高二数学概率专题
高中数学高二专题14条件概率与全概率公式
专题14条件概率与全概率公式一、单选题1．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A ．0.8B ．0.6C ．0.5D ．0.42．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45二、填空题3．52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A 的概率为；已知第一次抽到的是A ，则第二次抽取A 的概率为4．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）． ①()25P B =； ②()15|11P B A =； ③事件B 与事件1A 相互独立； ④123,,A A A 是两两互斥的事件；⑤()P B 的值不能确定，因为它与123,,A A A 中哪一个发生有关三、解答题5．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.四、单选题6．现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件A =“甲参加跳高比赛”，事件B =“乙参加跳高比赛”，事件C =“乙参加跳远比赛”，则（ ） A ．事件A 与B 相互独立 B ．事件A 与C 为互斥事件 C ．()512P C A =D ．()19P B A =7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A 和3A 表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（ ） ①事件1A 与2A 相互独立；②1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件； ③24(|)11P B A =；④()922P B =； ⑤14(|)9P A B = A ．5B ．4C ．3D ．2五、多选题8．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()34P B =，()12P A B +=，则（ ） A ．()16P AB =B ．()34P B A =C ．()()P B P B A =D ．()712P AB AB +=9．随着春节的临近，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（ ） A ．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为16B ．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为13C ．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为13D ．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为5810．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（ ）A ．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08B ．该零件是次品的概率为0.03C ．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98D ．如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为13六、解答题11．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，2t X -，1t X -，t X ，1t X +，…，那么1t X +时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态t X ，即()()1211,,,t t t t t t P X X X X P X X +--+⋅⋅⋅=． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为()*N ,A A A B ∈<，赌博过程如下图的数轴所示．当赌徒手中有n 元（0n B ≤≤，N n ∈）时，最终输光的概率为．．．．．．．．()P n ，请回答下列问题： (1)请直接写出()0P 与()P B 的数值．(2)证明(){}P n 是一个等差数列，并写出公差d ．(3)当100A =时，分别计算200B =，1000B =时，()P A 的数值，并结合实际，解释当B →∞时，()P A 的统计含义．12．某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有12的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有12的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立： (1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A 为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B 为“技能一和技能二各触发1次”，求条件概率()P B A(2)设n是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为2n的概率记为n P，求n P.13．假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.14．为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12.（注：比赛结果没有平局）(1)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率.15．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12（先验概率）.(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.参考答案：1．A【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为0.50.60.70.4+-=， 记“该同学爱好滑雪”为事件A ,记“该同学爱好滑冰”为事件B ， 则()0.5,()0.4P A P AB ==， 所以()0.4()0.8()0.5P AB P BA P A ===∣. 故选:A . 2．A【详解】试题分析：记A =“一天的空气质量为优良”，B =“第二天空气质量也为优良”，由题意可知()()0.75,0.6P A P AB ==,所以()()()4|5P AB P B A P A ==，故选A. 考点：条件概率． 