人教版高一数学必修4 第三章 《三角恒等变换》单元教学设计
人教版高一数学必修四3.2简单的三角恒等变换教案
三角恒等变换一、教学目标1：能够熟练运用两角之差及两角之和的正余弦、正切公式解决问题； 2：辅助角公式的应用；3：能够解决三角函数的图像与性质有关的综合应用问题。
二、教学重点与难点 与辅助角公式相关的三角函数综合问题三、教学过程1、复习•引入 两角和与差的正弦公式()sin αβ+=_________________________________()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=_____________________ 反之,αα化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式（11cos 2αα+ （2）sin αα2、辅助角公式•推导对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？sin cos ))a b αααααβ++其中辅助角β由cos sin ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。
3、例题•反馈例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式.（11cos 2αα- （2）ααcos sin +（3αα （4）ααcos 4sin 3-例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式.（1）sin cos αα-（2）ααsin cos - （3）cos αα-例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。
例42)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。
人教版高中必修4(B版)第三章三角恒等变换课程设计
人教版高中必修4(B版)第三章三角恒等变换课程设计一、课程背景本课程设计是针对高中必修课程《数学四》(B版)第三章三角恒等变换的教学实践。
在本章节中，学生将学习三角函数的基本概念，包括正弦、余弦、正切等；以及三角函数的基本性质、图像特征等知识。
在此基础上，进一步学习三角恒等变换的定义、性质、应用等内容，帮助学生感受数学美妙，拓展学生的数学思维和实际应用能力。
二、课程目标•知识目标1.掌握三角函数的概念、性质、基本图像和相关公式；2.掌握三角恒等变换的概念、性质和基本应用；3.理解三角恒等变换与三角函数图像的关系，培养学生对数学美的感悟。
•能力目标1.能灵活应用三角函数及其相关公式；2.能理解并应用三角恒等变换在实际问题中得到解决；3.能有效运用数学知识解决实际问题，并能形成自己的思考方式。
•情感目标1.通过学习，培养学生感受数学美妙的情感和兴趣；2.让学生理解数学是实践中最常用的一门学科；3.激发学生爱思考、勇于探究、善于合作的精神。
三、课程内容1.三角函数基础知识复习；2.三角恒等变换；3.三角函数图像变化。
四、教学方法1.讲授法：通过课堂讲解，准确阐述三角恒等变换的基本概念、性质、公式等，并通过简单的计算题、实例演练等方式帮助学生掌握相关知识；2.实践结合法：通过实际问题的解答，引导学生思考、动手解决，培养学生的数学实践能力；3.合作学习法：通过小组讨论、合作解题等方式，让学生在团队中相互交流、借鉴、提高彼此能力。
五、教学设计第一节课时间：1学时主要内容：三角函数基础知识复习1.引入三角函数知识，介绍正弦、余弦、正切的定义、符号、图像及基本性质；2.以例子为主，提高学生对于三角函数的计算能力；3.通过课堂测验，及时调整教学内容，帮助弱势学生摆脱困境。
第二节课时间：1学时主要内容：三角恒等变换1.引入三角恒等变换的定义、本质及重要性；2.提出三角恒等变换相关的公式，并进行简单的计算；3.通过实例演示，帮助学生理解三角恒等变换在证明中的应用。
人教版高一数学必修4 第三章 《三角恒等变换》单元教学设计
三角恒等变换 单元教学设计一、本单元内容在《课程标准》与《考试大纲》中的目标表述1、本单元教学内容的范围3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.2 简单的三角恒等变换2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一.代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质的，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系.在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换.在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发推导其它三角函数恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换.通过本章学习，要进一步提高学生的推理能力和运算能力.三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推理能力和计算能力.本章将通过三角恒等变换揭示一些问题的数学本质.3、本单元教学内容总体教学目标（1）和差角公式与二倍角公式经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明数学问题的方法，进一步体会向量法的作用．能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系.能应用公式解决比较简单的有关应用问题.经历运用正弦、余弦、正切的和角公式，推导出它们对应的倍角公式及公式2C的两种变形，再运用二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式的过程，掌握倍角公式和半角公式，能正确运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值、恒等式的证明.了解公式之间的内在联系，培养学生的逻辑推理能力.（2）简单的三角变换运用三角变换公式进行简单的三角变换，通过公式的综合运用，掌握三角变换的特点，预测变换的目标，设计变换的过程.4、本单元教学内容重点和难点分析（1）两角和与差的正弦、余弦、和正切公式重点：两角和与差的余弦公式求值和证明;难点：两角和的余弦公式的推导.