推荐-2018_2019学年高二数学上学期期中试题
北京市海淀区20中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析
北京市海淀区20中2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B所以直线的倾斜角等于，故选．2. 如果两直线，且平面，则与的位置关系是（）A. 相交B.C.D. 或【答案】D【解析】试题分析：直线与平面的位置关系有三种：线在面内、线面平行、线面相交；其中能符合题目要求的有线面平行与线在面内；考点：直线与平面的位置关系；3. 若三点、、共线，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵三点，，在一条直线上，∴，∴，计算得出，故选A．4. 圆与圆的位置关系是（）A. 相交B. 外离C. 内切D. 外切【答案】A【解析】由圆与圆可得，，，，，所以，，所以两圆的位置关系是相交，故选A．5. 若两直线与平行，则它们之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】可化为，由两平行线之间的距离公式可得，故选．6. 已知圆，直线，，若，被圆所截得的弦的长度之比为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆的圆心为，半径为，圆心到线的距离为，被圆所截得的弦的长度为，圆心到的距离为，被圆所截得的弦的长度为，结合，被圆所截得的弦的长度之比为，可得，求得，故选．7. 如图，已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，且，侧面底面，，则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸，，分别是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】A【解析】由三棱锥及其三视图可知，为等边的高，所以，又因为为的长，所以，可得为点到的距离，由此，故选．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8. 如图，已知平面平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，，是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知：，是直角三角形，又，所以．因为，，所以．作于，则．令，则，可得，所以即为四棱锥的高，又底面为直角梯形，．所以，故选．【方法点睛】本题主要考查面面垂直的性质，棱锥的体积公式以及求最值问题，属于难题. 求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图像法，本题首先根据线面关系将体积最值转化为函数求最值问题，然后应用方法①解答的.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知两点，，则线段的长为__________．【答案】【解析】因为，，，所以由两点间距离公式可得线段的长为，故答案为.10. 底面直径是，高是的圆柱的侧面积为__________．【答案】【解析】因为圆柱的底面直径是，所以底面半径为，又因为圆柱的高是，所以由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积为，故答案为.11. 已知直线与直线垂直，则的值为__________．【答案】【解析】由直线与直线垂直，可得，计算得出，故答案是．12. 从点引圆的切线，则切线长是__________．【答案】【解析】因为圆的方程为，所以圆心，半径，所以，所以切线长，故答案为．13. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长是__________．【答案】则该三棱锥的最长棱的长是，，故答案为．14. 若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由直线方程可知两直线斜率相等，所以，由平行线线的几何性质知的轨迹为平行于的直线，直线方程为，又点在圆的内部，故的轨迹是如图所示的线段．即原点和距离的平方．由图可知，，，，故答案为．【方法点晴】本题主要考查轨迹方程及解析几何求最值，属于难题.解决曲线轨迹中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线轨迹中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.本题是先将转化为直线上的点与原点距离的平方，然后利用几何方法解答的.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程．15. 求满足下列条件的曲线方程：（1）过点，两点的直线方程；（2）过点且圆心在的圆的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，求出直线的斜率，设出直线方程，将点代入求出参数，即可得结果；（2）设圆为，将代入，得，从而可得圆的方程.试题解析：（1）∵过点，，∴，∴设直线为，将代入得：，即，∴．（2）∵圆心为，∴设圆为，将代入，得：，∴．∴．16. 如图，在直三棱柱中，，，为中点，与交于点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的表面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）证明：连结，可得为的中位线，可得，根据线面平行的判定定理可得平面；（2）在直三棱柱中，可证平面，从而可得，又，，即可证明平面；（3），分别利用三角形面积公式求出各三角形面积，求和即可得结果.试题解析：（1）证明：连结，∵直三棱柱，，∴四边形为正方形，∴为中点，∵为中点，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）证明：方法1，∵直三棱柱，∴，又∵，，∴平面，∵平面，∴，∵正方形，∴，又∵，∴平面．方法2：∵直三棱柱，∴平面平面，∵平面平面，，∵平面，∵平面，∴，∵正方形，∴，又∵，∴平面．（3）．【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.17. 已知的三个顶点，，．（1）设，边上的中点分别为，，求所在直线方程；（2）求边上的高线所在直线方程；（3）求的面积．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）由中点坐标公式可得的中点坐标，从而可得直线的斜率，再根据点斜式可得方程；（2）由两点可得的斜率，由垂直关系可得高线的斜率，点斜式可得方程；（3）可得的方程，可求到直线的距离即三角形的高，再由距离公式求得边上的高，代入面积公式可得结果.试题解析：（1）∵，，，∴，，∴，∴所在直线方程：，即．（2）∵，为，中点，∴，∴所求直线斜率，代入，得，即．（3），到距离．∵，为，中点，∴．18. 已知圆．（1）直线的方程为，直线交圆于、两点，求弦长的值；（2）从圆外一点引圆的切线，求此切线方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）由圆方程可得圆心，，先求出圆心到直线距离，根据勾股定理可得；（2）当直线为时，与圆相切，符合题意．当斜率存在时，设斜率为，可设直线，利用圆心到切线的距离等于半径列方程，即可解得的值，从而可得结果..试题解析：（1）∵圆，∴圆心，，圆心到直线距离，∴．（2）①当直线为时，与圆相切，符合题意．②当斜率存在时，设斜率为，∴直线，即，圆心到直线距离，∵直线与圆相切，∴即，∴，∴直线：，∴综上可知，切线方程为或．19. 如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，为中点．（1）求证：平面平面；（2）若，，的交点记为，求证平面；（3）在（2）的条件下求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质可得，根据菱形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得面，根据面面垂直的判定定理可得结果；（2）由，为中点，可得，由（1）知，利用线面垂直的判定定理可得结论；（3）先证明面，则，利用棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（1）设，连结，∴，为中点，∴，又∵底面为菱形，∴，∵，∴面，又∵面，∴面面．（2）∵，为中点，∴，又∵，，∴面．（3）过作于，∴，又∵面，面，∴．【方法点晴】本题主要考线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理以及利用等积变换求棱锥体积，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20. 已知圆和定点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且满足．（1）求实数，满足的等量关系；（2）求线段长的最小值；（3）若以为圆心所作的圆与圆有公共点，试求半径取最小值时圆的方程．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）连接，则为直角三角形，利用，即可求得实数，满足的等量关系；（2）表示出利用配方法即可求出的最小值；（3）由⊙与⊙有公共点，可得，只需求出的最小值以及取得最小值时的的值，即可求出半径最小值的圆的方程.试题解析：（1）连接，∵为切点，∴，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∴．∴当时，线段长的最小值为．（3）设半径为，∵⊙与⊙有公共点，⊙半径为，∴，即且，∴，∴当时，，此时，，∴当半径取最小值时，圆方程为：．。
上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题(原卷+解析版)
由
由于B在直线 上，故m=1
故选：A
【点睛】本题考查了线性规划，考查了学生数形结合，转化与划归的能力，属于中档题.
16.如图， 的 边长为 ， 分别是 中点，记 ， ，则（）
A. B.
C. D. ，但 的值不确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为 分别是 中点，所以根据平面向量的线性运算 可得 ,所以 由 可得 ,故选C.
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 ，求实数t的值及 .
【答案】（1） ；（2） ， = .
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积，代值计算即可；
（2）由数量积为0，代入计算即可.
【详解】（1）因为
故
解得：
因为 ，所以 .
（2）
则
化简得：
解得：此时=Fra bibliotek==
=
【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.
19.
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3 ，2)的入射光线l1
被直线l：y= x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设 分别是直线l和圆C上的动点，求 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】（1） 所在的直线方程为 ，圆C的方程为 （2）
【解析】
【详解】（1）直线 设 .
