人教版数学高中必修一《函数模型的应用实例》教学设计
课题：§3.2.2函数模型的应用实例(Ⅰ)
教学目标：
知识与技能能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题．
过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性．
情感、态度、价值观体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值．
教学重点难点：
重点运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题．
难点运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．
教学程序与环节设计：
创设情境组织探究探索研究巩固反思作业回馈课外活动实际问题引入，激发学习兴趣．
以实际应用问题为载体，体会选择变量、建立模型，解决实际问题的的思想与方法．
结合例题的探究方法，总结运用函数概念建立模型的过程和方法，形成结论性报告．
师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求
解方法步骤．
强化基本方法，规范基本格式．
运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，了解函数模型的广泛应用．
教学过程与操作设计：
环节教学内容设计师生双边互动
创设情境
大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子
算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，
上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”
这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子
里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十
四只脚。
求笼中各有几只鸡和兔？你知道孙子是如
何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更
好的方法？
原来孙子提出了大胆的设想。
由此可见我们所学过的方程、函数，在现实生活
中都有着广泛的应用，怎样才能从实际问题入手，
运用所学知识，通过抽象概括，建立数学模型来解
决实际问题呢？
师：介绍孙子的大胆解
法：他假设砍去每只鸡
和兔一半的脚，则每只
鸡和兔就变成了“独
脚鸡”和“双脚兔”。
这样，“独脚鸡”和
“双脚兔”脚的数量
与它们头的数量之差，
就是兔子数，即：47－
35=12；鸡数就是：35
－12=23。
激发学生学
习兴趣，增强其求知欲
望．
生：用方程的思想解答
“鸡兔同笼”问题．
组织探究
材料一：一次函数、二次函数的应用举例
例1．某列火车从北京西站开往石家庄，全程
277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h
匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶
的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行
驶的路程．
探索：
1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围
怎样；
2）所涉及的变量的关系如何？
3）写出本例的解答过程．
例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价
20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠
办法：
1）买一只茶壶赠送一只茶杯；
2）按总价的92%付款．
某顾客需买茶壶4只，茶杯若干（不少于4只），
若购买茶杯x（只）付款y（元），试分别建立两种
优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾
客买同样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱？
师：引导学生独立思
考，完成解答．引导学
生分析自变量t的取值
范围（即函数的定义
域），注意t的实际意
义．
生：独立思考，完成解
答，并进行讨论、交流、
评析．
师：本例从现实生产、
生活实际出发，要引导
学生认识到数学与实
际的联系，体会数学的
实用价值，享受数学的
应用美．
生：正确理解题意，认
真思考、讨论，交流做
法，给出解答．
环节教学内容设计师生双边互动
组织探究
探索：
1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数
模型来描述？
2）本例涉及到几个函数模型？
3）如何理解“更省钱？”；
4）写出具体的解答过程．
师：注意提醒学生对于
应用题一定要回来到
实际问题中作答．
师：引导学生认识：数
学模型是用数学语言
模拟现实的一种模型，
它把实际问题中某些
事物的主要特征和关
系抽象出来，并用数学
语言来表达．数学模型
可采用各种形式，如方
程（组），函数解析式，
图形与网络等．
例3．某农家旅游公司有客房300间，每间日房
租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高
租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就
会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金
提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
探索：
1）本例涉及到哪些数量关系？
2）应用如何选取变量，其取值范围又如何？
3）应当选取何种函数模型来描述所选变量的
关系？
4）“总收入最高”的数学含义如何理解？
[略解：]
设客房日租金每间提高x个2元，则每天客房
出租数为300-10x，
由x>0，且300-10x>0得：0<x<30
设客房租金总收入元，则有：老派
)
10
300
)(
2
20
(x
x
y-
+
=
8000
)
10
(
202+
-
-
=x（0<x<30）
由二次函数性质可知当x=10时，y max=8000．
所以当每间客房日租金提高到20+10×2=40元
时，客户租金总收入最高，为每天8000元．
师：注意引导学生分析
题目中所涉及的各数
量关系，及其之间的关
系．
生：思考如何选取变
量，建立不同的函数模
型．
师：引导学生注意本例
由于客房间数不太多，
为了理解本应用题，可
以选用列表法求解．
师：注意引导学生恰当
选取变量，简化函数模
型，如可设客房日租金
每间提高x个2元．
生：仔细分析题意，根
据老师的引导启发，选
取适当的变量，建立恰
当的函数模型，进行解
答，然后交流、进行评
析．
环节呈现教学材料师生互动设计
组织探究例4．教材P123例5．
（仿照例3给出例4的解答过程）
生：仿照例3给出例4
的解答过程，然后讨
论、交流，并进行评析．
探究与发现
根据前面例题的探索研究，总结运用函数概念
建立模型研究解决某些实际问题的过程和方法：
1）建立实际问题中的变量之间的函数关系，从
而将实际问题转化为函数问题；
2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的
解答；
3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的
解，从而解决实际问题．
师：引导学生注意在将
实际问题向数学问题
的转化过程中，能画图
的要画图，可借助于图
形的直观性，研究两变
量间的联系．抽象出数
学模型时，注意实际问
题对变量范围的限制．
巩固与反思
尝试练习：
1）某单位计划10月份组织员工到H地旅游，人数估计在10~25人之间．甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元，甲旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠；乙旅行社表示先免去一位旅客的旅游费用，其余游客八折优惠．问该单位怎样选择，使其支付的旅游费用较少？
