q 同时从A 点出发，分别沿AB 、AD 向终点B 和终点D 运动，若点P 的运动速度为每秒2个单位长度，点Q 的运动速度为每秒2个单位长度．设运动的时间为t 秒．(1)求A、B两点的坐标；(2)当CQ∥AB时，t=；(3)设△CPQ的面积为y，写出y与t的函数关系式，并求△CPQ面积的最大值；(4)当△CPQ为轴对称图形时，直接写出t的值．24(2023·湖南娄底·中考真题)如图，抛物线y=x2+bx+c过点A-1,0，交y轴于点C．、点B5,0(1)求b，c的值．(2)点P x0,y0是抛物线上的动点0<x0<5①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25(2024·河南安阳·模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2+x-1的形状相同，且与x轴交于点-1，0．直线y=kx+2分别与x轴、y轴交于点A，B，和4，0与y=ax2+bx+c于点C，D(点C在点D的左侧)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线y=kx+2上方抛物线上的任意一点，当k=2时，求△PCD面积的最大值；(3)若抛物线y=ax2+bx+c与线段AB有公共点，结合函数图象请直接写出k的取值范围．26(2024·湖南长沙·一模)如图，抛物线y=x2-bx+c与x轴交于A-1,0两点，与y轴交于，B m,0点C0,-3，顶点为D，直线BD交y轴于点E．(1)求抛物线的解析式．(2)设点P为线段BD上一点(点P不与B，D两点重合)，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，连接DF，BF，求△BDF面积的最大值．(3)连接CD，在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．27(2024·江西萍乡·一模)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A3,0，连接AC，BC．，C0,3(1)求抛物线的函数解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与△OBC相似，求出点P的坐标；(3)若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接MC，MA．设△ACM的面积为S，试求S的最大值．28(2024·四川广元·二模)如图1，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为5，0，与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为(3,-4)．(1)求抛物线和直线BC的解析式．(2)在抛物线上是否存在点M，使得△BCM是以BC为底边的等腰三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为⊙B 上的一个动点，连接AC ，求△ACP 面积的最大值．29(2023·山东青岛·中考真题)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB =10cm ，BD =45cm ．动点P 从点A 出发，沿AB 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，动点Q 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为2cm/s ．以AP ，AQ 为邻边的平行四边形APMQ 的边PM 与AC 交于点E ．设运动时间为t s 0<t ≤5 ，解答下列问题：(1)当点M 在BD 上时，求t 的值；(2)连接BE ．设△PEB 的面积为S cm 2 ，求S 与t 的函数关系式和S 的最大值；(3)是否存在某一时刻t ，使点B 在∠PEC 的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南怀化·中考真题)如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx -8与x 轴交于A (-4,0)、B (2,0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P 为第三象限内抛物线上一点，作直线AC ，连接PA 、PC ，求△PAC 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)设直线l 1:y =kx +k -354交抛物线于点M 、N ，求证：无论k 为何值，平行于x 轴的直线l 2:y =-374上总存在一点E ，使得∠MEN 为直角．31(2024·海南省直辖县级单位·一模)如图，已知抛物线y =ax 2+2x +c a ≠0 ，与x 轴交于点A -1,0 和点B 3,0 ，与y 轴交于点C ，E 为抛物线的顶点．图1图2(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点P 是第一象限内抛物线上一动点，连接PC 、PB 、BC ，设点P 的横坐标为t ．①当t 为何值时，△PBC 的面积最大？并求出最大面积；②当t 为何值时，△PBC 是直角三角形？(3)如图2，过E 作EF ⊥x 轴于F ，若M m ,0 是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若∠MNC =90°，请直接写出实数m 的取值范围．32(2024·四川成都·一模)如图，直线y =-x -4分别交x 轴，y 轴于A ，C 两点，点B 在x 轴正半轴上．抛物线y =15x 2+bx +c 过A ，B ，C 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点B 作BD ∥AC 交y 轴于点D ，交抛物线于点F ．若点P 为直线AC 下方抛物线上的一动点，连接PD 交AC 于点E ，连接EB ，求S △PEB 的最大值及最大值时点P 的坐标；(3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线y =-2x 与新抛物线交于O ，G 两点，点H 是线段OG 的中点，过H 作直线RQ (不与OG 重合)与新抛物线交于R ，Q 两点，点R 在点Q 左侧．直线GR 与直线OQ 交于点T ，点T 是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．33(2024·江苏苏州·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2-8ax +10a -1a <0 与x 轴的交点分别为A x 1,0 ，B x 2,0 ，其中(0<x 2<x 1)，且AB =4，与y 轴的交点为C ，直线CD ∥x 轴，在x 轴上有一动点E t ,0 ，过点E 作直线l ⊥x 轴，与抛物线、直线CD 的交点分别为P 、Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当0<t ≤8时，求△APC 面积的最大值；(3)当t >2时，是否存在点P ，使以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△OBC 相似？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．题型02四边形面积最值问题1(2024·安徽阜阳·一模)如图，抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A -1，0 ，B 3，0 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P ，使△PAC 的周长最小，求△PAC 的周长的最小值及此时点P 的坐标；(3)若M 为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形OCMB 的面积的最大值及此时点M 的坐标.2(2024·山东临沂·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-14x 2+bx +c 与x 轴交于点A (-2,0)和点B ，与y 轴交于点C (0,4)，点P 是直线BC 上方的抛物线上一点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线BC 于点D ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求线段PD 长的最大值；(3)连接CP ，BP ，请直接写出四边形ABPC 的面积最大值为．3(2024·山西运城·一模)综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A-1,0、B两点，与y轴交于点C，点D-2,9 2在抛物线上，点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线BD于点Q，连接PA、PB、QA，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求四边形PAQB面积的最大值及此时点P的坐标；(3)若点M是抛物线上任意一点，是否存在点M，使得∠MAB=2∠ACO，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．4(2024·安徽合肥·一模)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A，B两点，直线l：y=kx+2与抛物线交于A，C两点，且A-1,0，B3,0．(1)求a，b，k的值；(2)点M是线段OB上的动点，点N在x轴上，MN=2，且点N在M的左边．过点M作MP⊥x轴，交抛物线于点P．过点N作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线l于点R．①当以P，Q，R，M为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．②记以P，Q，R，M为顶点的四边形面积为S，求S的最大值．5(2024·安徽蚌埠·一模)如图1，已知直线y=-x+5与坐标轴相交于A、B，点C坐标是-1，0，抛物线经过A、B、C三点．点P是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线AB交于点D，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在第一象限时，连接CP交OA于点E，连接EF，如图2所示；①求AE+DF的值；②设四边形AEFB的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．6(2024·安徽马鞍山·一模)如图，过原点的二次函数y=ax2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数交于B1,-3，与y轴交于点C0,-4．(1)分别求此二次函数与直线AB的解析式．(2)点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为t．①当PD=12OC时，求t的值；②当点P在直线AB下方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF，求四边形FQED面积的最大值．7(2024·山东济南·一模)如图，直线y=-12x+3交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=-14x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段OA绕x轴上的动点P m,0顺时针旋转90°得到线段O A ，若线段O A 与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．8(2024·四川广元·二模)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于原点O和点A4，0，经过点A的直线与该函数图象交于另一点B1，3，与y轴交于点C．(1)求直线AB的函数解析式及点C的坐标．(2)点P是抛物线上位于直线AB上方的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，过点B作BF⊥x轴于点F，连接OP，与BF交于点G，连接DG．求四边形GDEF面积的最大值．(3)抛物线上是否存在这样的点Q，使得∠BOQ=45°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9(2024·广东珠海·一模)如图，抛物线y=-x2+3x+4和直线y=x+1交于A-1,0点，点B，B3,4在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C．(1)求∠BAC的度数．(2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒t>0．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．10(2024·安徽宿州·二模)如图1，抛物线y=ax2+bx-3(a，b是常数且a>0)与x轴交于点A-1,0和点B(点B在点A的右侧)，点D是抛物线的顶点，CD是抛物线的对称轴且交x轴于点C1,0.(1)求a，b的值；(2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．(i)如图2，连接AP，DP，BD，求四边形ABDP面积的最大值；(ii)如图3，连接AP并延长交CD延长线于点Q，连接BP交CD于点E，求CE+CQ的值.11(2024·安徽·二模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4交x轴于点A-1,0,B4,0，交y轴于点C，点M在该抛物线上，横坐标为m，将该抛物线M,C两点之间(包括M,C两点)的部分记为图象W．(1)求抛物线的解析式；(2)图象W的最大值与最小值的差为4时，求m的值；(3)如图2，若点M位于BC下方，过点A作AE∥BC交拋物线于点E，点D为直线AE上一动点，连接CM, CD,BM,BD，求四边形CDBM面积的最大值及此时点M的坐标．12(2024·四川广安·二模)如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A-4,0．，B两点，交y轴于点C0,4(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，求四边形AOCP的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13(23-24九年级上·重庆渝北·期末)二次函数y=ax2+bx+4经过点A-1,0，点C，点D，点B4,0分别二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点.(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，连接BC ，过点A 作BC 的平行线交二次函数于点E ，连接CM ，BM ，BE ，CE ．求四边形CMBE 面积的最大值以及此时点M 的坐标；(3)如图2，过点M 作MN ∥y 轴，交BC 于点N (点M 不与点D 重合)，过点D 作DH ∥y 轴，交BC 于点H ，当DM =HN 时，直接写出点M 的坐标．题型03面积比最值问题14(2024·安徽合肥·一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =a x +1 x -4 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C 0，-2 ．