3．1221117【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A 的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A 的条件下，第二次抽到A 的概率.【详解】由题意，设第一次抽到A 的事件为B ,第二次抽到A 的事件为C , 则()()()()1431411221,(),|1525122152131713BC P BC P B P C B P B P =⨯======. 故答案为：1221；117. 4．②④【分析】根据互斥事件的定义即可判断④；根据条件概率的计算公式分别得出123,,A A A 事件发生的条件下B 事件发生的概率，即可判断②；然后由()()()123()P B P A B P A B P A B =++，判断①和⑤；再比较11()()()P A B P A P B ，的大小即可判断③.【详解】由题意可知事件123,,A A A 不可能同时发生，则123,,A A A 是两两互斥的事件，则④正确；由题意得()()()123544|,|,|111111P B A P B A P B A ===，故②正确； ()()()()()()()()()123133122()|||P B P A B P A B P A B P A P B A P A P B A P A P B A =++=++552434910111011101122=⨯+⨯+⨯=,①⑤错； 因为11559()()()104492222P A B P A P B ==⨯=，，所以事件B 与事件A 1不独立，③错；综上选②④故答案为：②④【点睛】本题主要考查了判断互斥事件，计算条件概率以及事件的独立性，属于中档题.5．(1)47.9岁； (2)0.89； (3)0.0014．【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出； （2）设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式()1()P A P A =-即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．【详解】（1）平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 550.020650.017750.006850.002)1047.9+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（岁）． （2）设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=．（3）设B =“任选一人年龄位于区间[40,50)”，C =“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得：()()16%0.16,0.1%0.001,(|)0.023100.23P B P C P B C =====⨯=,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，此人患这种疾病的概率为()(|)()()0.0010.23(|)0.00143750.0014()0.16P BC P C P B C C B P B B P P ⨯====≈．6．C【分析】根据条件求出(),(),(),()P A P B P AB P AC ，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可【详解】对于A ，每项比赛至少一位同学参加，则有2113421322C C C A 36A ⋅=不同的安排方法， 事件A =“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有33A 6=种方法；若跳高比赛安排1人，则有212312C C A 6=种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有6612+=种，则121()363P A ==，同理121()363P B ==， 若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有22A 2=种不同的安排方法，所以21()3618P AB ==， 因为()()()P AB P A P B ≠，事件A 与B 不相互独立故A 错误；对于B ，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A 与C 可以同时发生，故事件A 与C 不是互斥事件，故B 错误；对于C ，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有1132C +C 5=种，所以5()36P AC =，所以()5()5361()123P AC P C A P A ===，故C 正确； 对于D ，()1()1181()63P AB P B A P A ===，故D 错误. 故选：C 7．C【分析】先判断出1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，且不满足()()()1212P A A P A P A =⋅，①错误，②正确，用条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论. 【详解】显然，1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，且 ()1515232P A ==++，()2215235P A ==++，而()()()12120P A A P A P A =≠⋅，①错误，②正确；()2215235P A ==++，()214451155P A B =⨯=，所以24(|)11P B A =，③正确；()()()()()()()1122331541349211115101122P B P B A P A P B A P A P B A P A =⋅+⋅+⋅=⨯+⨯+⨯=④正确；()()()111552119922P A B P A B P B ⨯===，⑤错误，综上：结论正确个数为3.故选：C 8．BCD【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】对于A ：()()()()P A B P A P B P AB +=+-，()111234P AB =+-， 所以()112P AB =，故A 错误； 对于B ：()()()P AB P AB P A +=Q ，()11123P AB ∴+=，∴()14P AB =， ()()()134143P AB P B A P A ===，故B 正确；对于C ：1()112()1()43P AB P B A P A ===，()14P B =，∴()()P B A P B =，故C 正确. 