2017-2018年江苏省镇江市丹阳高级中学创新班高一上学期数学期中试卷和解析

2017-2018学年江苏省镇江市丹阳高级中学创新班高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卷相应位置）1．（5分）函数f（x）=cos4x﹣sin4x的最小正周期是．2．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=．3．（5分）已知向量=（2，1），=（0，﹣1）．若（+λ）⊥，则实数λ=．4．（5分）在等差数列{a n}中，a6=10，s5=5，求a n=．5．（5分）△ABC中，已知a=5，c=10，∠A=30°，则∠B等于．6．（5分）若sin（α﹣π）=2cos（π+α），则=．7．（5分）一扇形的周长为6，当扇形的弧长为时，它有最大面积？8．（5分）9．（5分），tanα=．10．（5分）函数y=sinπx（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tan∠OPB．11．（5分）5cos2θ=cos2，则tan（θ+1）tan（θ﹣1）的值为．12．（5分）等差数列{a n}中，公差d≠0，a32=a1a13，若a1，a3，…，a kn，…成等比数列，则k n=．13．（5分）“无字证明”，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现，请利用图1、图2中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：．14．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则||的最小值为二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（1）已知=（3，﹣3），=（cosθ，sinθ）（），求的取值范围；（2）已知和互相垂直，且，求向量与的夹角的余弦值．16．（14分）在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心作一个单位圆，角α和角β的终边与单位圆分别交于A、B两点，且||=．若0＜α＜，﹣＜β＜0，sinβ=﹣．（1）求△AOB的面积；（2）求sinα的值．17．（14分）如图，在△ABC中，||=3，||=1，l为BC的垂直平分线且交BC于点D，E为l上异于D的任意一点，F为线段AD上的任意一点．（1）求•（﹣）的值；（2）判断•（﹣）的值是否为一常数，并说明理由；（3）若AC⊥BC，求•（+）的最大值．18．（16分）已知数列{a n}的前n项的和为S n，且a n=S n•S n﹣1（n≥2，S n≠0），a1=．（1）求证：{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．（3）设b n=，是否存在正整数m，n（m＞n），使得b m•b n=﹣27成立，若存在求出m，n，若不存在，说明理由．19．（16分）已知一列非零向量满足：，（1）证明是等比数列（2）求向量的夹角（2）设向量，将中所有与共线的向量取出来，按原来的顺序排成一列，组成新的数列，，O为坐标原点，求B n的坐标．20．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设．（1）求a，b的值；（2）不等式f（sinθ+cosθ）﹣2ksinθcosθ≤0在上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程，有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．2017-2018学年江苏省镇江市丹阳高级中学创新班高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卷相应位置）1．（5分）函数f（x）=cos4x﹣sin4x的最小正周期是π．【解答】解：∵f（x）=cos4x﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2﹣sin2x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴f（x）的最小正周期是T==π故答案为：π2．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=15．【解答】解：因为数列{a n}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，则a2+a3=15．故答案为：15．3．（5分）已知向量=（2，1），=（0，﹣1）．若（+λ）⊥，则实数λ=5．【解答】解：∵向量=（2，1），=（0，﹣1），∴．∵（+λ）⊥，∴2×2+1×（1﹣λ）=0，λ=5．故答案为：5．4．（5分）在等差数列{a n}中，a6=10，s5=5，求a n=3n﹣8．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，a6=10，s5=5，可得a1+5d=10，5a1+×5×4d=5，解得d=3，a1=﹣5，则a n=a1+（n﹣1）d=﹣5+3（n﹣1）=3n﹣8．故答案为：3n﹣8．5．（5分）△ABC中，已知a=5，c=10，∠A=30°，则∠B等于105°或15°．