(1)求a 的值；(2)点D 为第四象限抛物线上一点①求△BCD 的面积最大值②连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记△BDE 的面积为S 1，△ABE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值；15(2023·四川遂宁·中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．16(2024·湖北省直辖县级单位·一模)抛物线y =x 2-4x 与直线y =x 交于原点O 和点B ，与x 轴交于另一点A ，顶点为D ．(1)求出点B 和点D 的坐标；(2)如图①，连接OD ，P 为x 轴的负半轴上的一点，当tan ∠PDO =12时，求点P 的坐标；(3)如图②，M 是点B 关于抛物线的对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，它的横坐标为m 0<m <5 ，连接MQ ，BQ ，MQ 与直线OB 交于点E ，设△BEQ 和△BEM 的面积分别为S 1和S 2，求S1S 2的最大值．17(2023·湖南永州·中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．18(2024·四川南充·一模)抛物线y =-38x 2+bx +c b >0 与x 轴分别交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C 0,3 ，抛物线对称轴为x =1，点P 是抛物线在第一象限上动点，连接CB ，PB ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图，连接PA ，交BC 于点M ，设△ABM 的面积为S 1，△PBM 的面积为S 2，求S 1S 2的最小值及此时点P的坐标．19(2024·湖北孝感·一模)如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A-1,0，B3,0，与y轴交于点C，连接BC．(1)求a，b的值及直线BC的解析式；(2)如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，连接AP交BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交BC于点G，(ⅰ)若EP=EG，求点P的坐标，(ⅱ)连接CP，CA，记△PCE的面积为S1，△ACE的面积为S2，求S1S2的最大值；(3)如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线BC向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围．题型04面积和最值问题1(2024·吉林长春·一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(-1,0)、B(3,0)，交y轴于点C，连结AC、BC．点D在该抛物线上，过点D作DE∥AC，交直线BC于点E，连结AD、AE、BD．设点D横坐标为m(m>0)，△DAE的面积为S1，△DBE的面积为S2．(1)求a，b的值；(2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围；(3)当点D在第一象限时，求S1+S2的最大值；(4)当S1:S2=2:1时，直接写出m的值．题型05面积差最值问题1(2024·安徽合肥·一模)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=。
2020年中考数学二次函数压轴题(含答案40页)
2020年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．4.（2013•菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO，∴=，即=，解得：t=．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=，解得：h=（5﹣t），∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．等腰三角形类10. （2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。
2020中考数学考点必杀500题(二次函数压轴大题)(解析版)
2020中考考点必杀500题 专练14（二次函数压轴大题）（30道）1．（2019·辽宁省中考模拟）如图，抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），点A 的坐标为()1,0-，与y 轴交于点()2,0C ，直线:2CD y x =-+与x 轴交于点D ．动点M 在抛物线上运动，过点M 作MP x ⊥轴，垂足为P ，交直线CD 于点N ． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在线段OD 上时，CDM ∆的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）点E 是抛物线对称轴与x 轴的交点，点F 是x 轴上一动点，点M 在运动过程中，若以C E F M 、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F 的坐标．【答案】（1）224y x x 233=-++；（2）存在．当74a =时，CDM S ∆有最大值为4924；（3）F 点坐标为()3,0或()1,0-或)或()．【解析】 解：（1）抛物线经过点()1,0A -，点()0,2C ，()221032b c c ⎧-⨯--+=⎪∴⎨⎪=⎩，解得432b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为224233y x x =-++； （2）存在．当0,20y x =-+=，解得2x =，则()2,0D ，设224,233M x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则(),2N x x -+， ()2242233MN x x x ∴=-++--+ 22733x x =-+，21272233CDMS MN x x ∆∴=⨯⨯=-+ 227493424x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 203a =-<，∴当74a =时，CDM S ∆有最大值为4924；（3）抛物线的对称轴为直线431223x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， ()1,0E ∴，当//CM EF 时，则()2,2M ，以C E F M 、、、为顶点的四边形是平行四边形，2CM EF ∴＝＝，F ∴点坐标为()3,0或()1,0-当//CE MF 时，以C E F M 、、、为顶点的四边形是平行四边形，CM EF ∴=，点C 向右平移1个单位，向下平移2个单位得到E 点，∴点F 向右平移1个单位，向下平移2个单位得到M 点，设(),0F t ，则()1,2M t +-， 把()1,2M t +-代入224233y x x =-++得()()224112233t t -++++=-，解得12t t == 此时F 点坐标为)(),，综上所述，F 点坐标为()3,0或()1,0-或)或()．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．2．（2019·山东省中考模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线112y x =-+分别与x 轴，y 轴交于点A B ，，点C 是第一象限内的一点，且AB AC AB AC =⊥，，抛物线1²2y x bx c =-++经过A C ，两点，与x 轴的另一交点为D ．（1）求此抛物线的解析式；（2）判断直线AB 与CD 的位置关系，并证明你的结论；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A B M N ，，，四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）二次函数的解析式为219722y x x =-+-；（2）AB∥CD ，证明见解析；（3）点N 的坐标分别，1），，1），-1），1）． 【解析】解：（1）由题意可求点A(2，0)，点B （0,1）． 过点C 作CE∥x 轴，易证∥AOB∥∥ECA ． ∥ OA=CE=2，OB=AE=1． ∥ 点C 的坐标为（3,2）．将点A(2，0)，点C(3，2)代入212y x bx c =-++，得220{9322b c b c -++=-++=，，解得9{27b c ==-．∥二次函数的解析式为219722y x x =-+-．（2）AB∥CD ．证明如下： 令2197022x x -+-=，解得7x =． ∥ D 点坐标为（7,0）．可求5AC CD AD ===． ∥∥ACD 为直角三角形，∥ACD=90°． 又∥∥BAC=90°， ∥ AB∥CD ．（3）如图，由题意可知，要使得以A,B,M,N 四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N 到x 轴的距离与点B 到x 轴的距离相等． ∥ B 点坐标为（0,1）， ∥ 点N 到x 轴的距离等于1． 可得2197122x x -+-=和2197122x x -+-=-．解这两个方程得1234x x x x ====∥点N 的坐标分别为（2，1），（92，1），（92+，-1），（2，-1）．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理和逆定理；平行的判定；平行四边形的判定；解一元二次方程；分类思想的应用．3．（2019·广东省中考模拟）已知抛物线y =ax 2+bx +3经过A(−1,0)和B(3,0)两点，与y 轴交于点C ，点P 为第一象限抛物线上一动点，(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接OP ，交BC 于点D ，当S ΔCPD :S ΔBPD =1:2时，求出点P 的坐标；(3)如图2，点E 的坐标为(0,−1)，点G 为x 轴正半轴上一点，∠OGE =15°，连接PE ，是否存在点P ，使∠PEG =2∠OGE ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)y =−x 2+2x +3；(2)P(√3,2√3)；(3)P (1+√172,√17−12) 【解析】解：(1)将A(−1,0)和B(3,0)代入y =ax 2+bx +3得：{a −b +3=09a +3b +3=0解得：{a =−1b =2∥抛物线的解析式为：y =−x 2+2x +3. (2)作DM ⊥y 轴，垂足为M ，∥S ΔCPD :S ΔBPD =1:2 ∥CDBD =12，CDBC =13， ∥ΔCMD ∽ΔCOB ， ∥CM CO =CD CB=DM OB=13， ∥B(3,0)，C(0,3)， ∥OB =OC =3， ∥CM =DM =1，OM =2 ∥D(1,2)，∥直线OD 为：y =2x ，由{y =−x 2+2x +3y =2x 得：P(√3,2√3)(3)设PE 交x 轴于H 点，∥∠O GE =15°，∠PEG =2∠OGE ∥∠PEG =30°， ∥∠OEG =75°，∥∠OEH =75°−30°=45°， ∥∠OHE =∠OEH =45°， ∥OH =OE ， ∥E(0,−1)， ∥OH =OE =1， ∥ H(1,0)，∥直线PE 为：y =x −1，由{y =−x 2+2x +3y =x −1 得：{x 1=1+√172y 1=√17−12，{x 1=1−√172y 1=−√17−12∥点P 在第一象限， ∥P (1+√172,√17−12).【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行线分线段成比例等知识点，难度不大．4．（2018·四川省中考模拟）已知：如图1，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为顶点．()1求抛物线解析式及点D 的坐标；()2若直线l 过点D ，P 为直线l 上的动点，当以A 、B 、P 为顶点所作的直角三角形有.且只有三个时，求直线l 的解析式；()3如图2，E 为OB 的中点，将线段OE 绕点O 顺时针旋转得到'OE ，旋转角为(090)αα<<，连接'E B 、'E C ，当1''2E B E C +取得最小值时，求直线'BE 与抛物线的交点坐标．【答案】（1）()1,4-；（2）4y =或4y =-（3. 【解析】()1抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，()()21323y x x x x ∴=+-=--．2223(1)4y x x x =--=--， ∴抛物线的顶点坐标为()1,4-．()2过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点Q ．以AB 为直径的G 如果与直线l 相交，那么就有2个点Q ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点Q 了．如图所示：以AB 为直径作G ，作QD 与G 相切，则QG QD ⊥，过Q 作QE GD ⊥．()1,0A -，()3,0B ， 4AB ∴=．2QG ∴=．又4DG =，1sin 2GDQ ∴∠=．1sin 2GQE ∴∠=，1GE ∴=，QE ∴== ∴点Q的坐标为()11-．设l 的解析式为y kx b =+，则(411k b k b +=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：k =4b =-∴直线l的解析式为4y =．由图形的对称性可知：当直线l经过点()11-时，直线l 与G 相切，则(411k b k b +=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：k =4b =-∴直线l的解析式为4y =--综上所述，直线l的解析式为4y =+或4y =-．()3如图所示：取M 使34OM =，连接'ME ．3OC =，3'2OE =，34OM ，2'OE OC OM ∴=⋅，OE OCOM OE'∴=． 又''MOE E OC ∠=∠，'OME ∴∥'OE C ，12ME OE CE OC ''∴==． 1''2ME CE ∴=． 1''''2E B E C BE ME ∴+=+，∴当M 、'E 、B 在一条直线上时，1''2E B E C +有最小值， 1''2E B E C ∴+的最小值2===．【点睛】本题考查二次函数综合题，主要用到了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质、切线的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是确定出1''2E B E C +取得最小值的条件． 5．（2019·江苏省中考模拟）如图，抛物线y=ax 2+bx+2交x 轴于A （﹣1，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点D 坐标；（2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标；（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q′．