对于D ：()()()()112P AB AB P AB P AB P AB +=+=+， ()()()P B P AB P AB =+Q ，∴()3144P AB =+，∴()12P AB =，∴()11712212P AB AB +=+=，所以D 正确. 故选：BCD. 9．BC【分析】计算出四个人每人从中随机抽取一张共有111432C C C 种抽法，根据古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式计算各选项，可得答案.【详解】对于A,四个人每人从中随机抽取一张共有111432C C C 种抽法， 其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有12C 种，故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为12111432C 1C C C 12= ，A 错误； 对于B,设小王抽到的是小张写的贺卡为事件A , 则1132111432C C 1()C C C 4P A ==,小张抽到小王写的贺卡为事件B ,则已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为1()112(|)1()34P AB P B A P A === ,B 正确； 对于C, 恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有14C 2⨯种，故恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为14111432C 21C C C 3⨯= ，C 正确；对于D, 每个人抽到的贺卡都不是自己写的抽法共有13C (12)9+=种，故每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为13111432C (12)93C C C 248+==，D 错误， 故选：BC 10．BC【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率即可判断A ，B ；利用条件概率公式、对立事件即可判断C ，D ．【详解】记事件A ：车床加工的零件为次品，记事件i B ：第i 台车床加工的零件，则1(|)8%P A B =，2(|)3%P A B =，3(|)2%P A B =，1()10%P B =，2()40%P B =，3()50%P B =， 对于A ，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为111()(|)()8%10%0.008P AB P A B P B ==⨯=，故A 错误；对于B ，任取一个零件是次品的概率为123()()()()8%10%3%40%2%50%0.03P A P AB P AB P AB =++=⨯+⨯+⨯=，故B 正确；对于C ，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为33()1()12%0.98P A B P A B =-=-=，故C 正确；对于D ，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为()()()()3333(|)2%50%21(|)1110.033P AB P A B P B P B A P A P A ⨯-=-=-=-=，故D 错误．故选：BC ．11．(1)()01P =，()0P B = (2)证明见解析；1d B=-(3)200B =时，()50%P A =，当1000B =时，()90%P A =，统计含义见解析【分析】（1）明确0n =和n B =的含义，即可得答案； （2）由全概率公式可得11()(1)(1)22P n P n P n =-++，整理为()()()()11P n P n P n P n --=+-，即可证明结论；（3）由（2）结论可得()1AP A B=-，即可求得200B =，1000B =时，()P A 的数值，结合概率的变化趋势，即可得统计含义.【详解】（1）当0n =时，赌徒已经输光了，因此()01P =.当n B =时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率()0P B =. （2）记M ：赌徒有n 元最后输光的事件，N ：赌徒有n 元且下一场赢的事件, ()()(|)()(|)P M P N P M N P N P M N =+,即11()(1)(1)22P n P n P n =-++， 所以()()()()11P n P n P n P n --=+-， 所以(){}P n 是一个等差数列，设()()1P n P n d --=，则()()()()12,10P n P n d P P d ---=-=L ，， 累加得()(0)P n P nd -=，故()(0)P B P Bd -=，得1d B=-， （3）100A =，由()()0P n P nd -=得()()0P A P Ad -=,即()1A P A B=-, 当200B =时，()50%P A =， 当1000B =时，()90%P A =，当B →∞时，()1P A →，因此可知久赌无赢家， 即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会100%的概率输光．【点睛】关键点睛：此题很新颖，题目的背景设置的虽然较为陌生复杂，但解答并不困难，该题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确11()(1)(1)22P n P n P n =-++，即可求解, 12．(1)89；(2)141118227n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）分析试验过程，分别求出()P A 和()P AB ，利用条件概率的公式直接计算； （2）分析 “突击者”一轮攻击造成的伤害为2n ,分为：i.进行2n 次，均不触发技能二；前面的21n -次触发技能一，最后一次不触发技能一；ii.第一次触发技能二，然后的n 1-次触发技能一，第n 次未触发技能一；iii. 前面的()2,1,2,1k k n =-次未触发技能二，然后接着的第21k +次触发技能二；前面的1n k +-触发技能一，第n k +次未触发技能一. 分别求概率.即可求出n P .【详解】（1）两次攻击，分成下列情况：i.第一次攻击，技能一和技能二均触发，第二次攻击，技能一和技能二均未触发；ii .第一次攻击，技能一触发，技能二未触发，第二次攻击，技能二触发，技能一未触发；iii. 第一、二次攻击，技能一触发，技能二未触发，第三次攻击，技能一、二未触发；所以()111111*********2222222222222264P A =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=. ()111111111222222228P AB =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.