江苏省丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义：整数的简单性质1 Word版缺答案

合集下载

江苏省丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义：数列的递推 Word版缺答案

第三课时数列的递推一、知识回顾本节主要内容两个基本递推：a n ＋1＝a n ＋d ，a n ＝qa n ；线性递推，二阶或高阶递推的特征方程与特征根；其他递推．1．基本概念：①递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…，k n a -（n k <）的关系式称为递归式．②递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列． 2．常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等． 3．思想策略：构造新数列的思想． 4．常见类型：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归）其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列．①形如)(1n q a a n n +=+的递归式,其通项公式求法为：1111111()()n n n k k k k a a a a a q k --+===+-=+∑∑②形如nn a n p a )(1=+的递归式,其通项公式求法为：3211121(1)(2)(1)n n n a a a a a a p p p n a a a -=⋅⋅⋅=⋅⋅-L L ③形如)1()(1≠+=+p n q pa a n n 的递推式,两边同除以1+n p 得111)(++=+=n n n n n p n q p a p a ,令nnnb p a =则句可转化为①来处理. 类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归）解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα+=，代入初始值求得B A ,．①若p+q=1时，有q a a n n -=-+1)(1--n n a a 可知}{1n n a a -+是等比数列，先求得n n a a -+1，再求出n a .②若p+q ≠l ，则存在α，β满足=α-+n n a a 1)(1--βn n a a 整理得11)(-+αβ-β+α=n n n a a a 从而α+β=p ， αβ=q ，可解出α、β，这样可先求出}{1n n a a α-+的通项表达式，再求出n a . 注意α、β实质是二次方程q px x +=2的两个根，将方程q px x +=2叫做递归式n n n qa pa a +=++12的特征方程．在数列{n a }中，给出a 1, a 2，且n n n qa pa a +=++12 ，它的特征方程q px x +=2的两根为α与β．如果α≠β，则n n n B A a βα+=；如果α=β则n n B An a α+=)(，其中A 与B 是常数，可由初始值a 1,a 2 求出．类型Ⅲ. 如果递归数列{a n }满足 a n+1dca baa n n ++=,其中c ≠0,ad －bc ≠0,以及初始值a 0≠f (a 1),则称此数列为分式线性递归数列.我们称方程dcx bax x ++=的根为该数列的不动点.若该数列有两个相异的不动点p 、q ，则 }{q a p a n n --为等比数列；若该数列仅有惟一的不动点p ，则}1{pa n -是等差数列·形如2n n n Aa Ba Ca D++=+的数列对于数列2n n n Aa B a Ca D++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）其特征方程为Ax B x Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…②若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求c 值。

江苏省丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义：柯西不等式 Word版缺答案

第43讲柯西不等式柯西不等式是不等式中的经典之一。

本节主要介绍柯西不等式在求最值、解方程、证明不等式等方面的应用。

柯西不等式的二维形式：若d c b a ,,,都是实数，则)())((222bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =时，等号成立。

柯西不等式的一般形式：设na a a a ,...,,,321，nb b b b ,...,,,321是实数，则222112222122221)...()...).(...(n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++，当且仅当0=i b),...,2,1(n i =或存在一个数k ，使得i i kb a =),...,2,1(n i =时，等号成立。

柯西不等式的变形形式：变形1. 设R a i ∈，0>i b ),...,2,1(n i =，则n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≥+++...)...( (21221222)2121当且仅当nb b b ===...21时，等号成立。

变形2. 设ia ，i b ),...,2,1(n i =同号且不为0，则n n n n n b a b a b a a a a b a b a b a ++++++≥+++...)...( (221122122)11，当且仅当n b b b ===...21时，等号成立。

对于柯西不等式的一般形式，我们将在本节的附录里给出证明。

A 类例题例1 b a ,为正的常数，10<<x ，x b x a x f -+=1)(，求)(x f 的最小值。

分析：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件，这个函数的解析式是两部分的和，x b x a -1,可看作2221,a a ，如再能出现2221,b b ，则可用，注意到11=+-x x解法一：用柯西不等式22)()1.1.()1)(1(1b a x b x x a x x b x a x x x b x a +=--+≥-+-+=-+，因此2min )()(b a x f +=，当且仅当x x bxx a--=1.1.，即b a ax +=时，取得最小值。

江苏省丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义整数的简单性质缺答案

整数的简单性质（一）（一）知识、技能、方法一、整数的离散性任何两个整数,x y之间的距离至少为1，因此有不等式<⇔+≤.x y x y1二、整数的奇偶性将全体整数分为两类,凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此,任一偶数可表示为2m（m∈Z）的形式，任一奇数可表示为2m+1或2m－1的形式. 奇、偶数具有如下性质：（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数;偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（2）两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若为整数，它必为偶数。

（3）奇数的平方都可表示为8m+1形式，偶数的平方都可表示为8m 或8m+4的形式（m∈Z）。

（4）任何一个正整数n，都可以写成ln m2=的形式，其中m为非负整数,l为奇数.三、整数的整除性1．定义：设a，b是整数，且b≠０，若存在整数c，使a＝bc，则称b整除a或a能被b整除，记作b|a，并称b是a的一个约数（因子），称a是b的倍数。