是否存在点P ，使Q′恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）213y x x 222=-++，点D 坐标为（3，2）（2）P 1（0，2）；P 2（3+412，﹣2）；P 3（3412-，﹣2）（3）存在，（），（931313?---，） 【解析】解：（1）∥抛物线y=ax 2+bx+2经过A （﹣1，0），B （4，0）两点，∥a b+2=0{16a+4b+2=0-，解得：1a=2{3b=2-． ∥抛物线解析式为213y x x 222=-++． 当y=2时，213x x 2222-++=，解得：x 1=3，x 2=0（舍去）． ∥点D 坐标为（3，2）．（2）A ，E 两点都在x 轴上，AE 有两种可能：∥当AE 为一边时，AE∥PD ，∥P 1（0，2）．∥当AE 为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P 点、D 点到直线AE （即x 轴）的距离相等，∥P 点的纵坐标为﹣2． 代入抛物线的解析式：213x x 2222-++=-，解得：123x x 22==． ∥P，﹣2），，﹣2）． 综上所述：P 1（0，2）；P 2，﹣2）；P 3，﹣2）． （3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方．设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（213a ?a a 222-++，）， ∥当P 点在y 轴右侧时（如图1），CQ=a ，PQ=2213132a a 2=a a 2222⎛⎫--++- ⎪⎝⎭．又∥∥CQ′O+∥FQ′P=90°，∥COQ′=∥Q′FP=90°， ∥∥FQ′P=∥OCQ′，∥∥COQ′∥∥Q′FP ，∥Q 'C Q 'P?=CO FQ '，即213?a a?a?22=?2FQ'-，解得F Q′=a ﹣3 ∥OQ′=OF ﹣F Q′=a ﹣（a ﹣3）=3，此时a=13，点P 的坐标为（）．∥当P 点在y 轴左侧时（如图2）此时a ＜0，，213a a 222-++＜0，CQ=﹣a ，（无图） PQ=2213132a a 2=a a 2222⎛⎫--++- ⎪⎝⎭．又∥∥CQ′O+∥FQ′P=90°，∥CQ′O+∥OCQ′=90°， ∥∥FQ′P=∥OCQ′，∥COQ′=∥Q′FP=90°． ∥∥COQ′∥∥Q′FP ．∥Q 'C Q 'P?=CO FQ '，即213?a a?a?22=?2FQ '--，解得F Q′=3﹣a ． ∥OQ′=3， 此时a=P的坐标为（）． 综上所述，满足条件的点P 坐标为（），（931313?2---，）． （1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D 的坐标．（2）分两种情况进行讨论，∥当AE 为一边时，AE∥PD ，∥当AE 为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P 坐标．（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（213a ?a a 222-++，），分情况讨论，∥当P 点在y 轴右侧时，∥当P 点在y 轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．6．（2019·邢台市第八中学中考模拟）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标. 【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x.（2）2()1,M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或3(1,2+-或3(1,)2-. 【解析】（1）依题意得：1203ba abc c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∥抛物线的解析式为223y x x =--+. ∥对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ， ∥把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+， 得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩，∥直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∥()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-.（注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∥218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ∥若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-， ∥若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =， ∥若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：132t +=232t -=.综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或⎛- ⎝⎭或⎛- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题． 7．（2019·广西壮族自治区中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE△x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ． （1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =--+；（2）PG=24833m m --；（3）存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与∥DEH 相似，此时m 的值为﹣1或2316-． 【解析】解：（1）∥抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，4）， ∥40{34b c c -++==，解得8{34b c =-=. ∥抛物线的解析式为248433y x x =--+. （2）∥E （m ，0），B （0，4），PE∥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，∥P （m ，248433m m --+），G （m ，4）. ∥PG=224848443333m m m m --+-=--.（3）在（2）的条件下，存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与∥DEH 相似． ∥248433y x x =--+，∥当y=0时，2484033x x --+=，解得x=1或﹣3. ∥D （﹣3，0）．当点P 在直线BC 上方时，﹣3＜m ＜0． 设直线BD 的解析式为y=kx+4，将D （﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，解得k=43. ∥直线BD 的解析式为y=43x+4. ∥H （m ，43m+4）． 分两种情况：∥如果∥BGP∥∥DEH ，那么BG GP DE EH =，即248334343m m m m m ---=++. 由﹣3＜m ＜0，解得m=﹣1.∥如果∥PGB∥∥DEH ，那么PG BG DE HE =，即248334343m mm m m ---=++. 由﹣3＜m ＜0，解得m=2316-．综上所述，在（2）的条件下，存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与∥DEH 相似，此时m 的值为﹣1或2316-． 考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.由实际问题列代数式；6.相似三角形的判定和性质；7.分类思想的应用．8．（2019·吉林省中考模拟）如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标. 【答案】（1）21452=-+-y x x ；（2）()2,1-M ，25y x =-；（3）点P 、Q 的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1．【解析】解：（1）函数表达式为：()243y a x ==+， 将点B 坐标代入上式并解得：12a =-， 故抛物线的表达式为：21452=-+-y x x ； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ， 设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =， 故直线AB 的表达式为：25y x =-；（3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， ∥当AM 是平行四边形的一条边时，点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ， 同样点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ， 即：24m -=，214542m m s -+--=， 解得：6m =，3s =-，故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-； ∥当AM 是平行四边形的对角线时， 由中点定理得：424m +=+，2131452m m s -=-+-+， 解得：2m =，1s =，故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；故点P 、Q 的坐标分别为()6,1，()4,3-或()2,1、()4,3-，()2,1或()4,1． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.9．（2019·江苏省中考模拟）已知：如图，抛物线21y ax bx c =++的顶点为A （0，2），与x 轴交于B （﹣2，0）、C （2，0）两点．（1）求抛物线21y ax bx c =++的函数表达式；（2）设点P 是抛物线y 上的一个动点，连接PO 并延长至点Q ，使OQ ＝2OP ．若点Q 正好落在该抛物线上，求点P 的坐标；（3）设点P 是抛物线y 上的一个动点，连接PO 并延长至点Q ，使OQ ＝mOP （m 为常数）； △证明点Q 一定落在抛物线22122y x m m=-上； △设有一个边长为m+1的正方形（其中m ＞3），它的一组对边垂直于x 轴，另一组对边垂直于y 轴，并且该正方形四个顶点正好落在抛物线21y ax bx c =++和22122y x m m=-组成的封闭图形上，求线段PQ 被该正方形的两条边截得线段长最大时点Q 的坐标．【答案】（1）21122y x =-+（2）1）（，1）（3）∥见解析∥当点Q 与正方形右下或左下顶点重合时，PQ 被正方形上下两边所截线段最长，此时点Q 的坐标为（，-5-或（-2，-5-）． 【解析】解：（1）由条件可设抛物线y 1＝ax 2+2，将C （2，0）代入 可得抛物线21122y x =-+； （2）如图，作PE∥x 轴，FQ∥x 轴设点P （t ，2122t -+），利用∥PEO∥∥OFQ 可求得点Q （﹣2t ，t 2﹣4）． 把Q （﹣2t ，t 2﹣4）代入21122y x =-+中， 得：t 2﹣4＝21(2)22t --+， ∥3t 2＝6，，∥P 11），P 2（1）；（3）∥证明：设点P （t ，2122t -+），利用相似可求得点Q （﹣mt ，222mt m -）． 将x ＝﹣mt 代入22122y x m m=-中， 得：221()22y mt m m =--=222mt m -． ∥点Q 一定落在抛物线22122y x m m=-上； ∥如图所示∥正方形的边长为m+1， 由抛物线的对称性可知 正方形右边两个顶点横坐标为12m +， 将x ＝12m +代入抛物线解析式 可得两点纵坐标分别为：211()222m +-+和211()222m m m +-， ∥211()222m +-+-211()222m m m +-＝m+1，解得：3m =± ∥m ＞3，∥m =∥正方形右边两个顶点横坐标为131222m ++==+将x ＝21122y x =-+得：211(2212y =-+=--∥正方形右下顶点的纵坐标为-1(31)5-+=--．∥正方形右下顶点的坐标为（ -5-，，同理，正方形左下顶点的坐标为（-2-5-． 设PQ 与y 轴所成的角为α，当PQ 与正方形上下两边相交时，PQ 被正方形上下两边所截线段的长1cos m α+=，当α增大时，cosα减小，4cos α+增大，当PQ 经过正方形右下顶点时，α最大，PQ 被正方形上下两边所截线段最大，此时点Q 与正方形右下或左下顶点重合；当PQ 与正方形上右两边（或上左两边）相交时，由图形可知随着α的增大，PQ 被正方形上下两边所截线段的长减小，综上所述，当点Q 与正方形右下或左下顶点重合时，PQ 被正方形上下两边所截线段最长，此时点Q 的坐标为（ -5-，-2-5-． 【点睛】本题考查了正方形的性质、抛物线的性质，计算量较大，本题将正方形与抛物线很好的结合起来，是一道很典型的数形结合压轴题．10．（2019·广东省中考模拟）如图，已知抛物线经y ＝ax 2+bx ﹣3过A （1，0）、B （3，0）、C 三点．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点P 是BC 上方抛物线上一点，作PQ△y 轴交BC 于Q 点．请问是否存在点P 使得△BPQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC ，点D 是线段AB 上一点，作DE△BC 交AC 于E 点，连接BE ．若△BDE△△CEB ，求D 点坐标．【答案】（1）y ＝﹣x 2+4x ﹣3；（2）存在点P 使得∥BPQ 为等腰三角形，P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，1），3P 5)；（3）9D ,05⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）将1,03,0A B （）、（） 代入23y ax bx =+﹣ 得：309330a b a b +-=⎧⎨+-=⎩， 解得14a b =-⎧⎨=⎩，抛物线解析式243y x x =-+-； （2）存在点P 使得∥BPQ 为等腰三角形， ∥B （3，0），C （0，﹣3），∥设直线BC 的解析式为y kx b +＝，∥330b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：13k b ==-， ，∥直线BC 的解析式为3y x=﹣，设2,43P a a a -+-（），则3Q a a -（，），可分三种情况考虑：∥当PB BQ ＝时，由题意得P 、Q 关于x 轴对称， ∥24330a a a -+-+-＝， 解得：23a a ==，（舍去），∥2,1P （） ，∥当PQ BQ ＝时，222(323a a a -+-）＝（），∥a =，a =（舍去），3()a =舍去 ，∥5)P ，∥当PQ PB ＝时，有22222(3343a a a a a -+++）＝（﹣）（﹣）， 整理得：2211a a =+（﹣） ， 解得1a ＝ ． ∥10P （，）．综合以上可得P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，1），3P 5)； （3）∥∥BDE∥∥CEB ， ∥∥ABE ＝∥ACB ， ∥∥BAE ＝∥CAB ， ∥∥ABE∥∥ACB ，又∥AC ，∥AE ABAB AC=∥2AE =∥5AE =∥0DE BC D m ，设（，） ，∥AE ADAC AB=12m -=∥95m =∥9(,0)5D . 