2）某商店如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售100件，现在商店用提高出售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品涨价1元，其销售量就减少10件，问该商店将出售价定为多少才能使每天赚得的利润最大？并求出最大利润．
3）要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价．
小结与反思：
共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤．
环节呈现教学材料师生互动设计
作
业与回馈教材P127
习题3．2（A组）第6、7题；
课外活动
设计并解决一个生活中的一次函数或二次函数
的应用性问题．运用函数思想理
解和处理现实生活和
社会中的简单问题，了
解函数模型的广泛应
用．。
高中数学必修一教案-函数模型的应用实例
《函数模型的应用实例》一、教学内容分析：本节课选自人民教育出版社A版的普通高中课程标准实验教科书·数学必修1中3．2．2函数模型的应用实例（第二课时）．函数基本模型的应用是本章的重点内容之一，函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题．本节课的内容是在《几类不同增长的函数模型》和《函数模型的应用实例（一）》内容之后，对于纯数学知识的几类函数及其性质和给定的函数模型应用有了一定的学习，本节课是对以上两节内容的延续与拓展，研究没有给定函数模型或没有确定性函数模型的实际问题进行建模和应用．这节课的内容继续通过一些实例来感受函数模型的建立和应用，逐步体会实际问题中构建函数模型的过程，本节课的函数模型的应用实例主要包括建立确定性函数模型解决问题及选择或建立拟合函数模型解决问题．例5所给的问题的特点是表中数学的变化是有特定规律的，运用表中的数据规律建立数学模型，注意变化范围和检验结果的合理性，同时使用这种有规律的简单数据实例提供了建立数学模型的方法．例6与例5有所区别，表中数据的变化规律特点不是和明显，需要自己根据对数据的理解选择模型，这反映一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，让学生逐步感受和明确这一点．整节课要求学生分析数据，比较各个函数模型的优劣，选择接近实际的函数模型，并应用函数模型解决实际问题．强化读图、读表能力；优化学生思维，提高学生探究和解决问题的能力；强化学生数学应用意识，感受数学的实用性；锻炼学生的吃苦精神，提高学生的团队合作能力．二、教学目标：知识与技能：1．会分析所给出数据，画出散点图．2．会利用选择或建立的函数模型．3．会运用函数模型解决实际问题．过程与方法：1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性．2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，在合理选择部分数据或计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析式，并应用模型解决实际问题．情感、态度和价值观：1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服务生活，体会数学的应用价值．2．培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度．3．提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度．三、学生学情分析：1．已掌握了一些基本初等函数的相关知识，有相应的数学基础知识储备．2．在前面的学习中，初步体会了利用给定函数模型解决实际问题的经历，为本节课积累解决问题的经验．3．学生从文字语言向图像语言和符号语言转化较弱；应用意识和应用能力不强；抽象概括和局部处理能力薄弱．四、教学重点、难点重点：根据收集的数据作出散点图，并通过观察图像选择问题所适用的函数模型，利用演算或计算机数据建立具体的函数解析式．难点：怎样合理分析数据选择函数模型和建立具体的函数解析式．五、教学策略分析：基于新课程标准倡导以学生为主体进行探究性学习，教师应成为学生学习的引导者、组织者和合作者的教学理念和最近发展区理论，结合本节课的教学目标，采用如下教学方法：1．问题教学法．在例1的教学中，提出如何能更为直观的发现函数模型，引导学生思考，发现选择函数模型的重要方法，即散点图图像，从而让学生有收获，有成就感．在例2的解决过程中，提出一系列的问题串，学会对问题的剖析，直达问题的核心．使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，并使学生从中体会学习的兴趣．这样可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃，同时培养了学生自主学习，动手探究的能力．2．分组讨论法．在例2的教学中，遇到难以选择模型时，通过小组讨论，拓展思维，加强合作，解决问题；在获得函数模型后和课堂总结中，组织小组讨论，相互交流成果，扩大成果影响力．这样不仅能够培养学生对数学知识的探索精神和团队协作精神，更能让学生体验成功的乐趣，培养其学习的主动性．3．多媒体辅助教学法：在教学过程中，采用多媒体教学工具，通过动态演示有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。
人教A版(2023)高中数学必修第一册4.5.3函数模型的应用 教学设计
人教A版（2023）高中数学必修第一册4.5.3函数模型的应用教学设计第四章指数函数与对数函数4.5 函数模型的应用（一）一、内容与内容解析1.内容教科书例3 和例4，利用已知函数模型解决实际问题的基本过程。
2.内容解析函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。
本节课是函数模型的应用的第1课时，是在学生学习了函数的概念和性质，学习了幂函数、指数函数、对数函数后的综合应用。
通过比较指数函数、对数函数、线性函数等函数模型的增长速度的差异，进一步理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，并依此利用合适的函数模型、刻画现实问题的变化规律。
本节课的学习，既是前面学习过的函数有关知识的综合应用，也可以让学生体会利用数学函数模型解决实际问题的一般过程。
在此过程中，激发应用数学的意识，逐步形成分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象、数学建模等素养。
本节课的教学重点：利用已知函数模型解决实际问题，初步体验数学建模的基本步骤。
二、目标与目标解析1.目标能将具体的实际问题化归为函数问题，并能通过分析函数图像及表格数据了解相应的对数函数、线性函数、指数函数的变化差异，正确利用合适的函数模型解决实际问题，提升数学抽象、数学建模等素养。
2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）能明确教科书例3 中的数学关系，认识指数增长模型；（2）能利用教科书中的例题数据，求解模型中的年平均增长率；（3）检验求得的模型并作出预测，提升学生的数学建模素养。
三、教学问题诊断分析首先，学生在本节课之前已经结合实例学习了几类函数的概念、图像和性质，并应用它们解决学科内的一些问题和一些简单的实际问题。
教学时可以多从两个方面帮助学生克服困难：一是根据实际问题的条件建立等量关系，从而将实际问题抽象为数学问题；二是从数和形出发，定性和定量地分析实际问题的变化规律。
(1)其次，在利用函数模型解决问题的过程中，大多数学生还没有养成利用信息技术根据函数模型进行运算求解的良好习惯。
人教版教材高中数学必修一《函数模型的应用实例》教案
