透析导数在高考命题中的热点
【教学设计】热点探究课：导数应用中的高考热点问题
热点探究课：导数应用中的高考热点问题【教学内容分析】函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．本节热点主要探究三类：热点1：利用导数研究函数的单调性、极值与最值.热点2：利用导数研究函数的零点或曲线交点问题.热点3：利用导数研究不等式问题.本节课是第一课时，主要探究热点1：利用导数研究函数的单调性、极值与最值.【教学目标】1、知识与技能会求函数的导数，能够利用导数法讨论函数的单调性或求单调区间，求函数的极值或最值以及利用函数的单调性、极值、最值求参数的范围．2、过程与方法通过利用导数研究函数单调性、极值和最值问题的过程,体会从特殊到一般的、分类讨论、函数与方程的数学思想方法.3、情感态度与价值观（1）通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体.（2）通过导数研究单调性的基本步骤，认识到导数的实用价值.学生通过发现问题，解决问题，养成严谨的数学思维模式.【教学重难点】1、教学重点：(1)利用导数法讨论函数的单调性或求单调区间.(2)求函数的极值或最值.(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．2、教学难点：利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围热点1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则．例1(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．【思路点拨】(1)求出导数后对a 分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求a 的范围．【试题分析】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.因此，a 的取值范围是(0,1).【解后反思】 讨论含参函数f (x )的单调性的一般步骤第一步：求函数f (x )的定义域(根据已知函数解析式确定)．第二步：求函数f (x )的导数f ′(x )．第三步：根据f ′(x )＝0的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论． 第四步：求解(令f ′(x )>0或令f ′(x )<0)．第五步：下结论．第六步：反思回顾，查看关键点、易错点、注意解题规范．【温馨提示】1.讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)＞0或f′(x)＜0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题．2．若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．例2 已知函数2()2ln f x x a x =+.（1）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；（2）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围. 【试题分析】（Ⅰ）先求导数，再由函数()f x 的图象在x=2处的切线的斜率为1，令'(2)1f =求解；（2）求出222'()2a g x x x x=-++，由函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，得出'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，构造21()h x x x =-，判断()h x 在[1,2]上为减函数，从而求解.【对点训练1】(本小题满分12分)(2017·全国卷I)已知函数2()e (2)e x x f x a a x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【对点训练2】 (2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝x 2e －ax ，a ∈R.(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程；(2)讨论f (x )的单调性．【课后作业】（每题中的第1小题必做，第2小题可选做）1、设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围．2、设函数f (x )＝ln x ＋m x ，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数．3、已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．【教后反思】。
高考数学命题热点名师解密专题：导数的几何意义灵活应用(理)
专题06导数的几何意义灵活应用【学习目标】1．了解导数概念的实际背景．2．理解导数的意义及几何意义．3．能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导．【知识要点】1．平均变化率及瞬时变化率(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率用________表示，且Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是：lim x D ®^limΔx →0Δy Δx ＝0lim x D ®^lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.2．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim x D ®^lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )为f (x )的导函数(简称导数)，即f ′(x )＝^lim Δx →00lim x D ®f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.3．