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质、利用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式、解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式及解方程是解题的关键．11．（2019·天津中考模拟）已知抛物线23y ax bx =++（a ，b 是常数，且0a ≠），经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C .（△）求抛物线的解析式；（△）若点P 是射线CB 上一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点H ，交抛物线于点Q ，设P 点横坐标为t ，线段PQ 的长为d ，求出d 与t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围；（△）在（△）的条件下，当点P 在线段BC 上时，设PH e =，已知d ，e 是以z 为未知数的一元二次方程()()2213521304z m z m m -++-+=（m 为常数）的两个实数根，点M 在抛物线上，连接MQ ，MH ，PM ，且MP 平分QMH ∠，求出t 值及点M 的坐标.【答案】（∥）2y x 2x 3=-++；（∥）23(03)d t tt =-+<<，23(3)d t t t =->；（∥）t 值为1，M点坐标为()12或()12. 【解析】解：（∥）将()()A 1,0,B 3,0-代入2y ax bx 3=++，得30,9330.a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得1,2.a b =-⎧⎨=⎩ ∥抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++；（∥）∥C 点的坐标为()0,3， 设直线BC 的方程为y kx 3=+， 将()B 3,0代入，得3k 30+=. 解得k 1=.∥直线BC 的方程为y x 3=-+.∥P 点的横坐标为t ，且PQ 垂直于x 轴，∥P 点的坐标为()t,t 3-+，Q 点的坐标为()2t,t 2t 3-++.∥如图，当点P 在线段CB 上时，()22PQ t 2t 3t 3t 3t =-++--+=-+.∥如图，当点P 在射线BN 上时，()22PQ t 3t 2t 3t 3t =-+--++=-.∥OB 3=，∥22t 3(03)d t 3(3)t t t t ⎧-+<<=⎨->⎩ （∥）∥d,e 是()()221z m 3z 5m 2m 1304-++-+=的两个实数根.∥Δ0≥，即()()221Δm 345m 2m 1304⎡⎤=-+-⨯-+⎣⎦.整理得：()2Δ4m 10=--.∥()24m 10-≤. ∥m 1=.∥方程为2z 4z 40-+=. 解得12z z 2==.∥PQ 与PH 是2z 4z 40-+=的两个实数根， 所以PQ PH 2==. 即PH t 32=-+=. ∥t 1=.如图，延长MP 至L ，使LP MP =，连接LQ ，LH ， ∥LP MP =，PQ PH =， ∥四边形LQMH 是平行四边形. ∥LH QM .∥QML MLH ∠∠=. ∥QML LMH ∠∠=， ∥MLH LMH ∠∠=. ∥HL HM =. ∥LQMH 是菱形. ∥PM QH ⊥.∥点M 的纵坐标与点P 纵坐标相等，都是2.在2y x 2x 3=-++中，当y 2=时，2x 2x 32-++=. ∥2x 2x 10--=.解得12x 1x 1==综上所述：t 值为1，M 点坐标为()12或()12-.【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，根的判别式的运用，一元二次方程的解法的运用，平行四边形的判定及性质的运用，菱形的判定及性质的运用，分类讨论思想的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．12．（2018·吉林省中考模拟）如图，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线在x 轴下方上的动点，过点M 作MN△y 轴交直线BC 于点N ，求线段MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，当MN 取得最大值时，在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使△PBN 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣4x+3．（2）当m=32时，线段MN 取最大值，最大值为94．（3）点P 的坐标为（2，12）、（2，﹣2）、（2，2）、（2）或（2）．【解析】解：（1）将点B （3，0）、C （0，3）代入抛物线y=x 2+bx+c 中，得9303b c c ++=⎧⎨=⎩，得43b c =-⎧⎨=⎩，∥抛物线的解析式为y=x 2-4x+3.（2）由题意可设点M 的坐标为（m ，m 2-4m+3），设直线BC 的解析式为y=kx+3， 把点（3，0）代入y=kx+3，中， 得：0=3k+3，解得：k=-1， ∥直线BC 的解析式为y=-x+3. ∥MN∥y 轴，∥点N 的坐标为（m ，-m+3）， ∥MN==-m+3-(m 2-4m+3)=-（m -32）2+94. ∥当m=32时，MN 最大=94. （3）由（2）可得：当m=32时，点N 的坐标为（32，32）， ∥点P 在抛物线的对称轴上， ∥可设点P 坐标为（2，n ）,=，,, 若PBN 为等腰三角形，则存在以下三种情况：∥当PB PN =12n = ，此时点P 的坐标为(2，12)；∥当PB BN =，解得：n 2=± ，此时点P 的坐标为(2，)或(2)；∥当PN BN =3n 2±=，此时点P 的坐标为(2,32+)或(2,32-)．综上可知：在抛物线的对称轴l 上存在点P ，使PBN 是等腰三角形，点P 的坐标为(2，12),(2，-2),(2，)．点睛：解本题第2小题时，当利用设出的点P 的坐标和已知的点B 、N 的坐标表达出线段PB 、PN 和BN 的长度时，需注意题目中没有指明∥PBN 为等腰三角形时的底和腰，因此要分：（1）PB=PN ；（2）PB=BN ；（3）PN=BN 三种情况分别讨论计算，不要忽略了其中任何一种情况，避免丢解.13．（2019·福建省中考模拟）如图，二次函数y ＝x 2+bx ﹣3的图象与x 轴分别相交于A 、B 两点，点B 的坐标为（3，0），与y 轴的交点为C ，动点T 在射线AB 上运动，在抛物线的对称轴l 上有一定点D ，其纵坐标为23，l 与x 轴的交点为E ，经过A 、T 、D 三点作△M ． （1）求二次函数的表达式； （2）在点T 的运动过程中，△△DMT 的度数是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由； △若MT ＝12AD ，求点M 的坐标； （3）当动点T 在射线EB 上运动时，过点M 作MH△x 轴于点H ，设HT ＝a ，当OH≤x≤OT 时，求y 的最大值与最小值（用含a 的式子表示）．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3（2）∥在点T 的运动过程中，∥DMT 的度数是定值∥（0（3）见解析 【解析】解：（1）把点B （3，0）代入y ＝x 2+bx ﹣3，得32+3b ﹣3＝0， 解得b ＝﹣2，则该二次函数的解析式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3； （2）∥∥DMT 的度数是定值．理由如下： 如图1，连接AD ．∥抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4． ∥抛物线的对称轴是直线x ＝1．又∥点D 的纵坐标为∥D （1，）．由y ＝x 2﹣2x ﹣3得到：y ＝（x ﹣3）（x+1）， ∥A （﹣1，0），B （3，0）．在Rt∥AED 中，tan∥DAE ＝DE AE == ∥∥DAE ＝60°．∥∥DMT ＝2∥DAE ＝120°．∥在点T 的运动过程中，∥DMT 的度数是定值； ∥如图2，∥MT ＝12AD ．又MT ＝MD ， ∥MD ＝12AD ． ∥∥ADT 的外接圆圆心M 在AD 的中垂线上，∥点M 是线段AD 的中点时，此时AD 为∥M 的直径时，MD ＝12AD ．∥A （﹣1，0），D （1，），∥点M 的坐标是（0．（3）如图3，作MH∥x 于点H ，则AH ＝HT ＝12AT ． 又HT ＝a ，∥H （a ﹣1，0），T （2a ﹣1，0）．∥OH≤x≤OT ，又动点T 在射线EB 上运动， ∥0≤a ﹣1≤x≤2a ﹣1．∥0≤a﹣1≤2a﹣1．∥a≥1，∥2a﹣1≥1．（i）当2111(1)211aa a-⎧⎨----⎩，即14a3时，当x＝a﹣1时，y最大值＝（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣3＝a2﹣4a；当x＝1时，y最小值＝4．（ii）当0112111(1)211aaa a<-⎧⎪->⎨⎪--<--⎩，即43＜a≤2时，当x＝2a﹣1时，y最大值＝（2a﹣1）2﹣2（2a﹣1）﹣3＝4a2﹣8a．当x＝1时，y最小值＝﹣4．（iii）当a﹣1＞1，即a＞2时，当x＝2a﹣1时，y最大值＝（2a﹣1）2﹣2（2a﹣1）﹣3＝4a2﹣8a．当x＝a﹣1时，y最小值＝（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣3＝a2﹣4a．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系；另外，解答（3）题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解．14．（2019·河南省中考模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是32x=-，且经过A（﹣4，0），C（0，2）两点，直线l：y=kx+t（k≠0）经过A，C．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一个动点，过点P 作PD △x 轴于点D ，交AC 于点E ，过点P 作PF △AC ，垂足为F ，当△PEF △△AED 时，求出点P 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213222y x x =--+，122y x =+；（2）12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）存在，Q的坐标为：32⎛- ⎝⎭或3,2⎛-⎝⎭3,2⎛- ⎝⎭或3,22⎛- ⎝⎭或3,22⎛- ⎝⎭或3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】（1）把点A 、C 的坐标和对称轴表达式代入二次函数表达式得：16403222a b c b a c -+=⎧⎪⎪-=-⎨⎪=⎪⎩，解得：12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故抛物线的表达式为：y 12=-x 232-x +2； 同理把点A 、C 坐标代入直线l 表达式并解得：y 12=x +2； （2）设P 点坐标为（n ，12-n 232-n +2），∥E 点坐标为（n ，12n +2），∥PE 12=-n 232-n +212-n ﹣2，DE12=n +2． ∥A （﹣4，0），C （0，2），OA =4，OC =2，AC∥PD ∥x 轴于点D ，∥∥ADE =90°，∥sin∥EAD =sin∥CAO，DE OC AE AC ==，∥AE ==12n +2），当∥PEF ∥∥AED 时，PE =AE ，12-n 2﹣2n =12n +2），解得：n =﹣4或4），∥n =，∥P （； （3）存在，理由如下：∥以A 为顶角顶点，AQ =AC ，由（2）知AC 若设对称轴与x 轴交于点G ，则AG 32=--（﹣4）52=；GQ 1=GQ 2==，故点Q 1、Q 2的坐标分别为（32-）、（32-，）；∥以C 为顶角顶点，CQ =CA 过点C 作x 轴的平行线，交抛物线的对称轴于点M ，则M （32-，2），则CM 32=，MQ 3==Q 3G =2，Q 4G =﹣2，故Q 3、Q 4坐标分别为（32-，2）、（32-，2）；∥以点Q 为顶角顶点时，同理可得点Q 5（32-，0）；故点Q 的坐标为：（32-）或（32-，）或（32-，2）或（32-，2）或（32-，0）． 【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、等腰三角形性质、三角形全等和相似等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．15．（2018·山东省中考模拟）如图，二次函数23y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为()4,0B ，另一个交点为A ，且与y 轴相交于C 点()1求m 的值及C 点坐标；()2在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得它与B ，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由()3P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；②点P 的横坐标为(04)t t <<，当t 为何值时，四边形PBQC 的面积最大，请说明理由．【答案】()14m =，()0,4C ；()2存在，()2,6M ；()(31P ①或(1P -；②当2t =时，16PBQC S =四边形最大.【解析】解：（1）将B （4，0）代入23y x x m =-++，解得，m=4， ∥二次函数解析式为234y x x =-++，令x=0，得y=4， ∥C （0，4）；（2）存在，理由：∥B （4，0），C （0，4），∥直线BC 解析式为y=﹣x+4，当直线BC 向上平移b 单位后和抛物线只有一个公共点时，∥MBC 面积最大， ∥24{34y x by x x =-++=-++， ∥24(2)16t --+， ∥∥=16﹣4b=0，∥b=4，∥26x y =⎧⎨=⎩，∥M （2，6）；（3）∥如图，∥点P 在抛物线上，∥设P （m ，234m m -++），当四边形PBQC 是菱形时，点P 在线段BC 的垂直平分线上，∥B （4，0），C （0，4），∥线段BC 的垂直平分线的解析式为y=x ， ∥m=234m m -++，∥m=1，∥P （1+，1+）或P （11-；∥如图，设点P （t ，234t t -++），过点P 作y 轴的平行线l ，过点C 作l 的垂线， ∥点D 在直线BC 上，∥D （t ，﹣t+4），∥PD=234t t -++﹣（﹣t+4）=24t t -+，BE+CF=4， ∥S 四边形PBQC =2S ∥PDC =2（S ∥PCD +S ∥BD ）=2（12PD×CF+12PD×BE ）=4PD=224164(2)16t t t -+--+ ∥0＜t ＜4，∥当t=2时，S 四边形PBQC 最大=16．考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；分类讨论；压轴题．16．（2019·南召县板山坪镇联合中学中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线y ＝x ﹣3经过B ，C 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是第四象限内抛物线上的动点，过点P 作PD △x 轴于点D ，交直线BC 于点M ，连接AC ，过点M 作MN △AC 于点N ，设点P 的横坐标为t ．