数学文化——立体几何

数学文化——立体几何（22题）1、“堑堵”【编号第1题】1．【2016春•厦门校级月考】《九章算术》中，将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）A．4+2B．2 C．4+4D．6+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．【解析】：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC﹣A′B′C′，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，所以几何体的表面积S=2×+2×2+2×=6+4，故选：D．【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．【编号第2题】2．【2016•厦门模拟】《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A．2 B．4+2C．4+4D．6+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的侧面积．【解析】：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC﹣A′B′C′，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，所以几何体的侧面积S==4+4，故选：C．【点评】本题考查三视图求几何体的侧面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．2、商鞅铜方升【编号第3题】3．【2016•辽宁校级模拟】中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为（立方寸），则图中的x为（）A． B．1.6 C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．利用体积求出x．【解析】：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：1，（﹣x）×3×1+π•（ 2）2x=，x=．故选：B．【点评】本题考查三视图，考查体积的计算，确定直观图是关键．3、鳖臑【编号第4题】4．【2015秋•厦门校级月考】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP=AC=1，过A点分别作AE⊥PB于E、AF⊥PC于F，连接EF当△AEF的面积最大时，tan∠BPC的值是（）A．B．C．D．【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】由已知可证AE⊥平面PBC，PC⊥平面AEF，可得△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF=，从而（AE2+EF2）=（AF）2=，当且仅当AE=EF时，取“=”，解得当AE=EF=时，△AEF的面积最大，即可求得tan∠BPC=的值．【解析】：显然BC⊥平面PAB，则BC⊥AE，又PB⊥AE，则AE⊥平面PBC，于是AE⊥EF，且AE⊥PC，结合条件AF⊥PC得PC⊥平面AEF，所以△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF=，而（AE2+EF2）=（AF）2=，当且仅当AE=EF时，取“=”，所以，当AE=EF=时，△AEF的面积最大，此时tan∠BPC==，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，不等式的解法及应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．【编号第5题】5．【2015秋•萍乡期末】《九章算术》中将底面的长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为蟞臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD 中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=BC，则当点E在下列四个位置：PA中点、PB中点、PC 中点、PD中点时分别形成的四面体E﹣BCD中，蟞臑有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】分情况讨论：（1）当点E在PC中点时，证明BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（2）当点E在PA中点时：以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD=DC=BC=1，则可求BC，BE，EC三边长不满足勾股定理，可得△EBC不是直角三角形，故故四面体E﹣BCD不是蟞臑．（3）当点E在PB中点时：易证△BCE不是直角三角形（同上），可得四面体E﹣BCD不是蟞臑．（4）当点E在PD中点时：由BC⊥平面ECD，DE⊥平面DBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑．【解答】证明：（1）当点E在PC中点时：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，因为ABCD为正方形，所以BC⊥CD，因为PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD，因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，因为PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC，由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；（2）当点E在PA中点时：如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD=DC=BC=1，则：C（0，1，0），B（1，1，0），D（0，0，0），E（，0，），可求：BC=1，BE=，EC=，三边长不满足勾股定理，可得△EBC不是直角三角形，故故四面体E﹣BCD不是蟞臑．（3）如下图当点E在PB中点时：易证△BCE不是直角三角形（同上），故四面体E﹣BCD不是蟞臑．（4）如下图当点E在PD中点时：由BC⊥平面ECD，DE⊥平面DBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑．故选：B．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4、羡除【编号第6题】6．【2016•上饶一模】在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除，现有一个羡除如图所示，面ABC、面ABFE、面CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB=6，CD=8，EF=10，EF到面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是（）A．110 B．116 C．118 D．120【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】将几何体分解成一个直棱柱和两个相同的不规则几何体，将三个几何体改变位置组合成一个直棱柱进行计算．【解析】：过A作AP⊥CD，AM⊥EF，过B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，Q，N，将一侧的几何体放到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为=15．棱柱的高为8，所以V=15×8=120．故选：D．【点评】本题考查了不规则几何体的体积计算，将不规则几何体补成规则几何体是常用解题方法．5、圆周率相关【编号第7题】7．【2012•湖北】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈C．d≈D．d≈【考点】进行简单的演绎推理．【分析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．【解析】：由V=，解得d=设选项中的常数为，则π=选项A代入得π==；选项B代入得π==3；选项C代入得π==；选项D代入得π==由于D的值最接近π的真实值故选D．【点评】本题主要考查了球的体积公式及其估算，同时考查了计算能力，属于中档题．【编号第8题】8．【2016春•信阳月考】我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少若π取3，估算小城堡的体积为（）A．1998立方尺B．2012立方尺C．2112立方尺D．2324立方尺【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据周长求出城堡的底面半径，代入圆柱的体积公式计算．【解析】：设圆柱形城堡的底面半径为r，则由题意得2πr=48，所以r=≈8尺．