【解答】解：∵a=5，c=10，A=30°∴根据正弦定理，得到=，可得sinC===∴结合0°≤C≤180°，可得C=45°或135°∵A+B+C=180°，A=30°，∴B=105°或15°故答案为：105°或15°6．（5分）若sin（α﹣π）=2cos（π+α），则=．【解答】解：∵sin（α﹣π）=2cos（π+α），∴sinα=2cosα．∴==．故答案为：．7．（5分）一扇形的周长为6，当扇形的弧长为3时，它有最大面积？【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为L，则周长2R+L=6，解得R=3﹣，∴扇形的面积为S=RL=（3﹣）L=﹣L2+L，∴当L=﹣=3时，扇形的面积S有最大值．故答案为：3．8．（5分）【解答】解：由图象可得A=1，周期T满足==﹣，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），又图象过点（，﹣1），∴﹣1=sin（+φ），又∵，∴φ=∴所求函数的解析式为：f（x）=sin（2x+）故答案为：f（x）=sin（2x+）9．（5分），tanα=或．【解答】解：∵，平方可得sin2α+4sinα•cosα+4cos2α=，即==，解得tanα=，或tanα=，故答案为：或．10．（5分）函数y=sinπx（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tan∠OPB8．【解答】解：过P作PQ⊥x轴，如图所示：∵函数y=sinπc，且P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，∴P（，1），B（2，0），即|PQ|=1，|OQ|=，|OB|=2，∴|QB|=|OB|﹣|OQ|=，在Rt△OPQ中，tan∠OPQ==，在Rt△PQB中，tan∠BPQ==，∴tan∠OPB=tan（∠OPQ+∠BPQ）==8．故答案为：811．（5分）5cos2θ=cos2，则tan（θ+1）tan（θ﹣1）的值为．【解答】解：由5cos2θ=cos2，得5cos[（θ+1）+（θ﹣1）]=cos[（θ+1）﹣（θ﹣1）]，即5cos（θ+1）cos（θ﹣1）﹣5sin（θ+1）sin（θ﹣1）=cos（θ+1）cos（θ﹣1）+sin（θ+1）sin（θ﹣1）∴4cos（θ+1）cos（θ﹣1）=6sin（θ+1）sin（θ﹣1）．两边同除以cos（θ+1）cos（θ﹣1），得4=6tan（θ+1）tan（θ﹣1）．∴tan（θ+1）tan（θ﹣1）=．故答案为：．12．（5分）等差数列{a n}中，公差d≠0，a32=a1a13，若a1，a3，…，a kn，…成等比数列，则k n=．【解答】解：等差数列{a n}中，公差d≠0，a32=a1a13，可得（a1+2d）2=a1（a1+12d），化简可得d=2a 1，则a n=a1+（n﹣1）d=2na1﹣a1，a1，a3，…，a kn，…成等比数列，可得公比q为==5，即有a kn=2k n a1﹣a1=a1•5n﹣1，解得k n=，故答案为：．13．（5分）“无字证明”，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现，请利用图1、图2中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．【解答】解：在左边的图中大矩形的面积S=（cosβ+cosα）（sinβ+sinα）=sinβcosβ+cosβsinα+cosαsinα+sinβcosα+sinαcosα=sin（α+β）+sinβcosβ+sinαcosα．用大矩形的面积S减去4个直角三角形的面积就等于阴影部分的面积S1 ．空白部分的面积等于4个直角三角形的面积，即2×（sinβcosβ+sinαcosα）=sinβcosβ+sinαcosα．故阴影部分的面积S1 =S﹣sinβcosβ+sinαcosα=sin（α+β）．而在右边的图中阴影部分的面积S2等于2个阴影小矩形的面积之和，即S2=si nαcosβ+cosαsinβ．在右边的图中大矩形的面积也等于S，S2等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积，而2个空白矩形的面积之和，即sinβcosβ+sinαcosα，故左图中空白部分的面积等于右图中空白部分的面积．故左右图中阴影部分的面积也相等，即S1 =S2 ，故有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，故答案为：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．14．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则||的最小值为【解答】解：连接AM、AN，∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，∴=||•||cos120°=﹣∵AM是△AEF的中线，∴=（）=（+）同理，可得=（+），由此可得=﹣=（1﹣m）+（1﹣n）∴=[（1﹣m）+（1﹣n）]2=（1﹣m）2+（1﹣m）（1﹣n）•+（1﹣n）2=（1﹣m）2﹣（1﹣m）（1﹣n）+（1﹣n）2，∵m+4n=1，可得1﹣m=4n∴代入上式得=×（4n）2﹣×4n（1﹣n）+（1﹣n）2=n2﹣n+∵m，n∈（0，1），∴当n=时，的最小值为，此时的最小值为．