△求线段MN 的长d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；△点Q 是平面内一点，是否存在一点P ，使以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）∥5d =；∥存在，t ＝1或2． 【解析】（1）由直线y ＝x ﹣3过B ，C 两点，得B （3，0），C （0，﹣3）， 将点B （3，0），C （0，﹣3）代入y ＝x 2+bx +c 中， 得9303.b c c ++=⎧⎨=-⎩解得23.b c =-⎧⎨=-⎩故抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3； （2）∥对于y ＝x 2﹣2x ﹣3， 当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0， 解得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∥A （﹣1，0） ∥OA ＝1， ∥OB ＝OC ＝3，∥∥OBC ＝∥BCO ＝45°，AC AB ＝4．连接AM ． ∥PD ∥x 轴于点D ， ∥∥DMB ＝∥GBM ＝45°． 又∥点P 的横坐标为t ， ∥DM ＝DB ＝3﹣t ． ∥S ∥ABC ＝S ∥AMC +S ∥AMB ，∥111,222AB OC AC MN AB DM ⋅=⋅+⋅即()1114343,222t ⨯⨯=+⨯-∥.5d =∥存在，t ＝1， ∥y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4， ∥抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， 过点C 作CE ∥PD 于点E ． 如图（1），当BC 为矩形的边时，由∥BCP ＝90°，∥BCE ＝45°，可得∥EPC ＝∥ECP ＝45°， ∥PE ＝CE ＝t ， ∥P （t ，﹣3﹣t ）．将P （t ，﹣3﹣t ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3， 得﹣3﹣t ＝t 2﹣2t ﹣3，解得t 1＝0（不合题意，舍去），t 2＝1． 如图（2），当BC 为矩形的对角线时， ∥∥PCE +∥CPE ＝90°，∥CPE +∥BPD ＝90°， ∥∥PCE ＝∥BPD ， ∥∥CPE ∥∥PBD ， ∥CE PEPD BD=，即CE •BD ＝PE •PD ． ∥点P 的横坐标为t ．∥CE ＝t ，BD ＝3﹣t ，PD ＝﹣t 2+2t +3＝﹣（t +1）（t ﹣3）．PE ＝PD ﹣DE ＝﹣t 2+2t ﹣3＝﹣t 2+2t ＝﹣t （t ﹣2），故t （3﹣t ）＝t （t ﹣2）•（t +1）（t ﹣3）， 整理，得t 2﹣t ﹣1＝0，解得1211,22t t -==（不合题意，舍去）．综上可知，t 的值为1．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理，三角形的面积公式、矩形的性质、根据题意画出符合条件的图形是解题的关键． 17．（2019·山东省中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y=12x 2+bx+c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；△连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1， △BCE 的面积为S 2， 求12S S 的最大值；△过点D 作DF△AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于△BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）213222y x x =--+（2）∥12S S 的最大值是45，∥﹣2或﹣2911.【解析】（1）解：根据题意得A （﹣4，0），C （0，2）， ∥抛物线y=﹣12x 2+bx+c 经过A 、C 两点， ∥ 1016422b c c ⎧=-⨯-+⎪⎨⎪=⎩， ∥ 322b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∥y=﹣12x 2﹣32x+2； （2）解：∥令y=0，即213x x 2022--+=， ∥x 1=﹣4，x 2=1， ∥B （1，0），如图1，过D 作DM∥x 轴交AC 于M ，过B 作BN∥x 轴交于AC 于N ，∥DM∥BN ， ∥∥DME∥∥BNE ，∥12S S = DE BE= DM BN ， 设D （a ，213222a a --+）， ∥M （a ，12a+2）， ∥B （1.0）， ∥N （1，52）， ∥ 12S S = DM BN = 21212552a a --=-（a+2）2+ 45； ∥当a=－2时，12S S 的最大值是45；∥∥A （﹣4，0），B （1，0），C （0，2），，AB=5， ∥AC 2+BC 2=AB 2 ，∥∥ABC 是以∥ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ， ∥P （﹣32，0）， ∥PA=PC=PB=52， ∥∥CPO=2∥BAC ， ∥tan∥CPO=tan （2∥BAC ）=43， 过作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ， 情况一：如图，∥∥DCF=2∥BAC=∥DGC+∥CDG ， ∥∥CDG=∥BAC ， ∥tan∥CDG=tan∥BAC=12， 即12RC DR =， 令D （a ，213222a a --+），∥DR=﹣a ，RC=21322a a --，∥ 2131222a a a --=-，∥a 1=0（舍去），a 2=﹣2， ∥x D =﹣2，情况二，∥∥FDC=2∥BAC ， ∥tan∥FDC= 43， 设FC=4k ， ∥DF=3k ，DC=5k ， ∥tan∥DGC= 312k FG =， ∥FG=6k ，∥CG=2k ，，∥RC=k ，RG=5k ，k ，∥ DRRC= 21322aa a---，∥a1=0（舍去），a2=29 11 -，点D的横坐标为﹣2或﹣29 11．18．（2019·河南省中考模拟）如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC△x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1) 抛物线的解析式为y=13x2+2x+1，(2) 四边形AECP的面积的最大值是814，点P（9-2，﹣54）；(3) Q（-4,1）或（3，1）.【解析】解：(1)将A(0，1)，B(-9，10)代入函数解析式得：13×81-9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2，c＝1，所以抛物线的解析式y＝13x2+2x＋1；(2)∥AC∥x轴，A(0，1)，∥13x2+2x＋1＝1，解得x1＝-6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(-6，1)，∥点A(0，1)，点B(-9，10)，∥直线AB的解析式为y＝-x＋1，设P(m，13m2+2m＋1)，∥E(m，-m＋1)，∥PE＝-m＋1−(13m2+2m＋1)＝−13m2-3m.∥AC∥PE，AC＝6，∥S四边形AECP＝S∥AEC＋S∥APC＝12AC∥EF＋12AC∥PF＝12AC∥(EF＋PF)＝12AC∥EP＝12×6(−13m2-3m)＝−m2-9m.∥-6<m<0，∥当m＝92-时，四边形AECP的面积最大值是814，此时P(9524--，)；(3)∥y＝13x2+2x＋1＝13(x+3)2−2，P(-3，−2)，PF＝y F−y p＝3，CF＝x F−x C＝3，∥PF＝CF，∥∥PCF＝45∥，同理可得∥EAF＝45∥，∥∥PCF＝∥EAF，∥在直线AC上存在满足条件的点Q，设Q(t，1)且AB＝，AC＝6，CP＝∥以C，P，Q为顶点的三角形与∥ABC相似，∥当∥CPQ∥∥ABC时，CQ:AC＝CP:AB，(t+6):6＝t＝-4，所以Q(-4，1)；∥当∥CQP∥∥ABC时，CQ:AB＝CP:AC，(t+6)6，解得t＝3，所以Q(3，1).综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与∥ABC 相似，Q点的坐标为(-4，1)或(3，1).【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例，要分类讨论，以防遗漏．。
中考必胜,名师精品!2020中考数学压轴题全揭秘突破专题17 二次函数的面积问题
∴AB＝ 3 BM＝ 3 BN， 设 BM＝BN＝a，则 AB＝ 3 a， ∴点 M 的坐标为（m＋a， 3 a−m2＋4m−8），
7
∵点 M 在抛物线上，
∴ 3 a−m2＋4m−8＝（m＋a）2−2m（m＋a）＋4m−8， 整理得： a2 - 3a = 是边长为 2 3 的正三角形， ∴AB=3，S△AMN＝ 1 2 3 3 3 3 ，与 m 无关.
专题 17 二次函数的面积问题
【考点 1】二次函数的线段最值问题
【例 1】如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D 为直线 BC 上方抛
物线上一动点，DE⊥BC 于点 E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求线段 DE 长度的最大值．
【答案】（1）y＝﹣ 3 x2+ 9 x+3；（2）最大值是 12 ．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）试说明抛物线与直线有两个交点；
（3）已知点 T（t，0），且-1≤t≤1，过点 T 作 x 轴的垂线，与抛物线交于点 P，与直线交于点 Q，当 0＜m≤3
时，求线段 PQ 长的最大值．
【答案】（1）（-1，-1）；（2）见解析；（3）PQ 的最大值为 6.
【解析】
【分析】
当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36﹣8（3b﹣6）=0，
7
27
解得：b= ，即 y=﹣ x+ ，
2
32
35 此时交点 M1 坐标为（ 2 ， 2 ）；
可得出两平行线间的距离为 9 13 ， 26
同理可得另一条与 BC 平行且平行线间的距离为 9 13 的直线方程为 y=﹣ 2 x+ 1 ，
专题10 三角形面积综合- 2020年中考数学二次函数压轴题核心考点突破
HQ 1 PQ ， PH k PQ ，周长、面积均可求．
1 k2
1 k2
y P
C
H
Q
AO
B
x
针对训练
【2019 聊城中考（删减）】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于点 A(2,0) ，点 B(4,0) ，与 y
轴交于点 C(0,8) ，连接 BC ，又已知位于 y 轴右侧且垂直于 x 轴的动直线l ，沿 x 轴正方向
连接 BC，抛物线在线段 BC 上方部分取一点 P，连接 PB、PC．
（1）垂线段最值：过点P作PH⊥CB交CB于H点，求PH最大值及此时P点坐标．
y
P
思路1：所谓PH最大，即△PBC面积最大，可用铅垂法 C
求得△PBC面积最大值，再除以BC即可得PH最大值．
H
AO
B
x
思路 2：过 P 点作 PQ⊥x 轴交 BC 于 Q 点，则△PHQ∽△BOC， PH PQ ， BO BC
AO
B
x
思路2：构造等积变形 同底等高三角形面积相等．
取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，可知铅垂高为2，
在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平行线，交点即为满足条件的P点．
当点Q坐标为（0,5）时，PQ解析式为：y=-x+5， 联立方程： x2 2x 3 x 5 ，解之即可．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 2ax 3a(a 0) 与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在
点 B 左侧），经过点 A 的直线 l : y kx b 与 y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为 D ，且
CD 4AC ．
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“类铅垂线”问题
利 用 铅 垂 线 求 面 积
2020年中考数学二模复习之二次函数 中考压 轴题（2 6张PPT ）【精 美版】
本题不直接考察，而是利用铅垂线与已知直线的“几何关联”来求解 2.16-17连续考察平行四边形存在性，18年等腰三角形存在性，19年再次 考察“平行四边形存在性”的可能大，而且平行四边形难度也较大，正符合 “150分”下难度提升的大形势
2020年中考数学二模复习之二次函数 中考压 轴题（2 6张PPT ）【精 美版】
2020年中考数学二模复习之二次函数 中考压 轴题（2 6张PPT ）【精 美版】
四.逐问突破（3）→存在性
直接探讨“等腰三角形存在性”
等 腰 三 角 形
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2020年中考数学二模复习之二次函数 中考压 轴题（2 6张PPT ）【精 美版】
四.逐问突破（3）→存在性
利用“平行四边形”性质求解
平 行 四 边 形
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四.逐问突破（3）→存在性
利用“等腰三角形”求点
等 腰 三 角 形
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铅垂高与面积最值问题
第六节
二次函数性质的综合应用
1 2
1 2
CD＝－ x ＋3x－(－x＋6)＝－ x ＋4x－6，
2
2
1
1
∴S△ABC＝ CD· − ＝ CD× − ＝2CD，
2
2
=－x2＋8x－12，
∴S＝S△ABC＋S△AOB＝－x2＋8x－12＋12
＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16(2<x<6)，
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转化思想：
四边形面积转化成
两个三角形面积和
l
即S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2<x<6)，
∵a=-1<0
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，
最大值为16.
D
挑战自我：铅垂高、水平宽的综合运用
练习2. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²－2ax－3a(a＜0)与
x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，并经过点(2，3)，
令－x²＋2x＋3＝0
解得x＝－1或x＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)．
将A(－1，0)代入y＝x＋m，解得m＝1; ∴y=x+1.
Q
精炼本P21 第1题
(2)存在最大值．
令－x²＋2x＋3＝x＋1，解得x1＝－1，x2＝2，
设点P的坐标为(p，－p²＋2p＋3)，其中－1＜p＜2,
如解图，过点P作PG∥x轴，则
直线y＝x＋m经过点A.