（2）简单的三角变换重点：运用三角变换公式进行简单的三角恒等变换;难点：公式的综合运用，根据三角变换的特点，设计变换的过程.5.人教A版教材特点用向量证明差角公式，引导学生用向量研究三角问题；建立和角公式与旋转变换之间的联系；引导学生独立的由和角公式推导出倍角公式与和差化积、积化和差；和角公式在三角恒等变换及三角形计算中的应用.提供了“练习题”，“习题A、习题B”，“复习参考题A ”，“复习参考题B”，等多种形式的练习方式，为教学提供了丰富的可选择的空间.三、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方法概述1、选取与内容密切相关的，典型的，丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能够体现数学的概念和结论，数学的思想和方法，以及数学应用的学习情境，使学生产生对数学的亲切感，引发学生“看个究竟”的冲动，以达到培养其兴趣的目的.通过“观察”，“思考”，“探究”等栏目，引发学生的思考和探索活动，切实改进学生的学习方式.在教学中强调类比，推广，特殊化，化归等数学思想方法，尽可能养成其逻辑思维的习惯.本单元公式较多，有些是要求学生记忆的，有些是不要求学生记忆的，但要求会推导、会运用；建议在教学中，注重公式内在的联系，尽量引导学生利用已有知识推导公式；在推导中记忆公式，运用公式，解决实际问题；四、设计意图与特色本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此设计的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.五、本单元教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时3.2简单的恒等变换约3课时复习约2课时六、课时教学设计课题§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、设计意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、学习重点与难点1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，会导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.课题 3.1.1 两角差的余弦公式（第一课时）一、学习目标(1)掌握借助单位圆，运用三角函数定义和向量夹角的余弦公式推导出两角差的余弦公式；(2)通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础；(3)通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神.二、学习重、难点1.重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2.难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学习过程1、学习引导探究（一）：两角差的余弦公式思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?思考2：我们设想cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？思考3：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P 1, ∠P 1OP ＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？思考5：上图中，如何用线段分别表示sin β和cos β？思考6：cos αcos β＝OAcos α，它表示哪条线段长？ sin αsin β＝PAsin α，它表示哪条线段长？思考7：利用OM ＝OB ＋BM ＝OB ＋CP 可得什么结论？思考8：上述推理能说明对任意角α，β，都有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立吗？思考9：根据cos αcos β＋sin αsin β的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？思考10：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A 、B ，则向量OA 、OB 的坐标分别是什么？其数量积是什么？思考11：向量OA 与OB 的夹角θ与α、β有什么关系？根据量积定义，OA ⋅OB 等于什么？由此可得什么结论？思考12：公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β称为差角的余弦公式，记作()C αβ-，该公式有什么特点？如何记忆？ 探究（二）：两角差的余弦公式的变通思考1：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？思考2：利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？思考3：若cos α＋cos β＝a ，sin α＋sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？思考4：若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？2、随堂练习⑴、________15cos =⑵、)cos(),23,(,43cos ),,2(,32sin βαππββππαα-∈-=∈=求已知 ⑶、15sin cos 173πθθθ=-已知，是第二象限角，求（）的值3、知识拓展例11cos sin 7αβααββ=+=已知，为锐角，，（），求cos 例2 已知1cos()cos sin()sin,3且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα2,23 , 求)4cos(πα-的值. 四、反思小结1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.3.在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β) 等. 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.五、自我测评1cos79cos34sin 79sin34 +=、（） A 12B 1 CD 222、4,(,),cos()( )524ππααπα=-∈-=已知cos 则B -C -D 10101010AA cos sin cos sin2012AB 3、在平面直角坐标系中，已知两点（80，80），B(20，），则的值是（ ）A14sin sin 1cos ,cos()2αβαβαβ-=-=--=、若则 5cos cos cos 0,sin sin sin 0,cos()αβγαβγαβ++=++=-=、若则1116cos cos cos 714αβααββ=+=-、已知，都是锐角，，（），求的值。