所以()1889964P B A ==.（2）“突击者”一轮攻击造成的伤害为2n ,分为：i. 记事件D ：进行2n 次，均不触发技能二；前面的21n -次触发技能一，最后一次不触发技能一.其概率为：()221411112222n n nP D -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ii. 记事件E ：第一次触发技能二，然后的n 1-次触发技能一，第n 次未触发技能一.其概率为：()1111112222n n P E -+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭iii. 记事件k F ：前面的()2,1,2,1k k n =-次未触发技能二，然后接着的第21k +次触发技能二；前面的1n k +-触发技能一，第n k +次未触发技能一. 其概率为： ()21311111122222kn k n k k P F +-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则事件121,n F F F -L 彼此互斥，记121n F F F F -=+++L ， 所以()()()()121n F F F P P P F P -=++L ()31321311111222n n n n +++⨯++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L()131131311112222112n n n n ++-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭=- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭141111822172n n n +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=- ⎪⎝⎭. 所以()()()n F P P D P E P =++141411118221112272n n n n n ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭141411822127n n n++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⎪⎝⎭1481317272n n+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】关键点睛：这道题关键的地方是题意的理解，文字较多，要明白一轮攻击中含多次攻击，每次攻击判断技能的触发，在第二问中需要分多种情况进行讨论，然后用互斥事件的概率计算公式进行求解 13．(1)47(2)2235【分析】（1）利用对立事件的概率公式与条件概率公式，结合古典概型求解即可； （2）利用全概率公式，结合古典概型求解即可.【详解】（1）依题意，记事件i A 表示第i 次从第一个盒子里取出红球，记事件B 表示两次取球中有红球，则()()3237111541010P B P B =-=-⨯=-=，()()()()()()1212222132454547710P A A P A A P A B P A B P B P B ⨯⨯++⨯⨯====. （2）记事件1C 表示从第一个盒子里取出红球，记事件2C 表示从第一个盒子里取出白球，记事件D 表示从第二个盒子里取出红球，则()()()()()1122253422575735P D P C P D C P C P D C =+=⨯+⨯=. 14．(1)316(2)1380(3)913【分析】（1）事件B =“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件j A =“甲队第j 局获胜”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；（2）讨论M 上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率； （3）利用贝叶斯公式求甲队明星队员M 上场的概率. 【详解】（1）事件B =“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”， 事件jA =“甲队第j 局获胜”，其中1,2,3,4,j =j A 相互独立.又甲队明星队员M 前四局不出场，故()1,1,2,3,42j P A j ==，123412341234B A A A A A A A A A A A A =++，所以()41313C 216P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）设C 为甲3局获得最终胜利，D 为前3局甲队明星队员M 上场比赛， 由全概率公式知，()()()()()||P C P C D P D P C D P D =⋅+⋅，因为每名队员上场顺序随机，故()234335C A 3A 5PD ==，()321,55P D =-= ()()2313311|,|241628P C D P C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()3312131658580P C =⨯+⨯=. （3）由（2），()()()()()()33|9165|131380P CD P C D P D P D C P C P C ⨯⋅====. 15．(1)1120(2)①19；②方案二中取到红球的概率更大.【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题； （2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论.【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件1A ，“取到乙袋”为事件2A ，“试验结果为红球”为事件1B ，“试验结果为白球”为事件2B ，（1）()()()()()111121219121121021020P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=. 所以试验一次结果为红球的概率为1120. （2）①因为1B ，2B 是对立事件，()()219120P B P B =-=， 所以()()()()()()2111212221111029920P B A P A P A B P A B P B P B ⨯====， 所以选到的袋子为甲袋的概率为19.②由①得()()2212181199P A B P A B =-=-=， 所以方案一中取到红球的概率为：()()()()1121122121982591091018P P A B P B A P A B P B A =+=⨯+⨯=， 方案二中取到红球的概率为：()()()()22211121289123791091045P P A B P B A P A B P B A =+=⨯+⨯=，因为3754518>，所以方案二中取到红球的概率更大.。