的倾斜角为 ， 反射光线 所在的直线方程为
.即 .
已知圆C与 , 圆心C在过点D且与 垂直的直线上，
考点：平面向量的线性运算与数量积运算.
三、解答题
17.已知二元一次方程组的增广矩阵为 ，请利用行列式求解此方程组.
河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(含精品解析)
2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．42．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=14．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．128．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC =120°，AB =2，BC =CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若直线l ：y =ax ﹣1与抛物线C ：y 2=（a ﹣1）x 恰好有一个公共点，则实数a 的值构成的集合为（ ）A ．{﹣1，0}B ．{﹣1， }C ．{0， }D ．{1，，0}10．直线kx ﹣y ﹣2k +2=0恒过定点A ，若点A 是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．x +4y ﹣10=0B ．2x ﹣y ﹣2=0C ．4x +y ﹣10=0D ．4x ﹣y ﹣6=011．如图F 1、F 2是椭圆C 1： +y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：﹣=1（m ＞0，n ＞0）有共同的焦点F 1，F 2，且在第一象限的交点为P ，满足2•=2（其中O 为原点）设C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2当3e 1+e 2取得最小值时，e 1的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为 ．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为 ．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 ．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．4【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线方程为：2x2﹣y2=8，则其标准方程为：﹣=1，其中a==2，则其实轴长2a=4；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意要现将其方程变形为标准方程．2．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解： =﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=1【分析】由条件根据椭圆的标准方程和简单性质可得a2﹣b2=9，0+=1，求得a2和b2的值，可得椭圆的方程．【解答】解：由题意可得a2﹣b2=9，0+=1，∴a2=18，b2=9，故椭圆的方程为+=1，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题．4．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线﹣y2=1的顶点坐标（，0），其渐近线方程为x±y=0，所以所求的距离为=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．【分析】求出，点A到平面α的距离：d=，由此能求出结果．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，∴=（1，1，﹣2），点A到平面α的距离：d===．故选：C．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．【分析】如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．【解答】解：如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．|FQ|==．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A．8B．9C．10D．12【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，∴m2+n2+2nm=4a2，∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．8．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN 和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．9．若直线l：y=ax﹣1与抛物线C：y2=（a﹣1）x恰好有一个公共点，则实数a的值构成的集合为（ ）A．{﹣1，0}B．{﹣1， }C．{0， }D．{1，，0}【分析】讨论若a=1，当a=﹣1时，将直线方程代入曲线方程，运用判别式为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：若a=1，则曲线C为y=0，直线l：y=x﹣1，即有直线与曲线的交点为（1，0），满足题意；若a=0，则曲线C为y2=﹣x，直线l：y=﹣1，即有直线与曲线的交点为（﹣1，﹣1），满足题意；若a≠1，a≠0时，则抛物线y2=（a﹣1）x的对称轴为x轴，由y=ax﹣1与抛物线y2=（a﹣1）x相切，可得：a2x2﹣（3a﹣1）x+1=0，由判别式为0，可得（3a﹣1）2﹣4a2=0，解得a=（a=1舍去），综上可得，a=0，1或．故选：D．【点评】本题考查直线与曲线的交点的个数问题，注意讨论直线与曲线相切或与对称轴平行，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A，若点A是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A．x+4y﹣10=0B．2x﹣y﹣2=0C．4x+y﹣10=0D．4x﹣y﹣6=0【分析】求出定点A（2，2），设A是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法能求出以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A（2，2），双曲线﹣=1方程可化为：4x2﹣y2=8，设A（2，2）是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=4．∵P1，P2在双曲线上，∴，∴4（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴4×4（x1﹣x2）=4（y1﹣y2），∴k==4，∴以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：y﹣2=4（x﹣2），整理得4x﹣y﹣6=0．故选：D．【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．11．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．12．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点F1，F2，且在第一象限的交点为P，满足2•=2（其中O为原点）设C1，C2的离心率分别为e1，e2当3e1+e2取得最小值时，e1的值为（ ）A．B．C．D．【分析】由2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=，由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒e1e2=2，3e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即．【解答】解：∵2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒2c2=am⇒e1e2=23e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即故选：A．【点评】本题考查了双曲线离心率，属于中档题．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为 ﹣=1 ．【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到a，b，曲线C2是以F1（﹣5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为4的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程．【解答】解：在椭圆C1中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，a=13，c=5，b=12，椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），椭圆方程为：．曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，a=2，则c=5，则b=．故C2的标准方程为：，故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1B与平面MBC所成角的正弦值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D1（0，0，2），B（2，2，0），M（2，0，1），C（0，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣2，1），=（﹣2，0，0），设平面MBC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，2），设直线D1B与平面MBC所成角为θ，则sinθ===．故直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为 +1 ．【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义可得|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理求得a，则答案可求．【解答】解：如图，由题意可知，|MF2|=c=1，则|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理可得（2a﹣1）2+12=4，解得：a=．∴椭圆的长轴长为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 2 ．【分析】设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，运用内角平分线定可得ABF2为等腰直角三角形，运用勾股定理和三角形的等积法，可得半径r，即可得到所求距离．【解答】解：设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，可得I在x轴上， ====1，可得三角形ABF2为等腰直角三角形，设|AF2|=m，则设|BF2|=m，|AB|=m，即有内切圆的半径r满足r•（4m﹣4）=m2，又m=2m﹣4，解得r=2，m=4+2，即有|IF2|=r=2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意定义法和内角平分线定理的运用，考查三角形的等积法和勾股定理的应用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．【分析】（Ⅰ）由已知， =，2b=4，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），直线AB方程为：y=2（x﹣1），由，得3x2﹣5x=0，由此能求出A（0，﹣2），B（），进而能求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由已知， =，2b=4，∴b=2∵b2=a2﹣c2=5c2﹣c2=4c2=4，∴c2=1，a2=5，∴椭圆的标准方程为： +=1．