第三章三角恒等变换教案
高中数学必修4 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单使用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不但有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，使用已学知识和方法的水平问题，等等. 三、教学设想： （一）导入：问题1： 我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家能够猜测，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜测是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-= （二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也能够用角α的余弦线来表示。
思考?.1角函数线来探求公式怎样联系单位圆上的三(1) 怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）?)2(的余弦线和余弦线的正弦线怎样作出角βαβα-，、、思考2：怎样联系向量的数量积探求公式？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=+=-=⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活使用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：此题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？ （四）练习：不查表计算以下各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解： ︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒= （五）小结：两角差的余弦公式，首先要理解公式结构的特征，理解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活使用.（1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中灵活处理已、未知关系． （六）作业3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换教学案新人教A版必修4(2021学年)
２017－2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换教学案新人教A版必修４编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（20１7-２018学年高中数学第三章三角恒等变换 3．2 简单的三角恒等变换教学案新人教A版必修４)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.2 简单的三角恒等变换[核心必知］1．预习教材,问题导入根据以下提纲,预习教材P139～P142的内容,回答下列问题．(1)α与错误!是什么关系？提示:倍角关系.(2)如何用cos α表示sｉｎ2错误!,cos2错误!和ｔan2错误!?提示:ｓin2＼f(α，2）＝错误!,cos2错误!=错误!,ｔan2错误!＝错误!。
2.归纳总结，核心必记(1)半角公式（2）三角恒等变换的特点三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式．[问题思考］(1)能用不含根号的形式用ｓｉｎα，ｃos α表示taｎα２吗?提示：tａｎ＿错误!=错误!=错误!.(2）如何用taｎ＼f（α，2)表示sｉn α，cos α及tan α?提示:sｉｎ＿α=2sin错误!·coｓ错误!=错误!=错误!。
＿coｓ_α=ｃｏｓ2_错误!-ｓin2_错误!＝错误!=错误!．taｎ_α=错误!=错误!。
[课前反思](1)半角公式的有理形式: ;(2）半角公式的无理形式:.讲一讲1.已知sin α=－错误!，π<α<错误!，求sｉｎ错误!,cos错误!,tan错误!的值．［尝试解答] ∵π〈α<错误!，siｎα＝-错误!,∴cos α＝－错误!，且错误!<错误!＜错误!，∴sｉn错误!= 错误!=错误!，cos错误!=- 错误!=-错误!,tan＼f(α，2)＝错误!＝-２.解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值,求其他三角函数式的值，一般思路为:(1）先化简已知或所求式子;（2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．练一练1.已知siｎ错误!－cos错误!=-错误!，450°<α＜54０°，求ｔan错误!的值．解：由题意得错误!错误!=错误!,即1－sin α=错误!,得sin α＝错误!.∵450°＜α＜540°,∴cｏs α=－＼f(3，５),∴tan错误!=错误!＝错误!＝2。
高中数学教案《三角恒等变换》
教学计划：《三角恒等变换》一、教学目标知识与技能：学生能够理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括和差化积、积化和差、二倍角公式等。
学生能够熟练运用三角恒等变换公式进行化简、求值及证明。
培养学生的逻辑推理能力和代数运算能力。
过程与方法：通过观察、分析、归纳等数学活动，引导学生发现三角恒等变换的规律。
采用“公式推导—例题讲解—练习巩固”的教学模式，帮助学生逐步掌握三角恒等变换的方法。
鼓励学生自主探究，通过小组合作解决复杂问题，培养团队协作能力。