3.2.3 函数模型的应用实例（一）（一）教学目标1．知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题.2．过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力.3．情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.（二）教学重点、难点一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点.（三）教学方法本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导的方法进行教学.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入回顾一次函数和二次函数的有关知识.教师提出问题，学生回答.师：一次函数、二次函数的解析式及图象与性质.生：回答上述问题.以旧引新，激发兴趣.应用举例1．一次函数模型的应用例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程.教师提出问题，让学生读题，找关键字句，联想学过的函数模型，求出函数关系式.学生根据要求，完成例1的解答.例1 解：因为火车匀速运动的时间为(200 – 13)÷120 =115(h)，所以115t≤≤.因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是11130120(0).5S t t=+≤≤2h内火车行驶的路程11131206S=+⨯=233(km).通过此问题背景，让学生恰当选择相应一次函数模型解决问题，加深对函数概念本质的认识和理解.让学生体验解决实际问题的过程和方法.解题方法：1．读题，找关键点；2．抽象成数学模型；3．求出数学模型的解；4．做答.学生总结，教师完善.培养学生分析归纳、概括能力.从而初步体验解应用题的规律和方法.2．二次函数模型的应让学生自己读题，并回答下列问题：解应用题用例2 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？①题目求什么，应怎样设未知量；②每天客房的租金收入与每间客房的租金、客房的出租数有怎样的关系；③学生完成题目.法一：用列表法求解.此法可作为学生探求思路的方法，但由于运算比较繁琐，一般不用，应以法二求解为重点.对法二让学生读题，回答问题.教师指导，学生自己动手解题.师生合作由实际问题建模，让学生尝试解答.例2 解答：方法一依题意可列表如下：x y0 300×20 = 60001 (300 – 10×1)(20 + 2×1) = 63802 (300 – 10×2)(20 + 2×2) = 67203 (300 – 10×3)(20 + 2×3) = 70204 (300 – 10×4)(20 + 2×4) = 72805 (300 – 10×5)(20 + 2×5) = 75006 (300 – 10×6)(20 + 2×6) = 76807 (300 – 10×7)(20 + 2×7) = 78208 (300 – 10×8)(20 + 2×8) =79209 (300 – 10×9)(20 + 2×9) = 798010 (300 – 10×10)(20 + 2×10) = 800011 (300 – 10×11)(20 + 2×11) = 798012 (300 – 10×12)(20 + 2×12) = 792013 (300 – 10×13)(20 + 2×13) = 7820……由上表容易得到，当x = 10，即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为8000元.再提高租金，总收入就要小于8000元了.方法二设客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为y = (20 + 2x) (300 – 10x )= –20x2 + 600x– 200x + 6000= –20(x2– 20x + 100 – 100) + 6000= –20(x– 10)2 + 8000.首先要读懂题意，设计出问题指导学生审题，建立正确的数学模型.同时，培养学生独立解决问题的能力.由此得到，当x = 10时，y max = 8000.即每间租金为20 + 10×2 = 40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8000元.3．分将函数模型的应用例 3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.生：解答：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.（2）根据图，有502004,01,80(1)2054,12,90(2)2134,23,75(3)2224,34,65(4)2299,4 5.t tt ts t tt tt t+≤<⎧⎪-+≤<⎪⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎪-+≤≤⎪⎩这个函数的图象如图所示.实际应用用问题解决的一般步骤：理解问题⇒简化假设⇒数学建模⇒解答模型⇒检验模型⇒评价与应用的进一步深体.巩固练习课堂练习习题1．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h行驶路程为90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车3h所行驶的路程.习题2．已知某食品5kg价格为40元，求该食品价格与重量之间的函数关系，并求8kg食品的价格是多少元.习题3．有300m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面学生练习，师生点评.1．设汽车行驶的时间为t h，则汽车行驶的路程S km与时间t h之间的函数关系为S = vt.当t = 1.5时，S = 90，则v = 60.因此所求的函数关系为S=60t，当t = 3时，S = 180，所以汽车3h所行驶的路程为180km.2．设食品的重量为x kg，则食品的价格y元与重量x kg之间的函数关系式为y=8x，当x = 8时，y = 64，所以当8kg食品的价格为64元.3．设矩形菜地与墙相对的一边长为x cm，则另一组对边的长为3002x-m，从而矩形菜地的面积为：学生动手实践、体验所学方法，从而提升解应用题的技能.积最大？习题4．某市一种出租车标价为1.20元/km ，但事实上的收费标准如下：最开始4km 内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km 后到15km 之间，每公里收费1.20元，15km 后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f 与打车路程x 之间的函数关系.21(300)21(150)11250(0300).2S x x x x =-=--+<<当x = 150时，S max = 11250. 即当矩形的长为150m ，宽为75m 时，菜地的面积最大. 4．解：所求函数的关系式为 100410 1.2(4)41523.2 1.8(15)15x y x x x x <≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩归纳小结课堂小结解决应用用问题的步骤：读题—列式—解答. 学生总结，师生完善使学生养成归纳总结的好习惯.让学生初步掌握数学建模的基本过程. 布置作业 习题2—3B 第1、3题： 教材第71页“思考与讨论”.学生练习使学生巩固本节所学知识与方法.例1 某游艺场每天的盈利额y 元与售出的门票数x 张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？【解析】根据题意，每天的盈利额y 元与售出的门票数x 张之间的函数关系是：3.75(0400)1.251000(400600)x x y x x ≤≤⎧=⎨+≤≤⎩（1）当0≤x ≤400时，由3.75x =750，得x =200.（2）当400≤x ≤600时，由1.25x + 1000 = 750，得x = – 200 (舍去). 综合（1）和（2），盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张. 答：当天售出的门票数为200张时盈利额为750元. 