若不存在上述c,则称b不能整除a，记为b| a。

显然，１和-1能整除任意整数，任意整数都能整除０。

④若b|a c，且（a，b）＝1，则b|c。

⑤ 若p 为质数，p | a b ，则p | a 或p ｜ b ，特别地，若p ｜ a n ，*n N ∈,则p | a 。

⑥ 若(a ，b ）＝1，且a |c ，b ｜c ，则a b ｜c. ⑦ 带余除法:设b ＞0，对于任意整数a ，总可以找到一对惟一确定的q ，r 满足a =bq+r ，0≤r ＜b.⑧ (a －b ）｜（a n －b n )（n ∈N)，(a ＋b)|(a n ＋b n )(n 为正奇数) .⑨ 如果在等式11n miki k a a ===∑∑中除开某一项外,其余各项都是c 的倍数，则这一项也是c 的倍数。

【全国百强校】江苏省丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义-几何体的面积和体积、截面问题(无答案)

几何体的面积和体积、截面问题
一、知识要点
1、几何体的面积主要包括表面积和截面的面积.
几何体的体积计算应重视以下常用的方法和技巧：（1）转移法（即利用祖暅原理或等积变换，把所求几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积）；（2）分割求和法；（3）补形求差法；（4）交换底面求三棱锥（或四面体）的体积.
2、截面：用平面去截几何体，平面与几何体表面的交线所围成的平面图形.
截面问题主要包括作图和计算两个方面.处理截面问题一般分为三个步骤：定位、定形、定量.其中，图形的定位是解决截面问题的关键.作截面的方法源于确定平面的公理3及其三个推论，一般都是先确定一个平面，然后在这个平面内完成作图.
二、例题分析
【题组1】
【题组2】。

高中数学讲义：数列中的整数问题

数列中的整数问题一、基础知识：1、整数的基本性质：（1）整数的和，差，积仍为整数（2）整数的奇偶性：若()21n k k Z =+Î，则称n 为奇数；若()2n k k Z =Î，则称n 为偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律：① 奇数±奇数=偶数 ② 奇数±偶数=奇数③ 偶数±偶数=偶数 ④ 奇数´偶数=偶数⑤ 偶数´偶数=偶数 ⑥ 奇数´奇数=奇数（3）若,a b Z Î，且a b <，则1a b £-（4）已知,,a b R a b Î<，若n Z Î，且(),n a b Î，则n 只能取到有限多个整数（也有可能无解）（5）若aZ bÎ，称a 能被b 整除，则有：①b a£②b 为a 的一个因数（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数2、整数性质的应用：（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。

但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4）），例如：若(),2,5n N n ÎÎ，则n 的取值只能是3,4。

所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等关系依然可以求解。

（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。

（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。

通常的处理方式有两个：① 通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量② 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：① 所解得变量非整数，或不符合已知范围② 等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前n 项和的项数，均为正整数。

丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义：集合的性质与划分含答案

集合的性质与划分一、基础知识本讲内容包括集合的划分和子集、子集个数及子集的应用. 集合上的运算问题，形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合,用集合的性质进行组合计数等综合型题目.设a 表示任意元素，A ，B 表示两个集合，若a A a B ∈⇒∈，则A B ⊆，即集合A 是集合B 的子集.规定空集是任何集合的子集.子集是由原集合中的部分元素构成.对于由n 个元素组成的集合，它的每一个子集中元素的构成，都是对这n 个元素进行选择的结果，由于对每一个元素的选择都有两种可能（选上或不选），因此，对这n 个元素共有2n种不同选择结果，即由n 个元素组成的集合共有2n个不同子集。

其中，不同的非空子集有21n-个，不同的真子集有21n -个。

加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。

乘法原理:做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。

容斥原理:用A 表示集合A 的元素个数，则,B A B A B A -+=CB AC B C A B A C B A C B A +---++=,需要此结论可以推广到n个集合的情况,即∑∑∑∑=≠≤<<≤=+-=ni k j i ji nk j i j iini iA A A A AA A 111.)1(11 n i i n A =--+-集合的划分：若I A A A n= 21，且),,1(j i n j i A A j i≠≤≤∅= ，则这些子集的全集叫I 的一个n -划分。

抽屉原理：将1+mn 个元素放入)1(>n n 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+m 个元素，也必有一个抽屉放有不多于m 个元素；将无穷多个元素放入n 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素. 二、基础训练 1、若2{2,|1|}{2,3,21}a aa +⊆+-,则a = _______解得2a =或4-.2、设集合{|11000,}M n n n N =≤≤∈，现对M 的任意一个非空子集X ，令Xa 表示X 中最大数与最小数之和，那么，所有这样的Xa 的算术平均值为_____________【解】将M 中非空子集配对：对每个非空集X M ⊆,令{1001|}X x x X '=-∈，则X M '⊆,如果X X '≠,那么2002XX aa '+=；对于X X '=,必有1001X a =，由此可见所有的算术平均数为1001。

高中数学第十七章《整数问题》数学竞赛讲义苏教版

第十七章整数问题一、常用定义定理1．整除：设a,b ∈Z,a ≠0，如果存在q ∈Z 使得b=aq ，那么称b 可被a 整除，记作a|b ，且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数。

b 不能被a 整除，记作a b.2.带余数除法：设a,b 是两个给定的整数，a ≠0，那么，一定存在唯一一对整数q 与r ，满足b=aq+r,0≤r<|a|，当r=0时a|b 。

