控制系统的稳定性分析
机械工程控制基础第五章系统稳定性分析
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
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同时，如果劳斯阵列中第一 列所有项均为正号，则系统 一定稳定。
劳斯阵列为
sn a0 a2 a4 a6 s n1 a1 a3 a5 a7 s n2 b1 b2 b3 b4 s n3 c1 c2 c3 c4
由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正
值，所以控制系统稳定。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
例2 设控制系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 3 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳
阵列
s4 1 3 3
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5.1 系统稳定性的基本概念
d
o
F
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b
c
M
o
稳定性的定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的 作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于 零，具有恢复到原来状态的性能，则该系统是稳定的， 否则，该系统为不稳定。
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5.2 系统稳定的充要条件
N(s)
X i s
+
G1 s
➢ 劳斯判据还说明：实部为正的特征 根数，等于劳斯阵列中第一列的系 数符号改变的次数。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
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劳斯判据的表述：
1.系统闭环传递函数特征方程式的系数没有为0的， 同时都是正数。（必要条件，要想系统稳定必 须满足这个条件）
2.劳斯阵列的第一列全部为正。（充分条件）
控制系统的稳定性分析
自动控制原理
其中系数 b1 , b2 , b3 等;根据
下列公式计算：
b1
a1a 2 a 0a 3 a1
b2
a1a 4 a 0a 5 a1
b3
a1a 6 a 0a 7 a1
同样的方法可以计算c;d;e等各行的系数
自动控制原理
注意:
在展开的阵列中;为简化其后的数值计算;可用一个正整数去除 或乘某一个整行;并不影响稳定性结论; 劳斯判据还说明：方程式5 4中;其正实部特征根数;等于劳斯阵列中第一列的系数改变的次数;
自动控制原理
从乃氏图上看;Gjw不包围1;j0点
G ( jw ) 1
稳定
G ( jw )
G ( jw )
不稳定
自动控制原理
2 若开环系统不稳定;有p个零点在右半平面;q的零点在原点;npq个 零点在左半平面 则
argD K(jw)(n2pq)2
如果闭环是稳定的;则
argDb(jw)n 2
故
a r g 1 G (jw ) n ( n 2 p q ) p q
F是新引进的函数;其分母是系统开环特征多项式;分子是闭环特征多 项式;
对于非单位反馈系统;开环传递函数为
GsG' sHsM DK Kss
自动控制原理
2 乃奎斯特队稳定判据 1 若开环是稳定的;则根据米哈依洛夫定理
argDk
jwn
2
如果闭环系统稳定;有
于是
argDb
jwn
2
arg1G (jw )0o
0
0
a n1 0
0
an2 an
自动控制原理
系统稳定的充要条件是：主行列式
式 1,2, n1 ;均大于零;即
控制系统的稳定性分析
m
K P lim G S H S
S 0
1 ess 0 1 K p
1 1 ess Kv K
K v lim SG S H S K
S 0
K a lim S GS H S 0