(1)求a、m的值；
(2)若P为直线y＝x＋m上方抛物线上任一点(不与交点重合)，
连接PB交直线y＝x＋m于M点，则 是否有最大值，如果有，
求出最大值；如果没有，请说明理由．
C
2020中考数学压轴题全揭秘精品专题17 二次函数的面积问题
决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品专题17二次函数的面积问题【考点1】二次函数的线段最值问题【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求线段DE长度的最大值．【答案】（1）y＝﹣34x2+94x+3；（2）最大值是125．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】解：（1）由题意得，0 16403a b ca b cc＝＝＝-+⎧⎪++⎨⎪⎩，解得，3 4 943abc＝＝＝⎧-⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，抛物线的函数表达式为y＝﹣34x2+94x+3；（2）过点D作DM⊥x轴交BC于M点，由勾股定理得，BC22OC OB+5，设直线BC的解析是为y＝kx+b，则403k bb+⎧⎨⎩＝＝，解得343kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的解析是为y＝﹣34x+3，设点M的坐标为（a，﹣34a+3），DM＝（﹣34a2+94a+3）﹣（﹣34a+3）＝﹣34a2+3a，∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，∴△DEM∽△BOC，∴DE BODM BC，即DEDM＝45，解得，DE＝45DM∴DE＝﹣35a2+125a＝﹣35（a﹣2）2+125，当a＝2时，DE取最大值，最大值是125．【点睛】本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．【变式1-1】．已知抛物线y=mx2+2mx+m-1和直线y=mx+m-1，且m≠0．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）试说明抛物线与直线有两个交点；（3）已知点T（t，0），且-1≤t≤1，过点T作x轴的垂线，与抛物线交于点P，与直线交于点Q，当0＜m≤3时，求线段PQ长的最大值．【答案】（1）（-1，-1）；（2）见解析；（3）PQ的最大值为6.【解析】【分析】（1）化为顶点式即可求顶点坐标;（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知抛物线与直线有两个交点;（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）．故分两种情况进行讨论：①如图1，当-1≤t≤0时；②如图2，当0＜t≤1时，求出对应的最大值即可．【详解】解：（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）．（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，mx2+mx=0，mx（x+1）=0，∵m≠0，∴x1=0，x2=-1．∴抛物线与直线有两个交点．（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m -1）两点，点P 的坐标为（t ，mt 2+2mt +m -1），点Q 的坐标为（t ，mt +m -1）．①如图1，当-1≤t ≤0时，PQ =2Q P y y mt mt -=--=211()24m t m -++． ∵m ＞0，当12t =-时，PQ 有最大值，且最大值为14m ． ∵0＜m ≤3，∴14m ≤34，即PQ 的最大值为34．②如图2，当0＜t ≤1时，PQ =2P Q y y mt mt -=+=211()24m t m +-． ∵m ＞0，∴当t =1时，PQ 有最大值，且最大值为2m ． ∵0＜m ≤3，∴0＜2m ≤6，即PQ 的最大值为6． 综上所述，PQ 的最大值为6． 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，（1）（2）题相对简单，（3）题要分情况进行讨论方右解答，因此做此类题型，在进行分类讨论时，尽量通过大致图象数型结合进行解答．【变式1-2】如图1，已知抛物线y=﹣x 2+mx+m ﹣2的顶点为A ，且经过点B （3，﹣3）．（1）求顶点A 的坐标（2）若P 是抛物线上且位于直线OB 上方的一个动点，求△OPB 的面积的最大值及比时点P 的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿射线OA 方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA 交于C ，D 两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD 的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）（﹣1，1）；（2）P（，）；（3）.【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q，求出直线BP的解析式，表示出点Q的坐标，根据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得P点坐标；（3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与OA的解析式，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案．【详解】解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，解得m=2，∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1，∴顶点A的坐标是（﹣1，1）；（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q.∵直线OB的解析式为y=﹣x，故设P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+，当n=时，S△OPB的最大值为．此时y=﹣n2+2n=，∴P （，）；（3）∵直线OA 的解析式为y=x ，∴可设新的抛物线解析式为y=﹣（x ﹣a ）2+a ， 联立，∴﹣（x ﹣a ）2+a=x ， ∴x 1=a ，x 2=a ﹣1，即C 、D 两点间的横坐标的差为1， ∴CD=．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理二次函数与一次函数的交点问题，难度适中，是常见题型. 【考点2】二次函数的面积定值问题【例2】已知二次函数2248y x mx m =-+-．（1）图象经过点1,1（）时，则m =_________；（2）当2x ≤时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围；（3）以抛物线2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN （M ，N 两点在抛物线上），请问：AMN ∆的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）4；（2）m≥2；（3）AMN ∆的面积是与m 无关的定值，S △AMN ＝33【解析】 【分析】（1）将点1,1（）代入二次函数解析式即可求出m ；（2）求出二次函数的对称轴为x ＝m ，由抛物线的开口向上，在对称轴的左边y 随x 的增大而减小，可求出m 的取值范围；（3）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，可得到△AMN 的面积是与m 无关的定值． 【详解】解：（1）将点1,1（）代入2248y x mx m =-+-可得：11248m m =-+-，解得：m=4；（2）二次函数2248y x mx m =-+-的对称轴是：x ＝m ，∵当x≤2时，函数值y 随x 的增大而减小， ∴m≥2；（3）AMN ∆的面积是与m 无关的定值；如图：顶点A 的坐标为（m ，−m 2＋4m−8），△AMN 是抛物线的内接正三角形，MN 交对称轴于点B ， ∵tan ∠AMB ＝tan60°＝3ABBM= ∴AB 33， 设BM ＝BN ＝a ，则AB 3，∴点M 的坐标为（m ＋a 32＋4m−8），∵点M 在抛物线上，∴3a−m 2＋4m−8＝（m ＋a ）2−2m （m ＋a ）＋4m−8， 整理得：230a a -=，解得：a ＝3或a ＝0（舍去）， ∴△AMN 是边长为23的正三角形， ∴AB=3，S △AMN ＝1233332⨯⨯=，与m 无关.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质以及特殊角三角函数的应用，其中（3）问有一定难度，根据点M 在抛物线上，求出正三角形的边长是解题关键．【变式2-1】如图，已知抛物线交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，A 点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）P 为坐标平面内一点，以B 、C 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点M 1、M 2、M 3使得△M 1BC 、△M 2BC 、△M 3BC 的面积均为定值S ，求出定值S 及M 1、M 2、M 3这三个点的坐标．【答案】（1）y=﹣23x2+43x+2；(2)见解析；（3）见解析.【解析】【详解】分析：（1）由OC与OB的长，确定出B与C的坐标，再由A坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；（2）分三种情况讨论：当四边形CBPD是平行四边形；当四边形BCPD是平行四边形；四边形BDCP是平行四边形时，利用平移规律确定出P坐标即可；（3）由B与C坐标确定出直线BC解析式，求出与直线BC平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点与直线BC解析式，进而确定出另一条与直线BC平行且与BC距离相等的直线解析式，确定出所求M坐标，且求出定值S的值即可．详解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把C（0，2）代入得：2=﹣3a，即a=﹣23，则抛物线解析式为y=﹣23（x+1）（x﹣3）=﹣23x2+43x+2；（2）抛物线y=﹣23（x+1）（x﹣3）=﹣23x2+43x+2=﹣23（x﹣1）2+83，∴D（1，83），当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，23）；当四边形CDBP是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣23）；当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2，143）；（3）设直线BC解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，2）代入得：302k bb+=⎧⎨=⎩，解得：232kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y=﹣23x+2，设与直线BC 平行的解析式为y=﹣23x+b ， 联立得：22324233yx b y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，消去y 得：2x 2﹣6x+3b ﹣6=0，当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36﹣8（3b ﹣6）=0，解得：b=72，即y=﹣23x+72， 此时交点M 1坐标为（32，52）；可得出两平行线间的距离为913， 同理可得另一条与BC 平行且平行线间的距离为91326的直线方程为y=﹣23x+12，联立解得：M 2（332-，122-），M 3（3+32，122--），此时S=1．点睛：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【变式2-2】如图：已知抛物线()()13(0)2y x m x m m m=-+->与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 交于点C ，抛物线对称轴与x 轴交于点D ，932E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为x 轴上一点．（1）写出点A 、B 、C 的坐标（用m 表示）；（2）若以DE 为直径的圆经过点C 且与抛物线交于另一点F ， ①求抛物线解析式；②P 为线段DE 上一动（不与D 、E 重合），过P 作PQ EC ⊥作PH DF ⊥，判断PQ PHDC EF+是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由；（3）如图②，将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，与y 相交于点M ，连接BM .点S 是线段AM 的中点，连接OS .若点N 是线段BM 上一个动点，连接SN ，将△SMN 绕点S 逆时针旋转60o 得到△SOT ，延长TO 交BM 于点K ．若△KTN 的面积等于△ABM 的面积的112，求线段MN 的长．【答案】（1）A(-3m ，0)，B(m ，0)，C(0，32m )（2）①2333y x x =-+②+1PQ PH DC EF =，理由见解析； （3）线段MN 的长为2或5【解析】（1）A （-3m ，0），B （m ，0），C （0，32m ） （2）△DCE 为直角三角形． ①OC 2=OD ·OE ，m =23∴2333y x x =-+②∵DE 为直径，∴∠DCE =∠DFE =90°，∵PQ ⊥EC ，PH ⊥DF ，∴PQ ∥DC ，PH ∥EF PQ PEDC DE∴=，，PH DP EF DE =，∴+1PQ PH PE DP DEDC EF DE DE+===（3）A（-0），B（0），又∠OAM =60° ，∴cos30°=OMOA，∴OM =6，M （0，6） 又tan ∠ABM =OMOB，∴∠OBM =60° ，∠AMB =90° ， S 是线段AM 的中点，∴∠OSM =60°，∴∠AOS =30° ，又∠SOT =90° ，∠AOT =60° ， ∴直线TK ：yx ；BM ：yx -6，联立两个方程，解得：K，-3）设MN =a ，TK =TO +OK =a+2∴△KTN 的高h =TK ·sin60°=3+ NK=a ，∵S △KTN =112S △ABM12NK h ⋅⋅=，∴132a ）⨯+= a =2或a=点睛：本题考查二次函数综合题、旋转变换、解直角三角形等知识，平行线的性质，解题的关键是学会转化，属于中考压轴题．【考点3】二次函数的面积最值问题【例3】已知抛物线22y x x m m =---．（1）求证：抛物线与x 轴必定有公共点；（2）若P （a ，y 1），Q （－2，y 2）是抛物线上的两点，且y 1>y 2，求a 的取值范围；（3）设抛物线与x 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，点A 在点B 的左侧，与y 轴负半轴交于点C ，且123x x +=，若点D 是直线BC 下方抛物线上一点，连接AD 交BC 于点E ，记△ACE 的面积为S 1，△DCE 的面积为S 2，求21S S 是否有最值？