3．辗转相除法：设u 0,u 1是给定的两个整数，u 1≠0，u 1 u 0,由2可得下面k+1个等式：u 0=q 0u 1+u 2,0<u 2<|u 1|； u 1=q 1u 2+u 3,0<u 3<u 2； u 2=q 2u 3+u 4,0<u 4<u 3； …u k-2=q k-2u 1+u k-1+u k ,0<u k <u k-1； u k-1=q k-1u k+1,0<u k+1<u k ； u k =q k u k+1.4．由3可得：（1）u k+1=(u 0,u 1)；（2）d|u 0且d|u 1的充要条件是d|u k+1；（3）存在整数x 0,x 1，使u k+1=x 0u 0+x 1u 1.5．算术基本定理：若n>1且n 为整数，则k ak aap p p n 2121=，其中p j (j=1,2,…,k)是质数（或称素数），且在不计次序的意义下，表示是唯一的。

6．同余：设m ≠0,若m|(a-b)，即a-b=km ，则称a 与b 模同m 同余，记为a ≡b(modm)，也称b 是a 对模m 的剩余。

7．完全剩余系：一组数y 1,y 2,…,y s 满足：对任意整数a 有且仅有一个y j 是a 对模m 的剩余，即a ≡y j (modm)，则y 1,y 2,…,y s 称为模m 的完全剩余系。

8．Fermat 小定理：若p 为素数，p>a,(a,p)=1，则a p-1≡1(modp)，且对任意整数a,有a p≡a(modp). 9．若(a,m)=1，则)(m aϕ≡1(modm),ϕ(m)称欧拉函数。