2 S 0
1 ess Ka
S 0
静态速度误差系数
ess
1 Kv
（3）
R( s )
1 s
3
RS 1 ess lim S 2 S 0 1 G S H S lim S GS H S
S 0
K a lim S 2GS H S
S 0
静态加速度误差系数
1 ess Ka
2 S 0
1 ess 0 Kv 1 1 ess Ka K
系统 类型 0 I II
误差系数
典型输入下的稳态误差
C、结论：
1、稳态误差与输入信号形式，控制系统的类型有关。
2、在相同的输入信号作用下，增加积分环节个数、 开环放大倍数K，有利于减小稳态误差。 3、但开环增益不可无限大，会影响到稳定性及瞬态 性能，使其变差。
Sn
an
an 2
an 3
an 4
1 an an2 b1 an1 an1 an3
S
S
n 1
n2
an 1
an 5
b3
b1
b2
1 an an4 b2 an1 an1 an5
1 an1 an3 c1 b2 b1 b1
1 an1 an5 c2 b3 b1 b1
第六节
一、稳定性定义
控制系统稳定性分析
控制系统的稳定性分析
11
4.3 李雅普诺夫判稳第一方法
李氏第一法判稳思路： （间接法）
1、线性定常系统－特征值判断
2、非线性系统－首先线性化，然后用线性化
系统的特征值判断
12
二、线性定常系统
外部稳定性判据：
线性定常连续系统的传递函数是 W( s ) C ( sI - A)-1 B ，当且仅 当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否 则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周 期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。
Im
图解表示：
稳 定 区
内部稳定性判据：
临 界 稳 定
S平面 不 Re 稳 定 区
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的 根全部位于s平面的左半部。
13
[例4-6] 设系统方程为： x & 0
- 2 6 + - x u, 1 1 1
y 0 1]x
试确定其外部稳定性、内部稳定性。
[解 ] （1）系统的传递函数为：
- 6 - 2 s ( s - 2) 1 -1 ] 0 1 W( s ) C ( sI A) B 1 s + 1 1 ( s - 2)( s + 3) ( s + 3)
6
二、状态向量范数
符号
称为向量的范数， x -
xe
为状态向量
端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为 “状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式 为： x - xe ( x1 - xe1 ) 2 + ( x2 - xe 2 ) 2 + L + ( xn - xen ) 2
控制系统的稳定性分析与稳定裕度设计
控制系统的稳定性分析与稳定裕度设计控制系统的稳定性是指系统在受到外界干扰或参数变化时，是否能保持输出的稳定性和可控性。
稳定性分析与稳定裕度设计是控制系统设计与优化中非常重要的环节。
本文将介绍控制系统的稳定性分析方法和稳定裕度设计的原则与方法。
一、稳定性分析方法在控制系统中，稳定性分析的目的是确定系统的稳定性边界，也就是确定系统参数的取值范围，使系统保持稳定。
常用的稳定性分析方法有两种：频域方法和时域方法。
1. 频域方法频域方法一般基于系统的传递函数进行分析，常用的工具有Bode图和Nyquist图。
Bode图可以直观地表示系统的幅频特性和相频特性，通过分析Bode图可以确定系统的相角裕度和幅值裕度，从而判断系统的稳定性。
Nyquist图则是通过绘制系统的频率响应曲线来判断系统的稳定性。
2. 时域方法时域方法主要根据系统的差分方程进行分析，常用的工具有阶跃响应和脉冲响应。
通过分析系统的阶跃响应曲线和脉冲响应曲线，可以得出系统的超调量、调节时间和稳态误差等指标，从而判断系统的稳定性。
二、稳定裕度设计原则与方法稳定裕度是指系统在满足稳定性的前提下，能够容忍一定幅度的参数变化或干扰。