若有，求出该最值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）2a <-或3a >，（3）21S S 没有最小值；21S S 有最大值是13【解析】分析：（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都大于零，再判断出物线与x 轴总有交点． （2）分两种情况：当点P 在对称轴的左侧时，y 随x 的增大而减小，得2a <-；当点P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，3a >，故得解.详解：（1）令0y = 得220x x m m ---= ∴224441b ac m m ∆=-=++ ∴()221m ∆=+无论m 取何值，()2210m ∆=+≥ ∴ 抛物线与x 轴必定有公共点（2）∵22y x x m m =---，抛物线的对称轴是12x = 当点P 在对称轴的左侧时，y 随x 的增大而减小， ∵y 1>y 2， 2a <-当点P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大， Q （－2，y 2）关于对称轴的对称点是（3，y 2） ∵y 1>y 2， 3a > 综上所述：2a <-或3a > （3）11x m =+，2x m =-∵123x x += 、∴ 13m m ++-=，解得1m =或2m =- ∴ 22y x x =--∴ ()1,0A -、()2,0B ，()0,2C - ∴ 直线BC 的解析式是2y x =-设点A 到直线BC 的距离是1h ，点D 到直线BC 的距离是2h ， △ACE 的面积S 1112CE h =⨯，△DCE 的面积S 2212CE h =⨯ ∴1h =，222113S h S h == ∴ 求21S S 的最值转化为求2h 的最值 设过点D 与直线BC 平行的直线解析式为y x b =+当点D 在直线BC 下方的抛物线上运动时，2h 无最小值，仅当直线y x b =+与抛物线22y x x =--只有一个公共点时，2h 有最大值即方程组22y x x y x b⎧=--⎨=+⎩有两个相等的实数根∴2220x x b ---=， 4840b ∆=++=， ∴3b =-，此时22h =∴21S S 没有最小值；21S S 有最大值是13∴()1,0A -、()2,0B点睛：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意找出各点的坐标问题，再把各点代入解析式是解题的关键．【变式3-1】如图，直线334x y =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线234y ax x c =++经过B 、C 两点.①求点C 的坐标； ②求抛物线的解析式；③如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当BEC ∆面积最大时，请求出点E 的坐标和BEC ∆面积的最大值.【答案】①()4,0C ；②233384y x x =-++；③点E 的坐标是()2,3时，BEC ∆的面积最大，最大面积是3.【解析】 【分析】①利用利用x 轴上点的坐标特点代入一次函数即可.②根据抛物线234y ax x c =++经过B 、C 两点，先求出B 点坐标，再用待定系数法求解析式即可. ③根据“铅垂高，水平宽”方法求面积.过点E 作y 轴的平行线EF 交直线BC 于点M ，EF 交x 轴于点F ，利用E 、M 横坐标相等及所在函数关系式设出坐标，求出EM 的长，再利用BEC BEM MEC S S S ∆∆∆=+，把EM 看作△BEM 和△MEC 的底，求出面积写出关系式，最后利用二次函数求最值即可. 【详解】解：①∵直线334xy =-+与x 轴交于点C ， ∴当y=0时，解得x=4 ∴C 点坐标为：()4,0②Q 直线334y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，∴当x=0时，解得y=3∴点B 的坐标是()0,3，点C 的坐标是()4,0，Q 抛物线234y ax x c =++经过B 、C 两点， 3164043a c c ⎧+⨯+=⎪∴⎨⎪=⎩ 解得383a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴抛物线的解析式为233384y x x =-++.③如图，过点E 作y 轴的平行线EF 交直线BC 于点M ，EF 交x 轴于点F ，已知点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，则可设点E 的坐标是233,384x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， ∴点M 的坐标是3,34x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，22333333384482EM x x x x x ⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭.BEC BEM MEC S S S ∆∆∆=+Q ，22113334(2)322824BEC S ME OC x x x ∆⎛⎫∴=⋅=⨯-+⨯=--+ ⎪⎝⎭. 即当2x =时，即点E 的坐标是()2,3时，BEC ∆的面积最大，最大面积是3. 【点睛】此题考查的是①一次函数的与坐标轴的交点坐标；②待定系数法求二次函数解析式；③用“铅垂高，水平宽”求面积最值问题.【变式3-2】如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于点()30A -,和点()10B ,，交y 轴于点C .(1)求这个抛物线的函数表达式；(2)若点D 的坐标为()1,0-，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值. 【答案】(1)224233y x x =--+；(2)S 的最大值为174.【解析】 【分析】（1）根据A,B 两点坐标可得出函数表达式； （2）设点224,233P x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，根据 +APO CPO ODC ADCP S S S S S ==-△△△四边形列出S 关于x 的二次函数表达式，再根据二次函数的性质求最值. 【详解】解：（1）将A,B 两点的坐标代入解析式得，9320,20,a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得2,34.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故抛物线的表达式为：224233y x x =--+； （2）连接OP ，设点224,233P x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， 由（1）中表达式可得点()0,2C ， 则 +APO CPO ODC ADCP S S S S S ==-△△△四边形111222p P AO y OC x CO OD =⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ 222411221()213=3323222x x x x x ⎛⎫--++⨯⨯--⨯⨯=--+ ⎪⎝⎭⨯⨯， ∵10-<，故S 有最大值，当32x =-时，S 的最大值为174.【点睛】本题主要考查二次函数表达式的求法以及二次函数的图像与性质，有一定的综合性.对于二次函数中的面积问题，常需用到“割补法”.【考点4】二次函数面积的其它问题【例4】如图，在平面直角坐标系中，直线55y x =-+与x 轴、y 轴分别交于,A C 两点，抛物线2y x bx c =++经过,A C 两点，与x 轴交于另一点B .（1）求抛物线解析式及B 点坐标； （2）连接BC ，求ABC ∆的面积；（3）若点M 为抛物线上一动点，连接,MA MB ，当点M 运动到某一位置时，ABM ∆面积为ABC ∆的面积的45倍，求此时点M 的坐标.【答案】（1）265y x x =-+，()5,0B ；（2）10ABC S ∆=；（3）M 点的坐标为1M ，2M 3-224（，），3M ，见解析. 【解析】 【分析】（1）利用,A C 两点是一次函数上的点求出,A C 两点，再代入二次函数求解即可. （2）根据()1,0A ，()5,0B ，求出4AB =，求出△ABC. （3）根据ABM ∆面积为ABC ∆的面积的45倍，求出4410855ABM ABC S S ∆∆==⨯=，得出1644M y =÷=，求出此时M 的坐标即可. 【详解】（1）解：∵直线55y x =-+∴令0y =，则055x =-+，解得1x = ∴()1,0A令0x =，则5y =，∴()0,5C将点()1,0A ，()0,5C 代入2y x bx c =++中得，105b c c ++=⎧⎨=⎩，解得65b c =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为：265y x x =-+； 令0y =，则2650x x -+=，解得121,5x x == ∴()5,0B .（2）解：∵()1,0A ，()5,0B ∴4AB = ∴11451022ABC S AB OC ∆=⨯=⨯⨯=（3）∵ABM ∆面积为ABC ∆的面积的45倍， ∴4410855ABM ABC S S ∆∆==⨯= ∵AB=4 ,∴1644M y =÷=， ∵()226534y x x x =-+=--∴抛物线的顶点坐标为()13,4M -符合条件，当4M y =时，2654x x -+=，解的，x 1=3-22，x 2=322+，∴M 点的坐标为1M （3，-4），2M ()3-224，，3M ()3224+，. 【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数是解题的关键.【变式4-1】如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点O ，与x 轴交于另一点N ，直线y ＝kx ＋4与两坐标轴分别交于A 、D 两点，与抛物线交于点B(1，m)、C(2，2)．1. 求直线与抛物线的解析式．2.若抛物线在x 轴上方的部分有一动点P(x ，y)，设∠PON ＝，求当△PON 的面积最大时tan的值．3. 若动点P 保持（2）中的运动线路，问是否存在点P ，使得△POA 的面积等于△PON 的面积的？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) 所求的抛物线为． (2)(3) 存在点，其坐标为（1，3）【解析】 【分析】（1）根据C 点的坐标可确定直线AD 的解析式，进而可求出B 点坐标，将B 、C 、O 三点坐标代入抛物线中，即可求得此二次函数的解析式；（2）此题的关键是求出P 点的坐标；△PON 中，ON 的长为定值，若△PON 的面积最大，那么P 点离ON 的距离最远，即P 点为抛物线的顶点，根据（1）所得的抛物线解析式即可求得P 点的坐标，进而可求出α的正切值；（3）设出点P 的横坐标，根据抛物线的解析式可表示出P 点的纵坐标；根据直线AD 和抛物线的解析式可求出A 、N 的坐标；以ON 为底，P 点纵坐标为高可得到△OPN 的面积，以OA 为底，P 点横坐标为高可得到△OAP 的面积，根据题目给出的△POA 和△PON 的面积关系即可求出P 点的横坐标，进而可求出P 点的坐标．【详解】（1）将点C（2，2）代入直线y=kx+4，可得k=-1所以直线的解析式为y=-x+4当x=1时，y=3，所以B点的坐标为（1，3）将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c，可得解得，所以所求的抛物线为y=-2x2+5x．（2）因为ON的长是一定值，所以当点P为抛物线的顶点时，△PON的面积最大，又该抛物线的顶点坐标为（，此时tan∠α=（3）存在；把x=0代入直线y=-x+4得y=4，所以点A（0，4）把y=0代入抛物线y=-2x2+5x得x=0或x=，所以点N（，0）设动点P坐标为（x，y），其中y=-2x2+5x （0＜x＜）则得：S△OAP=|OA|•x=2xS△ONP=|ON|•y=ו（-2x2+5x）=（-2x2+5x）由S△OAP=S△ONP，即2x=•（-2x2+5x）解得x=0（舍去）或x=1，得x=1，由此得y=3所以得点P存在，其坐标为（1，3）．【点睛】此题考查了一次函数与二次函数解析式的确定、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法等知识，主要考查学生数形结合的数学思想方法．【变式4-2】如图1，抛物线23y x x =--与直线22y x =--交于A 、B 两点，过A 作//AC x 轴交抛物线于点C ，直线AB 交x 轴于点D ．()1求A 、B 、C 三点的坐标；()2若点H 是线段BD 上的一个动点，过H 作//HE y 轴交抛物线于E 点，连接OE 、OH ，当310HE AC =时，求OEH S V 的值； ()3如图2，连接BO ，CO 及BC ，设点F 是BC 的中点，点P 是线段CO 上任意一点，将BFP V 沿边PF 翻折得到GPF V ，求当PC 为何值时，GPF V 与CFP V 重叠部分的面积是BCP V 面积的14．【答案】（1）点A 坐标()1,4-，点B 坐标()2,2-，点C 坐标()4,4--；（2）3338OEH S +=V ；（3）当2PC =10时，GPF V 与CFO V 重叠部分的面积是BCP V 面积的 14． 【解析】【分析】 （1）列方程组可知A 、B 两点坐标，根据点C 的纵坐标与点A 的纵坐标相同，列方程可求得点C 坐标． （2）如图1中，设(),22H m m --，(21)m -<<-，则()2,3E m m m --，根据310HE AC =， 列出方程求出点H 的横坐标，根据三角形的面积公式计算即可解决问题．（3）分两种情形①若翻折后，点G 在直线OC 下方时，连接CG ．如图2，可证四边形PFCG 是平行四边形，得10PB PG CF ===Rt △PBO 中，根据22OP PB BO =-，即可解决问题．②若翻折后，点G 在直线OC 上方时，连接CG ．如图3，可证四边形PFGC 是平行四边形，得12PC FG BF BC ===即可解决问题．【详解】解：()1由2322y x x y x ⎧=--⎨=--⎩解得22x y =-⎧⎨=⎩或14x y =⎧⎨=-⎩，∴点A 坐标()1,4-，点B 坐标()2,2-，∵//AC x 轴，∴点C 纵坐标为4-，由234x x --=-，解得4x =-或1，∴点C 坐标()4,4--．()2如图1中，设(),22H m m --，(21)m -<<-，则()2,3E m m m --，由题意()23322510m m m -----=⨯， 解得132m --=或132-（舍弃）， ∴131333322OEH S ++=⨯=V ． ()3∵()2,2B -，()4,4C --， ∴2226210BC =+=，2OB =2OC =∵222OB OC BC +=，∴90BOC ∠=o ．①若翻折后，点G 在直线OC 下方时，连接CG ．如图2，∵111422PFL PBC PFC PFG S S S S ===V V V V ， ∴PFL FCL PLG S S S ==V V V ，∴FL LG =．CL LP =，∴四边形PFCG 是平行四边形，∴10PB PG CF ===，在Rt PBO V 中，222OP PB BO =-=， ∴42232PC OC OP =-=-=．②若翻折后，点G 在直线OC 上方时，连接CG ．如图3，∵111422PFL PBC PFC PFG S S S S ===V V V V ， ∴PFL FCL PLG S S S ==V V V ，∴FL LG =．CL LP =，∴四边形PFGC 是平行四边形，∴1102PC FG BF BC ==== 综上所述:当2PC =10时，GPF V 与CFO V 重叠部分的面积是BCP V 面积的14．【点睛】属于二次函数综合题，考查二次函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定与性质，勾股定理，综合性比较强，难度较大.一、解答题1．如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为()1,0，与y 轴交于点()0,3C -.