例2投资A 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润 (万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润 (万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A B 两种商品各多少才最合算. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.y = –a (x – 4)2 + 2 (a＞0) ①y = bx②把x = 1，y = 0.65代入①式，得0.65 = –a (1 – 4)2 + 2，解得a = 0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y = – 0.15(x– 4)2 + 2表示，再把x = 4，y = 1代入②式，得b = 0.25，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y = 0.25x表示.设下月投资A种商品x万元，则投资B种商品为(12 –x)万元，可获纯利润y = – 0.15 (x– 4)2 + 2 + 0.25 (12 –x)= – 0.15x2 + 0.95x + 2.6，当0.952(0.15)x-=⨯-≈3.2时，2max 4(0.15) 2.60.954(0.15)y⨯-⨯-=⨯-≈4.1.故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元.【评析】幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现，要注意y = x2变换到y = a (x –m)2 + b后发生的变化.。
高中数学3.2.2函数模型的应用实例第1课时教学设计新人教A版必修1-经典通用宝藏文档
函数模型的运用实例(第一课时)【教学设计】一、教学内容本课是普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的运用实例的第一课时。
经过对例3，例4的教学让先生学习领会利用已知的函数模型解决成绩和建立确定的函数模型解决理论成绩，进而掌握建立数学模型解决理论成绩的普通步骤。
二、教学目标知识与技能目标：1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，发掘隐含条件，建立函数模型；2.领会分段函数模型的理论运用，规范分段函数的标准方式；3.掌握用待定系数法求解已知函数类型的函数模型；4.学会验证数学模型与理论情况能否吻合的方法及运用数学模型进行预测。
5.会利用建立的函数模型解决理论成绩，掌握求解函数运用题的普通步骤；6.培养先生浏览理解、分析成绩、数形结合、抽象概括、数据处理、数学建模等数学能力.过程与方法目标：1.经过实例分析，巩固练习,结合多媒体教学，培养先生读图的能力；2.经过实例使先生感受函数的广泛运用，领会建立函数模型解决理论成绩的普通过程；3.浸透数形结合、转化与化归等数学思想方法.情感、态度与价值观目标：1.经过切身感受数学建模的过程，让先生体验数学在理论生活中的运用，领会数学来源于生活又服务于生活，体验数学在解决理论成绩中的价值和作用，激发学习数学的兴味与动力，加强学好数学的认识。
2.培养先生的应意图识、创新认识和勇于探求、勤于考虑的精神，优化先生的理性思想和求真务虚的科学态度。
三、教材分析本课时共有2个例题，其中例3是根据图形信息建立确定的函数模型解决理论成绩；例4 是利用已知的确定的函数模型解决理论成绩，并验证求解出的数学模型与理论情况的吻合程度及用数学模型进行预测。
分别在汽车和人口成绩这两种不同运用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决理论成绩.教学重点1.根据图形信息建立函数模型解决理论成绩.2.用待定系数法求解函数模型并运用.3.将理论成绩转化为数学成绩的过程。
高中数学必修一《函数模型的应用实例》教学设计
3.2.2函数模型的应用实例[学习目标] 1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.知识点一常见函数模型知识点二解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.这些步骤用框图表示如图：题型一一次函数、二次函数模型例1某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为()A.30元B.42元C.54元D.越高越好答案B解析设每天获得的利润为y元，则y＝(x－30)(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，∴当x＝42时，获得利润最大，应定价为42元.反思与感悟 一次函数、二次函数均是重要的函数模型，特别是二次函数模型在函数建模中占有重要的地位.利用二次函数求最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 跟踪训练1 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( ) A.310元 B.300元 C.290元 D.280元答案 B解析 由题意可知，收入y 是销售量x 的一次函数，设y ＝ax ＋b ，将(1,800)，(2,1 300)代入，得a ＝500，b ＝300.当销售量为x ＝0时，y ＝300.题型二 指数型函数、对数型函数模型例2 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量.(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解 (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log 2Q10.解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位. (2)将耗氧量Q ＝80代入公式得： v ＝5log 28010＝5log 28＝15 (m/s)，即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15 m/s.反思与感悟 指数型函数模型：y ＝ma x ＋b (a >0且a ≠1，m ≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.对数型函数模型：y ＝m log a x ＋c (m ≠0，a >0且a ≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.跟踪训练2 某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出经过x 年后，该城市人口总数y (万人)与x (年)的函数关系； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算经过多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年).(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301 0，lg 1.012≈0.005) 解 (1)2009年底人口总数为100万人，经过1年，2010年底人口总数为100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，经过2年，2011年底人口总数为100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2， 经过3年，2012年底人口总数为100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3， ……所以经过x 年后，该城市人口总数为100×(1＋1.2%)x ， 所以y ＝100×(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为 100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人). (3)由题意得100×(1＋1.2%)x >120，两边取常用对数得lg [100×(1＋1.2%)x ]>lg 120， 整理得2＋x lg 1.012>2＋lg 1.2，得x ≥16， 所以大约16年以后，该城市人口将达到120万人. 