……………………（4分）（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），∴直线AB方程为：y=2（x﹣1）…………………………设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得3x2﹣5x=0，解得x1=0，x2=，…………………………（7分）设AB中点坐标为（x0，y0），则=，，所以AB的中点为（），…………………………（9分）∵A（0，﹣2），B（），∴|AB|==．…………………………（10分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查椭圆、直线方程、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则=（1，2，﹣1），=（0，2，1），设平面MEN的一个法向量为=（x，y，z），由，得，取z=2，得=（4，﹣1，2）．由图可得平面CME的一个法向量为=（1，0，0）．∴cos＜，＞==．∴二面角CEMN的余弦值为，则正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；（2）直接代入三角形面积公式求解即可【解答】解：（1）设，由题意可知：k≠0，∴，联立y2=﹣x得：ky2+y﹣k=0显然：△＞0，∴，∴=（﹣y12）（﹣y22）+y1y2=（﹣1）2+1=0，（2）∵S△OAB=×1×|y1﹣y2|===，解得：k=±，∴直线l的方程为：2x+3y+2=0或2x﹣3y+2=0．【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．【分析】（Ⅰ）由题意通过离心率推出c2=3a2，得到，然后求解双曲线的渐近线方程．（Ⅱ）当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知条件求解m即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得，∴c2=3a2∴b2=c2﹣a2=2a2，即∴所求双曲线C的渐进线方程………………（Ⅱ）由（1）得当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．……6分设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（判别式△＞0），∴x0==m，y0=x0+m=2m，…………（10分）∵点M（x0，y0），在圆x2+y2=5上，∴m2+4m2=5，∴m=±1．……（12分）（本题学生用“点差法”也给分）【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．…（9分）因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）【点评】本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，由此能求出动点M的轨迹方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出存在直线l满足条件，其方程为x﹣2y=0．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，…………………………（2分）整理得动点M的轨迹方程为： =1．…………………………（4分）（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，由题意知直线斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，消去y得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，由△=64（2k2﹣k）k2﹣32（4k2+3）（2k2﹣2k﹣1）＞0，得6k+3＞0，解得k＞﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=，…………………………（8分）由，得（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=，则（x1﹣2）（x2﹣2）（k2+1）=，即[x1x2﹣2（x1+x2）+4]（k2+1）=，所以[﹣+4]（k2+1）=，整理得=，解得k=，…………………………（10分）又k＞﹣，所以k=，故存在直线l满足条件，其方程为y=，即x﹣2y=0．…………………………（12分）【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
四川省雅安中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题
绝密★启用前2018年度秋季高二数学理科上半期考试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、填空题（每题5分共20分）1．下列命题中正确的是（）A．经过点的直线都可以用方程表示B．经过定点的直线都可以用方程表示C．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示D．不经过原点的直线都可以用方程表示2．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，则B．若,则C．若,则D．若，则3．已知直线平行，则实数的值为（）A．B．C．或D．4.已知实数x，y满足x2+y2=1，则x+y的取值范围是（）A．（-2，2）B．（-∞，2]C．[]2,2-D．（-2，+∞）5．已知直线过定点，点在直线上，则的最小值是（）A．B．C．D．6．若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（）A．B．C．D．7．已知直线l：y＝x＋m与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是( )A．［－1,)B．(－，－1］C．[1，)D．(－，1］8．圆与直线l相切于点，则直线l的方程为A．B．C．D．9．为顶点的正四面体的底面积为，为的中点，则与所成角的余弦值为A．B．C．D．10．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）A．B．C．D．311．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为2的等边三角形，若球的体积为，则直线与平面所成角的正切值为A．B．C．D．12．点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．4第II卷（非选择题）二、填空题（每题5分共20分）13．在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于yoz 面对称的点的坐标为____________.14．已知直线 ： 和 ： 垂直，则实数 的值为_________．15．若 为圆 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是____16．若动点 在直线 上，动点Q 在直线 上，记线段 的中点为，且 ，则 的取值范围为 ________.三、解答题（17题10分，其余各题每题12分共计70分）17．设直线l 的方程为()()120a x y a a R +++-=∈.（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.18．已知两圆x 2+y 2﹣2x +10y ﹣24=0和 x 2+y 2+2x +2y ﹣8=0 （1）判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程；（3）求公共弦的长19.如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，.（1）求证： ；（2）当几何体 的体积等于 时，求四棱锥 的侧面积.20．已知圆M 过两点A （1，﹣1），B （﹣1，1），且圆心M 在直线x+y ﹣2=0上．（1）求圆M 的方程．（2）设P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PC 、PD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形PCMD面积的最小值．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点．（1）求证：AC⊥DE；（2）若E为PB的中点，且二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，求EC与平面PAB所成角θ的正弦值．22.已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于不重合的A、B两点，O是坐标原点，且三点A、B、O构成三角形．（1）求k的取值范围；（2）三角形ABO的面积为S，试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；（3）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．高二理数参考答案1-5．CDACB 6-10.DBBCB 11-12.AA11．A取的中点，则为所求线面角，利用勾股定理求出，即可得出答案．【详解】设的中心为，为的中点，过作，则为的中点，∴是直线与平面所成角．∵是边长为2的等边三角形，，，，．．．故选：A．12．曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，所以直线的方程为，由，解得或（舍去），∴当时，取得最大值，且，∴，∴，∴，当且仅当，且，即时等号成立．故选A．13．(-1，2，3) 14．15．16．16.因为动点 在直线 上，动点Q 在直线 上，直线 与直线 狐仙平行，动点 在直线 上，动点 在直线 上，所以 的中点 在与 平行，且到 的距离相等的直线上，设该直线为 ，其方程为 ，因为线段 的中点为 ，且 ，点 在圆 的内部或在圆上，设直线 角圆于 ，可得点 在线段 上运动，因为 表示的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，所以原点到直线 的距离的平方为最小，所以 的最小值为， 为最大，联立，解得 ， 当 与 重合时， 的最大值为 ，即 的最大值为 ，所以 的取值范围是. 17．（1）20x y ++=或30x y +=；（2）1a ≤-．（1）():120l a x y a +++-=，当0x =时，2y a =-，…………………………………………2分当0y =时，21a x a -=+，…………………………………………3分 由题意可知221a a a --=+， ∴220a a -=，∴0a =，或2a =，…………………………5分∴l 的方程为20x y ++=，或30x y +=.…………………………………………6分（2）∵l 不经过第二象限，∴()()1020a a ⎧-+≥⎪⎨--≤⎪⎩，∴1a ≤-.……………………………………12分18．解：（1）将两圆化为标准方程，得C 1：（x ﹣1）2+（y +5）2=50，C 2：（x +1）2+（y +1）2=10∴圆C 1的圆心为（1，﹣5），半径为r 1=5；圆C 2的圆心为（﹣1，﹣1），半径为r 2=…（1分）又∵|C1C2|==2，r1+r2=5+，r1﹣r2=5﹣，可得r1﹣r2＜|C1C2|＜r1+r2…（3分）∴两圆相交…（4分）（2）将两圆的方程相减，得4x﹣8y+16=0，化简得：x﹣2y+4=0，∴公共弦所在直线的方程是x﹣2y+4=0．…（7分）（3）由（2）知圆C1的圆心（1，﹣5）到直线x﹣2y+4=0的距离d==3…（12分）由此可得，公共弦的长l=2=2=2…（12分）19．（1）证明见解+析；（2）.（1）连结BD，取CD的中点F，连结BF，则直角梯形ABCD中，BF⊥CD，BF=CF=DF，∴∠CBD=90°即：BC⊥BD∵DE⊥平面ABCD，BC平面ABCD∴BC⊥DE又BD∩DE=D∴BC⊥平面BDE由BE平面BDE得：BC⊥BE（2）∵，∴DE=2∴，，又AB=2，∴BE2=AB2+AE2∴AB⊥AE∴四棱锥E﹣ABCD的侧面积为20．