情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，感受数学的美妙与和谐。
培养学生的耐心和细心，养成严谨的科学态度。
引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要性，增强应用数学的意识。
二、教学重点和难点重点：三角恒等变换的基本公式及其推导过程;运用公式进行化简、求值及证明。
难点：灵活运用三角恒等变换公式解决复杂问题;理解并记忆众多公式的内在联系。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）情境引入：通过展示一些与三角恒等变换相关的实际问题(如天文学中的角度计算、物理学中的波动分析等)，引导学生思考这些问题背后可能涉及的数学知识，从而引出三角恒等变换的主题。
复习旧知：简要回顾三角函数的基本性质、图像及诱导公式，为学习三角恒等变换做好铺垫。
明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握三角恒等变换的基本公式及其应用。
2. 公式推导（15分钟）和差化积公式推导：通过图形展示和代数运算相结合的方式，引导学生推导出和差化积公式。
强调公式的推导过程，帮助学生理解公式的来源和含义。
积化和差公式推导：类比和差化积公式的推导过程，引导学生自主推导积化和差公式。
鼓励学生提出疑问和见解，促进课堂互动。
二倍角公式推导：利用三角函数的倍角关系，引导学生推导出二倍角公式。
强调公式的记忆方法和应用技巧。
3. 例题讲解（10分钟）基础例题：选取具有代表性的基础例题进行讲解，如利用三角恒等变换公式化简表达式、求三角函数值等。
人教版高中必修4(B版)第三章三角恒等变换教学设计
人教版高中必修4(B版)第三章三角恒等变换教学设计一、教学目标1.理解三角恒等变换的概念和性质。
2.掌握正弦、余弦、正切的恒等变换公式。
3.能够使用三角函数的恒等变换公式求解三角函数的值。
二、教学重点难点1.三角恒等变换概念和性质的理解。
2.正弦、余弦、正切的恒等变换公式的记忆和应用。
三、教学内容及方法1. 教学内容1.三角恒等变换的概念和性质。
2.正弦、余弦、正切的恒等变换公式。
2. 教学方法1.给出例题，并通过例题引出概念和性质。
2.讲解正弦、余弦、正切的恒等变换公式，并进行示例演练。
3.练习题的讲解和答疑。
四、教学过程设计1. 导入环节1.介绍本节课的主题和目标。
2.提问学生对三角恒等变换的了解和认识，引出三角恒等变换的概念和性质。
2. 讲解环节1.以例题的形式引出正弦、余弦、正切的恒等变换公式，讲解公式的推导过程和应用方法。
2.通过多组例题演示如何使用恒等变换公式求解三角函数的值。
3. 练习环节1.发放练习题，让学生进行练习并自行检验答案。
2.推广题目，让学生进行自主探究，并对想法进行讨论和答疑。
五、教学评估1.通过课后作业检查和测试等方式进行评估，考察学生对三角恒等变换的掌握情况。
2.针对评估结果进行适当调整和讲解，弥补学生掌握不足和漏洞。
六、教学资源1.PowerPoint演示文稿。
2.练习题和解答。
3.可视化三角恒等变换的工具软件，如GeoGebra或Desmos。
七、反思总结三角恒等变换是高中数学中比较基础而又重要的概念之一。
因此，在教学过程中，既要重视学生的掌握程度，也要注意教学内容和方式的生动和丰富。
此次教学中，我结合多组例题，并使用工具软件进行可视化演示，使学生可以更加深入地理解三角恒等变换的概念和性质，同时也更好地掌握了正弦、余弦、正切的恒等变换公式。
最后课后的总结和评估，也能帮助学生更深入地理解和记忆知识点。
人教A版高中数学必修4第三章 三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换教案(1)
3.2《简单的三角恒等变换》教学设计【教学目标】1会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），2使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力. 【导入新课】 习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2Tα先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α.既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 新授课阶段半角公式的推导及理解 ： 例1、 试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以α代2α，2α代α） 解：因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=；因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 两式相除可以得到222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．点评：⑴以上结果还可以表示为：1cos sin 221cos cos22αααα-=±+=±1cos tan 21cos ααα-=±+并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定.⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明. ⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.例2 求证：（１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=． 解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系. 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３ 求函数sin 3cos y x x =+的周期，最大值和最小值． 解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值. 解： 13sin 3cos 2sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．课堂小结用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业课本p143 习题3.2 A 组1、（1）（5） 3 、5 拓展提升1．