题型三 分段函数模型例3 如图所示，等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2，BC ＝1，∠BAD ＝45°，直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域和值域.解 如图，过B ，C 分别作AD 的垂线，垂足分别为H 和G ，则AH ＝12，AG ＝32，当M 位于H 左侧时，AM ＝x ，MN ＝x ， ∴y ＝S △AMN ＝12x 2，0≤x <12.当M 位于H ，G 之间时，y ＝12AH ·HB ＋HM ·MN ＝12×12×12＋(x －12)×12＝12x －18，12≤x <32.当M 位于G ，D 之间时，y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝12×12×(2＋1)－12(2－x )(2－x )＝－12x 2＋2x －54，32≤x ≤2.∴所求函数的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，0≤x <12，12x －18，12≤x <32，－12x 2＋2x －54，32≤x ≤2.∴函数的定义域为[0,2]，值域为[0，34].反思与感悟 1.分段函数模型是日常生活中常见的函数模型.对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的定义域的表示方法，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”.2.解决分段函数问题需注意几个问题：(1)所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域.(2)求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上的解析式来计算函数值.(3)一般地，分段函数由几段组成，必须注意考虑各段的自变量的取值范围. 跟踪训练3 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力(f (x )值越大，表示接受的能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式： f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0＜x ≤10，59，10＜x ≤16，－3x ＋107，16＜x ≤30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5 min 与开讲后20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min 时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？ 解 (1)当0＜x ≤10时，f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9. 故f (x )在(0,10]上单调递增，最大值为 f (10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59； 当16＜x ≤30时，f (x )单调递减， f (x )＜－3×16＋107＝59.因此，开讲后10 min ，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min. (2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5， f (20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f (5).因此，开讲后5 min 学生的接受能力比开讲后20 min 强一些.(3)当0＜x≤10时，令f(x)＝55，则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.所以x＝20或x＝6.但0＜x≤10，故x＝6.当16＜x≤30时，令f(x)＝55，则－3x＋107＝55.所以x＝17 1 3.因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17 13－6＝1113＜13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.题型四拟合函数模型的应用例4为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示.(1)(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，求最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉的土地数量.解(1)描点作图如图甲.(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝ax＋b.取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧21.1＝10.4a ＋b ，45.8＝24.0a ＋b ，用计算器可算得a ≈1.8，b ≈2.4.这样，我们得到一个函数模型y ＝1.8x ＋2.4.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.(3)由y ＝1.8×25＋2.4，求得y ＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.4 hm 2. 反思与感悟 对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤：(1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据. 跟踪训练4 我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份 1999 2000 2001 2002 x /年 0 1 2 3 生产总值8.206 78.944 29.593 310.239 8(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较.解 (1)画出函数图形，如图.从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上. 设所求的函数为y ＝kx ＋b ，把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式， 解方程组，可得k ＝0.677 7，b ＝8.206 7. 因此，所求的函数关系式为 y ＝f (x )＝0.677 7x ＋8.206 7.(2)由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为f (1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4， f (2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1.与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元.建立函数模型时忽略自变量的取值范围致误例5 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.