（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC ，点P 在抛物线上，且满足2PAB ACO ∠=∠．求点P 的坐标；（3）如图②，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N ．请问DM DN +是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-（2）939,416⎛⎫-- ⎪⎝⎭或1557,416⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）DM DN +为定值 【解析】【分析】（1）把点A 、C 坐标代入抛物线解析式即求得b 、c 的值．（2）点P 可以在x 轴上方或下方，需分类讨论．①若点P 在x 轴下方，延长AP 到H ，使AH AB =构造等腰ABH ∆，作BH 中点G ，即有22PAB BAG ACO ∠=∠=∠，利用ACO ∠的三角函数值，求BG 、BH 的长，进而求得H 的坐标，求得直线AH 的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P 坐标．②若点P 在x 轴上方，根据对称性，AP 一定经过点H 关于x 轴的对称点'H ，求得直线'AH 的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P 坐标．（3）设点Q 横坐标为t ，用t 表示直线AQ 、BN 的解析式，把1x =-分别代入即求得点M 、N 的纵坐标，再求DM 、DN 的长，即得到DM DN +为定值．【详解】（1）∵抛物线2y x bx c =++经过点()1,0A ，()0,3C -.∴10003b c c ++=⎧⎨++=-⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩. ∴抛物线的函数表达式为223y x x =+-.（2）①若点P 在x 轴下方，如图1，延长AP 到H ，使AHAB =，过点B 作BI x ⊥轴，连接BH ，作BH 中点G ，连接并延长AG 交BI 于点F ，过点H 作HI BI ⊥于点I .∵当2230x x +-=，解得：13x =-，21x =.∴()3,0B -.∵()1,0A ，()0,3C -，∴1OA =，3OC =，AC =4AB =，∴Rt AOC ∆中，sin OA ACO AC ∠==cos OC ACO AC ∠==， ∵AB AH =，G 为BH 中点，∴AG BH ⊥，BG GH =，∴BAG HAG ∠=∠，即2PAB BAG ∠=∠，∵2PAB ACO ∠=∠，∴BAG ACO ∠=∠，∴Rt ABG ∆中，90AGB ∠=︒，sin BG BAG AB ∠==，∴105BG AB ==，∴2BH BG ==. ∵90HBI ABG ABG BAG ∠+∠=∠+∠=︒，∴HBI BAG ACO ∠=∠=∠，∴Rt BHI ∆中，90BIH ∠=︒，sin HI HBI BH ∠==cos BI HBI BH ∠==∴4105HI BH ==，12105BI BH ==， ∴411355H x =-+=-，125H y =-，即1112,55H ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 设直线AH 解析式为y kx a =+， ∴0111255k a k a +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得：3434k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线AH ：33y x 44=-. ∵2334423y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=+-⎩，解得：1110x y =⎧⎨=⎩（即点A ），22943916x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴939,416P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ②若点P 在x 轴上方，如图2，在AP 上截取'AH AH =，则'H 与H 关于x 轴对称， ∴1112',55H ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设直线'AH 解析式为''y k x a =+， ∴''01112''55k a k a +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：3'43'4k a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线'AH ：3344y x =-+.∵2334423y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩，解得：1110x y =⎧⎨=⎩（即点A ），221545716x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1557,416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 综上所述，点P 的坐标为939,416⎛⎫-- ⎪⎝⎭或1557,416⎛⎫- ⎪⎝⎭． （3）DM DN +为定值.∵抛物线223y x x =+-的对称轴为：直线1x =-，∴()1,0D -，1M N x x ==-，设()()2,2331Q t t t t +--<<， 设直线AQ 解析式为y dx e =+，∴2023d e dt e t t +=⎧⎨+=+-⎩，解得：33d t e t =+⎧⎨=--⎩， ∴直线AQ ：()33y t x t =+--，当1x =-时，3326M y t t t =----=--，∴()02626DM t t =---=+，设直线BQ 解析式为y mx n =+，∴23023m n mt n t t -+=⎧⎨+=+-⎩，解得：133m t n t =-⎧⎨=-⎩， ∴直线BQ ：()133y t x t =-+-，当1x =-时，13322N y t t t =-++-=-，∴()02222DN t t =--=-+，∴()26228DM DN t t +=++-+=，为定值．【点睛】本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．解题关键在于第（2）题由于不确定点P位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算.2．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD，PE，DE．（1）求抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置是发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；（3）请直接写出△PDE周长的最大值和最小值．【答案】（1）y＝﹣18x2+8；（2）正确，d＝|PD﹣PF|为定值2；理由见解析；（3）△PDE周长的最大值是13，最小值是213+10．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）首先表示出P，F点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD，PF的长，进而求出即可；（3）过E作EF⊥x轴，交抛物线于点P，求得C△PDE＝ED＋PE＋PD＝ED＋PE＋PF＋2＝ED＋2＋（PE ＋PF），当P、E、F三点共线时，PE＋PF最小；当P与A重合时，PE＋PF最大；即可解答．【详解】（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，∴C（0，8），A（﹣8，0），设抛物线解析式为：y＝ax2+c，则8640 ca c=⎧⎨+=⎩，解得：188ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩．∴抛物线解析式为y＝﹣18x2+8．（2）设P（x，﹣18x2+8），则F（x，8），则PF＝8﹣（﹣18x2+8）＝18x2．PD2＝x2+[6﹣（﹣18x2+8）]2＝164x4+12x2+4＝（18x2+2）2∴PD＝18x2+2，∴d＝|PD﹣PF|＝|18x2+2﹣18x2|＝2∴d＝|PD﹣PF|为定值2；（3）如图，过点E作EF⊥x轴，交抛物线于点P，由d＝|PD﹣PF|为定值2，得C△PDE＝ED+PE+PD＝ED+PE+PF+2＝ED+2+（PE+PF），又∵D（0，6），E（﹣4，0）∴DE＝22+==．6452213∴C△PDE＝213+2+（PE+PF），当PE和PF在同一直线时PE+PF最小，得C△PDE最小值＝213+2+8＝2 13+10．设P为抛物线AC上异于点A的任意一点，过P作PM∥x轴，交AB于点M，连接ME，如图2．由于E是AO的中点，易证得ME≥PE（当点P接近点A时，在△PME中，显然∠MPE是钝角，故ME≥PE，与A重合时，等号成立），而ME≤AE+AM，所以PE≤AE+AM．所以当P与A重合时，PE+PF最大，AE＝8﹣4＝4，PD2222+=+10．86AO DO得C△PDE最大值＝13＝13．综上所述，△PDE周长的最大值是13，最小值是13．【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函数最值等知识，利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键．3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA="16" cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）用含t的式子表示△OPQ的面积S；（2）判断四边形OPBQ的面积是否是一个定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；（3）当△OPQ∽△ABP时，抛物线y＝x2+bx+c经过B、P两点，求抛物线的解析式；（4）在（3）的条件下，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，求线段MN的最大值．【答案】（1）；（2）是；（3）；（4）9【解析】试题分析：（1）根据速度与时间的关系分别表示出CQ、OP、OQ的长度，然后利用三角形的面积公式列列式整理即可得解；（2）用矩形OABC的面积减去△ABP与△BCQ的面积，根据面积公式分别列式进行整理即可得解；（3）根据相似三角形对应边成比例列出比例式，然后代入数据求解即可得到t值，从而得到点P的坐标；（4）先求出直线BP的解析式，然后根据直线解析式与抛物线解析式设出点M、N的坐标，再根据两点间的距离表示出MN的长度，根据二次函数的最值问题解答．（1）∵CQ=t，OP=2t，CO=8，∴OQ=8-t，=128-64+8t-8t=64，∴四边形OPBQ 的面积为一个定值，且等于64；（3）当△OPQ ∽△ABP 时，./解得：t 1=2，t 2=8（舍去），此时P （4，0），∵B （16，8），∴抛物线解析式是；（4）设直线BP 的解析式为y=kx+b∴直线BP 的解析式是∵M 在BP 上运动，∴4≤m≤16，∴当时，MN 有最大值是9．考点：二次函数的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．4．如图1所示，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于点()A 4,0-和点()B 1,0，交y 轴于点()C 0,4．()1求抛物线的函数表达式；()2如图2所示，若点M 是抛物线上一动点，且AOM S BOC S 3=V V ，求点M 的坐标；()3如图3所示，设点N 是线段AC 上的一动点，作PN x ⊥轴，交抛物线于点P ，求线段PN 长度的最大值．【答案】（1）2y x 3x 4=--+；（2）点P 坐标为337⎫-+⎪⎪⎝⎭或337⎫--⎪⎪⎝⎭或3133⎫-+-⎪⎪⎝⎭或3133⎫---⎪⎪⎝⎭；()3 线段PN 长度最大值为4． 【解析】【分析】（1）把函数设为交点式，代入C 点坐标，进而求出a 的值即可；（2）设M 点坐标为（x ，-x 2-3x+4），根据S △AOM =3S △BOC 列出关于x 的方程，解方程求出x 的值，进而得到点P 的坐标；（3）先运用待定系数法求出直线AC 的解析式为y=x+4，再设N 点坐标为（x ，x+4），则P 点坐标为（x ，-x 2-3x+4），然后用含x 的代数式表示PN ，根据二次函数的性质即可求出线段PN 长度的最大值．【详解】解：（1）把函数设为交点式()()12y a x x x x =--，由()A 4,0-，()B 1,0得()()y a x 4x 1=+-，把()C 0,4代入，得a 1=-，故抛物线的解析式为2y x 3x 4=--+；（2）设M 点坐标为()2x,x 3x 4--+， AOM S BOC S 3=V V Q ，2114x 3x 431422∴⨯⨯--+=⨯⨯⨯， 整理得2x 3x 43+-=或2x 3x 43+-=-，解得x =x =则符合条件的点P 坐标为32⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或3,32⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或3,32⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或332⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭； （3）设直线AC 的解析式为y kx b =+，将()A 4,0-，()C 0,4代入，4k b 0b 4-+=⎧⎨=⎩， 解得k 1b 4=⎧⎨=⎩， 即直线AC 的解析式为y x 4=+，设点N 坐标为()x,x 4+，()4x 0-≤≤，则P 点坐标为()2x,x 3x 4--+， 设PN y =，则()()222y x 3x 4x 4x 4x (x 2)4=--+-+=--=-++， 即当x 2=-时，y 有最大值4，故线段PN 长度最大值为4．【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，面积问题以及线段最值问题，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键.5．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0）（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）该抛物线有一点D （x ，y ），使得S △ABC ＝S △DBC ，求点D 的坐标．【答案】（1）y ＝2424455x x -+，x ＝3；（2）P （3，85）；（3）D 的坐标为（6，4）． 【解析】【分析】 （1）因为抛物线经过点B （1，0），C （5，0），可以假设抛物解析式为y=a （x-1）（x-5），把A （0，4）代入即可解决问题，对称轴根据图象即可解决．（2）连接AC 与对称轴的交点即为点P ，此时△PAB 周长最小．求出直线AC 的解析式即可解决问题；（3）根据面积相等且底边相等的三角形的高也应该相等得出D 的纵坐标为±4，代入抛物线的解析式即可求得．【详解】（1）∵抛物线经过点B （1，0），C （5，0），∴可以假设抛物解析式为y ＝a （x ﹣1）（x ﹣5），把A （0，4）代入得4＝5a ，∴a ＝45， ∴抛物线解析式为y ＝45（x ﹣1）（x ﹣5）＝45x 2﹣245x +4． 抛物线对称轴x ＝1+52＝3． （2）连接AC 与对称轴的交点即为点P ，此时△P AB 周长最小．设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，∵A （0，4），C （5，0），。