导数的几何意义和物理意义几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )上_____________________的斜率k ，即k ＝_______；切线方程为______________________．物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s ＝f (t )，则f ′(t 0)是物体运动在t ＝t 0时刻的___________4．基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数①(C )′＝________(C 为常数);②(x )′＝________；③(x 2)′＝________；＝________；⑤(x )′＝________．(2)初等函数的导数公式①(x n )′＝________；②(sin x )′＝__________；③(cos x )′＝________；④(e x )′＝________；⑤(a x )′＝___________；⑥(ln x )′＝________；⑦(log a x )′＝__________．5．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝________________________；(2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________；(3)f （x ）g （x ）′＝____________________________．6．复合函数的导数(1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为___________________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1.变化率例1.【河南2019名校模拟】已知：函数，、为其图像上任意两点，则直线的斜率的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】，而，易得，在上单调减少，在上单调增加，故,故选B.练习1．设()f x 在0x 可导，则等于（）A ．()04'f xB ．()0'f x C ．()02'f x D ．()03'f x 【答案】A【解析】由题得==4()0f x ¢，故选A.练习2．设定义在上的函数的导函数满足，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由，，故，即，故选：A ．2.导数的定义例2．【山西2019联考】设为可导函数，且，求的值（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据导数的定义得到=,即可得到答案.【详解】根据极限的运算和导数的定义得到：=故答案为：B.【点睛】这个题目考查了导数的定义，，，凑出分子是y 的变化量，分母是x 的变化量即可.练习1．设函数()f x 在1x =处可导，则（）A ．()1f ¢B ．()112f -¢C ．()21f -¢D ．()1f -¢【答案】B【解析】∵函数()f x 在1x =处可导，∴，∴．选B ．练习2．已知函数在处可导，若，则A ．B ．C ．D ．【答案】B【点睛】本题主要考查导数的概念以及导数的计算.3.求倾斜角例3．【福建省莆田第六中学2019第一次模拟】将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角q （(]0,q a Î），得到曲线C ，若对于每一个旋转角q ，曲线C 都仍然是一个函数的图象，则a 的最大值为（）A ．pB ．2pC ．3p D ．4p 【答案】D 【解析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于90°时，其图象都依然是一个函数图象，因为0x ³是11y x ¢=+是x 的减函数，且01y <¢£,当且仅当0x =时等号成立，故在函数的图象的切线中，0x =处的切线倾斜角最大，其值为4p ，由此可知4max pa =，故选D.练习1．设点P 在曲线上，点Q 在直线y =2x 上，则PQ 的最小值为（）A ．2B ．1C ．D ．【答案】D【解析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值.【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线和直线间的最短距离，它的主要思想方法是通过将直线平移到曲线上，使得平行直线和曲线相切，这个时候，两条平行线间的距离，就是曲线上的点和直线上的点的距离的最小值.在求切线的过程中，要把握住切点和斜率两个关键点.属于中档题.练习2．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，求出函数f（x）的导数，利用导数的几何意义可得k ＝f′（1），即tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．【详解】根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，f（x）lnx﹣x，则f′（x）x21，则有k＝f′（1），则tanθ，又由0≤θ＜π，则θ，故选：B．【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．练习3.．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出曲线在处切线斜率，从而可得进而得到.【详解】函数的定义域为，时，，即且为锐角，则故选A.4.曲线上某点处的斜率例4．【陕西省彬州市2018-2019学年上学期高2019届】已知函数，在点处的切线为，则切线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，求得，得到，得出切线为的斜率为，利用直线的点斜式方程，即可求解。