旅行社需付给航空公司包机费每团15 000元. (1)写出飞机票的价格y (单位：元)关于人数x (单位：人)的函数关系式； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解 (1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，900－10(x －30)，30<x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，1 200－10x ，30<x ≤75.(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，x (1 200－10x )－15 000，30<x ≤75， 即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，－10(x －60)2＋21 000，30<x ≤75.因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为增函数， 所以当x ＝30时，S 取最大值12 000元， 又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上， 当x ＝60时，S 取得最大值21 000.故当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润.纠错心得 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错.(2)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题.跟踪训练5 某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需要量为500件，销售收入为函数R (x )＝5x －x 22(0≤x ≤5)万元，其中x 是产品售出的数量(单位：百件). (1)把利润表示为年产量的函数f (x )；(2)年产量为多少时，当年公司所得利润最大？ 解 (1)设年产量为x (百件)，当0≤x ≤5时，f (x )＝5x －x 22－(0.5＋0.25x )；当x >5时，销售收入为252万元，此时f (x )＝252－(0.5＋0.25x )＝12－0.25x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 22＋194x －12，0≤x ≤5，12－0.25x ，x >5.(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－12(x －4.75)2＋10.781 25；当x >5时，函数f (x )为单调递减函数. ∴当年产量为475件时，公司所得利润最大.1.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.A.y ＝log 2xB.y ＝2xC.y ＝x 2D.y ＝2x答案 B解析 逐个检验可得答案为B.2.一辆匀速行驶的汽车90 min 行驶的路程为180 km ，则这辆汽车行驶的路程y (km)与时间t (h)之间的函数关系式是( ) A.y ＝2t B.y ＝120t C.y ＝2t (t ≥0) D.y ＝120t (t ≥0) 答案 D3.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )答案 D4.里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍. 答案 6 10 000解析 由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg 1 000－lg 0.001＝6，所以此次地震的级数为6级.设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝(lg A 1－lg A 0)－(lgA 2－lg A 0)＝9－5＝4.所以A 1A 2＝104＝10 000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍.5.用一根长为12 m 的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是____ m 2. 答案 9解析 设矩形的一边长为x m ， 则与这条边垂直的边长为12－2x2m ，所以矩形面积S ＝x ·12－2x2＝－x 2＋6x (0<x ≤6)，当x ＝3 m 时，S 最大＝9 m 2.1.函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决实际问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题.2.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.3.在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化.4.根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示.一、选择题1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x 次后得到细胞的个数y 与x 的函数关系是( ) A.y ＝2x B.y ＝2x －1 C.y ＝2x D.y ＝2x ＋1答案 D解析 分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x 次后y ＝2x＋1个.2.某厂日产手套的总成本y (元)与手套日产量x (副)的关系为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( ) A.200副 B.400副 C.600副 D.800副答案 D解析 由5x ＋4 000≤10x ，得x ≥800，即日产手套至少800副才不亏本.3.某种商品零售价2015年比2014年上涨25%，欲控制2016年比2014年上涨10%，则2016年比2015年应降价( ) A.15% B.12% C.10% D.50% 答案 B解析 设2016年比2015年降价x ，则有关系式 (1＋25%)(1－x )＝1＋10%， ∴54(1－x )＝110100，∴x ＝0.12.故选B. 4.已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t 的函数，解析式是( ) A.x ＝60t B.x ＝60t ＋50tC.x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)，150(2.5<t ≤3.5)，150－50(t －3.5)(3.5<t ≤6.5)D.x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)，150－50t (t >3.5)答案 C解析 应分三段建立函数关系，当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ； 当2.5<t ≤3.5时，汽车与A 地的距离总是150； 当3.5<t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5).5.某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( ) A.a ＝45，b ＝－30 B.a ＝30，b ＝－45 C.a ＝－30，b ＝45 D.a ＝－45，b ＝－30答案 A解析 设生产x 吨产品全部卖出，获利为y 元， 则y ＝xQ －P ＝x ⎝⎛⎭⎫a ＋x b －⎝⎛⎭⎫1 000＋5x ＋110x 2 ＝⎝⎛⎭⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x ＞0).由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －52⎝⎛⎭⎫1b －110＝150，a ＋150b＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.6.