（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（2）2．试题分析：（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，-1）、D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；（2）四边形PAMB的面积为S＝2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．试题详细分析：(1) 设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，根据题意得(1－a)2＋(-1－b)2＝r2(-1－a)2＋(1－b)2＝r2a+b-2=0解得a＝b＝1，r＝2.故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.(2) 由题知，四边形PA′MB′的面积为S＝S△PA′M＋S△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，所以S＝2|PA′|.而|PA′|＝.即S＝2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝，所以四边形PA′MB′面积的最小值为S＝2＝2＝2.21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点．（1）求证：AC⊥DE；（2）若E为PB的中点，且二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，求EC与平面PAB所成角θ的正弦值．证明：（1）因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，因为DE平面PBD，∴AC⊥DE．解：（2）连接OE，在△PBD中，EO∥PD，所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设PD=t，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，0，），P（0，﹣，t）．设平面PAB的一个法向量为（x，y，z），则，令y=1，得=（），平面PBD的法向量=（1，0，0），因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，所以|cos＜＞|==，所以t=2或t=﹣2（舍）），E（0，0，1），=（），，∴，∴EC与平面PAB所成角θ的正弦值为．22.已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于不重合的A、B两点，O是坐标原点，且三点A、B、O构成三角形．（1）求k的取值范围；（2）三角形ABO的面积为S，试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；（3）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．解：（1）由题意，d OM=，∵三点A、B、O构成三角形，∴0＜＜2，∴﹣1＜k＜1且k≠0；(2分）（2）直线l：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0，∴d OM=，∴|AB|=2=4，∴S=d OM=•=4•=（﹣1＜k＜1且k≠0）；6分）（3）设k2+1=t（t≥1），则S=4•=4•，∴，即t=时，k=±，S max=4•=2，∴S的最大值为2，取得最大值时k=±．（12分）11。
2018-2019学年山西省汾阳中学高二上学期期中考试数学(文)试题(Word版)
2018-2019学年山西省汾阳中学高二上学期期中考试数学文试卷一、选择题：（共12小题，每小题5分）1．若直线x =1的倾斜角为α，则α( )A. 等于0B. 等于4πC. 等于2π D. 不存在2．若直线a 不平行于平面α，且α⊄a ，则下列结论成立的是（ ） A. α内的所有直线与a 异面 B. α内不存在与a 平行的直线 C.α内存在唯一的直线与a 平行 D. α内的直线与a 都相交3．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，0130BAB ∠=，则1C D 与1BB 所成的角是（ ）A ．030B ．045C ．060D ．0904．若两直线l 1, l 2的倾斜角分别为 α与β，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若α <β，则两直线的斜率：k 1 < k 2 B. 若α=β，则两直线的斜率：k 1= k 2 C. 若两直线的斜率：k 1 < k 2 ，则α <β D. 若两直线的斜率：k 1= k 2 ，则α=β5．已知直线:y+m (x+1)=0与直线：my-(2m+1)x=1平行，则直线在轴上的截距是( )A.1 B ．-1 C ．D.6．某几何体的三视图如右图所示，则它的体积 为（ ） A ．283π-B ．83π-C ．82π-D ．23π7．下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面．．．的一个图是（ ）A. B.C. D.8．设，若直线y=kx 与线段AB 没有公共点，则的取值范围是（ ）A. B.C.D.9．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（ ） A ．平行 B ．相交 C ．平行或相交 D ．垂直 10．长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．23a π B ．26a π C 3a D ．3a 11．△ABC 的三个顶点是A （0，3），B （3，3），C （2，0），直线l ：x =a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则a 的值是（ ）A. 错误！未找到引用源。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若（4）“若，则，则有实数解”的逆否命题；”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．为的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1B．16C．8D．4）10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．114．已知的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，当 n≥2时，a n ＋2S n － ＝n ，则 S 2017的值____ ___16．已知变量满足约束条件 若目标函数 的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共 6 题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
甘肃省静宁县第一中学2018_2019学年高二数学上学期期中试卷理(含解析)
静宁一中2018--2019学年度高二第一学期中期考试题（卷）数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为（）A. 15,5,2 B. 15,15,15 C. 10,5,30 D. 15，10，20【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．【详解】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高一年级抽取的人数是300×=15人，高二年级抽取的人数是200×=10人，高三年级抽取的人数是400×=20人，故答案为：D【点睛】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．2.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A. 0.4B. 0.6C. 0.8D. 1【答案】B【解析】件产品中有件次品，记为，，有件合格品，记为，，，从这件产品中任取件，有种，分别是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有种，分别是，，，，，，设事件“恰有一件次品”，则，故选B．考点：古典概型．视频3.已知命题：，则A. B.C. D.【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，全称命题命题“”的否定为特称命题“”，故选C.4.“”是“方程表示双曲线”的()A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】方程+=1表示双曲线⇔（3﹣k）（k﹣1）＜0，解得k范围，即可判断出结论．【详解】方程+=1表示双曲线⇔（3﹣k）（k﹣1）＜0，解得k＞3或k＜1．∴k＜3是方程+=1表示双曲线的非充分非必要条件．故答案为：D【点睛】本题考查了双曲线的标准方程、充要条件的判断、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.下列说法错误的是（）A. 对于命题，则B. “”是“”的充分不必要条件C. 若命题为假命题，则都是假命题D. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”【答案】C【解析】试题分析：对于A,全称命题的“非”是存在性命题，且否定结论，即A正确；对于B，时，成立，但反之，时，，所以B 正确；对于C,，命题为假命题，说明至少有一为假命题，所以C错；对于D，逆否命题否定原命题条件和结论并互换，D正确，故选C．考点：1、逆否命题；2、充分条件与必要条件；3、复合命题．【名师点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．6.已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（）A. 虚轴长为4B. 焦距为C. 离心率为D. 渐近线方程为【答案】D【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，双曲线的方程为，其中b=3，虚轴长为6，则A错误；对于B，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则焦距为，则B错误；对于C，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则离心率为，则C错误；对于D，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则渐近线方程为，则D正确. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线虚轴长、焦距、离心率以及渐近线方程等概念，考查基本分析求解能力，属基础题.7.如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用几何概型的概率公式求解.【详解】设正方形的边长为2a,则圆的半径为a,由几何概型的概率公式得,故答案为：B【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.8.当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B. C. D. 0【答案】D【解析】第一次循环，，第二次循环，，第三次循环，，第四次循环，，结束循环，输出，故选D．9.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A. 91.5和91.5B. 91.5和92C. 91和91.5D. 92和92【答案】A【解析】【分析】根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数，平均数只要代入平均数的公式得到结果．【详解】由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，所以其中位数为=91.5，平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，故答案为：A【点睛】本题考查茎叶图的基础知识，考查同学们的识图能力，考查中位数与平均数的求法．在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．10.抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则（）A. B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解p的值即可.【详解】抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵ 抛物线的焦点为∴∴故选C12.已知点在双曲线：上，的焦距为6，则它的离心率为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由题得c=3,再求出a的值得解.【详解】由题得c=3,所以左右焦点为（-3,0），（3,0），所以，所以离心率为故答案为：B【点睛】本题主要考查双曲线的定义和离心率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.静宁一中开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“”是假命题，求的范围。
