数学的文化与文化的数学

数学的文化与文化的数学

姓名：袁洋

班级：2012214101

学号：2012212643

作为人类文化组成部分的数学，数学对于人类有其积极的作用。一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关，由于数学已经广泛地影响着现代生活和思想，今天的西方文明与以往任何历史上的文明都有着明显的区别。所以说，数学与文化密不可分。

数学文化从狭义上看来，是数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。从广义上看来，除上述内涵以外，还包含数学家，数学史，数学美，数学教育。数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系等等。

给予数学文化特别的重视一个重要的原因是，20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向，并一直影响到今天的中国。数学的过度形式化，使人错误地感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”，数学的发展无须社会的推动，其真理性无须实践的检验，当然，数学的进步也无须人类文化的哺育。进入21世纪之后，数学文化的研究更加深入。一个重要的标志是数学文化走进中小学课堂，渗入实际数学教学，努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动。

走出数学孤立主义的阴影，数学的内涵十分丰富。但在中国数学教育界，常常有“数学=逻辑”的观念。据调查，学生们把数学看作“一堆绝对真理的总集”，或者是“一种符号的游戏”。“数学遵循记忆事实-运用算法-执行记忆得来的公式-算出答案”的模式，“数学=逻辑”的公式带来了许多负面影响。正如一位智者所说，一个充满活力的数学美女，只剩下一副X光照片上的骨架了！

数学的内涵，包括用数学的观点观察现实，构造数学模型，学习数学的语言、图表、符号表示，进行数学交流。通过理性思维，培养严谨素质，追求创新精神，欣赏数学之美。

半个多世纪以前，著名数学家柯朗在名著《数学是什么》的序言中这样写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机。数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练。数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。教师学生和一般受过教育的人都要求有一个建设性的改造，其目的是要真正理解数学是一个有机整体，是科学思考与行动的基础。”

数学本身很美，然而不要被它迷了路。应用数学的任务是解决实际问题，不是去完善许多数学方法，我们是以解决实际问题为己任的。从这一观点上讲，我们应该是解决实际问题的优秀‘屠夫’，而不是制刀的‘刀匠’，更不是那种一辈

子欣赏自己的刀多么锋利而不去解决实际问题的刀匠。”这是一个力学家的数学文化观。和所有文化现象一样，数学文化直接支配着人们的行动。孤立主义的数学文化，一方面拒人于千里之外，使人望数学而生畏；另一方面，又孤芳自赏，自言自语，令人把数学家当成“怪人”。学校里的数学，原本是青少年喜爱的学科，却成为过滤的“筛子”、打人的“棒子”。优秀的数学文化，会是美丽动人的数学王后、得心应手的仆人、聪明伶俐的宠物。伴随着先进的数学文化，数学教学会变得生气勃勃、有血有肉、光彩照人。

谈到数学文化，往往会联想到数学史。确实，宏观地观察数学，从历史上考察数学的进步，确实是揭示数学文化层面的重要途径。但是，除了这种宏观的历史考察之外，还应该有微观的一面，即从具体的数学概念、数学方法、数学思想中揭示数学的文化底蕴。

首先，数学和文学。数学和文学的思考方法往往是相通的。举例来说，中学课程里有“对称”，文学中则有“对仗”。对称是一种变换，变过去了却有些性质保持不变。轴对称，即是依对称轴对折，图形的形状和大小都保持不变。那么对仗是什么？无非是上联变成下联，但是字词句的某些特性不变。变化中的不变性质，在文化中、文学中、数学中，都广泛存在着。数学中的“对偶理论”，拓扑学的变与不变，都是这种思想的体现。文学意境也有和数学观念相通的地方。徐利治先生早就指出：“孤帆远影碧空尽”，正是极限概念的意境。

其次，欧氏几何和中国古代的时空观。初唐诗人陈子昂有句云：“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下。”这是时间和三维欧几里得空间的文学描述。在陈子昂看来，时间是两头无限的，以他自己为原点，恰可比喻为一条直线。天是平面，地是平面，人类生活在这悠远而空旷的时空里，不禁感慨万千。数学正是把这种人生感受精确化、形式化。诗人的想象可以补充我们的数学理解。

此外，数学与语言。语言是文化的载体和外壳。数学的一种文化表现形式，就是把数学溶入语言之中。“不管三七二十一”涉及乘法口诀，“三下二除五就把它解决了”则是算盘口诀。再如“万无一失”，在中国语言里比喻“有绝对把握”，但是，这句成语可以联系“小概率事件”进行思考。“十万有一失”在航天器的零件中也是不允许的。此外，“指数爆炸”“直线上升”等等已经进入日常语言。它们的含义可与事物的复杂性相联系（计算复杂性问题），正是所需要研究的。“事业坐标”“人生轨迹”也已经是人们耳熟能详的词语。