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( ) A.125 B.100 C.75 D.50 答案 C解析 由已知，得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k ＝⎝⎛⎭⎫49501. 设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e 1-kt ， ∴827＝(e －k )1t ＝⎝⎛⎭⎫49150t，∴t 150＝32，t 1＝75. 二、填空题7.已测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好. 答案 甲解析 对于甲：x ＝3时，y ＝32＋1＝10，对于乙：x ＝3时，y ＝8，因此用甲作为拟合模型较好.8.已知元素“碳14”每经过5 730年其质量就变成原来的一半.现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有________年.(注：精确到个位，lg 2≈0.301 0，lg 4.1≈0.613) 答案 7 400解析 设距现在为x 年，则有(12)5730x＝41%，两边取对数，利用计算器可得x ≈7 400.9.已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·(0.5)x ＋b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品产量为________万件. 答案 1.75解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝a ·(0.5)1＋b ，1.5＝a ·(0.5)2＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2， ∴y ＝－2×0.5x ＋2，∴3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75万件.10.如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系y ＝a t ，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2； ③浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要经过1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等. 其中正确的命题序号是________. 答案 ①②解析 由图象知，t ＝2时，y ＝4， ∴a 2＝4，故a ＝2，①正确； 当t ＝5时，y ＝25＝32＞30，②正确； 当y ＝4时，由4＝2t 1知t 1＝2，当y ＝12时，由12＝2t 2知t 2＝log 212＝2＋log 23. t 2－t 1＝log 23≠1.5，③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误. 三、解答题11.某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价与日销售量的关系如下表：解 设每桶水在进价的基础上上涨x 元，利润为y 元，由表格中的数据可以得到，价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x 元后，日销售的桶数为 480－40(x －1)＝520－40x ＞0，所以0＜x ＜13， 则利润y ＝(520－40x )x －200＝－40x 2＋520x －200 ＝－40(x －132)2＋1 490，其中0＜x ＜13，所以当x ＝6.5时，利润最大，即当每桶水的价格为11.5元时，利润最大值为1 490元.12.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·⎝⎛⎭⎫12th，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到35 ℃时，需要多少时间？ 解 由题意知40－24＝(88－24)·⎝⎛⎭⎫1220h ， 即14＝⎝⎛⎭⎫1220h，解得h ＝10.故T －24＝(88－24)·⎝⎛⎭⎫1210t. 当T ＝35时，代入上式，得 35－24＝(88－24)·⎝⎛⎭⎫1210t， 即⎝⎛⎭⎫1210t＝1164.两边取对数，用计算器求得t ≈25. 因此，约需要25 min ，可降温到35℃.13.今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：小时)间的关系为P ＝P 0e －kt (P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中P 0为t ＝0时的污染物数量.若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物.(1)求常数k 的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11.) 解 (1)由已知，当t ＝0时，P ＝P 0； 当t ＝5时，P ＝90%P 0. 于是有90%P 0＝P 0e－5k.解得k ＝－15ln 0.9(或0.022).(2)由(1)得，P ＝1ln0.950⎛⎫⎪⎝⎭t P e.当P ＝40%P 0时，有0.4P 0＝1ln0.950⎛⎫⎪⎝⎭t P e.解得t ＝ln 0.415ln 0.9≈－0.9215×(－0.11)＝4.600.11≈41.82.故污染物减少到40%至少需要42小时.。
函数模型的应用实例教案
函数模型的应用实例教案教案：函数模型的应用实例一、课程背景在数学教学中，函数是一个非常重要的概念，在实际生活中也有许多应用。
函数模型是数学中一种常用的模型方法，它可以很好地描述和解决一些实际问题。
本课程将以函数模型的应用实例为切入点，帮助学生理解函数模型的概念和运用方法。
二、教学目标1.知识与能力目标：-理解函数模型的基本概念；-掌握函数模型的建立方法；-运用函数模型解决实际问题。
2.过程与方法目标：-引导学生发现问题和解决问题的方法；-培养学生的创新思维和实际应用能力；-培养学生的合作学习和表达能力。
3.情感态度和价值观目标：-培养学生对数学的兴趣和热爱；-培养学生的团队协作和分享精神；-培养学生的实际问题解决能力。
三、教学过程1.引入（10分钟）-介绍函数的概念和作用，以及函数模型在实际中的应用；-分享一个有关函数模型的实际问题，如汽车行驶的距离与时间的关系。
2.探究（20分钟）- 提出一个问题：假设一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶时间为t小时，求行驶的距离d；-学生们自主讨论解决此问题的思路和方法；-指导学生建立函数模型：行驶距离d与行驶时间t之间的关系可以用函数d(t)表示，其中d(t)=60t。
3.拓展（30分钟）-提出更多有关函数模型的实际问题，如货物运输成本与距离的关系、人口增长与时间的关系等；-学生们自主讨论解决这些问题的方法，并建立相应的函数模型；-学生们分为小组，互相分享并比较各自的解决方法和函数模型。
4.总结（15分钟）-引导学生总结函数模型的建立方法：观察题目中的各种因素，确定变量及其之间的关系，建立函数模型；-引导学生总结函数模型的应用领域：经济、物理、生物等各个领域均有函数模型的应用。
5.展示（20分钟）-邀请几个学生上台演示他们解决实际问题的步骤和函数模型；-学生们展示自己的函数模型，分享成功的经验和困惑；-整理和归纳学生们的展示内容，进行点评和讨论。
六、教学评价1.形成性评价：观察学生的探究过程和成果，给予及时的反馈和指导；2.自评和互评：学生们根据课堂表现、参与度和拓展能力进行自我评价和互评；3.总结性评价：布置作业，让学生运用函数模型解决其他实际问题，并提交书面报告。
《函数模型的应用实例》教案
《函数模型的应用实例》教案第一章：引言1.1 课程背景本节课将引导学生了解函数模型在实际生活中的应用，通过具体的实例让学生感受函数模型的重要性。
1.2 教学目标（1）了解函数模型的概念及其在实际问题中的应用。