河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在ABC ∆中，2,4a b A π===，则角B = （ ）A ．6π B ．6π或56π C ．3πD ．56π2. “20x x ><或” 是“11x<” 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件3. 已知正项数列 {}n a 中，()22212111,2,22n n n a a a a a n +-===+≥,则6a =（ ）A ．16B ．4C ．．454. 命题“0,x R n N *∀∈∃∈，使得20n x >”的否定形式是（ ）A ．0,x R n N *∀∈∃∈,使得20n x ≤B ．,x R n N *∀∈∀∈使得,2n x ≤ C. 00,x R n N *∃∈∃∈,使得 200n x ≤ D ．0,x R n N *∃∈∀∈,使得20n x ≤5. 《莱茵德纸草书》 是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题： 把 120个面包分成 5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的 7倍，则最少的那份面包个数为（ ）A ．4B ．3 C.2 D ． 16. 已知数列n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，8242,14S S ==, 则2016S = （ ） A ．25222- B ．25322- C.100822- D ．201622-7. 设,a b 是非零实数， 若a b > ，则一定有 （ ） A ．11a b < B ．2a ab > C.2211ab a b > D ．11a b a b->- 8. 设等差数列{}n a 的前n 项和 n S ，且满足201620170,0S S ><,对任意正整数n ， 都有n k a a ≥，则 k 的值为 （ ）A ．1006B ．1007 C.1008 D ．1009 9. 若实数,x y 满足0xy >，则22x y x y x y+++的最大值为（ ） A．2 B．24+ D．4-10. 若对于任意的[]1,0x ∈-,关于x 的不等式2320x ax b ++≤恒成立， 则222a b +-的最小值为（ ）A ．15-B ．54 C.45 D ．1411. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(),1cos cos ,23A b C c A b π=-==,则ABC ∆的面积为（ ）A．D12. 设{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若()2f x x px q =++的图象经过两点()(),0,,0αβ ，且存在正整数 n ，使得1n n αβ<<<+成立，则 （ ）A ．()(){}1min ,14f n f n +>B ．()(){}1min ,14f n f n +< C.()(){}1min ,14f n f n += D ．()(){}1min ,14f n f n +≥第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 若0,0,2a b a b ab >>+=，则3a b +的最小值为 __________. 14. 已知两个等差数列 {}n a 和{}n b 的前 n 项和分别为,n n S T ，若231n n S nT n =+，则 823746a ab b b b +=++ __________.15. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2,3,4a b c ===，则s i n2s i n CA= _________. 16. 已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，记数列{}n a 的前n 项和为n T ，若对任意的3,362n n N T k n *⎛⎫∈+≥- ⎪⎝⎭恒成立， 则实数 k 的取值范围 _________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知命题12:,p x x 是方程210x mx --=的两个实根 ，且不等式21243a a x x +-≤-对任意的m R ∈恒成立；命题:q 不等式220x x a ++<有实数解． 若命题p q ∨为真，p q ∧为假， 求实数 a 的取值范围．18. （本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，公比1q ≠，等差数列{}n b 满足11243133,,a b a b a b ====. （1）求数列{}n a 的{}n b 通项公式；（2）记n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）某人上午7时， 乘摩托艇以匀速()/840vkm h v ≤≤从A 港出发到距100km 的B 港去， 然后乘汽车以匀速()/30100wkm h w ≤≤自B 港向距300km 的C 市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C 市． 设乘坐汽车、 摩托艇去目的地所需要的时间分别是,xh yh .（1）作图表示满足上述条件的,x y 范围;（2）如果已知所需的经费()()1003528p x y =+-+-（元），那么,v w 分别是多少时p 最小？ 此时需花费多少元？20. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,()cos25cos 2B A C -+=. （1）求角B 的值；（2）若 1cos 7A =,ABC ∆的面积为求BC 边上的中线长. 21.（本小题满分12分）某城市响应城市绿化的号召， 计划建一个如图所示的三角形 ABC 形状的主题公园,其中一边利用现成的围墙BC ， 长度为米， 另外两边,AB AC 使用某种新型材料围成， 已知120,,(,BAC AB x AC y x y ∠===单位均为米）．（1）求 ,x y 满足的关系式（指出,x y 的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？ 最短长度是多少？22. （本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列1221n n n n n a a b a a ++++=+,数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：122n T n <+.河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5. ABBDC 6-10.BCDDA 11-12. DB 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 7+914 15. 1- 16. 2,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17.解：若p 为真,不等式21243a a x x +-≤-对任意的 m R ∈恒成立，243a a +-m R ∈恒成立，2432a a +-≤,解得51a -≤≤,若q 为真,不等式220x x a ++<有解，2440a ∆=->,解得1a <,因为命题p q ∨为真,p q ∧ 为假，所以,p q , 一真一假．（1）p 真q 假，则51,11a a a -≤≤⎧∴=⎨≥⎩.（2）若p 假q 真，则51,51a a a a <->⎧∴<-⎨<⎩或,综上,a 的取值范围是{}|51a a a <-=或.18.解：（1）由已知得： 2234133,3,33,312a q a q b d b d ===+=+,即23333312q d q d=+⎧⎨=+⎩，解得2031d d q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 ( 舍) ，所以2d =，所以3,21nn n a b n ==+.19.解：（1）依题意得 100300525,,840,30100,310,22y x v w x y v w ==≤≤≤≤∴≤≤≤≤① 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x y +应在9至 14个小时之间，即914x y ≤+≤ ② 因此，满足①②的点(),x y 的存在范围是图中阴影部分（包括边界）（2）()()100352813132p x y x y =+-+-=--，上式表示斜率为32-的直线，当动直线13132p x y =--通过图中的阴影部分区域（包括边界），通过点A 时，p 值最小．由1410x y x +=⎧⎨=⎩得 104x y =⎧⎨=⎩，即当10,4x y ==时，p 最小． 此时，25,30,v w p ==的最小值为 93元． 20.解：（1）由条件知 22cos 15cos 2B B -+=，即22cos 5cos 30B B +-= ，解得 1cos 2B =或cos 3B =-（舍去）又0B π<<， 3B π∴=.（2）由于11cos ,sin sin 3572A A S bc A bc =∴===∴=. ①又由正弦定理得，sinsin 33b cA ππ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又1sin sin cos ,5732214A A A b c π⎛⎫+=+=∴= ⎪⎝⎭， ② 由① ②知，7,5b c ==，由余弦定理得，8,a BC ==边上的中线AD ==21.解：（1）在ABC ∆中,由余弦定理，得222222cos ,2cos12030000AB AC AB AC A BC x y xy +-=∴+-=，即 2230000x y xy ++=，由正弦定理，得200,200sin ,060,0sin sin sin AB AC BC x C C x C B A ====∴=<<∴<<同理0y <<（2）要使所用的新型材料总长度最短只需x y +最小，由（1）知，()23000x y xy =+-，由于22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时，等号成立． 所以()()()()2222300044x y x y x y xy x y ++=+-≥+-=，所以200x y +≤，故当,AB AC 边长均为100米时，所用材料长度最短为 200米．22.解：（1）由题意可得221112,2n n n n n n S a a S a a ---=+=+， 两式相减得， 22112n n n n n a a a a a --=-++ ，所以22110n n n n a a a a -----=，即()()1110n n n n a a a a --+--=，又因为数列{}n a 为正项数列，所以11n n a a -+=.即数列{}n a 为等差数列，又1n =时，21112a a a =+，所以111,1n a a a n n ==+-=.（2）由（1）知1221n n n b n n ++=+++，又因为121111112212112n n n b n n n n n n ++=+=-++=+-++++++， 所以()12111111...22...2...233412n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以12111 (22222)n n T b b b n n n =+++=+-<++.。