北京高二数学知识点概率
北京高二数学知识点概率概率是数学中一个非常重要的概念，也是我们日常生活中经常会遇到的内容。
在高二数学中，概率是一个必学的知识点。
本文将为大家详细介绍北京高二数学中的概率知识点，包括概率的基本概念、概率的计算方法、概率实际应用等方面。
1. 概率的基本概念概率是研究随机事件发生可能性的数学工具。
在数学中，我们通常用一个数值来表示概率，该数值介于0到1之间。
当事件发生的可能性为0时，概率为0；当事件发生的可能性为1时，概率为1。
对于一个随机试验，它的样本空间是指试验所有可能结果的集合。
而样本空间中的每个元素都称为一个基本事件。
事件是由一个或多个基本事件组成的。
事件的发生是指基本事件中包含了该事件。
2. 概率的计算方法概率的计算方法分为经典概率和统计概率两种。
经典概率适用于基本事件个数有限且等可能的情况。
计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)，其中P(A)表示事件A的概率，n(A)表示事件A中基本事件的个数，n(S)表示样本空间中基本事件的总个数。
统计概率适用于基本事件个数无限或不等可能的情况。
计算公式为：P(A) = lim(n->∞) (n(A) / n)，其中P(A)表示事件A的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n表示试验进行的次数。
3. 概率的实际应用概率在现实生活中有广泛应用，例如：- 航空公司利用概率来计算航班准点率，预测航班延误的概率。
- 保险公司利用概率来计算保险索赔的风险和赔付的概率。
- 股票市场利用概率来预测股票价格的涨跌概率。
- 医生利用概率来评估疾病的风险和治疗方案的效果。
4. 概率的进阶知识点除了基本的概率概念和计算方法之外，高二数学中还会进一步学习条件概率、事件独立性、排列组合等内容。
条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
高二数学概率知识点大总结
高二数学概率知识点大总结概率作为数学中的一个重要分支，研究的是随机事件发生的可能性或频率，广泛应用于各个领域。
在高二数学学习中，我们也需要深入理解和掌握概率的相关知识点。
下面将对高二概率知识点进行大总结。
一、基本概念与概率公式概率的基本定义是指某个事件发生的可能性。
在概率论中，常用的概率公式有以下几种：1.乘法原理：当事件 A 和 B 相互独立时，它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
2.加法原理：当事件 A 和 B 互不相容时，它们至少发生一个的概率等于它们各自发生的概率之和。
3.条件概率：表示在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
4.全概率公式：用于计算两个事件 A 和 B 关联的概率情况。
二、样本空间与事件样本空间是指一个随机试验中所有可能出现的结果的集合。
事件是样本空间的子集，表示满足某种条件的一组结果。
三、排列与组合排列和组合是概率论中常见的计数方法。
排列表示从一组元素中选出若干个进行排列，考虑元素的顺序；组合表示从一组元素中选出若干个进行组合，不考虑元素的顺序。
四、互斥事件与独立事件互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况，其概率为零。
独立事件是指两个事件发生与否相互独立，一个事件的发生不影响另一个事件的发生。
五、条件概率与贝叶斯定理条件概率是指在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
贝叶斯定理是利用条件概率计算逆概率的一种方法。
根据贝叶斯定理，已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率可以通过已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率来计算。
六、独立性判定与一致性判定对于多个事件的互相独立性，可以通过判断它们的联合概率是否等于各事件独立发生时的概率乘积来确定。
对于多个事件的一致性，可以通过判断它们的联合概率是否等于各事件发生时的概率之和来确定。
七、二项分布与泊松分布二项分布是一种离散型的概率分布，适用于重复进行的二项试验中计算成功次数的概率。
高二数学概率知识点总结
高二数学概率知识点总结
一、随机事件的概率
1. 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
2. 必然事件：在一定条件下必然发生的事件。
3. 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
4. 概率的定义：对于一个随机事件A，它发生的概率P(A)满足0 ≤ P(A) ≤ 1。
如果P(A)=1，则事件A 为必然事件；如果P(A)=0，则事件A 为不可能事件。
二、古典概型
1. 古典概型的特征：
-试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
-每个基本事件出现的可能性相等。
2. 古典概型的概率计算公式：P(A)=事件A 包含的基本事件数÷总的基本事件数。
三、几何概型
1. 几何概型的特征：
-试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个。
-每个基本事件出现的可能性相等。
2. 几何概型的概率计算公式：P(A)=构成事件A 的区域长度（面积或体积）
÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。
四、互斥事件和对立事件
1. 互斥事件：如果事件A 和事件B 不能同时发生，那么称事件A 和事件B 为互斥事件。
-互斥事件的概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)（A、B 互斥）。
2. 对立事件：如果事件A 和事件B 必有一个发生，且仅有一个发生，那么称事件A 和事件 B 为对立事件。
-对立事件的概率计算公式：P(A)=1 - P(A 的对立事件)。
高二数学概率综合试题答案及解析
高二数学概率综合试题答案及解析1.设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则（）A．n＝5，p＝0.32B．n＝4，p＝0.4C．n＝8，p＝0.2D．n＝7，p＝0.45【答案】C【解析】因为随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，所以.【考点】随机变量的期望方差.2.从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽一张，已知第一次抽到A，则第二次也抽到A的概率为_________ ．【答案】.【解析】由于第一次抽到A,则第二次抽牌时，还有3张A，共51张牌，而每张牌被抽到的概率是相等的，故第二次也抽到A的概率为.【考点】相互独立事件的概率乘法公式．3.抛掷一个骰子，若掷出5点或6点就说试验成功，则在3次试验中恰有2次成功的概率为__________。