剖析导数在高考中的考查热点
剖析导数在高考中的考查热点微积分是近代数学最伟大的成就，中学阶段把微积分最核心的导数内容，列为学习与考试的要求. 由于导数是研究函数性质的重要工具，又有着丰富的实际背景和广泛的应用，导数也自然成为了历届高考考查的热门之一. 纵观2007年全国各地37份文理卷，有近三分之二的试卷既出现了考查导数基础知识的客观题，又有考查导数综合运用的解答题. 在客观题中，试题主要涉及导数的计算、求曲线的切线、函数的单调区间与函数的极值等知识点的简单运用；在解答题中，试题更体现了对导数综合运用较高的能力要求. 下面结合2007年高考数学中的解答题，谈谈导数考查时中的几类主要题型.一、研究函数性质导数作为研究函数问题的利刃，常用来解决极值、最大（小）值、单调性等三类问题.在求解这些函数问题时，要结合导数的思想与理解性质的基础上，掌握用导数方法求解的一般步骤，列表归纳如下：在熟练运用导数工具研究函数的性质同时，我们要注意比较研究函数的导数方法与初等方法，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.点评此题若用初等方法求函数f（x）的单调区间，则十分困难，而采用导数方法来研究，通过“求导→解不等式→写单调区间”这三步，即可简捷地完成解答. 一般来说，用导数方法求函数f （x）的最大（小）值，先求函数的导数f ′（x），再解f ′（x）=0得到极值点，最后列表分析得出结论.此题的解法，省了列表的繁琐，直接依据单调性分析极值点的归属，并结合区间端点值的比较而进行求解.二、证明不等式成立证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想的重要性. 由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最大(小)值的研究，经历某些代数变形，得到待证明的不等式.综上可知，当x>1时，恒有x>1-ln2x-2alnx+1．点评观察第二个问题中待证明的不等式，易发现与函数f （x）有着同样般的“相貌”，结合函数思想在不等式证明中的作用，将问题转化为研究函数f （x）在（１，＋∞）上的单调性及最小值. 此道高考题主要考查了导数的概念与计算，以及利用导数研究函数单调性、极值和证明不等式的方法，这体现了高考中对综合运用导数知识解决问题的能力要求．三、求解参数范围给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式. 在此类含参问题的求解过程中，逆向思维的作用尤其重要.例３（2007年全国Ⅰ卷/文20）设函数f （x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（1）求a、b的值；（2）若对于任意的x?缀［0,3］，都有f （x）＜c2成立，求c的取值范围．解析（1）f ′（x）=6x2+6ax+3b，因函数f （x）在x=1及x=2取得极值，则有f ′（1）=0，f ′（2）=0，即有点评依据导数求函数极值的理论，将极值点转化为方程f ′（x）＝0的根，由方程思想易求得两个待定的系数. 解第二个问题的方法与前面证明不等式的思路类似，利用导数对函数最大值进行研究，然后将含参不等式恒成立的关系转化为关于参数的不等式，解不等式而得到所研究参数的范围.四、研究相切问题导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，从而利用导数可求曲线y=f（x）的切线，并进一步将导数融合到函数与解析几何的交汇问题中. 解决此类相切问题，一般先求函数的导数y=f ′（x），依据曲线y=f （x）在x=x0的切线斜率为而进行研究. 由于切点具有双重身份，既在切线上，又在函数图像上，从而对切点的研究可作为解决问题的纽带，特别是在不知道具体切点的情况下，常常设切点坐标并联立方程组而求解.例４（2007年全国Ⅱ卷/理22）已知函数f （x）=x3-x．点评依据切线的斜率等于切点处的导数值，易轻松完成第一个问题关于切线方程的求解；第二个问题所涉及的三条切线，可等价转化为方程有三个实数根的问题，进一步利用导数对函数性质的研究，可解决方程实数根个数的讨论.五、解决实践问题在工农业生产、生活等实际问题中，常常需要研究一些成本最低、利润最大、用料最省的问题. 我们先把实际情景翻译为数学语言，找出情景中主要的关系，抽象出具体的数学问题，化归为研究目标函数的最大(小)值，从而可利用导数方法简捷求解，此类问题称为优化问题.解答此类问题时，需要抓住三个基本步骤：①建立函数关系；②求极值点，确定最大(小)值；③回归优化方案．例５（2007年北京卷/理19）如右图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．（1）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（2）求面积S的最大值．解析（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O-xy（如右图），则点C的横坐标为x．点评解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数. 此题以钢板的切割作为背景，综合了圆锥曲线的运用.在用导数工具来研究目标函数的最大（小）值，也没有进行列表分析，而是通过对单调性的分析及端点函数值的比较，得到目标函数的最大值.由上可知，导数思想方法具有程序化、易掌握的显著特点，它是一种有力的工具，可以作为解决函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最大（小）值等基本方法. 导数的广泛应用为研究函数性质、函数图像开辟了新的捷径，成为沟通函数与数列、不等式、圆锥曲线等问题的一座桥梁. 我们要意识到导数工具的重要性，下最大的功夫进行突破，为今后的深入学习与研究打下坚实的基础.责任编校赖庆安注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
2024年高考数学命题热点全覆盖专题06导数的几何意义灵活应用文