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ）A ．－32B ．－31C ．31D ．32 2．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形3．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2 B ．－3π C ．3πD ．3π2 4．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ）A ．－32B ．－31C ．31D ．32 5．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形6．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2 B ．－3πC ．3πD ．3π2 7．已知sin （α+β）sin （β－α）=m ，则cos 2α－cos 2β等于（ ） A ．－m B ．m C ．－4m D ．4m二、填空题8．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．9．已知α－β=3π2，且cos α+cos β=31，则cos （α+β）等于_________． 三、解答题10．已知f （x ）=－21+2sin 225sinxx，x ∈（0，π）． （1）将f （x ）表示成cos x 的多项式； （2）求f （x ）的最小值．12．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A +C =2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2CA -的值．13． 已知sin A +sin3A +sin5A =a ，cos A +cos3A +cos5A =b ， 求证：（2cos2A +1）2=a 2+b 2．14． 求证：cos 2x +cos 2（x +α）－2cos x cos αcos （x +α）=sin 2α．15． 求函数y =cos3x ·cos x 的最值．参考答案一、选择题：1．C 2． B 3． D 4．C 5． B 6． D 7． B 二、填空题：8．41 9．－97三、解答题10．解：（1）f （x ）=2cos 23cos 22sin 2sin 23cos 22sin 22sin 25sinx x x xx x x x ==-=cos2x +cos x =2cos 2x +cos x－1．（2）∵f （x ）=2（cos x +41）2－89，且－1≤cos x ≤1， ∴当cos x =－41时，f （x ）取得最小值－89． 11 分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力． 解：由题设条件知B =60°，A +C =120°， ∵－︒60cos 2=－22，∴CA cos 1cos 1+=－22． 将上式化简为cos A +cos C =－22cos A cos C ， 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos2C A +cos 2CA -=－2［cos （A +C ）+cos （A －C ）］， 将cos2C A +=cos60°=21，cos （A +C ）=cos120°=－21代入上式得cos 2CA -=22－2cos （A －C ），将cos （A －C ）=2cos 2（2C A -）－1代入上式并整理得42cos 2（2C A -）+2cos 2C A -－32=0，即［2cos2C A -－2］［22cos 2CA -+3］=0． ∵22cos 2C A -+3≠0，∴2cos 2CA -－2=0． ∴cos 2C A -=22．12．证明：由已知得 ⎩⎨⎧=+=+，，b A A A a A A A 3cos 2cos 3cos 23sin 2cos 3sin 2 ∴⎩⎨⎧=+=+.)12cos 2(3cos )12cos 2(3sin b A A a A A ，两式平方相加得（2cos2A +1）2=a 2+b 2． 13．证明：左边=21（1+cos2x ）+21［1+cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+21［cos2x +cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+cos （2x +α）cos α－cos α［cos （2x +α）+cos α］ =1+cos （2x +α）cos α－cos αcos （2x +α）－cos 2α =1－cos 2α=sin 2α =右边，∴原不等式成立． 14．解：y =cos3x ·cos x =21（cos4x +cos2x ） =21（2cos 22x －1+cos2x ） =cos 22x +21cos2x －21 =（cos2x +41）2－169． ∵cos2x ∈［－1，1］， ∴当cos2x =－41时，y 取得最小值－169； 当cos2x =1时，y 取得最大值1．。
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三角恒等变换 单元教学设计一、本单元内容在《课程标准》与《考试大纲》中的目标表述1、本单元教学内容的范围3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.2 简单的三角恒等变换2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一.代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质的，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系.在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换.在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发推导其它三角函数恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换.通过本章学习，要进一步提高学生的推理能力和运算能力.