稳定裕度设计可以提高系统的鲁棒性和可靠性，常用的稳定裕度设计原则和方法有以下几点：1. 相角裕度设计相角裕度是指系统在开环传递函数的相角曲线与-180度线之间的角度差。
通常情况下，相角裕度越大表示系统的稳定性越好。
为了增加相角裕度，可以通过增大系统的增益或者增加相位补偿器的相位裕度。
2. 幅值裕度设计幅值裕度是指系统在开环传递函数的幅度曲线与0dB线之间的距离。
幅值裕度越大表示系统对参数变化和干扰的鲁棒性越好。
为了增加幅值裕度，可以通过增大系统的增益或者增加幅值补偿器的增益。
3. 稳定裕度的频率特性设计系统的稳定裕度也与频率有关，不同频率下的稳定裕度可能存在差异。
因此，需要根据系统的工作频率范围来设计稳定裕度。
在系统的工作频率范围内，要保证系统的相角裕度和幅值裕度都能满足要求。
控制系统稳定性分析及鲁棒控制设计原理
控制系统稳定性分析及鲁棒控制设计原理控制系统是现代工程中的重要组成部分，它可以用于调节和控制各种系统的运动和性能。
而控制系统的稳定性分析及鲁棒控制设计则是确保系统的可靠性和稳定性的关键环节。
在本文中，我们将深入探讨控制系统的稳定性分析方法以及鲁棒控制设计原理。
首先，我们来介绍控制系统稳定性分析的概念。
控制系统的稳定性指的是系统在扰动或参数变化的情况下，输出保持在可接受的范围内，不出现震荡或不稳定的情况。
稳定性分析的目的是通过数学方法或仿真实验，评估系统的稳定性，并找出导致系统不稳定的原因。
常见的稳定性分析方法包括传递函数法、根轨迹法和频率响应法。
其中，传递函数法通过将系统的输入和输出用传递函数来描述，然后利用传递函数的特征来判断系统的稳定性。
根轨迹法则是基于根轨迹的变化规律来判断系统的稳定性，它将系统的传递函数所对应的特征方程的根随着参数的变化而绘制成一条曲线，通过观察根轨迹的形状来判断系统的稳定性。
频率响应法是通过分析系统在不同频率下的响应特性来判断系统的稳定性，常见的频率响应方法有Bode图法和Nyquist图法。
在控制系统的设计过程中，除了要考虑系统的稳定性外，还必须考虑系统的鲁棒性。
所谓鲁棒控制，是指控制系统能够保持其性能指标在扰动和不确定性情况下的稳定性和鲁棒性。
要实现鲁棒控制，首先需要对系统的不确定性进行建模，比如参数不确定性和扰动影响等。
然后，通过鲁棒控制设计原理来设计控制器，使得系统在不同不确定性和扰动情况下都能够保持稳定。
鲁棒控制设计的原理包括H∞控制、μ合成、滑模控制等。
H∞控制是一种基于最优控制理论的鲁棒控制方法，它通过将控制系统的目标函数最小化来设计控制器，在保证系统的稳定性的同时最大化系统的鲁棒稳定裕度。
μ合成是一种基于频域理论的鲁棒控制设计方法，它通过在系统的频域响应函数上引入一个参数μ来权衡系统的强鲁棒性和性能指标。
滑模控制是一种通过引入滑模面的方式来实现鲁棒控制的方法，它通过在系统状态空间中引入一个滑模面来使系统的状态跟踪和扰动抑制的能力得到保证。
控制系统中的稳定性分析
控制系统中的稳定性分析控制系统是现代工业生产中不可或缺的一部分，它可以通过传感器采集实时数据、通过控制器对数据进行处理，进而控制被控对象的运动或状态，达到控制目的。
在控制系统中，稳定性是最基本也是最重要的性能之一，而稳定性分析是控制系统的重要组成部分。
本文将围绕控制系统中的稳定性分析进行阐述。
一、稳定性的定义稳定性是指该系统在输入外部干扰或扰动的影响下，输出的运动状态是否始终保持在某一范围内，没有出现震荡或失稳的现象。
稳定性是控制系统的最基本的性能之一，是控制系统能否正常工作的基础。
二、控制系统中的稳定性类型根据控制系统的输出，控制系统的稳定性被分为两个主要类型：渐进稳定和瞬态稳定。
1. 渐进稳定渐进稳定是指控制系统在受到外界扰动后输出逐渐趋于稳定的情况。
在控制系统中，一个标准的渐进稳定系统应该满足以下三个条件：（1）系统输出必须有界；（2）当外界干扰为零时系统输出应该收敛于一个固定的值；（3）系统必须不具有周期性行为。
2. 瞬态稳定瞬态稳定是指控制系统在受到外界干扰后，输出通过系统自身调节能够在短时间内恢复到初始状态。
对于瞬态稳定的控制系统，在外界扰动干扰之后，系统应该在一定的时间范围内就能够恢复到稳态，并不受外界扰动的影响。
三、稳定性分析方法1. 时域分析法时域方法是根据系统传递函数展开的分析方法，它可以通过对系统传递函数进行分析，从而得出系统的稳定性状态。