专题06 导数的几何意义敏捷应用【学习目标】1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的意义及几何意义．3．能依据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导． 【学问要点】1．平均改变率及瞬时改变率(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均改变率用________表示，且Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时改变率是：lim x ∆→ Δy Δx＝0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.2．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时改变率，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.【详解】y=x 3的导数为y′=3x 2， 设切点为（m ，m 3）， 可得切线的斜率为3m 2，切线的方程为y ﹣m 3=3m 2（x ﹣m ）， 若P （0，0），则﹣m 3=3m 2（0﹣m ），解得m=0，只有一解；若P （0，1），则1﹣m 3=3m 2（0﹣m ），可得m 3=﹣，只有一解； 若P （1，1），则1﹣m 3=3m 2（1﹣m ），可得2m 3﹣3m 2+1=0， 即为（m ﹣1）2（2m+1）=0，解得m=1或﹣，有两解；若P （﹣2，﹣1），则﹣1﹣m 3=3m 2（﹣2﹣m ），可得2m 3+6m 2﹣1=0， 由f （m ）=2m 3+6m 2﹣1，f′（m ）=6m 2+12m ，当﹣2＜m ＜0时，f （m ）递减；当m ＞0或m ＜﹣2时，f （m ）递增． 可得f （0）=﹣1为微小值，f （﹣2）=7为极大值，则2m 3+6m 2﹣1=0有3个不等实数解． 故选：C ．练习3．过点A(2,1)作曲线的切线最多有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条 【答案】A 【解析】设切点为，则切线方程为，因为过A(2,1)，所以令，而，所以()0g x =有三个零点，即切线最多有3条，选A6.与切线有关的范围问题例6．已知，若的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．ln31,32e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．ln31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】由分段函数画出y=|f(x)|的图像，即直线y ax a =+与y=|f(x)|的图像有三个不同交点，，直线过定点C, ln3,3BC k =14AC k =-,02x ≤≤时，,设切点为()(),ln 1t t +，则切线方程为，过C(-1,0),代入得t=e-1,即切点为，两个图像要有三个交点，所以ln313k e≤<，即ln313a e≤<，选B.【点睛】本题把方程根的个数问题转化为两个函数交点个数问题，一般适用于，两个不同类函数求零点个数问题，而且两个函数均简单画出，尽量使得只有一个函数带有参数，即一个函数为定函数，另一个函数为动态函数，再依据要求找出合适位置的图像及参数范围。
高考导数问题热点透视
本文发表在湖北大学的2006年《中学数学》第4期上高考导数问题热点透视安徽省太湖中学（246400）李昭平导数进入中学数学教材之后，给传统的中学数学内容注入了生机与活力，为中学数学问题（如函数问题、不等式问题、解析几何问题等等）的研究提供了新的视角、新的方法、新的途径，拓宽了高考的命题空间。
由于导数是一个很好的工具，应用十分广泛，因此近几年的高考，在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大。
下面笔者将结合某些高考题或高考模拟题，介绍高考对导数问题考查的“ 七 大”热点，并力求体现运用导数知识解决问题的主要技巧，供复习参考。
透视1——利用导数的几何意义处理曲线的切线问题例1(05年全国高考湖南卷) 设)0,(,0t P t ≠是曲线ax x x f +=3)(与曲线cbxx g +=2)(的一个公共点, 在这个公共点处两曲线有相同的切线，试用.,,c b a t 表示解：设过点)0,(t P 的公切线为L ，则L 的方程有两种表达方式： ① y =))(3(2t x a t -+, ② y =)(2t x bt -.∵at t +=30, c bt +=20,且,0≠t ∴.,22bt c t a -=-= ∴①、② 变为y =3222t x t -和y =c btx 22+。
bt t 222=于是 解得，.,3t c t b -== ,223c t =-故,2t a -=.,3t c t b -==例2(05年全国高考福建卷)已知函数bx ax x f +-=26)(的图象在点))1(,1(--f M 处的切线方程为052=++y x ，求函数)(x f y =的解析式。
解：因为222222)(12)(2)6()()(b x ax x ab b x xax b x a x f +-+=+⋅--+⋅='，所以21)1(12)1(2-=+--=-'b a ab f ①，又216)1(-=+--=-ba f ②联立①、②解得，.3,2==b a 于是函数)(x f y =的解析式为.362)(2+-=x x x f点评：①以上两题主要考查导数的几何意义、切线方程、公切线方程的表示法以及方程的相关知识。
【新高考数学】热点04 导数及其应用(解析版)
【命题趋势】
在目前高考全国卷的考点中，导数板块常常作为压轴题的形式出现，这块部分的试题难 度呈现非减的态势，因此若想高考中数学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容 .函数 单调性的讨论、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不 等式恒成立 求参数取值范围）是出题频率最高的.