故答案为：二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（1）已知=（3，﹣3），=（cosθ，sinθ）（），求的取值范围；（2）已知和互相垂直，且，求向量与的夹角的余弦值．【解答】解：（1）由题意知═（3﹣2cosθ，﹣3﹣2sinθ）则，∵，∴﹣＜θ﹣＜，∴﹣＜sin（θ﹣）＜，∴﹣12＜12sin（θ﹣）＜12，∴10＜22+12sin（θ﹣）＜34，∴．（2）∵，∴，∴又∵，∴∴两个向量的夹角的余弦值为16．（14分）在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心作一个单位圆，角α和角β的终边与单位圆分别交于A、B两点，且||=．若0＜α＜，﹣＜β＜0，sinβ=﹣．（1）求△AOB的面积；（2）求sinα的值．【解答】解：（1）根据题意设=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴=﹣=（cosβ﹣cosα，sinβ﹣sinα），∴||2=（cosβ﹣cosα）2+（sinβ﹣sinα）2=，即2﹣2（cosβcosα+sinβsinα）=，∴cos（α﹣β）=cosβcosα+sinβsinα=；∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴0＜α﹣β＜π，∴sin∠AOB=sin（α﹣β）==，又∵|OA|=1，|OB|=1，=|OA|•|OB|sin∠AOB==．∴S△AOB（2）∵sinβ=﹣，∴cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×﹣×=．17．（14分）如图，在△ABC中，||=3，||=1，l为BC的垂直平分线且交BC于点D，E为l上异于D的任意一点，F为线段AD上的任意一点．（1）求•（﹣）的值；（2）判断•（﹣）的值是否为一常数，并说明理由；（3）若AC⊥BC，求•（+）的最大值．【解答】解：（1）=．（2）=4．∴的值是一常数．（3）∵AC⊥BC，；∴，；∴，设，则；∴==；∴时，取最大值．18．（16分）已知数列{a n}的前n项的和为S n，且a n=S n•S n﹣1（n≥2，S n≠0），a1=．（1）求证：{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．（3）设b n=，是否存在正整数m，n（m＞n），使得b m•b n=﹣27成立，若存在求出m，n，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，S n﹣S n﹣1=S n•S n﹣1，，数列为等差数列；（2）由（1）知，，∴．当n≥2时，，∴；（3）由（2）中，，则b n=11﹣2n，若b m b n=﹣27，则（11﹣2m）（11﹣2n）=﹣27，∵m，n∈N+∴11﹣2m，11﹣2n∈Z∵﹣27=（﹣1）×27=（﹣27）×1=（﹣9）×3=（﹣3）×9∵m＞n，则．19．（16分）已知一列非零向量满足：，（1）证明是等比数列（2）求向量的夹角（2）设向量，将中所有与共线的向量取出来，按原来的顺序排成一列，组成新的数列，，O为坐标原点，求B n的坐标．【解答】（1）证明：≠，∴||=≠0，∵||=====||，∴=，∴是以||为首项，为公比的等比数列，（2）解：设向量的夹角为θ，∴•=x n x n﹣1+y n y n﹣1=（x n﹣1+y n﹣1）x n﹣1+（x n﹣1﹣y n﹣1）y n﹣1=（x n﹣12+y n﹣2）=||2，1∴cosθ==，∴θ=，即向量的夹角，（3）解：由（2）知相邻两向量夹角为，∴每相隔3个向量的两向量必共线并方向相反，即=，设=λ，由（1）知λ=﹣=﹣（）4=﹣，∴=•（﹣）n﹣1=（﹣）n﹣1•（1，2），∴=（[1﹣（﹣）n，[1﹣（﹣）n]）∴B n的坐标为=（[1﹣（﹣）n，[1﹣（﹣）n]）20．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设．（1）求a，b的值；（2）不等式f（sinθ+cosθ）﹣2ksinθcosθ≤0在上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程，有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=ax2﹣2ax+1+b，函数的对称轴为直线x=1，由题意得：①得②得（舍去）（2）由（1）可知g（x）=x2﹣2x+1，∴f（x）=x+﹣2，设sinθ+cosθ=t，则sin（θ+）=t，∵，∴θ+∈[，]，∴≤sin（θ+）≤1，xw∴1≤t≤∴2sinθcosθ=t2﹣1，∵不等式f（sinθ+cosθ）﹣2ksinθcosθ≤0在上恒成立，∴f（t）﹣k（t2﹣1）≤0在t∈[1，]上恒成立，当t=1时，f（t）=1+1﹣2=0，此时f（t）﹣k（t2﹣1）≤0在t∈[1，]上恒成立，当1＜t≤时，∴k≥===设h（x）=，则h′（x）=﹣=＞0恒成立，∴h（x）在（1，]上单调递增，∴h （x ）max =h （）==∴k ≥，（3）设|sinθ﹣cosθ|=m ，则2|sin （θ﹣）|=m ，∵，∴m ∈[0，2）∵方程，有三个不同的实数解∴f （m ）+k （﹣3）=0在[0，2）上有三个不同的实数解， ∴+k （﹣3）=0，∴m 2﹣（2+3k ）m +1=0，当m=0时，此时不成立， 方程的两个根一个在（0，1），一个在（1，2）， 可得，解得：k ∈（0，）．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。