三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推理能力和计算能力.本章将通过三角恒等变换揭示一些问题的数学本质.3、本单元教学内容总体教学目标（1）和差角公式与二倍角公式经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明数学问题的方法，进一步体会向量法的作用．能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系.能应用公式解决比较简单的有关应用问题.经历运用正弦、余弦、正切的和角公式，推导出它们对应的倍角公式及公式2C的两种变形，再运用二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式的过程，掌握倍角公式和半角公式，能正确运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值、恒等式的证明.了解公式之间的内在联系，培养学生的逻辑推理能力.（2）简单的三角变换运用三角变换公式进行简单的三角变换，通过公式的综合运用，掌握三角变换的特点，预测变换的目标，设计变换的过程.4、本单元教学内容重点和难点分析（1）两角和与差的正弦、余弦、和正切公式重点：两角和与差的余弦公式求值和证明;难点：两角和的余弦公式的推导.（2）简单的三角变换重点：运用三角变换公式进行简单的三角恒等变换;难点：公式的综合运用，根据三角变换的特点，设计变换的过程.5.人教A版教材特点用向量证明差角公式，引导学生用向量研究三角问题；建立和角公式与旋转变换之间的联系；引导学生独立的由和角公式推导出倍角公式与和差化积、积化和差；和角公式在三角恒等变换及三角形计算中的应用.提供了“练习题”，“习题A、习题B”，“复习参考题A ”，“复习参考题B”，等多种形式的练习方式，为教学提供了丰富的可选择的空间.三、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方法概述1、选取与内容密切相关的，典型的，丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能够体现数学的概念和结论，数学的思想和方法，以及数学应用的学习情境，使学生产生对数学的亲切感，引发学生“看个究竟”的冲动，以达到培养其兴趣的目的.通过“观察”，“思考”，“探究”等栏目，引发学生的思考和探索活动，切实改进学生的学习方式.在教学中强调类比，推广，特殊化，化归等数学思想方法，尽可能养成其逻辑思维的习惯.本单元公式较多，有些是要求学生记忆的，有些是不要求学生记忆的，但要求会推导、会运用；建议在教学中，注重公式内在的联系，尽量引导学生利用已有知识推导公式；在推导中记忆公式，运用公式，解决实际问题；四、设计意图与特色本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此设计的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.五、本单元教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时3.2简单的恒等变换约3课时复习约2课时六、课时教学设计课题§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、设计意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、学习重点与难点1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，会导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.课题 3.1.1 两角差的余弦公式（第一课时）一、学习目标(1)掌握借助单位圆，运用三角函数定义和向量夹角的余弦公式推导出两角差的余弦公式；(2)通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础；(3)通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神.二、学习重、难点1.重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2.难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学习过程1、学习引导探究（一）：两角差的余弦公式思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?思考3：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P 1, ∠P 1OP ＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？思考5：上图中，如何用线段分别表示sin β和cos β？思考6：cos αcos β＝OAcos α，它表示哪条线段长？ sin αsin β＝PAsin α，它表示哪条线段长？思考7：利用OM ＝OB ＋BM ＝OB ＋CP 可得什么结论？思考8：上述推理能说明对任意角α，β，都有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立吗？思考9：根据cos αcos β＋sin αsin β的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？思考10：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A 、B ，则向量OA 、OB 的坐标分别是什么？其数量积是什么？思考11：向量OA 与OB 的夹角θ与α、β有什么关系？根据量积定义，OA ⋅OB 等于什么？由此可得什么结论？思考12：公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β称为差角的余弦公式，记作()C αβ-，该公式有什么特点？如何记忆？探究（二）：两角差的余弦公式的变通思考1：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？思考2：利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？