又城堡的高h=11尺，所以城堡的体积V=πr2h=π×64×11≈2112立方尺．故选：C．【点评】本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题．【编号第9题】9．【2016•沈阳校级模拟】《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V=×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为（）A．3 B．3.14 C． D．【考点】排序问题与算法的多样性．【分析】由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，利用圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），求出V，再建立方程组，即可求出圆周率π的取值．【解析】：由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，因为圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），所以V=×（202×4）=，所以所以π=3，R=，故选：A．【点评】本题考查圆柱体底面的圆周长、体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．【编号第10题】10．【2016•山东校级一模】《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少若π取3，估算该圆堢壔的体积为（）A．1998立方尺B．2012立方尺C．2112立方尺D．2324立方尺【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据周长求出圆堢壔的底面半径，代入圆柱的体积公式计算．【解析】：设圆柱形圆堢壔的底面半径为r，则由题意得2πr=48，所以r=≈8尺，又圆堢壔的高h=11尺，所以圆堢壔的体积V=πr2h=π×64×11≈2112立方尺．故选：C．【点评】本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题．6、牟合方盖相关【编号第11题】11．【2016•信阳一模】刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为．后人导出了“牟合方盖”的体积计算公式，即V牟=r3﹣V方盖差，r为球的半径，也即正方形的棱长均为2r，为从而计算出V球=πr3．记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，棱长为2r的正方形的方盖差为V方盖，则=（）差A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】计算出V方盖差，V正，即可得出结论【解析】：解：由题意，V方盖差=r3﹣V牟=r3﹣×××π×r3=r3，所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正=×=r3，所以==，故选：C．【点评】本题考查新定义，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础【编号第12题】12．【2016春•江西校级月考】我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，其直观图如图丙，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，d C．c，b D．c，d【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据已知中“牟合方盖”的几何特征，分别判断它的正视图和俯视图形状，可得答案．【解析】：当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，它的正视图为：a俯视图为：b故选：A【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，难度不大，属于基础题．【编号第13题】13．（2012•温州）我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据主视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出主视图为3个正方形组合体，进而得出答案即可．【解答】：利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形，得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个正方形，右边两个正方形，故选：B．【点评】此题主要考查了几何体的三视图；掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题的关键．【编号第14题】14．【2016•吉林四模】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d【考点】简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解析】：因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．所以其正视图和侧视图是一个圆，因为俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：A．【点评】本题很是新颖，三视图是一个常考的内容，对于几何体，他描述的应该熟悉，想想出它的样子，才能够作对此题．【编号第15题】15．（2015春•麻城市校级期中）刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4：π，即V牟：V球=4：π．也导出了“牟合方盖”的体积计算公式，即V牟=r3﹣V方盖差，从而计算出V球=．记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，则（）A．V方盖差＞V正B．V方盖差=V正C．V方盖差＜V正D．以上三种情况都有可能【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】计算出V方盖差，V正，即可得出结论．【解析】：由题意，V方盖差=r3﹣V牟=r3﹣=r3，所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正==r3，所以V方盖差＞V正．故选：A．【点评】本题考查新定义，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．【编号第16题】16．【2016•泉州校级模拟】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解析】：因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．所以其正视图和侧视图是一个圆，因为俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B【点评】本题考查了几何体的三视图，属于基础题．7、“米谷粒分”问题【编号第17题】17．【2015•湖北】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用．【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解析】：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．【编号第18题】18．【2016•怀化三模】我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5×2=10（尺），利用勾股定理，可得结论．【解析】：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5×2=10（尺），因此葛藤长=26（尺）．故选：C．【点评】本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查学生的计算能力，正确运用圆柱的侧面展开图是关键．7、祖暅原理【编号第19题】19．联想祖暅原理，计算曲线y=lnx与y=ln（x+1）以及y=±1所围成的封闭区域的面积为．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出曲线y=lnx与y=ln（x+1）以及y=±1所围成的封闭区域，然后分析平面区域的形状，进而利用祖暅原理求出封闭区域的面积．【解析】曲线y=lnx与y=ln（x+1）以及y=±1所围成的封闭区域如图所示：由祖暅原理我们易得：该不规则图形的面积等于一个底为1，高为2的矩形面积故S=2×1=2故答案为：2【编号第20题】20．在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________【解析】根据提示，一个半径为1，高为的圆柱平放，一个高为2，底面面积的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为．【考点定位】考查旋转体组合体体积的计算，重点考查空间想象能力，属难题。