最后，数学和美学。“1/2+1/3=2/5 ？”是不是和谐美？二次方程的求根公式美不美？这涉及到美学观。三角函数课堂上应该提到音乐，立体几何课总得说说绘画，如何把立体的图形画在平面上。欣赏艾舍尔（M。C。Escher）的画、计算机画出的分形图，也是数学美的表现。

总之，数学文化离不开数学史，但是不能仅限于数学史。当数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、溶入教学时，数学就会更加平易近人，数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。

在我看来，数学文化的价值不仅表现在知识本身，还更在于它的实际应用，数学文化的学习有助于提高数学素养，然而这种素养并不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的，学生在数学学习中，不但要理解数学知识，更要体会数学知识中蕴涵的数学文化，了解“数学方式的理性思维”，提高自己的数学素养。

以上说的都是数学之意与美，现在阐述一下我理解的数学之用与话。

数起源于数，如一、二、三、四、五……，一个、两个、三个……。量起源于量，先取一个单位作标准，然后一个单位一个单位地量。天下虽有各种不同的量(各种不同的量的单位如尺、斤、斗、秒、伏特、欧姆和卡路里等等)，但都必须通过数才能确切地把实际的情况表达出来。所以“数”是各种各样不同量的共性，必须通过它才能比较量的多寡，才能说明量的变化。

“量”是贯穿到一切科学领域之内的，因此数学的用处也就渗透到一切科学领

域之中。数学是一切科学得力的助手和工具。它有时由于其他科学的促进而发展，有时也先走一步，领先发展，然后再获得应用。任何一门科学缺少了数学这一项工具便不能确切地刻划出客观事物变化的状态，更不能从已知数据推出未知的数据来，因而就减少了科学预见的可能性，或者减弱了科学预见的精确度。

宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁

，无处不用数学。数学是一门富有概括性的学问。抽象是它的特色。同是一个方程，弹性力学上是描写振动的，流体力学上却描写了流体动态，声学家不妨称它是声学方程，电学家也不妨称它为电报方程，而数学家所研究的对象正是这些现象的共性的一面——双曲型偏微分方程。这个偏微分方程的解答的性质就是这些不同对象的共同性质，数值的解答也将是它所联系各学科中所要求的数据。

不但如此，这样的共性，一方面可以促成不同分支产生统一理论的可能性，另

一方面也可以促成不同现象间的相互模拟性。例如：声学家可以用相似的电路来研究声学现象，这大大地简化了声学实验的繁重性。这种模拟性的最普遍的应用便是模拟电子计算机的产生。根据神经细胞有兴奋与抑制两态，电学中有带电与不带电两态，数学中二进位数的0与1、逻辑中的“是”与“否”，因而有用电子数字计算机来模拟神经系统的尝试，及模拟逻辑思维的初步成果。

我们作如上的说明，并不意味着数学家可以自我陶醉于共性的研究之中。一方

面我们得承认，要求数学家深入到研究对象所联系的一切方面是十分困难的，但是这并不排斥数学家应当深入到他所联系到的为数众多的科学之一或其中的一部分。这样的深入是完全必要的。这样做既对国民经济建设可以做出应有的贡献，而且就是对数学本身的发展也有莫大好处。

客观事物的出现一般讲来有两大类现象。一类是必然的现象——或称因果律。一

类是大数现象——或称机遇律。表示必然现象的数学工具一般是方程式，它可以从已知数据推出未知数据来，从已知现象的性质推出未知现象的性质来。通常出现的有代数方程，微分方程，积分方程，差分方程等等(特别是微分方程)。处理大数现象的数学工具是概率论与数理统计。通过这样的分析便可以看出大势所趋，各种情况出现的比例规律。

数学的其它分支当然也可以直接与实际问题相联系。计算数学是一门与数学的开始而俱生的学问，不过今天由于快速大型计算机的出现特别显示出它的重要性。因为对象日繁，牵涉日广(一个问题的计算工作量大到了前所未有的程度)。解一个一百个未知数的联立方程是今天科学中常见的(如水坝应力，大地测量，设计吊桥，大型建筑等等)，仅靠笔算就很困难。算一个天气方程，希望从今天的天气数据推出明天的天气数据，单凭笔算要花成年累月的时间。这样算法与明天的天气何干？一个讽刺而已！电子计算机的发明就满足了这种要求。高速度大存储量的计算机的发展改变了科学研究的面貌，但是近代的电子计算机的出现丝毫没有减弱数学的重要性，相反地更发挥数学的威力，对数学的要求提得更高。繁重的计算劳动减轻了或解除了，而创造性的劳动更多了。计算数学是一个桥梁，它把数学的创造同实际结合起来。同时它本身也是一个创造性的学科。例如推动了一个新学科计算物理学的发展。