思考3：若cos α＋cos β＝a ，sin α＋sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？思考4：若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？1221-1232322、随堂练习⑴、________15cos =⑵、)cos(),23,(,43cos ),,2(,32sin βαππββππαα-∈-=∈=求已知 ⑶、15sin cos 173πθθθ=-已知，是第二象限角，求（）的值3、知识拓展例11cos sin 7αβααββ=+=已知，为锐角，，（），求cos 例2 已知1cos()cos sin()sin,3且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα2,23 , 求)4cos(πα-的值. 四、反思小结1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.3.在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β) 等. 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.五、自我测评1cos79cos34sin 79sin34 +=、（） A12B 1 C2、4,(,),cos()( )524ππααπα=-∈-=已知cos 则B -C -D 10101010AA cos sin cos sin2012AB 3、在平面直角坐标系中，已知两点（80，80），B(20，），则的值是（）A14sin sin 1cos ,cos()22αβαβαβ-=--=--=、若则 5cos cos cos 0,sin sin sin 0,cos()αβγαβγαβ++=++=-=、若则1116cos cos cos 714αβααββ=+=-、已知，都是锐角，，（），求的值。
347sin x sin y cos x cos y cos x y)55+=+=-、若，，求（的值。
课题 §3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第二课时）一、学习目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、学习重、难点1.重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系；2.难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学习过程1、学习引导探究（一）：两角和与差的基本三角公式思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos(α＋β)等于什么？思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作()C αβ+，该公式有什么特点？如何记忆？思考3： 诱导公式sin()cos 2παα±=可以实现由正弦到余弦的转化，结合()C αβ+ 和()C αβ- 你能推导出sin(α＋β)，sin(α－β)分别等于什么吗？思考4：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作()S αβ+，()S αβ-，这两个公式有什么特点？如何记忆？思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间存在商数关系，从()S αβ±、()C αβ±出发，tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tan α、tan β有什么关系思考6：上述公式就是两角和与差的正切公式，分别记作()T αβ+，()T αβ-，这两个公式有什么特点？如何记忆？公式成立的条件是什么？思考7：为方便起见，公式()S αβ+，()C αβ+，()T αβ+称为和角公式，公式()S αβ-，()C αβ-，()T αβ-称为差角公式.怎样理解这6个公式的逻辑联系？探究（二）：两角和与差三角公式的变通思考1：若cos α＋cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α＋β)等于 思考2：若sin α＋cos β＝a ，cos α＋sin β＝b ，则sin(α＋β)等于思考3：根据公式()T αβ+，tan α＋tan β可变形为 思考4：sinx ＋cosx 能用一个三角函数表示吗？2、随堂练习⑴、利用和差角公式，求下列各式的值①sin15o； ②cos 75o； ⑵、利用和差角公式，求下列各式的值 ①sin 72cos 42cos72sin 42oooo-； ②cos 20cos70sin 20sin 70oooo-；⑶、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.3、知识拓展例1.化简x x - ⑵1tan151tan15+-例2.已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．例3.已知33350,cos ,sin 4445413ππππβααβ⎛⎫⎛⎫<<<<-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ+的值．四、反思小结1.两角差的余弦公式()C αβ-是两角和与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程.2.公式()S αβ+与()S αβ-，()C αβ+与()C αβ-，()T αβ+与()T αβ-的结构相同，但运算符号不同，必须准确记忆，防止混淆.3.公式都是有灵活性的，应用时不能生搬硬套，要注意整体代换和适当变形.五、自我测评1sin163sin 223sin 253sin 313( )11A - B C - D2222+=、1tan 24tan 1tan 4απαα-=+-+、已知（）的值等于（）3sin cos 0sin cos 221C D 1333B πθθθθθ-=≤≤、已知），则+=（ ）A()()sin 7cos15sin 84 cos 7sin15sin 8y cosx+cos x+ 3π+-、的值为 5、函数=（）的最大值是()()()()()23tan 6sin sin 34tan 7y x cos x x 1y x 2y sin x x RR ααβαββ+=-==+∈=∈、已知，，求的值。