全国百强校江苏省丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义解不等式无答案

第41讲解不等式本节主要内容为高次不等、分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式、含肯定值的不等式的解法．解不等式的根据是不等式的性质和不等式的同解原理．解不等式与解方程以及寒暑地图象、性质有着较为亲密的联络，它们互相转化、互相浸透，又有所区分． A 类例题例1 解不等式0)6)(4)(1)(1(2>--++-x x x x x解：对随意x ，012>+-x x ，因此该式可省略，再把6－x 变为x －6，不等号方向作相应变更，即原不等式与不等式0)6)(4)(1(<--+x x x 同解．用数轴标根法原不等式的解集为}641|{<<-<x x x 或说明：高于二次的不等式称为高次不等式．解高次不等式一般都将多项式尽可能地分解，使每个因式成为一次或二次式，而且各因式中x 的最高次数的那一项的系数应为正数．链接：早年，人们解高次不等式都要列表，过程有点繁．1977年美国人普鲁特和莫里〔M.H.protter, C.B.Morrey 〕将列表法简化为数轴上干脆表示的方法，既快捷又便利，答案在数轴上一目了然．例2 解不等式||112x x x ≤-解：〔1〕当x >0时，原不等式化为⎪⎩⎪⎨⎧>≥--⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤-001201110112x x x x x x x x x102012<<≥⇒⎩⎨⎧><≥⇒x x x x x 或或；〔2〕当x <0时，原不等式化为⎩⎨⎧<≤>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-≤-00101110112x x x x x x x x x 或 0<⇒x .综合〔1〕〔2〕，原不等式的解集为}2100|{≥<<<x x x x 或或说明：解不等式讲究一个“化〞字，也就是将原不等式化为同解的最简洁的不等式．解分式不等式时都是把它化成同解的整式不等式．例如不等式1)()(>x g x f 与不等式0)()()(>-x g x g x f 同解，也就是与[]0)(.)()(>-x g x g x f 同解．一般状况下分式不等式是不能去分母的，但假设能断定分母恒大于0或恒小于0，那么可以去分母．例3 解不等式152+>+x x 〔1985年全国高考题.理科〕解：原不等式化为⎩⎨⎧<+≥+01052x x 〔1〕或⎪⎩⎪⎨⎧+>+≥+>+2)1(5201052x x x x 〔2〕对于〔1〕125125-<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≥x x x对于〔2〕2121125<≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≥->x x x x因此，原不等式的解集为}225|{<≤-x x说明：解无理不等式时，为了化成有理不等式，一般都有乘方．但这时候肯定要留意式子的取值范围，否那么乘方后会破坏不等式的同解性．例如x =1是不等式10->x 解集中的一个元素，而x =1就不是不等式2)10(->x 解集中的元素．一般地，⎩⎨⎧>≥⇔>)()(0)()()(x x f x x x f ϕϕϕ⎩⎨⎧≥>⎩⎨⎧<≥⇔>0)()]([)(0)(0)()()(2x x x f x x f x x f ϕϕϕϕ或⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x x f x x f x x f ϕϕϕ 另外在解题过程忠，集合之间的“交〞、“并〞关系也必需理清晰，这样才能保证答案的正确性．情景再现1. 解不等式02)1(22≥-+-x x x x 2. 设a >0，解关于x 的不等式x a x a a 2)(->- 3. 设函数ax x x f -+=1)(2，其中a >0，解不等式1)(≤x f〔2000年全国高考题.理科〕B 类例题例4 解不等式xxx964>+分析：这是一个指数不等式．留意到其底数4、6、9有如下关系2)32()94(=，3296=，199=，因此类似于解指数方程，可以将不等式两边同除以x 9．解：原不等式化为1)96()94(>+xx令u x =)32(，那么2)94(u x = )0(>u ，那么有⇒>-+012u u⇒+->⇒+->⇒>+++--251)32(2510)251).(251(x u u u 原不等式的解为15log 32-<x说明：xy )32(=为减函数，忽略了这一点，解的最终一步就会出错．解指数不等式一般应先解出xa 的范围，进而再求x 的范围．例5 假设10<<a ，解不等式1log 6log ->a x x a解：令u x a =log ，由对数换底公式u a x 1log =，原不等式化为⇒->16uu 0)3)(2(062>+-⇒>-+u u u uu u ．由数轴标根法得：203><<-u u 或，留意到原不等式解集为⇒<<10a }01|{23a x a x x <<<<-或说明：由2>u ，得22log a x x a <⇒>，留意到x y a log =中，0>x，因此这部分的结果应是20a x <<．如仅写成2a x <那就不正确了．例6 使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是___________ 〔2003年全国高考题.理科〕分析：不等式的左边是含x 的对数式，右边是x 的一次式，这种不等式用通常的推理方法是无法求解的，因此考虑图象法．解：如下列图，在同一坐标系内分别作出函数)(log 2x y -=与1+=x y 的图象〔它们的共同定义域为0<x 〕．从图象上看出，当且仅当01<<-x 时，1+=x y 的图象在)(log 2x y -=图象的上方，因此x 的取值范围为01<<-x ．例7 解不等式 1. 02|3|22≥-++x x x2. 12|2|2+≤-x x 〔2004年全国联赛四川省初赛〕3. 3|2||1|+>-+-x x x解：1. 原不等式化为2222232|3|x x x x x x -≥+⇒-≥+ 〔1〕或)2(322x x x --≤+ 〔2〕对于〔1〕解得221-≤≥x x 或，对于〔2〕解得32-≤x ．取其并集，因此原不等式解集为}2132|{≥-≤x x x 或2. 原不等式化为⎩⎨⎧≥-+≤--⇒⎩⎨⎧+-≥-+≤-012032)12(21222222x x x x x x x x⎩⎨⎧--≤-≥≤≤-⇒211231x x x 或，因此，原不等式解集为}312|{≤≤-x x3. 分析：0|1|=-x 那么1=x ，0|2|=-x 那么2=x ．数1和2将数轴分为三段，根据肯定值的定义，通过分段探讨把肯定值的不等式化为不含肯定值的不等式．解法一划分区间分类探讨：1<x 时，原不等式化为03211<⇒⎩⎨⎧+>-+-<x x x x x21≤≤x 时，原不等式化为φ∈⇒⎩⎨⎧+>-+-≤≤x x x x x 321212>x 时，原不等式化为63212<⇒⎩⎨⎧+>-+->x x x x x综上，原不等式解集为}60|{><x x x 或解法二构造函数，画图象：令|2||1|)(-+-=x x x f ，3)(+=x x g ，可得⎪⎩⎪⎨⎧<+-≤≤>-=)1(32)21(1)2(32)(x x x x x x f ，在同一坐标系内作出)(x f y =和)(x g y =的图象，可求得A 〔0，3〕，B 〔6，9〕．