江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(含精品解析)
2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.直线x+y+√3=0的倾斜角为______．2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为______．3.已知A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的方程为______．（写成标准方程）4.直线l经过点（1，1），且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程是______．5.若直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，则m的值为______．6.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是______．7.圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的方程是______．8.正三棱锥P-ABC中，若底面边长为a，侧棱长为√2a，则该正三棱锥的高为______．9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的结论有______．（请将所有正确结论的序号都填上）10.设点A（-2，3），B（3，2）若直线ax+y+2=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是______．11.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______（结果用π表示）．12.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x+2y+1=0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为______．13.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B，∠C的平分线分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是______．14.已知定点M（0，2），N（-2，0），直线l：kx-y-3k+2=0（k为常数），对l上任意一点P，都有∠MPN为锐角，则k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点（1）求证：BD1∥平面AEC（2）求证：AC⊥BD1．16.设△ABC顶点坐标A（0，a），B（-√3a，0），C（√3a，0），其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．（1）求圆M的方程（2）当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥平面AB1C1．18.已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x-y+3=0和l2：2x+y-6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；√5的圆的方程．（2）以O为圆心且被l截得的弦长为8519.已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=√2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V多面体PDCMA：V三棱锥M-ACB=2：1？（3）在M满足（2）的条件下，判断PD是否平行于平面AMC．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线．①求圆C的方程；②求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案和解析1.【答案】135°【解析】解：直线x+y+=0的斜率为-1；所以直线的倾斜角为135°．故答案为135°．求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】45°【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，∴D1D⊥平面ABCD，∴直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，∴∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，在直角三角形AD1AD中，AD1=D1D，∴∠D1AD=45°故答案为：45°在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明D1D⊥平面ABCD，则∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，解直角三角形D1AD即可．考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题3.【答案】（x-2）2+y2=18【解析】解：∵A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的圆心C（2，0），半径为AC==3，故圆的方程为（x-2）2+y2=18，故答案为：为（x-2）2+y2=18．先根据条件求出圆心坐标和半径，可得线段AB为直径的圆的方程．本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心坐标和半径，属于基础题．4.【答案】x-y=0【解析】解：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为1，∴所求直线方程为y=x，即x-y=0．当直线l不过原点时，设其方程+=1，又l经过点（1，1），则可得-=0≠1，此时不存在，故所求直线l的方程为x-y=0．故答案为x-y=0当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，所求直线方程为y=x，当直线l不过原点时，此时a不存在．本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5.【答案】-7【解析】解：∵直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，∴，解得m=-7．∴m的值为-7．故答案为：-7．由直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】x-y+1=0【解析】解：易知点C为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．先求圆心，再求斜率，可求直线方程．明确直线垂直的判定，会求圆心坐标，再求方程，是一般解题思路．7.【答案】（x+2）2+（y+1）2=1【解析】解：（x-2）2+（y-3）2=1的圆心为（2，3），半径为1点（2，3）关于直线x+y-1=0对称的点为（-2，-1）∴圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心为（-2，-1），半径为1 即圆的方程为（x+2）2+（y+1）2=1故答案为：（x+2）2+（y+1）2=1先求出圆心和半径，然后根据对称性求出圆心关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心，而圆对称形状不变，从而半径不变，即可求得圆的方程．本题主要考查了关于直线对称的圆的方程，同时考查了对称点的求解，属于基础题．8.【答案】√15a3【解析】解：如图，取BC中点D，连接AD，并取底面中心O，则O为AD的三等分点，且OA=，PA=，在Rt△POA中，求得OP=a，即该正三棱锥的高为，故答案为：．作出底面中心O，利用直角三角形POA容易求出高．此题考查了三棱锥高的求法，属容易题．9.【答案】①④【解析】解：①是正确命题，因为两个平面平行时，一个平面中的线与另一个平面一定没有公共点，故有线面平行；②不正确，因为一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，则它与另一个平面的位置关系是平行或者在面内，故不正确；③不正确，因为由m⊥α，m∥n可得出n⊥α，再由β⊥α，可得n∥β或n⊂β，故不正确；④是正确命题，因为两个直线分别垂直于两个互相平行的平面，一定可以得出两线平行．综上，①④是正确命题故答案为①④本题研究空间中线面平行与线线平行的问题，根据相关的定理对四个命题进行探究，得出正误，即可得到答案，①②③由线面平行的条件判断，④由线线平行的条件判断，易得答案本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的方法与线线平行的方法是准确判断正误的关键，几何的学习，要先记牢定义与定理，再对应其几何特征进行理解培养出空间形象感知能力，方便做此类题 10.【答案】（-∞，-43]∪[52，+∞）【解析】解：∵直线ax+y+2=0恒过定点（0，-2），斜率为-a ， 如图，，，∴若直线ax+y+2=0与线段AB 有交点， 则-a≥或-a≤-．即a≤-或a≥． 故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）． 由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查了直线系方程的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题． 11.【答案】5π【解析】解：∵圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，又∵铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高3π，则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．此时铁丝的长度最小值为：=5π故答案为：5π．本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解．解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案．12.【答案】2√65【解析】解：如图，直线3x+4y+8=0与圆x2+y2-2x+2y+1=0相离，化圆x2+y2-2x+2y+1=0为（x-1）2+（y+1）2=1，圆心坐标为C（1，-1），半径为1．连接CA，CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，则四边形PACB的面积等于两个全等直角三角形PAC与PBC的面积和．∵AC 是半径，为定值1，要使三角形PAC 的面积最小，则PC 最小， |PC|=，∴|PA|=．∴四边形PACB 面积的最小值为2×．故答案为：．由题意画出图形，可知要使四边形PACB 面积最小，则P 为过圆心作直线3x+4y+8=0的垂线得垂足，由点到直线的距离公式求得PC ，再由勾股定理得弦长，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．13.【答案】2x -y +5=0【解析】解：∵∠B 、∠C 的平分线分别是x=0，y=x ，∴AB 与BC 对于x=0对称，AC 与BC 对于y=x 对称． ∴A （3，-1）关于x=0的对称点A'（-3，-1）在直线BC 上， A 关于y=x 的对称点A''（-1，3）也在直线BC 上． 代入两点式方程可得，故所求直线BC 的方程：2x-y+5=0． 故答案为：2x-y+5=0分析题意，求出A 关于x=0，y=x ，的对称点的坐标，都在直线BC 上，利用两点式方程求解即可．