【答案】【解析】抛掷一个骰子，若掷出5点或6点就说试验成功，则成功的概率为，则在3次试验中恰有2次成功的概率为。
【考点】等可能事件的概率4.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下列表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；下面的临界值表供参考：(参考公式：，其中)【答案】（1）详见解析；（2）在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.【解析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，可得喜爱打篮球的学生，即可得到列联表；（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论.试题解析：列联表补充如下： 3分喜爱打篮球不喜爱打篮球合计（2）∵∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关. 12分【考点】独立性检验．.5.某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,求的概率;(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?【答案】（1）（2）选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大【解析】解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分”的事件为A,则A事件的对立事件为“”,,这两人的累计得分的概率为. 6分(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为,都选择方案乙抽奖中奖的次数为,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为由已知:,,,他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大. 12分【考点】独立事件的概率以及期望点评：主要是考查了独立事件的概率以及期望值的运用，属于中档题。
高二数学概率知识点汇总
高二数学概率知识点汇总数学数学是高考的三大必考主科之一，数学成绩的好坏也将直接关系到你是否能够考入理想的大学，高二数学也是整个高中数学学习承上启下的一年，所以一定要下功夫学好数学。
以下是小编为您整理的关于高二数学概率知识点汇总的相关资料，供您阅读。
高二数学概率知识点汇总(一)教学内容：1、事件间的关系及运算2、概率的基本性质教学目标：1、了解事件间各种关系的概念，会判断事件间的关系;2、了解两个互斥事件的概率加法公式，知道对立事件的公式，会用公式进行简单的概率计算;3、通过学习，进一步体会概率思想方法应用于实际问题的重要性。
教学的重点：事件间的关系，概率的加法公式。
教学的难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。
教学的具体过程：引入：上一次课我们学习了概率的意义，举了生活中与概率知识有关的许多实例。
今天我们要来研究概率的基本性质。
在研究性质之前，我们先来一起研究一下事件之间有什么关系。
事件的关系与运算老师做掷骰子的实验，学生思考，回答该试验包含了哪些事件(即可能出现的结果)学生可能回答：﹛出现的点数=1﹜记为C1，﹛出现的点数=2﹜记为C2，﹛出现的点数=3﹜记为C3，﹛出现的点数=4﹜记为C4，﹛出现的点数=5﹜记为C5，﹛出现的点数=6﹜记为C6.老师：是不是只有这6个事件呢?请大家思考，﹛出现的点数不大于1﹜(记为D1)是不是该试验的事件?(学生回答：是)类似的，﹛出现的点数大于3﹜记为D2，﹛出现的点数小于5﹜记为D3，﹛出现的点数小于7﹜记为E，﹛出现的点数大于6﹜记为F，﹛出现的点数为偶数﹜记为G，﹛出现的点数为奇数﹜记为H，等等都是该试验的事件。
那么大家思考一下这些事件之间有什么样的关系呢?学生思考若事件C1发生(即出现点数为1)，那么事件H是否一定也发生?学生回答：是，因为1是奇数我们把这种两个事件中如果一事件发生，则另一事件一定发生的关系，称为包含关系。
具体说：一般地，对于事件A和事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，记作(或)特殊地，不可能事件记为，任何事件都包含。
《高二数学概率复习》课件
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率， P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
P(A|B) ≥ 0。
规范性
当事件B是必然事件时，P(A|B) = P(A)。
条件概率的加法规则
如果两个事件B1和B2是互斥的，那么对于任一事件A，有 P(A|B1∪B2) = P(A|B1) + P(A|B2)。
04
概率的应用
概率在日常生活中的应用
天气预报
通过概率分析，预测未来天气变 化，为日常生活和出行提供参考
。
彩票
彩票中奖概率的计算，让人们理性 对待，避免盲目投入。
医学诊断
通过概率统计方法，提高疾病诊断 的准确率。
概率在科学实验中的应用
物理实验
在物理学中，概率被广泛应用于 粒子实验、量子力学等领域。
解析5
进阶题目5的答案是$frac{4}{8} times frac{3}{7} = frac{12}{56} = frac{3}{14}$，因为第一次摸出白球的概 率为$frac{4}{8}$，第二次摸出白球的概率为$frac{3}{7}$ 。
解析6
进阶题目6的答案是$frac{7}{10} times frac{3}{9} = frac{21}{90} = frac{7}{30}$，因为第一次摸出红球的概 率为$frac{7}{10}$，第二次摸出白球的概率为 $frac{3}{9}$。
《高二数学概率复习》ห้องสมุดไป่ตู้ppt课件
目 录
• 概率的基本概念 • 古典概型与几何概型 • 条件概率与独立性 • 概率的应用 • 复习题与答案解析