除掉上面所特别强调的分支以外，并不是说数学的其余部分就不重要了。只有

这些重点部门与其它部分环环扣紧，把纯数学和应用数学都分工合作地发展起来，才能既符合我国当前的需要，又符合长远需要。

从历史上数学的发展的情况来看，社会愈进步，应用数学的范围也就会愈大，所应用的数学也就愈精密，应用数学的人也就愈多。在日出而作，日入而息的古代社会里，会数数就可以满足客观的需要了。后来由于要定四时，测田亩，于是需要窥天测地的几何学。商业发展，计算日繁，便出现了代数学。要描绘动态，研究关系的变化，变化的关系，因而出现了解析几何学、微积分等等。

数学的用处在物理科学上已经经过历史考验而证明。它在生物科学和社会科学

上的作用也已经露出苗头。存在着十分宽广的前途。

最后，并不是说其它科学不重要或次重要。应当强调的是，数学之所以重要正是因为其他科学的重要而重要的，不通过其他学科，数学的力量无法显示，更无重要之可言了。

接着谈谈有关数学的哲学思维，抽象思维抽象思维是数学文化哲学思维中最根本、最基础的内容之一，是灵魂。所谓抽象，就是把同类事件中最关键、最根本的本质性的东西拎出来，加以归纳，使其具有更大的推广性和普适性。抽象有多种办法来实现，比如强抽象、弱抽象、构象化抽象、公理化抽象等。

逻辑思维数学不能完全归结为逻辑思维，但逻辑作为数学基础却始终占据着数学哲学最主要的位置。逻辑思维是整个数学科学各分支之间联结的纽带。其一，逻辑思维可以用来检验、证明数学真理。这种检验和证明，主要是借助演绎与归纳的方法：一是通过演绎把数学真理从一般推到个别，二是通过归纳把个别推广到一般。其二，逻辑思维使数学文化系统化、体系化、科学化。逻辑对数学来讲，有时是起一条线的串联作用，它把许多零碎的东西串起来。通过去伪存真、去粗取精、化归统一，最终形成一个抽象的、简洁的、形象的、生动优美的结构系统。罗素说过：“逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代，青年与壮年没有截然的分界线，故数学与逻辑亦然。”其三，逻辑思维既可以经过归纳、演绎、推理，获得新的结果，也可以重新审视一下已有逻辑，换一种思路，进到一个新的领域中，如前面讲的非欧几何、群论等；再就是根据需要，发展或确立新的数学对象和领域。

形象思维数学中的形象思维是激励人们的想象力和创造力的，它常常导致重要的数学发现。数学中的形象思维具有一般形象思维的性质与内容，但它又与一般的形象思维(专指文学艺术类)不同，它的对象是数学的内容。数学的形象思维，按照徐利治先生的意见可分为四个层次：第一层次为几何思维；第二个层次是类几何思维；第三个层次是数学思维；第四个层次是数学观念的直觉，它类似第三个层次，但这里更强调对数学观念性质、相互联系以及重新组合过程的形象化感觉，由这种形象化感觉而反映出来的直觉，是无法用逻辑思维解释清楚的，但它确实又存在着。数学文化的形象思维，在其过程中主要借助数学想象，这种想象包括视觉想象、听觉想象和触觉想象。

直觉思维直觉思维是数学哲学思维中的重要内容之一。首先，这种直觉思维是非逻辑的，不是靠推理和演绎获得的。数学的猜测和想象，都已经具有一定的非逻辑性。越是复杂的数学想象，可能越缺少逻辑。因为在逻辑苍白无力的地方，恰恰是直觉在发挥着重要的作用。直觉思维是一种很可珍贵的精神状态，它的特点就是突然出现和非预期性。这种突然出现，有时如“狂涛暴涨”一样震撼人的心灵，把人引到一种兴高采烈、眉飞色舞的境界。应当指出的是，数学家们的“神来”之笔及突然“顿悟”，恰恰是平时苦心经营、功夫到家后的水到渠成，是经过千锤百炼之后熟能生巧所产生出的触类旁通。诚然，由于数学直觉思维的非逻辑性、突发性等特点，很难说直觉有什么规律可循。

数学之意、用、美、话，暂时阐述完了，最后，我想简要谈谈对数学学科未来发展的个人看法。数学伴随着人类的文明，也将一直伴随下去。我认为，今后加强数学文化和数学学习的结合，数学学科的发展会越来越好！