本题考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，属中档题．14.【答案】（-∞，4−√3014）∪（4+√3014，+∞） 【解析】解：由于对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，故以MN 为直径的圆与直线l ：kx-y-3k+2=0相离．而MN的中点，即圆心为H（-1，1），则点H到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径MN=，即＞，即（1-4k）2＞2（1+k2），解得k＜，或 k＞，故答案为：（-∞，）∪（，+∞）由题意可得，以MN为直径的圆与直线l：kx-y-2k+2=0相离，故圆心H（-1，1）到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径，即＞，由此解得k 的范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】证明：（1）连接BD交AC于F，连EF．因为F为正方形ABCD对角线的交点，所长F为AC、BD的中点．在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B．又EF⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（2）由正方形的性质可得AC⊥BD又由正方体的几何特征可得：D1D⊥平面ABCD又∵AC⊂平面ABCD∴AC⊥D1D又∵D1D∩BD=D∴AC⊥平面D1DB∵BD1⊂平面D1DB∴AC⊥BD1【解析】（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；（2）根据正方形的性质及正方体的几何特征，结合线面垂直的性质，可得AC⊥BD，AC⊥D1D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面D1DB，再由线面垂直的性质即可得到AC⊥BD1本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．16.【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，对称轴为x=0．外接圆的圆心肯定在x=0上．作AC的中垂线，垂足为D，交y轴于M，M即为外接圆的圆心．AC=a．因为A（0，a），C（√3a，0），故∠MAC=60°，AD=12△AMD又是一个∠MAD=60°的直角三角形．故AM=2a．所以，点M的坐标为（0，-a），圆的半径r=MA=MB=MC=2a．故圆M的方程为：x2+（y+a）2=4a2（a＞0）．（2）假设圆M过某一定点（x，y）．那么当a变化时，圆M仍然过点（x，y），此点不会随着a的变化而变化．那么，现在令a变成了b，即a≠b．有x2+（y+b）2=4b2，两式相减化简得：（2y+a+b）（a-b）=4（a+b）（a-b）．因为a≠b，即a-b≠0，所以，2y+a+b=4（a+b）．得：y=3（a+b）．2得出，y是一个根据a和b取值而变化的量．与我们之前假设的y是一个不随a变化而变化的定量矛盾，所以，圆M不过定点．【解析】（1）确定圆心与半径，即可求圆M的方程（2）利用反证法进行判断．本题考查圆的方程，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．∴EF是三角形AA1C1的中位线，∴EF∥AA1，又AA1∥BB1，∴EF∥BB1，∵EF⊄面BCC1B1，BB1⊂面BCC1B1，∴EF∥面BCC1B1．（2）∵AB⊥BC，BC⊥BC1，∴BC⊥面ABC1，∴BC⊥BE，同时BC∥B1C1，∵AB=BC1，E是线段AC1的中点．∴BC⊥AC1，∵AC1∩B1C1=C1，∴BE⊥平面AB1C1【解析】（1）根据线面平行的判定定理，证明EF∥BB1；从而证明EF∥面BCC1B1；（2）根据线面垂直的判定定理证明BE⊥平面AB1C1．本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握线面平行和垂直的判定定理．并能灵活应用．18.【答案】解：（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），则{2(2−m)+(2−n)−6=0m−n+3=0，即{2m +n =0m−n=−3，解得m =-1，n =2．即A （-1，2），又l 过点P （1，1），用两点式求得AB 方程为y−12−1=x−1−1−1，即：x +2y -3=0． （2）圆心（0，0）到直线l 的距离d =|0+0−3|√1+4=3√5，设圆的半径为R ，则由R 2=d 2+(4√55)2， 求得R 2=5，故所求圆的方程为x 2+y 2=5．【解析】（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），分别代入直线l 1 和l 2的方程，求出m=-1，n=2，用两点式求直线的方程．（2）先求出圆心（0，0）到直线l 的距离d ，设圆的半径为R ，则由，求得R 的值，即可求出圆的方程．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．19.【答案】解：（1）因为PDCB 为等腰梯形，PB =3，DC =1，PA =1，则PA ⊥AD ，CD ⊥AD ．又因为面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD =AD ，CD ⊂面ABCD ，故CD ⊥面PAD ．又因为CD ⊂面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ． （2）所求的点M 即为线段PB 的中点，证明如下： 设三棱锥M -ACB 的高为h 1，四棱锥P -ABCD 的高为h 2当M 为线段PB 的中点时，ℎ1ℎ2=MB PB =12．所以V M−ACBVp−ABCD=13S MCB ℎ113S ABCD ℎ2=13所以截面AMC 把几何体分成的两部分V PDCMA ：V M -ACB =2：1．（3）当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与面AMC 不平行．证明如下：（反证法）假设PD ∥面AMC ，连接DB 交AC 于点O ，连接MO ． 因为PD ⊂面PDB ，且面AMC ∩面PBD =MO ，所以PD ∥MO ． 因为M 为线段PB 的中点时，则O 为线段BD 的中点，即DOOB =11． 面AB ∥DC ，故DOOB =DCAB =12，故矛盾．所以假设不成立，故当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行． 【解析】（1）证明平面与平面垂直是要证明CD ⊥面PAD ；（2）已知V 多面体PDCMA ：V 三棱锥M-ACB 体积之比为2：1，求出V M-ACB ：V P-ABCD 体积之比，从而得出两多面体高之比，从而确定M 点位置．（3）利用反证法证明当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行． 本题主要考查面面垂直的判定定理、多面体体积、线面平行判定以及反证法的应用，属于中等难度题．20.【答案】解：（1）由{y =x −1y=2x−4得圆心C 为（3，2），∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：（x -3）2+（y -2）2=1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y =kx +3，即kx -y +3=0， ∴√k 2+1=1∴|3k +1|=√k 2+1，∴2k （4k +3）=0∴k =0或者k =−34，∴所求圆C 的切线方程为：y =3或者y =−34x +3．即y =3或者3x +4y -12=0．（2）∵圆C 的圆心在在直线l ：y =2x -4上， 所以，设圆心C 为（a ，2a -4），则圆C 的方程为：（x -a ）2+[y -（2a -4）]2=1， 又∵MA =2MO ，∴设M 为（x ，y ）则√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2整理得：x 2+（y +1）2=4设为圆D ， ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即：圆C 和圆D 有交点，∴1≤CD ≤3，∴|2−1|≤√a 2+[(2a −4)−(−1)]2≤|2+1|， 由5a 2-12a +8≥0得a ∈R ， 由5a 2-12a ≤0得0≤a ≤125，综上所述，a 的取值范围为：[0，125]． 【解析】（1）求出圆心C 为（3，2），圆C 的半径为1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k 即可得到切线方程．（2）设圆心C 为（a ，2a-4），圆C 的方程为：（x-a ）2+[y-（2a-4）]2=1，设M 为（x ，y ）列出方程得到圆D的方程，通过圆C和圆D有交点，得到1≤CD≤3，转化求解a的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。
湖北省武汉外国语学校2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题(含精品解析)
武汉外国语学校2018—2019学年度上学期期中考试高二数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将抛物线方程化为标准方程，求出即可得结果.【详解】整理抛物线方程得，焦点在轴，，焦点坐标为，故选B.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与几何性质，属于简单题.由抛物线的方程求准线与焦点坐标，一定要化为标准方程.2.下列命题中错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题是真命题B. 命题“”的否定是“”C. 若为真命题，则为真命题D. 在中，“”是“”的充要条件【答案】C【解析】【分析】根据原命题与逆否命题的等价性判断；根据特称命题的否定是全称命题判断；根据特殊值判断；由正弦定理判断.【详解】命题“若，则”是真命题，所以其逆否命题是真命题，对；由特称命题的否定是全称命题可得，命题“”的否定是“”正确，对；当时，为真命题，为假命题，错；因为“”与“”等价，由正弦定理可得“”与“”等价，所以“”是“”的充要条件，对,故选C.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，综合考查原命题与逆否命题的等价性、特称命题的否定、特殊值的应用以及由正弦定理的应用，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.3.给定两个命题，,若是的必要而不充分条件，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由且可得且，所以是的充分不必要条件。