【必刷题】2024高二数学下册概率与统计初步专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024高二数学下册概率与统计初步专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知一组数据的方差是9，那么这组数据的标准差是（）A. 3B. 9C. 3²D. 1/32. 下列哪个图形能够表示一个离散型随机变量X的概率分布（）A. 直方图B. 折线图C. 散点图D. 条形图3. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，求至少有一次出现6点的概率是（）A. 1/6B. 1/3C. 5/6D. 2/34. 已知随机变量X的分布列为：X=1，2，3，P(X=x)=1/4，1/2，1/4，则E(X)的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 2.55. 在一组数据中，众数为10，中位数为12，则这组数据的平均数可能是（）A. 10B. 11C. 12D. 136. 一个袋子里有5个红球，3个蓝球，2个绿球，随机取出两个球，求取出的两个球颜色相同的概率是（）A. 7/15B. 8/15C. 9/15D. 10/157. 已知随机变量X服从二项分布，且P(X=0)=0.16，P(X=1)=0.32，则P(X=2)的值是（）A. 0.16B. 0.24C. 0.32D. 0.488. 下列关于正态分布的说法，错误的是（）A. 正态分布是一种连续分布B. 正态分布的曲线关于x=0对称C. 正态分布的参数μ表示分布的均值D. 正态分布的参数σ越大，分布曲线越扁平9. 从一批产品中随机抽取10件，其中有3件次品，那么这批产品的次品率p的矩估计值是（）A. 0.3B. 0.25C. 0.2D. 0.110. 已知一组数据的平均数为50，标准差为5，那么这组数据中至少有（）个数据在45和55之间。
A. 50%B. 68%C. 95%D. 99%二、判断题：1. 随机变量X的期望值E(X)一定等于X的平均值。
（）2. 在一个离散型随机变量的分布中，每个概率值都必须大于0。
（）3. 二项分布的概率质量函数是单峰的。
数学高二期末考知识点概率
数学高二期末考知识点概率概率是数学中非常重要的一个概念，它在我们的生活中有着广泛的应用。
在高二的数学学习中，概率也是一个重要的考点。
本文将详细介绍高二数学期末考试中涉及的概率知识点。
一、基本概念概率是描述随机事件发生可能性的一个数值。
它的取值范围在0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
而对于某个事件A来说，其概率的计算公式为P(A) = 事件A发生的次数 / 总的可能性。
二、事件的互斥和独立在概率中，事件的互斥和独立是两个重要的概念。
1. 互斥事件指的是两个事件不可能同时发生。
例如，掷骰子时，出现点数是奇数和出现点数是偶数是互斥事件，因为同时出现奇数和偶数是不可能的。
2. 独立事件指的是两个事件发生与否互不影响。
例如，抽取扑克牌时，第一次抽到红桃的概率是1/4，如果将抽到的牌放回，再进行第二次抽取，第二次再抽到红桃的概率仍然是1/4，两次事件是独立的。
三、事件的组合与计算在概率计算中，我们经常需要对多个事件进行组合与计算。
1. 事件的并集与交集：事件A和事件B的并集表示事件" A或B发生"，记作A∪B；事件A和事件B的交集表示事件"A和B同时发生"，记作A∩B。
2. 事件的对立事件：对于事件A来说，与事件A互斥且必然发生的事件称为事件A的对立事件，记作A'。
事件A与其对立事件的概率之和等于1，即P(A) + P(A') = 1。
四、条件概率与独立性条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，某一事件发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
其中，P(A|B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
如果两个事件A和B满足P(A|B) = P(A)，则称事件A与事件B是相互独立的。
独立事件的特点是，两个事件发生与否互不影响。
五、排列与组合排列与组合是求解事件发生次序和选择个数的问题，它们在概率中也有一定的应用。
7.1.2全概率公式课件高二下学期数学人教A版选择性
由全概率公式，得
P（B）=P(A1) P(B|A1）+ P(A2) P(B|A2）+P（A3）P (B|A3） =0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05 =0.0525
04 巩固应用
评
利用全概率公式求复杂事件的概率的一般步骤：
1.设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果, 把A1, A2, …, An
2 1 1 1 11 2
32 3
3
因为P(A)= P(B)= P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关。
04 巩固应用
评
例2 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的
次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分 别占总数的25%，30%，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
抽零件
A1
A2
A3
次品
B
04 巩固应用
评
（1）解：设B=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”（i=1，2，3）
则Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，根据题意得
P（A1）=0.25， P（A2）=0.3， P（A3）=0.45，
P（B|A1）=0.06, P（B|A2）= P（B|A3）=0.05.
思
1、问题1：从有a个红球和b个蓝球的袋子中,每次随机摸出1个球, 摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为 a .那么第2次
ab
摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
2、例5中P(Ai), P(Ai|B)得实际意义是什么？
3、贝叶斯公式描述了哪两个条件概率之间的关系？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二数学概率专题
概率公式：
1、()()()card A m P A card I n
== 等可能事件的概率公式 2、 P （A ＋B ）＝P(A)+P(B) 互斥事件有一个发生的概率公式
3、.P （A ）＝1—P(A) 对立事件的概率公式
4、P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）相互独立事件同时发生的概率
5、()(1)
k k n k n n P k C p p -=- 在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率
公式理解：
1、 符号理解
A ＋
B 是指“事件A 或B 发生”
A·B 是指“事件A 且（同时）B 发生”；
2、公式P （A ＋B ）＝P(A)+P(B) 使用的前提是A 与B 互斥，是指在同次实验中A 与B 不会同时发生；
P （A·B ）＝P （A ）·P （B ） 使用的前提是A 与B 独立，是指在一次实验中A 的发生不影响下一次实验中B 的发生.
