《九章算术》与《几何原本》的比较解析

包头师范学院本科毕业论文

二〇一三年三月

摘要

《九章算术》与《几何原本》是数学史上东西辉映的两大巨著，是现代数学思想的两大源泉。两书同是古代数学名著，却有着截然不同的风格。将从数学教育的角度，解读一下两书在成书背景、结构和内容等方面的不同，并从比较研究中得到一些对当代数学教育改革的启示。

关键词：九章算术；几何原本；形式逻辑；数学教育

Abstract

Nine Chapters of Arithmetic”and”Principles of Geometry”are two famous books in the world history of mathematics，serving as two origins of modem mathematics education．The two books belong to famous ancient mathematics books，but with different styles．From the perspective of mathematics education，a compari-son is made of the two books in their backgrounds，structures and content，and some enlightenment is derivedfrom them for current mathematics education reforill．

目录

引言（绪论） (5)

一《几何原本》 (6)

(一)《几何原本》的基本内容 (6)

(二)《几何原本》的特点 (7)

1.封闭的演绎体系 (7)

2.抽象化的内容 (8)

3.公理化的方法 (8)

(三)《几何原本》的意义 (9)

二、《九章算术》 (10)

(一)《九章算术》的基本内容 (11)

(二)《九章算术》的特点 (11)

1.开放的归纳体系 (11)

2.算法化的内容 (12)

3.模型化的方法 (12)

(三)《九章算术》的意义 (12)

1.《九章算术》的影响巨大而深远 (12)

2.《九章算术》中的数学成就是多方面的 (12)

3.《九章算术》对中国周边国家数学及社会的发展也有一定的作用 (13)

4.《九章算术》的思想方法不仅对古代数学的发展产生了重大影响，而且也是

现代数学思想发展的源泉 (13)

三.《九章算术》与《几何原本》的比较 (13)

（一）形成《九章算术》与《几何原本》迥异的背景 (13)

（二）两书体例的比较 (14)

（三）两书内容的比较 (15)

（四）对当代数学教育改革的启示 (15)

1.数学教育观 (15)

2.数学教育目的 (16)

3.数学教材 (17)

4.数学文化 (18)

参考文献 (19)

引言（绪论）

《九章算术》与《几何原本》是数学史上东西辉映的两大巨著，某种意义上说是现代数学思想的两大源泉。自其成书以来，学者们对其研究从未停止过，对《九章算术》与《几何原本》的历史背景、内容、数学方法、传播以及对现代数学的影响进行了比较研究；从两者的比较中，试探性地问答了它们对现代数学发展所产生程度不同的影响，探讨了两书对古中国和古希腊数学的影响。以数学思想方法为切人点，对其进行比较，并从比较中得出一些关于数学教育的启示；就数学教育目的、数学教材方面分析了其对数学教育的影响。笔者在前人研究的基础上，从其成书背景、体系、内容等方面的比较中，就数学教育观、数学教育目的、数学教材以及数学文化方面探讨了其对数学教育的启示，以期对当前数学教育改革有一定的借鉴作用。

一、《几何原本》

《几何原本》是历史上最早建立的演绎的公理化的体系。演绎的公理化体系是从有限的不加证明公理和定义出发，通过严格的逻辑推理推演出所有其他命题的一个有序的理论整体。约公元前300年，古希腊数学家欧几里得（Eucild）将希腊当时最为发达的数学---几何用公理化的思想和严格的演绎推理的逻辑方法整理在一个体系之中，形成了《几何原本》这本书。《几何原本》的原名为《原本》，17世纪初，翻译成中文时冠以《几何原本》沿用至今。《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，它是对欧几里得之前希腊数学的一个总结。

欧几里得《几何原本》的出现，是数学史上一个伟大的里程碑，它不仅是几何学建立的标志，同时也是公理体系在具体学科中应用成功的标志。

(一)《几何原本》的基本内容

欧几里得的《几何原本》全书共十三卷，总共有475个命题（包括5个公设（Postulate）和5个公理（Axiom））。除几何外，还包括初等数论，比例理论等内容。

第一篇有5个公设、5个公理和48个命题，讨论全等形，平行线，毕达哥拉斯（Pythagoras）定理，初等作图法，等价形（有等面积的图形）和平行四边形。所有图形都是由直线段组成的。

欧几里得在这篇中给出了23个定义提出了点、线、面、圆和

平行线等概念。接着是五个公设：

（I）从任意一点到任意一点可作直线。

（II）有限直线可以继续延长。

（III）以任意一点为中心及任意的距离（为半径）可以画圆。

（IV）所有直角都相等。

（V）同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧

的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。

其中第五个公设称为欧几里得平行公设，简称第五公设。公设之后是五个公理：

（I）和同一量相等的诸量彼此相等。

（II）等量加等量，总量仍相等。