时域方法的主要思路是，将系统的传递函数加上一个扰动，观察系统的反应，并根据系统的反应进行分析。
2. 频域分析法频域方法是根据系统的频率特性展开的分析方法，它可以通过对系统在不同频率下的响应进行分析，从而得出系统的稳定性状态。
频域方法的核心思想是，根据系统的传递函数得到其频率响应，然后通过求解系统的幅频特性曲线和相频特性曲线，来判断系统的稳定性情况。
四、稳定性分析技术1. 极点分析法极点分析法是一种基于控制理论的分析方法，它可以将系统的传递函数分解为多个一次项的乘积，然后分析每个一次项的为稳定极点，找出系统的稳定性状况。
控制系统的稳定性分析分解课件
目 录
• 控制系统稳定性分析方法 • 控制系统稳定性判据 • 控制系统稳定性优化方法 • 控制系统稳定性实例分析 • 控制系统稳定性总结与展望
01 引言
控制系统稳定性概念
01
02
03
稳定性定义
控制系统在受到外部扰动 后，能否恢复到平衡状态 的能力。
稳定性分类
根据系统性质不同，可分 为渐近稳定、指数稳定、 BIBO稳定等。
实例一：机械臂控制系统稳定性分析
01
02
03
04
系统建模
建立机械臂的动力学模型，包 括电机、减速器等组件的动力
学方程。
稳定性判据
应用劳斯判据或奈奎斯特判据 等方法，判断系统的稳定性。
控制器设计
设计合适的控制器，如PID控 制器，以保证系统的稳定性。
仿真与实验
通过仿真和实验验证控制器的 有效性，并对系统稳定性进行
定性。
超前校正优点
03
校正后系统带宽增宽，动态性能提高，对高频噪声有抑制作用。
滞后校正
滞后校正网络
采用RC电路构成的滞后网络，降低系统高频部分的增益，提高 相位裕量。
滞后校正原理
通过牺牲系统带宽来换取更大的相位裕量，从而提高系统稳定性。
滞后校正优点
对低频段增益影响较小，可保持系统稳态精度，同时有效抑制高 频噪声。
稳态误差分析
通过计算系统的稳态误差来分析系 统的稳定性和精度，包括静态误差 系数法、终值定理法等。
动态性能分析
通过分析系统的动态性能指标（如 调节时间、超调量等）来评估系统 的稳定性，常用的方法有相平面法、 时域响应法等。
频域分析法
奈奎斯特稳定判据
控制系统的稳定性分析与设计
控制系统的稳定性分析与设计控制系统的稳定性是控制工程中最为重要的一个参数之一。
一个稳定的控制系统能够使得系统在经过一定的时间后回到原点，而不会发生不可控的偏差，从而保证控制效果的稳定性和可靠性。
本文将从系统稳定性的原理和方法、设计方法及案例等方面探讨控制系统的稳定性分析与设计。
一、系统稳定性的原理和方法1. 系统稳定性的定义系统稳定性指的是系统在外界干扰或参数变化的作用下，回应输出信号与输入信号之间的关系是否稳定。
即在一定时间内，控制系统确保输出值能够跟随输入值的变化，而不会发生不可控的震荡或失控的情况。
2. 系统稳定性的判据良好的系统稳定性需要满足以下条件：（1）经过一定时间后，系统从任何初始状态转移到平衡状态；（2）平衡状态具有稳定性，即系统在发生一定幅度的干扰时，需要在一定时间内回复到原平衡状态；（3）平衡状态的稳定性受到系统参数变化、外界环境变化等多种因素的影响，但是通过合理的调节和控制，使得系统在变化后仍能保持稳定。
3. 系统稳定性的分析方法（1）指标法：它是利用特定的指标量来描述系统的稳定状态，比如阻尼系数、频率响应等。
（2）相关函数法：它是利用系统的特性函数或者频率响应函数来描述系统的稳定性。
（3）传递函数法：传递函数描述输入信号与输出信号之间的关系，可以通过传递函数的特性分析系统的稳定性。
（4）极点分布法：分析系统的极点分布情况，确定系统的极点位置以及极点位置对系统稳定性的影响。
二、控制系统的稳定性设计方法1. PID控制器的设计方法PID控制器是目前使用最为广泛的控制器，它可以通过调节比例系数、积分系数和微分系数来达到控制系统的稳定性。
在进行PID控制器的设计时，需要进行以下步骤：（1）确定控制系统的传递函数；（2）确定控制系统的目标响应曲线；（3）通过目标响应曲线和传递函数设计出PID控制器；（4）进行仿真或实验验证控制系统的稳定性。
2. 模糊控制器的设计方法模糊控制器是一种基于模糊推理的控制器，它可以通过调节模糊逻辑的输入变量和输出变量来达到不同的控制效果。
控制系统稳定性分析
控制系统稳定性分析引言控制系统是一种通过控制输入信号以达到预期输出的系统。