（2）通过实例分析，学会建立函数模型解决实际问题。
1.3 教学内容（1）函数模型的定义及其特点。
（2）函数模型在实际问题中的应用实例。
第二章：线性函数模型2.1 课程背景本节课将引导学生了解线性函数模型，并通过实例让学生学会如何建立线性函数模型解决实际问题。
2.2 教学目标（1）了解线性函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立线性函数模型解决实际问题。
2.3 教学内容（1）线性函数模型的定义及其特点。
（2）线性函数模型在实际问题中的应用实例。
第三章：二次函数模型3.1 课程背景本节课将引导学生了解二次函数模型，并通过实例让学生学会如何建立二次函数模型解决实际问题。
3.2 教学目标（1）了解二次函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立二次函数模型解决实际问题。
3.3 教学内容（1）二次函数模型的定义及其特点。
（2）二次函数模型在实际问题中的应用实例。
第四章：指数函数模型4.1 课程背景本节课将引导学生了解指数函数模型，并通过实例让学生学会如何建立指数函数模型解决实际问题。
4.2 教学目标（1）了解指数函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立指数函数模型解决实际问题。
4.3 教学内容（1）指数函数模型的定义及其特点。
（2）指数函数模型在实际问题中的应用实例。
第五章：总结与拓展5.1 课程背景本节课将对前面所学的函数模型进行总结，并通过拓展实例让学生进一步感受函数模型在实际生活中的应用。
5.2 教学目标（1）总结本节课所学的内容，巩固所学知识。
（2）通过拓展实例，进一步感受函数模型在实际问题中的应用。
5.3 教学内容（1）对前面所学的函数模型进行总结。
（2）通过拓展实例，感受函数模型在实际问题中的应用。
人教A版新课标高中数学必修一教案 函数模型的应用实例
《函数模型的应用实例》函数模型的应用实例主要包含三个方面：利用给定的模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决实际问题及建立拟合函数模型解决实际问题。
了解函数模型的广泛应用，运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的实际问题。
【知识与能力目标】通过实例理解分段函数的应用，提高读图能力。
【过程与方法目标】在实际问题的解决中，发展学生数学地提出、分析问题的能力，体会数学与物理、人类社会的关系。
【情感态度价值观目标】通过学习、体会数学在社会生活中的应用价值，培养学生的兴趣和探究意义。
【教学重点】分段函数和指数型函数的应用。
【教学难点】选择适当的函数模型分析和解决实际问题。
回顾分段函数与指数函数的性质和图像，为本节课的学习做准备。
(一)创设情景，揭示课题分段函数模型例3一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间关系如图所示。
(1)求图中阴影部分的面积，说明所求面积的实际含义；(2) 根据图表请写出速率 v 关于时间 t 的函数关系式；(3) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s (km)，与时间 t (h)的函数解析式，并作出相应图像。
解：（1）阴影面积为：50×1+80×1+90×1+75 ×1+65 ×1=360含义：表示汽车5小时内行驶的路程为360km（2）从图上很明显看出汽车在每一小时都有固定速率，而进入下一小时后速率则变为另一个固定值，这是很明显的分段函数特征。
50,0180,1290,2375,3465,45t t v t t t ≤<⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤≤⎪⎩（3）3x y =（4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s (km)，与时间 t (h)的函数解析式，并作出相应图像。
高中数学教材必修一《函数模型的应用实例》教案
3.2.2函数模型的应用实例教案教学目标知识与技能掌握一些普遍使用的函数模型（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例。
过程与方法通过实例，感知并体会函数在实际生活中的应用，能利用函数图象、解析式等有关知识正确解决生活中的数学问题。
情感、态度与价值观通过实例，提高解决实际问题的能力，发挥个人的能力，构建数学模型，养成独立思考问题的能力。
教学重点与难点:函数模型的选取与求解。
教学过程设计第一课时已知函数模型解实际问题例1、一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。
（1）求略中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。
解：（1）阴影部分的面积为50×1 + 80×1 + 90×1 + 75×1 +65×1 = 360，阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km。
（2）根据上图，有502004,0180(1)2054,1290(2)2134,2375(3)2224,3465(4)2299,45t tt ts t tt tt t+≤<⎧⎪-+≤<⎪⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎪-+≤≤⎪⎩，这个函数的图象如右图所示。
h VH 小结：由函数图象，可以形象直观地研究推断函数关系，可以定性地研究变量之间的变化趋势，是近年来常见的应用题的一种题型，其出发点是函数的图象，处理问题的基本方法就是数形结合。
练习1：向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（ ）(A) (B) (C) (D)练习2：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。
《函数模型的应用实例》教案
《函数模型的应用实例》教案一、教学目标1. 理解函数模型在实际问题中的应用。
2. 学会构建函数模型解决实际问题。
3. 培养学生的数学建模能力和创新思维。
二、教学内容1. 函数模型概述2. 常见函数模型及其应用3. 函数模型的构建方法4. 函数模型在实际问题中的应用案例分析5. 函数模型的评估与优化三、教学重点与难点1. 教学重点：函数模型在实际问题中的应用，函数模型的构建方法。
2. 教学难点：函数模型的评估与优化。
四、教学方法1. 案例分析法：通过实际问题案例，引导学生学会构建函数模型解决问题。
2. 讨论法：分组讨论，分享不同函数模型在实际问题中的应用。
3. 实践操作法：让学生动手实践，优化函数模型。
五、教学准备1. 教学PPT2. 实际问题案例及解决方案3. 计算机软件（如MATLAB、Excel等）4. 练习题教案内容示例：第一课时：函数模型概述1. 导入：介绍函数模型在实际生活中的应用，如线性规划、最优化问题等。
2. 讲解：讲解函数模型的概念、特点和分类。
3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生理解函数模型。
4. 练习：让学生练习构建简单的函数模型。
第二课时：常见函数模型及其应用1. 导入：介绍常见函数模型，如线性函数、二次函数等。
2. 讲解：讲解常见函数模型的性质及其在实际问题中的应用。
3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生运用常见函数模型解决问题。
4. 练习：让学生运用常见函数模型解决实际问题。
后续课时依次讲解函数模型的构建方法、函数模型在实际问题中的应用案例分析、函数模型的评估与优化等内容。
教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数模型在实际问题中的应用。
注重培养学生的创新思维和动手实践能力，提高他们的数学建模能力。
六、教学活动设计1. 课堂讲解：介绍函数模型的基本概念和重要性。
2. 案例分析：分析实际问题，引导学生识别和构建函数模型。