例1 甲乙两人参加普法知识竞赛，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题．
（Ⅰ）甲抽到选择题、乙抽到判断题是多少？（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
求解古典概型事件A的概率一般遵循如下步骤：
（1）先确定一次试验是什么，此时一次试验的可能性结果有多少，即算出基本事件的总个数n；
（2）再确定所研究的事件A是什么，事件A包括结果有多少,即求出m；
（3）应用等可能性事件概率公式
()
()
()
card A m
P A
card I n
==计算。
注意：求P(A)时，要首先判断是否是古典概型；确定m、n的数值是关键所在。
我们可以提出改省套的思维模式。
求基本事件数的方法：
（1）穷举法；
（2）树形图；
（3）排列组合法。
利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。
二、通过应用分类讨论的思想来解决问题
一个复杂事件可以拆分为两个或两个以上的互斥事件或相互独立事件的和事件，拆分所遵循的原则是分类的不重、不漏，其实对事件中某个元素进行分类讨论。
解题的关键是分析实验是否可以分拆为几个独立的小实验，特别地如果小实验可以视为相同实验，问题可以化为独立重复。
罗列实验的结果，按照某个条件将结果分类，转化为互斥事件。
例2某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）．（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；
（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？
三、通过合理运用公式()1()P A P A =-来解决问题
当一个复杂事件直接解答比较困难时（复杂事件包含的实验结果较多），我们可以从它的对立事件（包含的实验结果少）入手解决，罗列实验结果，从正面和反面都去思考实验结果的包含情况，举一反三，有利于尽快尽好地理解掌握求事件概率的方法。
例3 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格. 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
强化训练
1、在某次趣味运动会中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两人比赛一场），共赛三场，每场比赛胜者得1分，输者得0分，没有平局；在每一场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为13
． （Ⅰ）求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率；
（Ⅱ）求甲不是小组第一的概率.
2、有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、
丙、丁取胜的概率分别为9.08.0,6.0，
. （Ⅰ）若甲和乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率；
（Ⅱ）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率．
3、某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9，0.8，0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8，0.7，0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响。
（I ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
（II ）求这三个人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）。
4、某城市有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和B 报，从该城市中任取4个家庭.
（Ⅰ）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率；
（Ⅱ）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率；
（Ⅲ）求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B 报都没有订阅的概率.
5、体育课上练习投篮， 甲、乙两名学生在罚球线投球的命中率分别为
32、21， 每人投球3次．
（Ⅰ）求两人都恰好投进2球的概率；
（Ⅱ）求甲恰好赢乙1球的概率．
6、甲、乙两人进行投篮训练，已知甲投球命中的概率是
12，乙投球命中的概率是35
.假设两人投球命中与否相互之间没有影响.
（Ⅰ）如果两人各投球1次，求恰有1人投球命中的概率； （Ⅱ）如果两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率.
7、甲盒中装有7个标号为1、2、3、4、5、6、7的小球，乙盒中装有n 个标号为）（7,,3,2,1 n n 的小球，
（1）从甲盒中有放回地抽取小球3次，每次抽取一个球，求恰有两次抽取7号球的概率；
（2）现将两盒球均匀混合，从中随机抽取一个小球，若抽取的标号为n 的小球的概率为
13
2，求n 的值。
8、某班要从5名男生和3名女生中任选4名同学参加奥运知识竞赛.（I）求所选的4人中恰有2名女生的概率；
（Ⅱ）求所选的4人中至少有1名女生的概率；
（Ⅲ）若参加奥运知识竞赛的选手获奖的概率均为1
3
，则恰有2名选手获奖的概率是多少?
训练题
1.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买。
根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元。
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超过650元的概率。
2.从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96
(Ⅰ)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p;
（Ⅱ）若该批产品共有100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）。
3、A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效,若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠
的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为.
(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率；
(Ⅱ)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
4、9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。
（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；
（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；
（Ⅲ）求有坑需要补种的概率。
5甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6。
本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响，求
（Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率；
（Ⅱ）本场比赛乙队以3:2取胜的概率。
6设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。
已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
7、从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学能通过测验的概率均为，试求：
（Ⅰ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；
（Ⅱ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.。