因为)()(x g x f >，所以原不等式解集为}60|{><x x x 或说明：本例三个小题的解法在对待含肯定值的不等式上，具有普遍意义，是通法．链接：一般地，)(|)(|x g x f >与)()(x g x f >或)()(x g x f -<同解，)(|)(|x g x f <与⎩⎨⎧-><)()()()(x g x f x g x f 同解．有些不等式用图象法既精确又直观，在特定条件下这种做法别的方法不能取代．例8 设实数a ，b 满意不等式|||||)(|||b a a b a a +-<+-，试确定a ，b 的正、负．解：由得⇒+-<+-22|)|()](|[|b a a b a a).(||||.)(||2)().(||22222b a a b a a b a b a a a b a b a a a +<+⇒+++-<+++-，由于x x ≥||，因此立得).(||||).(0b a a b a a a +<+--⇒<，约去-a 得b a b a +<+-||00>->⇒>+⇒a b b a ，a 为负数且b 为正数．链接：如a ，b 是实数，那么22||||b a b a <⇔<．这是去掉肯定值的又一途径．情景再现4. 不等式xx321<+的解是__________ 〔2003年上海高中数学奥林匹克〕5. 设]1)(2[log 2221+-+=x x x b ab ay 〔0>a ，0>b 〕，求使y 为负值的x 的取值范围．〔上海1998年高考题〕 6. 求函数x y tan log 221++=的定义域．〔上海1989年高考题〕7. 1〕不等式03||42||23<+--x x x 的解集是__________ 〔2003年全国联赛题〕2〕不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->|22|330xx x x x 的解集为__________ 〔1997年全国高考题〕 3〕1|32|2+<+-x x x 的解集为__________ C 类例题例9 假设关于x 的不等式074)54(74)22(222222<-+--++-+-++a a x a a x a a x a x 的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和不小于4，那么实数a 的取值范围为__________〔2001年上海高中数学奥林匹克〕分析：区间的长度取决于数轴上点与点的间隔．因此此题应从整体着眼探讨根的分布，应用韦达定理．假如求一个个根的数值势必会陷入繁冗的计算之中，解题效率极低．解：03)2(7422<---=-+-a a a ，令74)22()(222-+-++=a a x a x x f ，74)54()(222-+--++=a a x a a x x g ，那么方程0)(=x f 及0)(=x g 都各有两个实根，简洁推断这两个方程的根有两正两负，而且互不相等．设0)(=x f 的根为1x ，2x ，021<x x ，不妨设21x x <．又设0)(=x g 的根为3x ，4x ，那么043<x x ，令43x x <，由韦达定理22)54()()(222143++-+-=+-+a a a x x x x0742>+-=a a ，所以0)(2143>+-+x x x x ．我们证明⎩⎨⎧>>1324x x x x 反证：设12424≤⇒≤x x x x ，又13124≤=x xx x 〔03<x 〕31x x ≥⇒，这样便有 21431324x x x x x x x x +≤+⇒⎩⎨⎧≤≤，此与已有事实2143x x x x +>+冲突，故24x x >．再由24x x >及4321x x x x =，得13x x >．因此有42310x x x x <<<<．原不等式等价于0)().(<x g x f ，由数轴标根法，得原不等式解为),(),(4231x x x x ⋃，区间长度之和为74)()(221431324+-=+-+=-+-a a x x x x x x x x ．由题设134742≤≥⇒≥+-a a a a 或，这就是a 的取值范围．说明：以上过程稍长，主要是对根的分布状况作了严格论证，解填空题，只要关键之处能把握得准，中间过程可大大压缩．例10 设0a 为常数，对随意1≥n 的正整数01.2.)1(]2.)1(3[51a a n n n n nn -+-+=-，且有1->n n a a ，求0a 的取值范围．〔据2003年全国高考天津卷试题改编〕解：由n a 的表达式，011111.2.3.)1(52.3.)1(32a a a n n n n n n n ------+-+⨯=-，对于随意正整数n ，1->n n a a 等价于201)23()15()1(--<--n n a 〔1〕i ）当,...)2,1(12=-=k k n 时，〔1〕式即为32022)23()15()1(--<--k k a51)23(51320+<⇒-k a ，32)23(-k 为单调增，因此此时0a 应小于51)23(5132+-k 的最小值〔1=k 〕时，5132.510+<a ，得310<a ．ii ）当,...)2,1(2==k k n 时，〔1〕式即为22012)23()15()1(--<--k k a 51)23(51220+->⇒-k a ，此时0a 应大于51)23(5122+--k 的最大值〔1=k 〕时，51)32(5100+->a ，即00>a ．对n 取奇数或偶数时，总有1->n n a a ，那么)31,0(031000∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧><a a a ．说明：由于n a 与1-n a 的差式中含有1)1(--n ，而1)1(--n 的符号不确定，因此对n 分奇数和偶数探讨就是顺理成章的事，当然也是解这道题的必经之路．例11 解不等式)0(1)2(>->-a x x a a解：原不等式化为一、 ⎩⎨⎧<-≥-0102x x a或二、⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-2)1()2(0102x x a a x x a 不等式组一化为21,20)2 ,20)112a x a a x a x ≤<≤<≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤解集为如解集为如φ 不等式组二化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∆<-+--≤<))1(8(01)22(1222a a a x a x x a x1〕0≤∆时，即10≤<a ，解集为φ．2〕⎩⎨⎧≤<>∆210a 时，原不等式二化为⎪⎩⎪⎨⎧-+-<<---<)1(21)1(212a a a x a a a a x ，由于2)1(21aa a a ≤-+- 〔2=a 时取等号〕，因此不等式解为 )1(21)1(21-+-<<---a a a x a a a3〕⎩⎨⎧>>∆20a 时，原不等式二化为⎩⎨⎧-+-<<---≤)1(21)1(211a a a x a a a x ，由于a a a >-)1(2 〔2>a 时〕，因此不等式解为1)1(21≤<---x a a a ．