【考点定位】本题考查充分必要条件的判断，通过等价命题的转化化难为易，本题依据原命题的逆否命题进行判断较为简单，也渗透了转化思想的考查.4.如图，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由椭圆的性质得，椭圆的短半轴，因为截面与底面所成角为，所以椭圆的长轴长，得所以椭圆的离心率故选【考点】椭圆的几何性质.5.已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出交点坐标，代入双曲线方程，结合，得到关于的方程，化简即可得双曲线的离心率.【详解】两条曲线交点的连线过点，两条曲线交点为，代入双曲线方程得，又，，，化简得，，，，故选A.【点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．6.我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.【详解】输出；；；；；，退出循环，输出，故选B.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7.已知圆：，：，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵圆：，圆：，动圆满足与外切且与内切，设圆的半径为，由题意得∴则的轨迹是以（为焦点，长轴长为16的椭圆，∴其方程为因为，即为圆的切线，要的最小，只要最小，设，则，选A.8.若坐标原点和分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为F（-2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为设点P（x0，y0），则有(x0≥)，解得y02=(x0≥)，因为=(x0+2，y0)，=(x0，y0)，所以=x0(x0+2)+y02=x0（x0+2）+=+2x0-1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-，因为x0≥，所以当x0=时，取得最小值=，故的取值范围是[，+∞)，选B考点：本题主要考查了待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．点评：解决该试题的关键是先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围可得．视频9.过双曲线的右焦点F，作渐近线的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设过双曲线的右焦点与渐近线垂直的直线为,根据垂线与双曲线左右两支都相交，得的斜率要小于双曲线另一条渐近线的斜率,由此建立关于的不等式，解之可得，从而可得双曲线的离心率的取值范围.【详解】过双曲线的右焦点作渐近线垂线，设垂足为，直线为与双曲线左右两支都相交，直线与渐近线必定有交点，因此，直线的斜率要小于直线的斜率，渐近线的斜率为，直线的斜率，可得，即，可得，两边都除以，得，解得，双曲线离心率的取值范围为，故选C.【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.10.双曲线，分别为双曲线的左右焦点，过点作直线与双曲线的右半支交于点，使，则的内切圆半径为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得双曲线的，设的内切圆的半径为，设，运用双曲线的定义和勾股定理求出 ，由三角形的面积公式和面积相等，解方程即可得到所求半径.【详解】双曲线的，，可得为直角三角形，设的内切圆的半径为，设，由双曲线的定义可得，，又，在直角三角形中，可得，解得，三角形，，的面积，解得，故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义、方程与几何性质，属于中档题.解答与双曲线的焦点有关的三角形问题时，往往考虑应用：（1）双曲线的定义；(2)余弦定理；（3）勾股定理.11.已知圆上的动点和定点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取点，连接，由，可得，推出，在中，，推出的最小值为的长.【详解】如图，取点，连接，，，，，，，在中，的最小值为的长，，，故选D.【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，解答本题的关键是将转化为.12.已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设直线的方程，代入椭圆方程，由由与的面积之比为，可得，根据椭圆的离心率公式及韦达定理即可求得，利用三角形的面积公式及基本不等式的性质,即可求得面积的最大值.【详解】设椭圆的方程，设直线的方程为，联立，整理得，由椭圆的离心率，则，代入整理，，①由与的面积之比为，则，②则，面积，当且仅当，即时取等号，故的面积的最大值为，故选A.【点睛】本题主要考查椭圆的方程与几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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四川省射洪县射洪中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1．在直角坐标系中，直线210x -=的倾斜角．．．是（ ） A3πB ．2π C ．23π D ．不存在2.已知圆的方程为222610x y x y +--+=，那么圆心坐标为（ ）A.(1,3)B.(1,3)-C.(1,3)--D.(1,3)-3．已知正方体外接球的体积是π332，则此正方体的棱长为( ) A.1B.34C.334D.316 4．已知直线()12:210,:10l x ay l a x ay +-=+-=，若12//l l ，则实数a 的值为（ ）A ．32-B ．0C ．32-或0 D ．2 5. 在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,正确的是 （ ）A ． 若l β⊂且αβ⊥,则l α⊥B ． 若l β⊥且//αβ,则l α⊥.C ． 若l β⊥且αβ⊥,则//l αD ． 若m αβ⋂=且//l m ,则//l α6．圆9)2()(:221=++-y m x C 与圆4)()1(:222=-++m y x C 外切，则m 的值为（ )A. 2B. -5C. 2或-5D. 不确定7. 如图是水平放置的ABC ∆按“斜二测画法”得到的直观图，其中''''B OC O ==''AO =，那么ABC ∆的面积是( )A B ．C D ．28．已知圆22:(2)(1)3C x y -++=，从点(1,3)P --发出的光线，经x 轴反射后恰好经过圆心C ，则入射光线的斜率为( )A ．43-B ．23-C ．43D ．239．在长方体1111D C B A ABCD -中，21==AA AB ，1=AD ，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为 ( )A.1010 B.1030C.515D.1010310．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．31B ．32C ．D ．3411.动圆C 经过点(1,0)F ，并且与直线1x =-相切，若动圆C 与直线1y x =+总有公共点，则圆C 的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π 12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段AC 1上有两个动点E ，F ，且EF ①CE ⊥BD ； ②三棱锥E —BCF 的体积为定值；③△BEF 在底面ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形； ④在平面ABCD 内存在无数条与平面DEA 1平行的直线，其中正确结论的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．经过点（1，2）且与直线210x y +-=垂直的直线方程为 ． 14．已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，面积为2，则该圆锥的底面面积是 ．15.在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，直线1OC 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α= ．16、已知直线2:(1)4(0)l mx m y m m -+=≥和圆22:84160C x y x y +-++=，有以下几个结论：①直线l 的倾斜角不是钝角。
②直线l 必过第一、三、四象限。
③直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧。
④直线l 与圆C 相交的最长弦长为5。
其中正确的是 .三．解答题（共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分） 17.（本小题满分10分）已知直线l 1：2x+y+2=0；l 2：mx+4y+n=0． (Ⅰ)若l 1⊥l 2，求m 的值．(Ⅱ)若l 1∥l 2,且他们的距离为5，求m ，n 的值．18．（本题满分12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，⊥MA 平面ABCD ,MA PD //,E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且PD AD =.（1）求证：平面//EFG 平面PMA ； （2）求证：⊥DF 平面PBC . 19．（本小题满分12分）已知关于x ，y 的方程C :04222=+--+m y x y x ． （1）当m 为何值时，方程C 表示圆．（2）若圆C 与直线l : x +2y -4=0相交于M ，N 两点，且MNm 的值．20、（本小题满分12分）已知直线.(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围; (2)若直线交轴负半轴于,交轴正半轴于，求的面积的最小值并求此时直线的方程；(3)已知点,若点到直线的距离为，求的最大值并求此时直线的方程.21、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠BAD=90°，BC=2AD ，E 为线段BC 的中点。
（1）求证：平面PDE ⊥平面PAD ；（2）在线段BD 上是否存在点F ，使得EF//平面PCD ？若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由；（3）（理科做）若AB=1，DC=2，PA=2，求二面角P-CD-B 的余弦值（文科做）若AB=1，DC=2，PA=2，求四棱锥P —ABCD 的体积。
22、（本小题满分12分）如图，圆C ：0)1(22=+-++-a ay y x a x ．（Ⅰ）若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；（Ⅱ）已知1>a ，圆C 与x 轴相交于两点,M N （点M 在点N 的左侧）．过点M 任作一条直线与圆O ：422=+y x 相交于两点,A B ．问：是否存在实数a ，使得BNM ANM ∠=∠？若存在，求出实数a 的值，若不存在，请说明理由．射洪中学2018年下期高2017级半期考试数学参考答案一、选择题1-5：BACCB 6-10：CDCBD 11-12：DD二、填空题13．x-2y+3=0 14．1 15. 16、①④三、解答题17.解：..……………………5分.,,..……………………10分18、（6分）(2)证明由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.面又，在正方形中，为中点，又,平面.（12分）19. 解析：（1）方程C可化为显然时方程C表示圆．即 4分（2）圆的方程化为圆心C（1，2），半径则圆心C（1，2）到直线l:x+2y-4=0的距离为，有得 12分20、【答案】（1）[0,+∞)；（2）S的最小值为4，此时的直线方程为x−2y+4=0；（3）d的最大值为5，此时直线方程为3x+4y+2=0。
【详解】(1)由kx−y+1+2k=0,得k(x+2)+(−y+1)=0，联立,解得，则直线l:kx−y+1+2k=0过定点M(−2,1)；由kx−y+1+2k=0，得y=kx+1+2k，要使直线不经过第四象限,则，解得k⩾0。
∴k的取值范围是[0,+∞)。
4分(2)如图，由题意可知，k>0，在kx−y+1+2k=0中,取y=0,得，取x=0，得y=1+2k，∴。
当且仅当，即时等号成立。
∴S的最小值为4，此时的直线方程为12x−y+2=0，即x−2y+4=0。
8分(3)点P(1,5)，若点P到直线l的距离为d，当PM⊥l时,d取得最大值,且为，由直线PM的斜率为，可得直线直线l的斜率为，则直线l的方程为，即为3x+4y+2=0。
12分21、证明：（1）E为BC的中点，BC=2AD，AD=BE，而AD//BC四边形ABED是平行四边形，又，，又平面ABCD，,DMJ 平面PAD，而平面PDE，平面PDE平面PAD。
（4分）（2）取BD的中点为F，则EF//平面PCD，证明如下：E,F分别为BC,BD的中点，EF//CD，而CD平面PCD，EF平面PCD，EF//平面PCD，（8分）(3)由条件可知BC=2，梯形ABCD的面积为，故四棱锥P-ABCD的体积为V-（12分）22、解析:（Ⅰ）因得，由题意得，所以 ,故所求圆C的方程为． 4分（Ⅱ）令，得，即所以假设存在实数，当直线AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，代入得，，设从而又因为而因为，所以，即，得．当直线AB与轴垂直时，也成立．故存在，使得. 12分。