4
4
4
以直线在 y 1 x 和 y 1 x 之间时与函数 f (x) 有 2 个交点，所以 a [ 1 , 1) ，故选 B．
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e
4e
考点：函数图像的交点问题．
3．（2019·临沂第十九中学高考模拟（理））设函数 f x 3 sin x ．若存在 f x 的极值
m
点 x0 满足 x02 f x0 2 m2 ，则 m 的取值范围是（ ）
A． , 6 6,
B． , 4 4,
C． , 2 2,
D． , 1 1,
【答案】C
【解析】
由题意知：f x 的极值为
3
，所以
f
x0
2
3 ，因为
f
(x0 )
m
3 cos x0 0 ， m
所以 x0 m
k
, k z ，所以 2
x0 m
k 1,kz 即 2
x0 m
k1 2
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4（2019·四川高考模拟（文））已知函数 f (x) x3 (a 5)x2 (b 4)x ，若函数
f (x) 是奇函数，且曲线 y f (x) 在点 (3, f (3)) 的切线与直线 y x 3 垂直，则 6
【解析】详解： y' = aex +ln x +1
高考考查导数的五大热点问题
高考考查导数的五大热点问题导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。
所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。
解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。
本文以2008年高考试题为例，谈谈高考考查导数的热点问题，供鉴赏。
一、函数，导数，不等式综合在一起，解决单调性，参数的范围等问题。
解决单调性问题转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题；求解参数的取值范围问题转化为不等式的恒成立，能成立，恰成立来求解。
进一步转化求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上（或实数集R ）上的恒成立问题来解决，从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。
【例1】（2008年，全国I 卷）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．【分析及解】（Ⅰ）∵ 2()321f x x ax '=++，导函数是二次函数，开口向上，)3(42-=∆a ，下面讨论方程()0f x '=根的情况。
分0>∆，0<∆，0=∆来讨论。
①：0>∆，即3>a ，或3-<a 时，方程()0f x '=有两个不同实根，3321---=a a x ，3322-+-=a a x 当1x x <或2x x >时， 0)(>'x f ， 当21x x x <<时，0)(<'x f ，∴)(x f 在),(1x -∞，),(2+∞x 上为增函数，在),(21x x 上为减函数。
高考数学最新真题专题解析—导数及其应用(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—导数及其应用（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I 卷【母题题文】已知函数f(x)=x 3−x +1，则( ) A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点C. 点(0,1)是曲线y =f(x)的对称中心D. 直线y =2x 是曲线y =f(x)的切线 【答案】AC 【分析】本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性，考查了运算能力以及数形结合思想，属于中档题． 【解答】解： f(x)=x 3−x +1⇒f′(x)=3x 2−1 ，令 f′(x)=0 得： x =±√33，f′(x)>0⇒x <−√33 或 x >√33 ； f′(x)<0⇒−√33<x <√33，所以 f(x) 在 (−∞,−√33) 上单调递增，在 (−√33,√33) 上单调递减，在 (√33,+∞)上单调递增，所以 f(x) 有两个极值点 (x =−√33 为极大值点， x =√33为极小值点 ) ，故 A正确 ;又 f(−√33)=−√39−(−√33)+1=1+2√39>0 ， f(√33)=√39−√33+1=1−2√39>0 ，所以 f(x) 仅有 1 个零点 ( 如图所示 ) ，故 B 错 ;又 f(−x)=−x 3+x +1⇒f(−x)+f(x)=2 ，所以 f(x) 关于 (0,1) 对称，故 C 正确 ;对于 D 选项，设切点 P(x 0,y 0) ，在 P 处的切线为 y −(x 03−x 0+1)=(3x 02−1)(x −x 0) ，即 y =(3x 02−1)x −2x 03+1 ，若 y =2x 是其切线，则 {3x 02−1=2−2x 03+1=0，方程组无解，所以 D 错． 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】曲线y =ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为 ， ． 【答案】y =x e y =−xe 【分析】本题考查函数切线问题，设切点坐标，表示出切线方程，带入坐标原点，求出切点的横坐标，即可求出切线方程，为一般题． 【解答】解：当 x >0 时，点 (x 1,lnx 1)(x 1>0) 上的切线为 y −lnx 1=1x 1(x −x 1).若该切线经过原点，则 lnx 1−1=0 ，解得 x =e ， 此的切线方程为 y =xe ．当 x <0 时，点 (x 2,ln(−x 2))(x 2<0) 上的切线为 y −ln (−x 2)=1x 2(x −x 2) ．若该切线经过原点，则 ln(−x 2)−1=0 ，解得 x =−e ， 此时切线方程为 y =−xe ． 【命题意图】考察导数的概念，考察导数的几何意义，考察导数求导法则求导公式，导数的应用，考察数学运算和逻辑推导素养，考察分类讨论思想，函数和方程思想，化归与转化的数学思想，分析问题与解决问题的能力。
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透析导数在高考命题中的热点
发表时间：2011-08-09T15:41:44.670Z 来源：《中小学教育》2011年第10期下供稿作者：陈亮
[导读] 导数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具。
陈亮甘肃省渭源县第一中学748200
导数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具。
近年来高考数学试题无论在了解导数概念的实际背景、理解导数的几何意义方面考查，还是在研究函数中的应用方面，都把导数的应用作为各省市高考数学的压轴题。
一、利用导数的定义解题
故需新建9个桥墩才能使y最小。
评注：对问题提供的信息资料进行整理，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，即建立目标函数是解决该问题的关键，也是第二问能够用导数知识分析问题和解决问题的关键一环。