将不等式组一、二并便得原不等式解为：10≤<a 时，φ∈x ．21≤<a 时，)1(21)1(21-+-<<---a a a x a a a ． 2>a 时，2)1(21a a a a ≤---．说明：对含参数的不等式，除去原有的根本解法之外，还要学会探讨，探讨要把握住时机和线索．此题就是以a 的取值为线索，条理清晰有分有合，不重复不遗漏，步步紧扣，一挥而就．擅长探讨是学好数学的必备根本功．例12 1. 设1,>m a ，0>>b a ，证明mm ba b a log log <2. 解不等式xx 165log )1(log >+1. 证明：)lg (lg lg )lg (lg lg )lg (lg lg lg lg lg lg lg lg log log m a a m b a m a b m a m b a b mm b a ba ++-+=++-=- 0)lg (lg lg )lg (lg lg <+-=m a a a b m ，因此mm b a b a log log <．2. 分析：原不等式等价于不等式x x 45log )1(log >+，直觉告知我们16=x 时，据图象猜测160<<x 时，x x 45log )1(log >+．解：1〕160<<x 时，x >4，据此题1所证，)4(log log log 5)411()411.(44x xx x+=<++ )1(log )416(log 55x x +=+<，因此160<<x 是原不等式的解． 2〕16=x 时，)1(log log 54x x+=3〕16>x 时，4>x ，据此题1，1>b 时，mmab a b log log >，可得)45.(log log 4544x x⨯> )1(log )416(log )4(log 555x x x x +=+>+=．综合1〕，2〕，3〕知，原不等式的解是160<<x ．u )情景再现8. 解不等式1log 2log 3-<-x x x a a 〔1,0≠>a a 〕〔1999年全国高考试题〕9. 0>c ，设 P ：函数xc y =在R 上单调递减．Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ．假如P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．〔2003年全国高考试题〕10. 数列}{n a 的首项21=a ，且3121+=+n n a a 〔+∈z n 〕，求使不等式 9110||-+<-n n a a 成立的最小正整数n ．〔2005年上海TI 杯高二年级数学奥林匹克〕习题一 A 类1. 解不等式x x>12. 设集合}2|||{<-=a x x A ，}1212|{<+-=x x x B ，假设B A ⊆，务实数a 的取值范围．〔1999年上海高考试题〕 3. 解不等式)lg()3lg()1lg(x a x x -≥-+- B 类4. 1,0≠>a a ，试求使方程)(log )(log 222a x ak x a a -=-有解的k 的取值范围．〔1989年全国高考试题〕5. 解不等式0111222>+-++x x xx6. 设na n n x f x x x x .)1(...321lg )(+-++++=，其中a 是实数，n 是随意给定的自然数，且2≥n ．假如)(x f 当]1,(-∞∈x 时有意义，求a 的取值范围．〔1990年全国高考试题〕7. 对实数a ，b ，不等式13cos cos >+x b x a 无解，求证1||≤b ． 8. R x ∈，解不等式|4||2||3||2||3||1||4|--+-<------x x x x x x x〔2000年莫斯科高校数力系入学试题〕 9. 解不等式1234.39.26.52+<+--x x x x x C 类10. 解不等式1log.log422284≤x x x x11. )2,1(∈x 总满意关于x 的不等式1)lg(2lg <+x a ax，务实数a 的取值范围．{12. 关于x 的不等式a x a ax 32-<- 〔0≠a 〕在]3,4[--上恒成立，务实数a 的取值范围．本节情景再现解答1. 原不等式化为⎩⎨⎧≠-≠≤--+⇒⎩⎨⎧≠-+≥-+-210)2)(1)(1(020)2)(1(2222x x x x x x x x x x x x 且原不等式解集为}2110|{<≤-<=x x x x 或或2. 原不等式化为⎩⎨⎧<-≥-020x a x a 〔1〕或⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-2)2()(020x a x a a x a x a 〔2〕，对于〔1〕解得a x a ≤<2，对于〔2〕解得20ax ≤<，因此原不等式解集为}0|{a x x ≤<3.ax x +≤+112，由此得0≥ax 〔常数0>a 〕，01>+ax ，所以原不等式等价于⎩⎨⎧≥+-≥⇒⎩⎨⎧≥+≤+02)1(00)1(1222a x a x x ax x ，所以当10<<a 时，所给不等式的解集为}120|{2aax x -≤≤；当1≥a 时，所给不等式的解集为}0|{≥x x 4. 原不等式化为1)32()31(<+x x ，当1=x 时，1)32()31(11=+，所以1=x 不是不等式的解．1<x 时，1)31()31(>x ，)1(3231)32()31()32()32(1=+>+⇒>x x x ，因此1<x 也不是不等式的解．1>x 时，1)31()31(<x ，1)32()31()32()32(1<+⇒<xx x ，也就是x x 321<+，因此原不等式的解为1>x5. 据⇒>-+⇒>+-+0..211)(22222x x x x x x xb b a a b ab a12)(0]21)].[(21)[(012.)()(2->⇒>-+++⇒>-+x x x x x bab a b a b a b a 01 当b a =时，解为R x ∈．02 当b a >时，解为)12(log ->ba x ．03 当b a <时，解为)12(log -<ba x ．6. 原问题化为解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧∈+<≤≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+z k k x k x x x ,2400tan 0log 221πππ，所以函数y 的定义域为]4,[)2,0(ππ⋃7. 1〕R x ∈，22||x x =，由原不等式分解可得0)1|||)(|3|(|2<-+-x x x ，由此得所求不等式解集为)3,215()251,3(-⋃--2〕原不等式化为6006003322332202<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<->>⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+->+-+-<+->x x x x x x x x x x x x x ，此即原不等式的解．