在实际应用中，控制系统的稳定性是非常重要的，因为它直接关系到系统的可靠性和性能。
本文将介绍控制系统稳定性分析的基本概念、稳定性判据以及常见的稳定性分析方法。
基本概念在控制系统中，稳定性是指系统的输出在输入信号发生变化或扰动时，是否能够以某种方式趋向于稳定的状态，而不产生超调或振荡。
在进行稳定性分析之前，我们需要了解几个重要的概念。
稳定性定义对于一个连续时间的线性时不变系统，如果对于任意有界输入信号，系统的输出始终有界，则称该系统是稳定的。
换句话说，稳定系统的输出不会发散或趋向于无穷大。
极点（Pole）系统的极点是指其传递函数分母化简后得到的方程的根。
极点的位置对系统的稳定性有很大的影响，不同的极点位置可能使得系统的稳定性不同。
范围稳定性（Range Stability）当输入信号有界时，系统的输出也保持有界，即系统是范围稳定的。
渐进稳定性（Asymptotic Stability）当输入信号趋向于有界时，系统的输出也趋向于有界，即系统是渐进稳定的。
稳定性判据稳定性判据是用来判断控制系统是否稳定的方法或准则。
常见的稳定性判据有：Routh-Hurwitz判据、Nyquist判据以及Bode稳定判据。
Routh-Hurwitz判据Routh-Hurwitz稳定性判据是一种基于极点位置的方法。
具体步骤如下：1.根据系统的传递函数确定极点。
2.构造Routh表。
3.根据Routh表的符号判断系统的稳定性。
Nyquist判据Nyquist稳定性判据是一种基于频率响应的方法。
具体步骤如下：1.根据系统的传递函数绘制频率响应曲线。
2.根据频率响应曲线的特征判断系统稳定性。
Bode稳定判据Bode稳定判据是一种基于系统的幅频特性和相频特性的方法。
具体步骤如下：1.根据系统的传递函数绘制Bode图。
2.根据Bode图的特征判断系统稳定性。
稳定性分析方法除了以上的稳定性判据外，还有一些常用的稳定性分析方法可以应用于控制系统的稳定性分析。
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自动控制理论实验报告
实验题目控制系统的稳定性分析
一、实验目的
1．观察系统的不稳定现象。
2．研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响。
二、实验仪器
1．EL-AT-II型自动控制系统实验箱一台
2．计算机一台
三、系统模拟电路图
系统模拟电路图如图3-1
图3-1 系统模拟电路图R3=0～500K； C=1μf或C=0.1μf两种情况。
四、实验报告
1．根据所示模拟电路图，求出系统的传递函数表达式。
G(S)=
K=R3/100K,T=CuF/10
自动控制理论实验报告
2．绘制EWB 图和Simulink 仿真图。
3．根据表中数据绘制响应曲线。
4．计算系统的临界放大系数，确定此时R3的值，并记录响应曲线。
自动控制理论实验报告
自动控制理论实验报告
自动控制理论实验报告
实验和仿真结果
1．根据表格中所给数据分别进行实验箱、EWB或Simulink实验，并进行实验曲线对比，分析实验箱的实验曲线与仿真曲线差异的原因。
对比：
实验曲线中R3取实验值时更接近等幅振荡，而MATLAB仿真时R3取理论值更接近等幅振荡。
原因：
MATLAB仿真没有误差，而实验时存在误差。
2．通过实验箱测定系统临界稳定增益，并与理论值及其仿真结果进行比较
（1）当C=1uf，R3=200K(理论值)时，临界稳态增益K=2，
当C=1uf，R3=220K(实验值)时，临界稳态增益K=2.2，与理论值相近（2）当C=0.1uf，R3=1100K(理论值)时，临界稳态增益K=11
当C=0.1uf，R3=1110K(实验值)时，临界稳态增益K=11.1，与理论值相近
四、实验总结与思考
1．实验中出现的问题及解决办法
问题：系统传递函数曲线出现截止失真。
解决方法：调节R3。
2．本次实验的不足与改进
遇到问题时，没有冷静分析。
考虑问题不够全面，只想到是实验箱线路的问题，而只是分模块连接电路。
改进：在实验老师的指导下，我们发现是R3的取值出现了问题，并及时解决，后续问题能够做到举一反三。
3．本次实验的体会
遇到问题时应该冷静下来，全面地分析问题。
遇到无法独立解决的问题，要及时请教老师，
自动控制理论实验报告把问题弄懂。