3〕原不等式化为2121)1(3213222<<⇒⎩⎨⎧∈<<⇒⎩⎨⎧+-<+-+<+-x Rx x x x x x x x ，因此原不等式的解集为}21|{<<x x8. 原不等式等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><>≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<->-≥-1log 43log 21log 32log )1log 2(2log 301log 202log 32x x x x x x x x a a a a a a a a 或当1>a 时，得所求解是}|{}|{4332a x x a x a x >⋃<≤ 当10<<a 时，得所求解是}0|{}|{3243a x x a x a x <<⋃≤<9. 函数xc y =单调减10<<⇔c ，不等式1|2|>-+c x x 的解集为⇔R 函数|2|c x x y -+=在R 上恒大于1．因为⎩⎨⎧<≥-=-+)2(2)2(2|2|c x c c x c x c x x ，所以c c x x 2|2|min =-+，于是应有2112>⇒>c c ．假如P 正确，且Q 不正确，那么210≤<c ．假如P 不正确，且Q 正确，那么1≥c ．所以c 的取值范围是),1[]21,0(+∞⋃，此题也可以运用图象法．10. 简洁求得该数列的通项公式为1)32(1-+=n n a ，⇒<---9110|)32()32(|n n4492lg 3lg 3lg 913lg 932lg )1(10)32(3191⋅>⇒-->-⇒+-<-⇒<--n n n n ，所以所求最小正整数50=n 本节习题解答1. 原不等式等价于0)1)(1(012<+-⇒<-x x x xx ，得101<<-<x x 或 2. 由2||<-a x 得22+<<-a x a ，所以{}22|+<<-=a x a x A ，由1212<+-x x 得， }32|{<<-=x x B ，因为B A ⊆，所以⎩⎨⎧≤+-≥-3222a a ，于是10≤≤a3. 图象法，)3)(1(x x y --=及x a y -=1≤a 时，无解． 31<<a 时，解为a x a≤≤--24135． 3=a 时，解为32<≤x ．4133≤<a 时，解为2413524135a x a -+≤≤--． 413>a 时，无解．4. 原方程的解x 应满意⎩⎨⎧>--=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-)2(0)1()(00)(22222222ak x a x ak x a x ak x a x ak x ，由〔1〕得)1(22k a kx +=，0=k 时无解．0≠k 时，解为kk a x 2)1(2+=，将此代入〔2〕得，1010102102)1(222<<-<⇒<-⇒>-+⇒>-+k k kk k k k ak k k a 或．即当k 在集合)1,0()1,(⋃--∞内取值时，原方程有解．5. 解法一：原不等式化为1122->+x x x1〕如0<x ，那么有033333301)1()1(01022222<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+>-<-<x x x x x x x x 2〕如0≥x ，那么有⎩⎨⎧<-≥0102x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≥-≥0)1(010222x x x x ，得0≥x ．综合1〕，2〕得原不等式的解为33->x ．解法二：三角代换，令θtan =x ，)2,2(ππθ-∈，原不等式化为01sin sin 22<--θθ 21sin ->⇒θ，33tan )26(->⇒<<-θπθπ ，即33->x ．6. )(x f 当]1,(-∞∈x 时有意义的条件是0.)1(...321>+-++++a n n xxxx，即x x x n n n n a )1(...)2()1[(-+++->，2≥n ，x nk)(-在]1,(-∞上都是增函数，从而它在1=x 时获得最大值)1(21)1...21(--=-+++-n n n n n ，因此)1(21-->n a 就是a 的取值范围．7. 依题意，对随意实数x b a ,,均有13cos cos ≤+x b x a ，取特别值32,3,,0πππ=x ，依次有⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+-≤-≤--≤+2221112111121211a b b a b a b a b a b a b a b a ，相加得333≤≤-b ，即1||≤b ．8. 原不等式化为⎪⎩⎪⎨⎧---<----≠->-222)2()3(|4|.|1|)4(4|2||3|x x x x x x x x 〔1〕或⎪⎩⎪⎨⎧--->+---≠-<-2222)2()3(|45|)4(4|2||3|x x x x x x x x 〔2〕不等式组〔1〕无解，不等式组〔2〕的解为43<<x 或74<<x ．综上，原不等式的解为}7443|{<<<<x x x 或9. 原不等式化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<≤--⇒⎪⎩⎪⎨⎧-->->≥--+0)2.43.3(2.230)23)(2.233()4.39.26.5(4)32(32.204.39.26.5221x x xx x x x x x x x x x x x xxx⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≤⇒34log 102.43.32.233223x x xx x x x ，因此原不等式的解为 }34log 10|{23≠≤≤x x x 且10. 令u x =||，原不等式化为⇒≤1)log 2.(log 222u u uu⇒≤+++-⇒≤++0)22lg )(lg 2lg (lg )2lg )(lg 2lg 3(lg 1)22lg )(lg 2lg (lg lg .lg 2u u u u u u uu8||2221||422lg 3lg 2lg 2lg lg )22lg(11≤≤<<⇒≤≤-<<--x x u u 或或，因此原不等式解为}22882221424221|{-≤≤-≤≤<<-<<-x x x x x 或或或．11. )2,1(∈x ，02>ax ，所以1,0>+>x a a ，因此原不等式化为)lg(2lg x a ax +<x a ax +<⇒2，即xx xa 12112-=-<，在)2,1(∈x 上恒成立，而112132<-<x，因此a的取值范围为320≤<a ．12. 先求出不等式的解⎪⎩⎪⎨⎧+-<-≥->-⇔≠-<-2222296003)0(3a ax x a ax a ax a x a a x a ax ，解此不等式得：当0>a 时，不等式的解为),5(+∞a ；当0<a 时，不等式的解为],2(a a ．当0>a 时，原不等式在[-4，-3]上不成立；当0<a 时，a 满意的充要条件为],2(]3,4[a a ⊆-- 23342-<≤-⇔⎩⎨⎧-≥-<⇔a a a ，这就是所求的取值范围．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

整数的简单性质（一）
（一）知识、技能、方法
一、整数的离散性
任何两个整数,x y 之间的距离至少为1，因此有不等式1x y x y <⇔+≤.
二、整数的奇偶性
将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表示为2m （m ∈Z ）的形式，任一奇数可表示为2m+1或2m －1的形式. 奇、偶数具有如下性质：
（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；
（2）两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若为整数，它必为偶数.
（3）奇数的平方都可表示为8m+1形式，偶数的平方都可表示为8m 或8m+4的形式（m ∈Z ）.
（4）任何一个正整数n ，都可以写成l n m 2=的形式，其中m 为非负整数，l 为奇数.
三、整数的整除性
1．定义：设a ，b 是整数，且b ≠０，若存在整数c ，使a ＝bc ，则称b 整除a 或a 能被b 整除，记作b |a ，并称b 是a 的一个约数（因子），称a 是b 的倍数.若不存在上述c ，则称b 不能整除a ，记为b | a .
显然，１和-1能整除任意整数，任意整数都能整除０.
2．性质：① 若c|b ，b|a ，则c|a . ② 若b|a ，则bc|a c .
③ 若c|a ，c|b ，则对任意整数m 、n ，有c|m a ＋nb . ④ 若b|a c ，且(a ，b)＝1，则b|c . ⑤ 若p 为质数，p | a b ，则p | a 或p | b ，特别地，若p | a n ，*n N ∈，则p | a . ⑥ 若(a ，b)＝1，且a |c ，b|c ，则a b|c .
⑦ 带余除法：设b ＞0，对于任意整数a ，总可以找到一对惟一确定的q ，r 满足a =bq+r ，0≤r ＜b .
⑧ (a －b)|(a n －b n )(n ∈N)，(a ＋b)|(a n ＋b n )(n 为正奇数) .
⑨ 如果在等式11n m i
k i k a a ===∑∑中除开某一项外，其余各项都是c 的倍数，则这一项也是c
的倍数.
⑩ n 个连续整数中有且仅有一个是n 的倍数；任意n 个连续整数之积一定是n ！的倍数.
3．整除的判别法：设整数N ＝121a a a a n n Λ-，
① 2|1a ⇔2|N ，5|1a ⇔ 5|N ； ② 3|1a ＋2a ＋…＋n a ⇔3|N ，9|1a ＋2a ＋…＋n a ⇔9|N ；
③ 4|21a a ⇔4|N ，25|21a a ⇔25|N ； ④ 8|321a a a ⇔8|N ，125|321a a a ⇔125|N ； ⑤ 7||14n n a a a -L
－321a a a |⇔7|N ， 11||14n n a a a -L －321a a a |⇔11|N ， 11|[(a 2n ＋1＋a 2n －1＋…＋a 1)－(a 2n ＋a 2n －2＋…＋a 2)] ⇔11|N ；
⑥ 13||14n n a a a -L －321a a a |⇔13|N . 四、完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数.
（1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9；
（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只能是0或1；
（3）奇数平方的十位数字是偶数；
（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；
（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除.因而，平方数被9除的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能为0，1，4，7；
（6）平方数的约数的个数为奇数；
（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数；
（8）奇素数p 能表示成两个正整数的平方和的充要条件是41p m =+；
（9）设正整数p m n 2=，其中p 不再含平方因数，n 能表示成两个整数的平方的充要条件是p 没有形如34+q 的质因数；
（10）每个正整数都能表示成四个整数的平方和.
五、整数的尾数及其性质
整数a 的个位数也称为整数a 的尾数，并记为()G a ，()G a 也称为尾数函数.
（1）(())()G G a G a =；（2）()(()()())G a b c G G a G b G c +++=+++L L ；
（3）()(()()())G a b c G G a G b G c ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅L L ；（4）(10)0G a =，(10)()G a b G b +=；
（5）若10a b c -=，则()()G a G b =；（6）44*()(),,k G a G a a k N =∈；
（7）4*()(),0,04,,,k r r G a
G a k r a k r N +=≥<<∈；（8）211124121212()()()()()()()b n b b b G a b b G a G a b b b b G a b b ⎧⎪=⎨⎪⎩
g g g 当为奇数,为偶数时当为偶数,为奇数或为偶数,为偶数时当为奇数,为奇数时.
（二）例题分析例1、求,,a b c ，使它们满足不等式222332(,,)a b c ab b c a b c Z +++<++∈.
例2、设,,,a b c d Z ∈，且|a c ab cd -+，求证|a c ad bc -+.
例3、能否将{1,2,,972}L 分成12个互不相交的子集，每个子集中81个元素之和相等？
例4、已知b 为各位数码全是9的31位数，a 为各位数码全是9的1984位数，求证|b a .
例5、设,p q 都是正奇数，11p q -=+，求证|p q p q p q ++.
例6、对于任意整数n ，证明5
5|n n -.
例7、（1）若n 个整数，其和为0，其积为n ，证明：n 是4的倍数；
（2）若n 是4的倍数，证明:可以找到个整数，使其和为0，其积为n .
例8、已知n 为正整数，证明：22120|(1)(526)n n n n --+.
例9、已知,m n 都是正整数，若(21)|(21)m n ++，证明：|m n .
例10、设n 是正整数，k 是不小于2的整数.试证：k n 可表示成n 个相继奇数的和.
例11、求所有这样的自然数n ，使得n 222118++是一个自然数的平方.
例12、设正整数d 不等于2，5，13，证明在集合｛2，5，13，d ｝中可以找到两个元素,a b ，使得ab －1不是完全平方数.
练习：
1、证明：不存在正整数n ，使222
21,31,61n n n +++都是完全平方数.
2、若223|()a b +，证明：3|a 且3|b .
3、已知n 为奇数，若12,,,n a a a L 为1,2,,n L 的一个排列，证明：12(1)(2)()n a a a n ---L 为偶数.
4、求满足2(11)|(92)n n n ++-的正整数n .
5、设n 为小于100的正整数，且324|(23)n +，求满足条件的n .
6、已知m 为正奇数，求证：(12)|(12)m m m n n ++++++L L .
7、证明：20121001L 123
个能被1001整除. 8、设1k ≥是一个奇数，证明对任意正整数n ，数12k k k
n +++L 不能被2n +整除.
9、若正整数,m n 满足2m >，证明(21)m -|(21)n +. 10、当2n ≥时，证明：111123n
++++L 不是整数. 11、设正整数,,,a b c d 满足ab cd =，证明：a b c d +++不是质（素）数.
12、求出有序整数对(,)m n 的个数，其中199m ≤≤，199n ≤≤，2()3m n m n +++是完全平方数.。